方向导数和梯度的关系公式
方向导数与梯度公式关系
方向导数与梯度公式关系方向导数和梯度是微积分中两个常用的概念,它们之间的关系可以用以下公式表示:方向导数 = 梯度 / 权重其中,梯度是指目标函数对变量的导数,权重是指变量的系数。
具体来说,假设我们有一个线性回归模型$$y = x"beta + epsilon$$其中$y$是输出变量,$x$是输入变量,$beta$是模型的参数,$epsilon$是噪声。
那么,$beta$的梯度可以表示为:$$frac{partial}{partial beta}left(frac{y}{x"beta}ight) = frac{partial y}{partial beta}x" - frac{partial x"}{partial beta}frac{y}{x"beta} = frac{y"beta - x"betay}{x"beta}$$其中,$frac{partial y}{partial beta}$表示$beta$对$y$的导数,$frac{partial x"}{partial beta}$表示$x"beta$对$x$的导数。
现在,如果我们想要计算$beta$的方向导数,可以使用上述公式:$$frac{partial}{partial beta}left(frac{y}{x"beta}ight) = frac{y"beta - x"beta y}{x"beta} = frac{y"}{x"}beta - frac{x"}{x"}beta = frac{y-x"beta"}{x"}$$其中,$beta" = x"(beta)$。
因此,$beta$的方向导数可以通过计算它与其他变量的差来得到。
高数2 第九章 方向导数与梯度
第九章第七节方向导数与梯度一、方向导数二、梯度三、物理意义l),,(zyxP一、方向导数定义:若函数),,(zyxfρρf∆→0lim则称lf∂∂lf∂∂ρ为函数在点P 处沿方向l的方向导数.ρρ),,(),,(limzyxfzzyyxxf-∆+∆+∆+=→在点),,(zyxP处沿方向l (方向角为γβα,,) 存在下列极限:P'=记作xzyρ∆y∆xρ∆zρz lz ρPΔlim 0→=∂∂P ´P z = f (x,y )x 0y ρρ)()(lim00000→-∆+∆+=y ,x f y y ,x x f Q ρP f P f ρ)()(lim 0-'=→M是曲面在点P 处沿方向l 的变化率，即半切线Plz∂∂MN 方向导数.方向导数几何意义的斜率N,),,(),,(处可微在点若函数z y x P z y x f ),,(z y x P l 定理:则函数在该点沿任意方向l 的方向导数存在,ρρf l f ∆=∂∂→0lim γβαcos cos cos zf y f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂证明: 由函数),,(z y x f )(ρo z zf y y f x x f f +∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆() ρ=且有)(ρo +在点P 可微,得ρP '故γβαcos cos cos zf y f x f ∂∂+∂∂+∂∂=对于二元函数,),(y x f 为α, β) 的方向导数为方处沿方向在点(),(l y x Pρρ),(),(lim 0y x f y y x x f l f -∆+∆+=∂∂→βαcos ),(cos ),(y x f y x f y x +=Plxy o xfl f ∂∂=∂∂特别:•当l 与x 轴同向()有时,2,0πβα==•当l 与x 轴反向()有时,2,πβπα==x f l f ∂∂-=∂∂l向角例1. 求函数在点P (1, 1, 1) 沿向量3)的方向导数.⎝⎛=∂∂∴Plu 1422⋅z y x ⎪⎭⎫⋅+1432y x 解: 向量l 的方向余弦为例2. 求函数在点P (2, 3)沿曲线朝x 增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为2)2,1(=x x 它在点P 的切向量为,171cos =∴α1760=xoy2P⎩⎨⎧-==1 2x y x x )4,1(=174cos =β1-例3. 设是曲面n 在点P (1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解:方向余弦为,142cos =α,143cos =β141cos =γ而P x u ∂∂=∂∂∴Pnu 同理得)1,3,2(2=方向的方向导数.P z y x )2,6,4(146=711=()1143826141⨯-⨯+⨯P y x z x 22866+=在点P 处沿求函数=n n二、梯度方向导数公式γβαcos cos cos zfy f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模: f 的最大变化率之值方向导数取最大值：⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛=z f y f x f G ,,)cos ,cos ,(cos 0γβα=l ,0方向一致时与当G l :G ()G lf=∂∂max1. 