高数(下)复习题(经管本科)
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分）1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分 每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n，则{}3,2,1111121=--=k j i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ (6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分）1．设vue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定，求yzx z ∂∂∂∂,．解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F zz -= (5分)xye yzF F x z zz x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂． (7分) 3．计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)ππ=-⋅=022 (7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，求)(x f ．解： 由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+， 即xe xf x f =-')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x ． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解： 因为 )!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛． (7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=． (7分)五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=， 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)六、（8分）求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分) 当1-=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当1=x 时， 级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ，即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分) 再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ． 解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分)由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ． 因此所求的函数为 )1(l n 3)(+=x x f ． (5分)八． （5分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解，从而有 x x x x e C e C xe e y --++='2212，x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题（共30分 每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=，则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分，则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰-22120d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ．5. 设L 是圆周22x x y -=，取正向，则曲线积分=+-⎰Ly x x y d dπ2．6. 幂级数∑∞=--11)1(n nn n x 的收敛半径1=R ．7．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．8．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为Cxy =．10．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共42分 每小题６分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03202z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分) 所求平面方程为 032=++z y x (2分)2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定，求xz ∂∂． 解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=， (2分)则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z ． (2分))32c o s (33)32c o s (1z y x z y x F F x z z x -+--+-=-=∂∂ ． (2分) 3．计算⎰⎰Dxy σd ，其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解法一： 原式⎰⎰=211d ]d [xx y xy (2分)x y x x d ]2[2112⎰⋅=x xx d )22(213⎰-= 811]48[2124=-=x x . (4分)解法二： 原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=-=y y .(同上类似分)4．计算⎰⎰--Dy x y x d d 122，其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解： 选极坐标系原式⎰⎰-=2012d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r ---⋅=⎰π6π= (3分) 5．计算⎰Γ-+-z x y yz x z y d d 2d )(222，其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧．解：原式⎰⋅-⋅+-=122564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰-=146d )23(t t t 1057]5273[t t -=351= (3分)6．判断级数∑∞=-1212n n n 的敛散性． 解： 因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim11-+=+∞→+∞→ (3分) 121<=， (2分) 故该级数收敛． (1分) 7．求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解． 解：特征方程 0432=--r r ，特征根 1,421-==r r通解为 x xe C e C y -+=241， (3分)x xe C e C y --='2414，代入初始条件得 1,121=-=C C ，所以特解x x e e y -+-=4．(3分)三、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的 空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x ⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=． (2分) 四、（8分）设曲线积分⎰-+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且满足1)1(=f ，求)(x f ．解：由xQy P ∂∂=∂∂， 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=，即1)(21)(=+'x f xx f ， (3分) 所以)d ()(d 21d 21C xeex f x x x x +=⎰⎰-⎰)(2121C dx x x+=⎰-)32(2321C x x+=-， (3分)代入初始条件，解得31=C ，所以xx x f 3132)(+=． (2分)五、（6分）求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值． 解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处，,092>=-AC B 故)0,0(f 非极值；在点)1,1(处，,0272<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值． (3分)六、（6分）试证：曲面)(xyxf z =上任一点处的切平面都过原点．