高中数学必修1第二单元测试题
2011-2012高一数学必修一单元测试
第二章 基本初等函数
班级 姓名 学号
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题只有一项是符合要求的）
1．下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ）
A．3xy B．3xy C．32xy D．13xy
2．函数210)2()5(xxy的定义域为 （ ）
A．}2,5|{xxx B．}2|{xx
C．}5|{xx D．}552|{xxx或
3.下列函数是偶函数的是 （ ）
A．xy B．322xy C．21xy D．]1,0[,2xxy
4．化简：2(4)＋＝ （ ）
A． 4 B． 2 4－ C．2 4－或4 D． 4 2－
5. 已知01,1ab,则函数xyab的图像必定不经过 （ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
6．下列各式中成立的一项 （ ）
A．7177)(mnmn B．31243)3(
C．43433)(yxyx D． 3339
7．函数0,0,12)(21xxxxfx，满足1)(xf的x的取值范围 （ ）
A．)1,1( B． ),1(
C．}20|{xxx或 D．}11|{xxx或
8．下列关系式中，成立的是 （ ）
A．10log514log3103 B． 4log5110log3031
C． 03135110log4log D．0331514log10log
9．若log9log90mn，那么,mn满足的条件是 （ ）
A、1 mn B、1nm C、01nm D、01mn
10．函数f(x)=ax与g(x)=ax-a的图象有可能是下图中的 （ ）
二、填空题：（每题5分，共２０分）
11. 若103,104xy，则10xy 。
12．当a＞0且a≠1时，函数f (x)=ax－2－3必过定点 .
13. 若()fx= a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为
14. 已知32a，那么33log82log6用a表示是
三、解答题：（满分80分，要求写出详细的解题过程）
15．(本小题满分12分)
(1) 求函数34log32xfxxx的定义域；
（2）计算：755223log(42)lg100log3log4
16. (本小题满分12分)
设01a，解关于x的不等式22232223xxxxaa。
0
1
(C)
y
17. (本题满分14分)
已知函数)1log)(2xxf（。
（1）求函数y=fx的零点；
（2） 若y=fx的定义域为[3，9]， 求fx的最大值与最小值。
18．(本题满分14分)
现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个
细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：
lg30.477,lg20.301
）.
19.(本题满分14分) 设函数)1lg()(2xxxf.
(1) 求函数的定义域；
(2) 判断函数fx的奇偶性，并给予证明；
（3）证明函数fx在其定义域上是单调增函数。
20．(本题满分14分)函数)43lg(2xxy的定义域为M，函数
124)(xx
xf
（Mx）.
(1) 求M；
(2) 求函数)(xf的值域；
(3) 当Mx时，若关于x的方程)(241Rbbxx有实数根，求b的取值范围，并讨
论实数根的个数.
人教A版(2019)高中数学 必修第一册第二章一元二次函数同步测试卷【答案】
人教A 版（2019）高中数学课时练 必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质一、选择题（60分）1．若2a ≠-，(21)(2)m a a =-+，(2)(3)n a a =+-，则m 、n 的大小关系是（ ）A ．m n =B ．m n <C ．m n >D ．m 、n 关系不确定 2．如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解有n （*n ∈N ）个，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(,)a b 共有（ ）个A ．17个B ．64个C ．81个D ．72个3．已知x ，y ，z 为正整数，x y z ≤≤，则方程11112x y z ++=的解得个数为（ ） A ．8 B ．10C ．11D ．12 4．已知函数()22f x x mx n =++，则()1f 、()2f 、()3f 与1的大小关系为（ ）A ．没有一个小于1B ．至多有一个不小于1C ．都不小于1D ．至少有一个不小于15．实数a ，b ，c 满足221a a c b =+--且210a b ++=，则下列关系成立的是（ ）A ．b a c >≥B ．c a b ≥>C ．b c a >≥D ．c b a ≥> 6．已知(),,,x f x e x R a b =∈<记()()()()()()1,2A f b f a B b a f a f b =-=-+，则,A B 的大小关系是（ ）A ．AB > B ．A B ≥C ．A B <D ．A B ≤7．设实数a ，b ，c 满足1a b >>，1c >，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．b a bc aa b ac +<<+ B ．1a bc b a b ac +<<+ C ．1a bc c cc b a +<<+ D a bc b ac +<<+8．已知x ，y 是正实数，则下列式子中能使x y >恒成立的是（ ）A ．21x y y x +>+B ．112x y y x +>+C ．21x y y x ->-D ．112x y y x->- 9．已知实数a ，b ，c.A ．若|a 2+b+c|+|a+b 2+c|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100B ．若|a 2+b+c|+|a 2+b–c|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100C ．若|a+b+c 2|+|a+b–c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100D ．若|a 2+b+c|+|a+b 2–c|≤1，则a 2+b 2+c 2＜10010．集合()*{,,|S x y z x y z N =∈、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是( )A ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉11．关于x 的不等式()()30x a x -->成立的一个充分不必要条件是11x -<<，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤-B ．0a <C ．2a ≥D ．1a ≥ 12．已知0<a <b <1e ，则下列正确的是（ ）A >>>B >>>C >>>D ．以上均不正确二、填空题（20分）13．设0a b >>，若x =，y =x ，y 的大小关系是________（用“<”号连接）. 14．已知,,a b a m +均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a b >,②a b <,③0m >,④0m <,⑤b m b a m a+>+.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.15．设x ，y 是正实数，记S 为x ，1y x +，1y中的最小值，则S 的最大值为______. 16．如果对于任意的正实数x ，不等式1a x x +≥恒成立，则a 的取值范围是_________． 17．设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]22,1.251==），则方程[]3240x x -+=的解为__.三、解答题（70分）18．设a b c R +∈，，，试证:对任意实数x y 、、z 有222x y z ⎫++≥++⎪⎪⎭19．已知0,0a b >>（1）若22a b +=，且211t a b≤++恒成立，求实数t 的最大值； （2）若函数()2f x x a x b =++-的最小值为1，证明：22a b +=；（3）若22m -<<，且()()2220m a m b ab -++-=，设+a b 的最小值为()g m ，求()g m 的值域. 20．符号[]x 表示不大于x 的最大整数()x R ∈,例如[]1.31=，[]22=，[]1.22-=-（1）已知方程[]0x =的解集为M ，不等式[]1x <-的解集为N ，求M 、N ；（2）设方程13x x ⎡⎤+-=⎣⎦的解集为A ，求A ；21．已知00x y >>，，求证：()()22119x y x y xy ++++.22．若实数x 、y 、m 满足|x ﹣m|＜|y ﹣m|，则称x 比y 接近m ．（1）若2x 比1接近3，求x 的取值范围；（2）已知函数f （x ）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∪D ，f （x ）等于x 2﹣2x 与x 中接近0的那个值，写出函数f （x ）的解析式，若关于x 的方程f （x ）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a 的取值范围；（3）已知a ，b∪R ，m ＞0且a≠b ，求证： 比接近0．23．(Ⅰ) (Ⅱ)试比较n n +1与(n +1)n (n ∈N +)的大小，根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.【参考答案】1．C 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．B 9．D 10．B 11．D 12．A13．x y <14．①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)1516．解：对于任意的正实数x ，不等式1a x x+恒成立， 即(1)a x x -(0,)x ∈+∞恒成立．令()(1)f x x x =-，只需a 大于等于()f x 的最大值． 1++m mb a 1²++m mb a。
高中人教A版数学必修1单元测试：第二章 基本初等函数(二)及解析
为幂函数，得 m2－m－
A
1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1.当 m＝2 时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3 在
(0，＋∞)上为减函数；当 m＝－1 时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)
在(0，＋∞)上为常数函数(舍去)，所以 m＝2，故选 A. 7．D 解析：当 x≤1 时，由 21－x≤2 知，x≥0，即 0≤x≤1；
18．(本小题满分 12 分)
1 2
已知函数 f(x)＝－2x . (1)求 f(x)的定义域； (2)证明：f(x)在定义域内是减函数．
19．(本小题满分 12 分)
3
xx
已知－3≤log0.5x≤－2，求函数 f(x)＝log22·log24的最大值和最小
值．
20．(本小题满分 12 分)
2－x，x∈(－∞，1]， 设 f(x)＝ x x
16．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若当 x∈(0，＋∞)时，f(x)
＝lg x，则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分) 计算下列各题：
1 13． 2，4] 解析：由题意知，2≤log2x≤2，即 log2 2≤log2x≤log24， ∴ 2≤x≤4.
1 14.24 解析：∵log23<4， ∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋3)＝f(log224)， ∵log224>4，∴f(log224)＝12log224＝214. 15. 3 3 解析：由图象过点(－2,0)，(0,2)，知
1 当 x>1 时，由 1－log2x≤2 知 x≥2，即 x>1.