定义,f ad r g 即同样可定义二元函数),(yx P 称为函数f (P ) 在点P 处的梯度⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛=z f y f x f ,,记作(gradient),在点处的梯度G 说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2. 梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,面上的投在曲线xoy Cz y x f z ⎩⎨⎧==),(C y x f L =),(:*影称为函数f 的等值线.,,不同时为零设y x f f 则L *上点P 处的法向量为P y x f f ),(Pfgrad =o yx 1c f =2c f =3c f =)(321c c c <<设P 同样, 对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时, 其上点P 处的法向量为.grad P f ,),(y x f z =对函数指向函数增大的方向.3. 梯度的基本运算公式()(2)=gradC gradCuu(grad)=grad(4)+uvvuu gradv例 4.证:)(r f '==∂∂y r f )()( grad r f ∴)(1)(k z j y i x r r f++'=r rr f 1)('=rz r f z r f )()('=∂∂0)(r r f '=j y r f ∂∂+)(k z r f∂∂+)(222zy x x++P x o zy,)(r y r f 'i xr f ∂∂=)(试证r x r f )('=处矢径r 的模,r三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数)(P f 梯度场)(grad P f ( 势)如: 温度场, 电位场等如: 力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.内容小结1. 方向导数•三元函数在点沿方向l (方向角),,γβα为的方向导数为γβαcos cos cos zf y f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂•二元函数在点),βα的方向导数为βαcos cos yf x f l f ∂∂+∂∂=∂∂沿方向l (方向角为2. 梯度•三元函数在点处的梯度为⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛=z f y f x f f ,,grad •二元函数在点处的梯度为)),(,),((grad y x f y x f f y x =3. 关系方向导数存在偏导数存在• •可微grad l f lf⋅=∂∂梯度在方向l 上的投影.思考与练习1. 设函数(1) 求函数在点M( 1, 1, 1 ) 处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向的夹角 .曲线1. (1)在点[])1,1,1(cos cos cos γβα⋅+⋅+⋅=∂∂z y x Mf f f l f解答提示:函数沿l 的方向导数lM (1,1,1) 处切线的方向向量)0,1,2(grad )2(=MfM M f l fgrad ∂∂=1306arccos=∴θl cos =θl备用题 1. 函数在点处的梯度解:则注意x , y , z 具有轮换对称性)2,2,1(92-=)2,2,1(92-(92考研)指向B ( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是.在点A ( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数)ln(22z y x u ++=提示:则}cos ,cos ,{cos γβα=)1ln(+x )11ln(2++y (96考研)机动目录上页下页返回结束2121=将二元函数z= f(x , y)在点(x , y)的以下七个命题填入框图：（1）有定义（2）有极限（3）连续（4）偏导存在（5）方向导数存在（6）偏导连续（7）可微（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2）⇒⇒问题：箭头是否可逆？不可逆的试举出反例。
高等数学第九章第七节 方向导数与梯度
| PP | (x)( x, y), 考虑 z ,
当 P沿着 l 趋于P时，
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 是否存在？
0
1、定义
函数的增量 f (x x, y y) f (x, y) 与
2、设 f ( x, y, z) x 2 2 y 2 3z 2 xy 3 x 2 y 6z ,
则gradf (0,0,0) __________________.
3、已 知 场 u( x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
,则u沿
场的梯度
方向的方向导数是__________________.
4、称向量场 a 为有势场,是指向量a 与某个函数
u( x, y, z)的梯度有关系__________________.
练习题答案
一、1、1 2 3；
2、3 i 2 j 6 k ；
3、
(
2 a
x
2
)
2
(
2 b
y
2
)
2
(
2z c2
)
2
gradu ；
4、a gradu.
四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x, y) 在这点增长 最快的方向.
练习题
一、填空题:
1、函数z x 2 y 2 在点(1,2) 处沿从点(1,2) 到点
(2,2 3)的方向的方向导数为_____________.
