清华大学《信号与系统》第十一讲
清华大学任勇老师信号与系统课件
信号与系统答疑 QQ 群：85092397
第四章：信号的谱表示
§4.1 L1 [t0 ,tα ] 上的傅里叶变换（《信号与系统》第二版（郑君里）3.1，3.2）
{ } ∫ L1 [t0,tα ] =
f (t ) | tα t0
f (t ) dt < ∞ ，是[t0,tα ] 上绝对可积函数的全体。
∞
∑ = FnGn*T
n=−∞
{ } { } = T
F G , ∞ n n=−∞
∞ n n=−∞
能量定理：对 ∀f (t ) ∈ L2 [t0,t0 + T ]，有
（4-19）
∫ ( ) ∑ f t0+T t0
t
2
∞
dt = T
Fn 2
n=−∞
（4-20）
均方收敛性（依范数收敛，强收敛）：
定理（均方收敛）：对 ∀f (t ) ∈ L2 [t0,t0 + T ]，则
f
(t)
=
f
⎛ ⎜⎝
t
±
T 2
⎞ ⎟⎠
（4-18）
f (t ) 的傅里叶级数只含有偶次正余弦分量（偶次谐波）。
Parseval 定理（内积不变性）：
定理（Parseval）：对 ∀f (t ) , g (t ) ∈ L2 [t0,t0 + T ] ，则
∫ f (t ) , g (t ) = t0+T f (t ) g* (t )dt t0
∫ ( ) 证明：
Fn
=
1 T
f t0 +T
t0
t
e-jnωtdt ，
6
清华大学
信号与系统答疑 QQ 群：85092397
力学专业教学大纲《信号与系统》教学大纲2017版
《信号与系统》课程教学大纲课程代码：110031112课程英文名称：Signals and Systems课程总学时：48 讲课：40 实验：8 上机：0适用专业：探测制导与控制技术大纲编写（修订）时间：2017.10一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标《信号与系统》是一门重要的学科基础课程，是联系基础理论与专业技术知识的重要专业技术基础课。
本课程是继电路理论基础课之后的深入研究线性非时变电路系统的课程，为探测制导与控制技术专业和信息对抗技术专业的学生提供信号与线性系统的基本概念，以及信号通过线性系统的一系列分析与计算方法，为该专业后续课程的学习建立必要的概念和理论基础。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求通过本课程的学习使学生了解信号与系统的基本概念，掌握信号与线性系统在时域和变换域上分析的基本理论和基本方法，理解傅立叶变换、拉普拉斯变换及Z变换的基本内容、性质与应用，特别要建立信号与线性系统的频域分析的概念及系统函数的概念,并对这些理论与方法在工程中的某些应用有初步了解，为进一步学习研究信号处理与信号检测等学科内容打下必要的基础。
（三）实施说明理论性和系统性是《信号与系统》课程的两大特点。
该课程讲授过程中，需要把深奥的数学理论和应用信息技术进行深入融合，系统对比式的讲解将会提高学生对该课程的理解与掌握。
本课程着重讲授信号分析与线性时不变系统分析的基本概念和基本方法，以求系统响应为主要线索，按照先时域后变换域，先连续后离散的顺序进行，力求做到循序渐进。
讲授各种分析方法时，尽量避免枯燥繁琐的数学推导，着重阐明其包含的物理意义，注意多举具体应用的例子，提高学生的学习兴趣，增强学习效果。
（四）对先修课的要求本课程先修课程：高等数学、电路和复变函数与积分变换。
（五）对习题课、实践环节的要求1. 习题是帮助学生理解基本理论，掌握基本分析方法并学习运用理论处理实际问题的一个重要环节。
本课程理论性较强，课程的每一部分内容均安排一定数量的习题课与理论知识相配合。
清华大学信号与系统(郑君里)课后答案
（4） f ( at ) 右移
故（4）运算可以得到正确结果。 注：1-4、1-5 题考察信号时域运算：1-4 题说明采用不同的运算次序可以得到一致的结果； 1-5 题提醒所有的运算是针对自变量 t 进行的。如果先进行尺度变换或者反转变换，再进行 移位变换，一定要注意移位量和移位的方向。 1-9 解题过程： （1） f ( t ) = 2 − e
解题过程：
(a-1)