证：因),()(xyf x y x y f x z '-=∂∂ )(1)(x y f x x y f x y z '=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ，有)(0000x y f x z =，得切平面方程为))(())](()([)(00000000000000y y x yf x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0000000=-'+'-z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点． (3分)07A一、 填空题（每小题3分，共21分）.1．设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ，已知a 与b垂直，则=λ1-2．设3),(,2,3π===b a b a ，则=-b a 6-3．yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4．过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x5．二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D6．函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7．设xy e z=，则=dz )(xdy ydx e xy +8．设),(x y x xf u =，f 具有连续偏导数，则=∂∂x u21f xyxf f -+ 9．曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{10．交换积分顺序：⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(xdyy x f dx11．闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成，将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (r dz z r r f rdr d12．设L 为下半圆周21x y--=，则=+⎰ds y xL )(22π13．设L 为取正向圆周922=+y x，则=-+-⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18-14．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<-=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15．若0lim ≠∞→nn u ，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散16．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是 收敛17．设一般项级数∑∞=1n n u ，已知∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 的敛散性是 绝对收敛18．微分方程05)(23=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程19．微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221--+20．微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、（共5分）设xy v y x u v u z ===,,ln 2，求yz x z ∂∂∂∂,解：]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222--=⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、（共5分） 设022=-++xyz z y x ，求xz∂∂ 解：令xyz z y x z y x F 22),,(-++=x y zyzxyz F x -=xyzxyxyz F z -=xyxyz xyz yz F F x zz x --=-=∂∂ 四、（共5分）计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==xyx xdy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x 五、（共6分）计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )1cos ()sin (，其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解：添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ，根据格林 公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰-+--=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212-=a π 381a π= 六、（共6分）求幂级数∑∞=-13)3(n nn n x 的收敛域 解：对绝对值级数，用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111-=-⋅+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<-x 时，即60<<x ，原级数绝对收敛 当1331>-x 时，即60><x x 或，原级数发散 当0=x 时，根据莱布尼兹判别法，级数∑∞=-1)1(n nn收敛当6=x时，级数∑∞=11n n发散，故收敛域为)6,0[七、（共5分） 计算dxdy z⎰⎰∑2，其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解：∑在xoy 面的投影xy D ：0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2dxdy y x xyD )1(22--+=⎰⎰rdr r d )1(20102⎰⎰-=πθ412⋅=π8π=八、（共7分）设0)1(=f ，求)(x f 使dy x f ydx x f x x )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u解：由x Q y P ∂∂=∂∂，得)()(1ln x f x f x x '=+，即x x f xx f ln )(1)(=-' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰---带入初始条件，解得0=C,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=xyxdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、（共60分 每题3分）1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ，}2 ,1 ,{-=λb ，已知a 与b平行,则=λ3-．2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=-+bz a y x ． 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b -=3．4. 设一平面经过点)1,1,1(，且与直线⎩⎨⎧=+=--03042z y y x 垂直，则此平面方程为032=-+z y x ．5. 二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x ．6. 设xye z =，则=z d )d d (y x x y e xy +．7. 函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(grad f )1,0,1(．8.设(,)y u xf x x =，f 具有连续导数，则u x ∂=∂12yf xf f x''+-．9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n{}4,0,2-． 10. 交换积分顺序：⎰⎰=1d ),(d x y y x f x ⎰⎰101d ),(d yx y x f y ．11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ．12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积，则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3．13. 设L 为上半圆周21x y -=，则=+⎰Ls y x d )(22π．14. 设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．15. 若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是 收敛 ．17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是 收敛 ． 