浅谈数学中的和谐美
生活中的琐碎事——浅谈数学中的“美”
2013-11方法交流数学中的美是客观世界的特征在数学上的反映，具体表现在以下几个方面。
一、辩证关系在平面内，直与曲是两种不同的形象，从几何角度说，前者曲率为零，后者曲率非零；从代数角度说，前者是线性方程，后者是非线性方程，因为直与曲有明显的区别。
二、量变引起质变数学中人们常常通过有限来认识无限。
例如，自然数集可以和它的真子集（正偶数集、平方数集等等）建立一一对应关系，有限与无限之间并非存在不可逾越的鸿沟。
相反，可以相互转化。
例如，（1）0.9=1（因为0.3×3=13×3）。
（2）数学中的悖论：①阿溪里（希腊神话中的神行太保）追龟：跑得最慢的东西不能被跑得最快的东西赶上，因为追赶者首先必须到达被追赶者出发之点，因而行动较慢，被追者总是在前头。
②伽利略悖论（亚里士多德问题）：假定图中的大圆沿直线从A到B滚动一周，则线段AB等于大圆的周长，而固定在大圆上的小圆也滚动了一周。
因此CD等于小圆的周长，由此可以得出两个圆的周长相等。
（因为我们可以建立两集之间一一对应的关系）。
三、名称美亲和数：是指有这样的两个数，一个数是另一个数的真因子的和，反之亦然。
例如，284（1，2，4，71，142）和220（1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110），17926和18416，1184和1210。
四、趣味美（乌龟背壳问题）据传，在洛水出现一只神龟，乌龟的身上发现一片图文，这片图文呈3×3的9个小方格组成，方格内由1~9的数字组成，每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等。
由此推出：若对于任一个等差数列中的连续9项填在相应位置，同样会发现每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等。
如右图所示。
总之，美无处不在，我们数学中也珍藏着这种美，及时发现它，善于利用它，这将可以提高我们的数学思想和解题能力。
（作者单位江苏省淮安市涟水县第一中学）•编辑韩晓生活中的琐碎事———浅谈数学中的“美”文/严震摘要：数学中不只有0，1，2，3，…，9这10个数字和点、线、面、体等，看似枯燥无味，其实数学中也有美。
浅谈数学中的美
， ，
设． （ ， ） ）它是关于 Ｐ的一次 函数． ， 一ｇ
当 Ｉ ≤ ２即 一 ２ ＰＩ ≤ ≤ ２时 ， 数 图 象 是 一 条 直 函
１
分的面积 ｓ 其 中曲线为 ． ｏ ， Ｅ［ ，］ ， ） ｓ ｘ ０ ． ， 一ｃ
解析 ： 图中阴影部分是一个无初等求积公式 的图 形， 直接求积不容易 ， 注意 到余 弦 函数 图象是一个 但 对称图形 ， 若将其补全成一 个长为 ２ 宽为 ２的矩 形 ， ，
作函数 ． 。 一． ）ｙ ） ， ． 厂 ＇一÷ （ ）在同一个 自 一 ） （ ，ＥＲ 之下的函数值 ， （ 、 （ ＋１之 ， ）寺 ）
间大小关 系， 三 点 Ａ（ ） Ｂ（ ，（ ） Ｃ（ 而 ， ， ， ） ， ｘ，
÷（。 ）在同一垂直于 轴的直线上， ＋１） 因此要满 足 ≤， ≤÷ （ ＋１ ， （） ）Ｂ点必须是 Ａ Ｃ的内分点
Ｉ √ 或 丁 ￣． ３ ／ ＞ ＜３
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所求 的取值范围是 ＞２ 或 ＜２ ￣ ＋ 一／
【 ２ 已知二 次 函数 ， ） 例 】 ’ 的图象过点 （ １ （ 一 ，
