圆锥摆模型全透视
圆锥摆模型
专题：圆锥摆模型（水平面内的圆周运动）教学目标物理观念：通过圆锥摆模型的分析，会在具体问题中分析向心力的来源，会寻找圆心，计算半径，列出方程求解物理量。
科学思维：运用函数思想构建所求物理量的函数关系，并利用函数关系处理物理问题。
科学探究：通过圆锥摆模型的分析，体会物理模型的重要性，并能将相关模型等效成圆锥摆模型。
科学态度与责任：通过圆锥摆模型的分析，培养学生将物理知识应用于生活的意识。
教学重难点：重点：通过圆锥摆模型的分析，会在具体问题中分析向心力的来源，会寻找圆心，计算半径，列出方程求解物理量。
难点：1.运用函数思想构建所求物理量的函数关系，并利用函数关系处理物理问题。
2.通过圆锥摆模型的分析，体会物理模型的重要性，并能将相关模型等效成圆锥摆。
模型。
教学过程：复习导入：向心力的表达式。
新课教学一.圆锥摆模型的受力特点受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
二．圆锥摆的相关规律1.摆球的加速度2.摆球的线速度3.摆球的周期和角速度4.摆线得拉力5．两种圆锥摆分析对甲：由a ＝g tan θ知A 、B 的向心加速度大小相等。
由a ＝ω2r 知ωA <ωB ，由a ＝v 2r 知v A >v B 对乙：由T ＝2πhg 知摆高h 相同，则ωA ＝ωB ，由v ＝ωr 知v A >v B ，由a ＝ω2r知a A >a B 。
三.案例分析例1、如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O 点．设法让两个小球均在各自的水平面上做匀速圆周运动．已知L 1跟竖直方向的夹角为60°，L 2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是（ ）A ．细线L 1和细线L 2所受的拉力大小之比为1：√3B ．小球m 1和m 2的角速度大小之比为1:1C ．小球m 1和m 2的向心力大小之比为3：1D ．小球m 1和m 2的线速度大小之比为3√3：1练习1、A 、B 两质量相同的质点用轻质细线悬挂在同一点O ，在同一水平面上做匀速圆周运动，如图所示，则（ ） A ．A 的加速度一定比B 的加速度小 B ．A 的线速度一定比B 的线速度小 C ．A 的角速度一定等于B 的角速度D ．A 所受细线的拉力一定等于B 所受的细线的拉力例2：如图所示，用一根质量不计、不可伸长的细绳，一端系一可视为质点的小球，另一端固定在O 点。
最新圆锥摆模型全透视
圆锥摆模型全透视一、圆锥摆模型：1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。
2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。
两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。
二、常规讨论：1． 向心力和向心加速度：设摆球的质量为m ，摆线长为l ，与竖直方向的夹角为θ，摆球的线速度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。
nn ma F =，θπθπθωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f m l T m l m l v m mg ====，θπθπθωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f l Tl l v g a n =====2． 摆线的拉力：有两种基本思路：当θ角已知时θcos /mg F =，当θ角未知时l f m l Tm l m F F n 222)2()2(sin /ππωθ==== 3． 周期的计算：设悬点到圆周运动圆心的距离为h ，根据向心力公式有ghg l T πθπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。
4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有Rg2cos ωθ=，ω增大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。
三、典型实例：例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。
若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
θωθsin tan 2R m mg =，故Rg2cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度为2cos ωθgR R R h -=-=。
若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。
圆锥摆模型全透视
精心整理圆锥摆模型全透视一、圆锥摆模型：1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。
2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。
两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。
二、常规讨论：1． 向心力和向心加速度：设摆球的质量为m ，摆线长为l度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。