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程． 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)(21x C C e x +．20.微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(-+=．三、（共5分）函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，求xz∂∂． 解：令=),,(z y x F z z y x 4222-++， (1分)则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)zxF F x z z x -=-=∂∂2 (2分) 五、（共6分）计算曲线积分⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+．解：添加有向辅助线段，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+---+-=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰-22d x x 3823212132-=-⋅⋅=ππ (3分)七、（共6设0)1(=f ，确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分．解： 由xQy P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f x x f x '=-， 即 xxx f x x f s i n )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰-)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰- (2分) )cos (1C x x+-=， (1分) 代入初始条件，解得1cos =C ，所以)cos 1(cos 1)(x xx f -=． (1分) 八、(共6分) 计算⎰⎰∑y x z d d 2，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分．解：⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰--=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰----xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰--=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅-=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题（共24分 每小题3分）1．设{}1111,,p n m s =，{}2221,,p n m s =分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是 （A ）（A ）0212121=++p p n n m m （B ）212121p p n n m m ==（C ）1212121=++p p n n m m （D ）1212121=++p pn n m m 2．Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )（A ）12+=y z （B ）22x y z +=（C ）122++=x y z （D ）x y z +=23．二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为 （B ）（A ）{}02|),(2>-x y y x （B ）{}012|),(2>+-x y y x （C ）{}012|),(2≤+-x y y x （D ）{}0,0|),(≥>y x y x4．交换积分顺序：1d (,)d yy f x y x =⎰⎰ （ A ）（A ）dy y x f dx x ⎰⎰110),(（B ）dx y x f dy y ⎰⎰110),(（C ）dx y x f dy y⎰⎰110),(（D ）dy y x f dx x⎰⎰110),(5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= （ C ） （A ）2 （B ）2π （C ）38π （D ）34π 6．函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，则xz∂∂= （ D ） （A ）zy -2 （B ）y x-2 （C ）zz-2 （D ）zx-27．幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是 （ C ）（A ）][3,3- （B ）](3,0（C ） [)3,3- （D ）()3,3-8．已知微分方程xe y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*，则它的通解是（ B ）（A ）x xe x C x C ++221（B ）x x x xe e C e C ++-221（C ）x e x C x C ++221（D ）x x x xe e C e C ++-21二、填空题（共15分 每小题3分）1．曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x ． 2．若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 3．级数∑∞=12cos n nn的敛散性是 绝对收敛 ． 4．二元函数2221sin)(),(xy x y x f +=，当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。
高等数学（经管类专业适用）-第6章习题解答
第6章 概率统计练习6.1.11．观察一次打靶试验中击中的环数，若击中1环记为{1}，并设A={奇数环}， B={小于9环}，求Ω，A+B ，AB ，A +B ．【解】Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A+B ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ，AB={1,3,5,7} ，A +B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,10}．2．一位工人生产3件零件,设i A ＝{第i 个零件是不合格品}（1,2,3i =）.请用诸i A 表示如下事件:(1) 全是合格品; (2) 全是不合格品;(3) 恰好有一个零件是不合格品; (4) 至少有一个零件是不合格品.【解】(1) 123A A A ；(2) 123A A A ；(3) 123123123A A A A A A A A A ++；(4) 123A A A ++. 练习6.1.21．一个小停车场有20个停车位，现在有6辆车需停在该停车场，有多少种不同的停放方法？【解】620P =20⨯19⨯18⨯17⨯16⨯15＝27907200(种)2．学校举办一场十佳歌手赛，现从班上报名的15个同学中选取2个参加，共有多少种选法？【解】215151410521C ⨯==⨯(种) 3．10个螺丝钉中有3个是坏的，从中随机抽取4个，求： （1）恰好有两个是坏的概率； （2）4个全是好的概率．【解】设A ＝{恰好有两个是坏螺丝钉}，B ＝{ 4个全是好螺丝钉}， (1)因4221037210,63,A n C m C C ====所以3()10A m P A n ==； (2)又4735B mC ==，故1()6B m P B n ==． 练习6.1.31．甲、乙两批种子发芽率分别是0.7和0.8，现从这两批种子中随机地各取一粒，求下列事件的概率：(1)两粒种子都发芽； (2)至少有一粒种子发芽.【解】设A ＝{甲的种子发芽}，B={乙的种子发芽}，由于两粒种子是独立地发芽，所以(1) ()()()P AB P A P B ==0.7⨯0.8=0.56；(2) ()()()()P A B P A P B P AB +=+-= 0.7＋0.8－0.56＝0.94．2．在200名学生中选修统计学的有137名，选修经济学的有50名，选修计算机的有124名．还知道，同时选修统计学与经济学的有33名，同时选修经济学与计算机的有29名同，同时选修统计学与计算机的有92名，三门课都选修的有18名．试求200名学生中在这三门课中至少选修一门的概率．【解】设A ＝{选修统计学}，B ＝{选修经济学}，C ＝{选修计算机}，则 D ＝{至少选修一门}=A+B+C ，所以()()()()()()()()P D P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+ ＝137200＋50200＋124200－33200－29200－92200＋18200＝78（＝0.875）． 3．某射手的命中率为0.95，他独自重复向目标射击5次，求他恰好命中4次的概率以及至少命中3次的概率.【解】恰好命中4次的概率44155(4)(0.95)(0.05)0.2036P C =≈； 至少命中3次的概率555(3)(4)(5)P P P ++=33244155555(0.95)(0.05)(0.95)(0.05)(0.95)(0.05)C C C ++≈0.9987．