.圆锥摆θ(ω)关系问题的讨论

圆锥摆及其变形

- 1 -“圆锥摆”及其变形江苏省木渎高级中学（215101）郁建石细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”，如图[1]所示。

“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。

下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。

一、受力分析如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆周运动的向心力。

若悬线长为l ，小球的质量为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。

二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝αcos l g。

根据这一表达式，进行如下讨论：①当悬线长度l 一定时，ω∝αcos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角速度ω的增大而增大。

m- 2 -②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α的乘积l cos α相同，则角速度ω就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。

即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。

③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。

当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝lg，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。

即只有当ω＞lg时，悬线才会被拉直，小球在水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜lg，小球不会在水平面内做圆锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动，如图[2]所示）。

关于圆锥摆的推论及其应用_戎世忠

Ｖｏｌ．３６Ｎｏ．１Ｊａｎ．２０２０物理之友ＦＲＩＥＮＤＳ　ＯＦ　ＰＨＹＳＩＣＳ第３６卷第１期２０２０年１月关于圆锥摆的推论及其应用戎世忠（江苏省海安高级中学，江苏　海安　２２６６００）摘　要：圆锥摆是圆周运动中的一个典型模型，通过对圆锥摆运动的研究，得出ω２　ｈ＝ｇ的结论，并举例说明此结论在解题中的应用。

关键词：圆锥摆；推论；应用１　圆锥摆ω２　ｈ＝ｇ的推导如图１所示，在长为Ｌ的细绳下端拴一个质量为ｍ的小球，绳子上端悬点固定，使小球在水平圆周上以恒定的角速度旋转，细绳所掠过的面为圆锥表面，这就是圆锥摆模型。

图１设圆锥摆做圆周运动时圆心为Ｏ，圆心到悬点的距离为ｈ，当圆锥摆做圆周运动的角速度为ω时，悬线与竖直方向的夹角为θ，小球受重力ｍｇ和绳子拉力ＦＴ作用。

由图１可得沿半径指向圆心方向的合力为Ｆｎ＝ｍｇｔａｎθ，又因为Ｆｎ＝ｍω２ｒ，ｒ为圆锥摆做圆周运动的半径，由几何关系得：ｒ＝ｈｔａｎθ，所以：ｍｇｔａｎθ＝ｍω２　ｈｔａｎθ，整理得：ω２ｈ＝ｇ。

可见，不管圆锥摆以多大的角速度ω做圆周运动，ω２与轨迹圆心到悬点的竖直高度ｈ的乘积保持不变（等于重力加速度ｇ），即ω２　ｈ＝ｇ，该乘积与悬线Ｌ的长短、悬线与竖直方向的夹角θ、摆球质量ｍ无关。

２　圆锥摆ω２　ｈ＝ｇ推论的应用２．１　比较两圆锥摆运动的物理量例１：如图２所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（）。

Ａ．周期相同Ｂ．线速度的大小相等Ｃ．角速度的大小相等Ｄ．向心加速度的大小相等图２图３解析：因为两球在同一水平面内做匀速圆周运动，所以圆心到悬点的距离ｈ相等，根据ω２　ｈ＝ｇ可得两球运动的角速度ω相等，选项Ｃ正确；根据Ｔ＝２πω，两球运动的周期相等，选项Ａ正确；根据ｖ＝ωｒ和ａ＝ω２ｒ，因两球运动的半径不等，选项Ｂ、Ｄ错误。

讨论：若不用ω２　ｈ＝ｇ结论解题，则先要对小球受力分析，如图３所示，小球受重力ｍｇ、绳子拉力ＦＴ，合力提供向心力，水平指向圆心。

圆锥摆及其变形

“圆锥摆”及其变形江苏省木渎高级中学（215101）郁建石细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”，如图[1]所示。

“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。

下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。

一、受力分析如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆周运动的向心力。

若悬线长为l ，小球的质量为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。

二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝αcos l g。

根据这一表达式，进行如下讨论：①当悬线长度l 一定时，ω∝αcos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角速度ω的增大而增大。

②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α的乘积ml cos α相同，则角速度ω就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。

即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。

③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。

当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝lg，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。