(a-2)
(a-3)
4
(a-4)
(b) f ( t ) 为偶函数，故只有偶分量，为其本身
(c-1)
(c-2)
(c-3)
(c-4)
(d-1)
(d-2)
(d-3)
(d-4)
1-20 分析过程：本题为判断系统性质：线性、时不变性、因果性 （1）线性（Linearity） ：基本含义为叠加性和均匀性
1 2 2
−∞
5t 5t
t
t
则
∫
5t
−∞
⎡ ⎣ c1e1 (τ ) + c2 e2 (τ ) ⎤ ⎦ dτ = r1 ( t ) = c1 ∫−∞ e1 (τ ) dτ + c2 ∫−∞ e2 (τ ) dτ = c1r1 ( t ) + c2 r2 ( t )
时变：输入 e ( t − t0 ) ，输出 非因果： t = 1 时， r (1) =
∫
5t
−∞
e (τ − t0 ) dτ =
τ − t0 = x
∫
5t − t0
−∞
e ( x ) dx ≠ ∫
5( t − t0 )
−∞
e ( x ) dx = r ( t − t0 )
∫ e (τ ) dτ ， r (1) 与 ( −∞,5] 内的输入有关。
清华电子系山秀明《信号与系统》1
第一章：绪论§1.1 信号与系统（《信号与系统》第二版（郑君里）1.1）图1-1消息（Message）：信源的输出+语义学上的理解。
信号（Signal）：Information Vector（Signum），它携带或蕴含或本身即为信息。
信息（Information）：消息，内容，情报（牛津英文词典）。
语用层次上的信息：效用信息 语义层次上的信息：含义语法层次上的信息：形式（狭义信息——Shannon信息论）系统（System）：由若干个相互作用的物理对象和物理条件（统称为系统元件）组成的具有特定功能的整体。
本课程要解决的两个问题：信号表示（分析）：把信号分解成它的各个组成分量或成分的概念、理论和方法，即用简单表示复杂。
信号通过系统的响应：9系统分析：在给定系统的条件下，研究系统对于输入激励信号所产生的输出响应。
9系统综合：按某种需要规定出系统对于给定激励的响应，并根据此要求设计系统。
§1.2 信号分类与典型确定性信号（《信号与系统》第二版（郑君里）1.2，1.4） 确定性信号：由确定系统产生、具有确定参数、按确定方式变化的信号。
随机信号：具有不可预知的不确定性的信号。
非确定性信号模糊信号：（例：高矮，胖瘦）。
周期信号：f(t) = f(t + nT)，n ∈Z非周期信号：f(t)≠f(t + nT)，∀ n ∈Z伪随机信号：具有周期性的随机信号。
周期无穷大则为随机信号。
连续时间信号：在所讨论的时间区域内任意时间点上都有定义（给出确定但可能不唯一的信号取值）的信号。
模拟信号：时间和取值都连续的信号。
阶梯信号：时间连续、取值离散的信号。
离散时间信号：只在某些不连续的时间点或区间上有定义（给出信号取值）的信号。
抽样信号：幅值具有无限精度的离散时间信号。
数字信号：幅值具有有限精度的离散时间信号。
图1-2典型确定性信号： 指数信号：()t f t K e α=⋅（1-1）其中，K 、α为实数。
清华大学信号与系统课后问题思考 -
Rucc 总结近期作业情况：5月31日这几次作业错误比较少，主要错误在12－7列写系统方程出错，好多人没有回答能否省略增益为1的通路；8－34，8－36的幅度响应图画错。
此外，作业中有个别抄袭现象。
问题1：两个周期信号线性迭加是否仍是周期函数？解答：如果两函数的周期是有理相关的，则线性迭加后仍然是周期的；但如果非有理相关，则线性迭加生成的信号就是非周期的。
证明：用反证法。
假设：sin x +sin πx 的周期为t ，即()()()()()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔+-=-+⇔+=+++222222t sin t x cos t sin t x cos t x sin x sin x sin t x sin x sin x sin t x sin t x sin ππππππ 当x=-t /2时，有sin(t /2)=-sin(лt /2)，显然等式只有在t=0时才成立。
假设不成立。