(1,1)
(1,1)
cos sin 2 sin( ), 4
梯度及其与方向导数的关系
u y
2
2
2
1 r
3
3y r
2
5
,
2
u z
2
2
1 r
3
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结束 11/22
例3.
处矢径 r 的模 , 试证
x x y z
2 2 2
证:
f (r ) y
grad f (r )
f (r )
f ( r )
f (r ) x
f ( r )
x r
y r
,
f (r ) y
f (r ) z
j
f ( r )
2 2
(x y )
2 2 2 2
2
y x
2 2
2 2
(x y )
2
z y
2
x y y 2y (x y )
2 2 2
x y
2 2
2 2
(x y )
2
2 2
z x
2
z
2
y
2
y x
2 2
(x y )
2
x y
2 2
2 2
(x y )
2
1 5
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u (1,1) u ( 1,1) , el l
(6 3)
3 5
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(1) 方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向 量为
1 2 (1,1)
，方向导数的最大值为
1 2
u ( 1,1) 3 2.
2.2数量场的方向导数和梯度.
3）在球面坐标系中：
3、 梯度的性质
1） 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点
的 方向表示该点场变化最大（增大）的 方向，其数值表示变化最大方向上场的空 间变化率。
2） 标量场在某个方向上的方向导数，是梯
度在该方向上的投影。
3）标量场的梯度垂直
于通过该点的等值 面（或切平面）
4、梯度运算的基本公式
5.
梯度的重要性质
0
证：
ˆ x x x ˆ y y y
标量场梯度的旋度恒等于零。
ˆ z z z
2 2 2 2 2 ˆ( ˆ( ˆ( x F F) y F F) z F F) yz zy zx xz xy yx
2.2 标量场的方向导数和梯度
一、方向导数 1、定义：在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间 的数值，还需要知道场在不同方向上场变化的情况。应 用方向性导数可以描述标量场在空间某个方向上变化的 情况。
方向性导数表示场沿 l 方向的空间变化率。
u u lim | l M l 0 l
l
3、梯度的运算
1）在直角坐标系中：
u u u u ex ey ez x y z u 1 u u u er e ez r r z u 1 u 1 u u er e e r r r sin
2）在柱面坐标系中：
=0
例题：
若 R r r ' ，R R
在处理相对坐标的函数的 梯度运算时，算子 与算 子 ' 可以互换，但改变 其前的正负号。
证明：
1 1 ( ) '( ) R R
ex ey ez 说明： x y z ' ex ey ez x ' y ' z '
高数 方向导数与梯度
f f f f cos cos cos 方向导数公式 l x y z f f f 令向量 G , , x y z 0 l (cos , cos , cos ) f Gl 0 G cos( G ,l0 ) ( l0 1) l 当 l 0与 G 方向一致时 , 方向导数取最大值： f G max l 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
, y) 在点 P(x, y) 处的梯度 同样可定义二元函数 f (x
f f f f grad f i j , x y x y
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义
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z f( x ,y ) 对函数 z f ( x , y ) , 曲线 在 xoy 面上的 z C * 称为函数 f 的等值线 . 影 L :f( x ,y ) C
朝 x 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为 x x y x2 1 1 ,4 ) 它在点 P 的切向量为 ( 1 ,2 x )x 2( 4 1 cos cos , 17 17
y
P
2x
o
1
4 z 60 6 xy 1 2 ( 3 x 2 y ) 17 17 l P (2 , 3) 17
, y) 在点 P • 二元函数 f (x (x , y) 沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f f f f sin cos cos cos x y l x y
方向导数与梯度
其中
e l = (cos α , cos β , cos γ )
例3 n 是2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 6 在 (1,1,1) 处指向外侧的法向量， 处指向外侧的法向量，
6 x 2 + 8 y 2 在该点沿 的方向导数. 求u = n 的方向导数. z | n |= 14 n = ( 2 x ,3 y , z ) (1,1,1) = ( 2,3,1) 解 1 2 3 cos α = cos γ = cos β = 14 14 14 6 8 6x 6x 8y u x ( 1 ,1 , 1 ) = = = uy = ( 1 , 1 ,1 ) 14 14 z 6x2 + 8 y2 z 6x2 + 8 y2
