多元函数微分法及其应用-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)

多元函数微分法及其应用-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)

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第八章 偏导数与全微分

一、选择题

1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x

u

x

y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 21-

B. 2

1

C. -1

D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ]

A. 在点(-1, 3)处取极大值

B. 在点(-1, 3)处取极小值

C. 在点(3, -1)处取极大值

D. 在点(3, -1)处取极小值

3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]

A. 充分而非必要条件

B.必要而非充分条件

C.充分必要条件

D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2

x +22y +32

z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数

=??l

u

[ D ] A.

635 B.635- C.335 D. 3

3

5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]

A. 在点(0, 0)处取极大值

B. 在点(1, 1)处取极小值

C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件

D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx

dy

= [ B ] A. y cos 1ε+ B.

y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y

cos 11

ε+

8. 函数y

x xy z 2050++

= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值

C.在点(5, 2)处取极大值

D. 在点(5, 2)处取极小值

9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件

C.充分必要条件

D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2

t -, z=3

t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =

-，则

(,)x y

f y x

= B A. 42

xy

y x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --

12．为使二元函数(,)x y

f x y x y

+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.

4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23

x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222z

y

?=?，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =B

A.2

(1)2y x y +++ B. 2

(1)2y x y +-+ C. 2

(1)2y x y +-- D. 2

(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = C

A.344xy x y ++

B. 2xy x y ++

C. 364xy x y ++

D. 346xy x y ++

15．为使二元函数2

22

(,)xy f x y x y =+在全平面内连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B

A.-1

B.0

C.1

D. 16．已知函数2

2

(,)f x y x y x y +-=-，则

(,)(,)

f x y f x y x y

??+=?? C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -

17．若22

()x y y

f x

x

+=

(0)x >，则()f x =B A.2

1x - B. 2

1x + C.

21

x x

+ D. 2

1

x x -

18．若x

z y =，则在点 D 处有

z z y x

??=?? A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e

19．设2

y z x =，则下列结论正确的是 A

A.

220z z x y y x ??-=???? B. 220z z

x y y x ??->???? C.

220z z

x y y x

??-

0(,)11

sin sin ,0xy f x y x y xy y x =??

=?+≠??

，则极限00

lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).

(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数22z x y =

+在原点(0,0)处（ A ）.

(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微

(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微

23．设()u f r =，而2

2

2

r x y z =++，()f r 具有二阶连续导数，则222222u u u

x y z

???++=

???（ B ）.

(A) 1''()'()f r f r r +

(B) 2

''()'()f r f r r

+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212

''()'()f r f r r r

+

24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件

(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数2

2

1z x y =--的极大值点是 （ D ）.

(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)

26．设(,)arcsin y

f x y x

=，则(2,1)x f '=（B ）. (A)

14

(B) 14- (C) 12

(D) 12-

27．极限24200

lim x y x y x y →→+（ B ）.

(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1

2

28．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00

||P P z z

dz dx dy x y ??=

?+??? (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yx

y y d ln d 1

+- (B)．y x x yx y y d d 1+-

(C)．y x x x x y

y d ln d + (D)．y y x x yx

y y d ln d 1

+-

30. 已知

=??==

=y z

xy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）

（A ）

y x xy y x 32

32

ln 2+ （B ）y x

xy y x 32

32

ln 2-

（C ）y x xy y x 3

2

32

ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+

31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ） （A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}

（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1} （C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}

（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}

32．设2

2),(y x xy

y x f +=

，则下列式中正确的是（ C ）；

)A ( ),(,

y x f x y x f =??

?

?

?； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；

)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-

33．设e cos x

z y =，则=???y

x z

2（ D ）； )A ( e sin x

y ； )B ( e e sin x

x

y +；)C ( e cos x

y -； )D ( e sin x

y - 34．已知2

2

),(y x y x y x f -=-+，则

x f ??=??+y

f （ C ）；

)A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．

35. 设y xy x z 2

2

32-+=，则=???y x z

（ B ）

（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.

36.设

()=

??=?

?

? ?

