2020年高考数学天津卷 试题详解
2 x2
r
C5r
2r
x53r
r 0,1, 2,3, 4,5
，
令 5 3r 2 ，解得 r 1 ．所以 x2 的系数为 C51 2 10 ．
12.已知直线 x 3y 8 0 和圆 x2 y2 r2 (r 0) 相交于 A, B 两点．若 | AB | 6 ，则 r 的
值为_________．
2020 年高考数学天津卷试题详解 第 3 页,共 11 页
第Ⅱ卷
注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共 11 小题，共 105 分．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，
答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分．
2
33
2
12
∴甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .故答案为 ； .
3
63
14.已知
a
0,
b
0
，且
ab
1
，则
1 2a
1 2b
a
8
b
的最小值为_________．
【答案】4
【解析】∵ a 0, b 0 ，∴ a b 0 , ab 1,
∴ 1 1 8 ab ab 8 2a 2b a b 2a 2b a b
【答案】5
【解析】∵圆心 0, 0 到直线 x
3y 8 0 的距离 d
8 4， 1 3
由 | AB | 2 r 2 d 2 可得 6 2 r2 42 ，解得 r = 5 ．
13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1
1
和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、
23
乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
∵ BC 6 ,∴ C 6, 0 ，
∵
AB
3, ABC
60 ，∴
A 的坐标为
A
3,3 3 22
,
又∵
AD
1 6
BC
,则
D
5 2
,
3
3 2
，
设 M x, 0 ，则 N x 1, 0 （其中 0 x 5 ），则
DM
x
5 2
,
3
3 2
，
DN
x
3 2
,
33 2
a
2
b
a
8
b
2
a
b 2
8 ab
4 ，当且仅当 a b =4 且 ab 1 ,
解得 a 2 3,b 2 3 或 a 2 3,b 2 3 时，等号成立.故答案为 4 .
15.如图,在四边形
ABCD
中,
B
60
,
AB
3
,
BC
6
,且
AD
BC,
AD
AB
3
，
2
则实数 的值为_________，若 M , N 是线段 BC 上的动点，且 | MN | 1 ，则 DM DN 的
f (x)
恰有 3 个实根,
|x|
令 h(x)
f (x) ，即 y | kx 2 |与 h(x) |x|
f (x) | x | 的图象有 3 个不同交点.
∵ h(x)
f
(x)
x2,
x 1,
x0
，
x0
当 k 0 时, y 2 ,如图 1, y 2 与 h( x)
f (x) | x | 有 2 个不同交点,不满足题意；
最小值为_________．
1
13
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
6 AD
BC
2
，∴
AD//BC
，
∴ BAD 180 B 120 ， AB AD BC AB BC AB
cos120
6
3
1 2
9
3 2
,解得
1 6
,
以点 B 为坐标原点, BC 所在直线为 x 轴，
建立如图所示的平面直角坐标系 xBy ，
A. ①
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
【答案】B
【解析】∵
f (x) sin(x ) ，∴周期 T 3
2
2
，故①正确；
∵
f
(
)
sin(
) sin 5
1
1，故②不正确；
2
23
62
将函数 y sin x 的图象上所有点向左平移 个单位长度， 3
得到 y sin(x ) 的图象，故③正确.故选 B. 3
当 k 0 时,如图 2,此时 y | kx 2 |与 h(x)
f (x) | x | 恒有 3 个不同交点,满足题意；
当 k 0 时,如图 3,当 y kx 2 与 y = x2 相切时,联立方程得 x2 kx 2 0 ,
令 0 得 k 2 8 0 ，解得 k 2 2 （负值舍去），∴ k 2 2 . 综上， k 的取值范围为 (, 0) (2 2, ) .故选 D.
30.8
30.7
a
，c
log0.7
0.8
log0.7
0.7
1，
∴ c 1 a b .故选 D.
7.设双曲线 C
的方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
，过抛物线
y2
4x 的焦点和点 (0, b) 的直线
为 l ．若 C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与 l 垂直，则双曲线 C 的方程为（ ）
3.函数
y
4x
的图象大致为（
x2 1
）
A.
B.
C. 【答案】A
D.
2020 年高考数学天津卷试题详解 第 1 页,共 11 页
【解析】由函数的解析式可得
f
x
4x x2 1
f
x ,则函数
f
x 为奇函数，其图象
关于原点对称,选项
CD
错误；当
x
1
时,
y
4 1
1
2
0
,选项
B
错误.故选
A.
4.从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为 9 组：[5.31,5.33) ,
[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49] ,并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的
零件中，直径落在区间[5.43,5.47) 内的个数为（ ）
A. 10
B. 18
C. 20
D. 36
【答案】B
【解析】根据直方图,
直径落在区间 5.43, 5.47 之间的零件频率为 6.25 5.00 0.02 0.225 ，
.
【解析】（Ⅰ）在 ABC 中，
由 a 2 2,b 5, c 13 及余弦定理得
cosC a2 b2 c2 8 25 13 2 ，
2ab
22 2 5 2
又∵ C (0, ) ，∴ C = . 4
（Ⅱ）在
ABC
中，由 C
=
4
，a
2
2,c
13 及正弦定理，
可得
sin A a sin C 2 c
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．
参考公式： 如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P(A B) P(A) P(B) ． 如果事件 A 与事件 B 相互独立，那么 P( AB) P( A)P(B) ． 球的表面积公式 S 4 R2 ，其中 R 表示球的半径．
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考 试用时 120 分钟．第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并 在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在 试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！
4
4
4 13 2 13 2 26
17.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， CC1 平面 ABC, AC BC, AC BC 2 ， CC1 3 ，点 D, E 分别在棱 AA1 和棱 CC1 上，且 AD 1 CE 2, M 为棱 A1B1 的中点． （Ⅰ）求证： C1M B1D ； （Ⅱ）求二面角 B B1E D 的正弦值； （Ⅲ）求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值．
则区间 5.43, 5.47 内零件的个数为： 80 0.225 18 .故选 B.
5.若棱长为 2 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. 12
B. 24
C. 36
D. 144
【答案】C
【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
2
2
3 2
2
3 2
2 2 2 13
2 13
13
；
（Ⅲ）由 a c 知角 A 为锐角，
由 sin A 2 13 ，可得 cos A 1 sin2 A 3 13 ，
13
13
进而 sin 2 A 2 sin Acos A 12 ,cos 2 A 2 cos2 A 1 5 ，
13
13
∴ sin(2A ) sin 2Acos cos 2Asin 12 2 5 2 17 2 .