n n ma F =，θπθωθθsin )2(sin sin tan 222l T m l m l v m mg ====θtan g a n =2． ，当θ角未知时F F n sin /θ=3． ghg l T πθπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。
4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有Rg2cos ωθ=，ω增大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。
三、典型实例：例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。
若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
θωθsin tan 2R m mg =，故Rg2cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度为2cos ωθgR R R h -=-=。
若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。
点评：例2：圆锥筒内壁的A 处有一质量为m 回旋半径，向心力分别如何变化？解析：小球受两个力mg 、F N ，m mg 2cot ωθ=变，回旋半径r 减小，小球到锥底的高度降低。
点评：本题区别于例1例3：一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，顶角为600一速圆周运动，绳解析：0230sin 30tan L v m =，求得小球的线速度为小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图示，用正交分解法解题，在竖直方向mgF F N =+0030sin 30cos ，在水平方向0230sin 30cos 30sin L v m F F N =-，解得mg F 033.1=。
好题精析：圆锥摆类模型
1.如图所示，已知绳长为L ＝20 cm ，水平杆长为L ′＝0.1 m ，小球质量m ＝0.3 kg ，整个装置可绕竖直轴转动．(g 取10 m/s 2)问：(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？(2)此时绳子的张力多大？解析 小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，轨道半径r ＝L ′＋L sin 45°.对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为F T ，小球重力为mg ，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力．对小球利用牛顿第二定律可得：mg tan 45°＝m ω2r ①r ＝L ′＋L sin 45°②联立①②两式，将数值代入可得ω≈6.44 rad/sF ＝mg cos 45°≈4.24 N 答案 (1)6.44 rad/s (2)4.24 N2.两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图所示，A 运动的半径比B 的大，则( )A ．A 所需的向心力比B 的大B ．B 所需的向心力比A 的大C ．A 的角速度比B 的大D ．B 的角速度比A 的大答案 A解析 小球的重力和绳子的拉力的合力充当向心力，设悬线与竖直方向夹角为θ，则F n ＝mg tan θ＝mω2l sin θ，θ越大，向心力F n 越大，所以A 对，B 错；而ω2＝g l cos θ＝g h .故两者的角速度相同，C 、D 错．3.质量为m 的飞机，以速率v 在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于( )A ．m g 2＋v 4R 2B ．m v 2RC ．m v 4R2－g 2 D ．mg答案 A解析 空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的作用力使飞机克服重力作用而升空；其二：水平方向的作用力提供向心力，使飞机可在水平面内做匀速圆周运动．对飞机的受力情况进行分析，如图所示．飞机受到重力mg 、空气对飞机的作用力F ，两力的合力为F n ，方向沿水平方向指向圆心．由题意可知，重力mg 与F n 垂直，故F ＝m 2g 2＋F 2n ，又F n ＝m v 2R ，联立解得F ＝m g 2＋v 4R 2.4.如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P ，细线的上端固定在金属块Q上，Q 放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球在一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q 都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )A ．小球P 运动的周期变大B ．小球P 运动的线速度变大C ．小球P 运动的角速度变大D ．Q 受到桌面的支持力变大答案 BC解析 对小球受力分析知，小球的合力为F 合＝mg tan θ，因为mg tan θ＝mω2l sin θ，所以ω＝ g l cos θ，当小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动时θ变大，则ω变大，又因为T ＝2πω，所以周期变小，故A 错，C 对．在更高的水平面上运动时，小球的运动半径变大，由v ＝ωr 知v 变大，B 正确；绳子的拉力在竖直方向的分力总等于小球P 的重力，故Q 受到桌面的支持力总等于P 、Q 的重力和，D 错误．5.如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( )A ．速度v A ＞v BB ．角速度ωA ＞ωBC ．向心力F A ＞F BD ．向心加速度a A ＞a B答案 A解析 设漏斗的顶角为2θ，则小球的合力为F 合＝mg tan θ，由F n ＝F 合＝mg tan θ＝mω2r ＝m v 2r＝ma，知向心力F A＝F B，向心加速度a A＝a B，选项C、D错误；因r A＞r B，又由于v＝gr tan θ和ω＝gr tan θ知v A＞v B、ωA＜ωB，故A对，B错．。