zx
( 1, 0 )
=e
2y
=1
zy
( 1, 0 )
= 2 xe 2 y
( 1, 0 )
=2
∂f ∂l
( 1, 0 )
1 1 2 = 1⋅ ) =− − + 2 ⋅ (− 2 2 2
例2 求 z = 3 x 2 y − y 2 切线方向（ 增大方向） 沿曲线在该点处切线方向（ x 增大方向）的 方向导数. 方向导数. 解
l = (1,0)
∂f ∂l ∂f
l = (−1,0) −
∂l
f x (0,0) = lim t →0
lim f ( t ,0) − f (0,0) = lim t = 1 t →0+ t →0+ t t ( 0,0 ) lim f ( − t ,0) − f (0,0) = lim t = 1 = t →0+ t →0+ t t ( 0,0 ) f ( t ,0) − f (0,0) = lim | t | 不存在 t →0+ t t
方向导数与梯度的关系与计算公式
方向导数与梯度的关系与计算公式方向导数（Directional Derivative）是多元函数在某个给定点上沿指定方向的变化率。
它在物理学、工程学和优化问题中具有重要的应用。
在求解方向导数时，我们常常会遇到梯度（Gradient）的概念。
本文将介绍方向导数与梯度之间的关系，并探讨它们的计算公式。
一、方向导数的定义在多元函数中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个单位向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数Duf(x₀, y₀, z₀)表示函数f(x, y, z)在P点上沿u方向的变化率。
方向导数用符号∇f(x₀, y₀, z₀)·u表示。
二、梯度的定义梯度是一个向量，它在多元函数的每个点上都有定义。
对于二元函数f(x, y)，梯度∇f(x, y)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y) = (fx, fy)，其中fx和fy分别表示f对x和y的偏导数。
对于三元函数f(x, y, z)，梯度∇f(x, y, z)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y, z) = (fx, fy, fz)，其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
三、方向导数与梯度的关系在函数f(x, y, z)的某一点P(x₀, y₀, z₀)处，方向导数和梯度的关系可以表示为：Duf(x₀, y₀, z₀) = ∇f(x₀, y₀, z₀)·u即，方向导数等于梯度与单位向量u的内积。
四、方向导数的计算公式在笛卡尔坐标系中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个非零向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数可以通过以下公式计算：Duf(x₀, y₀, z₀) = fx(x₀, y₀, z₀)a + fy(x₀, y₀, z₀)b + fz(x₀, y₀, z₀)c其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
方向导数与梯度
三、物理意义
数性函数) 数量场 (数性函数 数性函数 函数 场 温度场, 如: 温度场 电位场等 向量场(矢性函数 矢性函数) 向量场 矢性函数 如: 力场 速度场等 力场,速度场等 可微函数 f (P) (势) 梯度场 grad f (P) (向量场 向量场) 向量场 (物理量的分布 物理量的分布) 物理量的分布
∂f ∂f ∂f , , = ∂ x ∂ y ∂z
同样可定义二元函数 在点P( x, y)处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 说明 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 方向导数为梯度在该方向上的投影 2. 梯度的几何意义
12
z = f ( x, y) 对函数 z = f ( x, y), 曲线 在 xoy 面上的投 z =C * 影L : f ( x, y) = C 称为函数 f 的等值线 .
二.梯度
, 方向导数取最大值： 当l 0 与G方向一致时 方向导数取最大值： ∂f )= G m ( ax ∂l 方向： 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
11
1. 定义 向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 处的梯度 记作 grad f , 即
grad f (r) = f ′(r)r 0
gradu = (
q 4π ε r
)′
r =−
0
q 4π ε r
r 0 = −E 2
这说明场强: 垂直于等位面, 这说明场强 垂直于等位面 且指向电位减少的方向. 且指向电位减少的方向
19
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
∂f ∂f ∂f grad f = , , ∂x ∂ y ∂z • 二元函数 在点 处的梯度为 grad f = ( f x ( x, y) , f y ( x, y))
7.5_方向导数与梯度
2 2 ( x ) 0 0 | x | f xz lim , lim lim 但 x 0 x x x x 0 x x 0 不存在. 即z在(0, 0)点的偏导数不存在.
