高中数学应用题一百道(上)
高三试卷数学应用题
小明在等一个朋友，他走到车站，发现车站有一个售票窗口，票价为10元。
小明买了一张车票，然后上了车。
车行驶了20分钟后，小明发现他的朋友还没有来，于是他决定下车。
他走到下一个车站，发现这个车站也有一个售票窗口，票价为8元。
小明决定在这个车站下车，然后等待他的朋友。
（1）请根据题意，列出小明在两个车站所花费的总费用y（元）与他在车上行驶的时间x（分钟）之间的函数关系式。
（2）小明在车上行驶了30分钟后，他的朋友终于来了。
这时，小明决定让他的朋友也上这辆车。
请根据题意，列出小明在两个车站所花费的总费用y（元）与他在车上行驶的时间x（分钟）之间的函数关系式。
（3）小明在车上行驶了50分钟后，他的朋友还是没来。
这时，小明决定放弃等待，他再次下车。
请根据题意，列出小明在两个车站所花费的总费用y（元）与他在车上行驶的时间x（分钟）之间的函数关系式。
二、解析（1）小明在第一个车站买票花费10元，在第二个车站买票花费8元，所以总费用y与时间x的关系为：y = 10 + 8 = 18元因此，函数关系式为：y = 18（2）小明在第一个车站买票花费10元，在第二个车站买票花费8元，再加上他朋友的票价8元，所以总费用y与时间x的关系为：y = 10 + 8 + 8 = 26元因此，函数关系式为：y = 26（3）小明在第一个车站买票花费10元，在第二个车站买票花费8元，再加上他再次下车的票价8元，所以总费用y与时间x的关系为：y = 10 + 8 + 8 = 26元因此，函数关系式为：y = 26三、答案（1）y = 18（2）y = 26（3）y = 26。
高中数学应用题
高中应用题专题复习例1．建筑一个容积为48米3，深为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a 元，池底每平方米的造价为2a 元。
把总造价y 表示为底的一边长x 米的函数，并指出函数的定义域。
解：容积=底面积×高= 48 ⇒ 底面积×3 = 48 ⇒ 底面另一边长：m =x 16 池壁造价=池壁面积×a = 2(3x + 3m )×a = 6( x +x 16)a = 6(x +x 16)a 池底造价=底面积×2a =16×2a = 32a∴ y = 6(x +x16)a + 32a ( x > 0 ) 例2. 有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计.解：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 -7x∴ 窗框的高为3x ，宽为376x - 即窗框的面积 y = 3x ·376x -= -7x 2 + 6x ( 0 < x <76) 配方：y =79)73(72+--x ( 0 < x < 2 ) ∴ 当x =73米时，即上框架高为73米、下框架为76米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大. 3．利润问题：（1）利润=收入-成本 （2）利润=单位利润×销售量例3. 将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。
若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个。
如何确定该商品的销售单价，使利润最大？分析：（1）每出售一个商品的利润=销售单价-进货单价= 10- 8 = 2（2）以单价10元为基础：单价每次涨1元，当涨了x 元（即可看成涨了x 次）时，则每出售一个商品的利润= 2+ x 元, 销售量为100 -10x 个∴ 每个商品的利润y = (2 + x )( 100 -10x ) = -10x 2 + 80x + 200 = -10( x - 4)2 + 360即当x = 4时，y 有最大值360∴ 当每个商品的单价为14元时，利润最大.4．与增长率相关的问题：〖要点〗增长率为正：原产量×(1 + 增长的百分率)经过x 年增长率为负：原产量×(1 - 增长的百分率)经过x 年例5. 一种产品的年产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使年产量每年比上一年增加p %. 写出年产量随经过年数变化的函数关系式.解：设经过x 年后，年产量为y, 则y = a ( 1 + p %)x例9. 画一个边长2角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，求：（1） 第10个正方形的面积（2） 这10个正方形的面积的和解：（1）设{a n }表示各正方形的面积∵ a 1 = 22 = 4, a 2 = (22)2, a 3 = 42 = 8∴ {a n }是公比为2的等比数列第10个正方形的面积a 10 = a 1q 9 = 4×29 = 2048 (厘米2)（2）这10个正方形的面积和409221)21(41)1(1010110=--=--=q q a S （厘米2） 例10．一个球从100米高处自由落下，每次着地后又回到原高度的一半再落下. 当它第10次着地时，共经过了多少米？