即只有当ω＞lg时，悬线才会被拉直，小球在水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜lg，小球不会在水平面内做圆锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动，如图[2]所示）。

圆锥摆及其变形

.“圆锥摆”及其变形江苏省木渎高级中学（215101）郁建石细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”，如图[1]所示。

“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。

下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。

一、受力分析如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆周运动的向心力。

若悬线长为l ，小球的质量为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。

二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝αcos l g。

根据这一表达式，进行如下讨论：①当悬线长度l 一定时，ω∝αcos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角速度ω的增大而增大。

m.②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α的乘积l cos α相同，则角速度ω就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。

即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。

③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。

当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝lg，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。

即只有当ω＞lg时，悬线才会被拉直，小球在水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜lg，小球不会在水平面内做圆锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动，如图[2]所示）。

圆锥摆及其变形

“圆锥摆”及其变形江苏省木渎高级中学（215101）郁建石细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”，如图[1]所示。

“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。

下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。

一、受力分析如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做m匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆周运动的向心力。

若悬线长为l ，小球的质量为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。

二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝αcos l g。

根据这一表达式，进行如下讨论：①当悬线长度l 一定时，ω∝αcos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角速度ω的增大而增大。

- 1 -②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α的乘积l cos α相同，则角速度ω就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。

即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。

③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。

当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝lg，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。

即只有当ω＞lg时，悬线才会被拉直，小球在 lg，小球不会在水平面内做圆水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜- 2 -锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直 ω杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动，图[2]如图[2]所示）。

开“芯”技法——巧用两类圆锥摆的结论

开“芯”技法——巧用两类圆锥摆的结论湖北王义龙分析计算圆周运动相关问题时，常会遇到由重力和弹力(可以是支持力，也可以是绳子的拉力)的合力提供向心力，且在水平面上做匀速圆周运动的一类问题——圆锥摆运动问题，掌握圆锥摆运动特征可以快速解决这一类圆周运动问题。

下面将两种最常见的圆锥摆运动剖析如下。

类型一、高度相同的圆锥摆具有相同的周期例1 如图1所示，质量分别为m 、M 的A 、B 两小球用细线悬挂于同一点，它们在同一水平面上做圆周运动，细线与竖直方向的夹角分别为θ、β，两细线的长度分别为l 、L 。

解析由图可知，由于A 、B 两球在同一水平面上做匀速圆周运动，根据两小球的受力情况可知，提供它们做圆周运动的向心力分别为：F n A ＝mg tan θ，F n B ＝Mg tan β 由牛顿第二定律F a m=可得两小球的向心力加速度分别为：a n A ＝g tan θ，a n B ＝g tan β 由圆周运动规律2224πr a r T ω==可得：2T = 由题图可知：r A ＝h tan θ，r B ＝h tan β；解得：2A B T T == 结论高度相同的圆锥摆具有相同的运动周期，且运动物体的周期只与圆锥摆的高度的二次方根成正比，而与其质量及悬线的长度无关。

类型二、锥度角相同的圆锥摆具有相同的加速度例2 如图2所示，质量分别为m 、M 的A 、B 两小球用细线悬挂于同一点，它们在不同的水平面上做匀速圆周运动，两细线与竖直方向的夹角均为θ，且它们的长度分别为l 、L 。

解析由图可知，由于A 、B 两小球做匀速圆周运动过程中，悬线与竖直方向的夹角相同，它们做圆周运动的向心力分别为：F n A ＝mg tan θ，F n B ＝Mg tan θ 由牛顿第二定律F a m=可得两小球的向心加速度分别为： a n A ＝a n B ＝g tan θ。