习题6.11．在100件产品中，有2件次品，从中任取5件，问： （1）恰有1件次品的抽法有多少种？ （2）没有次品的抽法有多少种？ （3）至少有1件次品的抽法有多少种？【解】（1）14298236122807224560C C =⨯=；（2）59867910864C =； （3）142329829872245601520967376656C C C C +=+=．（本题的结果也可借助软件Excel 来求得）2．10个球中有3个红球7个绿球，随机抽取3个球分给3个小朋友，每人一球，求三个小朋友中恰有一个得到红球的概率.【解】用古典概型求解，设A ＝{三个小朋友恰有一个得到红球}，因310n P =，123373m C C P =， 故 21()40m P A n ==． 3．在编号为1,2，…，100的奖券中，规定偶数号或三的倍数号中奖，现从中随机抽取一张，求中奖的概率.【解】设A ＝{偶数号奖券}，B ＝{三的倍数号奖券}，50()100P A =，33()100P B =，16()100P AB = 则C ＝{中奖奖券}＝A ＋B ，故()()()()()P C P A B P A P B P AB =+=+- =503316100100100+-=670.67100=． 4．有10道判别对错的测验题，一人随意猜答，他答对7道题的概率是多少? 【解】由题意知，猜答10道测验题可看成10重伯努利试验，且0.5p =．所以答对7道题的概率是7731010(7)(0.5)(0.5)0.1172P C =≈． 5．长期统计资料表明，某地区在4月份下雨（设为事件A ）的概率为14，刮风（设为事件B ）的概率为13，既刮风又下雨的概率为18，求(),(),()P A B P B A P A B +． 【解】因111(),(),()438P A P B P AB ===，所以()3()1(),(),()8()2P AB P AB P A B P B A P B P A ==== 11()()()()24P A B P A P B P AB +=+-=． 练习6.2.11．已知随机变量X 只能取－1，0，1，2这四个值，其相应的概率依次为1232,,,2448c c c c，求常数c 的值．【解】 因11k k p ∞==∑，所以1232122448c c c c c+++=⇒=． 2．某银行举行有奖储蓄活动，现发行有奖储蓄券10万张，其中一等奖100张，二等奖500张，三等奖2000张，现任抽一张储蓄券，试求中奖等级X 的分布律．【解】若不中用{X =0}表示，其概率表示为{}00p P X ==， 根据题意X 为随机变量，其可能取值为0，1，2，3．{}1510010.00110p P X ====， {}2550020.00510p P X ====，{}35200030.0210p P X ====， {}001(0.0010.0050.02)0.974p P X ===-++=．则0k p ≥(0,1,23k =，)，且301k k p ==∑．故随机变量X 的分布律为3．某观众拨打电视台热线电话参与活动，已知拨通电话的概率为0.4%，求观众拨打300次至少拨通1次电话的概率．【解】{至少拨通1次电话}的对立事件是{拨通0次电话}所求概率为1－00300300(0.004)(0.996)C 1≈．（本题的结果可借助软件Excel 来求得） 练习6.2.21．求0－1分布的分布函数．【解】由于0－1分布的分布律为：1{}(1)k k P X k p p -==-，0,1k =．当0x <时，(){}()0F x P X x P ==∅=≤；当01x <≤时，(){}{0}1F x P X x P X p ====-≤；当x ≥1时，(){}{0}{1}11F x P X x P X P X p p ===+==-+=…．综合以上结果，则有00,()101,1 1.x F x p x x <⎧⎪=-<⎨⎪⎩，，≤，≥2．已知连续型随机变量X 的概率密度为()0kx x f x ≤≤⎧=⎨⎩，03, ，其它. 求（1）系数k ；（2）{12}P X <≤．【解】（1） 由概率密度的性质，得3239()1022x kf x dx k xdx k +∞====-∞⎰⎰， 解得29k =， 所以2,03()90,x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它.（2） 221{12}193P X xdx <≤==⎰． .3．设~(0,1)X N ，查表求 (1) {}2P X ≤；(2) {}1P X >-；(3){}0.5P X <． 【解】(1) {2}(2)0.9772P X ≤=Φ=；(2) {1}1(1)(1)0.8413P X >-=-Φ-=Φ=；(3) {}0.5(0.5)(0.5)2(0.5)120.691510.383P X <=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.4．设2~(1,2)X N ，查表求 (1) {}1P X ≤；(2) {}3P X <．【解】（1）{}111()(0)0.52P X -≤=Φ=Φ=；（2）{}3{33}P X P X <=-<<3131()()22---=Φ-Φ (1)1(2)=Φ-+Φ＝0.8413－1＋0.9772＝0.8185．练习6.2.3某企业生产某种产品，生产出来后畅销的概率为0.7，滞销的概率为0.3．现有二种方案：（1）扩大工厂的规模，如果产品畅销可盈利700万元，滞销则亏损300万元；（2）不改变工厂规模，如果产品畅销可可盈利400万元，滞销则亏损100万元．试用决策矩阵表和决策树的方法选择一种最佳方案．【解】（1）用决策矩阵表的方法根据题意，建立如下损益矩阵表（单位：万元）从表可见，根据期望收益值最大的决策准则，选用扩大工厂规模的方案． （2）用决策树的方法由题意，画出对应的决策树如图所示.比较状态点B ，C ，显然扩大工厂规模的数学期望值大，即400＞250，点B 和决策点R 之间的方案枝所代表的方案即为所选的最优方案，点B 的期望值即为决策的效益期望值．最后将状态点C 剪掉，采用扩大工厂规模的方案．习题6．21．现有产品10件，其中有3件次品，任意从中取出2件，求取出次品数X 的分布律． 【解】根据题意X 为随机变量，其可能取值为0，1，2．{}2712107015C p P X C ====，{}117322107115C C p P X C ====，{}2332101215C p P X C ====．则0k p ≥(1,23k =，)，且317711151515k k p ==++=∑．故随机变量X 的分布律为2．设某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击30次，求击中目标次数X 的分布律．【解】由题意知(30,0.8)X B ，所以X 的分布律为3030{}(0.8)(0.2),0,1,2,,30.kk k P X k C k -===3．包裹的特快专递(EMS)规定:每包不得超过1公斤．令X 为任选一个包裹的重量，其密度函数为0.50()0k x x f x +<≤⎧=⎨⎩（）， 1， ，其它. 求（1）系数k ；（2）这类包裹的重量X 至少3/4公斤的概率是多少? （3）这类包裹的重量X 最多1/2公斤的概率是多少? 【解】（1） 由概率密度的性质，得1201()(0.5)(0.50.5)10f x dx k x dx k x x k +∞=+=+==-∞⎰⎰， 所以0.5,01()0,x x f x +<≤⎧=⎨⎩，其它. （2） 1311{}(0.5)34324P X x dx ≥=+=⎰．（3）113{}(0.5)228P X x dx ≤=+=⎰4. 测量某目标距离的误差（单位：mm ）2(20,40)X N ，求一次测量误差的绝对值不超过30mm 的概率．【解】{}3020302030()()4040P X ---≤=Φ-Φ (0.25)1(1.25)0.5987=Φ-+Φ=-+=5. 某企业计划推出一款新型产品，企业的备选方案有三种:（1）建立新型的生产线，投入的成本最大，但产量最高；（2）改造原来的生产线，投入的成本比新建生产线少，产量也会相应少些；（3）是继续使用原来的生产线，不会投入相应的成本，产量最少．根据市场需求分析和估计，产品畅销、一般、滞销的概率为0.5，0.3， 0.2．根据产量和销量的不同，企业的盈利情况如下表：（单位：万元）试通过决策分析，确定生产线方案.【解】由企业的盈利情况表，可以将不同方案的期望值计算出来1()500.5150.3100.227.5E A =⨯+⨯-⨯=， 2()300.5200.300.221E A =⨯+⨯+⨯=， 3()100.5100.300.28E A =⨯+⨯+⨯=，比较期望值，选择期望收益值最大的方案作为最优方案，即确定建立新型生产线的方案． 练习6.3.11、求满足{}0.05P U λ≥=的U 分布的临界值λ. 【解】由0.05α=得，()10.97520.05λΦ=-=，查标准正态分布表得 1.96λ=.2、求满足{}0.01,P T λ≥=10n =的t 分布的临界值λ. 【解】根据0.01α=，19n -=，查t 分布临界值表得 3.25λ=.3、求满足{}2120.95P λχλ<<=，15n =的2χ分布的临界值12,λλ. 【解】由已知114n -=，0.05α=.计算{}2110.9752P αχλ>=-=，查2χ分布临界值表得1 5.629λ=；计算{}220.0252P αχλ≥==，查2χ分布临界值表得226.119λ=.练习6.3.21．乳业有限公司生产的袋装牛奶是用自动包装机包装的．