圆锥摆专题课外讨论篇
第六章专题圆锥摆及其临界问题课件高一下学期物理人教版(1)
(3)小球m在轻杆牵引作用下，若小球在竖直平面内不能做完整的圆周运动，则小球结束圆周运动时受力特点是？
新课导入
学习新知一: 圆锥摆
小试锋芒
1．如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质细线悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，则下列说法正确的是（ ）
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4.5 牛顿运动定律的应用—【新教材】人教版（2019）高中物理必修第一册课件(共19张PPT)
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C
AC
BC
新课导入
学习新知二:圆周运动中的圆锥摆临界问题
A. a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零。
D．由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的芒1,5,112.记得周日收一次改错本
(2)画出小球在最高点时绳上拉力与此时球在最高点速度平方的关系，即 图
(3)小球m在轻绳牵引作用下，若小球在竖直平面内不能做完整的圆周运动，则小球结束圆周运动时受力特点是？
竖直平面内圆周运动杆（不计重力）模型
(1)小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，则小球在最高点的受力特点和相应速度大小？
(2)画出小球在最高点时杆上拉力与此时球在最高点速度平方的关系，即 图
专题：圆锥摆及其临界问题
第六章 圆周运动
学习目标：1、理解分析圆锥摆模型。（重点）2、理解分析圆周运动中的圆锥摆临界问题。（重难点）3、学会应用圆周运动解决生活相似问题，体会科学知识的应用价值。
复习竖直平面内圆周运动绳、杆（不计重力）模型
圆锥摆及其变形
- 1 -“圆 锥 摆”及 其 变 形江苏省木渎高级中学（215101）郁建石细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， 如图[1]所示。
“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。
下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。
一、受力分析如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做 匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指 向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆 周运动的向心力。
若悬线长为l ，小球的质量 为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。
二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝αcos l g。
根据这一表达式，进行如下讨论：①当悬线长度l 一定时，ω∝αcos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角速度ω的增大而增大。
m- 2 -②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α的乘积l cos α相同，则角速度ω就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。
即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。
③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。
当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝lg，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。
即只有当ω＞lg时，悬线才会被拉直，小球在 水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜lg，小球不会在水平面内做圆 锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直 杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动， 如图[2]所示）。
浅探网锥摆问题
当两轻绳均 拉 直 时,两 轻 绳 与 细
杆 间的夹角分别为α=3
0
°和β=
智能呼啦圈轻便 美 观,
深 受 大 众 喜 爱。
1.
智能呼啦 圈 的 腰 带 外 侧 带 有 轨 道,将 带 有 滑
如图 1
0 所 示。 可 视 为 质 点 的
如图 9 所示,
两根轻
绳 AC、BC 同 系 一 质 量 m =
的受力情 况 推 知 向 心 加 速 度 的 大 小,根 据 列
车的向心加速度大小推知 列 车 此 时 做 类 圆 锥
摆运动,
从而可判断列车的受力情况。
三、临界问题
例 2
临界状态是变化的物理量取某种特征值
图7
某同学在乘坐列车的过程中研
究列车的运动情况。他在 车 厢 顶 部 用 细 线 悬
所表现出来的一种特殊 状 态。 当 圆 锥 摆 摆 线
,
好离开水平冰面)
受力情况如图 7 丙所示。
车转弯时的向心加速度 大 小 an =gt
a
nθ。 根
据牛顿第 二 定 律 可 知,车 厢 的 重 力 与 轨 道 的