高中数学(必修1)-----各章节测试题全套含答案
（数学1必修）第一章（上） 集合[基础训练A 组]一、选择题1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ．()()A CBC U I UB ．()()A B AC U I U C ．()()A B B C U I UD ．()A B C U I4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个二、填空题1．用符号“∈”或“∉”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N（2）1______,_______,______2R Q Q e C Q π-（e 是个无理数） （3{}|,,x x a a Q b Q =∈∈2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =I ，则C 的非空子集的个数为 。
3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =U _____________．A B C4．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 。
高中数学必修1 第二章解答题36题
一、解答题1、求满足log x y ＝1的y 与x 的函数关系式，并画出其图象，指出是什么曲线．2、已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg2＋lg x ＋lg y ，求xy的值．3、已知函数y ＝y 1＋y 2，其中y 1与log 3x 成正比例，y 2与log 3x 成反比例．且当x ＝19时，y 1＝2；当x ＝127时，y 2＝－3，试确定函数y 的具体表达式．4、设函数)1lg()(2++=x x x f .(1)确定函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)证明函数f (x )在其定义域上是单调增函数；(4)求函数f(x)的反函数.5、已求函数)1,0)((log 2≠>-=a a x x y a 的单调区间.6、现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg 30.477,lg 20.301==必修１第二章解答题36题7、设x ，y ，z ∈R +，且3x =4y =6z .(1)求证：y x z 2111=-;(2)比较3x ，4y ，6z 的大小.8、已知函数)(log )1(log 11log )(222x p x x x x f -+-+-+=.(1)求函数f (x )的定义域；(2)求函数f (x )的值域.9、如图，A，B，C 为函数x y 21log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t ,t +2,t+4(t ≥1).(1)设∆ABC的面积为S 求S=f (t )；(2)判断函数S=f (t )的单调性；(3)求S=f (t)的最大值.10、求证：函数3x y =在R 上为奇函数且为增函数.11、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系..6543212132323123---======xyxyxyxyxyxy）；（）；（）（；）；（）；（）（（A）（B）（C）（D）（E）（F）12、由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x成（即上涨率为10x涨价后，商品卖出个数减少bx成，税率是新定价的a成，这里a,b均为正常数，且a<10，设售货款扣除税款后，剩余y元，要使y最大，求x的值.13、讨论函数f(x)＝(15)x2－2x的单调性，并求其值域．14、已知f(x12x－1＋12x.(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)求证：f (x )>0.15、已知f (x )＝log a 1＋x 1－x(a >0且a ≠1)，(1)求f (x )的定义域；(2)判断y ＝f (x )的奇偶性；(3)求使f (x )>0的x 的取值范围．16、已知函数f (x )＝lg(a x －b x )，(a >1>b >0)．(1)求f (x )的定义域；(2)若f (x )在(1，＋∞)上递增且恒取正值，求a ，b 满足的关系式．17、已知函数f (x )＝(m 2－m －1)且x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．18、已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．19、已知函数(1)求f (x )的定义域；(2)证明f (x )在定义域内是减函数．20、已知x >1且x ≠43，f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．21、已知－3≤12log x ≤－32，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 4的最大值和最小值．22、已知函数f (x )＝log ax ＋1x －1(a >0且a ≠1)，(1)求f (x )的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．23、设函数f(x)＝2x ＋a2x －1(a 为实数)．(1)当a ＝0时，若函数y ＝g(x)为奇函数，且在x>0时g(x)＝f(x)，求函数y ＝g(x)的解析式；(2)当a<0时，求关于x 的方程f(x)＝0在实数集R 上的解．24、(1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n 的值；(2)计算：log 49－log 212＋5lg 210 .25、(1)计算：(－3)0－120＋(－2)－2－1416-；(2)已知a ＝12，b ＝132，求[23a -()()122123b ab a ----]2的值．26、已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b 2x ＋1＋2是奇函数．(1)求b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．27、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且关于x 的二次方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，判断△ABC 的形状．．28、设函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，14≤x ≤4，(1)若t ＝log 2x ，求t 的取值范围；(2)求f (x )的最值，并写出最值时对应的x 的值．29、已知函数f(x)＝log(ax＋b)，若f(2)＝1，f(3)＝2，求f(5)．230、已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]的值域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．31、已知指数函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的反函数g(x)的解析式；(2－3x)．(2)解不等式：g(x)≤loga32、已知f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x .(1)求证f (x )是定义域内的增函数；(2)求f (x )的值域．33、已知f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，求a 的值及函数值域．34、已知常数a 、b 满足a >1>b >0，若f (x )＝lg(a x －b x )．(1)求y ＝f (x )的定义域；(2)证明y ＝f (x )在定义域内是增函数；(3)若f (x )恰在(1，＋∞)内取正值，且f (2)＝lg 2，求a 、b 的值．35、(1)计算：lg 23－lg9＋lg10(lg 27＋lg8－lg 1000)(lg0.3)(lg1.2)(2)设a 、b 满足条件a >b >1,3log a b ＋3log b a ＝10，求式子log a b －log b a 的值．36、已知f (x )＝log a1＋x 1－x(a >0，a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)求使f (x )>0的x 的取值范围．以下是答案一、解答题1、[解析]由log x y ＝1得y ＝x (x >0，且x ≠1)画图：一条射线y ＝x (x>0)除去点(1,1)．2、[解析]＋2y >0－y >0>0>0x ＋2y )(x －y )＝2xy>y>0x ＋2y )(x －y )＝2xy>y >0x －2y )(x ＋y )＝0∴x －2y ＝0，因此x y＝2.3、[解析]设y 1＝k log 3x ，y 2＝m log 3x ，∴当x ＝19时，k log 319＝2，∴k ＝－1当x ＝127时，m log 3127＝－3，∴m ＝9∴y ＝y 1＋y 2＝－log 3x ＋9log 3x.4、(1)由⎪⎩⎪⎨⎧≥+>++010122x x x 得x ∈R，定义域为R.(2)是奇函数.(3)设x 1，x 2∈R，且x 1＜x 2，则11lg)()(22221121++++=-x x x x x f x f 12++=x x t ，则)1()1(22221121++-++=-x x x x t t .=)11()(222121+-++-x x x x =11))(()(2221212121++++-+-x x x x x x x x =1111)((222121222121++++++++-x x x x x x x x ∵x 1－x 2＜0，1121>++x x 01222>++x x 0112221>+++x x ，∴t 1－t 2＜0，∴0＜t 1＜t 2，1021<<t t ，∴f (x 1)－f (x 2)＜lg1=0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴函数f(x)在R上是单调增函数.(4)反函数为xx y 1021102⋅-=(x ∈R)5、由2x x ->0得0<x<1，所以函数)(log 2x x y a -=的定义域是(0,1)因为0<2x x -=414121(2≤+--x ，所以，当0<a <1时,41log )(log 2aa x x ≥-函数)(log 2x x y a -=的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41log a ;当a >1时,41log )(log 2aa x x ≤-函数)(log 2x x y a -=的值域为⎦⎤ ⎝⎛∞-41log ,a 当0<a <1时，函数)(log 2x x y a -=在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21上是增函数；当a >1时，函数)(log 2x x y a -=在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21上是减函数.6、现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为1131001002100222⨯+⨯⨯=⨯；2小时后，细胞总数为13139100100210022224⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；3小时后，细胞总数为191927100100210024248⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；4小时后，细胞总数为127127811001002100282816⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；可见，细胞总数y 与时间x （小时）之间的函数关系为：31002xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，x N*∈由103100102x⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭得83102x⎛⎫> ⎪⎝⎭两边取以10为底的对数，得3lg82x >，8lg3lg 2x >-8845.45lg 3lg 20.4770.301=≈--45.45x >经过46小时，细胞总数超过1010个.7、(1)设3x =4y =6z =t .∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴t ＞1，lg t ＞0，6lg lg ,4lg lg ,3lg lg log 3tz t y t t x ====yt t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-.(2)3x ＜4y ＜6z .8、(1)函数的定义域为(1，p ).(2)当p ＞3时，f (x )的值域为(－∞，2log 2(p +1)－2)；当1＜p ≤3时，f (x )的值域为(－∞，1+log2(p +1)).9、（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x轴，垂足为A 1,B 1,C 1，则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C .)441(log )2(4log 232231t t t tt ++=++=（2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5,[)∞++=.541在vv 上是减函数，且1<u ≤59;S ⎥⎦⎤⎝⎛=59,1log 3在u 上是增函数，所以复合函数S=f (t )[)+∞++=,1441(log 23在tt 上是减函数（3）由（2）知t =1时，S 有最大值，最大值是f (1)5log 259log 33-==10、解：显然)()()(33x f x x x f -=-=-=-奇函数；令21x x <，则))(()()(22212121323121x x x x x x x x x f x f ++-=-=-其中，显然21<-x x 222121x x x x ++=2222143)21(x x x ++由于0)21(221≥+x x 04322≥x 且不能同时为0，否则021==x x ，故043)21(22221>++x x x .从而0)()(21<-x f x f .所以该函数为增函数.11、解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下：（1）323x x y ==定义域.),0(16),0(15),0(14),0[3),0[22133223232331上减函数函数，在既不是奇函数也不是偶定义域为）（是减函数；是奇函数，在定义域）（是减函数；是偶函数，在定义域）（是增函数；，是偶函数，在定义域为）（是增函数；，是奇函数，在定义域为）（+∞==+∞==+∞==+∞==+∞==+--+--+-R xx y UR R x x y UR R x x y R x x y R x x y 通过上面分析，可以得出（1）↔（A），（2）↔（F），（3）↔（E），（4）↔（C），（5）↔（D），（6）↔（B）.12、解：设原定价A元，卖出B个，则现在定价为A(1+10x)，现在卖出个数为B(1－10bx)，现在售货金额为A(1+10x )B(1－10bx )=AB(1+10x )(1－10bx )，应交税款为AB(1+10x )(1－10bx)·10a ，剩余款为y =AB(1+10x)(1－10bx )101(a -=AB )1101100)(101(2+-+--x b x b a ，所以bb x )1(5-=时y 最大要使y 最大，x 的值为bb x )1(5-=.13、[解析]解法1：∵函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且有x 1<x 2，(1)当x 1<x 2≤1时，x 1＋x 2<2，则有x 2＋x 1－2<0，又∵x 2－x 1>0，∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)<0，又∵对于x ∈R ，f (x )>0恒成立，∴f (x 2)>f (x 1)，∴函数f (x )＝(15)x 2－2x在(－∞，1]上单调递增．(2)当1≤x 1<x 2时，x 1＋x 2>2，则有x 2＋x 1－2>0，又∵x 2－x 1>0，∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)>0，∴函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减．综上所述，函数f (x )在(－∞，1]上是增函数；在区间[1，＋∞)上是减函数．∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，又0<15<1，∴0<(15)x 2－2x ≤(15)－1＝5，∴函数f (x )的值域是(0,5]．解法2：∵函数f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，令t ＝x 2－2x ，u ＝(15)t ，又∵t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，u ＝(15)t 在其定义域内是减函数，∴函数f (x )在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上是减函数．以下求值域方法同上．14、解：(1)由2x －1≠0得x ≠0，∴函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R}．(2)在定义域内任取x ，则－x 一定在定义域内．f (－x 12－x－1＋12x )＝2x1－2x＋12x )＝－1＋2x21－2x·x ＝2x＋122x－1·x .而f (x 12x－1＋12＝2x ＋122x －1·x ，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(3)证明：当x >0时，2x>1，x >0.又f (x )为偶函数，∴当x <0时，f (x )>0.故当x ∈R 且x ≠0时，f (x )>0.15、[解析](1)依题意有1＋x1－x>0，即(1＋x )(1－x )>0，所以－1<x <1，所以函数的定义域为(－1,1)．