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ｆ 一 １ （ ） 。 ２ 一 １ ， ｆ 一４ ＋ １ ０ （ ） 一２ ＋ 一 ｘ ＞０ ｘ ＞ ，
浅谈数学美在教学中的作用
浅谈数学美在教学中的作用著名的哲学家沙利文却这样说过：“优美的公式就如但丁神曲中的诗句，黎曼的几何与钢琴合奏曲一样优美。
”而作为当今时代中的一名数学教师更应该清楚并运用数学中的数学美，把它渗透在日常的教学过程之中，让学生置身于数学教学情境之中，发展思维，提高能力。
我们知道，数学具有简单美、和谐美、奇异美等特征。
但数学美却蕴藏于它所特有的抽象符号、严格语言，演译体系中。
没有音乐中的抒情旋律、没有美术中鲜艳的画面、没有文学中动人的诗歌。
因而缺乏数学素养的人往往感到它枯燥单调，神秘莫测，难以唤起审美情趣。
数学美在教学中的作用简述如下：（一）揭示数学美，提高学生钻研数学的主动性数学学习虽然在创造性欲望的满足上无法与数学发现相比，但同样可以享受到“再发现”和“再创造”的喜悦。
一个概念的透彻理解，一个定理的巧妙证明，一个公式的正确使用，一个方法的恰到好处的运用，特别是一道难题经过冥思苦想后的突然悟出，真似“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”。
在圆的计算的教学中，为了加强学生对圆面积推导过程的理解和应用，我应用了数学中的简单美特征，发给学生材料，先由学生按照印好的线剪拼，推导计算公式，然后小组讨论能否拼成其他图形。
学生在相互讨论中剪拼成了三角形、梯形，在我的指导下也推导出了圆的面积计算公式。
在这过程中，他们兴趣盎然，眼中闪耀着成功的喜悦。
（二）启迪思维活动开发智力，提高能力的核心是发展思维。
在数学学习中，一个数学题的解法是否合理，除了有实践标准和逻辑标准之外，还有美学标准。
例如应用题的解法常有多种，我们也提倡解决问题的方法多样化，那么在这多种解法中如何判断其优劣呢?其最主要也是最基本的标准--是否简捷。
如：”一条路长1200米，某工程队前3天修了全长的1／5，照这样计算，修完这条路还需几天?”解法一：(1200-1200x1／5)÷(1200x1／5+3)=12(天)解法二：1200+(1200x1／5+3)一3=12(天)解法三：[(1-1／5)÷1／5]x3=12(天)解法四：3÷1／5-3=12(天)后两种解法运算量小，道理也很清楚，特别是第四种解法．利用天数与与工作量的关系，一下子算出总天数，再减去已用的3天，马上得解，因而也是最清楚、最美的解法。
浅谈数学美在课堂教学中的体现
的品质 ， 在多种解法中选 择 “ 美
・
・ ・
・ ・ ．
的解法”。 如 ：在教学 《 字母表示 数》时 ， 图 ， 一个正方形需要４ 用 如 搭 根 火柴棒 ，按图中方式 ，动手摆一摆 ， 完成下表
的和， 但我们换一 种形式来展现它， 严整ｆ＝—＿—Ｔ—ｒ］ 却在 ｌ ＿ ｒ 的 排列中， 优美 有 匀称的 规律， 此规律，卜 按照 —十—十一 一． －｛
１ 简 洁 美
数学被誉为是 锻炼思维 的体操 ，它对人 们思 维的训练作用在所 有学 科中是独一 无二的 。在讲解题 目的过程 中 ，教师可有意识地通 过展现 “ 活生生”的思维过程 ，让学生赏析到 数学的多种思维方法和思维美 ，并以此来改变
单纯寻求题目 答案， 的 代之为重视 解题思路、 ÷
总结解题模式，从而提高学生解决问题的能力。Ｉ
简洁美是数学 最基本的美 。爱 因斯坦说过 ： “ ，本质 上终究 美 是 简单性。”他还 认为 ，只有 借助数学 ，才 能达到简单性 的美 学准
则。
如下例， 一块边长是ａ 实验地， 需要 米的 因 将其 管 边长增加ｂ 形成四 米， 块实验田， 植不同 上 以种