问题2：H.T.在负频率时为超前90度，怎样解释？解答：负频率是为了完备性而虚设的，只需将HT 的相频特性认为是奇函数即可，其群延迟为冲激函数，是物理不可实现的。
在实际应用中，都是近似的。
因此，只考虑正频率的情况，即HT 是-90度相位校正器。
问题3：非线性系统是否能够不失真？解答：非线性系统必然存在频率失真，可以工作在线性段，或利用其非线性失真，因此不存在无失真传输问题。
问题4：这两天复习信号时看了一下北航2001年的考研试题，其中有一道题提供的标准答案说“卷积的方法只适用于线性时不变系统”，我从卷积的推导中看不出为什么时不变是一个条件，而且我认为只要是线性的就可以了，不知道正不正确？解答：你的问题可能是：输出等于输入与系统冲激响应的卷积。
我们现在研究的是线性时不变系统的分析方法。
前面的课应该讲过而且推导过：线性时不变系统的零状态响应等于系统输入与冲激响应的卷积。
清华大学信号与系统课件13信号的分解 26页PPT文档
奇分量定义
fo(t)fo(t)
0
13.08.2019
t
课件
0
t
3
分解成冲激脉冲分量之和
t1 f (t1)
13.08.2019
t1 课件
t
4
t
f(t) lt1 i0tm 1 0f(t1)[u(tt1)u(tt1 t1) ]t1/. t1
t
f(t) lt1i m 0t10f(t1)(tt1) .t1
§1.3 信号的分解
•直流分量和交流分量 •偶分量与奇分量 •脉冲分量 •实部分量与虚部分量 •正交分量
13.08.2019
课件
1
直流分量和交流分量
f(t)fDfA(t)
fD
直流分量 交流分量 信号平均值
f A (t)
f (t)
13.08.2019
课件
2
偶分量与奇分量
偶分量定义
fe(t)fe(t)
如在区间 (t1, t2 ) 内满足正交特性，即
t1 t2gi(t)gj(t)d t0 (ij)
t2 t1
gi2(t)dtKi
则此函数集称为正交函数集
13.08.2019
课件
19
任意函数由n个正交的函数的线性组合所近似
f(t)c1g1(t)c2g2(t)cngn(t)
n
crgr(t) r1
图中粉 色部分
图中粉色以上 的小矩形阶跃
f(t)f(0)u(t)0 tdd (1 ft1t)u(tt1)d1t
13.08.2019
课件
7
分解成实部分量和虚部分量
f(t)fr(t)jif(t)
f*(t)fr(t)jif(t)
信号与系统课件SandS-4-11
X () [x(t)]
[ck e jk0t ]
k
（4-11-8）
5
第四章 傅立叶分析
4-11-2 周期信号的傅立叶变换
因为 ck 2 ck () ，对上式利用频移性质可得
X () [x(t)] 2 ck ( k0)
k
（4-11-9）
所以，周期信号的傅立叶变换（或频谱）是在 k0,k 0, 1, 2,
3
第四章 傅立叶分析
4-11-1 傅立叶变换的极限形式
傅立叶变换的极限形式具有傅立叶变换的所有性质。另外，例 4-10-19中给出的周期余弦和周期正弦函数的傅立叶变换也是广义 变换问题。
4
第四章 傅立叶分析
4-11-2 周期信号的傅立叶变换
在傅立叶级数的讨论中，任意一个满足狄利赫里条件的实周期
信号都可以用余弦（或正弦）的线性加权组合形式来建模。因此余
注意，根据频移性质有 中的 T () 为
e jk0t {1 e jk0t} 2 ( k0) ，故上式
10
第四章 傅立叶分析
4-11-2 周期信号的傅立叶变换
T () {T (t)} { (t kT )}
k
1
T
{
k
e
} jk0t
1 T
k
2
(
k0 )
2
T
(
k
4-11-2 周期信号的傅立叶变换
将上式代入式（4-11-14），可得沖激函数序列 T (t) 的傅立叶级 数展开为
T
(t)
k
(t
kT
)
1 T
k
e
jk0t
（4-11-16）
现在对式（4-11-13）应用卷积定理，有
《信号与系统》郑君里教学课件讲义
（４）１９世纪末，人们研究用电磁波传送无线电信号。 赫兹（Ｈ.Hertz）波波夫、马可尼等作出贡献。1901年 马可尼成功地实现了横渡大西洋的无线电通信。