图1 图2结论相同锥度角的圆锥摆具有相同的加速度，且运动物体的向心加速度只与圆锥摆的锥度角的正切值成正比，与其质量与悬线的长度无关。

圆锥摆问题剖析

圆锥摆问题剖析请思考下面问题：1.什么是圆锥摆？2.圆锥摆运动中的小球受哪些力？合力等于什么？3.圆锥摆运动中的各物理量由什么来决定？请思考后看下面的视频分析：知道了圆锥摆的规律之后，我们来看几个例题：例1.如图所示，一根不可伸长的轻绳一端拴着一个小球，另一端固定在竖直杆上，当竖直杆以角速度ω转动时，小球跟着杆一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻力，下列关于ω与θ关系的图象正确的是2.如图所示，内壁光滑的半球形碗固定不动，其轴线垂直于水平面，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在如图所示的水平面内做匀速圆周运动，则A．球A的线速度等于球B的线速度B．球A的角速度大于球B的角速度C．球A的向心加速度小于球B的向心加速度D．球A对碗壁的压力等于球B对碗壁的压力3.如图甲所示，一根细线上端固定在S点，下端连一小铁球A，让小铁球在水平面内做匀速圆周运动，此装置构成一圆锥摆（不计空气阻力），下列说法中正确的是A．小球做匀速圆周运动时的角速度一定大于√(g/l)（l为摆长）B．小球做匀速圆周运动，受到重力、细线的拉力和向心力作用C．另有一个圆锥摆，摆长更小一点，两者悬点相同。

如图乙所示，如改变两小球的角速度，使两者恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，则B球的角速度等于A球的角速度D．如果两个小球的质量相等，则在图乙中两根细线受到的拉力相等4.如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔（小孔光滑）的固定水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动，现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图中P’位置），两次金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下面的判断正确的是A．细线所受的拉力变小B．小球P运动的角速度变小C．Q受到桌面的支持力变大D．Q受到桌面的静摩擦力变大请看下面的视频讲解：（视频中有一处口误，1题答案应为D，说成了C）答案：1.D2.B3.AC4.D。

圆锥摆的运动规律分析与控制研究

圆锥摆的运动规律分析与控制研究一、圆锥摆的定义及形式圆锥摆是一种物理学实验装置，在现代力学课程中被大量使用。

它的形式通常是一个金属球（质点）在细绳上上下摆荡，而这根细绳一端固定在支架上，另一端固定在球上，于是球就形成了一个圆锥形的摆。

除了这种形式之外，圆锥摆还有一种形式是由一根杆子托起两个球构成的。

二、圆锥摆的运动规律圆锥摆的运动规律可以通过解析、实验或模拟获得。

接下来将通过解析的方法来解释这个过程。

（1）受力分析圆锥摆受到的力有两个：重力和张力。

重力的大小为球的重量，方向竖直向下。

张力是细绳对球的拉力，这个拉力的符号总是指向球的运动中心。

（2）坐标系选择我们选择一个合适的坐标系，将圆锥摆视为一维运动，且球沿着细绳方向运动。

我们选择的坐标系的方向为水平向右为正方向，竖直向上为正方向。

（3）二阶微分方程的制定利用牛顿第二定律：F = ma，将上述两种力带入，可以得到如下的二阶微分方程：m d^2L/dt^2 = -mg sinθ + TcosθL为球的位置，θ为摆线与水平方向的夹角，m为球的质量，g为重力加速度，T为细绳的张力。

(4) 解二阶微分方程解得：L = L0 + A*cosωt + B*sinωtω = sqrt( g/L ), L0为初始位置。

这个方程告诉我们，圆锥摆是一种简谐振动，其频率只与初始长度L0有关，和振幅的大小无关。

三、圆锥摆的控制研究圆锥摆的控制研究主要是针对两个问题：1. 如何控制摆的振动频率；2. 如何控制摆的晃动范围。

（1）如何控制振动频率为了改变摆的振动频率，可以改变圆锥摆的长度。

在理论上，改变细绳的长度可以改变圆锥摆的长度，但在实践中，这种方法并不现实。

实际上，可以通过改变摆球的重量、长度或材料来控制其振动频率。

改变摆球的质量或长度可以直接影响圆锥摆的振动频率，而改变摆球的材料同样可以改变其振动频率。

例如，金属球比塑料球容易受到空气阻力和摩擦力的影响，因此，使用金属球可以制造更稳定的圆锥摆。

圆锥摆运动的公式及推导

圆锥摆运动的公式及推导我的老家在乌鲁木齐市高新区乌拉泊街道，我是一名高中学生，这个暑假回到了家乡，跟随父亲来到了乌鲁木齐铁路局医院进行了参观和采访。

我发现一个奇怪的问题：为什么这里面很多人都会选择学习中医？这个问题成为了我当天在医院实践报告的主题。

经过了解后才知道，原来他们都是家里的长辈通过考试进入医院工作的。

而我家也是类似，父亲也是从小在这里长大的，最后通过自己的努力学习来到了这里工作，因此我便开始留心起医院里的学习方法，同时也深刻地了解到每位中医师背后的努力，决心也要像他们一样，去为人们解除病痛。