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文(天津卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文（天津卷，含答案）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页。
第II 卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名，座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.答第I 卷时、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮檫干净后，在选涂其他答案标号。
3.答第II 卷时，必须用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后在用0.5毫米的黑色墨色签字笔清楚。
必须在标号所指示的答题区域作答，超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：S 表示底面积，h 表示底面的高如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱体积 V Sh = P(A+B)=P(A)+P (B) 棱锥体积 13V Sh = 第I 卷(选择题 共50分)一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i 是虚数单位，52ii=- A.12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+2.设变量x,y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为A. 6B. 7C.8D.23 3.设,x R ∈则"1"x =是3""x x =的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.设双曲线()22220x y a b a b-=>>的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为A.2y x =±B. 2y x =±C. 22y x =±D. 12y x =± 5.设0.3113211log 2,log ,32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则A. a b c <<B.a c b <<C. b c a <<D.b a c << 6.阅读右面的程序框图，则输出的S =A. 14B.20C.30D.55 7.已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是A.2πB.38πC. 4πD.8π8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是A.()()3,13,-+∞UB. ()()3,12,-+∞UC. ()()1,13,-+∞UD. ()(),31,3-∞-U9.设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,23x ya b a b ==+=，则11x y+的最大值为 A.2 B.32 C. 1 D.1210.设函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，且()()22'f x xf x x +>，下面的不等式在R 上恒成立的是A.()0f x >B.()0f x <C. ()f x x >D.()f x x <第二卷二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的相应位置。
2020年天津市高考数学试卷
2020年天津市高考数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集{3U =−，2−，1−，0，1，2，3}，集合{1A =−，0，1，2}，{3B =−，0，2，3}，则()(U A B =⋂ )A ．{3−，3}B ．{0，2}C ．{1−，1}D ．{3−，2−，1−，1，3 } 2．（5分）设a R ∈，则“1a >”是“2a a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．（5分）函数241xy x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．4．（5分）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：)mm ，将所得数据分为9组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，⋯，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为( )A ．10B ．18C ．20D ．365．（5分）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π6．（5分）设0.73a =，0.81()3b −=，0.7log 0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．（5分）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b −=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A ．22144x y −= B ．2214y x −= C ．2214x y −= D ．221x y −=8．（5分）已知函数()sin()3f x x π=+．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②()2f π是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上的所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是( ) A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③9．（5分）已知函数3,0,(),0x x f x x x ⎧=⎨−<⎩若函数2()()|2|()g x f x kx x k R =−−∈恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A ．(−∞，1)2−⋃)+∞B ．(−∞，1)(02−⋃，C ．(−∞，0)(0⋃，D ．(−∞，0)⋃)+∞二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．（5分）i 是虚数单位，复数82ii−=+ ． 11．（5分）在522()x x+的展开式中，2x 的系数是 ．12．（5分）已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于A ，B 两点．若||6AB =，则r 的值为 ．13．（5分）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ． 14．（5分）已知0a >，0b >，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为 ． 15．（5分）如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，3AB =，6BC =，且AD BC λ=，32AD AB =−，则实数λ的值为 ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN 的最小值为 ．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2a =，5b =，13c =（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin(2)4A π+的值．17．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点． （Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D −−的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．18．（15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,3)A −，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19．（15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，5435()a a a =−，5434()b b b =−． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：221(*)n n n S S S n N ++<∈；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,n nn n n n n a b n a a c a n b +−+⎧−⎪⎪=⎨⎪⋅⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20．（16分）已知函数3()()f x x klnx k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （ⅱ）求函数9()()()g x f x f x x=−'+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k −时，求证：对任意的1x ，2[1x ∈，)+∞，且12x x >，有121212()()()()2f x f x f x f x x x '+'−>−．2020年天津市高考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集{3U =−，2−，1−，0，1，2，3}，集合{1A =−，0，1，2}，{3B =−，0，2，3}，则()(U A B =⋂ )A ．{3−，3}B ．{0，2}C ．{1−，1}D ．{3−，2−，1−，1，3 } 【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解：全集{3U =−，2−，1−，0，1，2，3}，集合{1A =−，0，1，2}，{3B =−，0，2，3}， 则{2UB =−，1−，1}，(){1U A B ∴=−⋂，1}，故选：C ．【点评】考查列举法的定义，以及补集、并集的运算． 2．（5分）设a R ∈，则“1a >”是“2a a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】解得a 的范围，即可判断出结论． 【解答】解：由2a a >，解得0a <或1a >， 故1a >”是“2a a >”的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．（5分）函数241xy x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断． 【解答】解：函数241xy x =+的定义域为(−∞，0)(0⋃，)+∞，关于原点对称， 函数24()1x y f x x ==+，则24()()1xf x f x x −=−=−+，则函数()y f x =为奇函数，故排除C ，D ，当0x >是，()0y f x =>，故排除B ， 故选：A ．【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．4．（5分）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：)mm ，将所得数据分为9组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，⋯，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为( )A ．10B ．18C ．20D ．36【分析】根据频率分布直方图求出径径落在区间[5.43，5.47)的频率，再乘以样本的个数即可．【解答】解：直径径落在区间[5.43，5.47)的频率为(6.255)0.020.225+⨯=， 则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为0.2258018⨯=个， 故选：B ．【点评】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．5．（5分）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π【分析】正方体的对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积． 【解答】解：由题意，正方体的对角线就是球的直径，所以26R =， 所以3R =，2436S R ππ==． 故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题． 6．（5分）设0.73a =，0.81()3b −=，0.7log 0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可求出． 【解答】解：0.73a =，0.80.81()33b −==，则1b a >>，0.70.7log 0.8log 0.71<=，c a b ∴<<，故选：D ．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．7．（5分）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b −=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为()A ．22144x y −= B ．2214y x −= C ．2214x y −=D ．221x y −=【分析】先求出直线l 的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a ，b 的值，可得双曲线的方程．【解答】解：抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)， 则直线l 的方程为(1)y b x =−−，双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为by x a =±，C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，b b a ∴−=−，()1bb a−=−， 1a ∴=，1b =，∴双曲线C 的方程为221x y −=，故选：D ．【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．8．（5分）已知函数()sin()3f x x π=+．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②()2f π是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上的所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是( ) A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【分析】由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为()sin()3f x x π=+，①由周期公式可得，()f x 的最小正周期2T π=，故①正确；、②51()sin()sin 22362f ππππ=+==，不是()f x 的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数sin y x =的图象上的所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象，故③正确． 故选：B ．【点评】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档试题．9．（5分）已知函数3,0,(),0x x f x x x ⎧=⎨−<⎩若函数2()()|2|()g x f x kx x k R =−−∈恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A ．(−∞，1)(222−⋃，)+∞B ．(−∞，1)(02−⋃，22)C ．(−∞，0)(0⋃，22)D ．(−∞，0)(22⋃，)+∞【分析】问题转化为2()|2|f x kx x =−有四个根，()y f x ⇒=与2()|2|y h x kx x ==−有四个交点，再分三种情况当0k =时，当0k <时，当0k >时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k 的取值范围．