六年级下册数学试题-培优讲练 第六讲 余数问题 全国通用 (答案)
⑴这个数减 2 能同时被 5, 7 整除，而 [5, 7] = 35 所以这个数最小是 0 + 2 =2 （常见错误：
35 + 2 =37 ）． 2 加上 35 的倍数依然满足这两个条件， 35k + 2 （ k ≥ 0 ）即： 2 、 37 、 72 、
107 ，所以最小值是 2 ；= 当 k
[1= 00 ] 35
2 时，最大的两位数是 72 ．
说明：[x] 是高斯函数，[x] 是指取 x 的整数部分．
⑵这个数减1能同时被 4, 6 整除，而[4, 6] = 12 ，满足这两个条件：12k + 1（ k ≥ 0 ），这个数
最小值就是1，当=k [= 99] 8 时，最大的两位数是 97 ． 12
⑶这个数加 2 能同时被 3,5 整除，而[3,5] = 15 所以这个数最小是15 − 2 =13 ．
第六讲答案 余数问题
知识点梳理
一、带余除法
1、余数定义（例 1）
基本关系：被除数
÷
除数
=
商
余数
用字母表示： a ÷ b =qr
⑴a =b×q+r；
⑵ a 、 b 、 q 、 r 均为非零自然数， b ≠ 0 ， 0 ≤ r < b ；
⑶ b∣(a − r) ．
2、商不变，余数要变（例 2）
商不变：被除数和除数同时乘或除以一个非零的数，商不变．
注意：第 6 题和第 7 题有些班级可能还没讲到，可以等老师讲完之后再做．
6、（2005 年武汉明心奥数挑战赛） a > b > c 是自然数， a、b、c 除以 11 分别余 2、7、9 ，则 [(a + b + c) × (b − a) × (c − b)] ÷11 余________． 【解析】 (2 + 7 + 9) × (7 − 2) × (9 − 7) = 18 × 5 × 2 ，同余 7 × 5 × 2 =70 ， 70 ÷11 = 64 ．
大的两位数是 99 ．
9、文字题 ⑴一个数除以 7 余 4 ，除以11余 2 ，这个数最小是多少？这些数除以 77 的余数是几？ ⑵（首师大附中分班考试）有一个数，除以 3 余 2 ，除以 4 余1，问这个数除以12 余几？
3/5
【解析】 ⑴除以 7 余 4 的数有 4,11,18, 25,32,39, 46 …，依次从头开始试验，满足除以11余 2 的最小的 数是 46 ． 在 46 的基础上再加上 7 和11的最小公倍数[7,11] = 77 ，因此还能找到这样的数123 、 200 ． 这些数除以 77 的余数是 46 ． ⑵除以 3 余 2 的数有： 2,5,8,11,14 除以 4 余1 的数有：1,5,9,13,17 观察得到符合条 件的答案是 5 ．所以满足条件的数有 5 ，17 ， 29 ……它们除以12 的余数都是 5 （最小的满 足条件的数）．
7、（ 2011 西工大附中入学测试题）一列数，前 3 个是1， 9 ， 9 ，以后每个都是它前面相邻
3 个数字之和除以 3 所得的余数，则这列数中第 2012 个数是________．
【解析】 0
提示：根据余数的加法性质，用每个数除以 3 的余数构造新数列：
1, 0, 0,1,1, 2,1,1,1, 0, 2, 0, 2, 1, 0, ，可见周期是13 ， 2012 ÷13 = 154 10 ，第 10 个数是 0，因
3、填空 ⑴两数相除，商 7 余 5，若被除数、除数同时扩大 5 倍，则商为________，余________； ⑵两数相除，商 10 余 5，若被除数、除数同时除以 5，则商为________，余________； ⑶两数相除，商 8 余 2，若被除数、除数同时扩大 5 倍，再同时除以 2，则商为________， 余________． 【解析】 ⑴商 7，余 5 × 5 =25 ； ⑵商 10，余 5 ÷ 5 =1 ； ⑶商 8，余 2 × 5 ÷ 2 =5 ．
5、观察下面的算式： ⑴ 432 ÷□=△ ，为了使商 △ 是一个两位数，□的最大值是________．
2/5
⑵ 367 ÷□=△ ，为了使商 △ 是一个一位数，□的最小值是________． 【解析】
⑴去尾法： 432 ÷10 = 43.2 ，所以□的最大值是 43 ． ⑵进一法： 367 ÷10 = 36.7 ，所以□的最小值是 37 ．
余数变：但是余数会相应乘或除以这个数．
3、最值问题（例 3） a ÷ b =qr ，可得 a = b × q + r （ 0 ≤ r < b ） ⑴ b 、 q 、 r 变大， a 会变大；
⑵ b 、 q 、 r 变小， a 会变小．
二、余数三大定理（有些班级可能还没讲到，第 7 节课上课的时候会讲的） ⑴可加、可减、可乘（例 4） ⑵余数的周期性（例 5）
13个数
此这列数中第 2012 个数是 0 ．
8、填空 ⑴一个数被 5 除余 2 ，被 7 除余 2 ，这个数的最小值是________．最大的两位数是________． ⑵一个数被 4 除余1，被 6 除余1，这个数的最小值是________．最大的两位数是________． ⑶一个数被 3 除余1，被 5 除余 3 ，这个数的最小值是________．最大的两位数是________． ⑷一个数被 4 除余 3 ，被 5 除余 4 ，这个数的最小值是________．最大的两位数是________． 【解析】 ⑴⑵属于“减同余”；⑶⑷属于“加同补”．
7 13
7 7 13
【解析】
原式 =
4 × 2312 + 4 × 4 + 7 13 7
4× 1 7 13
=
4 7
×
2312 13
+
4
+
1 13
=16
4、计算 39 × 148 + 148 × 86 + 48 74 = ________
149
149 149
【解析】
原式 =148 × 39 + 148 × 86 + 148 24 =148 × ( 39 + 86 + 24 ) =148
⑷66 除以一个数商 7，求余数是几．
【解析】