每袋牛奶净含量X 服从正态分布2(,)N μσ，今从一批装好的牛奶中随机地抽取8袋，测其牛奶的净含量（单位：ml ）如下：499.5，500，498.5，501.5，500.5，500.5，499.5，500.5.试估计这批牛奶净含量的均值μ与方差2σ．【解】499.5+500+498.5+501.5+500.5+500.5+499.5+500.5500.06258x ==，82221111()(500.0625)0.8169617n i i i i s x x x n ===-=-≈-∑∑， 所以2ˆˆ500.0625,0.81696μσ==． （本题的结果可借助软件Excel 来求得）2．已知某种电子元件的寿命服从正态分布2(,)N μσ，现随机抽取10个，测得各电子元件的寿命(单位：小时)如下：3100 3480 2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260试估计这种电子元件寿命的均值μ与方差2σ．【解】3100+3480+2520+3700+2520+3200+2800+3800+3020+3260314010x ==，102221111()(3140)198133.333319n i i i i s x x x n ===-=-≈-∑∑， 所以2ˆˆ3140,198133.333μσ==． （可利用软件Excel 帮助计算） 练习6.3.31．设随机变量X 服从正态分布，即2~(,2.8)X N μ，已知一个容量为10的样本，其样本均值1500x =，求总体均值μ的置信区间（置信水平为0.95）.【解】根据题意2~(,2.8)X N μ，总体方差2σ已知，求总体均值μ的置信区间， （1）因10.95α-=，则0.05α=，查标准正态分布表得 1.96λ=；（2）由已知，1500x =，10n =， 2.8σ=，计算得1501.7355x +=，1498.2645x =（3）所以μ的置信水平为95%的置信区间为(1498.2645,1501.7355).2．某保险公司要估计去年投保人的平均理赔额，随机地抽取25个投保人，得理赔均值为739.98元，标准差为312.70元，已知理赔额2~(,)X N μσ，试求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间．【解】根据题意知2~(,)X N μσ，总体方差2σ未知，求总体均值μ的置信区间， （1）因195%α-=，0.05α=，25n =，查t 分布临界值表得 2.064λ=； （2）由已知，739.98x =，312.70s =；计算区间端点值869.06256,x +=610.80744x -=（3）所以μ的置信水平为95%的置信区间为（610.80744，869.06256）.3.某超市连续统计了十二个月的销售额（单位：万元），得方差20.305s =，如果销售额2~(,)X N μσ，试求方差2σ的置信水平为95%的置信区间.【解】根据题意2~(,)X N μσ，总体均值μ未知，求总体方差2σ的置信区间， （1）因195%α-=，0.05α=，111n -=，查2χ分布临界值表得1 3.816λ=，221.92λ=； （2）由已知，20.305s =，计算区间端点值21(1)n s λ-＝0.8792，22(1)n s λ-＝0.1531；（3）所以2σ的置信水平为95%的置信区间为（0.1531，0.8792）.*练习6.3.41．据统计资料知，某地区家庭对食品月支出X 元服从正态分布，即2~(,20)X N μ，现随机抽取9个家庭，得知家庭对食品的平均月支出为780元．是否可以认为居民家庭对食品月支出均值为800元？（0.05α=）【解】由题意知，2~(,20)X N μ，方差2σ已知，要检验总体均值μ. （1）提出假设01:800,:800H H μμ=≠；（2）选取统计量~(0,1)X U N ；（3）对检验水平0.05α=，查标准正态分布表得 1.96λ=，故拒绝域为(,1.96)-∞- (1.96,+∞； （4）根据样本值计算出780x =，统计量的值为3u ==，落入拒绝域，所以拒绝接受0H ，不认为居民家庭对食品月支出均值为800元．2．已知某砖瓦厂生产机制砖的抗断强度2kg /cm X 服从正态分布2(,)N μσ，从一批机制砖中随机抽取6块，经测量计算出31.6x =，0.867s =.试在检验水平0.05α=下,检验这批机制砖的抗断强度均值μ是否为232.0kg /cm .【解】由题意知，总体2~(,)X N μσ，其中2σ未知. 要检验总体均值μ. （1）提出假设01:32.0,:32.0H H μμ=≠；（2）选取统计量~(1)X T t n -；（3）对显著性水平0.05α=，15n -=，查t 分布临界值表得 2.571λ=，因此，拒绝域为(, 2.571)(2.571,)-∞-+∞ ；（4）由样本31.6x =，s =0.867.得统计量的值为 1.13t =，不落入拒绝域，因此接受0H ．即认为这批机制砖的抗断强度均值μ为232.0kg /cm ．3．已知某厂生产的饮料中钙含量服从正态分布2(,2)N μ．现改进了加工工艺，随机抽取了9瓶100ml 加钙饮料，测得其钙含量（单位：mg ）分别为：63.5 61.3 58.7 59.6 62.5 63.8 61.5 60.7 59.2 ．问新工艺下饮料钙含量的方差是否为4？(0.01)α=【解】由题意知2~(,2)X N μ，均值μ未知，要检验总体方差2σ. （1）提出假设222201:2,:2H H σσ=≠；（2）选取统计量 22220(1)~(1)n S n χχσ-=-；（3）对显著性水平0.01α=，18n -=，查2χ分布临界值表得1 1.344λ=及221.955λ=，因此拒绝域为(0,1.344)(21.955,)+∞ ；（4）由样本值计算出61.2x =，2 3.3625s =，统计量的值为28 3.36256.7254χ⨯==，没有落入拒绝域，故接受0H ．认为新工艺下饮料钙含量的方差是4.习题6.31．某百货公司准备在某地设置分店，为了确定分店的规模和商品的种类，需要知道该地区住户人均年收入情况，为此，在该地区随机抽查了10户居民，得人均年收入（单位：元）如下1213，1203，1106，1208，1307，1206，1101，1203，1216，1328.已知人均年收入服从2(,)N μσ，试估计该地区人均年收入的均值μ与方差2σ．【解】1213+1203+1106+1208+1307+1206+1101+1203+1216+13281209.110x ==，102221111()(1209.1)5131.6619n i i i i s x x x n ===-=-≈-∑∑， 故该地区人均年收入均值μ与方差2σ的估计值分别为：2ˆˆ1209.1,5131.66μσ==． （可利用软件Excel 帮助计算）2．测某型号螺丝钉的长度5次，数值（单位：mm ）分别为108.5 109.0 110.0 110.5 112.0假设测量的长度服从正态分布2~(,0.5)X N μ，试求这批螺丝钉的长度均值μ的置信区间 （0.05α=）．【解】根据题意2~(,0.5)X N μ，总体方差2σ已知，求总体均值μ的置信区间， （1）因0.05α=，查标准正态分布表得 1.96λ=； （2）由样本算得，110x =，5n =，0.5σ=，计算得110.44x +=，109.56x =（3）所以这批螺丝钉的长度均值μ的置信区间为(109.56,110.44).3．环保局人员从河流中取出15个水样，测定样本中的污染物的数量，计算得样本方差236.29s =.已知河流中的污染物的数量服从正态分布.求置信水平为95%的总体方差的置信区间．【解】根据题意2~(,)X N μσ，总体均值μ未知，求总体方差2σ的置信区间， （1）因195%α-=，0.05α=，114n -=，查2χ分布临界值表得1 5.629λ=，226.119λ=；（2）由已知，236.29s =，计算区间端点值21(1)n s λ-＝90.258，22(1)n s λ-＝10.452；（3）所以置信水平为95%的2σ的置信区间为（10.452，90.258）.*4．某面粉厂用自动装袋机包装面粉，已知每袋面粉标准重量（单位：kg ）2(25,0.1)X N ，长期实践表明方差2σ比较稳定, 从某日生产的袋装面粉中随机抽取10袋, 测得重量（单位：kg ）分别为24.9，25.0，25.1，25.2，25.2，25.1，25.0，24.9，24.8，25.1试在检验水平0.05α=下，检验这批袋装面粉的重量均值μ是否合乎标准.【解】由题意知，2(25,0.1)X N ，方差2σ已知，要检验总体均值μ. （1）提出假设01:25,:25H H μμ=≠；（2）选取统计量~(0,1)X U N ；（3）对检验水平0.05α=，查标准正态分布表得 1.96λ=，故拒绝域为(,1.96)-∞- (1.96,+∞； （4）根据样本值计算出25.03x =，统计量的值为0.949u ==，没有落入拒绝域，所以接受0H ，即认为这批袋装面粉的重量均值μ是合乎标准的．复习题6一、选择题1. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个.A. 241026P ⋅；B. 242610P P ⋅；C. 242610⋅；D.242610P ⋅.2. 设事件A 与B 相互独立，如果11(),(),43P A P B ==则()P A B +=( ) A.712 B. 12 C. 512 D. 133. 若1(,)3X B n 且{2}{3}P X P X ===，则n 为( ). A. 2 B. 4 C. 6 D. 84.掷一颗骰子，用随机变量X 表示出现的点数，则{24}P X <≤的值为( ). A.16； B.13； C. 12； D. 23. 5. 设总体2~(,)X N μσ，且λ为临界值．