(2)f (x )为奇函数．因为函数的定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝log a (1＋x 1－x )－1＝－log a 1＋x1－x ＝－f (x )，因此y ＝f (x )为奇函数．(3)由f (x )>0得，log a 1＋x1－x >0(a >0，a ≠1)，①当0<a <1时，由①可得0<1＋x1－x<1，②解得－1<x <0；当a >1时，由①知1＋x1－x >1，③解此不等式得0<x <1.16、解：(1)由a x －b x >0，得>1.∵a >1>b >0，∴ab>1，∴x >0.即f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)∵f (x )在(1，＋∞)上递增且恒为正值，∴f (x )>f (1)，只要f (1)≥0，即lg(a －b )≥0，∴a －b ≥1.∴a ≥b ＋1为所求．17、解：∵f (x )是幂函数，∴m 2－m －1＝1，∴m ＝－1或m ＝2，∴f (x )＝x －3或f (x )＝x 3，而易知f (x )＝x －3在(0，＋∞)上为减函数，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上为增函数．∴f (x )＝x 3.18、解：(1)函数定义域为R.f (－x )＝2－x－12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x－12x＋1＝－f (x )，所以函数为奇函数．(2)证明：不妨设－∞<x 1<x 2<＋∞，∴2x 2>2x 1.又因为f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－12x 2＋1－2x 1－12x 1＋1＝22x 2－2x 12x 1＋12x 2＋1>0，∴f (x 2)>f (x 1)．所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．19、∵x 2>x 1≥0，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 2)<f (x 1)．于是f (x )在定义域内是减函数．20、解f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝1＋log x 34＝log x 34x ，当1<x <43时，34x <1，∴log x 34x <0；当x >43时，34x >1，∴log x 34x >0.即当1<x <43时，f (x )<g (x )；当x >43时，f (x )>g (x )．21、解∵f (x )＝log 2x 2·log 2x4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝(log 2x －32)2－14，∵－3≤12log x ≤－32.∴32≤log 2x ≤3.∴当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )有最小值－14；当log 2x ＝3，即x ＝8时，f (x )有最大值2.22、解(1)＋1>0－1>0＋1<0－1<0，解得x >1或x <－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．(2)f (－x )＝log a－x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．f (x )＝log ax ＋1x －1＝log a (1＋2x －1)，函数u ＝1＋2x －1在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．所以当a >1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；当0<a <1时，f (x )＝log a x ＋1x －1(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增．23、解(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －1，由已知g (－x )＝－g (x )，则当x <0时，g (x )＝－g (－x )＝－f (－x )＝－(2－x －1)＝－(12)x ＋1，由于g (x )为奇函数，故知x ＝0时，g (x )＝0，∴g (x )x －1，x ≥0(12)x ＋1，x <0.(2)f (x )＝0，即2x ＋a2x －1＝0，整理，得：(2x )2－2x ＋a ＝0，所以2x ＝1±1－4a2，又a <0，所以1－4a >1，所以2x ＝1＋1－4a2，从而x ＝log 21＋1－4a2.24、解(1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3.∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12.(2)原式＝log 23－(log 23＋log 24)＋2lg 510＝log 23－log 23－2＋25＝－85.25、解(1)原式＝1－0＋1(－2)2－()1442-＝1＋142－1＝1＋14－12＝34.(2)因为a ＝12，b ＝132，所以原式＝231281142233ab a b -+-+⎛⎫= ⎪⎝⎭＝84144130333222221---⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.26、解(1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即b －12＋2＝0⇒b ＝1.∴f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1.(2)由(1)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1，设x 1<x 2则f (x 1)－f (x 2)＝12112121x x -++＝()()2112222121x x x x -++.因为函数y ＝2x在R 上是增函数且x 1<x 2，1212∴2x 2 －2x1 >0.又(2x 1 ＋1)( 2x 2 ＋1)>0，∴f (x )－f (x )>0，即f (x )>f (x )．∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因为f (x )是奇函数，从而不等式：f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0.等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.27、[解析]∵方程有等根∴Δ＝4－4[lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1]＝4－4lg 10(c 2－b 2)a 2＝0，∴lg 10(c 2－b 2)a 2＝1，∴10(c 2－b 2)a 2＝10∴c 2－b 2＝a 2即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形。
常德市必修一第二单元《函数》测试(含答案解析)
一、选择题1．如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()f x 在区间I 上为“缓增函数”，区间I 为()f x 的“缓增区间”.若函数()224f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则()f x 的“缓增区间”I 为（ ）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．[]0,1D ．[]1,22．已知函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．04m ≤≤B ．04m <≤C ．04m ≤<D ．04m <<3．已知函数()32f x x =-，2()2g x x x =-，(),()()()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，则（ ）A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x 的最大值为2C ．()F x 的最大值为7-，无最小值D ．()F x 的最大值为3，最小值为-14．函数()(3)()f x x ax b =--为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则(2)0f x ->的解集为（ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|5x x >或1}x <- C ．{|04}x x <<D ．{|4x x >或0}x <5．已知2()25x f x +=-，()()20g x ax a =+>，若对任意的[]11,2x ∈-，存在[]00,1x ∈，使()()10g x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]2B ．1[,3]2C ．[)3,+∞D ．(]0,36．对二次函数()2f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）． A ．1-是()0f x =的一个解 B ．直线1x =是()f x 的对称轴 C ．3是()f x 的最大值或最小值D ．点()2,8在()f x 的图象上7．设0a >且1a ≠，函数221x x y a a =+-在区间[]1,1-上的最大值是14，则实数a 的值为（ ） A ．13或2 B ．2或3C ．12或2 D ．13或3 8．高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.14-=-，[]4.84=.则函数21()122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为（ ） A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-9．已知函数()3221x f x x =-+，且()()20f a f b ++<，则（ ） A ．0a b +<B ．0a b +>C ．10a b -+>D ．20a b ++<10．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（ ） A ．[]4,-+∞B ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,411．已知函数()1,0,21,0,x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩若()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．[)(]2,00,2-C ．(](),22,-∞-+∞D ．()()2,00,2-12．函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的取值范围是___________.14．对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式224t mt m +>+恒成立，则实数t 的取值范围是________________.15．设函数2222,0(),0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩，若(())2f f a =，则a =___________.16．若()22f x x ax =-+与()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是______．17．如图，是某个函数的图象，则该函数的解析式y =__________；18．若函数211x y x -=-的值域是()[),03,-∞+∞，则此函数的定义域是____.19．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()0)(f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”．0x 是它的一个均值点，若函数()2f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是___________．20．函数y =a x (a >0且a ≠1)在［1,2］上的最大值比最小值大2a，则a =______. 三、解答题21．设函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且对任意的正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已知(2)1f =，且1x >时，()0f x >．（1）求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）判断()y f x =在(0,)+∞上的单调性，并给出你的证明；（3）解不等式2()(86)1f x f x >--．22．已知函数()2()01axf x a x =≠+. （1）判断函数()f x 在()1,1-上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （2）若2a =，函数满足44()55f x -≤≤，求x 的取值范围. 23．（1）已知()()43f x x a =-+时，当实数a 为何值时，()f x 是偶函数？（2）已知()g x 是偶函数，且()g x 在[)0,+∞是增函数，如果当[]1,2x ∈时()()6g x a g x +≤-恒成立，求实数a 的取值范围.24．已知函数()24f x x ax =-.（1）当1a =时，求函数()f x 的值域； （2）解关于x 的不等式()230f x a +>；（3）若对于任意的[)2,x ∈+∞，()21f x x >-均成立，求a 的取值范围. 25．已知二次函数2()23=-+f x x x ． （Ⅰ）求函数()2log 2y f x =+，1,44x ⎛⎤∈⎥⎝⎦的值域； （Ⅱ）若对任意互不相同的21,(2,4)x x ∈，都有()()1212f x f x k x x -<-成立，求实数k 的取值范围．26．已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上具有单调性，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若()0f x >对任意的[1,2]x ∈恒成立，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 求得()42f x x x x=+-，利用双勾函数的单调性可求出函数()f x x 的单调递减区间，并求出函数()f x 的单调递增区间，取交集可得出()f x 的“缓增区间”. 【详解】由二次函数的基本性质可知，函数()224f x x x =-+的单调递增区间为[)1,+∞.设()()42f x g x x x x==+-，则函数()g x 在区间(]0,2上为减函数，在区间[)2,+∞上为增函数，下面来证明这一结论.任取1x 、[)22,x ∈+∞且12x x >，即122x x >≥，()()()1212121212444422g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21121212121244x x x x x x x x x x x x ---=-+=，122x x >≥，则120x x ->，124x x >，所以，()()12g x g x >，所以，函数()g x 在区间[)2,+∞上为增函数，同理可证函数()g x 在区间(]0,2上为减函数. 因此，()f x 的“缓增区间”为[)(][]1,0,21,2I =+∞=.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，求解本题的关键在于理解“缓增区间”的定义，结合二次函数和双勾函数的单调性求对应函数的单调区间.2．C解析：C 【分析】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立，然后分0m =和0m ≠，结合题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立. 当0m =时，则有10>，合乎题意； 当0m ≠时，则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<. 综上所述，04m ≤<. 故选：C. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩； ②()0f x <在R 上恒成立，则0a <⎧⎨∆<⎩； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则0a <⎧⎨∆≤⎩. 3．C解析：C 【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，如图然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值， 所以由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-．结合函数图象可知当27x =-时，函数()F x 有最大值727-，无最小值． 故选：C ．【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数的图象，以及利用函数求最值，解答本题的关键是在同一坐标系中画出()f x 与()g x 的图象，根据图象得出函数的最值，由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-.4．B解析：B 【分析】根据函数是偶函数，求出a ，b 关系，结合单调性确定a 的符号即可得到结论． 【详解】2()(3)()(3)3f x x ax b ax a b x b =--=-++为偶函数， 所以22()(3)3(3)3f x ax a b x b ax a b x b -=+++-=++ 30a b ∴+=，即3b a =-，则2()(3)(3)(3)(3)9f x x ax a a x x ax a =-+=-+=-， 在(0,)+∞上单调递增，0a ∴>，则由(2)(1)(5)0f x a x x -=--->，得(1)(5)0x x +->， 解得1x <-或5x >，故不等式的解集为{|1x x <-或5}x >．