⑴由题意，可得
□÷6
=19 3
，
□=
6
×
19
+
3
=
117
；
1/5
⑵由题意，可得□÷17 = 51 ，□= 17 × 5 + 1 = 86 ；
⑶由题意，可得 79 ÷□=411 ，□= (79 −11) ÷ 4= 17 ．
⑷由题意，可得 66 ÷ b =7 r ， 66 ÷ 7 =9 3 ，即 b = 9 ， r = 3 ，余数是 3 ．
= 276 − 2 × 1 138
= 275 68 69
6、计算 51 2 ÷ 5 + 71 3 ÷ 7 + 91 4 ÷ 9 =________ 33 44 55
【解析】
观察发现如果将 51 2 分成 50 与1 2 的和，那么 50 是除数 5 的分子的整数倍，1 2 则恰好与除
3
3
3
3
数相等．原式中其它两个被除数也可以进行同样的分拆．
4
5
6
7
8
【解析】
原式 =4 × (5 + 3) + 5 × (6 + 4) + 6 × (7 + 5) + 7 × (8 + 6) + 8 × (9 + 7)
4
5
6
7
8
= 4×5+3+5×6+ 4+6×7+5+7×8+6+8×9+7
= 245
3、计算： 4 × 2312 + 16 × 1 + 1 × 4 =________
a = 10 ×10 + 9 = 109 ． ⑶由题意，可得 a ÷10 = qr （ q = r ，且 0 ≤ r < 10 ），余数 r 可以等于 0、1、2······8、9， 共有 10 种填法，所以 a 有 10 种可能值． ⑷由题意，可得 65 ÷ a =q10 ，即 65 = a × q + 10 ，整理得： a × q =55 （ a > 10 ）， 55 的 因数有 1，5，11，55 但是 a > 10 ，所以 a 可能的值是 11，55， a 一共有 2 种可能值．
计算达人：分数运算
1、计算
1 2
+
1 4
+
1 7+源自1 14+
1 28
×
28
=________
【解析】
原式 =1 × 28 + 1 × 28 + 1 × 28 + 1 × 28 + 1 × 28
2
4
7
14
28
= 14 + 7 + 4 + 2 + 1
= 28
2、计算： 4 × 5 3 + 5 × 6 4 + 6 × 7 5 + 7 × 8 6 + 8 × 9 7 = ________
10、五班同学上体育课，排成 3 行少 1 人，排成 4 行多 3 人，排成 5 行少 1 人，排成 6 行 多 5 人．问上体育课的同学最少有多少名？ 【解析】 “排成 3 行少 1 人”，如果补上 1 人正好排成 3 行，补上 1 人后人数是 3 的倍数．同理，在五 班学生人数的基础上如果补上 1 个人，总人数是 3、4、5、6 的公倍数．[3, 4,5, 6] = 60 ，60 −1 =59 因此，上体育课的学生最少 59 人．
六年级下册数学试题-培优讲学练考专题：比和比例(含答案)全国通用
比和比例[同步稳固演练]1、甲、乙两列火车同时从A 、B 两城市相向开出，分别驶向B 、A 两城。
甲车每小时行驶120千米，乙车每小时行驶80千米。
〔1〕甲、乙两车的速度之比是 ： 。
〔2〕甲、乙两车相遇时所行的路程比是 ： 。
〔3〕甲、乙两车各自行完全程所用的时间比是 ： 。
2、甲:乙=5:6,乙:丙=4:7,那么甲:乙:丙= ： ： 。
3、一个分数，分子与分母之和是100，如果加上23，分母加上32，新的分数约分后是2/3，原分数是 。
4、如图，图形中的阴影局部面积占圆面积的1/6，占正方形面积的1/5；三角形中阴影面积占三角形面积的1/9，占正方形面积的1/4。
圆、正方形、三角形的面积的最简整数比是 。
5、小刚读一本书，第一天读了全书的2/15，第二天比第一天多读了6页，这时已读的页数与剩下的页数的比是3：7，小刚再读多少页就能读完这本书？6、现有三块面积分别为5亩、6亩、7亩的麦地需要锄草，现有农工36人，每块地应安排多少人，才能同时完成？7、甲、乙两车由A 、B 两地同时出发相向而行，甲、乙两车速度比是2；3，甲走完全程用521小时，求两车几小时后在中途相遇？ 8、两个服装厂，一个月内生产的西服数量是6：5，两厂西服价格的比是11：10。
这个月两厂的总产值为6960万元。
两厂的产值各是多少万元？[能力拓展平台]1、某校原有科技书、文艺书共630本，其中科技书与文艺书的比是1：4。
后来又买进一些科技书，这时科技书与文艺书的比是3：7。
问：买进科技书多少本？2、有大、小两瓶共重2.7千克，把大瓶油的1/4倒给小瓶后，大瓶的油与小瓶的油的重量比是3：2，求大、小瓶子里原来分别装有多少千克油。
3、甲、乙两车从相距190千米的A 、B 两地相向开出，在途中相遇。
甲乙两车的速度比为4：3，相遇时所用时间的比为5：6，求相遇时甲、乙两车各行了多少千米？4、某供给站分三次给甲、乙、丙三个村运肥田粉，三个村与供给站的距离不相等，第一次给三个村各运去2号，应收运费14元，第二次分别运去4吨、3吨、2吨，应收运费22、4元，第三次分别运去5吨、4吨、2吨，应收运费27.8元，求各村应付运费多少元？5、甲、乙、丙三堆煤共重1480吨，甲堆煤重量的1/6与乙堆煤重量的1/4相等，乙堆煤重量的1/10等于丙堆煤重量的1/12，问三堆煤各重多少吨？6、甲、乙两辆汽车从相距380千米的两地相向开出，在途中相遇，甲、乙两车的速度比为4：3，相遇时所用时间的比为5：6。
六年级下册数学试题-培优讲学练考专题：方程组(含答案)全国通用
设丙班有n个女同学，甲班第一组有x个女同学，乙班第一组有y个女同学，则乙班原有n+1个女同学，甲班原有n+5个女同学，依题意，列出方程
（n+5）－x+2=（n+1）－y+x=n－2+y
7－x=1－y+x=y－2
即
即甲班第一组有5个女同学，乙班第一组有4个女同学。
13、200米
设冯老师跑步、散步每分钟分别行了x米、y米。列方程组得
因此，甲从A到C的平均速度是 = (千米/时).