我 可 把 “ 然 求 ” 图 延 去，Ｉ ｌ ：— ｌ Ｉ 们 以 自 数 和 的 形 展下 ． ：Ｌ ＿ 立
华罗庚所说的 “ 数缺形时少直 观， 形缺数时难 Ｉ 『 ≯
入 徽”。 ｌ—－ ＿ － ＿ ＿
正方 形个 数 １ ３ ４ ５ ２
１Ｏ ０
习 Ｉ
一
我们熟 知的加法 交换律 ，用文字表 达为 ：两 个数相加 ，交换 加 数的位置 ，和不变 。而用数学公式表达 ，则为 ：ａｂ ｂａ ＋＝＋ 。这 说明什 么 ？这说 明数 学 的简洁 美 。它 具备 简 单的形 式 ，更拥 有深 刻的 内 涵 。数学公式 的简单优 美 ，反映了现实世 界中客观事 物的规律与和
浅谈数学美
龙源期刊网 浅谈数学美作者：朱英珊来源：《读与写·上旬刊》2017年第04期摘要：数学中充满着美的因素，不论是优美的幾何图形，还是简洁美丽的运算公式，都可以给人一种美的享受。
所以在日常教学中，是善于发现数学美，在生活点滴间感受数学之美，会鉴赏数学美。
创造性的运用数学美，体验别样的智慧人生。
关键词：数学美；感受；鉴赏；创造中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2017）04-0110-01古希腊数学家普洛克拉斯所说："哪里有数，那里就有美。
"当今信息化发展如此先进的时代，我们新一代的数学教师可以充分运用现代信息技术手段，让数学课堂内外变成师生体验数学美的摇篮。
在生活点滴间感受数学之美，创造性的运用数学美，让学生们知道数学源于生活，又反过来能使生活更加绚烂多彩。
1.我们要发现数学美我们生活的世界里，无论太空望远镜下的宇宙星空，还是生活中的山川湖泊，花草树木，飞禽走兽，古今建筑，还是显微镜下的微观粒子，处处都能发现数学美的痕迹，有对称之美，简洁之美，和谐之美等等。
1.1形象直观的对称美。
生活中的对称以其天造地设的美感令人叹为观止。
我们在日常教学中，能有效地把生活中的数学美有效地融入课堂中。
如在学习《生活中的轴对称》一节时，学生课前准备的蝴蝶，蜻蜓等昆虫的照片，各种树叶草叶实物，建筑物图片以及剪纸等，从动物到植物，从天然的到人工的，可谓五花八门，丰富多彩才。
把他们在生活中发现的数学美之对称美在课堂上展示得淋漓尽致。
只有让孩子们真正体验生活，数学之美才能实现其色彩。
所以我认为数学教学应在师生和数学之间架起一座桥梁，使数学中美的因素得以体现。
把数学美有效渗透到各个教学环节中。
才能有效调动所有学生的积极性，激发他们的学习热情。
1.2一目了然的简洁之美。
数学语言有的很抽象，学生并不太容易理解，在中小学中有很大一部分靠重复多练来加强记忆或理解的。
所以人们会总结出简单的表述方式。
浅谈数学中的美 李敬敏
浅谈数学中的美李敬敏发表时间：2013-04-19T09:17:45.403Z 来源：《教师教育研究（教学版）》2013年3月供稿作者：李敬敏[导读] 严密。
数学逻辑的严密性，既是数学的特点，又是数学所追求的目的。
河北省安平县教师进修学校李敬敏当下学生学习数学的信心和兴趣在减弱，我想与我们的数学教师对现成的教案迷信、对教材的迷信、对程式化教学模式的迷信、对高分片面的追求从而造成数学课死气沉沉、缺乏活力不无关系。
其实数学教育既是向学生传授数学知识的过程，又是一个情感的双向交流过程。
而获得美的感受是这个互动过程的动力源泉。
一、数学语言的美对数学语言存在 “严密”、“准确”、 “情感”、 “风趣”四方面的美，要把握及应用得当，可增强教学语言的穿透力，还可强化要传授的数学知识，教育者要提高水平必须设法使它们和谐统一。
1，严密。
数学逻辑的严密性，既是数学的特点，又是数学所追求的目的。