故选：B 【点睛】思路点睛：解答本题只要按部就班化简转化函数为偶函数和单调性即可得解.由函数的奇偶性得到3b a =-，由函数的单调性得到0a >.5．A解析：A 【分析】根据指数函数的性质求出()f x 在[0,1]上的值域A ，利用一次函数的单调性求出()g x 在[1,2]-上的值域B ，由题得B A ⊆，再根据集合的包含关系即可求解.【详解】2()25x f x +=-，[]00,1x ∈，()()min 01f x f ∴==-，()()max 13f x f ==， ∴()f x 在[0,1]上的值域为[]1,3A =-，又()2(0)g x ax a =+>在[1,2]-上单调递增，∴()g x 在[1,2]-上的值域为[]2,22B a a =-++，由题意可得B A ⊆，021223a a a >⎧⎪∴-+≥-⎨⎪+≤⎩，解得102a <≤.故选：A 【点睛】本题考查函数的单调性求值域、集合的包含关系求参数的取值范围.探讨方程()()0f x g m -=解的存在性，通常可将方程转化为()()f x g m =，通过确认函数()f x 或()g m 的值域，从而确定参数或变量的范围6．A解析：A 【分析】可采取排除法，分别考虑A 、B 、C 、D 中有一个错误，通过解方程求得a ，判断a 是否为非零整数，即可得出结论. 【详解】①若A 错，则B 、C 、D 正确，直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得212434428b a ac baa b c ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎪⎩，解得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，合乎题意； ②若B 错，则A 、C 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=，3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得20434428a b c ac b a a b c -+=⎧⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； ③若C 错误，则A 、B 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得012428a b c b a a b c -+=⎧⎪⎪-=⎨⎪++=⎪⎩，解得831638a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，不合乎题意；④若D 错误，则A 、B 、C 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，可得2012434a b c b a ac b a⎧⎪-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得343294a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，不合乎题意.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用二次函数的基本性质求解参数，解本题的关键就是根据已知信息列出关于a 、b 、c 的方程组，解出参数的值，再逐一判断.7．D解析：D 【分析】本题首先可以令x t a =，将函数转化为()212y t =+-并判断出函数的单调性，然后分为01a <<、1a >两种情况进行讨论，根据最大值是14进行计算，即可得出结果. 【详解】令x t a =（0a >、1a ≠），则()222112y t t t =+-=+-， 因为0a >，所以0x t a =>，函数()212y t =+-是增函数， 当01a <<、[]1,1x ∈-时，1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时2max11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得13a =或15-（舍去）；当1a >、[]1,1x ∈-时，1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时()2max 1214y a =+-=，解得3a =或5-（舍去）， 综上所述，实数a 的值为13或3， 故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的最值求参数，能否通过换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键，考查二次函数单调性的判断和应用，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.8．C解析：C 【分析】先求出函数()21122x x f x =-+的值域，再根据题干中要求即可得出()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域. 【详解】()21121111=122122212x x x x xf x +-=--=-+++， ()121,x +∈+∞，()10,112x∴∈+，()11,012x∴-∈-+， 1111,21222x ⎛⎫∴-∈- ⎪+⎝⎭， 即函数()21122x xf x =-+的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由高斯函数定义可知：函数()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为{}1,0- 故选：C. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.9．A解析：A 【分析】求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解 【详解】由函数单调性性质得：3y x =，21xy =+在R 上单调递增所以()3221x f x x =-+在R 上单调递增， 令函数()()321121x x g x f x x -=+=-+，()()0g x g x +-=则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，故()()20f a f b ++<()()g a g b ⇔<-0a b a b ⇔<-⇔+<． 故选:A 【点睛】构造奇函数利用单调性是解题关键.10．B解析：B 【分析】结合函数对称性与解析式可知1,0-是零点，则2,3也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解 【详解】因为函数()()()21f x x x x ax b =+++有两个零点1-，0，又因为其图象关于直线1x =对称，所以2，3也是函数()f x 的两个零点，即()()()()123f x x x x x =+⋅--，所以()()()22223f x x x x x =---，令()222111t x x x =-=--≥-，则()()223933124y t t t t t t ⎛⎫=-=-=--- ⎭≥⎪⎝，所以94y ≥-，即()f x 的值域为9,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：（1）若函数对称轴为x a =，则有()()f a x f a x +=-； （2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.11．D解析：D 【分析】按0a >和0a <分类解不等式即可得． 【详解】[()()]0a f a f a -->，若0a >，则()()0f a f a -->，即1[2()1]0a a +--⨯-->，解得2a <，所以02a <<，若0a <，则()()0f a f a --<，即21(1)0a a ----+<，解得2a >-，所以20a -<<，综上，不等式的解为(2,0)(0,2)-．故选：D ． 【点睛】本题考查解不等式，解题方法是分类讨论．掌握分类讨论的思想方法是解题关键．12．D解析：D 【解析】 因为()sin()sin sin()sin 11()2222x x x xf x y f x ---=+==+=，所以函数sin sin 122xxy =+是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；又sin2sin2115()222222f πππ=+=+=，排除C ，综上，函数sin sin 122xxy =+大致的图象应为D 项，故选D.二、填空题13．【分析】本题首先可讨论的情况此时然后根据函数的解析式求出和通过即可求出的值最后讨论的情况此时通过得出此时无解即可得出结果【详解】若则因为函数所以因为所以解得若则因为函数所以因为所以无解综上所述的取值解析：32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】本题首先可讨论0a >的情况，此时11a -<、11a +>，然后根据函数()f x 的解析式求出()1f a -和()1f a +，通过()()11f a f a -=+即可求出a 的值，最后讨论0a <的情况，此时11a ->、11a +<，通过()()11f a f a -=+得出此时a 无解，即可得出结果. 【详解】若0a >，则11a -<，11a +>，因为函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，所以1212f aa a a ，1121f a a aa ，因为()()11f a f a -=+，所以21a a ，解得32a =， 若0a <，则11a ->，11a +<，因为函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，所以11213f aa a a ，12123f a a a a ，因为()()11f a f a -=+，所以1323a a ，无解，综上所述，32a =，a 的取值范围是32⎧⎫⎨⎬⎩⎭, 故答案为：32⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查分段函数的相关问题的求解，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.14．【分析】令由题意得出解出该不等式组即可得出实数的取值范围【详解】对于任意的不等式恒成立即不等式恒成立令则解得或因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题涉及主元思想的应用将问题转解析：()(),52,-∞-+∞【分析】令()()224f m t m t =-+-，由题意得出()10230f f ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，解出该不等式组，即可得出实数t 的取值范围. 【详解】对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式224t mt m +>+恒成立，即不等式()2240t m t -+->恒成立，令()()224f m t m t =-+-，则()()()()()()2211524202223324250f t t t t f t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-+-=-+>⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=-+-=-+>⎩， 解得5t <-或2t >，因此，实数t 的取值范围是()(),52,-∞-+∞.故答案为：()(),52,-∞-+∞.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，涉及主元思想的应用，将问题转化为一次函数不等式恒成立是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.15．【分析】先令则求解的值然后再分类讨论求解的值【详解】令则当时有无解当时有解得或所以或当时故无解；当时若则得若则即无解综上所述：故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用考查根据函数值求参难度一般解答时【分析】先令()f a t =，则()2f t =，求解t 的值，然后再分类讨论，求解a 的值. 【详解】令()f a t =，则()2f t =，当0t >时，有22t -=，无解， 当0t ≤时，有2222t t ++=，解得0t =，或2t =-， 所以()0f a =或()2f a =-，当()0f a =时，()2222110a a a ++=++>，20a -<，故 ()0f a =无解；当()2f a =-时，若0a >，则22a -=-，得a =若0a ≤，则2222a a ++=-，即2240a a ++=，无解，综上所述：a =【点睛】本题考查分段函数的应用，考查根据函数值求参，难度一般，解答时注意分类讨论思想的运用.16．【分析】根据二次函数和分式函数的单调性求解即可【详解】根据与在区间上都是减函数又的对称轴为所以又在区间上是减函数所以所以即的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数问题考查了数学解析：(]01， 【分析】根据二次函数和分式函数的单调性求解即可. 【详解】根据2()2f x x ax =-+与()ag x x=在区间[1，2]上都是减函数， 又()f x 的对称轴为x a =，所以1a ≤， 又()ag x x=在区间[1，2]上是减函数，所以0a > 所以01a <≤，即a 的取值范围为(]01，．故答案为：(]01，【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数问题，考查了数学运算能力.属于中档题.17．【分析】根据分段函数图象用待定系数法求解即可【详解】当时设函数为当时解得；当时设函数为当时时解得所以故答案为：【点睛】本题考查利用函数图象求解析式考查待定系数法是基础题解析：2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【分析】根据分段函数图象，用待定系数法求解即可. 【详解】当01x ≤<时，设函数为y kx =，当1x =时2y =，解得2k =； 当13x ≤≤时，设函数为y ax b =+， 当1x =时3y =，3x =时0y =，解得32a =-，92b =. 所以2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩.故答案为：2,0139,1322x xyx x≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩【点睛】本题考查利用函数图象求解析式，考查待定系数法，是基础题.18．【分析】先计算当和时的值然后分析原函数的图象性质根据函数的图象性质判断定义域【详解】令得令得函数则原函数在上单调递减在上递减画出函数的图象如图所示：由函数的图象可知当值域为时定义域应为故答案为：【点解析：(]1,11,22⎛⎫⋃⎪⎝⎭【分析】先计算当0y=和3y=时x的值，然后分析原函数的图象性质，根据函数的图象性质判断定义域．【详解】令211xyx-==-得12x=，令2131xyx-==-得2x=，函数2122112111x xyx x x--+===+---，则原函数在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上递减，画出函数211xyx-=-的图象如图所示：由函数211xyx-=-的图象可知，当值域为()[),03,-∞+∞时，定义域应为(]1,11,22⎛⎫⋃⎪⎝⎭．故答案为：(]1,11,22⎛⎫⋃⎪⎝⎭．【点睛】解答本题时，要先根据函数值域的端点求出自变量的值，然后通过原函数的图象及性质分析自变量的取值情况，其中将原函数解析式化为121y x =+-，结合反比例函数的图象性质分析211x y x -=-的性质是关键． 19．【分析】根据新定义可得在区间上有解利用分离变量法即可求出答案【详解】解：设∴在区间上有解即在区间上有解∵令单调递减时单调递增所以所以实数的取值范围是故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的新定 解析：[)0,+∞【分析】根据新定义可得2x mx m +=在区间()1,1-上有解，利用分离变量法即可求出答案． 【详解】解：设11x -<<，()()()()1111f f f x m --==--， ∴2x mx m +=在区间()1,1-上有解，即21x m x=-在区间()1,1-上有解，∵()()()()22212112211121111x x x x x y x x x x x-+----+====-+-----， 令()10,2x t -=∈，12y t t∴=+-，(]0,1t ∈单调递减，[)1,2t ∈时单调递增，所以120y t t=+-≥，所以实数m 的取值范围是[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的新定义题目，解题的关键是将问题转化为2x mx m +=在区间()1,1-上有解，分离参数求解，意在考查了分析能力、数学运算.20．或【分析】由题意按照分类结合指数函数的性质可得方程即可得解【详解】当时是增函数则解得或（舍去）；当时是减函数则解得或（舍去）；综上或故答案为：或【点睛】关键点点睛：涉及指数函数单调性问题底数为参数时解析：12或32【分析】由题意按照1a >、01a <<分类，结合指数函数的性质可得方程，即可得解.【详解】当1a >时，xy a =是增函数，则22a a a -=，解得32a =或0a =（舍去）； 当01a <<时，xy a =是减函数，则22a a a -=，解得12a =或0a =（舍去）； 综上，12或32故答案为：12或32【点睛】关键点点睛：涉及指数函数单调性问题，底数为参数时，一般都要分类讨论，分底数大于1与底数大于0小于1两种情况解决.本题考查了指数函数单调性的应用，考查了运算求解能力及分类讨论思想.三、解答题21．（1）1-； （2）函数单调递增，证明见解析； （3）3{|14x x <<或3}x >. 