6、18，15，11人；13，15，20个工件
设丙组x人，甲组每人每天生产y个工件，则乙组x+4人，甲组（x+4）+3=x+7人；乙组每人每天生产y+2个工件，丙组每人每天生产（y+2）+5=y+7个工件，依题意，得
即各组分别有18，15，11人，每人每天生产13，15，20个工件。
10、如右图，AD、BE、CF把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图上标明，试求△ABC的面积（单位：平方厘米）。
11、（2000年吉林省第六届小学数学夏令营竞赛试题）
某中学共有30个班级，各班的人数可能是44人，45人，46人，已知全校的学生总人数为1352人，且44人的班级比45人的班级多2个，则这个中学里的44人的班级有几个？45个的班级有几个？46人的班级有几个？
3、（四川德阳市第十一届小学数学邀请赛）
某人承包一项工程，每个工人每天的工资数（以元为单位）正好与工人数相同。如果减少3名工人，而每天付出的工资总数不变，这样每个工人每天的工资就增加3.9元，求原来每个工人的工资是多少无？
4、若购买笔记本3本、铅笔5支、格尺1个，共需6.10元；若购买笔记本4本、铅笔7支、格尺1个，共需7.92元。那么购买笔记本、铅笔、格尺各一件一共需要多少元？
六年级下册数学试题-余数问题人教版
余数问题【方法梳理】一、有规律问题的解法口诀：和同加和，差同减差，余同取余，最小公倍加（一）和同加和：如果不同被除数和余数的和相同，那么就把这个和，加到最小公倍数上。
（二）差同减差：如果不同被除数和余数的差相同，那么就把这个差，用最小公倍数减掉。
（三）余同取余：如果余数都相同，直接把余数加到最小公倍数上。
二、无规律问题的解法一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出2个；如果按6个一堆放，最后多3个；如果按7个一堆放，还多出1个。
这筐苹果至少有几个？（一）逐步约束法5余2的最小数字是7，看看7除以6是余1不是3，所以要看看7上面加多少个5才能除以6余3。
通常的做法是，7+5=12，余0，不对；12+5=17，余5，不对；17+5=22，余4，不对；22+5=27，余3，对了！所以是27。
27这个数字出来了，还没结束，下面考虑27除以7余6，不是余1。
要在27上面加多少个30（5和6的最小公倍数）才能余1？同样的思路，要余1，相当于余8（1＋7＝8），由于30除以7余2，问题就转换为，要从余6变成余8，需要多少个2，答案是1个，也就是27上面加1个30即可，最终数字是57。
（二）中国剩余定律先找出6和7的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以5余1的数字，为42×3＝126，用这个数乘以5的余数。
题目中除以5余2，所以126×3＝252；再找出5和7的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以6余1的数字，为35×5＝175，用这个数乘以6的余数。
题目中除以6余3，所以175×3＝525；再找出5和6的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以7余1的数字，为30×4＝120，用这个数乘以7的余数。
题目中除以7余1，所以120×1＝120；252＋525＋120＝897 ，897除以5、6、7三个数的最小公倍数210的余数，即为最终答案：897－210×4＝57同余定理1 、如果a，b除以c的余数相同，那么我们说a，b对于c是同余的。
六年级下册数学试题-小升初能力训练：数论综合——余数问题(解析版)全国通用
第05讲 数论综合——余数问题【一】了解“除法算式——a b qr b r ÷=> ()” 及应用1：一个两位数除以一位数，所得的商若是最小的两位数，那么被除数最大是 .1010989108=910898÷=⇒∴÷=∴⨯+=最小的两位数是两位数一位数余数 求最大值一位数最大是，余数最大是 两位数 两位数2：用某自然数a 去除1707，得到商是37，余数是r ，求a 和r.17073717073717073746546461707463755375424545451707453742424645542a r a r a ra a r a a r a a r r =+⎧÷=⇒⎨>⎩÷==⎧∴=⇒÷=⇒⎨=⎩+=<=⎧∴=⇒÷=⇒⎨=⎩==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩综上：或3：523除以一个数得到的商是10，并且除数与余数的差是5，求除数与余数.带 余 除 法52310523105555523(5)105231152310(5)x x x x x x ÷=÷=+∴÷+=∴÷=∴=++法一： 法二：除数余数 除数余数余数与除数的差是 余数与除数的差是 若设余数为，则除数为 若给余数加上 除数 =52311=48=43434348x ∴÷=∴ 除数，余数 余数是，除数是4：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是 .484848484841532448794848415794798324A B A B A B A B A B A B x A x B x x x A =+⎧÷=⇒=+÷=⇒⎨+++=⎩=⎧+∴⎨=⎩++++===⨯+=法一： 法二： 若设为，则为 则5：某个除法算式的被除数、除数、商与余数之和为115，如果被除数和除数都扩大为原来的2倍，得到的除法算式中被除数、除数、商与余数之和为223，那么原来的算式中商是 .11522222222311522237A B CD A B C D A B C D A B C D C ÷=⇒+++=÷=⇒+++=∴=⨯-=22222(22)22222a b q r a bq r a bq ra b bq r b q r a b q r a b q r÷=⇒=+⇒=+÷=+÷=∴÷=⇒÷=证明：6：某个整数除36，商和余数相等，那么这个整数可能是 .3636(1)136=8111735b c c bc c c b b b cb ÷=⇒=+=++>是的因数，但是枚举：、、、7：在大于2015的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有多少个？