【解答】解：若函数2()()|2|()g x f x kx x k R =−−∈恰有4个零点， 则2()|2|f x kx x =−有四个根，即()y f x =与2()|2|y h x kx x ==−有四个交点， 当0k =时，()y f x =与|2|2||y x x =−=图象如下：两图象只有一个交点，不符合题意，当0k <时，2|2|y kx x =−与x 轴交于两点10x =，2212()x x x k=< 图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意， 当0k >时，2|2|y kx x =−与x 轴交于两点10x =，2212()x x x k=> 在[0，2)k 内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需3y x =与22y kx x =−在2(k ，)+∞还有两个交点，即可，即322x kx x =−在2(k，)+∞还有两个根，即2k x x =+在2(k，)+∞还有两个根， 函数222y x x=+，（当且仅当2x =时，取等号）， 所以202k<<，且22k >， 所以22k >，综上所述，k 的取值范围为(−∞，0)(22⋃)+∞． 故选：D ．【点评】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于中档题．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．（5分）i 是虚数单位，复数82ii−=+ 32i − ． 【分析】根据复数的运算法则即可求出． 【解答】解：i 是虚数单位，复数8(8)(2)1510322(2)(2)5i i i ii i i i −−−−===−++−， 故答案为：32i −【点评】本题考查了复数的运算，属于基础题． 11．（5分）在522()x x +的展开式中，2x 的系数是 10 ． 【分析】在522()x x +的展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可得到展开式中2x 的系数． 【解答】解：522()x x+的展开式的通项公式为15r r T C += 5r x − 2r 22r r x −= 5r C 53r x −， 令532r −=，得1r =，2x ∴的系数是15210C ⨯=， 故答案为10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．（5分）已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于A ，B 两点．若||6AB =，则r 的值为 5 ．【分析】根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线80x +=的距离，结合直线与圆相交的性质可得222||()2AB r d =+，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，圆222x y r +=的圆心为(0,0)，半径为r ；则圆心到直线80x +=的距离4d ==，若||6AB =，则有222||()169252AB r d =+=+=， 故5r =； 故答案为：5【点评】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题． 13．（5分）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为16；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ． 【分析】根据互斥事件的概率公式计算即可． 【解答】解：甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13，则111236⨯=， 甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11121(1)(1)12333−−−=−=，故答案为：16，23． 【点评】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题． 14．（5分）已知0a >，0b >，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为 4 ． 【分析】由118882222a b a b a b a b ab a b a b++++=+=++++，利用基本不等式即可求出． 【解答】解：0a >，0b >，且1ab =，则1188882422222a b a b a b a b a b ab a b a b a b+++++=+=+=++++， 当且仅当82a b a b+=+，即23a =+，23b =−或23a =−，23b =+ 取等号， 故答案为：4【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．15．（5分）如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，3AB =，6BC =，且AD BC λ=，32AD AB =−，则实数λ的值为 16，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN 的最小值为 ．【分析】以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值． 【解答】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系， 60B ∠=︒，3AB =，3(2A ∴33， 6BC =，(6,0)C ∴， AD BC λ=，//AD BC ∴，设0(D x ，33)2， ∴03(2AD x =−，0)，3(2AB =−，33)2−，∴0333()0222AD AB x =−−+=−，解得052x =，5(2D ∴，33)2， ∴(1,0)AD =，(6,0)BC =， ∴16AD BC =， 16λ∴=， ||1MN =，设(,0)M x ，则(1,0)N x +，其中05x ，∴5(2DM x =−，33)2−，3(2DN x =−，33)2−， ∴2253272113()()4(2)22422DM DN x x x x x =−−+=−+=−+，当2x =时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16，132．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2a =，5b =，c =．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin(2)4A π+的值．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理即可求出C 的大小， （Ⅱ）根据正弦定理即可求出sin A 的值，（Ⅲ）根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出． 【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理以及a =，5b =，c =，则222cos 2a b c C ab +−===(0,)C π∈， 4C π∴=；（Ⅱ）由正弦定理，以及4C π=，a =，c =可得sin sin 13a CA c===；（Ⅲ） 由a c <，及sin 13A =，可得cos 13A ==，则12sin 22sin cos 2131313A A A ==⨯⨯=， 25cos 22cos 113A A ∴=−=，125sin(2)2cos 2)()41313A A A π∴++=+=【点评】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．17．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D −−的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明；（Ⅱ）先平面1DB E 的法向量n ，再根据向量的夹角公式，求出二面角1B B E D −−的正弦值； （Ⅱ）求出cos AB <，n >值，即可求出直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【解答】解：以C 为原点，CA ，CB ，1CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则(0C ，0，0)，(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(0C ，0，3)，1(2A ，0，3)，1(0B ，2，3)，(2D ，0，1)，(0E ，0，2)，(1M ，1，3)，（Ⅰ）证明：依题意，1(1C M =，1，0)，1(2B D =，2−，2)−， ∴112200C M B D =−+=，11C M B D ∴⊥；（Ⅱ）依题意，(2CA =，0，0)是平面1BB E 的一个法向量， 1(0EB =，2，1)，(2ED =，0，1)−，设(n x =，y ，)z 为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨−=⎩，不妨设1x =，则(1n =，1−，2)，cos CA ∴<，66||||CN n n CN n >==，sin CA ∴<，116n >=−=∴二面角1B B E D −−； （Ⅲ）依题意，(2AB =−，2，0)，由（Ⅱ）知，(1n =，1−，2)为平面1DB E 的一个法向量， cos AB ∴<，33||||AB n n AB n >==−，∴直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为3． 【点评】本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．18．（15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,3)A −，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【分析】（Ⅰ）根据可得3c b ==，由222a b c =+，可得218a =，即可求出椭圆方程； （Ⅱ）根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为3y kx =−，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程． 【解答】解：（Ⅰ）由已知可得3b =，记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==， 由222a b c =+，可得218a =，∴椭圆的方程为221189x y +=， （Ⅱ）：直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， AB CP ∴⊥，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为3y kx =−，由方程组2231189y kx x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得22(21)120k x kx +−=，解得0x =，或21221k x k =+，依题意可得点B 的坐标为212(21kk +，2263)21k k −+， P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)−， ∴点P 的坐标为26(21k k +，23)21k −+，由3OC OF =，可得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为22233216261121k kk k k −+=−+−+，AB CP ⊥，231261kk k ∴=−−+，整理可得22310k k −+=， 解得12k =或1k =， ∴直线AB 的方程为132y x =−或3y x =−． 【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．（15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，5435()a a a =−，5434()b b b =−． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：221(*)n n n S S S n N ++<∈；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,n nn n n n n a b n a a c a n b +−+⎧−⎪⎪=⎨⎪⋅⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【分析】（Ⅰ）分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出； （Ⅱ）根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则课证明； （Ⅲ）分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n 项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由11a =，5435()a a a =−，则145d +=，可得1d =， 11n a n n ∴=+−=，11b =，5434()b b b =−，4324()q q q ∴=−，解得2q =，12n n b −∴=；证明（Ⅱ）由（Ⅰ）可得(1)2n n n S +=， 21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +∴=+++，22211()(1)(2)4n S n n +=++， 2211(1)(2)02n n n S S S n n ++∴−=−++<， 221(*)n n n S S S n N ++∴<∈；解：（Ⅲ），当n 为奇数时，1112(32)(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n −+−+−−===−++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b −+−==， 对任意的正整数n ，有22222111222()1212121k k nn nk k k c k k n −−===−=−+−+∑∑，和22311211352144444nnk k nk k k n c ==−−==+++⋯+∑∑，①， 由①14⨯可得22311113232144444n k n n k n n c +=−−=++⋯++∑，②，①−②得22311312221214444444n k n n k n c +=−=+++⋯+−−−∑，∴21565994nk nk n c =+=−⨯∑， 因此22212111465421949n n nnk k k nk k k n c c c n −===+=+=−−+⨯∑∑∑． 数列{}n c 的前2n 项和465421949n n n n +−−+⨯． 【点评】本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．20．（16分）已知函数3()()f x x klnx k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （ⅱ）求函数9()()()g x f x f x x=−'+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k −时，求证：对任意的1x ，2[1x ∈，)+∞，且12x x >，有121212()()()()2f x f x f x f x x x '+'−>−． 【分析】（Ⅰ）()i 根据导数的几何意义即可求出切线方程；()ii 根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；（Ⅱ）要证不等式成立，只要证明121212()[()()]2[()()]0x x f x f x f x f x −'+'−−>，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明． 【解答】解：()()I i 当6k =时，3()6f x x lnx =+， 故26()3f x x x'=+， f ∴'（1）9=， f （1）1=，∴曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为19(1)y x −=−，即980x y −−=．3293()()()()63ii g x f x f x x lnx x x x=−'+=+−+，0x >， 3222633(1)(1)()36x x g x x x x x x −+∴'=−+−=，令()0g x '=，解得1x =， 当01x <<，()0g x '<， 当1x >，()0g x '>，∴函数()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，1x =是极小值点，极小值为g （1）1=，无极大值证明：（Ⅱ）由3()f x x klnx =+，则2()3kf x x x'=+， 对任意的1x ，2[1x ∈，)+∞，且12x x >，令12x t x =，1t >， 则22331121212121212122()[()()]2[()()]()(33)2()x k k x x f x f x f x f x x x x x x x kln x x x −'+'−−=−+++−−+， 332212112121221233()2x x xx x x x x x k kln x x x =−−++−−，33221(331)(2)x t t t k t lnt t=−+−+−−，①令1()2h x x lnx x=−−，1x >， 当1x >时，22121()1(1)0h x x x x'=+−=−>， ()h x ∴在(1,)+∞单调递增，∴当1t >，()h t h >（1）0=，即120t lnt t −−>，21x ，323331(1)0t t t t −+−=−>，3k −，33232322113(331)(2)3313(2)361x t t t k t lnt t t t t lnt t t lnt t t t∴−+−+−−>−+−−−−=−++−，②， 由（Ⅰ）()ii 可知当1t 时，()g t g >（1） 即323361t t lnt t−++>，③， 由①②③可得121212()[()()]2[()()]0x x f x f x f x f x −'+'−−>， ∴当3k −时，对任意的1x ，2[1x ∈，)+∞，且12x x >，有121212()()()()2f x f x f x f x x x '+'−>−． 【点评】本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．。