公式一：公式二：公式三：由于圆锥摆所需的时间与摆角大小无关，只与摆长及重力加速度有关，因此可利用如下公式推导出结果： V=l/sinα/2mv这样就可以根据V=4π/m和V=l/sinα/2m计算出圆锥摆摆长、重力加速度、角速度、半径等的数值，通过计算可得出圆锥摆的周期公式为： l/sin α=l/2π2.5（约8分钟）计算公式不同，所得到的结果也会相差甚远。

以下为几个简单的例子：当角速度一定时，重力加速度越大，摆长也会越短，周期也会更小；反之，重力加速度越小，摆长也会越长，周期也会越大。

计算公式的正确运用对物理的学习至关重要。

圆锥摆的公式虽然非常复杂，但只要在日常生活中能够充分利用公式推导，那么圆锥摆的计算将变得十分简单，并且圆锥摆的周期也可以轻松的计算出来。

“现在，老师让你们把刚才的推导重新整理一遍，明白吗？”物理老师拿着两张草稿纸走进教室，只见上面密密麻麻写满了公式，我们纷纷低头看向手中的草稿纸，目光中带着些许疑惑。

“同学们，其实公式很好记，尤其是前面提到的l/sinα=l/2π2.5，这是圆锥摆的公式，要把这个公式牢牢的记住，知道什么情况下这个公式成立，它代表了什么意义……还有在平时的学习和生活中，只要能想到，就必须写下来！”物理老师语重心长地说道。

我点了点头，想象着那满满一黑板的推导公式，内心涌起一股暖流。

圆锥摆专题课外讨论篇

圆锥摆模型分析（课外讨论）一. 圆锥摆模型1. 结构特点：一根质量和伸长可以不计的细线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内做匀速圆周运动。

2. 受力特点：只受两个力即竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力。

两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图1所示。

求绳子的拉力：由圆锥摆的角速度：ω=得：。

可变形为2cos l g ωθ=。

知道θ，ω，l 的关系。

讨论：当cos l θ为定值时：根据向心加速度公式，有，，. 式中为摆球的轨道平面到悬点的距离，即圆锥摆的高度。

由这些公式可知，高度相同的圆锥摆，即等高圆锥摆的T 、f 和ω相等，与m 、l 和θ无关当绳长为定值时，例1. 将一个半径为R的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m的小球贴着碗的内壁在水平内以角速度做匀速圆周运动，如图2所示，求圆周平面距碗底的高度，若角速度增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？提示：受力分析找关系当cos 为定值时：（以圆锥沙漏为例）例2.一个内壁光滑的圆锥筒绕其竖直轴线以角速度做匀速转动，在圆锥筒内壁的A 处有一质量为m的小球与圆锥筒保持相对静止，在水平面内做匀速圆周运动，如图3所示，在圆锥筒的角速度增大时，小球到锥底的高度，回旋半径，向心力分别如何变化？试一试得出线速度与地面高度的关系？（）类比等高圆锥摆的形状，画一画等高圆锥沙漏的形状对于非圆锥摆问题处理方法：先判断是否满足做圆锥摆的条件，再受力分析，求法向方法的合力计算。

一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为，如图4所示，一条长为L的轻绳，一端固定在锥顶O点，另一端拴一质量为m的小球，小球以速率v绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求：（1）当时，绳上的拉力多大？（2）当时，绳上的拉力多大？的关系( C )求在光滑的圆锥形上，绳子拉力T与2一根不可伸长的轻绳一端拴着一个小球，另一端固定在竖直杆上，当竖直杆以角速度ω转动时，小球跟着杆一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角为θ，ω与θ关系是?（D）。