5758575756201558=3443355635122a c c c a c c c c c =+=⎧÷=⇒⎨<⎩÷⇒∴=-+= 的最大值是 的最小值是 个数（个）【二】余数性质（余数特征+余数可加可减可乘性+余数周期性）251425281253393999100001000100109999(91)99999a b c d e abcde a b c d ea b c d abcde a ⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩=⨯+⨯+⨯+⨯+++++=⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯被和整除：末位尾系被和整除：末位被和整除：末位被、整除：各位数字和是、的倍数和系被整除：两位一段，求和 证明： [弃9法 整特征]除0000100999999711131110001001()10000100010010()bc dea bc abcde ab cde ab cde ab abc a bc de a bd c de e +⨯+=⨯+⨯+⎧⎨⎩=⨯+=⨯+-=⨯+⨯+++⨯+⨯+ 被、和整除：三位一段，奇数段偶段和差系被整除：奇位和偶位和 证明： [()(999)910019911999910019911(]a a b b c c d e c a d e a b c d a c m e a mc e b c nf b nc f a b mc e nc f m n d b ++-+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯++⨯-+⨯++⨯-+⎪=⨯+⨯+⨯+⨯+⎩÷==+⎧⎧⇒⎨⎨÷==+⎩⎩+=+++=+ 对于（1） 余数可加可减可乘2)()()()()()()()()()()()1192329c e f a b ce f a b mc e nc f m n c e f a b ce f a b mc e nc f mnc mcf nec ef a b ce f ++⇒+÷+⇒-=+-+=-+-⇒-÷-⇒⨯=+⨯+=+++⇒⨯÷⨯⇒÷÷ （2） （3） 余数可加 举性余数可减性余数可乘性例259753295⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪÷⎧⎧⎪⎨⎨⎪÷⎩⎩⎩或者（一）余数特征+余数可加可减可乘性的“基础练习”1：将假分数5051525354557⨯⨯⨯⨯⨯化成带分数后，真分数部分是多少？5051525354557505152535455123456(24)(35)681561166(mod 7)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯=⨯⨯≡⨯⨯≡只要计算除以的余数即可（二）余数特征+余数可加可减可乘性的“拓展练习”71310010100101010110101100101001010110101101010110ABCDABCDABCD BCD DAB B C D D A B A B C D ABC DAB CDA BCD CDA ABC C D A A B C A B C D A B ⎧=+=+++++⎪=+++⎪⎨=+=+++++⎪⎪=+++⎩-=++证明：判断能被和整除奇段和 偶段和 奇偶10110110101109191919191()91713713C D A B C D B A D C B A D C ABCDABCDABCD +----=-+-=-+-=⨯∴ 能被和整除1：（1）求20172017201720172017个除以9的余数. （2）求20146666个除以7的余数.201712017201720172017201711120171(mod 9)≡≡≡个个 20146666666666100120146335466666666666660302(mod 7)=⨯÷=∴≡≡-≡≡≡个2：求1020162017201620162016个除以7的余数.9201620163603603602016201620167020162016201670201720162016201620172016000(mod 7)1428577110000001000000711000712017201600020172016(mod 7)20÷∴÷⇒≡⨯+=∴÷∴÷⇒≡个10个个个个172016201710000201620177110000742016701404=⨯+÷÷÷∴=⨯+=余数可乘，余数3：求15!除以17的余数.15!4!(56)(71113)(89)(10121415)243010017225210015!7131541415916021069654636181(mod 7)15!(29)(36)(413)(57)(815)(1012)(1114)171=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⇒≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯≡⨯⨯≡⨯≡⨯≡≡=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯法一：法二：每个括号内两数之积都是除以 余 15!171∴÷ 的(2)!1(mod )p p p ⇔-≡延伸说明：上一题的（2）是威尔逊原理内容： 是质数（三）余数周期性的“基础练习”1：兔子数列：1、1、2、3、5、8、13、……，第2017项除以5的余数.5112303314044320224101123033020201720100172÷=兔子数列每一项除以的余数如下：周期是， ，即余2：分别求出23456789103333333333、 、 、 、 、 、 、 、 、 除以7的余数.发现规律，并求出1003除以7的余数. 并试求231001+3+3+3++3除以7的余数.234567891010043333333333326451326461006164334(mod 7)⇒÷=⇒≡≡、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 周期是若为01231002+2+2+2++2除以7呢？61016165(132645)1613262116162(mod 7)⇒÷=⇒≡+++++⨯++++≡⨯+≡周期是 原式3：今天是周四，100010天之后将是周几？234567891010004101010101010101010103264513264610006166410104(mod 7)⇒÷=⇒≡≡⇒、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 周期是周一（四）余数周期性的“拓展练习” 1：求3332除以31的余数.33133333231535334812228(mod 31)n ∴÷=⇒≡≡≡研究除以的余数容易发现周期是只要考虑除以的余数，容易发现周期是42：求332的末位数字.33133481333(mod10)÷=⇒≡≡寻找末位就是相当于除以10的余数周期现象：1、3、9、7、1、3、9、7、……，周期是4(1)(2)(3)x Nx N x N x x 以下是固定值，是变量对于，其个位数字是4个一循环 对于，其个位数字是10个一循环 对于，其个位数字是20个一循环3：求123420132014123420132014+++++除以10所得的余数是多少？