【分析】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可； （3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()f x 对任意的正实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立， 令1x y ==，可得(1)(1)(1)f f f =+，所以()10f =， 令12,2x y ==，可得1(1)(2)()2f f f =+，即11()02f +=，解得1()12f =-. （2）函数()f x 为增函数，证明如下： 设12,(0,)x x ∈+∞且12x x <， 令211,x x x y x ==，根据题意，可得2121()()()x f x f f x x +=，即2211()()()x f x f x f x -=， 又由1x >时，()0f x >，因为211x x >，可得21()0x f x >，即21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 所以函数()y f x =在(0,)+∞上的单调性.（3）由题意和（1）可得11(86)1(86)()[(86)](43)22f x f x f f x f x --=-+=-=-，又由不等式2()(86)1f x f x >--，即2()(43)f x f x >-，可得243430x x x ⎧>-⎨->⎩，解得314x <<或3x >，即不等式2()(86)1f x f x >--的解集为3{|14x x <<或3}x >. 【点睛】求解函数有关的不等式的方法及策略： 解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 22．（1）答案见解析；（2）(][)11,2,2,22⎡⎤-∞--+∞⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先设﹣1＜x 1＜x 2＜1，然后利用作差法比较f （x 2）与f （x 1）的大小即可判断函数的单调性，（2）把a ＝2代入后，然后把分式不等式转化为二次不等式组求解即可． 【详解】（1）当0a >时，函数()f x 在()1,1-上是增函数；当0a <时，()f x 在()1,1-上是减函数. 理由如下：当0a >时，任取1211x x -<<<，21212221()()11ax ax f x f x x x -=-++ 21122221()(1)(1)(1)a x x x x x x --=++. 因为111x -<<，211x -<<，∴1211x x -<<，1210x x ->，2212(1)(1)0x x ++>，210x x ->，所以21122212()(1)0(1)(1)x x x x x x -->++， 当0a >时，得21()()f x f x >，故函数()f x 在()1,1-上是增函数；同理可证，当0a <时，21()()f x f x <，所以函数()f x 在()1,1-上是减函数，得证.（2）2a =时，得22()1xf x x =+， ∴44()55f x -≤≤，即2424515x x -≤≤+，∴222520112,,2222520x x x x x x x ⎧++≥⇒≤--≤≤≥⎨-+≥⎩. 由此可得，x 的取值范围是(][)11,2,2,22⎡⎤-∞--+∞⎢⎥⎣⎦.【点睛】过程点睛：用定义证明单调性时，第一步，任取12,x x 并规定大小；第二步，将函数值作差并化简；第三步，判断每个因式符号进而得到函数值大小；第四步，下结论. 23．（1）0a =；（2）62a -≤≤. 【分析】（1）当0a =时，由()43f x x =+判断，当0a ≠时，由()(),f a f a -的关系判断；（2）根据()g x 是偶函数，将()()6g x a g x +≤-，转化为 ()()6g x a g x +≤-，再根据()g x 在[)0,+∞是增函数，转化为[]1,2x ∈时，6x a x +≤-恒成立求解. 【详解】（1）当0a =时，()43f x x =+是偶函数，当0a ≠时，a a ≠-，而()()()420f a f a a --=≠，()f x 不可能是偶函数，所以当0a =时，()f x 是偶函数；（2）由()g x 是偶函数知()()g x a g x a +=+，()()66g x g x -=-，且x a +，60x -≥，因为()g x 在[)0,+∞是增函数，及()()6g x a g x +≤-，所以当[]1,2x ∈时，6x a x +≤-恒成立， 即当[]1,2x ∈时，6x a x +≤-恒成立，即当[]1,2x ∈时，66x x a x -≤+≤-恒成立， 即当[]1,2x ∈时，662a x -≤≤-恒成立，所以62a -≤≤. 【点睛】方法点睛：函数奇偶性与单调性求参数问题，当涉及到偶函数时，要利用()()()f x f x f x -==转化为求解.24．（1）[)4,-+∞；（2）答案见解析；（3）1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由二次函数值域的求解方法可直接求得结果；（2）将不等式变为()()30x a x a -->，分别在0a =、0a <和0a >三种情况下讨论得到不等式的解集；（3）利用分离变量法得到142a x x <+-，令()12g x x x=+-，由对勾函数性质可求得()min g x ，由()min 4a g x <可求得结果.【详解】（1）当1a =时，()24f x x x =-，∴当2x =时，()min 484f x =-=-，则()f x 的值域为[)4,-+∞.（2）由()230f x a +>得：()()224330x ax a x a x a -+=-->，当0a =时，20x >，则不等式的解集为()(),00,-∞⋃+∞； 当0a <时，3a a <，则不等式的解集为()(),3,a a -∞+∞； 当0a >时，3a a >，则不等式的解集为()(),3,a a -∞+∞.（3）由()21f x x >-得：2421x ax x ->-，[)2,x ∈+∞142a x x∴<+- 记函数()12g x x x=+-，由对勾函数性质知：()g x 在[)2,+∞上单调递增， ()()1122222g x g ∴≥=+-=，142a ∴<，解得：18a <，a ∴的取值范围为1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：恒成立问题的常用处理方法是采用分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系：①若()a f x ≤恒成立，则()min a f x ≤；②若()a f x ≥恒成立，则()max a f x ≥.25．（Ⅰ）[]2,11；（Ⅱ）[)6,+∞. 【分析】（Ⅰ）令2log 2t x =+，求出其值域；再结合二次函数的性质即可求解；（Ⅱ）设12x x <，可得()()2211f x kx f x kx -<-，令()()g x f x kx =-，()2,4x ∈， 问题转化为()g x 在()2,4上是减函数，利用二次函数的性质建立不等式，即可求解. 【详解】（Ⅰ）令2log 2t x =+，因为1,44x ⎛⎤∈⎥⎝⎦， 所以(]2log 2,2x ∈-，(]2log 20,4t x =+∈，()()22log 223y f x f t t t =+==-+，对称轴为：1t = ，所以()223f t t t =-+在区间()0,1上单调递减，在区间()1,4上单调递增， 所以()()min 11232f t f ==-+=，()()2max 4424311f t f ==-⨯+=， 所以函数()2log 2y f x =+，1,44x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的值域为[]2,11， （Ⅱ）设12x x <，易知2()23=-+f x x x 在区间(2,4)上单调递增，所以()()12f x f x <，故()()1212f x f x k x x -<-可化为()()2122f x f x kx kx -<-，即()()2211f x kx f x kx -<-，令()()()223g x f x kx x k x =-=-++，()2,4x ∈， 所以()()21g x g x <，即()g x 在()2,4上是减函数，故242k +≥， 解得：6k ≥所以实数k 的取值范围是[)6,+∞【点睛】 关键点点睛：第二问的关键点是将已知条件转化为()()2211f x kx f x kx -<-，构造函数()()g x f x kx =-，可得()()21g x g x <，问题转化为()g x 在()2,4上是减函数，利用二次函数的对称轴建立不等式，即可求解.26．（1）(,3][1,)-∞-⋃-+∞（2）()1,-+∞【分析】（1）根据二次函数对称轴与区间关系，即可求解；（2）分离参数可得42(1)4k x ->--，求出44y x =--的最大值即可求解. 【详解】（1）由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知， 函数()f x 图象的对称轴为1x k =-.因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，所以12k -≤或14k -≥，解得3k ≤-或1k ≥-，所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞.（2） 因为()0f x >对任意的[1,2]x ∈恒成立， 所以可得42(1)k x x->--对任意的[1,2]x ∈恒成立，因为44()44y x x x =--=-+≤-=-，当且仅当2x =时等号成立， 即max 4y =-，所以只需2(1)4k ->-，解得1k -<，所以实数k 的取值范围为()1,-+∞.【点睛】关键点睛：不等式在某区间上恒成立求参数的取值范围，一般需要分离参数，转化为求最值问题，往往可以利用函数单调性或均值不等式求最值，即可求出答案，本题中利用了均值不等式，特别注意等号是否能取到，否则不能用均值不等式求最值.。
高中数学必修1第一、二章阶段性测试月考试卷
高中数学必修一第一、二章数学测试题试题姓名： 班级： 学号：一、选择题（共5分×10＝50分） 命题人: 1．下列说法正确的是（）A .Q Z ⊆ B. N R ∈ C. N Q ⊆ D. *Z N ⊆ 2．设集合 A ＝{x|－1＜x ＜2}，集合B ＝{x|1＜x ＜3}，则 A∪B 等于( )A. {x|－1＜x ＜3}B. {x|－1＜x ＜1}C. {x|1＜x ＜2}D. {x|2＜x ＜3}3．集合{}2*|70,A x x x x =-<∈N ，则*|,8B y y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N 中元素的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 4．已知集合M 满足{}1,2M{}1,2,3，则集合M 的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4 5．下列表达的是函数关系的是（ ）A. 某地区的时间与气温；B. 人的睡眠质量与身体状况的关系；C. 小麦的亩产量与土壤的关系；D. 人的身高与其饮食情况 6．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A. ()()22,f x x g x x ==B. ()()01,f x g x x ==C. ()()233,f x x g x x == D.()()2,f a g x x a ==7．函数1y x =- ）A. [],1-∞B. []1,+∞C. [)1,+∞D. (],1-∞8．下列表示正确的是（）A. []{},/a b x a x b =<< B .[){},/a b x a x b =<≤ C. (]{},/a b x a x b =≤< D. R=(),-∞+∞ 9．下列函数中哪个与函数y x =-相等（ ）A. 2y x =-B. ()11x x y x --=-C.33x - D. y x x =-10.已知函数()(]()0,1g 2,f x x x =+的定义域为，那么()()f g x 的定义域是（） A.(]2,3 B.(]2,1-- C.(]0,1 D.[)0,1 二、填空题(共5分×6＝30分)11．已知{}21,x x ∈-，则实数x 的值是_______. 12．函数()21f x x =-的定义域是__________.13．下列与函数1y x =-是相同函数的是________．①()21y x =- ②()211x f x x -=+③()331y x =- ④()1f a a =-， ()1a >14．函数()1214f x x x =--的定义域是 . 15．已知()2x mf x x -=+，且()30f =，则()3f -=__________.16．已知函数()1g x x +=的定义域为(]1,3 ，()221f x x +=+，那么()()2g f x + 的定义域是__________.三、解答题(共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知集合{|24}A x x =≤<， {|23}B x a x a =+≤≤， （1）当2a =时，求A B ⋂（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围18.（8分）求下列函数定义域 （1）y =（2）()()22f x x x =-（3）()f x =19.（12分）已知函数()f x =（1）当()2b f x b =∅时，若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若()f x 的定义域为R ，且()2220a b b a -+-=，求实数a b 和的取值范围。
【人教A版】高中数学必修一第一、二章复习题(含答案)
人教A 版必修一第一、二章阶段性复习试题一、选择题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =,{}2,4,5A =，则u C A =( )A. {}2,4,6B. {}1,3,6,7C. {}1,3,5,7D. ∅ 2.下列函数中,在区间(0,)+∞上是增函数的是( )A. 21y x =-+B.23y x =-+C. 3log y x =D.1()2x y =3．函数f (x 3log (4)x -的定义域是（ ）A. ∅ B .()1,4 C. [)1,4 D. (-∞，1) [4，+∞]4.下列四组函数中表示同一函数的是（ ）（A ）f （x ）=x ，g （x ）=2)x ( （B ）f （x ）=x 2，g （x ）=xx 3（C ）f （x ）=2x ，g （x ）=|x| （D ）f （x ）=0，g （x ）=4x -+x 4-5．若==x x 则,25102（ ） A 、51lgB 、5lgC 、5lg 2D 、51lg 2 6.函数223,[0,3]y x x x =-++∈的值域是( )A.(,4]-∞ B [4,)+∞ C.[0,3] D.[0,4]7.⎩⎨⎧>≤=0,log 0,3)(2x x x x f x 则)]41([f f =（ ）A 、9B 、91C 、1D 、 3 8．已知()bx ax x f +=2是定义在[]a a 2,1-上的偶函数，那么b a +的值是（ ） A.31-B.31C.21D.21- 9.三个数为0.233log 0.2,3,0.2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( ) A.a c b >> B.a b c << C. a c b << D. a b c >> 10.已知42()f x ax bx x m =+-+，(2)1f =，则(2)f -=（ ） A.5 B.0 C. 3 D. -211.设奇函数()x f 在()0,∞-上为减函数，且()02=f ，则()()023>--xx f x f 的解集为（ ）A.()()+∞⋃-,20,2B.()()2,02,⋃-∞-C.()()∞+⋃-∞-.22.D.()()2,00,2⋃- 12. 已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是( ) A.0<m ≤4 B.0≤m ≤1 C.m ≥4 D.0≤m ≤4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13.幂函数()f x 的图象过点，则()f x 的解析式_____________ 14. 已知()x f 是在R 上的奇函数，当0<x 时，()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=31，那么___________21=⎪⎭⎫⎝⎛f 15.设.__________,12154==+==m ba mb a 则且,. 16．设函数()f x x x bx c =++，给出下列4个命题：①0,0b c =>时，方程()0f x =只有一个实数根；②0c =时，()y f x =是奇函数；③()y f x =的图象关于点()0,c 对称；④方程()0f x =至多有2个不相等的实数根．上述命题中的所有正确命题的序号是 ． 三、解答题 17.化简求值（1）10.500.25325277()()()16988----+（2）2(lg 2)lg 2lg50lg 25+•+18. 已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}．(1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．19. 高一（1）班某个研究性学习小组进行市场调查，某生活用品在过去100天的销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足()()N t t t t g ∈≤≤+-=,1001110.前40天的价格为()()4018≤≤+=t t t f ，后60天的价格为()()10041695.0≤≤+-=t t t f . ⑴试写出该种生活用品的日销售额S 与时间t 的函数关系式； ⑴试问在过去100天中是否存在最高销售额，是哪天？20.已知f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x )．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并加以说明； (3)求f ⎝⎛⎭⎪⎫22的值．21. （本小题满分12分）已知函数y =M 。
高中数学(必修1)-各章节测试题全套含答案