（5）光纤通信 从此，传输电信号的通信方式得到广泛应用和迅速发展。 如今：（１）卫星通信技术为基础“全球定位系统（Global Positioning System, 缩写为GPS）用无线电信号的传输， 测定地球表面和周围空间任意目标的位置，其精度可达 数十米之内。 （２）个人通信技术：无论任何人在任何时候和任何地方 都能够和世界上其他人进行通信。 （３）“全球通信网”是信息网络技术的发展必然趋势。 目前的综合业务数字网（Integrated Services Digital Network,缩写为ISDN),Internet或称因特网，以及其他各 种信息网络技术为全球通信网奠定了基础。
信号与系统
郑君里
教学课件
1、教材：信号与系统 郑君里 杨为理 应启珩编 2、信号与系统 Signals & Systems ALAN V.OPPENHEIM ALANS. WILLSKY 清华大学出版社（英文影印版） （中译本）刘树棠 西安交通大学出版社 3、信号与系统例题分析及习题 乐正友 杨为理 应启珩编 4、信号与系统习题集 西北工业大学
5. 系统的分类
系统可分为物理系统与非物理系统，人工系统以及自 然系统。 物理系统：包括通信系统、电力系统、机械系统等； 非物理系统：政治结构、经济组织、生产管理等； 人工系统：计算机网、交通运输网、水利灌溉网以及 交响乐队等； 自然系统：小至原子核，大如太阳系，可以是无生命 的，也可是有生命的（如动物的神经网络）。
4.信号、电路（网络）与系统的关系
离开了信号，电路与系统将失去意义。
信号与系统_郑君里_第三版_课件
2016/5/9
9
1.2.2 典型信号 一、指数信号 指数信号的表达式为
f (t ) Ke t
f (t )
Ke t ( 0)
Ke t ( 0)
K
Ke t ( 0)
0
t
2016/5/9
10
二、正弦信号
正弦信号和余弦信号二者仅在相位上相差 2 ，统称为正 弦信号，一般写作
1、确定性信号与随机性信号
对于确定的时刻，信号有确定的数值与之对应，这样的信号称为 确定性信号。不可预知的信号称为随机信号。
2、周期信号与非周期信号
在规则信号中又可分为周期信号与非周期信号。所谓周期信号 就是依一定时间间隔周而复始，而且是无始无终的信号。时间上不 满足周而复始特性的信号称为非周期信号。
2016/5/9
(t t0 )
（1） 0
t0
t
21
(2) 用极限定义
(t ) 。 我们可以用各种规则函数系列求极限的方法来定义
例如:（a）用矩形脉冲取极限定义
2
δ(t)
1
0
(1)
2
4
4
2
t
1
t
(t ) lim [u(t ) u(t )] 0 2 2
2016/5/9
演示
22
（b）用三角脉冲取极限定义
2
δ(t)
1
0
(1)
2
2
t
t
t 1 (t ) lim (1 )[u (t ) u (t )] 0
2016/5/9
信号与系统(第三版)新增习题解析
(3)再取 H i ( s) 的逆变换得到此逆系统的冲激响应 hi (t ) ， 它应 当与第二章 2.9 节的结果一致。 解：(1)
r (t ) = e(t ) + ae(t − T ) ，对上式做 R( s) = 1 + ae −Ts E ( s)
1 1 + ae −Ts
L 变换得
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0
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所以 h ( t ) = ke* ( t0 − t ) = ke ( t0 − t ) = ke ( T − t ) ，
h ( t ) = ke (T − t ) = {cos[ωc (T − t )] + sin[ωc (T − t )]}[ u(T − t) − u(T − t − T )]
（2）由第二问的结论可知：
r (t ) = e(t ) * h(t ) = [cos(ωc t ) + sin(ωc t )][u (t ) − u (t − T )]*[cos(ωc t ) − sin(ωc t )][u (t ) − u(t − T )]