若2σ未知，2,x s 分别为样本均值和样本方差，样本容量为n ，则总体均值μ的置信区间为（ ）．A. (,)x x nnλσλσ-+B. (,)ssx x nnλλ-+C .(x x +D .(x x -【答案】 二、填空题1. 口袋中有3个红球2个白球，从中任取2球，则取出的2球颜色相同的概率为______________.2. 一射手向指定目标射击4枪，各枪射中与否相互独立，且每枪射中的概率是0.2，则4枪中恰好射中1枪的概率为 .3. 设(1,4)X N ， 则{1}P X ≤ = _________．4. 设{}0.1P T λ≥=，且10n =，则t 分布的临界值λ= .5. 设12,,,n X X X 是取自正态总体2(1,)N σ-的一个样本，X 为样本均值，X 服从的分布为 .【答案】1.223225C C C +＝25；2.134(0.2)(0.8)0.4096C =；3.(0)0.5Φ=；4.1.833；5.标准正态分布. 三、解答题1. 在10件产品中有3件次品，现从中任取2件产品，求下列事件的概率： （1）两件都是正品；（2）恰有一件正品；（3）至少有1件正品.【解】设A ={两件都是正品}；B={恰有一件正品}，D={至少有1件正品}，则A 与B 为互不相容事件，且D=A+B（1）P(A)=27210715C C =；（2）P(B)= 1173210715C C C =；（3）P(D)=P(A+B)=1415 . 2. 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为111,,543.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率.【解】设i A ={第i 人破译密码}，1,2,3i =，则123111(),(),()543P A P A P A ===，由题意，所求概率为1231231234323()1()1()()()15435P A A A P A A A P A P A P A ++=-++=-=-= 3. 设随机变量2(2,)X N σ ，且1{2}0.32P X <<=，求{0}P X <．【解】因1212232{2}()()0.5[1()]0.322P X σσσ--<<=Φ-Φ=--Φ=， 可得3()2σΦ=0.8，查表得30.842σ=，即σ=10.56， 所以02{0}()1(1.12)10.8686P X σ-<=Φ=-Φ=-=0.1314.4. 某工厂生产一种螺钉的长度服正态分布，为测量产品的长度（单位：mm ），现抽取10件，测得长度如下：32，33，30，36，38，39，35，37，36，34试估计这种产品的总体均值μ与总体方差2σ．【解】32+33+30+36+38+39+35+37+36+3410x ==35，10222111170()(35)7.778199n i ii i s x x x n ===-=-=≈-∑∑， 所以这种产品均值μ与方差2σ的估计值分别为：2ˆˆ35,7.778μσ==． 5．某果树场有一批红枣树，根据长期资料分析知，其每株产量服从正态分布，产量方差为4002kg .现随机抽9株，产量（单位：kg ）分别为：112，131，98，105，115，121，90，110，125.求这批红枣树每株平均产量的置信水平为0.95的置信区间.【解】根据题意2~(,20)X N μ，总体方差2σ已知，求总体均值μ的置信区间， （1）因10.95α-=，即0.05α=，查标准正态分布表得 1.96λ=； （2）由样本算得，10079x =，9n =，20σ=，计算得124.96x =，98.82x -= （3）所以这批红枣树每株平均产量μ的置信区间为(98.82,124.96).。
高数下册各章总复习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用8.01 在“充分”，“必要”，“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内：（1）()y ,x f 在点()y ,x 可微分是()y ,x f 在该点连续的充 分条件；()y ,x f 在点()y ,x 连续是()y ,x f 在该点可微分的必 要条件。
（2）)y ,x (f z =在点()y ,x 的偏导数x z ∂∂及y z∂∂存在是()y ,x f 在该点可微分的必 要条件；)y ,x (f z =在点()y ,x 可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z∂∂存的充 分条件。
（3）)y ,x (f z =的偏导数x z ∂∂及y z∂∂点()y ,x 存在且连续是()y ,x f 在该点可微分的充 分条件。
（4）函数()y ,x f z =的两个二阶混合偏导数y x z 2∂∂∂及x y z2∂∂∂在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的充 分条件。
8.02求函数()()222yx 1ln y x 4y ,x f ---=的定义域，并求()y ,x f lim 0y 21x →→。
解：1)⎩⎨⎧≤<+<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-->--≥-x4y 1y x 01y x 10y x 10y x 422222222，定义域：(){}x 4y ,1y x 0y ,x D 222≤<+<=2)由初等函数的连续性知：43ln 20211ln 0214)0,21(f )y ,x (f lim 2220y 21x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯==→→+8.03 证明极限422y 0x y x xy lim+→→不存在。
证明：当点()y ,x 沿用x k y 1=趋于点()0,0时，有222220x 4220x k y 0x k 1k x k x kx lim y x xy lim 1+=+=+++→→=→，显然它是随着k 的不同而改变的，故：极限422y 0x y x xy lim+→→+不存在。
同济版高数下册期末复习题
同济版高数下册期末复习题同济版高等数学下册涵盖了多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等内容。
以下是一份期末复习题，供同学们参考：一、多元函数微分学1. 定义题：解释什么是偏导数，并给出偏导数的几何意义。
2. 计算题：给定函数 \( f(x, y) = x^2y + y^3 - 2xy \)，求 \( f \) 关于 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
3. 证明题：证明如果函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (a, b) \) 处连续且可微，那么 \( f \) 在该点的偏导数存在。
4. 应用题：利用偏导数求函数 \( z = x^2 + y^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处的切平面方程。
二、重积分1. 计算题：计算区域 \( D = \{(x, y) | 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x\} \) 上的二重积分 \( \iint_D xy \, dx \, dy \)。
2. 变换题：将二重积分 \( \iint_D e^{x+y} \, dx \, dy \) 转换为极坐标形式并计算，其中 \( D \) 是单位圆盘。
3. 应用题：求由曲线 \( y = x^2 \)，直线 \( y = 1 \) 以及 \( x \) 轴所围成的区域的面积。
三、曲线积分与曲面积分1. 计算题：计算曲线积分 \( \oint_C (x^2 + y^2) ds \)，其中\( C \) 是圆 \( x^2 + y^2 = 1 \)。
2. 变换题：将曲面积分 \( \iint_S (x + y + z) dS \) 转换为球坐标形式，其中 \( S \) 是球面 \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \)。
3. 应用题：求由抛物面 \( z = x^2 + y^2 \)，平面 \( z = 1 \)以及 \( z \) 轴所围成的立体的体积。
高数(二)期末复习题
1 0
dρ
1 0
ρ3
sin
θ
cos
θ
dz
(C)
π
2
0
dθ
1 0
dρ
1 0
ρ2
sin
θ
cos
θ
dz
(B)
2π 0
1 0
dρ
1 0
ρ2
sin
θ
cos
θ
dz
(D)
π
2
0
dθ
1 0dρFra bibliotek1 0
ρ3
sin
θ
cos
θ
dz
6. 设 L 是 xoy 平面上的有向曲线, 下列曲线积分中, ( ) 是与路径无关的
(A) L 3yx2 dx + x3 dy (C) L 2x y dx − x2 dy
高数(二)期末复习题
只是把高数(二)期末复习题单独拿出来
作者： sikouhjw、xajzh 组织： 临时组织起来的重排小组 时间： May 29, 2019 版本： 1.00
“不论一个人的数学水平有多高, 只要对数学拥有一颗真诚的心, 他就在自己的心灵上得到了升华。”—SCIbird
目录
1 声明
7. 设 Σ 是上半圆锥面 z = x2 + y2(0
z
1)
,
则曲面积分
∬
Σ
x2 + y2
dS =
8. 级数
∞ n=1
1 n(n+1)
−
1 2n
的和为
三、综合题( 8 小题, 共 52 分)
1.