支持力的合 力 产 生 的 加 速 度 大 小 为 gt
a
nθ,
故列车在 转 弯 时 的 运 动 相 当 于 圆 锥 摆 运 动,
这时列车 的 内、外 轨 道 与 轮 缘 间 均 没 有 侧 向
有 Tc
o
sθ=
答案:
C
mg;在 水 平 方 向 上,向 心
图2
力 Fn 由 重 力 mg 与 拉 力
拉力 T 的水平分力)
提供。
T 的合力(
(
大小关系:
向心力大小 Fn =Ts
圆锥摆模型中双球问题的探讨
圆锥摆模型中双球问题的探讨一、引言在物理学中，圆锥摆模型是研究物体在一根细线或轻杆上的运动的理想模型。
本文将讨论圆锥摆模型中的双球问题，即有两个不同质量的球分别悬挂在一根细线的两端。
我们将探讨该系统的平衡和稳定性，以及不同参数对系统的影响。
二、双球问题的基本原理在双球问题中，我们将考虑两个球分别悬挂在细线的两端。
设球的质量分别为m1和m2，细线的长度为L，倾角为θ1和θ2。
此外，我们设细线和球与竖直方向之间的夹角为α，其大小取决于细线的倾斜程度。
基于牛顿第二定律和受力平衡条件，可以得到双球问题的运动方程：m1gsin(θ1)−T1=m1a1m2gsin(θ2)+T2=m2a2其中，T1和T2分别是细线在球上的张力，g为重力加速度，a1和a2是球相对于竖直方向的加速度。
继续分析双球问题的运动方程可以得到如下关系：m1gsin(θ1)−T1=m1m2(m2gsin(θ2)+T2)三、平衡和稳定性分析为了分析双球系统的平衡和稳定性，我们可以考虑两个极端情况：平衡和震荡。
3.1 平衡状态当双球处于平衡状态时，细线和球保持静止。
在这种情况下，球的倾角θ1和θ2均为零。
根据运动方程可以得到：m1gsin(0)−T1=m1m2(m2gsin(0)+T2)化简后可得：T1=T2也就是说，细线上的张力相等。
这样的平衡状态是稳定的，因为任何扰动都会使球回到平衡位置。
3.2 震荡状态当双球处于震荡状态时，细线和球将不断地摆动。
在这种情况下，球的倾角θ1和θ2会周期性地变化。
根据运动方程可以推导出谐振动的解：θ1(t)=Asin(ωt+ϕ1)θ2(t)=Asin(ωt+ϕ2)其中，A是振幅，ω是角频率，ϕ1和ϕ2是初相位。
四、参数对系统的影响双球摆系统的运动特性受到多个参数的影响，下面我们将分别讨论几个重要的参数。
4.1 初始条件系统的初始条件对双球摆的运动具有重要影响。
初始时刻两球的倾角和角速度将决定系统的运动轨迹和稳定性。
圆锥摆模型
专题：圆锥摆模型（水平面内的圆周运动）教学目标物理观念：通过圆锥摆模型的分析，会在具体问题中分析向心力的来源，会寻找圆心，计算半径，列出方程求解物理量。
科学思维：运用函数思想构建所求物理量的函数关系，并利用函数关系处理物理问题。
科学探究：通过圆锥摆模型的分析，体会物理模型的重要性，并能将相关模型等效成圆锥摆模型。
科学态度与责任：通过圆锥摆模型的分析，培养学生将物理知识应用于生活的意识。
教学重难点：重点：通过圆锥摆模型的分析，会在具体问题中分析向心力的来源，会寻找圆心，计算半径，列出方程求解物理量。
难点：1.运用函数思想构建所求物理量的函数关系，并利用函数关系处理物理问题。
2.通过圆锥摆模型的分析，体会物理模型的重要性，并能将相关模型等效成圆锥摆。
模型。
教学过程：复习导入：向心力的表达式。
新课教学一.圆锥摆模型的受力特点受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
二．圆锥摆的相关规律1.摆球的加速度2.摆球的线速度3.摆球的周期和角速度4.摆线得拉力5．两种圆锥摆分析对甲：由a ＝g tan θ知A 、B 的向心加速度大小相等。
由a ＝ω2r 知ωA <ωB ，由a ＝v 2r 知v A >v B 对乙：由T ＝2πhg 知摆高h 相同，则ωA ＝ωB ，由v ＝ωr 知v A >v B ，由a ＝ω2r知a A >a B 。
三.案例分析例1、如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O 点．设法让两个小球均在各自的水平面上做匀速圆周运动．已知L 1跟竖直方向的夹角为60°，L 2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是（ ）A ．细线L 1和细线L 2所受的拉力大小之比为1：√3B ．小球m 1和m 2的角速度大小之比为1:1C ．小球m 1和m 2的向心力大小之比为3：1D ．小球m 1和m 2的线速度大小之比为3√3：1练习1、A 、B 两质量相同的质点用轻质细线悬挂在同一点O ，在同一水平面上做匀速圆周运动，如图所示，则（ ） A ．A 的加速度一定比B 的加速度小 B ．A 的线速度一定比B 的线速度小 C ．A 的角速度一定等于B 的角速度D ．A 所受细线的拉力一定等于B 所受的细线的拉力例2：如图所示，用一根质量不计、不可伸长的细绳，一端系一可视为质点的小球，另一端固定在O 点。
探究几例圆锥摆的问题
５注意讲评 。要经 常指 出优点 ， ． 以便模仿 ， 指 出缺点 ， 警示避免 。 ６鼓 励优 秀 ， ． 耐心帮 助差生 。充 分利用 板
１ 学过的词 、 用 短语 或句式 ： 仿课文 中的 们的语 言表达尽可能地规范正确。 模
总之 ，学生英语写作能力在老师有计划的 ２ 课文 中的人物 、 换 时态 、 语态或体裁等改 组织 和耐心帮助 、 正确 引导 下 ， 在学生长期积极
限定时间短 ， 由限定字数少到多…… ’
利用 的机 会启发 引 导学生提 高 自己的写作 水 序或逻辑关系等整理成一篇完 整的短文 。
９材料作文 。教 师给出汉语提示让学 生用 ．
四、 注意纠正学 生英语写作 中容易 出现 的
后难 ， 先短后长 ， 先学会运用简单句 、 列句 ， 法不 同之处 ，提示 学生 注意 英语 的正 确表 达 英语表达。 并 后 围绕一个人 、 一件事 、 一个观点去写有 中心 的文 正确运用标 点符 号 的好 习惯 ， 忌一点 到底 的 错 误 切