= t cos(ωc t )[u (t ) − u (t − T )] − (t − 2T ) cos(ωc t )[u (t − T ) − u (t − 2T )]
i →∞ i =0
认为线性时不变的，所以：
+∞
H [e(t )] = H [e(0 + )u (t ) + lim ∑ [e(ti +1 ) − e(ti )]u (t − ti )]
i →∞ i =0
+∞
= H [e(0+ )u (t )] + H [lim ∑ [ e(ti +1 ) − e(ti )]u( t − ti )]
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⇒
清华大学电子工程系
f <<
1 2τ
13
陆建华
§4.8 由系统函数零极点分布决定频响特性
（3）一般s平面分析 根据系统函数H（s）在s平面的零、极点分布绘制频响
ϕ (ω ) 特性曲线 H ( jω ) 、
jω
Ks ① s − p1
K ② s− p 1
清华大学电子工程系
p1
σ
高通
p1
σ
低通
14
陆建华
2
清华大学电子工程系
陆建华
§4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性
极点位置
jω
H（s）
h(t)
特性
−a
σ
左半
1 s+a
e − at
衰减
jω
a
σ
右半
1 s−a
eat
增长
3
清华大学电子工程系
陆建华
§4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性
极点位置
jω
H（s）
h(t)
特性
0
σ
原点
1 s
u (t )
恒定
信号与系统
第十一讲
清华大学电子工程系 2005年春季学期
第四章 拉普拉斯变换
§4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性
拉氏变换的应用：三方面的问题 时域特性（响应分解） 频域特性（正弦稳态、针对滤波器应用） 稳定性（有源网络、反馈、振荡器、控制系统） (1) H(s) 零、极点与波形关系（表4－4）
Emω 0 ⇒ E (s) = 2 2 s + ω0
(假设H(s) 极点都是一阶的)
系统的完全响应为：
r (t ) = L [ R ( s )] = Em H 0 sin(ω 0t + ϕ 0 ) + ∑ K i e pi t
−1 i =1 n
9
清华大学电子工程系
陆建华
§4.8 由系统函数零极点分布决定频响特性
0
ห้องสมุดไป่ตู้
ωc
ω
0
ωc
ω
0
ω c1 ω c 2
ω
低通
高通
带通
(2) 信号设计举例：信号波形及发送信号速率 信号波形设计：能量集中。如第三章讲过的升余弦 （成型）滤波器 发送信号速率：（尽可能高）能多高？
清华大学电子工程系
11
陆建华
§4.8 由系统函数零极点分布决定频响特性
考虑一个简单的传播模型 假设基站与手机传播延迟t0 P1、P2两路径时间差 τ P1、P2路径损耗相同，为 α 从基站到手机的信号传播系统模型为 s(t)
衰减振荡
σ
− jω 0
虚轴二阶
2ω 0 s 2 2 (s 2 + ω0 )
t sin ω 0t
增长振荡
5
清华大学电子工程系
陆建华
§4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性
因此，从S平面观察到时域情况，关键是极点的分布 零点的影响：不影响h(t)函数波形特征，只影响幅值和相位 (2) 极点分布与响应分解
0
(1)系统设计举例：滤波器设计 针对信号特性，设计各种各样的滤波器。通常是将 接收机的频响特性调整到符合某种要求，有低通、 高通、带通、带阻、全通等。
10
清华大学电子工程系
陆建华
§4.8 由系统函数零极点分布决定频响特性
典型滤波器示例（Page 219）
H ( jω ) H ( jω ) H ( jω )
H (s) =
清华大学电子工程系 陆建华
Δ jk
§4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性
暂态响应与稳态响应 （Transient, Steady-State） 一般 Re [ phi ] < 0，极点在左半平面，自由响应必衰减 ⇒ 暂态