12341920201234192014765636901636567490944,201420100141001004(14765636901636)=463463++++++++++++++++++++++++=÷=⨯++++++++++++++除以10的余数就是相当于寻找其个位数字，底数指数都是变化的，即周期为先计算的个位数字：为“”其个位数字是即个整周期还多出14个个位数字即为“”的个3位数字是 ，即答案就是34：求2007200720072007200712342006++++计算结果的个位数字是多少？200732007320073200720072007200720073333311(mod10)22(mod10)20072007(mod10)1234200612342006(mod10)≡≡≡+++++≡+++++首先，按规律，底数不变指数变化，其个位数字的周期是每4个一循环 即 、 、 得到： 然后，按规律，底数变化指数不变，其个位数字的周期是每10个一循环 33333333333333331234105(mod10)1234200652001234561(mod10)+++++≡+++++≡⨯++++++≡ 又因为， 所以，【一】化余数为整除（余数相同） （一）余数已知1：某个整数除41，余数是5，那么这个整数可能是几？ 415(415)03603636181296b bbb b ÷⇒-÷⇒÷⇒=是的因数，、、、、2：某个整数除31，余数是7，那么这个整数可能是几？ 317(317)024********b bbb b ÷⇒-÷⇒÷⇒=是的因数，、、同 余 问 题3：某个整数除67、151得到的余数都是11，那么这个整数可能是几？(6711)05606711(15111)01400561408415111(15167)0840(56,140,84)28112814b b b b b b b b b b b b -÷÷⎧⎧÷⎧⎪⎪⇒-÷⇒÷⇒⇒⎨⎨⎨÷⎩⎪⎪-÷÷⎩⎩=>∴=是、、的公因数是最大公因数的因数，且、4：某个额整数除229、337得到的余数都是13，这个整数最大是几？最小是几？ (22913)021*******(33713)0324033713(337229)01080216324108(216,324,108)1081310818b b b b b b b b b b b b -÷÷⎧⎧÷⎧⎪⎪⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨÷⎩⎪⎪-÷÷⎩⎩⇒⇒=>∴是、、的公因数是最大公因数的因数，且最大为，最小为（二）余数未知1：某个大于1的整数除41、11得到的余数相等，那么这个整数可能是几？ 41(4111)030030302153105611b rb bb b br÷⎧⇒-÷⇒÷⇒=⎨÷⎩是的因数，、、、、、2：某个大于1的整数除89、71得到的余数相同，那么这个整数可能是几？89(8971)01801818293671b rb bb b br÷⎧⇒-÷⇒÷⇒=⎨÷⎩是的因数，、、、、3：某个大于1的整数除17、53、113得到的余数相同，那么这个整数可能是几？ 17(5317)036053(11317)0960369660113(11353)0600(36,96,60)12122634b r b bb r b b b b b r b b b ÷-÷÷⎧⎧⎧⎪⎪⎪÷⇒-÷⇒÷⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪÷-÷÷⎩⎩⎩=∴=是、、的公因数是最大公因数的因数、、、、【二】化余数为整除（余数不同） （一）余数已知1：某个整数除47余5，除65余2，那么这个整数可能是几？ 475(475)04204263652(652)0630(42,63)215217b bbb b b bbb b ÷-÷÷⎧⎧⎧⇒⇒⇒⇒⎨⎨⎨÷-÷÷⎩⎩⎩=>∴=是、的公因数是最大公因数的因数，且、2：（拓展）用一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少？ 13（二）余数未知1：某个整数除29、56的余数分别是a 、3a +，这个数可能是几？ 2929(5329)0240245635333324128462924529125298524,12,8()56248561285680294129654(),6()56405662b aba bbb ba baa b b b b b b b ÷÷⎧⎧⇒⇒-÷⇒÷⇒⎨⎨÷+÷⎩⎩+≥⇒>∴=÷÷÷⎧⎧⎧===⎨⎨⎨÷÷÷⎩⎩⎩÷÷⎧⎧==⎨⎨÷÷⎩⎩是的因数、、、、验证：舍去舍去舍去综上2412b =，、2：某个整数除47、121、232的余数分别是a 、2a +、5a +，这个数可能是几？4747(11947)07201212119(22747)018002325227(227119)0108072180108(72,180,108)36536181296473636b a b a b b b a b a b b b a b a b b b b b b b ÷÷-÷÷⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪÷+⇒÷⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪÷+÷-÷÷⎩⎩⎩⎩⇒⇒=>∴=÷=是、、的公因数是最大公因数的因数，且、、、、验证：114718114712111213613,181211813,12121121(),2323616232181623212447924765912194(),612161()23297232643618b b b b b ÷÷⎧⎧⎧⎪⎪⎪÷=÷=÷⎨⎨⎨⎪⎪⎪÷÷÷⎩⎩⎩÷÷⎧⎧⎪⎪=÷=÷⎨⎨⎪⎪÷÷⎩⎩=舍去舍去舍去综上，、3：一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a +、2a 、a ，求这个自然数的和a 的值.429+54248482(848791)0570791279127912(1000791)0209050050010002(1000848)0152057209152(57,209,15b a ba b a b b b a ba b a b b b a b a b a b b b b ÷÷÷-÷÷⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪÷⇒÷⇒÷⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪÷÷÷-÷÷⎩⎩⎩⎩⎩⇒⇒是、、的公因数是最大公因数的因数2)19519571911192091912152196196b b b b a =>∴=÷⎧⎪=÷⎨⎪÷⎩==，且验证：综上，，4：已知60、154、200被某数除所得的余数分别是1a -、2a 、31a -，求这个自然数的值. 