圆锥摆正稿
圆周运动模型——圆锥摆模型1.特点：对于圆锥摆模型，是水平面内的圆周运动，一般涉及水平面内圆周运动是匀速的，需要的向心力水平，圆心在水平面内。
2.基本模型：圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型，基本的圆锥摆模型和受力情况如图所示，拉力和重力的合力提供球做圆周运动的向心力．F 合＝F n ＝mg tan θ＝m v 2R例1：（基本模型）量为m 的小球，一端固定于O 点。
让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图所示。
当摆线L 与竖直方向的夹角是时，求：(1) 线的拉力F ；(2) 小球运动的角速度；例2：(广东高考)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图4-3-1所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．例3：（火车弯道）铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r 及与之对应的轨道的高度差h.(1)根据表中数据，试导出h 和r 关系的表达式，并求出当r ＝440 m 时，h 的设计值．(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L ＝1 435 mm ，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km /h 为单位，结果取整数．当θ很小时，tan θ≈sin θ)．(3)为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求火车转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施．弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110 内、外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300例4：（双线圆锥摆）如图所示，在竖直的转动轴上，a 、b 两点间距为40 cm ，细线ac 长50 cm ，bc 长30 cm ，在c 点系一质量为m 的小球，在转动轴带着小球转动的过程中，下列说法不正确的是( )A ．转速小时，ac 受拉力，bc 松弛B ．bc 刚好拉直时ac 中拉力为1.25mgC ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力不变D ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力增大例5：（双线圆锥摆）如图所示，一个质量为m 的小球由两根细绳拴在竖直转轴上的A 、B 两处，AB 间距为L ，A 处绳长为2L ，B 处绳长为L ，两根绳能承受的最大拉力均为2mg ，转轴带动小球转动。
《6.4 “圆锥摆”专题》教案
●圆锥摆：天花板上有一个悬点，下方通过一根细绳悬挂着小球，小球旋转形成圆平面，
与两边的悬绳（母线）组合，就构成了数学中“圆锥”的形状。
学美术的同学可能会遇到石膏模型，有时候上边是不是还插一个圆柱？高度相同的圆锥摆，角速度相同；线速度与旋转半径成正比。
与“同轴转动模型”类似。
●漏斗摆：由对称性，圆锥摆尖尖朝上，就像金字塔；漏斗摆尖尖朝下，与长颈漏斗、分
液漏斗有点像？漏斗摆是如何运转的呢？用一根刚性的绳连接小球，抓住绳子的下端旋转，小球在上方的平面内做匀速圆周运动就形成了漏斗摆。
●应用：圆锥摆与漏斗摆受力的本质相同。
主要应用于：“超级飞椅”、“花样滑冰”、“火
车转弯”、“飞车走壁”等模型。
生活中的圆周运动水平面的圆周运动课件高一下学期物理人教版(
它到O孔的距离可能是（ ）
A．4cm
B．8cm
C．30cm
D．34cm
二、圆盘模型
二、圆盘模型
【练13】如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴 旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重 合．转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐
内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，
6.4.2 水平面的圆周运动
一、圆锥摆模型
FT
F合
mg
当小球刚好与接触面无挤压，拉力 和重力的合力提供向心力
r=lsinθ
临界角速度
FT N
mg FT
mg
一、圆锥摆模型
【练1】如图所示，用一根长l＝1 m的细线，一端系一质量m＝1
kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ顶端，锥面与
竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速 圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(sin 37°＝0.6， cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，结果可用根式表示)
此时小物块受到的摩擦力恰好为零，它和O点的连线与OO′之间的 夹角θ为60°.重力加速度大小为g. 求转台转动的角速度。
三、有倾角的圆盘模型
三、有倾角的圆盘模型
三、有倾角的圆盘模型
3 2
D．当A、B两物块恰好要与圆盘发生相对滑动时，绳中的拉力为 5mBg
二、圆盘模型
【练10】如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块 叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的 是（ ） A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势 B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力 C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
关于如何用PPT绘制圆锥透视图的研究说明
第五步
• 选择直线做出一个三角形的左右两边即可， 图右图所示，左边为其中的两部分 • Eg:
最后一步
• 将所有部分选中拼接在一起并选择组合图 形将其变成完整的一部分，最终的到的效 果图如后面所示
效果展示
附录
• 当然这个也可以用windows自带的画图工具 完成，相对比较方便，但是精度较差，如 图所示为一个后缀名为.jpg的图形附件 • Eg：
第二步
• 然后选择绘图工具自选图形中的连接符栏 目，选择曲线连接符，并分别点击B，C两 点创建出圆锥的下地面的一半 A • Eg：
B
C
第三步
• 同理第二步选择B与BD边中点C点做出圆锥 的上半面所需部分 • Eg：
第四步
• 选取已经做好的各半部分，按住ctrl键并点 击鼠标左键拖动便可得到预期相同的部分， 然后旋转得到与之互补的另一半,然后双击 其中一个选择虚线选项框中的长划线选项 将其转化为虚线，另一部分同理 • Eg:
最后一步将所有部分选中拼接在一起并选择组合图形将其变成完整的一部分最终的到的效果图如后面所示效果展示附录当然这个也可以用windows自带的画图工具完成相对比较方便但是精度较差如图所示为一个后缀名为
关于PPT绘制圆锥的方法
制作人：雒蒙
第一步
• 首先选择绘图工具自选图形，选取三角形 创建一个三角形： • Eg：
《5.6 圆锥摆问题》PPT
2
2
l m2n l
2
4、周期、频率和角速度的计算 根据向心加速度公式，有： 2 a向 g tan（静力学） l sin （动力学）
g g l cos h l cos h T 2 2 g g
θ
h
l
1 f 2
g 1 l cos 2
g h
v gh
可见，h增大，线速度增大，角速度减小，周期增大。
应用
飞走壁
漏斗摆
1、向心加速度的计算： θ角一定，故an恒定。
Fn g an m tan
2、周期T、角速度ω、线速度v的计算（设匀速圆周运 动的平面离漏斗尖端距离为h） 2 m g 2 m v 2 2 由： F m ( ) h tan m h tan n tan T h tan h g 得： T 2 tan 2 g h tan
圆锥摆问题
圆锥摆受力分析
竖直方向：F cosθ＝mg
F
O
l
θ
水平方向： F合=Fsinθ F合=mω2l sinθ
θ
m
F合
O'
ω
mg
特点： 1、圆锥摆模型的受力
只受两个力：竖直向下的重力和沿摆线方向的拉 力，二力的合力就是摆球做圆周运动的向心力，如图。 2、向心力和向心加速度的计算 设摆球的质量为m，摆长为L，与竖直方向的夹角为θ， 摆球的线速度、角速度、周期和频率依次为v、ω、T、 和f，如图，r=l*sinθ 向心力可表示为： 2 2
二、漏斗摆(倒圆锥摆）： 物体在光滑的漏斗形容器内壁的某水平面 上做匀速圆周运动。漏斗摆的力学特点： 物体只受两个力，竖直向下的重力，垂直 于漏斗壁的弹力，两个力的合力水平指向 转轴，其向心力表达式为：
圆锥摆模型——精选推荐
圆锥摆模型⼀、经典例题1．将⼀个半径为的内壁光滑的半球形碗固定在⽔平地⾯上，若使质量为的⼩球贴着碗的内壁在⽔平⾯内以⾓速度做匀速圆周运动，如图所⽰，求圆周平⾯距碗底的⾼度。
若⾓速度增⼤，则⾼度、回旋半径、向⼼⼒如何变化？点评：实质是圆锥摆模型：球⾯的弹⼒类⽐于绳的拉⼒，球⾯半径类⽐于绳长2．⼀光滑的圆锥体固定在⽔平桌⾯上，其轴线沿竖直⽅向，其顶⾓为60o，如图所⽰，⼀条长为的轻绳，⼀端固定在锥顶点，另⼀端拴⼀质量为的⼩球，⼩球以速率绕圆锥的轴线做⽔平⾯内的匀速圆周运动，求：（1）当时，绳上的拉⼒多⼤？（2）当时，绳上的拉⼒多⼤？13．圆锥摆模型的特点：结构特点：⼀根质量和形变量可以不计的细绳，⼀端系⼀个可以视为质点的摆球，使⼩球在⽔平⾯内做匀速圆周运动。
受⼒特点：只受两个⼒即竖直向下的重⼒以及沿摆线⽅向的拉⼒。
两个⼒的合⼒就是摆球做匀速圆周运动的向⼼⼒4．关键求出临界时的速度，判断物体对圆锥体是否有压⼒。
5．（1）了解圆锥摆及其拓展模型受⼒特点，合⼒提供向⼼⼒（2）圆锥摆中弹⼒与竖直⽅向成的⾓可起“桥梁”作⽤⼆、相关练习题1．如图所⽰，长为L的细绳⼀端固定，另⼀端系⼀质量为m的⼩球。
给⼩球⼀个合适的初速度，⼩球便可在⽔平⾯内做匀速圆周运动，这样就构成了⼀个圆锥摆，设细绳与竖直⽅向的夹⾓为θ。