解：设球落下的高度依次为a 1, a 2, …, a 10 .x 2xMPAB ∵ a 1 = 100, a 2 = 50, a 3 = 25 ∴ {a n }是公比为21的等比数列 则球第10次落下时落下的路程为20012825575211])21(1[1001010≈=--=S ∴本球共经过的路程为S = 2S 10 - 100 ≈300 （米）一．解析几何中的应用题例16．抛物线拱桥顶部距水面2米时，水面宽4米. 当水面下降1米时，水面的宽是多少？解：如图建立直角坐标系，则抛物线方程为x 2 = -2py 依题意知：x = 2时，y = -2代入方程得p = 1即抛物线方程为 x 2 = -y, 当水面下降1米时，y = -3 ⇒ x =3∴ 水面宽为2x =32≈3.5 (米)例17．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面439千米，远地点距地面2384千米，地球半径大约为6371千米，求卫星的轨道方程.解：如图建立坐标系∵ a -c = |OA| - | OF 2| = |F 2A| = 6371 + 439 = 6810a + c = |OB| + |OF 2| = |F 2B| = 6371 + 2384 = 8755∴ a = 7782.5, c = 972.5 ⇒ b 2 = 7721.52 即卫星的轨道方程是：步1772277832222=+y x 例18．在相距1400米的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，炮弹爆炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程.解：设爆炸t 秒后A 哨所先听到爆炸声，则B 哨所t + 3 则 |MA| = 340t, |MB| = 340( t + 3 ) = 340t + 1020两式相减：|MA| - |MB| = 1020 (|AB| = 1400> 1020)∴ 炮弹爆炸点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线以AB 为x 轴、AB 中点为原点建立直角坐标系（如图）∴ A(-700, 0 ), B( 700, 0 ) ⇒ c = 700且 2a = 1020 ⇒ a = 510 ⇒ b 2 =229900炮弹爆炸的轨迹方程是：122990026010022=-y x ( x > 0 ) 例19．如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现要将救灾物资从P 处紧急运往灾区. P 往灾区有两条道路PA 、PB ，且PA=110公里，PB=150公里，AB= 50公里. 为了使救灾物资尽快送到灾民手里，需要在灾区划分一条界线，使从PA 和PB 两条路线到灾民所在地都比较近. 求出该界线的方程.解：要使沿PA 、PB 两条线路到救灾地点都比较近，有三种情况：（1）沿PA 线路 （2）沿PB 线路 （3）沿PA 、PB 线路都相同 故分界线以第（3）种情况划分：即|PA| + |MA| = |PB| + |MB| ⇒ 110 + |MA| = 150 + |MB| ∴ |MA|-|MB| = 40, 即知分界线是以A 、B 为焦点的双曲线AB = 50 ⇒ 2c = 50 ⇒ c = 25, 2a = 40 ⇒ a = 20 ⇒ b 2 = 225若以AB 为x 轴、AB 的中点为原点建立直角坐标系则分界线方程是：122540022=-y x （在矩形内的一段） 注意：确定分界线的原则是：从P 沿PA 、PB 到分界线上点的距离. 练习：1某森林出现火灾，火势正以每分钟2m 100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m 50，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．（1）设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，试建立t 与x 的函数关系式；（2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？2有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。
高二数学应用题练习题
高二数学应用题练习题假设你是一位高二的数学老师，现在给你准备了一些高中数学的应用题练习题。
请按照以下格式依次列出题目和解答。
1. 题目：某公司最新公布的数据显示，该公司今年销售额与去年相比增长了25%。
今年的销售额是去年的125万元，请问去年的销售额是多少万元？解答：设去年的销售额为x万元，则由题意可得：x + 0.25x = 125解方程可得：1.25x = 125解得：x = 100因此，去年的销售额是100万元。
2. 题目：某地区的气温在一天中的变化规律如下：上午9时气温为20°C，下午3时气温为28°C。
求该地区上午10时和下午2时的气温分别是多少°C？解答：上午9时到下午3时总共经过6个小时。
气温每个小时平均上升{(28 - 20) / 6} = 8 / 6 = 4 / 3 °C。
因此，上午10时的气温为20 + (4 / 3) × 1 = 24 / 3 = 8 °C，下午2时的气温为20 + (4 / 3) × 5 = 60 / 3 = 20 °C。
3. 题目：已知直角三角形的一条直角边长为5 cm，斜边长为13 cm，求另一条直角边的长。