恩格斯说：“数学以确定的完全现实的材料作为自己的对象，不过它考察一对象时完全弃其具体内容和本质的特点。
”尽管数学概念本身以及它的结论、方法都是反映现实世界的，但它仍是在纯粹形式下进行研究的。
因此，数学的教学语言力求做到“严谨简约”，也就是说在教学中语言不可模棱两可，重要语句不冗长，要抓住重点，简洁概括，有的放矢。
严密的逻辑结构是数学美的一个表现。
2，准确。
数学教师对定义、定理、公理的叙述要准确，不应该使学生产生疑问和误解，因此，作为教师要做到如下两条：一是对概念的实质和术语的含义首先必须有个透彻的了解。
例如，“对应角相等”与“角对应相等”，“切线”与“切线长”是完全不同的两个概念；又如“平分弦的直径垂直于弦”，“所有的质数都是奇数”，这类语言就缺乏准确性。
二是必须用科学的数学术语来授课，不能用自己生造的土话或方言来表达概念、性质、定理等。
比如，把“线段的中点”讲成“在线段中间的点”就不准确。
初中学生模仿能力强，教师的语言对学生来说是一个样板，他们对学生语言习惯和能力的影响是潜移默化的，如果教师的语言不够准确规范，会使学生对数学知识产生模糊的理解。
数学的美
浅谈数学的美古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯说：“哪里有数，哪里就有美。
”我国著名数学家徐利治指出：“‘数学美’的含义是丰富的。
”下面就让我们在教学实践中去感觉数学的美，体验数学美的特性与奇妙。
一、数学美的几种体现1.数学的结构美它是一种内在的美，来自各部分的和谐秩序，给人以美的感受。
比如杨辉三角：11? 11? 2? 11? 3? 3? 1……构成的正三角形，从第三行起每个数都是它肩头上两个数之和（除每行首未两数外），每行正好是相应的二项系数按序的排列，每一斜列正好构成一个阶数为该斜列序数少1的高阶等差数列第n行各数之和等于2n-1，这是一个有很强内在规律的数学结构。
2.数学的方法美所谓方法美是指数学证明方法与思维方法在解决问题时体现出来的美妙以及使人感到愉快的美感并激发兴趣。
如古希腊数学家帕普斯很小从师于丢番图学习数学，一天他向老师请教一个问题：有四个数，把其中每三个数相加，其和为22、24、27、20，求这四个数。
这个问题看似简单，但具体做起来却有一定的复杂性。
看看丢番图是如何解题的：他没有分别设四个未知数而是只设四个数之和为x，那么四个数就分别为x-22、x-24、x-27和x-20，于是有方程x=（x-22）+（x-24）+（x-27）+（x-20），解得x=31，从而得到四个数分别为9、7、4、11。
3.数学的内在美“从科学深处看起来不同的事物在本质上具有一致性；看起来无关的事物间却有深刻的联系；极其复杂的运算，其结果却为一最简单、最原始的数等等。
”例如：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线，看起来是各不相同的曲线，但在极坐标体系下可用简洁、优美的方程ρ=（ep）/（1-e·cosθ）表示，这给人一种多样统一的和谐感。
4.数学的应用美数学的应用美是数学对于外部世界的完善与和谐。
数学知识在科学技术和社会中有着广泛的应用。
如正多边形镶嵌成的地板图案，各种几何体造型的建筑物，如制造导弹以及飞船等。
浅谈数学知识中的美学意蕴
例。 比如哥德 巴赫猜想 ， 在一定意义上其产生 的根源可以追 分割法” 是等速对称搜索的手法 ， 它易实现且效果好 。颇具对
溯 为完成一次数学美 的任务 ，甚至可以说大多数 的数 学家对 数学 的研究从根本上讲可 以归结为一种行为—— 对数 学美 的 追求 。 首先 ， 数学在 自然科学 、 工程技术中体现出的美。生活在