?x z

y x y x f z 00

, ,,则

（ B ）

（A ）()()x y x f y y x x f x ?-?+?+→?00000

,,lim

（B ）()()

x y x f y x x f x ?-?+→?0000,,lim

（C ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?00000

,,lim

（D ）()

x y x x f x ??+→?000,lim

37. 设由方程0=-xyz e z

确定的隐函数

()=

??=x z y x f z 则

,,（ B ）

（A ）z z

+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -1

38. 二次函数 1

1)4ln(2

2

22-++

--=y x y x z 的定义域是（ D ）

A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；

B. –1 ≤ 2

2y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 2

2y x + ＜ 4。 39. ),(y x f 在点),(y x 处的偏导数),(y x f x 和),(y x f y 连续是),(y x f 可微分的（ B ） A.充分必要条件； B.充分非必要条件； C.必要非充分条件； D.非充分又非必要条件。 40. 抛物面 2

2

y x z +=上点P 处的切平面平行于平面 032=++-z y x ，则点P 的坐标是（ C ） A. )0,21,

1(； B. )0,21,1(-； C. )45,21,1(-； D. )4

5

,21,1( 41. 设 2yx e

z xy

+= ，则

y

z

??︱=)2,1(（ B ） A. 1+e ； B. 12

+e ； C. 12+e ； D. 12-e 。

42. 设二元函数 2

332

339z x y x x y =-++- 的极小值点是（ A ）

A.（1，0）；

B.（1，2）；

C.（-3，0）；

D.（-3，2）

43. 设

()

=??=x u

xy u 1,1 ,则

（ B ）

（A ）0 （B ）21

（C ）-1 （D ）1

44. 设()y x f z ,=是由方程)sin(xyz xyz =决定的隐函数，则=

??x z （ D ） （A ）z x （B ）yz yz sin （C ）yz yz cos （D ）x z

-

45. 设

()

=??+=y z

x y e z xy 2,12 ,则

( B )

（A ）1+e （B ）12

+e （C ）12+e （D ）12-e

二、填空题 1.

=++∞

→→y y x y x

)1(lim 2

2e

2. 函数u=ln (222z y x ++)在点M(1, 2, -2)的梯度gradu= 9

2

{1, 2, -2}

3. =→→y

xy y x )

sin(lim 0

2 2 4. 已知)(xy f z =是可微函数，则=dz dy xy xf dx xy yf )()('

'

+

5.

2

4lim

)

0,0(),(-+→xy xy

y x = 4

6．设222r x y z =

++，则2gradr ＝ 222xi y j zk ++

7．曲线22

11

z x y x ?=++??=??在点(1,1,3)处的切线与Y 轴的正向夹角是 3π

8．设2

2

2

ln()r x y z =++，则gradr =

222222222

222x y z

i j k x y z x y z x y z ++++++++

9．函数33

x y

z x y

+=

+的间断点是 0x y += 10．函数u xyz =在点(1,1,1)沿方向(2,1,3)-的方向导数是 0

11. 函数()ln u xyz =的定义域是

{}(,,)0,0,00,0,00,0,00,0,0x y z x y z x y z x y z x y z >>>><<<><<<>或或或

12.二元函数2222

41ln

arcsin z x y x y

=+++的定义域是 22

14x y ≤+≤ 13．函数2

2

3246u x y y x z =-++在原点沿方向{2,3,1}=l 的方向导数为 8

14

14.函数ln(ln )z x y =?的定义域是{(,)|0,10,01}x y x y x y >><<<或 15.曲面3x

e xy z ++=在点(0,1,2)处的法线方程为

12

201

x y z --==

16．极限 00

24lim

x y xy xy →→-+= 1

4-

17．若(,)32f x y x y =+，则[,(,)]f xy f x y = 643x y xy ++ 18．设有函数(,,)y

u x y z x z =，则(1,2,2)|du = 4dx dz + 19.函数2

2

1z x y =--的极大值点是 (0,0)

20．设函数2322

,{,0,},22u x l y z ==-

则方向导数()

1,1,1u l

?=?

2

21．设函数()

2

2,,z

z f xy y x y

?=-=?可微则

122y xf f - 22．曲面2

22z y x =+上一点（1，-1，3）处的切平面方程为 4230x y z ---= 23. 2

2

4y x z +=-在点P （0,1,3）处的切平面方程 2y+z=5 ，法线方程

13

021

x y z --==

-- 24、设xy

x e

z 22+=，则全微分dz= ()[]xdy dx y x e xy

x

++?+22

2

25、设z=y x z y x n ???+22

2),(121则= 2

22)(2y x xy +-

26、已知=??+??+=-y

y x f x y x f y x y x xy f )

,(),(,

),(2

2

22x y +

27. xy xy y x 42lim

0+-→→= 1

4-

28. 已知

z x y z =ln

，则=??x z x z z x z +=

??