解答：设另一条直角边的长为x cm，根据勾股定理可得：x^2 + 5^2 = 13^2解方程可得：x^2 + 25 = 169解得：x^2 = 144解得：x = 12因此，另一条直角边的长为12 cm。
4. 题目：某物品原价为800元，现在打8折出售，请问现在的价格是多少元？如果再打折3折，再次打折后的价格是多少元？解答：现在的价格为800 × 0.8 = 640 元。
再次打折后的价格为 640 × 0.3 = 192 元。
5. 题目：甲、乙、丙三个人合作完成一项工作，甲一人需要4天完成，乙一人需要5天完成，丙一人需要6天完成。
如果他们三个人一起工作，需要多少天完成该项工作？解答：甲的日工作效率为1/4，乙的日工作效率为1/5，丙的日工作效率为1/6。
高三数学应用题的练习题
高三数学应用题的练习题在高三数学学习中，应用题是一个非常重要的部分。
通过练习应用题，能够帮助我们更好地理解数学知识，提高解决实际问题的能力。
在这篇文章中，我将为大家提供一些高三数学应用题的练习题，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 银行存款计算某人将10000元存入银行，年利率为3%，请计算3年后的存款金额是多少？解析：根据利率计算公式，存款金额 = 初始金额 × (1 + 年利率)^年数。
代入数据，可得存款金额 = 10000 × (1 + 0.03)^3 = 10927.27元。
2. 计算利润率某公司去年的销售额为500万元，净利润为100万元，计算该公司的利润率。
解析：利润率 = 净利润 / 销售额 × 100%。
代入数据，可得利润率 = 100 / 500 × 100% = 20%。
3. 速度计算小明骑自行车从A地到B地，全程100公里，第一段路以每小时20公里的速度骑行，第二段路以每小时30公里的速度骑行，请计算他全程所需的时间。
解析：计算时间需要用到平均速度的概念。
平均速度 = 总路程 / 总时间。
第一段路所需时间 = 第一段路长度 / 第一段路速度 = 100 / 20 = 5小时。
第二段路所需时间 = 第二段路长度 / 第二段路速度= 100 / 30 ≈ 3.33小时。
总时间 = 第一段路所需时间 + 第二段路所需时间= 5 + 3.33 ≈ 8.33小时。
4. 面积计算一块矩形田地的长为15米，宽为10米，计算该田地的面积。
解析：面积 = 长 ×宽 = 15 × 10 = 150平方米。
5. 基础工资计算某公司的员工基础工资为3000元，按每件产品提成10元计算，某员工月销售了80个产品，请计算该员工的月工资。
解析：月工资 = 基础工资 + 提成金额。
提成金额 = 销售件数 ×提成单价 = 80 × 10 = 800元。
高三复习专题——应用题
例1、某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为145005x k x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭升，其中k 为常数，且60120k ≤≤.（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值.例2、某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为1t 小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为2t 小时．设()12f x t t =+． （1）求()f x 的解析式，并写出其定义域； （2）当x 等于多少时，()f x 取得最小值？例3、某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等. （1）求第n 年的预计投入资金与出售产品的收入；（2）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）例4、如图，已知AB 是一幢6层的写字楼，每层高均为3m ，在AB 正前方36m 处有一建筑物CD ，从楼顶A 处测得建筑物CD 的张角为45︒. （1）求建筑物CD 的高度；（2）一摄影爱好者欲在写字楼AB 的某层拍摄建筑物CD .已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果（不计人的高度）？变式、如图，某开发区内新建两栋楼AB ,CD (A ,C 为水平地面),已知楼AB 、CD 的高度分别为10,20m m ，两楼间的距离AC 为70m.（1）如何在两楼间AC 上取一点P 点，使得P 点到两楼顶D B ,距离之和最短？ （2）试在AC 上确定一点P ，使得张角BPD ∠最大.例5、某校有一块圆心O ，为半径为200米，圆心角为32π的扇形绿地OPQ ，半径,OP OQ 的中点分别为N M ,，A 为弧PQ 上的一点，设α=∠AOQ ，如图所示，拟准备两套方案对该绿地再利用. （1）方案一：将四边形绿地OMAN 建成观赏鱼池，其面积记为1S ，试将1S 表示为关于α的函数关系式； 并求α 为何值时，1S 取得最大？ （2）方案二：将弧AQ 和线段NQ AN ,围成区域建成活动场地，其面积记为2S ，试将2S 表示为关于α的函数关系式；并求α为何值时，2S 取得最大？变式1、如图，矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB =100AD =米．