求方程
dy dx
=
xy 1+x2
高数经管类下册复习要点
高等数学B（2）复习要点（供参考）
第六章定积分：
1.基本性质及几何意义；
2.变上限的定积分及其导数；
3.换元、分部积分法；
4.反常积分敛散性的判断；
5.应用：面积S与旋转体体积。
第七章多元函数微积分：
1.一阶偏导数的概念；
2.复合函数、隐函数、抽象函数的一、二阶偏导、全微分；
3.极值应用：求经济问题中的最值问题以及几何应用问题；
4.二重积分的性质；
5.两种坐标系下计算二重积分。
第八章无穷级数：
1.基本性质，几何级数，P一级数的收敛条件；
2.正项级数的比值、根植、比较审敛法；
3.交错级数的审敛法；
4.绝对收敛、条件收敛的判别；
5.求幂级数的收敛半径、收敛域及和函数；
6.幂级数的间接展开法。
第九章微分方程：
1.一阶：变量可分离的、一阶线性微分方程的通解、特解以及几何应用；
2.二阶常系数齐次、非齐次微分方程的通解。
高等数学经管类下教材答案
高等数学经管类下教材答案在高等数学经管类下的教材中，经常会遇到各种各样的习题和问题。
作为学生，我们总是希望能够找到这些问题的答案，以便更好地理解和掌握知识。
因此，本篇文章将为大家提供一些高等数学经管类下教材中常见问题的答案。
希望能够对同学们的学习有所帮助。
一、微积分1. 求函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1的导数。
解答：将给定的函数f(x)进行求导，得到f'(x) = 6x^2 - 10x + 3。
2. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
解答：根据定积分的性质，我们可以将该积分转化为不定积分，即求解原函数F(x) = ∫x^2 dx，并将上下限代入计算。
最终得到∫(0 to 1)x^2 dx = [1/3 * x^3] (0 to 1) = 1/3。
二、线性代数1. 求解线性方程组：2x + 3y - z = 13x - 2y + z = 7x + y + 2z = 4解答：通过高斯消元法或矩阵求逆等方法，可以求解该线性方程组的解为x = 1，y = -2，z = 2。
2. 求矩阵A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]的特征值和特征向量。
解答：首先求解特征方程|A - λI| = 0，其中I为单位矩阵，λ为特征值。
然后将特征值代入(A - λI)x = 0求解特征向量。
最终得到矩阵A的特征值为{λ1 = 0, λ2 = 15, λ3 = 0}，对应的特征向量为{[1, -2, 1], [0, 1, 0], [-1, 2, -1]}。
三、概率论与数理统计1. 某个班级的成绩服从正态分布，均值为80，标准差为10。
求成绩在90分以上的概率。
解答：根据正态分布的性质，成绩在90分以上的概率可以表示为P(X > 90) = 1 - P(X ≤ 90)，其中X为成绩。
利用标准正态分布表或计算工具，可以求得P(X ≤ 90)的值，然后用1减去该值即可得到成绩在90分以上的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高数复习题（经管本科）一、填空题（每小题 3分）1、设a =｛1,2,1｝,b =｛-2,-1,1｝,则>=<b a,cos _________。
2、=+-→→xy xy y x 42lim10 。
3、交换二次积分的积分次序⎰⎰y y dx y x f dy 2202),(= 。
4、如果级数∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=+1)1(n n u 的敛散性为________________。
5、方程12+=x y 在空间解析几何中表示的图形是_________。
6．设42y x z +=，则=)1,1(dz．7．若级数∑∞=1n n u 收敛，则级数)1(12n n u n +∑∞= （填收敛或发散）． 8.微分方程0'4"=+y y 的通解为= ． 9．设22:4D x y +≤ (0)y >则Ddxdy =⎰⎰ ．10．已知)3,1,4(),1,1,1(B A -，则方向与AB 相同的单位向量0AB = ___________．11、设向量{}1,3,2a =- ，{}2,6,b l =，且a 与b 垂直，则l =_____ .12、设函数2sin()z x y x y =++，则2zx y∂=∂∂ .13、过点()01,1,2M -，且垂直于直线11:231x y zl +-==的平面方为 . 14、将二重积分10d (,)d xI x f x y y =⎰改变积分次序为 .15、级数2111n n n ∞=--∑的敛散性是 （填收敛、发散、不能判定）.16、微分方程430y y y '''-+=的积分曲线在()0,2处与直线20x y -+=相切的特解是 （具体值）.17．方程4130y y y '''-+=的通解是 ． 18．球面22224470x y z x y z ++-+--=的球心是 ．19．函数xy +=41关于x 的幂级数展开式为 ． 20．设D 是由1,==xy x y 及2=x 所围成的域，不计算⎰⎰=Dd y x f I σ),(的先y 后x的累次积分为=I ．21．已知点(4,0,5),(7,1,3)A B ，则方向与AB相同，过A 点的直线方程是 ．22.曲面222z x y =++的曲面名称是_____ __ .23．若级数11nn q∞=∑收敛，则24．点()2,3,4--在空间直角坐标系的位置是第 卦限. 25．2ln(21)z y x =-+的定义域 . 26. 将函数1()4f x x=-展开成1x -幂级数是 . 27．2y x =在平面几何中表示 图形，在空间几何中表示图形.28．过点（1，2，-1）且与直线：2,73,1x t y t z t =-=-+=-+垂直的平面方程为______________ ． 29．求00x y →→＝ .30．二阶常系数线性方程230y y y '''+-=的通解是 ．31．交换120(,)ydy f x y dx ⎰⎰的积分次序 _________．32.设2......,1n n a a aq aq aq q =++++<，则lim n n a →+∞=33.已知(1,2,3),(0,1,0)a b ==,则a b ⋅= 34.过点(0,1,2)且平行平面31x y z ++=的平面方程为35.交换积分次序11(,)0dx f x y dy x⎰⎰=36.微分方程022=+'+''y y y 的通解是 二、选择题（每小题 3 分）1、函数()y x f z ,=连续是),(z y x f =可微的（ ）条件。
（A ）充分 （B ）必要 （C ）充要 （D ）无关2、方程的3=+'y y x 通解是（ ）（A ）3+=x c y （B ） c x y +=3 （C ） 3--=x c y （D ）3-=xcy 3、设),(x y xy f z -=，则=∂∂xz（ ）。
（A ）21f f y '+' （B ）21f f y '-' （C ）21f f x '+' （D ）21f f x '-'4、设22(,),f x y x y x y +-=-则 =),(y x f （ ）.（A ）22x y - （B ）22x y + （C ）2()x y - （D ） xy5、累次积分rdr r r f d ⎰⎰20cos 0)sin ,cos (πθθθθ可以写成（ ）。