Re [ pei ] = 0 ，极点在虚轴，强迫响应为稳态
Re [ phi ] 在虚轴有共轭极点，自由响应为稳态 特例： ①无损电路：
v
⇓
⇓
6
自由响应
清华大学电子工程系
强迫响应
陆建华
§4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性
NOTE: ①函数形式 r(t) 中，自由响应只与phk有关 强迫响应只与pek有关 ②系数Khk、Kek与H(s)、E(s)都有关。 ③ 当phk、pek有相同的时，自由响应与强迫响应不能完全分开 ④ phi（i=1,……,n) 称为系统的固有频率 , p hi 即为⊿的根 可能有某些因子被消去 Δ 固有频率包含H(s)的极点，但H(s) 极点不一定是全部 的固有频率。 7
§4.8 由系统函数零极点分布决定频响特性
s − z1 ③K s − p1
K ④ ( s − p1 )( s − p2 )
p1 z1
σ
高通
p1 p2
σ
低通
Ks ⑤ ( s − p )( s − p ) 1 2
清华大学电子工程系
p1 p2
σ
带通
15
陆建华
第四章 拉普拉斯变换
§4.9 二阶谐振系统的s平面分析
清华大学电子工程系
Oppenheim 9. 4
Siebert Chapter 4
17
陆建华
自基站
清华大学电子工程系
建筑物
p2 p1
?
基站
h(t)
r(t)
至手机
12
陆建华
§4.8 由系统函数零极点分布决定频响特性
H ( jω ) = α (1 + cos ωτ ) 2 + sin 2 ωτ = α 2(1 + cos ωτ )
频响特性波形：
2α
H ( jω )
0
π τ
2π
ω
τ
为避免传播信号进入带阻，信号速率f必须满足 2πf ⋅ τ << π
H ( jω )
0
ωL ω0
ϕ(ω)
ωH
ω
需确定①峰值 max { H ( jω ) } ②及其所在频率点 ③带通滤波器的带宽
π 2
0
− π 2
ωL ω0
ωH
ω
16
清华大学电子工程系
陆建华
§4.9 二阶谐振系统的s平面分析
1 宽带：功率衰减相对峰值为3dB（ ） 时的频点称为通带 2
边界频率，
此处（带通）通带边界频率为 ω L，ω H 带宽定义： Bw = ω H − ω L 注意：① 对于低通滤波器，其截至频率即为带宽 ② 信号带宽通常由第一个过零决定（抽样定理应用） 课后作业： 4－23，4－31，4－34 参考书：
jω
jω 0
− jω 0
ω0 σ 虚轴共轭 s 2 + ω 2 0
sin ω 0t
等幅振荡
4
清华大学电子工程系
陆建华
§4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性
极点位置
jω
H（s）
h(t)
特性
jω 0
−α
σ
− jω 0
jω
jω 0
左半共轭
ω0 e −αt sin ω 0t 2 2 (s + α ) + ω0
自由响应与强迫响应 ( Natural Response & Forced Response）
K hk R(s) = E(s)H(s) = ∑ s − p + k =1 hk
n
K ek ∑ k =1 s − pek
v
⇒
r(t) = ∑ K hk e
k =1
n
p hk t
+
pek t K e ∑ ek k =1
Re [ pei ] < 0 ，强迫响应为暂态 ②衰减激励：
例4－19（略）
8
清华大学电子工程系
陆建华
第四章 拉普拉斯变换
§4.8 由系统函数零极点分布决定频响特性 频响特性：系统在正弦信号激励下稳态响应随信号 频率的变化情况。
e(t ) = Em sin ω 0t
R( s) = Emω 0 ⋅ H (s) 2 2 S + ω0
对于稳定系统，极点应分布在S平面左半，即 Re[pi]<0
⇒ 稳态响应即强迫响应 rss (t ) = Em H 0 sin(ω 0t + ϕ 0 )
NOTE: ① 其中：H0， ϕ 0 由 H ( jω 0 ) 决定。 ② H ( jω 0 ) = H ( s ) s = jω ，一般 H ( jω ) ≠ F [h(t )]