现拟在直角三角形OMN 内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O 为AD 的中点，OM ON ⊥，点M 在AB 上，点N 在CD 上），将破旧的道路AM 重新铺设．已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM 成本为每米500元，设OMA θ∠=，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为()f θ．（1）求()fθ关于θ函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当tan θ为何值时，总费用()fθ最小？变式2、某城市A 计划每天从蔬菜基地B 处给本市供应蔬菜，为此，准备从主干道AD 的C 处(不在端点A 、D 处)做一条道路CB ，主干道AD 的长为60千米，设计路线如图所示，测得蔬菜基地B 在城市A 的东偏北60︒处，AB 长为60千米，设BCD θ∠=，运输汽车在主干道AD 上的平均车速为60千米/小时，在道路CB 上的平均车速为20千米/小时. （1）求运输汽车从城市A 到蔬菜基地B 处所用的时间t 关于θ的函数关系式()t θ，并指出其定义域； （2）求运输汽车从城市A 到蔬菜基地B 处所用的时间t 的最小.2.（江苏省常州市2017届高三上学期期末考试数学试题）某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为145005x k x ⎛⎫-+⎪⎝⎭升，其中k 为常数，且60120k ≤≤. （1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值.【解析】（1）由题意可得当x=120时， ==11.5，解得k=100，由（x ﹣100+）≤9，即x 2﹣145x+4500≤0，解得45≤x ≤100， 又60≤x ≤120，可得60≤x ≤100，每小时的油耗不超过9升，x 的取值范围为[60，100]； （2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，则 y=•=20﹣+（60≤x ≤120），令t=，则t ∈[，]，即有y=90000t 2﹣20kt+20=90000（t ﹣）2+20﹣， 对称轴为t=，由60≤k ≤100，可得∈[，]，①若≥即75≤k ＜100， 则当t=，即x=时，y min =20﹣；②若＜即60≤k ＜75，则当t=，即x=120时，y min =﹣．答：当75≤k ＜100，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为20﹣升；当60≤k ＜75，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为﹣升．4．（江苏省南京市2018届高三数学上学期期初学情调研考试）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f (x )＝t 1＋t 2． （Ⅰ）求f (x )的解析式，并写出其定义域； （Ⅱ）当x 等于多少时，f (x )取得最小值？4、解：（1）因为t 1＝9000x，t 2＝30003(100－x )＝1000100－x，所以f (x )＝t 1＋t 2＝9000x ＋1000100－x，定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N *}．（2）f (x )＝1000(9x ＋1100－x )＝10[x ＋(100－x )]( 9x ＋1100－x )＝10[10＋9(100－x )x ＋ x100－x]．因为1≤x ≤99，x ∈N *，所以9(100－x )x ＞0，x100－x＞0，所以9(100－x )x ＋ x100－x ≥29(100－x )x 错误！未找到引用源。
高三数学应用题专题复习含参考答案.docx
⾼三数学应⽤题专题复习含参考答案.docx ⾼三数学应⽤题专题复习含参考答案⼀．选择题1.．⼀种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，⼯作时3 分钟⾃⾝复制⼀次，（即复制后所占内存是原来的 2 倍），那么，开机后（）分钟，该病毒占据64MB（。
A. 45B. 48C. 51D. 422.．观察新⽣婴⼉的体重，其频率分布直⽅图如图所⽰，则新⽣婴⼉的体重在［2700， 3000］的频率为（）A. 0.001B. 0.003C. 0.01D. 0.33.．两位同学去某⼤学参加⾃主招⽣考试，根据右图学校负责⼈与他们两⼈的对话，可推断出参加考试的⼈数为( )A. 19B. 20C. 21D.224.．有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 ⼈就座，规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 ⼈不左右相邻，那么不同排法的种数是( )A．234B． 346C． 350D． 3635.．福州某中学的研究性学习⼩组为考察闽江⼝的⼀个⼩岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线⽅向匀速开往该岛，靠近岛时，绕⼩岛环⾏两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后⼜乘汽艇沿原航线提速返回。