（数学1必修）第一章（上） 集合[基础训练A 组]一、选择题1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ．()()A CBC U I UB ．()()A B AC U I U C ．()()A B B C U I UD ．()A B C U I4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个二、填空题1．用符号“∈”或“∉”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N（2）1______,_______,______2R Q Q e C Q π-（e 是个无理数） （3{}|,,x x a a Q b Q =∈∈2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =I ，则C 的非空子集的个数为 。
3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =U _____________．A B C4．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 。
高中数学必修1习题含答第二章 章末检测
章末检测一、选择题1．若a <12，则化简4(2a －1)2的结果是( )A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2aD ．－1－2a2．设集合M ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N 等于( )A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)∪(0,1)3．幂函数的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)4．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P 等于( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞5．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12C ．2D ．46．函数y ＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( )A ．[0，53)B ．[0，53]C ．[1，53)D ．[1，53]7．函数y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x ≥1)的值域为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[4，＋∞)D ．[3，＋∞)8．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是( )A ．7B ．7 2C ．±7 2D ．989．若实数x ，y 满足|x －1|－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数的图象形状大致是( )10．下列式子中成立的是( )A ．log 0.44<log 0.46B ．1.013.4>1.013.5C ．3.50.3<3.40.3D ．log 76<log 6711．方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程22x ＋1－9·2x ＋4＝0的解集为N ，那么M与N 的关系是( ) A ．M ＝N B ．M N C ．MND ．M ∩N ＝∅12．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上具有单调性，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为( )A ．f (b －2)＝f (a ＋1)B ．f (b －2)>f (a ＋1)C ．f (b －2)<f (a ＋1)D ．不能确定二、填空题13．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．14．函数f (x )＝a x －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________． 15．已知函数f (x )＝2x ＋3，f －1(x )是f (x )的反函数，若mn ＝16 (m ，n 为正实数)，则f－1(m )＋f－1(n )的值为________．16．设f (x )＝lg 2＋x 2－x，则f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f ⎝⎛⎭⎫2x 的定义域为________________． 三、解答题17．化简下列各式：(1)22.53150.064-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦－3338－π0；(2)2lg 2＋lg 31＋12 lg 0.36＋14lg 16.18．如果函数f (x )＝(m 2－m －1)223m m x --是幂函数，且在区间(0，＋∞)内是减函数，求满足条件的实数m 的值．19．设函数f (x )＝2x ＋a2x －1(a 为实数)．(1)当a ＝0时，若函数y ＝g (x )为奇函数，且在x >0时g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )的解析 式；(2)当a <0时，求关于x 的方程f (x )＝0在实数集R 上的解． 20．已知函数f (x )＝1x a－ (a >0且a ≠1)．(1)若函数y ＝f (x )的图象经过P (3,4)点，求a 的值； (2)若f (lg a )＝100，求a 的值；(3)比较f ⎝⎛⎭⎫lg 1100与f (－2.1)的大小，并写出比较过程． 21．已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a >1)．(1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证明：f (x )是R 上的增函数．22．已知常数a 、b 满足a >1>b >0，若f (x )＝lg(a x －b x )．(1)求y ＝f (x )的定义域；(2)证明：y ＝f (x )在定义域内是增函数；(3)若f (x )恰在(1，＋∞)内取正值，且f (2)＝lg 2，求a 、b 的值．答案1．C 2．C 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．C 13.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 14．(1,4) 15．－2 16．(－4，－1)∪(1,4) 17．解 (1)原式＝253112536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥--⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭=1521335233431102⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝52－32－1＝0. (2)原式＝2lg 2＋lg 31＋12lg 0.62＋14lg 24＝2lg 2＋lg 31＋lg 2×310＋lg 2＝2lg 2＋lg 31＋lg 2＋lg 3－lg 10＋lg 2＝2lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3＝1.18．解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1m 2－2m －3<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2＝0m 2－2m －3<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－1－1<m <3，∴m ＝2. 从而有f (x )＝x －3是幂函数，且在区间(0，＋∞)内是减函数． 19．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －1，由已知g (－x )＝－g (x )，则当x <0时，g (x )＝－g (－x ) ＝－f (－x )＝－(2－x －1) ＝－(12)x ＋1，由于g (x )为奇函数，故知x ＝0时，g (x )＝0， ∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ≥0－(12)x＋1， x <0.(2)f (x )＝0，即2x ＋a2x －1＝0，整理，得：(2x )2－2x ＋a ＝0， 所以2x ＝1±1－4a2，又a <0，所以1－4a >1， 所以2x＝1＋1－4a2， 从而x ＝log 21＋1－4a2. 20．解 (1)∵函数y ＝f (x )的图象经过P (3,4)，∴a 3－1＝4，即a 2＝4.又a >0， 所以a ＝2.(2)由f (lg a )＝100知，a lg a －1＝100. ∴lg a lg a －1＝2(或lg a －1＝log a 100)． ∴(lg a －1)·lg a ＝2. ∴lg 2a －lg a －2＝0， ∴lg a ＝－1或lg a ＝2， ∴a ＝110或a ＝100.(3)当a >1时，f ⎝⎛⎭⎫lg 1100>f (－2.1)； 0<a <1时，f ⎝⎛⎭⎫lg 1100<f (－2.1)．因为，f ⎝⎛⎭⎫lg 1100＝f (－2)＝a －3， f (－2.1)＝a －3.1，当a >1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上为增函数， ∵－3>－3.1，∴a －3>a －3.1. 即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100>f (－2.1)； 当0<a <1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∵－3>－3.1，∴a －3<a －3.1， 即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100<f (－2.1)． 21．(1)解 ∵定义域为x ∈R ，且f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x 1＋a x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)解 f (x )＝a x ＋1－2a x ＋1＝1－2a x ＋1，∵a x ＋1>1，∴0<2a x ＋1<2，即f (x )的值域为(－1,1)．(3)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝1111x x a a -+－2211x x a a -+＝121222(1)(1)x x x x a a a a -++<0 (∵分母大于零，且a >1时，y ＝a x 为R 上的增函数，由x 1<x 2得1xa <2xa )， ∴f (x )是R 上的增函数． 22．(1)解 ∵a x －b x >0，∴a x >b x ，∴(ab)x >1. ∵a >1>b >0，∴ab>1.∴y ＝(ab )x 在R 上递增．∵(a b )x >(ab)0，∴x >0. ∴f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)证明 设x 1>x 2>0， ∵a >1>b >0，∴a x 1>a x 2>1,0<b x 1<b x 2<1. ∴－b x 1>－b x 2>－1. ∴a x 1－b x 1>a x 2－b x 2>0.又∵y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴lg(a x 1－b x 1)>lg(a x 2－b x 2)， 即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在定义域内是增函数．(3)解 由(2)得，f (x )在定义域内为增函数， 又恰在(1，＋∞)内取正值， ∴f (1)＝0.又f (2)＝lg 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ lg (a －b )＝0，lg (a 2－b 2)＝lg 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a 2－b 2＝2.解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12.。
上海罗店中学必修一第二单元《函数》测试(含答案解析)
一、选择题1．我们把定义域为[)0,+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：①对任意的[)0,x ∈+∞，总有()0f x ≥；②若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，给出下列四个结论：（1）若()f x 为“Ω函数”，则()00f =；（2）若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[)0,+∞上为增函数；（3）函数()0,1,x Q g x x Q ∈⎧=⎨∉⎩在[)0,+∞上是“Ω函数”（Q 为有理数集）；（4）函数()2g x x x =+在[)0,+∞上是“Ω函数”；其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．若关于x 的不等式342x x a+-在[0x ∈，1]2上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，1]2- B ．(0，1] C ．1[2-，1] D ．[1，)+∞3．函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．32a --≤≤C ．2a ≤-D ．0a < 4．已知函数()y f x =是定义在R 上的单调函数，()0,2A ，()2,2B -是其函数图像上的两点，则不等式()12f x ->的解集为（ ）A ．()1,3B ．()(),31,-∞-⋃+∞C ．()1,1-D ．()(),13,-∞+∞5．已知2()25x f x +=-，()()20g x ax a =+>，若对任意的[]11,2x ∈-，存在[]00,1x ∈，使()()10g x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]2 B ．1[,3]2C ．[)3,+∞D ．(]0,3 6．对二次函数()2f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）．A ．1-是()0f x =的一个解B ．直线1x =是()f x 的对称轴C ．3是()f x 的最大值或最小值D ．点()2,8在()f x 的图象上7．已知函数f (x )的定义域为R ，满足f (x )=2f (x +2)，且当x ∈[2-，0) 时，19()4f x x x =++，若对任意的m ∈[m ，+∞)，都有1()3f x ≤，则m 的取值范围为（ ）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．)5,2⎡-+∞⎢⎣D ．11,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 8．若函数2()2(2)1f x mx m x =+-+的值域为0,，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,4B ．()(),14,-∞⋃+∞C ．(][)0,14,+∞D ．[][)0,14,+∞9．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -是奇函数，(1)f x +为偶函数，当11x -≤≤时，()13131x x f x +-=+，则以下各项中最小的是（ ） A ．()2018f B ．()2019f C ．()2020f D ．()2021f 10．设f (x )､g (x )､h (x )是定义域为R 的三个函数，对于以下两个结论:①若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均为增函数，则f (x )､g (x )､h (x )中至少有一个增函数; ②若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均是奇函数，则f (x )､g (x )､h (x )均是奇函数，下列判断正确的是（ ）A ．①正确②正确B ．①错误②错误C ．①正确②错误D ．①错误②正确 11．已知函数()f x 的定义域为R ,对任意的 12,x x <都有1212()(),f x f x x x -<-且(3)4,f =则(21)2f x x ->的解集为( )A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞ 12．函数2log x y x x=的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题13．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是________. 14．已知定义在 +R 上的函数 ()f x 同时满足下列三个条件：① ()31f =-；②对任意 x y +∈R ， 都有 ()()()f xy f x f y =+；③ 1x > 时 ()0f x <，则不等式()()612f x f x <-- 的解集为___________．15．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．16．若对任意x ，y R ∈都有()()()f x y f x f y +=⋅，且()12f =，则()()()()()()246135f f f f f f +++⋅⋅⋅()()()()()()201020122014200920112013f f f f f f +++的值是______. 17．已知函数()1f x x x =+，()12x g x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若[]11,2x ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是______.18．已知函数()f x 是R 上的奇函数，()()2g x af x bx =++，若(2)16g =，则(2)g -=______．