（A ） dy y x f dx x x ⎰⎰-1002),( （B ） dx y x f dy y ⎰⎰-1102),( （C ） dy y x f dx ⎰⎰101),( （D ） dx y x f dy y y ⎰⎰-102),(6．微分方程x y 2sin "=的通解是（ ）． （A ）Cx x y +=2sin 41. （B ）212sin 41C x C x y ++-=. （C ）Cx x y +-=2sin 41. （D ）212sin 41C x C x y ++=.7．已知区域轴和由x x x y D 1,==围成，则⎰⎰=Dd y x f σ),(（ ）.（A ）⎰⎰1010),(dy y x f dx . （B ）⎰⎰101),(xdy y x f dx .（C ）⎰⎰10),(x dy y x f dx . （D ）⎰⎰10),(ydx y x f dy .8．函数),(y x f z =在点),(00y x 处具有连续偏导数是它在该点可微的（ ）． （A ） 必要条件． （B ）充分条件．（C ）充分必要条件. （D ） 既非充分又非必要条件． 9．若级数∑∞=12n n a 收敛，则级数∑∞=1n n a （ ）．（A ）一定绝对收敛. （B)一定条件收敛.（C ）一定发散. （D ）可能收敛也可能发散. 10．微分方程022=+ydx dy x 的通解是（ ）.（A ） C e y x+=2. （B ） xCe y 21=. （C ） xCe y 21-= . （D ） xC e y 2=.11、已知两点(1,1,2)A -和(1,0,3)B -，则与AB同向的单位向量是 ( )(A) ；(B) ；(C) {；(D) ．12、二重积分312()d d DI x y x y =+⎰⎰与422()d d DI x y x y =+⎰⎰，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴及直线1x y +=所围成，则下列正确的是（ ）（A ）12I I ≥； （B ）12I I ≤； （C ）12I I =； （D ）以上都不是。
13、下列级数是条件收敛的是（ ） (A) 11(1)1n n nn ∞+=-+∑；(B) 1(1)n n ∞-=-∑ ； (C) 3121(1)nn n∞=-∑ ；(D) 1(1)n n ∞+=-∑14、微分方程y y '''=的通解是（ ）（A ）12x y c x c e =+ ；（B) 212y c x c x =+；（C ）12x y c c e =+；（D ）12y c c x =+. 15．函数)4ln(1),(2222y x y x y x f --+-+=的定义域是（ ）．(A){}21),(22<+<y x y x ； (B){}41),(22<+≤y x y x ；(C){}21),(22≤+<y x y x ； (D){}41),(22≤+≤y xy x ．16．设级数∑∞=1n n a 为一交错级数，则（ ）(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C) 若0→n a ()+∞→n ，则必收敛；(D)该级数可能收敛也可能发散．17．微分方程0)sin()()(4225333=++xy dx dyy x dxy d y 的阶数为（ ）．(A)2； (B)4； (C)3； (D)5；18．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x yx xy y x f ,则在点（0，0）处（ ）．（A ）不连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在；（C ）连续但偏导数不存在； （D ）不连续且偏导数不存在．19．若已知级数∑∞=1n n u 收敛，n S 是它的前n 项之和，则它的和是（ ）．(A)n S ; (B)n u ; (C)n n S ∞→lim ; (D)n n u ∞→lim ．20. 函数),(y x f z =在点),(00y x P 处连续是函数在该点偏导数存在的 ( ) (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件． 21.二阶常系数微分方程560y y y '''--=的通解是（ ）．（A ）612x x y c e c e -=+ ；（B)2312x x y c e c e -=+；（C ）x y c e -=；（D ）6x y ce =.22. 级数∑∞=+-02)1(n n nn x 的收敛区间为（ ）(A)()1,1- ； (B)[]1,1- ； (C)(]1,1- ； (D)[)1,1-。
23．方程323sin d 2(4tan )d 0x y y x x x y y xydy +++=是（ ）．（A ）一阶线性微分方程； （B ）贝努力方程； （C ）可分离变量方程； （D ）齐次方程． 24．若级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑分别收敛于12s s 和则必有（ ）．(A)()121n n n u v s s ∞=+=+∑ ； (B)121n n n u v s s ∞==∑ ；(C)112n n n u s v s ∞==∑ ； (D)1211n nv s ∞==∑．25．二元函数arcsin(1)ln()z y x y =-+-的定义域为（ ）. （A ）110y x y -≤->且. （B ）110y x y -<->且. （C ）11y -≤≥且x-y 0. (D) 110y x y -<-≥且. 26．设22sin xy z e -=，则zx∂=∂ （ ）. （A ）22sin xy e-- （B ）22cos xy e--.（C ）2222sinsin(2)xy y xy e --.（D ）24sin()xy xy -.27．级数12nnn x n∞=∙∑的收敛域是（ ）． （A ）(2,2)-. （B) (2,2]-. （C ）[2,2)-. （D ）[2,2]-． 28．微分方程34()0xyy x y y y ''''+-=的阶数是（ ）． （A ） 3 . （B) 4. （C ） 5 . （D ） 2 . 29．二元函数22(,)2()f x y x y x y =-+-的驻点是（ ）. (A) (1,1) . (B) (1,1)- . (C) (1,1)- . (D) (1,1)--. 30、级数∑∞=+1)(n n n b a 收敛，则（ ）.A 、∑∑∞=∞=11n n n n b a 和同时收敛.B 、∑∑∞=∞=11n n n n b a 和同时收敛或同时发散.C 、∑∑∞=∞=11n n n n b a 收敛而发散.D 、∑∑∞=∞=11n n n n b a 发散而收敛.31、函数的定义域是)(14arccos 2222y x n y x z +++=（ ）. A 、{}40),(22≤+≤y x y x .B 、{}22(,)04x y x y ≤+<.C 、{}22(,)04x y x y <+≤.D 、{}22(,)04x y xy <+<.32、设D 是曲4122≤+≤y x 所确定的平面区域，则二重积分Ddxdy =⎰⎰（ ）.A 、π .B 、π3.C 、π4.D 、π15.33、函数(,)z f x y =在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的( ). A 、必要而非充分条件. B 、充分而非必要条件.C 、充分必要条件.D 、既非充分又非必要条件.34、过点(1,0,2)-且与已知直线2x =0y =1-z平行的直线为（ ）.A 、 =102x y z =-.B 、12=201x y z -+=-.C 、12 =102x y z -+=-.D 、12201x y z +-==-.三、求偏导数或全微分（每小题 5 分） 1、已知)ln(arctan xy y x y z +=，求z x∂∂。