2020年天津高考数学试卷及答案
x2 18
y2 9
消去 y ，可得 1,
2k 2 1
x2
12kx
0
，解得
x
0
，或
x
12k 2k 2 1
．依
题意，可得点
B
的坐标
12k 2k 2
1
,
6k 2k
2 2
3 1
．因为
P
为线段
AB
的中点，点
A
的坐
标为
(0,
3)
，所以点
P
的坐标为
6k 2k 2 1
,
3 2k 2 1
．由
3OC
n(n 1)(n
2)(n
3) ，
S2 n1
1 4
(n
1)2
n
2 2
，从而
SnSn2
S2 n1
1 2
(n
1)(n
2)
0
，所以
SnSn2
S2 n1
．
（Ⅲ）解：当 n 为奇数时， cn
3a2)
2n1 n2
2 n 1 n
；当 n 为偶
数时， cn
2n
项和为
4n 2n 1
6n 5 94n
4 9
．
20．（Ⅰ）（i）解：当 k 6 时， f (x) x3 6 ln x ，故 f (x) 3x2 6 ．可得 f (1) 1， x
．
由①②得 3
4
n
c2k
k 1
1 2 4 42
2 4n
2 n 1 4 n1
2 4
1
1 4n
1 1
1 4
2 n 1 4 n1
，从而得
4
2024年高考数学真题试卷(天津卷)附详细解答
2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =,则A B = ()A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}12.设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列图中,相关性系数最大的是()A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是()A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x x y x -=+ D.||sin 4e x x x y +=5.若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，,则a b c ，，的大小关系为()A.a b c>> B.b a c>> C.c a b>> D.b c a>>6.若,m n 为两条不同的直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是()A.若//m α,n ⊂α,则//m nB.若//,//m n αα,则//m nC.若//,αα⊥m n ,则m n⊥ D.若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是()A.32-B.32-C.0D.328.双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点,且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为()9.一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为()A.6B.33142+ C.32D.33142-第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分．试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分．10.已知i 是虚数单位,复数))i 2i ⋅=______．11.在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为______．12.22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为______．13.,,,,A B C D E 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______;已知乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为______．14.在边长为1的正方形ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点,1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r λμ,则λμ+=______;若F 为线段BE 上的动点,G 为AF 中点,则AF DG ⋅的最小值为______．15.若函数()21f x ax =--+有唯一零点,则a 的取值范围为______．三、解答题:本大题共5小题,共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.在ABC 中,92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ;（2）求sin A ;（3）求()cos 2B A -．17.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,1A A ⊥平面ABCD ,AD AB ⊥,其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点,M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ;（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值;（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ,下顶点为B C ，是线段OB 的中点,其中ABC S =△．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由．19.已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ;（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩,11b =,其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时,求证:1n k n b a b -≥⋅;（ⅱ）求1nS i i b =∑．20.设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程;（2）若()(f x a x ≥-在()0,x ∞∈+时恒成立,求a 的取值范围;（3）若()12,0,1x x ∈,证明()()121212f x f x x x -≤-．2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析一、选择题．1.【答案】B【解析】因为集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =所以{}2,3,4A B = 故选:B 2.【答案】C【解析】根据立方的性质和指数函数的性质,33a b =和33a b =都当且仅当a b =,所以二者互为充要条件.故选:C.3.【答案】A【解析】观察4幅图可知,A 图散点分布比较集中,且大体接近某一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关,r 值相比于其他3图更接近1.故选:A 4.【答案】B【解析】对A,设()22e 1x x f x x -=+,函数定义域为R ,但()112e 1f ---=,()112e f -=,则()()11f f -≠,故A 错误;对B,设()22cos 1x x g x x +=+,函数定义域为R 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+,则()g x 为偶函数,故B 正确;对C,设()e 1x xh x x -=+,函数定义域为{}|1x x ≠-,不关于原点对称,则()h x 不是偶函数,故C 错误;对D,设()||sin 4e x x x x ϕ+=,函数定义域为R,因为()sin141e ϕ+=,()sin141eϕ---=则()()11ϕϕ≠-,则()x ϕ不是偶函数,故D 错误.故选:B.5.【答案】B【解析】因为 4.2x y =在R 上递增,且0.300.3-<<所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<所以0.30.30 4.21 4.2-<<<,即01a b <<<因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增,且00.21<<所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=,即0c <所以b a c >>故选:B 6.【答案】C【解析】对于A,若//m α,n ⊂α,则,m n 平行或异面,故A 错误.对于B,若//,//m n αα,则,m n 平行或异面或相交,故B 错误.对于C,//,αα⊥m n ,过m 作平面β,使得s βα= 因为m β⊂,故//m s ,而s α⊂,故n s ⊥,故m n ⊥,故C 正确.对于D,若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交或异面,故D 错误.故选:C.7.【答案】A【解析】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭,由2ππ3T ω==得23ω=即()sin2f x x =-,当,126⎡⎤∈-⎢⎣⎦ππx 时,ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦画出()sin2f x x =-图象,如下图由图可知,()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减所以,当π6x =时,()min πsin 32f x =-=-故选:A 8.【答案】C【解析】如下图:由题可知,点P 必落在第四象限,1290F PF ∠=︒,设2PF m=211122,PF F PF F θθ∠=∠=,由21tan 2PF k θ==,求得12sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒,所以121PF PF k k ⋅=-,求得112PF k =-,即21tan 2θ=21sin 5θ=由正弦定理可得:121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得2m =则21122,2,210,10PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得:1222PF PF a -==222,8a b c a ==-=所以双曲线的方程为22128x y -=.故选:C 9.【答案】C【解析】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌,使得,D N ;,E M ;,F L 重合因为AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===则形成的新组合体为一个三棱柱该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形,侧棱长为1322314+=+=+=2132211311422ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯⨯=.故选:C.第Ⅱ卷二、填空题．10.【答案】7【解析】))i 2i 527+⋅=+-+=-.故答案为:7.11.【答案】20【解析】因为63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rr r r r r r x T x r x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()630r -=,可得3r =所以常数项为0363C 20=.故答案为:20.12.【答案】45【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ,故12p =即2p =由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=,故4x =或6x =-（舍）故()4,4A ±,故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=故原点到直线AF 的距离为4455d ==故答案为:4513.【答案】①.35②.12【解析】设甲、乙选到A 为事件M ,乙选到B 为事件N则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==;乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为:35;1214.【答案】①.43②.518-【解析】因为12CE DE =,即23CE BA =uur uur ,则13BE BC CE BA BC =+=+uuu r uur u uu ur r uuu r 可得1,13λμ==,所以43λμ+=;由题意可知:1,0BC BA BA BC ==⋅= 因为F 为线段BE 上的动点,设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈ 则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭又因为G 为AF 中点,则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11111113232AF DG k BA k BC k BA BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为[]0,1k ∈,可知:当1k =时,AF DG ⋅ 取到最小值518-;15.【答案】()(1- 【解析】令()0f x =,即21ax =--由题可得20x ax -≥当0a =时,x ∈R ,有211=--=,则2x =±,不符合要求,舍去;当0a >时,则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点由20x ax -≥,可得x a ≥或0x ≤当0x ≤时,则20ax -<,则211ax ax=--=-即()22441x ax ax -=-,整理得)()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦当2a =时,即410x +=,即14x =-当()0,2a ∈,12x a =-+或102x a =>-（正值舍去）当()2,a ∈+∞时,102x a =-<+或102x a=<-,有两解,舍去即当(]0,2a ∈时,210ax -+=在0x ≤时有唯一解则当(]0,2a ∈时,210ax -+=在x a ≥时需无解当(]0,2a ∈,且x a ≥时由函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =且函数()h x 在12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在23,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增令()g x y ==,即2222142a x y a a⎛⎫- ⎪-⎭=⎝故x a ≥时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a-=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得由()222214y x a a -=的渐近线方程为22a y x xa =±=±即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,其斜率为2又(]0,2a ∈,即()23,21,ax x a h x ax x a⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈令()0g x ==,可得x a =或0x =（舍去）且函数()g x 在(),a +∞上单调递增故有13aaaa ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,解得1a <<,故1a <<符合要求;当a<0时,则23,2121,ax x aax ax x a⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点由20x ax -≥,可得0x ≥或x a ≤当0x ≥时,则20ax -<,则211ax ax=--=-即()22441x ax ax -=-,整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦当2a =-时,即410x -=,即14x =当()2,0a ∈-,102x a =-<+（负值舍去）或102x a =-当(),2a ∈-∞时,102x a =->+或102x a =>-,有两解,舍去即当[)2,0a ∈-时,210ax --+=在0x ≥时有唯一解则当[)2,0a ∈-时,210ax --+=在x a ≤时需无解当[)2,0a ∈-,且x a ≤时由函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =且函数()h x 在21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在32,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增同理可得:x a ≤时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,其斜率为2-又[)2,0a ∈-,即()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-令()0g x ==,可得x a =或0x =（舍去）且函数()g x 在(),a -∞上单调递减故有13a a a a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩,解得1a <<-,故1a <<-符合要求;综上所述,()(11,a ∈- .