22222333361(3721154)03567060161154154154(61154)2001201(9394201)09193020135679193(3567,9193)b a b b b a b a b a b a b a b ab a b a b b b a b b ⎧⎛÷⇒-÷⇒÷÷-÷⎪ ⎧⎧ ÷⎪⎪⎪⎝÷⇒÷⇒⎨⎨⎨⎛⨯÷⎪⎪⎪÷-÷⇒-÷⇒÷ ⎩⎩⎪ ÷⎝⎩⇒⇒=是、的公因数是最大公因数的因数29296029229154299200292629b b b ∴=÷⎧⎪=÷⎨⎪÷⎩=验证：综上，5：（拓展）糖果254粒，饼干210块，水果186个. 某幼儿园人数超过40人，平均分给学生，余下糖果、饼干、水果比是1:3:2，求共有多少人？没人每种各分多少个？5082(508186)032202541862210321031862(440210)02300(254186)3322230(322,230)4640223254202210201862b ab b b a b a b a b a b a b b b a b b b b b ⎧÷⎧⇒-÷⇒÷÷⎧⎨⎪÷⎪⎪⎩÷⇒⎨⎨÷⎧⎪⎪÷⇒-÷⇒÷⎨⎩⎪+÷⎩⎩⇒⇒=<∴=÷=÷÷是、的公因数是最大公因数的因数，且、验证：254231()23210233018623223b b ÷⎧⎧⎪⎪=÷⎨⎨⎪⎪÷⎩⎩=舍去，综上，6：有一个整数，用它除70、110、160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？121233111221233370110(70110160)()340502900290160707070121101333531718316011b r b r b r r r bb b b rbr b b r b r b r b r b r r r b b b b r b r b ÷⎧⎪÷⇒++÷++⇒÷⇒÷⇒⎨⎪÷⎩÷≤÷≥+⎧⎧⎪⎪÷⇒≥+⇒≥+++⇒≥⇒≥⇒≥⎨⎨⎪⎪÷≥+⎩⎩∴=是的因数现在讨论的就是范围对来说，其中,290,2,145,5,58,10,29581105815229b b =÷==对于， ，不成立综上，【三】同余方程 1：（铺垫）（1）解同余方程：45(mod11)x ≡45(mod11)41151(45)110451144(mod11)5115245(mod11)4511(mod11)416(mod11)(4,7)14(mod 7)x x x x x x x x x x ≡÷⎧⇒-÷⇒-=⇒=⇒≡⎨÷⎩≡≡+≡=∴≡ 转化： 试除：(mod )(,)1(mod )(mod )()()0()()()()(,)1(mod )ac bc m c m a b m ac m x pac bc m ac bc m x y c a b m x y bc m y p c a b m x y c m m a b a b m a m b m a b a b m m m ≡=≡÷=⎧≡⇒-÷=-⇒-=-⎨÷=⎩-=-=-≡÷÷--=证明：若，当 时，有开始：对“”，有对“”，若，为的因数若想让“”，即让“的余数等于的余数”，即“化为分数相减为整数”同时，确实为整数，得证.（2）解同余方程：729(mod13)x x ≡+729(mod13)7131(729)130(29)135913()(59)130592677(mod13)2729(mod13)59(mod13)59132(mod13)5x x x r x x x rx x x x xx x x x x ≡+÷⎧⇒--÷⎨+÷⎩-=⨯⎧⇒-÷⇒⎨-=⇒=⇒≡⎩-≡≡≡+⨯ 转化： 试除： 35(mod13)(5,13)17(mod13)x ≡=∴≡2：用枚举法检验的方法，找出有那些整数x 满足：35(mod 7)x ≡，用一个同余式来表示结果.135(mod 7)411184(mod 7)235(mod 7)357(mod 7)312(mod 7)(4,7)14(mod 7)x x x x x x x ≡=≡≡≡+≡=∴≡ ，枚举得到、、、，表示为3：求解同余方程：3843(1)(mod13)x x +≡+. 8343(1)(mod13)83433(mod13)83334(mod13)5334313(mod13)58(mod13)58x x x x x x x x x +≡++≡+-≡-≡-+⨯≡≡+第一步：化简 第二步：（试除法） 134(mod13)XX 5383(mod13)560(mod13)1524(mod13)(5,13)112(mod13)211(mod13)(XX ) 5x x x x x x ⨯⨯≡⨯≡≡=∴≡≡⨯ （法） 法888(mod13)21113(mod13)4064(mod13)224(mod13)12(mod13)12(mod13)x x x x x ≡⨯≡+≡≡≡≡5：（拓展）老师选了一个两位数，然后讲这个数乘23，并且加上79，发现正好是111的倍数，你能猜出老师选的是什么数吗？23790(mod111)2311179(mod111)2332(mod111)235325(mod111)115160(mod111)x x x x x x +≡≡-≡⨯≡⨯≡设这个两位数为，得到 4160(mod111)40(mod111)40.x x ≡≡ 即这个两位数是一：余同加余，差同减差，和同加和 1：小强家有很多巧克力:。
六年级下册数学试题-培优讲学练考专题：行程问题(二)(含答案)全国通用
行程问题（二）[同步巩固演练]1、（全国小奥赛试题）甲火车4分钟行进的路程等于乙火车5分钟行进的路程。
乙火车上午8：00从B 站开往A 站，开出若干分钟后，甲火车从A 站出发开往B 站。
上午9:00两列火车相遇，相遇的地点离A,B 两站的距离的比是15:16，那么，甲火车从A 站发车的时间是___________点__________分。
2、甲、乙两人同时由A 地出发到B 地，甲骑车每分钟行250米，乙步行每分钟行90米，甲骑车到B 地后立即返回，在离B 地3.2千米处与乙相遇，求A 、B 两地之间的距离。
3、（全国小奥赛试题）小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走。
小张速度是每小时5.4千米，小王速度是每小时4.2千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张与小李相遇，再过5分钟，小李与小王相遇。