π 特别地, 当 l为正x轴时, 0, , 上式化为 2 f z . 可微必可导 l P x P
因此, 函数 z = f (x, y)在点P (x, y)处沿x轴正方向 的方向导数就是函数 z = f (x, y)在该点处对x的偏
z f f cos cos l P x P y P
f x y
方向导数与梯度
沿梯度方向, 函数的增长最快!
grad z P
f f , x y P
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它 的模为方向导数的最大值(最大的变化率).
2 梯度的模为 2 f f | grad z |P x y
2 2 z x y , 例2 某山体表面某段曲面方程为
一登山者位于点(1,2)处. 求山体表面在该点处沿方向 l (1,1)处海拔高度z值变化率, 该变化率说明什么.
z 2 因为 x (1, 2 )
z 解 z沿方向 l 的变化率即为方向导数 .
0 1 1 f l 的单位向量 l ,
11
方向导数与梯度
f f f cos cos l P0 x P0 y P0
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方向导数和梯度的关系公式
方向导数和梯度是微积分中的重要概念，它们在多元函数的研究中起着重要作用。
方向导数描述了函数在某一给定方向上的变化率，而梯度则是方向导数的一种特殊情况。
本文将探讨方向导数和梯度之间的关系，并阐述它们的定义、性质和应用。
让我们来定义方向导数。
对于一个多元函数f(x, y, z)，在某一点
P(x0, y0, z0)处，沿着一个与坐标轴夹角为θ的方向v=(cosθ, sinθ)的方向导数表示函数在该方向上的变化率。
方向导数的计算公式为：
Dvf(x0, y0, z0) = ∇f(x0, y0, z0)·v
其中，∇f(x0, y0, z0)是函数f在点P的梯度。
梯度是一个向量，其分量为函数在各个方向上的偏导数。
梯度的计算公式为：
∇f(x0, y0, z0) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
可以看出，梯度是一个向量，方向导数是梯度与方向向量的点积。
因此，方向导数可以通过计算梯度和方向向量的点积来求得。
方向导数具有以下性质：
1. 方向导数的值与方向向量的长度无关，只与方向向量的方向有关。
这意味着方向导数可以通过单位向量来表示。
2. 方向导数的最大值和最小值分别是函数在某一点上沿着梯度方向和负梯度方向的方向导数。
当方向向量与梯度方向相同时，方向导数达到最大值；当方向向量与负梯度方向相同时，方向导数达到最小值。
3. 方向导数为0的点是函数的临界点，即梯度为0的点。
梯度是方向导数的一种特殊情况。
当方向向量与梯度方向相同时，方向导数达到最大值，即梯度的模长为方向导数的最大值。
因此，梯度可以看作是方向导数的最大值和方向。
梯度在数学中具有重要的应用。
在优化问题中，梯度可以帮助我们找到函数的最大值或最小值。
当函数的梯度为0时，函数达到极值点。
因此，我们可以通过求解梯度为0的方程组来求解极值问题。
梯度还可以用于描述函数在空间中的变化趋势。
当梯度的模长越大时，函数在该点的变化趋势越明显；当梯度的模长趋近于0时，函数在该点的变化趋势越平缓。
总结起来，方向导数和梯度是微积分中与多元函数变化率相关的重要概念。
方向导数描述了函数在某一方向上的变化率，而梯度是方向导数的一种特殊情况。
梯度是一个向量，其方向为函数变化最快的方向，模长为变化率的最大值。
梯度在优化问题和空间变化趋势的描述中具有重要应用。
通过理解方向导数和梯度之间的关系，我们可以更好地理解多元函数的变化规律，并应用于实际问题的求解
中。