设t 为出发后的某⼀时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象中能⼤致表⽰S＝f (x) 的函数关系的为( )y y y y6. ．某⾦店⽤⼀杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄⾦，某顾客要购买10g 黄⾦，售货员先将 5g 的砝码放在左盘，将黄⾦放于右盘使之平衡后给顾客；然后⼜将5g的砝码放⼊右盘，将另⼀黄⾦放于左盘使之平衡后⼜给顾客，则顾客实际所得黄⾦（）A．⼤于10 g B．⼩于10g C．⼤于等于10 g D．⼩于等于10g7. ． 13 年前⼀笔扶贫助学资⾦，每年的存款利息（年利率11.34%，不纳税）可以资助100⼈上学，平均每⼈每⽉94.50 元，现在（存款利率 1.98%，并且扣20%的税）⽤同样⼀笔资⾦每年的存款利息最多可以资助多少⼈上学（平均每⼈每⽉100 元） ()A、10B、 13C、15D、208. ．如图， B 地在 A 地的正东⽅向 4km处， C 地在 B 地的北偏东 30o ⽅向 2km处，现要在曲线 PQ上任意选⼀处 M建⼀座码头，向B、 C两地转运货物，经测算，从M到 B、C 两地修建公路的费⽤都是 a 万元/km、那么修建这两条公路的总费⽤最低是（）A ． (7 +1)a万元B ． (2 7－ 2) a万元C． 27 a万元 D ． (7 －1)a万元9. ．设y f (t ) 是某港⼝⽔的深度y（⽶）关于时间t （时）的函数，其中0t24 .下表是该港⼝某⼀天从0 时⾄ 24 时记录的时间t与⽔深 y 的关系：t03691215182124 y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观观察，函数y f (t ) 的图象可以近似地看成函数y k Asin(t) 的图象 . 在下⾯的函数中，最能近似表⽰表中数据间对应关系的函数是（）A．y123sin t, t[ 0,24]B．y123sin(t), t[ 0,24]66C．y123sin t, t[ 0,24]D．y123sin(t), t[ 0,24]1212210.．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的⼀个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经过椭圆的另⼀个焦点. 今有⼀个⽔平放置的椭圆形台球盘，点 A 、 B 是它的焦点，长轴A 沿直线出发，经椭长为 2a ，焦距为 2c ，静放在点 A 的⼩球（⼩球的半径不计），从点圆壁反弹后第⼀次回到点 A 时，⼩球经过的路程是( )（ A）4a（B）2(a c)（C）2(a c)（D）以上答案均有可能11.．某新区新建有 5 个住宅⼩区（A、B、C、D、E），现要铺设连通各⼩区的⾃来⽔管道，离(km)A B C D E名地名A5785B352C54D4E请问：最短的管线长为（）A ．13B．14C． 15D． 1712. ．某地2004 年第⼀季度应聘和招聘⼈数排⾏榜前 5 个⾏业的情况列表如下⾏业名称计算机机械营销物流贸易应聘⼈数2158302002501546767457065280⾏名称算机机械建筑化⼯招聘⼈数124620102935891157651670436A.若⽤同⼀⾏中聘⼈数与招聘⼈数⽐的⼤⼩来衡量⾏的就情况数据 , 就形⼀定是( )算机⾏好于化⼯⾏. B.建筑⾏好于物流⾏.C. 机械⾏最.D.⾏⽐易⾏., 根据表中⼆．填空13.．⽑在《送瘟神》中写到：“坐地⽇⾏⼋万⾥” 。
2020高考应用题专题(含答案版)
2020届高三数学应用题专题1. 经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u(L)与速度v(km/h)的关系近似地满足u ＝⎩⎨⎧100v＋23，0<v ≤50，v 2500＋20，v>50.除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时为300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．(1) 设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y 表示成速度v 的函数关系式； (2) 卡车应该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？2. 某城市受雾霾影响严重，现欲在该城市中心P 的两侧建造A ，B 两个空气净化站（A ，P ，B 三点共线），A ，B 两站对该城市的净化度分别为1a a -，，其中(01)a ∈，．已知对该城市总净化效果为A ，B 两站对该城市的净化效果之和，且每站净化效果与净化度成正比，与中心P 到净化站距离成反比．若1AB =，且当34AP =时，A 站对该城市的净化效果为3a，B 站对该城市的净化效果为1a -． （1）设AP x =，(01)x ∈，，求A ，B 两站对该城市的总净化效果()f x ；（2）无论A ，B 两站建在何处，若要求A ，B 两站对该城市的总净化效果至少达到25，求a 的取值集合．