那么绕湖一周的行程是_________千米。
4、小王骑自行车从家去县城，原计划每小时行12千米，由于有事晚出发了半小时，要想按时到达，必须比原计划每小时多行4千米，县城距小王家多少千米？5、快慢两列火车相向而行，快车的车长是50米，慢车的车长是80米，快车的速度是慢车速度的3倍，如果坐在慢车上的人见快车从窗口驶过的时间是5秒，那么坐快车的人见慢车从窗口驶过的时间是多少秒？6、（黑龙江哈尔滨第十三届“萌牙杯”数学竞赛）一列火车车头及车身共41节，每节车身及车头长都是30米，节与节间隔1.5米，这列火车以每分钟1千米的速度穿过山洞，恰好用了2分钟。
这个山洞有多长？7、一船逆水而上，船上某人有一件东西掉入水中，当船调回头时已过5分钟。
若船的静水中速度为每分钟50米，问再经过多长时间船才能追上所掉的东西？[能力拓展平台]1、一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时从某一点沿跑道向相反的方向跑，1分钟后相遇；如果二人向同一方向跑，10分钟后相遇，已知甲比乙快，求甲、乙二人的速度。
2、（安徽省小学数学竞赛试题）一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高25%，那么可比原定时间提前24分钟到达；如果以原速行驶80千米后，再将速度提高31，那么可以提前10分钟到达乙地，甲、乙两地相距多少米？3、一条轮船往返于A 、B 两地之间，由A 到B 是顺水航行；由B 到A 是逆水航行，已知船在静水中的速度是每小时20千米，由A 到B 用了6小时，由B 到A 所用时间是由A 到B 所用时间的1.5倍，求水流速度。
六年级下册数学试题-小升初复习培优讲义：正比例与反比例(含答案)全国通用
1、正反比例认识2、灵活求正反比3、复杂分组比较生活中的正反比例：1、总产量一定，亩产量和播种的面积。
2、制造每个零件的时间一定，总时间和制造的零件总数。
3、乘坐公共汽车的站数和票价。
4、人的身高和体重。
5、路程一定，已经行驶的路程和剩下的路程。
正比例与反比例 --正反比例的概念及应用 授课提纲 情 课 堂激 模块一：正反比例认识如果单独完成某项工作，那么甲需24天，乙需36天，丙需48天。
现在甲先做，乙后做，最后由丙完成。
甲乙工作的天数比为1:2，乙丙工作的天数比为3:5.问：完成这项工作一共用了多少天？【练习1】从A地跑到B地，甲乙丙三人分别需要的时间是3小时、4小时、5小时。
现在三人进行接力赛训练。
甲先从A地开始跑，乙丙两人等在路上，当甲跑到乙的位置后，乙再向前跑；当乙跑到丙的位置后，丙再向前跑，最终跑到B地。
已知甲乙跑步的时间比为3:2，乙丙跑步的时间比为4：5.那么，从甲开始跑直到最后丙跑到B地，一共花了多长时间？例题2：如图，有ABC三个齿轮，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合。
如果A齿轮转动7圈时，B齿轮恰好转动5圈；B齿轮转动7圈时，C齿轮恰好转动10圈。
请问：这三个齿轮的齿数之比是多少？（图片只是示意图，不代表实际齿数。
）有ABCD四个齿轮，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合，C和D相互咬合。
这四个齿轮的齿数之比3:4:5:6.当A、D两个齿轮一共转动50圈时，B、C两个齿轮一共转动多少圈？模块二：灵活求正反比例题3：6枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一起与3枚伍分硬币摞在一起一样高。
用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？【练习3】已知9盒圆珠笔和4盒铅笔的支数一样，25盒钢笔和6盒圆珠笔的支数一样。
而3盒圆珠笔和16盒铅笔的价格相同，5盒钢笔和6盒圆珠笔的价格相同。
那么圆珠笔、铅笔、钢笔的单价比是多少？例题4：已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同。
人教版数学六年级下册专题培优复习12讲含答案 +6套精品试卷 含答案 改好141页
六年级数学期末考试卷命题意图本册教材的主要内容是：位置，分数乘法，分数除法，圆，百分数，统计，数学广角和数学实践活动等。
分数乘法和除法，圆，百分数等是本册教材的重点教学内容。
本册教材的教学目标：1. 理解分数乘、除法的意义，掌握分数乘、除法的计算方法，比较熟练地计算简单的分数乘、除法，会进行简单的分数四则混合运算。
2. 理解倒数的意义，掌握求倒数的方法。
3. 理解比的意义和性质，会求比值和化简比，会解决有关比的简单实际问题。
4. 掌握圆的特征，会用圆规画圆；探索并掌握圆的周长和面积公式，能够正确计算圆的周长和面积。
5. 知道圆是轴对称图形，进一步认识轴对称图形；能运用平移、轴对称和旋转设计简单的图案。
6. 能在方格纸上用数对表示位置，初步体会坐标的思想。
7. 理解百分数的意义，比较熟练地进行有关百分数的计算，能够解决有关百分数的简单实际问题。
8. 认识扇形统计图，能根据需要选择合适的统计图表示数据。
9. 经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。
10. 体会解决问题策略的多样性及运用假设的数学思想方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。
形成发现生活中的数学的意识，初步形成观察、分析及推理的能力。
11. 体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。
12. 养成认真作业、书写整洁的良好习惯。
整张试卷难易度适中。
做到基本题占80％，综合题及能力题共占20%，三种题分布在各种题型中。
试卷既考察学生对基础知识的掌握情况，又考察学生探索问题、分析问题、解决问题的能力，还注意考察学生动手操作能力。
知识的覆盖面广、基本涵盖了整册数学知识，重点侧重于分数（百分数）乘除法的计算和解决问题的综合应用。
试卷注重培养学生认真审题的能力，考查学生学习习惯。
小学数学总复习归类讲解及训练（一）主要内容求一个数比另一个数多（少）百分之几、纳税问题学习目标1、使学生在现实情境中，理解并掌握“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的基本思考方法，并能正确解决相关的实际问题。
六年级下册数学试题-培优讲学练考专题：钟面问题(含答案)全国通用
钟面问题[同类问题拷贝]1、（全国小奥赛试题）如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针在旋转1990圈之后是____________点钟。