三＝ ｎｆ ‘
ｍ＝ ． ｇ的小球 ， ０１ ｋ ＡＣ绳 长 Ｌ ２ 两 绳都 拉直时 ＝ ｍ， 与竖直转轴 的央角分别 为 ３ 。 ４ 。 ０和 ５ 。问球 的角
速度在什么范围内两绳始终张紧？ 当角速度分 别 为 ２ａ 、ｒｄｓ４ａ／ 时 ， 下 两绳 中的拉 ｒ￣ｓ３ａ／、ｒｄｓ 上、 力各为多少？
三 、 练 写作 的 常 用 方 法 训
４分程度要求 。 ． 对学 生的要求不能一刀切 ， 随随便 便的习惯 ， 养成严谨推敲 的风气 要 对学习好的要求要 高 ，对学 习差 的要求 要适当 低一些。 避免有些学生轻 而易举垂手可得 ， 要 而
关于圆锥摆的推论及其应用_戎世忠
Ｖｏｌ．３６Ｎｏ．１Ｊａｎ．２０２０物理之友ＦＲＩＥＮＤＳ ＯＦ ＰＨＹＳＩＣＳ第３６卷第１期２０２０年１月关于圆锥摆的推论及其应用戎世忠（江苏省海安高级中学，江苏 海安 ２２６６００）摘 要：圆锥摆是圆周运动中的一个典型模型，通过对圆锥摆运动的研究，得出ω２ ｈ＝ｇ的结论，并举例说明此结论在解题中的应用。
关键词：圆锥摆；推论；应用１ 圆锥摆ω２ ｈ＝ｇ的推导如图１所示，在长为Ｌ的细绳下端拴一个质量为ｍ的小球，绳子上端悬点固定，使小球在水平圆周上以恒定的角速度旋转，细绳所掠过的面为圆锥表面，这就是圆锥摆模型。
图１设圆锥摆做圆周运动时圆心为Ｏ，圆心到悬点的距离为ｈ，当圆锥摆做圆周运动的角速度为ω时，悬线与竖直方向的夹角为θ，小球受重力ｍｇ和绳子拉力ＦＴ作用。
由图１可得沿半径指向圆心方向的合力为Ｆｎ＝ｍｇｔａｎθ，又因为Ｆｎ＝ｍω２ｒ，ｒ为圆锥摆做圆周运动的半径，由几何关系得：ｒ＝ｈｔａｎθ，所以：ｍｇｔａｎθ＝ｍω２ ｈｔａｎθ，整理得：ω２ｈ＝ｇ。
可见，不管圆锥摆以多大的角速度ω做圆周运动，ω２与轨迹圆心到悬点的竖直高度ｈ的乘积保持不变（等于重力加速度ｇ），即ω２ ｈ＝ｇ，该乘积与悬线Ｌ的长短、悬线与竖直方向的夹角θ、摆球质量ｍ无关。
２ 圆锥摆ω２ ｈ＝ｇ推论的应用２．１ 比较两圆锥摆运动的物理量例１：如图２所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（ ）。
Ａ．周期相同Ｂ．线速度的大小相等Ｃ．角速度的大小相等Ｄ．向心加速度的大小相等图２图３解析：因为两球在同一水平面内做匀速圆周运动，所以圆心到悬点的距离ｈ相等，根据ω２ ｈ＝ｇ可得两球运动的角速度ω相等，选项Ｃ正确；根据Ｔ＝２πω，两球运动的周期相等，选项Ａ正确；根据ｖ＝ωｒ和ａ＝ω２ｒ，因两球运动的半径不等，选项Ｂ、Ｄ错误。
讨论：若不用ω２ ｈ＝ｇ结论解题，则先要对小球受力分析，如图３所示，小球受重力ｍｇ、绳子拉力ＦＴ，合力提供向心力，水平指向圆心。
圆锥摆及其变形
“圆 锥 摆”及 其 变 形江苏省木渎高级中学（215101）郁建石细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， 如图[1]所示。
“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。
下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。
一、受力分析如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做 匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指 向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆 周运动的向心力。
若悬线长为l ，小球的质量 为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。
二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝αcos l g。
根据这一表达式，进行如下讨论：①当悬线长度l 一定时，ω∝αcos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角速度ω的增大而增大。
②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α的乘积ml cos α相同，则角速度ω就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。
即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。
③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。
当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝lg，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。
即只有当ω＞lg时，悬线才会被拉直，小球在 水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜lg，小球不会在水平面内做圆 锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直 杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动， 如图[2]所示）。
圆锥摆及其变形
.“圆 锥 摆”及 其 变 形江苏省木渎高级中学（215101）郁建石细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， 如图[1]所示。
“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。