下列说法中正确的是23A ．⼩球受重⼒、细绳的拉⼒和向⼼⼒作⽤B ．细绳拉⼒在⽔平⽅向的分⼒提供了向⼼⼒C ．θ越⼤，⼩球运动的周期越⼤D ．θ越⼤，⼩球运动的线速度越⼤2．如图所⽰，两个质量不同的⼩球⽤长度不等的细线拴在同⼀点并在同⼀⽔平⾯内做匀速圆周运动，则它们的()A ．运动周期相同B ．运动的线速度相同C ．运动的⾓速度相同D ．向⼼加速度相同3．如图所⽰，两段长均为L 的轻质线共同系住⼀个质量为m 的⼩球，另⼀端分别固定在等⾼的A 、B 两点，A 、B 两点间距也为L .现使⼩球在竖直平⾯内做圆周运动，当⼩球到达最⾼点的速率为v 时，两段线中张⼒恰好均为零，若⼩球到达最⾼点速率为2v ，则此时每段线中张⼒为多⼤？(重⼒加速度为g )4．（物理卷·2015届湖北省百所重点中学⾼三⼗⽉联合考试（2014.10））17.（12分）如图所⽰，长为L的绳⼦下端连着质量为m的⼩球，上端悬于天花板上，当把绳⼦拉直时，绳⼦与竖直线的夹⾓=60θ?，此时⼩球静⽌于光滑的⽔平桌⾯上。
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圆锥摆模型全透视公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
圆锥摆模型全透视
一、圆锥摆模型：
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。
2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。
两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。
二、常规讨论：
1． 向心力和向心加速度：
设摆球的质量为m ，摆线长为l ，与竖直方向的夹角为θ，摆球的线速度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。
n n ma F =，
θπθπ
θωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f m l T m l m l v m mg ====，
θπθπ
θωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f l T
l l v g a n =====
2． 摆线的拉力：
有两种基本思路：当θ角已知时θcos /mg F =，当θ角未知时
l f m l T
m l m F F n 22
2)2()2(
sin /ππωθ==== 3． 周期的计算：
设悬点到圆周运动圆心的距离为h ，根据向心力公式有g
h
g l T π
θπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。
4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有R
g
2
cos ωθ=，ω增
大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。
三、典型实例：
例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。
若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化
解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
θωθsin tan 2R m mg =，故R
g
2
cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度
为2
cos ωθg
R R R h -
=-=。
若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变
大，回旋半径变大，向心力变大。
点评：本题形式上不属于圆锥摆模型，但实质即为圆锥摆模型。
例2：一个内壁光滑的圆锥筒绕其竖直轴线以角速度ω做匀速转
动，在圆锥筒内壁的A 处有一质量为m 的小球与圆锥筒保持相对静止，在水平面内做匀速圆周运动，如图，当圆锥筒的角速度增大时，则小球到锥底的高度，回旋半径，向心力分别如何变化
解析：小球受两个力mg 、F N ，r m mg 2cot ωθ=，角速度增大时，由于角度不变，故向心力不变，回旋半径r 减小，小球到锥底的高度降低。
点评：本题区别于例1，不属于圆锥摆模型。
圆锥摆模型是当角速度发生变化时，圆锥摆顶点保持不变，即摆长不变。
本题动态分析的结论和例1相反。
例3：一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为600
，，如图所示，一条长为L 的轻绳，一端固定在锥顶O 点，另一端拴一质量为m 的小球，小球的速率v 绕圆锥
的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求：（1）当gL v 6
1
=
，绳
mg
上的拉力多大（2）当gL v 2
3
=
，绳上的拉力多大 解析：当圆锥体刚好对斜面没有压力时，0
2
30sin 30tan L v m mg =，
求得小球的线速度为gL v 63
0=。
（1）当06
1
v gL v <=小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图示，用正交分解法解题，在竖直方向
mg
F F N =+0
30sin 30cos ，在水平方向0
2
30sin 30cos 30sin L v m F F N =-，解得
mg F 033.1=。
（2）当02
3
v gL v >=
，小球做圆锥摆运动，且030>θ，设此时绳与竖直方向的夹角为φ，则有φφsin tan 2L v m mg =，解得060=φ，因此mg mg
F 260
cos 0
==。
点评：本题要先判断究竟物体是否属于圆锥摆模型。
判断时，先根据临界问题，当圆锥体刚好对斜面没有压力时，求得小球的线速度为0v 。
当0v v >时，小球做圆锥摆运动， 0v v <时，小球不做圆锥摆运动。