3. 如图,直线1l 是某海岸线，2l 是位于近海的虚拟线，12l l ⊥于点P,点A,C 在2l 上，AC 的中点为O ，且km AC PA 2==.（1）原计划开发一片以AC 为一条对角线,周长为8 km 的平行四边形水域ABCD,建深水养殖场.求深水养殖场的最大面积;（2）现因资金充裕,计划扩大开发规模,开发如图五边形水域QABCD,建养殖场,其中ABCD 是周长为8 km 的平行四边形,点Q 在1l 上,且在点P 的上方,AD OQ ⊥, ︒≤∠90OCD . 养殖场分两个区域,四边形QAOD 区域内养殖浅水产品,其他区域内养殖深水产品,要求养殖浅水产品区域的面积最大.求点Q 与点P 的距离.4. 如图(1)是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步设计方案如下:如图(2)，自直立于水面的空中平台CP 的上端点P 处分别向水池内的三个不同方向建水滑道PA,PM,PB ，水滑道的下端点B,M,A 在同一条直线上，CM = 10m,∠BCA=120°，CM 平分∠BCA ，假设水滑梯的滑道可以看成线段，B,M,A 均在过C 且与PC 垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求ACB PCA PCB S S S ∆∆∆≤+2.(1)求滑梯的高PC 的最大值;(2)现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目的趣味性，设计∠PBC=30°，求该滑梯装置(即图(2)中的几何体)的体积最小值..5.如图，已知A ，B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的正西方向1km 处，经测量3tan 4BAN ∠=，π4BCN ∠=．现计划铺设一条电缆联通A ，B 两镇．有两种方案供选择：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上设立一中转站P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设．预算地下、水下的电缆修建费用分别为2万/km 、4万/km ．（1）求A ，B 两镇间的距离；（2）应该选择哪种方案，使总修建费用较低？C A PB MN(第17题)江苏省如皋中学2019届高三数学应用题专题1. 解：(1) 由题意，当0＜v ≤50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v ＝30·⎝⎛⎭⎫100v ＋23＋300·400v＝123 000v＋690， 当v ＞50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v＝30·⎝⎛⎭⎫v 2500＋20＋300·400v ＝3v 250＋120 000v ＋600， 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧123 000v ＋690，0＜v ≤50，3v 250＋120 000v ＋600，v ＞50.(2) 当0＜v ≤50时，y ＝123 000v＋690是单调减函数， 故v ＝50时，y 取得最小值y min ＝123 00050＋690＝3 150； 当v ＞50时，y ＝3v 250＋120 000v ＋600(v ＞50)．由y′＝3v 25－120 000v 2＝3v 3－3×10625v 2＝0，得v ＝100.当50＜v ＜100时，y ′＜0，函数y ＝3v 250＋120 000v ＋600单调递减；当v>100时，y ′>0，函数y ＝3v 250＋120 000v＋600单调递增．所以当v ＝100时，y 取得最小值y min ＝3×100250＋120 000100＋600＝2 400.由于3 150＞2400，所以当v ＝100时，y 取得最小值．答：当卡车以100 km/h 的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．2. 何处，若要求A ，B 两站对该城市的总净化效果至少达到25，求a 的取值集合． 解：（1）设A 站对城市的净化效果为1y ，比例系数为1k ，则11k ay x=，由题意34x =，13a y =，即1334k a a =，所以114k =，…设B 站对P 城市的净化效果为2y ，比例系数为2k ，则2211ay k x-=-，由34x =，21y a =-得214k =所以A 、B 两站对该城市的总净化效果121()44(1)a a f x y y x x -=+=+-，(01)x ∈，；…6分 （2）由题意得1()2f x ≥对任意的(01)x ∈，恒成立，只要(01)x ∈，时min 1()2f x ≥即可； 又111()((1))44(1)41a a a a x x x x x x--+=++--- 1(1)(1)(1)41a x a x x x --=++-1(1)(1)(12)41a x a x x x --+⋅-≥ 1(12(1))4a a =+- 当且仅当(1)(1)1a x a x x x --=-即1111x a =+-时等号成立，则min 1()(12(1))4f x a a =+-， 又若12(12(1))45a a +-≥，则290100a a -+≤，即191010a ≤≤，综上，无论A 、B 两站建在何处，若要求A 、B 两站对P 城市的总净化效果至少达到25，a 的取值集合为19,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ………………………………14分34. 