感叹： 自然之 书数学写成 。他不仅颇富诗意地欣赏到“ 数学 是
学 在 自然 科 学 中早 已 显示 出 它 的美 ， 已融 人 工 程 、 术 等 自 早 技
上帝用来赞美大 自然的音符 ” 类似的许 多实例都足 以证明数 和谐美 ；内容繁杂的欧几里得几何体 系是建立在它 的 “ 。 公理
一
几何学与微积分学 中常见的一种 ； 无约束优化问题中的“ 黄金 称趣味的还有柯西 中值定理 、 对称方程 、 对称矩阵等。 此外 ， 数 学 中的对偶空间、 对偶命题 、 对偶定理 、 互发定理等 ， 因对称 也 性而延伸出许 多精妙 的内容 。 再来谈谈数学 中的和谐美。 在数学知识 中 ， 各种意义下的
为人 的不 同 、 域 的不 同、 地 民族 的 不 同而 有 所 差异 ， 人 类仍 然 存 在 共 同的 美 感 。 但 关 键词 ： 学知 识 ； 学 数 美 中图分类 号 ：０ 文献标 识码 ： Ｊ１ Ａ 文章编 号 ：０ ５ ５ １ （０ ０１ 一 １ ４ Ｏ １ ０ — ３ ２２ １ ）７ Ｏ ３ 一 １
（９ ３ １Ｏ —— １５ ） ９ ７ 原本是一名 知名的数学 家（ 体说是一 名知 具 名 的代数学家 ） 公认 的计算机核心理论和技术从根本上讲不 。 在硬件而在于软件 ，而软件 的产 生离 不开数学知识 以及数学
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人 们的审美 ． 我们 不只是要 欣赏它 ， 也 要 在 享 受 的 过 程 中发 现 些 什 么 ，来 使 得 数 学发 挥 它 的 价 值 ． 虽 然 数 学 在 其 他 高 端
领域应用极广 ， 但 本 文仅 从 数 学 教 育 角 度 来 讨 论 数 学 和 谐 美
的 应用 ．
新 课 程 改 革 要 求 我 们 要 用 新 的 数 学 观 来 认 识 数 学 和 用 新的数学教育观来指导数学教学 ， 从 而 提 高 学 生 的数 学 素 养 和 促 进 数 学 素 质 教 育 的开 展 ， 数 学 教 育 观 的要 求 之 一 是 数 学 教学要和数学的审美结合 。 使 数学 教 学 过 程 既 是 学 生 学 习 数
的一 面 ． 本 文对数学 美的三大原则 ， 即简单性 、 和谐性 、 奇 异
性 中的和谐性来 研究 ， 使人们也 能发现数学 的魅力 ． 将 数 学 的和 谐 美 应 用 于 教 育 领 域 。 受益于人．
一
有酒几斗了． 用倒推法， 不难算出原来壶中有酒÷ 斗． 列算式
６
、
ห้องสมุดไป่ตู้
数 与式 的和 谐 美
如 下 ： ［ （ １ × １ ＋ １ ） × １ ＋ １ ］ × １ ： ｝ （ 斗 ） ．
三、 数 学 和谐 美在 数 学 教 育 中 的 应 用
古 希 腊 学 者 毕 达 哥 拉斯 说 ： “ 美 就是 和谐 ． 整 个 天 体 是 一
种 和谐 ， 宇 宙 的 和谐 是 由数 组 成 的 ， 因而构成 了整个宇 宙 的
述 李 白饮 酒 作 诗 的豪 放 情 景 ： “ 李 白街 上 走 ， 提壶去买酒 ． 遇
店加一倍 ． 见花喝一斗 ． 三 遇店和花 ． 喝光壶 中酒． 试 问壶 中
【 关键词 】 数学 ； 和谐美 ； 教育
几 乎 所 有 的人 都 在 求 知 路 上 遇 到 过 数 学 这 一 学 科 ， 也 有
发 现 数 学 的 和谐 美 其 实 不 单 单 是 因为 社 会 发 展 带 动 了
美． ” 从 这 句 话 我 们 可 以读 出 数 是 数 学 的基 础 ， 也 是 宇 宙 和 谐