故答案为:()(1-⋃.三、解答题.16.【答案】（1）4（2）74（3）5764【小问1详解】设2,3a t c t ==,0t >,则根据余弦定理得2222cos b a c ac B=+-即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯,解得2t =（负舍）;则4,6a c ==.【小问2详解】因为B 为三角形内角,所以57sin 16B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =,即4sin 5716A =,解得7sin 4A =【小问3详解】因为9cos 016B =>,且()0,πB ∈,所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由（2）法一知57sin 16B =因为a b <,则A B <,所以3cos 4A ==则7337sin 22sin cos 2448A A A ==⨯⨯=,2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()19573757cos 2cos cos 2sin sin 281616864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.17.【答案】（1）证明见解析（2）22211（3）21111【小问1详解】取1CB 中点P ,连接NP ,MP由N 是11B C 的中点,故1//NP CC ,且112NP CC =由M 是1DD 的中点,故1111122D M DD CC ==,且11//D M CC 则有1//D M NP 、1D M NP=故四边形1D MPN 是平行四边形,故1//D N MP又MP ⊂平面1CB M ,1D N ⊄平面1CB M故1//D N 平面1CB M ;【小问2详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C 则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB = 设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z = 、()222,,n x y z = 则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 分别取121x x ==,则有13y =、11z =、21y =,20z =即()1,3,1m = 、()1,1,0n =则cos ,11m n m n m n ⋅===⋅ 故平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值为22211;【小问3详解】由()10,0,2BB = ,平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =则有111BB m m ⋅== 即点B 到平面1CB M 的距离为21111.18.【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭,使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =,故2a c =,b =,其中c 为半焦距所以()()32,0,0,,0,2A c B C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,故13332222ABC S c c =⨯⨯=△故c =所以a =,3b =,故椭圆方程为:221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为:32y kx =-设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t 由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--=故()222Δ144108343245760k k k =++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k+==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=- 故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121233122k x x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+因为0TP TQ ⋅≤ 恒成立,故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩,解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在,则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -此时需33t -≤≤,两者结合可得332t ≤≤.综上,存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭,使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.19.【答案】（1）21n n S =-（2）①证明见详解;②()131419n n S i i n b =-+=∑【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >因为1231,1a S a ==-,即1231a a a +=-可得211q q +=-,整理得220q q --=,解得2q =或1q =-（舍去）所以122112nn n S -==--.【小问2详解】（i ）由（1）可知12n n a -=,且N*,2k k ∈≥当124k k n a +=≥=时,则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩,即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-当且仅当2k =时,等号成立所以1n k n b a b -≥⋅;（ii ）由（1）可知:1211n n n S a +=-=-若1n =,则111,1S b ==;若2n ≥,则112k k k a a -+-=当1221k k i -<≤-时,12i i b b k --=可知{}i b 为等差数列可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k k k k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑所以()()()232113141115424845431434499n n S n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑且1n =,符合上式,综上所述:()131419n n S i i n b =-+=∑.20.【答案】（1）1y x =-（2）{}2（3）证明过程见解析【小问1详解】由于()ln f x x x =,故()ln 1f x x ='+.所以()10f =,()11f '=,所以所求的切线经过()1,0,且斜率为1,故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--,则()111t h t t t'-=-=,从而当01t <<时()0h t '<,当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减,在[)1,+∞上递增,这就说明()()1h t h ≥,即1ln t t -≥,且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--,则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g ⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎭⎝.当()0,x ∞∈+时的取值范围是()0,∞+,所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥.一方面,若对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥,则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭取2t =,得01a ≤-,故10a ≥>.再取t =,得2022a a a ≤--=--=-,所以2a =.另一方面,若2a =,则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥,满足条件.综合以上两个方面,知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论:对0a b <<,有()()ln 1ln 1f b f a a b b a -+<<+-.证明:前面已经证明不等式1ln t t -≥,故ln ln ln ln ln ln ln 1ln 1b b b a a a b a a a b b b b b a b a a--=+=+<+---且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>=+----所以ln ln ln 1ln 1b b a a a b b a -+<<+-,即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+,可知当10e x <<时()0f x '<,当1ex >时()0f x '>.所以()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤,下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一:当1211e x x ≤≤<时,有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<结论成立;情况二:当1210ex x <≤≤时,有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,设()ln ln x x x c c ϕ=--则()ln 1x x ϕ=++'由于()x ϕ'单调递增,且有1111111ln 1ln 11102e 2e e c c ϕ⎛⎫ ⎪=++<+=-= ⎪⎝⎭'且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭,2c x >时,2ln 1c ≥-可知()2ln 1ln ln 102c x x c ϕ⎛⎫=++>++=-≥ ⎪⎝⎭'.所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ,再结合()x ϕ'单调递增,即知00x x <<时()0x ϕ'<,0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减,在[]0,x c 上递增.①当0x x c ≤≤时,有()()0x c ϕϕ≤=;②当00x x <<时,112221e e f f c ⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭,故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201c x q <<-时,>可得()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q c ϕ⎫=--<--<--=-<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减,即知对00x x <<都有()0x ϕ<;综合①②可知对任意0x c <≤,都有()0x ϕ≤,即()ln ln 0x x x c c ϕ=--.根据10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性,取2c x =,1x x =,就得到1122ln ln 0x x x x --≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-≤.情况三:当12101ex x <≤≤<时,根据情况一和情况二的讨论,可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭,()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性,知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立.综上,结论成立.。
2020年天津市高考数学试卷
2020年天津市高考数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，2}，B={-3，0，2，3}，则A∩（）=（）A. {-3，3}B. {0，2}C. {-1，1}D. {-3，-2，-1，1，3 }2.设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=的图象大致为（）A. B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31，5.33），[5.33，5.35），…，[5.45，5.47），[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47）内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π6.设a=30.7，b=（）-0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（）A. a＜b＜cB. b＜a＜cC. b＜c＜aD. c＜a＜b7.设双曲线C的方程为-=1（a＞0，b＞0），过抛物线y2=4x的焦点和点（0，b）的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）A. -=1B. x2=1C. -y2=1D. x2-y2=18.已知函数f（x）=sin（x+）．给出下列结论：①f（x）的最小正周期为2π；②f（）是f（x）的最大值；③把函数y=sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数y=f（x）的图象．其中所有正确结论的序号是（）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③9.已知函数f（x）=若函数g（x）=f（x）-|kx2-2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）A. （-∞，-）∪（2，+∞）B. （-∞，-）∪（0，2）C. （-∞，0）∪（0，2）D. （-∞，0）∪（2，+∞）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.i是虚数单位，复数=______．11.在（x+）5的展开式中，x2的系数是______．12.已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|=6，则r的值为______．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______．14.已知a＞0，b＞0，且ab=1，则++的最小值为______．15.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且=λ，•=-，则实数λ的值为______，若M，N是线段BC上的动点，且||=1，则•的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=2，b=5，c=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sin A的值；（Ⅲ）求sin（2A+）的值．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．（Ⅰ）求证：C1M⊥B1D；（Ⅱ）求二面角B-B1E-D的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．18.