2、有一只钟，每小时比标准时间慢1分，中午12点调准，下午慢钟指到6点时，标准时间是下午__________时_____________分。
3、（成都外国语学校招生试题）钟面上6时45分，时针和分针所成的最小角度是______________度。
4、现在是11点整，再过_________________分钟，时针和分针第一次垂直。
5、（北京市第一届小学生迎新春数学竞赛初赛试题）有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，钟敲6下，5秒钟敲完，钟敲12下______________秒钟可敲完。
1、在0时到12时之间，钟面上的时针与分针成600角共有______________次。
7、（全国小奥赛试题）有一钟表，每小时慢2分钟，早晨8点时，把钟表对准了标准时间，当中午钟表走到12点整的时候，标准时间为_________________。
8、一个特殊的时钟，这只钟每昼夜只有10小时，每小时100分钟，当这只时钟显示5点钟时，实际上是标准时间中午12点；当这只钟显示6点75分时，实际上是下午_____________点______________分。
[能力拓展平台]1、（第一届希望杯全国数学邀请赛试题）现在4点5分，再过多少分钟，分针和时针每一次重合？2、观察在镜面反射后的钟面的指针位置，并说出：（1）两钟面所表示的实际时刻；（2）两钟面的时间差。
3、（上海市第五届小学数学六年级初赛试题）7点多少分的时候，分针落后于时针1000？4、钟楼上的一只大钟的秒针长1米，这根秒针的尖端一昼夜要走多少米？（π=3.14）5、（第一届华杯赛初赛试题）科学家进行一项实验，每隔五小时做一次记录，做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指向9，向做第一次记录时，时针指向几？[全讲综合训练]1、现在是中午12时，再过（）分，分针与时针第一次重合。
六年级数学专题讲义余数问题
余数问题同余：如果两个整数a 、b 除以同一个自然数m 所得的余数相同，那么就说a 、b 对于m 是同余的，记作a≡b (mod m)。
其性质如下：1、a≡a (mod m)。
(反身性)2、若a≡b (mod m)，则b≡a (mod m)。
(对称性)3、若a≡b (mod m)，b≡c (mod m),则a≡c (mod m)。
(传递性)4、若a≡b (mod m)，c≡d (mod m),则a±c≡b±d (mod m), ac≡bd (mod m).(可加减性与可积性)5、若a≡b (mod m)，n 是自然数，则n n a b (mod m) 。
6、如果a,b 除以c 同余，那么a 与b 的差能被c 整除。
反之，如果两个整数之差被m 整除，那么这两个整数被m 除一定同余。
7、a 与b 的和除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之和(或这个和除以c 的余数)。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23＋16)除以5的余数等于3＋1=4.注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23＋19)除以5的余数等于(3＋4)除以5的余数2.8、a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之积(或这个积除以c 的余数)。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3.注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数2.〖经典例题〗例1、求127×321×1994被7除的余数。
【分析】127≡1(mod 7)，321≡6(mod 7)，1994≡6(mod 7)，127×321×1994≡1×6×6(mod 7)≡1(mod 7)。
六年级下册数学试题-培优讲学练考专题：行程问题(二)(含答案)全国通用
行程问题（二）[同步巩固演练]1、（全国小奥赛试题）甲火车4分钟行进的路程等于乙火车5分钟行进的路程。
乙火车上午8：00从B 站开往A 站，开出若干分钟后，甲火车从A 站出发开往B 站。
上午9:00两列火车相遇，相遇的地点离A,B 两站的距离的比是15:16，那么，甲火车从A 站发车的时间是___________点__________分。
2、甲、乙两人同时由A 地出发到B 地，甲骑车每分钟行250米，乙步行每分钟行90米，甲骑车到B 地后立即返回，在离B 地3.2千米处与乙相遇，求A 、B 两地之间的距离。
3、（全国小奥赛试题）小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走。
小张速度是每小时5.4千米，小王速度是每小时4.2千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张与小李相遇，再过5分钟，小李与小王相遇。
那么绕湖一周的行程是_________千米。
4、小王骑自行车从家去县城，原计划每小时行12千米，由于有事晚出发了半小时，要想按时到达，必须比原计划每小时多行4千米，县城距小王家多少千米？5、快慢两列火车相向而行，快车的车长是50米，慢车的车长是80米，快车的速度是慢车速度的3倍，如果坐在慢车上的人见快车从窗口驶过的时间是5秒，那么坐快车的人见慢车从窗口驶过的时间是多少秒？6、（黑龙江哈尔滨第十三届“萌牙杯”数学竞赛）一列火车车头及车身共41节，每节车身及车头长都是30米，节与节间隔1.5米，这列火车以每分钟1千米的速度穿过山洞，恰好用了2分钟。
这个山洞有多长？7、一船逆水而上，船上某人有一件东西掉入水中，当船调回头时已过5分钟。
若船的静水中速度为每分钟50米，问再经过多长时间船才能追上所掉的东西？[能力拓展平台]1、一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时从某一点沿跑道向相反的方向跑，1分钟后相遇；如果二人向同一方向跑，10分钟后相遇，已知甲比乙快，求甲、乙二人的速度。
2、（安徽省小学数学竞赛试题）一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高25%，那么可比原定时间提前24分钟到达；如果以原速行驶80千米后，再将速度提高31，那么可以提前10分钟到达乙地，甲、乙两地相距多少米？3、一条轮船往返于A 、B 两地之间，由A 到B 是顺水航行；由B 到A 是逆水航行，已知船在静水中的速度是每小时20千米，由A 到B 用了6小时，由B 到A 所用时间是由A 到B 所用时间的1.5倍，求水流速度。