下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。
一、受力分析如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做 匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指 向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆 周运动的向心力。
若悬线长为l ，小球的质量 为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。
二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝αcos l g。
根据这一表达式，进行如下讨论：①当悬线长度l 一定时，ω∝αcos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角速度ω的增大而增大。
m.②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α的乘积l cos α相同，则角速度ω就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。
即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。
③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。
当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝lg，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。
即只有当ω＞lg时，悬线才会被拉直，小球在 水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜lg，小球不会在水平面内做圆 锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直 杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动， 如图[2]所示）。
《6.4 “圆锥摆”专题》教案
●圆锥摆：天花板上有一个悬点，下方通过一根细绳悬挂着小球，小球旋转形成圆平面，
与两边的悬绳（母线）组合，就构成了数学中“圆锥”的形状。
学美术的同学可能会遇到石膏模型，有时候上边是不是还插一个圆柱？高度相同的圆锥摆，角速度相同；线速度与旋转半径成正比。
与“同轴转动模型”类似。
●漏斗摆：由对称性，圆锥摆尖尖朝上，就像金字塔；漏斗摆尖尖朝下，与长颈漏斗、分
液漏斗有点像？漏斗摆是如何运转的呢？用一根刚性的绳连接小球，抓住绳子的下端旋转，小球在上方的平面内做匀速圆周运动就形成了漏斗摆。
●应用：圆锥摆与漏斗摆受力的本质相同。
主要应用于：“超级飞椅”、“花样滑冰”、“火
车转弯”、“飞车走壁”等模型。
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圆锥摆模型分析（课外讨论）
一. 圆锥摆模型
1. 结构特点：一根质量和伸长可以不计的细线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内做匀速圆周运动。
2. 受力特点：只受两个力即竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力。
两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力
，如图1所示。
求绳子的拉力：
由圆锥摆的角速度：ω=
得：。
可变形为2cos l g ωθ=。
知道θ，ω，l 的关系。
讨论：当cos l θ为定值时： 根据向心加速度公式，有，
，
. 式中
为摆球的轨道平面到悬点的距离，即圆锥
摆的高度。
由这些公式可知，高度相同的圆锥摆，即等高圆锥摆的T 、f 和ω相等，与m 、l 和θ无关
当绳长为定值时，
例1. 将一个半径为R的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m的小球贴着碗的内壁在水平内以角速度做匀速圆周运动，如图2所示，求圆周平面距碗底的高度，若角速度增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？
提示：受力分析找关系
当cos 为定值时：（以圆锥沙漏为例）
例2.一个内壁光滑的圆锥筒绕其竖直轴线以角速度做匀速转动，在圆锥筒内壁的A 处有一质量为m的小球与圆锥筒保持相对静止，在水平面内做匀速圆周运动，如图3所示，在圆锥筒的角速度增大时，小球到锥底的高度，回旋半径，向心力分别如何变化？试一试得
出线速度与地面高度的关系？（）
类比等高圆锥摆的形状，画一画等高圆锥沙漏的形状
对于非圆锥摆问题处理方法：先判断是否满足做圆锥摆的条件，再受力分析，求法向方法的合力计算。
一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为，如图4所示，
一条长为L的轻绳，一端固定在锥顶O点，另一端拴一质量为m的小球，小球以速率v绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求：
（1）当时，绳上的拉力多大？
（2）当时，绳上的拉力多大？
的关系( C )
求在光滑的圆锥形上，绳子拉力T与2
一根不可伸长的轻绳一端拴着一个小球，另一端固定在竖直杆上，当竖直杆以角速度ω转动时，小球跟着杆一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角为θ，ω与θ关系是?（D）。