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，-3），右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足3=，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．19.已知{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，a1=b1=1，a5=5（a4-a3），b5=4（b4-b3）．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求证：S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；（Ⅲ）对任意的正整数n，设c n=求数列{c n}的前2n项和．20.已知函数f（x）=x3+k ln x（k∈R），f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）当k=6时，（ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ⅱ）求函数g（x）=f（x）-f′（x）+的单调区间和极值；（Ⅱ）当k≥-3时，求证：对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有＞．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查列举法的定义，以及补集、并集的运算，属于基础题.进行补集、交集的运算即可．【解答】解：全集U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，2}，B={-3，0，2，3}，则={-2，-1，1}，∴A∩（）={-1，1}，故选：C．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解得a的范围，即可判断出结论．【解答】解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：函数y=f（x）=，则f（-x）=-=-f（x），则函数y=f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0是，y=f（x）＞0，故排除B，故选：A．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．根据频率分布直方图求出径径落在区间[5.43，5.47）的频率，再乘以样本的个数即可．【解答】解：直径径落在区间[5.43，5.47）的频率为（6.25+5）×0.02=0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47）内的个数为0.225×80=18个，故选：B．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．正方体的对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，正方体的对角线就是球的直径，所以2R==6，所以R=3，S=4πR2=36π．故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．根据指数函数和对数函数的性质即可求出．【解答】解：a=30.7，b=（）-0.8=30.8，则b＞a＞1，log0.70.8＜log0.70.7=1，∴c＜a＜b，故选：D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），则直线l的方程为y=-b（x-1），∵双曲线C的方程为-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，∴-=-b，•（-b）=-1，∴a=1，b=1，∴双曲线C的方程为x2-y2=1，故选：D．8.【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f（x）=sin（x+），①由周期公式可得，f（x）的最小正周期T=2π，故①正确；、②f（）=sin（）=sin=，不是f（x）的最大值，故②错误；可得到函数y=f（x）的图象，故③正确．故选：B．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于难题．问题转化为f（x）=|kx2-2x|有四个根，⇒y=f（x）与y=h（x）=|kx2-2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k＜0时，当k＞0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g（x）=f（x）-|kx2-2x|（k∈R）恰有4个零点，则f（x）=|kx2-2x|有四个根，即y=f（x）与y=h（x）=|kx2-2x|有四个交点，当k=0时，y=f（x）与y=|-2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，当k＜0时，y=|kx2-2x|与x轴交于两点x1=0，x2=（x2＜x1）图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k＞0时，y=|kx2-2x|与x轴交于两点x1=0，x2=（x2＞x1）只需y=x3与y=kx2-2x在（，+∞）还有两个交点，即可，即x3=kx2-2x在（，+∞）还有两个根，即k=x+在（，+∞）还有两个根，函数y=x+≥2，（当且仅当x=时，取等号），所以，且k＞2，所以k＞2，综上所述，k的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．故选：D．10.【答案】3-2i【解析】【分析】本题考查了复数的运算，属于基础题．根据复数的运算法则即可求出．【解答】解：i是虚数单位，复数===3-2i，故答案为：3-2i11.【答案】10【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．在的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可得到展开式中x2的系数．【解答】解：∵的展开式的通项公式为T r+1=x5-r 2r x-2r=2r x5-3r，令5-3r=2，得r=1，∴x2的系数是2×=10，故答案为10．12.【答案】5【解析】【分析】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x-y+8=0的距离，结合直线与圆相交的性质可得r2=d2+（）2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2=r2的圆心为（0，0），半径为r；则圆心到直线x-y+8=0的距离d==4，若|AB|=6，则有r2=d2+（）2=16+9=25，故r=5；故答案为：513.【答案】【解析】【分析】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．根据互斥事件的概率公式计算即可．【解答】解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，则甲、乙两球都落入盒子的概率×=，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1-（1-）（1-）=1-=，故答案为：，．14.【答案】4【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．由++=+=+，利用基本不等式即可求出．【解答】解：a＞0，b＞0，且ab=1，则++=+=+≥2=4，当且仅当=，即a=2+，b=2-或a=2-，b=2+取等号，故答案为：415.【答案】【解析】【分析】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出λ的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B=60°，AB=3，∴A（，），∵BC=6，∴C（6，0），∵=λ，∴AD∥BC，设D（x0，），∴=（x0-，0），=（-，-），∴•=-（x0-）+0=-，解得x0=，∴D（，），∴=（1，0），=（6，0），∴=，∴λ=，∵||=1，设M（x，0），则N（x+1，0），其中0≤x≤5，∴=（x-，-），=（x-，-），∴•=（x-）（x-）+=x2-4x+=（x-2）2+，当x=2时取得最小值，最小值为，故答案为：，．16.【答案】解：（Ⅰ）由余弦定理以及a=2，b=5，c=，则cos C===，∵C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）由正弦定理，以及C=，a=2，c=，可得sin A===；（Ⅲ）由a＜c，及sin A=，可得cos A==，则sin2A=2sin A cosA=2××=，∴cos2A=2cos2A-1=，∴sin（2A+）=（sin2A+cos2A）=（+）=．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．（Ⅰ）根据余弦定理即可求出C的大小；（Ⅱ）根据正弦定理即可求出sin A的值；（Ⅲ）根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．17.【答案】解：以C为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，3），A1（2，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），E（0，0，2），M（1，1，3），（Ⅰ）证明：依题意，=（1，1，0），=（2，-2，-2），∴•=2-2+0=0，∴C1M⊥B1D；（Ⅱ）依题意，=（2，0，0）是平面BB1E的一个法向量，=（0，2，1），=（2，0，-1），设=（x，y，z）为平面DB1E的法向量，则，即，不妨设x=1，则=（1，-1，2），∴cos＜，＞==，∴sin＜，＞==，∴二面角B-B1E-D的正弦值；（Ⅲ）依题意，=（-2，2，0），由（Ⅱ）知，=（1，-1，2）为平面DB1E的一个法向量，∴cos＜，＞==-，∴直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明；（Ⅱ）先平面DB1E的法向量，再根据向量的夹角公式，求出二面角B-B1E-D的正弦值；（Ⅱ）求出cos＜，＞值，即可求出直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知可得b=3，记半焦距为c，由|OF|=|OA|可得c=b=3，由a2=b2+c2，可得a2=18，∴椭圆的方程为+=1，（Ⅱ）：∵直线AB与C为圆心的圆相切于点P，∴AB⊥CP，根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y=kx-3，由方程组，消去y可得（2k2+1）x2-12kx=0，解得x=0，或x=，依题意可得点B的坐标为（，），∵P为线段AB的中点，点A的坐标为（0，-3），∴点P的坐标为（，），由3=，可得点C的坐标为（1，0），故直线CP的斜率为=，∵AB⊥CP，∴k•=-1，整理可得2k2-3k+1=0，解得k=或k=1，∴直线AB的方程为y=x-3或y=x-3．【解析】（Ⅰ）根据可得c=b=3，由a2=b2+c2，可得a2=18，即可求出椭圆方程；（Ⅱ）根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y=kx-3，联立方程组，求出点B的坐标，再根据中点坐标公式可得点P的坐标，根据向量的知识求出点C的坐标，即可求出CP的斜率，根据直线垂直即可求出k的值，可得直线AB的方程．本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1=1，a5=5（a4-a3），则1+4d=5d，可得d=1，∴a n=1+n-1=n，∵b1=1，b5=4（b4-b3），∴q4=4（q3-q2），解得q=2，∴b n=2n-1；证明（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S n=，∴S n S n+2=n（n+1）（n+2）（n+3），（S n+1）2=（n+1）2（n+2）2，∴S n S n+2-S n+12=-（n+1）（n+2）＜0，∴S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；解：（Ⅲ），当n为奇数时，c n===-，当n为偶数时，c n==，对任意的正整数n，有c2k-1=（-）=-1，和c2k==+++…+，①，由①×可得c2k=++…++，②，①-②得c2k=+++…+---，∴c2k=-，因此c2k=c2k-1+c2k=--．数列{c n}的前2n项和--．【解析】（Ⅰ）分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出；（Ⅱ）根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则课证明；（Ⅲ）分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n项和．本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．20.【答案】解：（I）（i）当k=6时，f（x）=x3+6ln x，故f′（x）=3x2+，∴f′（1）=9，∵f（1）=1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=9（x-1），即9x-y-8=0．（ii）g（x）=f（x）-f′（x）+=x3+6ln x-3x2+，x＞0，∴g′（x）=3x2-6x+-=，令g′（x）=0，解得x=1，当0＜x＜1，g′（x）＜0，当x＞1，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，x=1是极小值点，极小值为g（1）=1，无极大值证明：（Ⅱ）由f（x）=x3+k ln x，则f′（x）=3x2+，对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，令=t，t＞1，则（x1-x2）[f′（x1）+f′（x2）]-2[f（x1）+f（x2）]=（x1-x2）（3x12++3x22+）-2（x13-x23+k ln），=x13-x23-3x12x2+3x1x22+k（-）-2k ln，=x23（t3-3t2+3t-1）+k（t--2ln t），①令h（x）=x--2ln x，x＞1，当x＞1时，h′（x）=1+-=（1-）2＞0，∴h（x）在（1，+∞）单调递增，∴当t＞1，h（t）＞h（1）=0，即t--2ln t＞0，∵x2≥1，t3-3t2+3t-1=（t-1）3＞0，k≥-3，∴x23（t3-3t2+3t-1）+k（t--2ln t）＞t3-3t2+3t-1-3（t--2ln t）=t3-3t2+6ln t+-1，②，由（Ⅰ）（ii）可知当t≥1时，g（t）＞g（1）即t3-3t2+6ln t+＞1，③，由①②③可得（x1-x2）[f′（x1）+f′（x2）]-2[f（x1）+f（x2）]＞0，∴当k≥-3时，对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有＞．【解析】（Ⅰ）（i）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（ii）根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；（Ⅱ）要证不等式成立，只要证明（x1-x2）[f′（x1）+f′（x2）]-2[f（x1）+f（x2）]＞0，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．。
2020年高考真题天津卷数学试卷
1.A. B.C. D.2.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.）．已知函数A.B.C.D.A.B.C.D.答案，BA. B. C. D.6.A. B. C.D.7.A. B.C.D.答案设设双曲线DA.①B.①③C.②③D.①②③①其中所有正确结论的序号是（ ）．A. B. C. D.）．②当时，，显然不符合题意．③当时，的草图如下：若与的图象有个交点，不妨设为，，，由图可知，，当时，,由上述可知，在上有个根．令，则有，解得．综上，11.12.13.在的系数是 ．已知直线的值为 ．和，假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．15.的最小值为 ．如图，在四边形为 ，若的最小值为 ．求角（1）（2（3求值．（1（2（3求证：（1）（2）（2）O因为直线与以点为圆心的圆相切于点，所以，依题意，直线和直线的斜率均存在．设直线的方程为，由方程组，消去，可得，解得，或，依题意，可得点的坐标为，因为点为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为，由，得点的坐标为，故直线的斜率为，即，又因为（1（2（3）（112（2求函数的单调区间和极值．当①，令，，当时，，由此可得在上单调递增，所以当时，，即，因为，，，所以②，由（）②可知，当时，，即，故③，由①②③可得，所以，当时，对任意的，，且，有．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理(天津卷,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（天津卷，解析版）参考公式：。
如果事件A ，B 互相排斥，那么P （AUB ）=P （A ）+P(B)。
棱柱的体积公式V=sh 。