19．函数()f x =的单调递增区间为__________．20．若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25[,4]4--，则m 的取值范围______. 三、解答题21．定义：满足()f x x =的实数x 为函数()f x 的“不动点”，已知二次函数()()20f x ax bx a =+≠，()1f x +为偶函数，且()f x 有且仅有一个“不动点”． （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增，求实数k 的取值范围； （3）是否存在区间[](),m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ？若存在，请求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数()2m f x x x=++（m 为实常数）. （1）当4m =时，试判断函数在[)2,+∞上的单调性，并用定义证明； （2）设0m <，若不等式()f x kx ≤在1[,1]2x ∈有解，求实数k 的取值范围.23．已知函数()2342()log log 16a f x x x =⋅⋅.（1）若1a =，求方程()1f x =-的解集；（2）当[]2,4x ∈时，求函数()f x 的最小值.24．已知函数()y f x =的定义域为D ，若存在区间[],a b D ⊆，使得()[]{}[],,,y y f x x a b a b =∈=，则称区间[],a b 为函数()y f x =的“和谐区间”. （1）请直接写出函数()3f x x =的所有的“和谐区间”； （2）若[]()0,0m m >为函数()312f x x =-的一个“和谐区间”，求m 的值； （3）求函数()22f x x x =-的所有的“和谐区间”.25．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：①对任意的(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+；②当且仅当1x >时，()0f x <成立.（1）求()1f ；（2）设()12,0,x x ∈+∞，若()()12f x f x <，试比较1x ，2x 的大小关系，并说明理由； （3）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()()22333310x x x x f f m --⎡⎤+≤+-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.26．已知定义在R 上的函数()f x 对任意,x y R ∈都有等式()()()1f x y f x f y +=+-成立，且当0x >时，有()1f x >.（1）求证：函数()f x 在R 上单调递增；（2）若()34f =，关于x 不等式)3f t f +>有解，求t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】利用“Ω函数”的定义依次判断即可，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”.【详解】解：对（1），由①得()00f ≥，在②中令0x y ==，即()()020f f =，解得：()00f ≤，()00f ∴=，故（1）正确；对（2），当()0f x =时，满足①②，但在[)0,+∞不是增函数，故（2）错误； 对（3），当x ，y 都为正无理数时，不满足②，故（3）错误；对（4），()2g x x x =+，当[)0,x ∈+∞时，min ()(0)00g x g ==≥，即满足条件①，222()()()()20g x y g x g y x y x y x x y y xy +--=+++----=≥，即满足条件②，∴函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数”，故（4）正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解“Ω函数”的定义，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”.2．D解析：D【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论.【详解】 解：由题意知，342x x a +-在(0x ∈，1]2上恒成立，设3()42x f x x =+-， 则函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上为增函数，∴当12x =时，()12max 113()4211222f x f ==+-=-=， 则1a ，故选：D .【点睛】关键点睛：本题的关键是将已知不等式恒成立问题，通过参变分离得到参数的恒成立问题，结合函数的单调性求出最值.3．B解析：B【分析】由题得函数在定义域上单增，列出不等式组得解.【详解】因为对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在定义域R 上单增，01215a a a a <⎧⎪⎪-≥⎨⎪≥---⎪⎩ 解得32a --≤≤ 故选：B【点睛】分段函数在R 上单增，关键抓住函数在端点处右侧的函数值大于等于左侧的函数值是解题关键.4．D解析：D【分析】根据题意可得出(0)2,(2)2f f ==-，从而得出()f x 在R 上为减函数，从而根据不等式()12f x ->得，(1)(2)f x f -<或(1)(0)f x f ->，从而得出12x ->或10x -<，解出x 的范围【详解】解：由题意得(0)2,(2)2f f ==-，因为函数()y f x =是定义在R 上的单调函数，所以()f x 在R 上为减函数，由()12f x ->，得(1)2f x ->或(1)2f x -<-，所以(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<，所以10x -<或12x ->，解得1x <或3x >，所以不等式()12f x ->的解集为()(),13,-∞+∞， 故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查绝对值不等式的解法，解题的关键是把()12f x ->转化为(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<，再利用()f x 在R 上为减函数，得10x -<或12x ->，考查数学转化思想，属于中档题5．A解析：A【分析】根据指数函数的性质求出()f x 在[0,1]上的值域A ，利用一次函数的单调性求出()g x 在[1,2]-上的值域B ，由题得B A ⊆，再根据集合的包含关系即可求解.【详解】2()25x f x +=-，[]00,1x ∈，()()min 01f x f ∴==-，()()max 13f x f ==，∴()f x 在[0,1]上的值域为[]1,3A =-，又()2(0)g x ax a =+>在[1,2]-上单调递增，∴()g x 在[1,2]-上的值域为[]2,22B a a =-++，由题意可得B A ⊆，021223a a a >⎧⎪∴-+≥-⎨⎪+≤⎩，解得102a <≤. 故选：A【点睛】本题考查函数的单调性求值域、集合的包含关系求参数的取值范围.探讨方程()()0f x g m -=解的存在性，通常可将方程转化为()()f x g m =，通过确认函数()f x 或()g m 的值域，从而确定参数或变量的范围6．A解析：A【分析】可采取排除法，分别考虑A 、B 、C 、D 中有一个错误，通过解方程求得a ，判断a 是否为非零整数，即可得出结论.【详解】①若A 错，则B 、C 、D 正确，直线1x =是()f x 的对称轴，则12b a-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=， 点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=， 可得212434428b a ac b a a b c ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎪⎩，解得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，合乎题意； ②若B 错，则A 、C 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=，3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=， 点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=， 可得20434428a b c ac b aa b c -+=⎧⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； ③若C 错误，则A 、B 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12b a-=， 点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=， 可得012428a b c b a a b c -+=⎧⎪⎪-=⎨⎪++=⎪⎩，解得831638a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，不合乎题意；④若D 错误，则A 、B 、C 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12b a-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=， 可得2012434a b c b a ac b a⎧⎪-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得343294a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，不合乎题意. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用二次函数的基本性质求解参数，解本题的关键就是根据已知信息列出关于a 、b 、c 的方程组，解出参数的值，再逐一判断.7．D解析：D【分析】求出[2,0)x ∈-时，()f x 的值域，满足1()3f x ≤，根据函数的定义，[0,2)x ∈时，满足1()3f x ≤，同时可得0x ≥时均满足1()3f x ≤，然后求得[4,2)x ∈--时的解析式，解不等式1()3f x ≤得解集，分析后可得m 的范围． 【详解】 [2,0)x ∈-时，19()4f x x x =++在[]2,1--上递增，在[1,)-+∞上递减，1(),4f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，满足1()3f x ≤， 当[0,2)x ∈时，2[2,0)x -∈-，11()(2)[,)28f x f x =-∈-∞，满足满足1()3f x ≤， 按此规律，2x ≥时，()f x 均满足1()3f x ≤， 当[4,2)x ∈--时，29()2(2)2(2)22f x f x x x =+=++++，由2912(2)223x x +++≤+， 解得1043x -≤≤-或1124x -≤<-，当101134x -<<-时，1()3f x >．因此当114x ≥-时，都有1()3f x ≤， 所以114m ≥-． 故选：D ．【点睛】 关键点点睛：本题考查函数不等式恒成立问题，解题关键是依照周期函数的性质，根据函数的定义求出()f x 在[2,22)k k +（k ∈N ）满足1()3f x ≤，在[2,0)-上直接判断，求出[4,2)--上的解析式，确定1()3f x ≤的范围，此时有不满足1()3f x ≤的x 出现，于是可得结论m 的范围． 8．D解析：D【分析】令t =()0,t ∈+∞()0,+∞，记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，进而分0m =和0m ≠两种情况，分别讨论，可求出m 的取值范围.【详解】令t =1y t =的值域为0,，根据反比例函数的性质，可知()0,t ∈+∞()0,+∞， 记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆， 若0m =，则()41g x x =-+，其值域为R ，满足()0,A +∞⊆；若0m ≠，则00m >⎧⎨∆≥⎩，即()204240m m m >⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得4m ≥或01m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[][)0,14,+∞.故选：D. 9．D解析：D【分析】利用已知条件可知(2)()0f x f x --+=、(2)()f x f x -=，进而得到(8)()f x f x +=，即周期为8，应用周期性结合已知区间解析式，即可知()2018f 、()2019f 、()2020f 、()2021f 中最小值.【详解】(1)f x -是奇函数，即(1)f x -关于(0,0)对称，()f x ∴的图象关于点(1,0)-对称，即(2)()0f x f x --+=．又)1(f x +为偶函数，即(1)f x +关于0x =对称，()f x ∴的图象关于直线1x =对称，即(2)()f x f x -=．(2)(2)0f x f x --+-=，(2)(2)0f x f x ∴-++=，即(8)()f x f x +=，函数()y f x =的周期为8， (2018)(2)(0)1f f f ∴===，(2019)(3)(1)0f f f ==-=，(2020)(4)(2)(0)1f f f f ==-=-=-，(2021)(5)(3)(1)2f f f f ==-=-=-，故(2021)f 最小．故选：D【点睛】本题考查了函数的性质，根据已知奇偶性推导函数的周期，应用函数周期求函数值，进而比较大小，属于基础题.10．D解析：D【分析】可举出反例判断①错误；根据奇偶性的性质可判断②正确，结合选项可得答案．【详解】①错误，可举反例：21()31x x f x x x ⎧=⎨-+>⎩， 230()30121x x g x x x x x +⎧⎪=-+<⎨⎪>⎩，0()20x x h x x x -⎧=⎨>⎩，均不是增函数； 但()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数；故①错误；②()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是奇函数；()()()()[()()]2()f x g x f x h x g x h x f x ∴+++-+=为奇函数；()f x ∴为奇函数；同理，()g x ，()h x 均是奇函数；故②正确．故选：D ．【点睛】本题考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义与性质，知道()f x 和()g x 均是奇函数时，()()f x g x ±也是奇函数． 11．A解析：A【分析】由题可得[][]1122()()0f x x f x x ---<,可构造函数()()F x f x x =-是R 上的增函数,原不等式可转化为()()213F x F ->,再结合增函数的性质可求出答案. 【详解】 由题意,[][]121211221122()()()()()()0f x f x x x f x x f x x f x x f x x -<-⇔-<-⇔---<, 因为12,R x x ∈且12,x x <所以函数()()F x f x x =-是R 上的增函数.()3(3)31F f =-=,因为(21)2(21)(21)1f x x f x x ->⇔--->,所以()()213F x F ->, 则213x ->,解得2x >. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数的单调性的应用,构造函数()()F x f x x =-是解决本题的关键,属于中档题.12．D解析：D 【解析】()222log ,0log log ,0x x x y x x x x >⎧==⎨--<⎩，所以当0x >时，函数22log log x y x x x ==为增函数，当0x <时，函数()22log log xy x x x==--也为增函数，故选D. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.二、填空题13．【分析】函数是增函数可得且即可求解【详解】因为函数为上的增函数所以当时递增即当时递增即且解得∴综上可知实数的取值范围是故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围需满足分段函数 解析：(]0,2【分析】函数是增函数可得30a ->，0a >且2(3)151aa -⨯-≤-，即可求解. 【详解】因为函数()f x 为R 上的增函数，所以当1x ≤时，()f x 递增，即30a ->，当1x >时，()f x 递增，即0a >， 且2(3)151aa -⨯-≤-，解得2a ≤，∴02a <≤， 综上可知实数a 的取值范围是(]0,2. 故答案为：(]0,2. 【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，需满足分段函数每部分分别单调，还应注意在分段处的函数值大小问题，这是容易漏掉的地方.14．【分析】用赋值法由已知得到把转化为即再用定义法证明在上为减函数利用单调性可得答案【详解】因为对任意有令得所以令则所以可等价转化为即设当时则所以所以在上为减函数故由得得又所以原不等式的解集为故答案为：解析：()13， 【分析】用赋值法由已知得到()()()9332f f f =+=-，把()()612f x f x <--转化为()()61(9)f x f x f <-+，即()()699f x f x <-，再用定义法证明()f x 在(0,)+∞上为减函数，利用单调性可得答案. 