美 的基 础 ． 所 以 对 于数 的认 识 是 对 美 的 一种 初 探 ． 数 学 的历 史 可 以 追 溯 到 结 绳 计 数 ． 人 类 从 结 绳 计 数 开 始 创立 的 １ ＋２＝３法 则 在 今 天仍 然 沿 用 ． 而且 会 继 续 沿 用 下 去 ． 数学是历史的 ， 也 是 时代 的 ， 因为我们不仅继承 了 ， 也 将 其 不 断发 展 了． 计 数 的 不断 累加 发展 成 了最 为 简单 的 ，用＋、 一、 × 、 ÷ 连接 的式 子 ． 数 与式 的 完美 结 合描 绘 了世 间 的许 多 事 物． 数 学 中 的任 何 问 题 ， 都可 以由数与式 组合来 反映 ， 达 到
一
原有酒几斗？ ” 说 的 是 李 白壶 中原 有 酒 ， 遇 店 就 将 壶 中的 酒 加
一
倍， 看到花就作诗饮去壶中酒一斗 。 这样 遇见三次店和花 ，
大 部 分 的人 对 于 研 究 数 学 望 而 却 步 ， 但 其 实 数 学 也 有 它美
将 壶 中 的酒 喝 光 了． 了解 了题 意后 ，便 不 难 计 算 出原 来 壶 中
相通之处 、 数 学 和 谐 美在 教 育 中的 应 用 阐述 数 学 的和 谐 美及 应用 ， 进 而 说 明 在 数 学 学 习过 程 中发 现 数 学 的 美 、 感 受数 学
的美， 就 一定 能爱 上 数 学 、 驾驭 数 学．
却 是 李 白诗 性 大 发 的 源 泉 ． 后人有 《 李 白醉 酒 》 的 数 学 诗 来 描
学知识的过程 ， 又 是 对 数 学美 的鉴 赏过 程 ．
数 学 中形 象 性 与 情 感 性 的和 谐 统 一 ， 数 学 美 与 数 学 美 感 的 合
二为一．
数 学 的 和 谐 美 在 数 学 教 育 中 的功 能 ， 主 要 体 现 在 以 下 几
个方面 ：
毕达哥拉斯生活在希腊的黄金时代 ， 他 是 古 希 腊 的数 学
家和哲 学家 ， 这个学派 当时对整数 的关系着 了迷 ， 以 至 于 人
１ ． 数 学 和谐 美 激 发 学 习 兴 趣 ， 提高学生 学习数 学 、 研 究 数 学 的积 极 性 ． ２ ． 引导 学 生 发 现 数 学 的 和 谐 美 ， 激 发 学 生 的 创新 意识 ．
们戏称他们是“ 整数” ， 可见整数与“ 整数 ” 之 间具 有 的数 学 和
●
方 法
●
●
赫
浅谈数学中的和谐美
◎张 秀玉 杨 月婷 （ 北 华 大 学数 学 与 统 计 学 院 ， 吉 林 吉林 １ ３ ２ ０ ０ ０ ）
【 摘 要 】数 学 的 不 断发 展 取 得 的许 多成 就 和 突 破 ， 在很 多
方 面 造 福 了人 类 ．但 初 学 数 学 和 刚 刚进 入 数 学 研 究 领 域 的 人， 都 曾因 它 懊 恼 过． 本 文从 数 与 式 的和 谐 美 、 数 学与文学的
潴 美 与 形 象 美 深 深 地 吸 引 了他 们 ． 开 头 引 用 的毕 达 哥 拉 斯 的 话， 也 充 分 体 现 了他 对 数 的痴 迷 和 在 数 与 式 中体 会 到 的 和 谐 美的满足感．
下 面 是 哥 德 巴 赫猜 想 ： （ １ ） 每 一 个 偶 数 ｎ≥ ６ ， 均 可 以 找 到 两 个 奇 素数 Ｐ ， Ｐ ， 使
不 知道 会 擦 出什 么 样 的 火 花 呢 ！
例 如 很 多 古 诗 中就 不 仅 体 现 了 文 学 气 质 ， 也 包 含 了 数 学 美． 李 白 自称 为 酒 中之 仙 ． “ 李 白斗 酒 诗 万 篇 ” ， “ 诗” 与“ 酒” 都
与李 白 结 下 了 不解 之 缘 ． 诗 成 了李 白生 活 中 的 一 部 分 ，而 酒