其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） i 是虚数单位，52i i-= （A ）1+2i （B ）-1-2i （C ）1-2i （D ）-1+2i 【考点定位】本小考查复数的运算，基础题。
解析：i i i i i 215)2(525+-=+=-，故选择D 。
（2）设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y 的最小值为（A ）6 （B数取到最小值，734min =+=z （3）命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（A ）不存在0x ∈R, 02x >0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0（C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x>0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。
解析：由题否定即“不存在R x ∈0，使020≤x ”，故选择D 。
（4）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。
B 在区间1(,1),(1,)e e内均无零点。
C 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。
D 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点。
【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。
解析：由题得xx x x f 33131)`(-=-=，令0)`(>x f 得3>x ；令0)`(<x f 得30<<x ；0)`(=x f 得3=x ，故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(+∞为增函数，在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f ，故选择D 。
2020年天津高考数学试卷
2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答提卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第I卷注意事项:1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号。
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式: ·如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).·如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B).·球的表面积公式S=4πR², 其中R表示球的半径.一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全能集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2}, B=(-3,0,2,3}，则A∩（CuB）=A {-3,3}B {0,2}C {-1,1}D {-3,-2,-1,1,3}2. 设a∈R，则“a>l”是“a²>a”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件数学(天津卷) 第1页(共6页)3. 函数y=4x的图象大致为x²+2A BC D4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位:mm)，将所得数据分为9组:[5.31,5.33), [5.33,5.35), …, [5.45,5.47], [5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π数学(天津卷) 第2页(共6页)6.设a=30.7，b=(13)−0.8, c=log 0.70.8，则a,b,c 的大小关系为 A. a<b<c B. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b7.设双曲线C 的方程为x²a² - y²b²=1(a>0,b>0)，过抛物线y ²=4x 的焦点和点(0，b)的直线为l,若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A. x²4 - y²4=1B. x ²- y²4=1C. x²4 - y ²=1D. x ²-y ²=18.已知菌数f(x)=sin (x+π3) , 给出下列结论: ①f(x)的最小正周期为2π:②f(π2) 是f(x)的最大值; ③把函数y=sinx 的图象上所有点向左平移π3 个单位长度，可得到函数y=f(x)的图像.其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③9.已知函数f (x )={ x³, x ≥0，−x,x <0.若函数g(x)=f(x)-|kx ²-2x| (k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( ) A (−∞，−12)∪(2√2，+∞) B (−∞，−12)∪(0,2√2) C (−∞，0)∪(0,2√2) D (−∞，0)∪(2√2，+∞)数学(天津卷) 第3页(共6页) 2020普等学校招生全国统一考试(天津卷)数学第Ⅱ卷注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学理及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学理一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩(C R B)=( )A.{x|0＜x≤1}B.{x|0＜x＜1}C.{x|1≤x＜2}D.{x|0＜x＜2}解析：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，∴C R B={x|x＜1}，∴A∩(C R B)={x|0＜x＜1}. 答案：B2.设变量x，y满足约束条件5241x yx yx yy+≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，则目标函数z=3x+5y的最大值为( )A.6B.19C.21D.45解析：由变量x，y满足约束条件5241x yx yx yy+≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，得如图所示的可行域，由51x yx y+=⎧⎨-+=⎩，，解得A(2，3).当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值.将其代入得z的值为21.答案：C3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为( )A.1B.2C.3D.4解析：若输入N=20，则i=2，T=0，202Ni==10是整数，满足条件.T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立，循环，203Ni=不是整数，不满足条件.i=3+1=4，i≥5不成立，循环，204Ni==5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立，输出T=2.答案：B.4.设x∈R，则“1122x-＜”是“x3＜1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由1122x -＜可得111222x --＜＜，解得0＜x ＜1，由x 3＜1，解得x ＜1，故“1122x -＜”是“x 3＜1”的充分不必要条件.答案：A5.已知a=log 2e ，b=ln2，c=121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＞b ＞cB.b ＞a ＞cC.c ＞b ＞aD.c ＞a ＞b解析：a=log 2e ＞1，0＜b=ln2＜1，12221log log 3log 3c e a ===＞，则a ，b ，c 的大小关系c ＞a ＞b. 答案：D6.将函数y=sin(2x+5π)的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间[3544ππ，]上单调递增 B.在区间[34π，π]上单调递减 C.在区间[5342ππ，]上单调递增 D.在区间[32π，2π]上单调递减解析：将函数y=sin(2x+5π)的图象向右平移10π个单位长度，得到的函数为：y=sin2x ，增区间满足：22222k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，减区间满足：322222k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ，∴增区间为[44k k ππππ-++，]，k ∈Z ，减区间为[344k k ππππ++，]，k ∈Z ，∴将函数y=sin(2x+5π)的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数在区间[3544ππ，]上单调递增.答案：A7.已知双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2=6，则双曲线的方程为( )A.221412x y -= B.221124x y -= C.22139x y -= D.22193x y -=解析：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线y=ba x ，即bx-ay=0，F(c ，0)，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，FE ⊥CD ，ACDB 是梯形，F是AB的中点，EF=122d d+=3，EF=22a b+=b，所以b=3，双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的离心率为2，可得ca=2，可得：222a ba+=4，解得a=3.则双曲线的方程为：22139x y-=.答案：C8.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若点E为边CD 上的动点，则AE BE⋅的最小值为( )A.2116B.32C.2516D.3解析：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B 做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，∴AN=ABcos60°=12，BN=ABsin60°=3，∴DN=1+1322=，∴BM=32，∴CM=MBtan30°=3，∴3∴A(1，0)，B(332，)，C(03，设E(0，m)，∴()(3310322AE m BE m m =-=--≤≤，，，，，∴22233333321221616 AE BE m m m⎛⎛⎝⎭⎝⋅=+-=-⎭+-=-+，当m=3时，取得最小值为2116.答案：A二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i是虚数单位，复数6712ii++= .解析：()()()()6712676147122054 12121255i ii i i iii i i+-+++--====-++-.答案：4-i10.在2x)5的展开式中，x2的系数为 .解析：(x-12x)5的二项展开式的通项为Tr+1=C5r·x5-r·511103222r rrrC xx⎛⎫⎛⎫--=-⎪⎪⎝⎭⋅⎭⋅⎝. 由1032r-=2，得r=2.∴x2的系数为2251522C⎛⎫⎪-⋅=⎝⎭.答案：5211.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M-EFGH的体积为 .解析：正方体的棱长为1，M-EFGH的底面是正方形的边长为：22，四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为12，四棱锥M-EFGH的体积：2121132212⎛⎫⎪⎪⎝⎭⨯⨯=.答案：11212.已知圆x 2+y 2-2x=0的圆心为C ，直线1232x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，(t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为 .解析：圆x 2+y 2-2x=0化为标准方程是(x-1)2+y 2=1，圆心为C(1，0)，半径r=1；直线1232x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，化为普通方程是x+y-2=0，则圆心C 到该直线的距离为2=，弦长|AB|=2===，∴△ABC的面积为111222S AB d =⋅⋅==.答案：1213.已知a ，b ∈R ，且a-3b+6=0，则2a+18b 的最小值为 .解析：a ，b ∈R ，且a-3b+6=0，可得：3b=a+6，则66111122282224a a a b a a +++=+≥==，当且仅当2a=612a +.即a=-3时取等号.函数的最小值为：14.答案：1414.已知a ＞0，函数f(x)=2220220x ax a x x ax a x ⎧++≤⎪⎨-+-⎪⎩，，，＞．若关于x 的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 .解析：当x≤0时，由f(x)=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a(x+1)=-x2，得a=2 1xx-+，设g(x)=21xx-+，则g′(x)=()()()222221211x x x x xx x+-+-=-++，由g(x)＞0得-2＜x＜-1或-1＜x＜0，此时递增，由g(x)＜0得x＜-2，此时递减，即当x=-2时，g(x)取得极小值为g(-2)=4，当x＞0时，由f(x)=ax得-x2+2ax-2a=ax，得x2-ax+2a=0，得a(x-2)=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=22xx-，设h(x)=22xx-，则h′(x)=()()()222222422x x x x xx x---=--，由h(x)＞0得x＞4，此时递增，由h(x)＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h(x)取得极小值为h(4)=8，要使f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8.答案：(4，8)三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA=acos(B-6π).(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)设a=2，c=3，求b和sin(2A-B)的值.解析：(Ⅰ)由正弦定理得sin sinb aA B=，与bsinA=acos(B-6π).由此能求出B.(Ⅱ)由余弦定理得，由bsinA=acos(B-6π)，得，，由此能求出sin(2A-B).答案：(Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理得sin sin b aA B =，得bsinA=asinB ，又bsinA=acos(B-6π).∴asinB=acos(B-6π)，即1sin cos cos cos si ()n sin sin 6662B B B B B Bπππ=-=+=+， ∴，又B ∈(0，π)，∴B=3π.(Ⅱ)在△ABC 中，a=2，c=3，B=3π，由余弦定理得=，由bsinA=acos(B-6π)，得， ∵a ＜c ，∴，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos 2A-1=17， ∴sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=1127-=.16.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； (ii)设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率. 解析：(Ⅰ)利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数； (Ⅱ)若(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量X 的分布列，然后求解数学期望； (ii)利用互斥事件的概率求解即可.答案：(Ⅰ)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.人数比为：3：2：2， 从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人.(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X 的取值为：0，1，2，3，P(X=k)=34373k kC C C-⋅，k=0，1，2，3.所以随机变量的分布列为：随机变量X 的数学期望E(X)=112184120123353535357⨯+⨯+⨯+⨯=；(ii)设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件B 为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C 为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B ∪C ，且P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B ∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67.