如图(1)是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步设计方案如下:如图(2)，自直立于水面的空中平台CP 的上端点P 处分别向水池内的三个不同方向建水滑道PA,PM,PB ，水滑道的下端点B,M,A 在同一条直线上，CM = 10m,∠BCA=120°，CM 平分∠BCA ，假设水滑梯的滑道可以看成线段，B,M,A 均在过C 且与PC 垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求ACB PCA PCB S S S ∆∆∆≤+2.(1)求滑梯的高PC 的最大值;(2)现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目的趣味性，设计∠PBC=30°，求该滑梯装置(即图(2)中的几何体)的体积最小值.5. ．（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ．在Rt ABD △中，3tan tan 4BD BAD BAN AD ∠=∠==， 所以43AD BD =， 在Rt BCD △中，tan tan 1BDBCD BCN CD∠=∠==， 所以CD BD =．则41133AC AD CD BD BD BD =-=-==，即3BD =，所以3CD =，4AD =，由勾股定理得，5AB =(km)．所以A ，B 两镇间的距离为5km ．……………………………………………4分 （2）方案①：沿线段AB 在水下铺设时，总修建费用为5420⨯=(万元)．………6分方案②：设BPD θ∠=，则0π(,)2θθ∈，其中0BAN θ=∠，在Rt BDP △中，3tan tan BD DP θθ==，3sin sin BD BP θθ==， 所以344tan AP DP θ=-=-．则总修建费用为6122cos 24886tan sin sin AP BP θθθθ-+=-+=+⋅．………8分 令2cos ()sin f θθθ-=，则222sin (2cos )cos 12cos '()sin sin f θθθθθθθ---==， 令'()0f θ=，得πθ=，列表如下：所以()f θ的最小值为()3f =所以方案②的总修建费用最小为8+(万元)，此时4AP =．……12分而820+，所以应选择方案②，中转站P 设在A 的正西方向(4-km 处， 总修建费用较低．…总修建费用较低．…C A PBMN (第17题)D。
高中数学经典应用题及答案解析
高中数学经典应用题及答案解析一、数列与数列求和1. 数列的等差数列通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$ 为第 n 项，$a_1$ 为首项，d 为公差。
2. 数列的等差数列求和公式为 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中 $S_n$ 为前 n 项和。
3. 数列的等比数列通项公式为 $a_n = a_1 * q^{(n-1)}$，其中$a_n$ 为第 n 项，$a_1$ 为首项，q 为公比。
4. 数列的等比数列求和公式为 $S_n = \frac{a_1 * (q^n - 1)}{q - 1}$，其中 $S_n$ 为前 n 项和。
二、函数与方程1. 一次函数的一般式为 $y = kx + b$，其中 k 为斜率，b 为截距。
2. 二次函数的一般式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
3. 求解一元二次方程可使用求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
4. 求解一元二次方程的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 可判断方程的根类型。
三、三角函数1. 正弦定理为 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$，其中 a、b、c 为三角形的边长，A、B、C 为对应的角度。
2. 余弦定理为 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$，其中 a、b、c 为三角形的边长，C 为对应的角度。
3. 正弦函数图像的周期为2π，幅值为 1，周期函数为 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$。
4. 余弦函数图像的周期为2π，幅值为 1，周期函数为 $y = A\cos(\omega x + \varphi)$。
四、概率与统计1. 事件 A 和 B 的并集为 $A \cup B$，相应的概率为 $P(A \cupB) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。