【详解】因为对任意12,(0,)x x ∈+∞，有()()()f xy f x f y =+，令x y ==fff =+，得()231f f ==-，所以12f =-， 令3x y ==，则()()()9332f f f =+=-，所以()()612f x f x <--可等价转化为()()61(9)f x f x f <-+， 即()()699f x f x <-，设120x x <<，12,(0,)x x ∈+∞，当1x > 时 ()0f x <，则()()()22211111·x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫==+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()12()f x f x >，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，故由()()699f x f x <-， 得699x x >-，得3x <，又1x >，所以原不等式的解集为(1,3). 故答案为：（1,3） 【点睛】 思路点睛：确定抽象函数单调性解函数不等式的基本思路： 第一步(定性)确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性；第二步(转化)将函数不等式转化为不等式类似()()f M f N <等形式；第三步(去)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号f “”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步(求解)解不等式或不等式组确定解集.15．f(－3)>f(－π)【解析】由得是上的单调递增函数又解析：f (－3)>f (－π)【解析】由()()1212()[]0x x f x f x >－－ 得()f x 是R 上的单调递增函数，又3(3)()f f ππ>∴>－－，－－ ．16．2014【分析】令得利用赋值法进行求解利用即可的值【详解】对任意的都有且令则故答案为：2014【点睛】本题主要考查函数值的计算利用赋值法是解决抽象函数的常用方法解析：2014 【分析】 令1y =，得(1)2()f x f x +=，利用赋值法进行求解．利用(1)2()f x f x +=，即可()()()()()()246135f f f f f f +++⋅⋅⋅()()()()()()201020122014200920112013f f f f f f +++的值． 【详解】对任意的x ，y R ∈都有()()()f x y f x f y +=，且(1)2f =，∴令1y =，则(1)()(1)2()f x f x f f x +==，∴(1)2()f x f x +=， ∴(2)(4)(6)(2012)(2014)222210072014(1)(3)(5)(2011)(2013)f f f f f f f f f f +++⋯++=++⋯+=⨯=． 故答案为：2014. 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用赋值法是解决抽象函数的常用方法．17．【分析】转化为可求得结果【详解】因为在上单调递增所以当时因为在上单调递减所以当时若使只要使即可即解得所以实数的取值范围为故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题可按如下规则转化：解析：3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】转化为()()12min min f x g x ≥可求得结果. 【详解】因为()f x 在[1,2]上单调递增，所以当[]11,2x ∈时，()1522f x ≤≤， 因为()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[1,1]-上单调递减， 所以当[]21,1x ∈-时，()2122m g x m -≤≤-. 若[]11,2x ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使()()12f x g x ≥， 只要使()()12min min f x g x ≥即可. 即122m -≤，解得32m ≥-，所以实数m 的取值范围为3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．18．【分析】分析的奇偶性根据的结果求解出的值【详解】令因为为上的奇函数且也为上的奇函数所以为上的奇函数所以所以且所以故答案为：【点睛】结论点睛：已知（1）当为奇数时且此时为奇函数；（2）当为偶数时为偶函数 解析：12-【分析】分析()()2h x g x =-的奇偶性，根据()()22h h +-的结果求解出()2g -的值. 【详解】令()()()2h x g x af x bx =-=+，因为()f x 为R 上的奇函数，且y bx =也为R 上的奇函数，所以()()2h x g x =-为R 上的奇函数，所以()()220h h +-=， 所以()()22220g g -+--=，且()216g =，所以()212g -=-， 故答案为：12-.结论点睛：已知()(),0nf x x a n Z n =+∈≠，（1）当n 为奇数时，且0a =，此时()f x 为奇函数； （2）当n 为偶数时，()f x 为偶函数.19．【分析】先求出函数的定义域在利用复合函数单调性得解【详解】因为或所以函数的定义域为由在上单减在单增由复合函数单调性质得函数在单增故答案为：【点睛】复合函数单调性同增异减注意定义域属于基础题 解析：(,1)-∞-【分析】先求出函数的定义域，在利用复合函数单调性得解. 【详解】因为22303x x x -->⇒>或1x <- 所以函数的定义域为(,1)(3,)-∞-+∞由223t x x =--在(,1)-∞-上单减，在(3,)+∞单增 由复合函数单调性质得函数()f x =在(,1)-∞-单增故答案为：(,1)-∞- 【点睛】复合函数单调性“同增异减”，注意定义域.属于基础题20．；【分析】根据函数的函数值结合函数的图象即可求解【详解】又故由二次函数图象可知：要使函数的定义域为值域为的值最小为；最大为3的取值范围是：故【点睛】本题考查了二次函数的定义域值域特别是利用抛物线的对解析：332m ≤≤； 【分析】根据函数的函数值325()24f =-，()(0)34f f ==-，结合函数的图象即可求解.【详解】22325()34()24f x x x x =--=--，325()24f ∴=-，又()(0)34f f ==-，故由二次函数图象可知：要使函数234y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25[,4]4-- m 的值最小为32；m 的取值范围是：332m ． 故332m【点睛】本题考查了二次函数的定义域、值域，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，考查了数形结合思想，属于基础题．三、解答题21．（1）21()2f x x x =-+（2）3,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）4,0m n =-=，证明见解析 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出2b a =-，再将()f x 有且仅有一个“不动点转化为方程()f x x =有且仅有一个解，从而得出()f x 的解析式；（2）当102k -=时，由一次含函数的性质得出12k =满足题意，当102k -≠时，讨论二次函数()g x 的开口方向，根据单调性确定112x k=-与区间()0,4端点的大小关系得出实数k 的取值范围； （3）由2111()(1)222f x x =--+得出16m n <，结合二次函数的单调性确定()f x 在区间[],m n 上是增函数，从而得出()3()3f m m f n n=⎧⎨=⎩，再解方程2132x x x -+=得出m ，n 的值. 【详解】 （1）22(1)(1)(1)(2)f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++为偶函数20,22a bb a a+∴=∴=-- 2()2f x ax ax ∴=-f x 有且仅有一个“不动点”∴方程()f x x =有且仅有一个解，即[](21)0ax x a -+=有且仅有一个解211210,,()22a a f x x x ∴+==-=-+（2）221()()2g x f x kx k x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其对称轴为112x k=- 函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增∴当12k <时，1412k -，解得3182k < 当12k =时，()g x x =符合题意 当12k >时，1012k<-恒成立 综上，3,8k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（3）221111()(1)2222f x x x x =-+=--+ f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ，113,26nn ∴，故16m n < ()f x ∴在区间[],m n 上是增函数()3()3f m m f n n =⎧∴⎨=⎩，即22132132m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩∴,m n 是方程2132x x x -+=的两根，解得0x =或4x =-4,0m n ∴=-=【点睛】关键点睛：已知函数21()2g x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在具体区间上的单调性求参数k 的范围时，关键是讨论二次项系数的值，结合二次函数的单调性确定参数k 的范围. 22．（1）增函数；证明见解析；（2）当23m ≤-时，[)45,k m ∈++∞;当203-<<m 时， [)3,k m ∈++∞ 【分析】（1）用函数单调性的定义进行证明得解； （2）参变分离得到221m k x x++≤，再换元转化为二次函数求最值得解. 【详解】（1）()f x 为[)2,+∞上的增函数 证明如下：任取[)12,2,x x ∈+∞，且12x x < 则()121212121212444()()x x f x f x x x x x x x x x --=-+-=- 21120,4x x x x ->>所以12()()f x f x <；所以()f x 为[)2,+∞上的增函数 （2）由()f x kx ≤，得2mx kx x++≤ 212[,1],12m x k x x∈∴++≤令1t x =，[]2211()21()1,(1,2)g t mt t m t t m m =++=++-∈ 则1[,1]2x ∈有解，当且仅当[]min ()(1,2)k g t t ≥∈0m <当132m ->即203-<<m 时，min ()(1)3g t g m ==+ 当1302m <-≤即23m ≤-时，min ()(2)45g t g m ==+ 综上， 当23m ≤-时，[)45,k m ∈++∞. 当203-<<m 时， [)3,k m ∈++∞ 【点睛】函数不等式恒成立问题通常转化为函数最值问题，注意对参数进行讨论.23．（1）122⎫⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）2343,243,332812,3a a a a a a ⎧+≥-⎪⎪⎪--<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩.【分析】（1）根据对数的运算化简方程即可得出解集；（2）根据二次函数的对称轴，分类讨论，即可求出函数的最小值. 【详解】()()234342222()log log 16log log 2log a a f x x x x x =⋅⋅=⋅+()22log 43log (0)x a x x =+>（1）若1a =，则()22()log 43log 1f x x x =+=-， 令2log t x =，则方程为(43)1t t +=-， 解得：13t =-或1t =-， 则21log 3x =-或2log 1x =-，∴132x -==或12x =，∴方程的解集为122⎫⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭. （2）∵[2,4]x ∈， ∴2log [1,2]x ∈， 令2log [1,2]t x =∈，则[]()(34),1,2f t t t a t =+∈，对称轴为23t a =-. ①当213a -≤，即32a ≥-时，min ()(1)43f t f a ==+； ②当2123a <-<，即332a -<<-时，2min 24()33f t f a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； ③当223a -≥，即3a ≤-时，min ()(2)812f t f a ==+. 综上，2min 343,243(),332812,3a a f x a a a a ⎧+≥-⎪⎪⎪=--<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩.【点睛】关键点点睛：二次函数求最值问题，需要根据开口方向及对称轴研究函数的最值，对称轴与定义域[1,2]的关系，分3种情况讨论即可，属于中档题.24．（1）[]1,0-、[]0,1、[]1,1-；（2）2；（2）[]1,0-和[]1,3-. 【分析】（1）本题可令3x x =，解得0x =或±1，然后根据函数()3f x x =的单调性以及“和谐区间”定义即可得出结果；（2）本题首先可将函数转化为()321,23321,23x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，然后令312x x -=，解得25x =或2，最后绘出函数图像，结合函数图像即可得出结果； （3）本题可令22x x x -=，解得0x =或3，然后结合函数图像即可得出结果. 【详解】（1）函数()3f x x =是增函数，定义域为R ，令3x x =，解得0x =或±1，故函数()3f x x =的所有“和谐区间”为[]1,0-、[]0,1、[]1,1-.（2）因为()312f x x =-，所以()321,23321,23x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，因为[]()0,0m m >为函数()312f x x =-的一个“和谐区间”， 所以可令312x x -=，解得25x =或2，如图所示，绘出函数图像：结合“和谐区间”的定义易知，当2x =时满足题意， 故m 的值为2.（3）函数()22f x x x =-，定义域为R ，令22x x x -=，解得0x =或3， 如图所示，绘出函数图像：结合图像易知，函数()f x 的所有“和谐区间”为[]1,0-和[]1,3-.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，能否结合题意明确函数新定义的含义是解决本题的关键，在解决函数类的问题时，合理利用函数图像可以给解题带来很大帮助，考查数形结合思想，是中档题.25．（1）()10f =；（2）12x x >，理由见解析；（3）542m <≤【分析】（1）令1x y ==，代入可得(1)f ；（2）记12x kx =，代入已知等式，由12()()f x f x <可得()0f k <，从而有1k >，得结论12x x >；（3）根据函数的性质，不等式变形为()223333100x x x x m --+≥+->恒成立，然后设33x x t -=+后转化为一元二次不等式和一元不次不等式恒成立，再转化为求函数的最值，可求得参数范围．【详解】（1）令1x y ==，则(1)(1)(1)f f f =+，所以()10f =.（2）12x x >，理由如下：记12x kx =，则()()()122()f x f kx f k f x ==+， 由()()12f x f x <可得：()0f k <，则1k >，故12x x >.（3）由（2）得()223333100x x x x m --+≥+->恒成立， 令10332,3x x t -⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则222332x x t -+=-， 原不等式可化为：22100t mt -≥->，由2210t mt -≥-恒成立可得：min 8m t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，8842t t t t+≥⨯=8t t=，即22t =时等号成立，所以42m ≤. 由100mt ->恒成立可得：max 10m t ⎛⎫>⎪⎝⎭，102,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2t =时，max 105t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是5m >.综上：实数m 的取值范围是5m <≤.【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的单调性，考查不等式恒成立问题，在解决不等式恒成立时，利用已求得的结论（函数的单调性），把问题进行转化，再用换元法转化为一元二次不等式和一元一次不等式恒成立，然后又由分离参数法转化为求函数的最值．26．（1）证明见解析；（2）()1-+∞.【分析】（1）任取12,x x R ∈，且12x x <，先得到()211f x x ->，再作差得到()()21f x f x -，判断其正负，根据单调性的定义，即可求出结果；（2）先由()34f =，根据题中条件，得到()12f =，将原不等式化为)(1)f t f >，根据（11t >，令[])2,2y x =∈-，求出其最大值，即可得出结果.【详解】（1）任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，所以()211f x x ->，又()()()21211f x f x f x x =+--，所以()()()212110f x f x f x x -=-->，即()()21f x f x >.故函数()f x 在R 上单调递增.（2）因为(3)(1)(2)1(1)1(1)(1)13(1)24f f f f f f f =+-=-++-=-=， 所以()12f =，原不等式等价于))12(1)f t f f t f +-=>=，1t >1t >-有解，因此只需max 1t >-，令[])2,2y x =∈-，则24y =+()2,0-上单调递增，在()0,2上单调递减，所以()2max 48y =+=，所以max y =因此1t -<1t >-，故t 的取值范围为()1-+∞.【点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于根据（1）中判断的函数单调性，将问题转为不等式t>能成立的问题，利用分离参数的方法，分离出参数，再构造函数，1通过求函数最值，即可求解.。