所以事件A 发生的概率：67.17.如图，AD ∥BC 且AD=2BC ，AD ⊥CD ，EG ∥AD 且EG=AD ，CD ∥FG 且CD=2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA=DC=DG=2.(Ⅰ)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ； (Ⅱ)求二面角E-BC-F 的正弦值；(Ⅲ)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.解析：(Ⅰ)依题意，以D 为坐标原点，分别以DADC DG 、、的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.求出对应点的坐标，求出平面CDE 的法向0n 量及MN ，由00MN n ⋅=，结合直线MN ⊄平面CDE ，可得MN ∥平面CDE ；(Ⅱ)分别求出平面BCE 与平面平面BCF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-BC-F 的正弦值；(Ⅲ)设线段DP 的长为h ，(h ∈[0，2])，则点P 的坐标为(0，0，h)，求出BP =(-1，-2，h)，而DC =(0，2，0)为平面ADGE 的一个法向量，由直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，可得线段DP 的长.答案：(Ⅰ)依题意，以D 为坐标原点，分别以DADC DG 、、的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.可得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，1，2)，G(0，0，2)，M(0，32，1)，N(1，0，2).设0n =(x ，y ，z)为平面CDE 的法向量，则0020220n DC y n DE x z ⎧-==⎪⎨-=+=⎪⎩，，不妨令z=-1，可得0n =(1，0，-1)； 又MN=(1，-32，1)，可得0MN n ⋅=0.又∵直线MN ⊄平面CDE ，∴MN ∥平面CDE ；(Ⅱ)依题意，可得BC =(-1，0，0)，BE =(1，-2，2)，CF =(0，-1，2). 设n=(x ，y ，z)为平面BCE 的法向量，则0220n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，，不妨令z=1，可得n =(0，1，1).设m =(x ，y ，z)为平面BCF 的法向量，则020m BC x m CF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，，不妨令z=1，可得m =(0，2，1).因此有cos310m n m n m n⋅==⋅＜，＞，于是sin10m n =＜，＞.∴二面角E-BC-F 的正弦值为10；(Ⅲ)设线段DP 的长为h ，(h ∈[0，2])，则点P 的坐标为(0，0，h)，可得BP =(-1，-2，h)，而DC =(0，2，0)为平面ADGE 的一个法向量，故cos BP DC BP DC BP DC ⋅⋅==＜，＞.sin 60=︒=，解得h=3∈[0，2].∴线段DP 的长为3.18.设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是等差数列.已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6. (Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)， (i)求T n ；(ii)证明()()()22122122n nk k k k T b b k k n ++=+=-+++∑(n ∈N *).解析：(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q ，由已知列式求得q ，则数列{a n }的通项公式可求；等差数列{b n }的公差为d ，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；(Ⅱ)(i)由等比数列的前n 项和公式求得S n ，再由分组求和及等比数列的前n 项和求得数列{S n }的前n 项和为T n ；(ii)化简整理()()()212k k kT b b k k ++++，再由裂项相消法证明结论.答案：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2-q-2=0.∵q ＞0，可得q=2.故a n =2n-1.设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d=4， 由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d=16，∴b 1=d=1.故b n =n ；(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)，可得S n =1212n--=2n-1，故T n =()()1112122122212n nnkk n k k n n n +==⨯--=-=-=---∑∑；(ii)∵()()()()()()()()1121222222212121221k k k k k k k k k k T b b k k k k k k k k k +++++--+++⋅===-++++++++.∴()()()32432122122222222123243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-+⋯+-=-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝∑.19.设椭圆2222x y ab +=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B.已知椭圆的离心率为3，点A的坐标为(b ，0)，且|FB|·.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l ：y=kx(k ＞0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q.若4AQ PQ =sin ∠AOQ(O 为原点)，求k 的值.解析：(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c ，根据椭圆的几何性质与已知条件，求出a 、b 的值，再写出椭圆的方程；(Ⅱ)设出点P 、Q 的坐标，由题意利用方程思想，求得直线AB 的方程以及k 的值.答案：(Ⅰ)设椭圆2222x y a b +=1(a ＞b ＞0)的焦距为2c ，由椭圆的离心率为e=，∴2259c a =；又a 2=b 2+c 2，∴2a=3b ，由|FB|=a ，b ，且|FB|·；可得ab=6，从而解得a=3，b=2，∴椭圆的方程为2294x y +=1； (Ⅱ)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)，由已知y 1＞y 2＞0；∴|PQ|sin ∠AOQ=y 1-y 2；又|AQ|=2sin y OAB ∠，且∠OAB=4π，∴|AQ|=2y，由4AQ PQ =sin ∠AOQ ，可得5y 1=9y 2；由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x ，可得y 1，∴直线AB 的方程为x+y-2=0；由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得y 2=21k k +；由5y 1=9y 2，可得5(k+1)=两边平方，整理得56k 2-50k+11=0，解得k=12或k=1128；∴k 的值为12或1128.20.已知函数f(x)=a x，g(x)=log a x ，其中a ＞1. (Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-xlna 的单调区间；(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x 1，f(x 1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x 2，g(x 2))处的切线平行，证明x 1+g(x 2)=2ln ln ln aa ；(Ⅲ)证明当a ≥1ee 时，存在直线l ，使l 是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.解析：(Ⅰ)把f(x)的解析式代入函数h(x)=f(x)-xlna，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调区间；(Ⅱ)分别求出函数y=f(x)在点(x1，f(x1))处与y=g(x)在点(x2，g(x2))处的切线的斜率，由斜率相等，两边取对数可得结论；(Ⅲ)分别求出曲线y=f(x)在点(x1，1x a)处的切线与曲线y=g(x)在点(x2，logax2)处的切线方程，把问题转化为证明当a≥1 e e时，存在x1∈(-∞，+∞)，x2∈(0，+∞)使得l1与l2重合，进一步转化为证明当a≥1ee时，方程111112ln lnln0ln lnx xaa x a a xa a-+++=存在实数解.然后利用导数证明即可.答案：(Ⅰ)由已知，h(x)=a x-xlna，有h′(x)=a x lna-lna，令h′(x)=0，解得x=0.由a＞1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：∴函数h(x)的单调减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)；(Ⅱ)由f′(x)=axlna，可得曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线的斜率为1x a lna.由g′(x)=1lnx a，可得曲线y=g(x)在点(x2，g(x2))处的切线的斜率为21lnx a.∵这两条切线平行，故有121lnlnxa ax a=，即x21x a(lna)2=1，两边取以a为底数的对数，得log a x2+x1+2log a lna=0，∴x1+g(x2)=2ln lnlnaa；(Ⅲ)曲线y=f(x)在点(x1，1x a)处的切线l1：y-11x xa a=lna(x-x1)，曲线y=g(x)在点(x2，logax2)处的切线l2：y-log a x2=21lnx a(x-x2).要证明当a≥1ee时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线，只需证明当a≥1ee时，存在x1∈(-∞，+∞)，x2∈(0，+∞)使得l1与l2重合，即只需证明当a≥1ee时，方程组1112121lnln1ln loglnxx xa ax aa x a a axa⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②由①得()121lnxa a，代入②得：111112ln lnln0ln lnx xaa x a a xa a-+++=③，因此，只需证明当a≥1ee时，关于x1的方程③存在实数解.设函数u(x)=a x-xa x lna+x+12ln lnln lnaa a+，既要证明当a≥1ee时，函数y=u(x)存在零点.u′(x)=1-(lna)2xa x，可知x∈(-∞，0)时，u′(x)＞0；x∈(0，+∞)时，u′(x)单调递减，又u′(0)=1＞0，()()221110 ln lnu aa a⎛⎫⎪=-⎪⎝⎭'＜，故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′(x0)=0，即1-(lna)2x00x a=0. 由此可得，u(x)在(-∞，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减，u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).∵a≥1ee，故lnlna≥-1.∴u(x0)=()00000212ln ln12ln ln22ln ln ln0ln ln ln lnlnx xa a aa x a a x xa a a ax a+ -+++=++≥≥.下面证明存在实数t，使得u(t)＜0，由(Ⅰ)可得a x≥1+1ln a，当x＞1ln a时，有u(x)≤(1+xlna)(1-xlna)+x+()2212ln ln12ln lnln1ln ln ln lna aa x xa a a a+=-++++.∴存在实数t，使得u(t)＜0.因此，当a≥1ee时，存在x1∈(-∞，+∞)，使得u(x1)=0.∴当a≥1ee时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(天津卷,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（天津卷，解析版）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 是虚数单位，复数131ii--= A.2i - B. 2i + C.12i -- D. 12i -+【答案】A【解析】因为13(13)(1)212i i i i i --+==--，故选A. 2.设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由2x ≥且2y ≥可得224x y +≥，但反之不成立，故选A. 3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B【解析】由程序框图知,选项B 正确.4.已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和, *n N ∈,则10S 的值为【解析】因为1r T +=6662()()2rr x C x-⋅⋅-,所以容易得C 正确. 6.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23,2AB CD AB BD BC BD ===，则sin C 的值为（ ）A ．33B ．36C ．63D ．66【答案】D【解析】由正弦定理得D 正确.7．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C【解析】容易得选项D 正确.8.对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =--∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 【答案】B311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭CE 与圆相切,则线段CE 的长为 . 【答案】72【解析】设AF=4x,BF==2x,BE=x,则由相交弦定理得:2DF AF FB =⋅,即282x =,即214x =,由切割线定理得:2CE EB EA =⋅=2774x =,所以72CE =.13．已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________【答案】{}|25x x -≤≤【解析】本小题考查集合的相关知识,属基础题.14.已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,90ADC ∠=o,AD=2,BC=1,P 是腰DC 上的动点,则|3|PA PB +u u u r u u u r的最小值为 .【答案】5【解析】画出图形,容易得结果为5.三、解答题：本大题共6小题，共80分．15.（本小题满分13分） 已知函数()tan(2),4f x x π=+，（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期； （Ⅱ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）12π17.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长．【答案】（Ⅰ）23；（Ⅱ）35；（Ⅲ）10【过程详解请参见图片版】【解析】参考标准答案.本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 18.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-u u u u r u u u u r，求点M 的轨迹方程． 【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）218163150(0)x xy x --=>20.（本小题满分14分） 已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2n n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *n ∈N ，且122,4a a ==．（Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6nkk kS n N a=<∈∑． 【答案】（Ⅰ）3,5,4-- 【过程详解请参见图片版】【解析】参考标准答案.本小题主要等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.。