29. 已知xy z sin =,则=dz xydy x xydx y dz cos cos += 三、计算与证明

1. 设z=f (x+y, xy)的二阶偏导数连续, 求y

x z

???2

解：

x

z ??=y f f ?+'

2'1 y

x z ???2='2''22''12''11)(f xyf y x f f ++++

2.求平面

110

43=++z y x 和柱面122=+y x 的交线上与xoy 平面距离最短的点 解：设(x, y, z)是交线上任一点，由已知，距离函数f (x, y, z)=z

又设)1()110

43(

),,,,(22-++-+++=y x z

y x z z y x L μλμλ 令：???????

??????=-+==-++==+

==+=

=+=)

5(01)4(011043)3(0

10

2)

2(0

24

)1(02322y x L z

y x L z L

y L x L z y x μ

λλ

μλ

μλ

(1) 与(2)相比，得：x y 4

3

=， 代入(5), 得：54±

=x ；相应的有：5

3

±=y 从而得交线上的两点：)635,53,54(， )6

85

,53,54(--

其中：点)635,53,54(到xoy 平面的距离是6

35

点)685

,53,54(--到xoy 平面的距离是685

比较得：所求点是)6

35

,53,54(

3.证明极限422

0lim y x xy y x +→→不存在

证明：当(x, y)沿着曲线2

y =x 趋于(0, 0)时，

42

2

0lim y x xy y x +→→＝21lim 4440=+→y y y y 当(x, y)沿着曲线22

y =x 趋于(0, 0)时，

42

2

0lim y x xy y x +→→＝5242lim 4440=+→y y y y 所以，极限422

0lim y x xy y x +→→不存在

4.设z=xf (xy, y

e ), 求y

x z

???2

解：

x

z ??=xy f f ?+'

1 y

x z ???2=''12''112'2'12f xye yf x f e xf y y +++

5. 求曲线x= t-sint, y=1-cost, z=42sin

t , 在点M(12

-π

, 1, 22)处的切线及法平面方程 解：因为't x =1-cost, 't y =sint, '

t z =2

cos 2t

而点M(12-π

, 1, 22)所对应的参数为t=2

π

点M 的切向量T

={1, 1, 2}

故点M 处的切线方程为

2

2211121-=-=-

+z y x π

点M 处法平面方程为: x+y+2z=

42

+π

6. 求曲面3=+-xy z e z 在点(2, 1, 0)处的切平面方程及法线方程 解：令F(x, y, z)= 3-+-xy z e z

则1,,'

'

'

-===x

z y x e F x F y F

故0)0,1,2(,2)0,1,2(,1)0,1,2('

''===z y x F F F 因此:点(2, 1, 0)处的切平面方程为x-2+2(y-1)=0,即：x+2y-4=0

点(2, 1, 0)处的法线方程为??

???=-=

-02112z y x

7. 已知z=ysin(x+y),求全微分dz 及梯度gradz 解：

)cos(y x y x

z

+=??， )cos()sin(y x y y x y z +++=?? 故：dz=[ycos(x+y)]dx+[sin(x+y)+ycos(x+y)]dy

g radz=( ycos(x+y), sin(x+y)+ycos(x+y))

8. 设直线???=--+=++0

30

:z ay x b y x l 在平面π上，而平面π与曲面22y x z +=相切于点

M(1, -2, 5), 求a,b 之值

解：点M 处曲面的法向量n={2x, 2y, -1}M ={2,-4,-1} 点M 处切平面方程为2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0

即: 2x-4y-z-5=0, 此即平面π之方程 由直线l 可得y=-x-b, z=x-a(x+b)-3 代入π得: (5+a)x+4b+ab-2=0

解得: a=-5, b=-2

9.设函数z=f (u, v), 则u, v 具有二阶连续偏导数，其中u=3x+2y, v=y x ， 求y

x z

???2

解：

x

z ??='

2'113f y f +

y x z ???2='22

''122''223'

'111)32(6f y f y x y f y x f --+-

10.66

245

(,)(0,0)lim ()x y x y x y →+是否存在？如果存在，等于多少？如果不存在，说明理由。 解：不存在。

66

2

4500

lim 0()x y x y x y =→=+。 2669

2452500,lim lim ()

(2)x x y x x y x x y x →→==→+∞+。 11.求u 关于x,y,z 的一阶偏导数：z

y u x = 解：

1z z y u y x x -?=?。 1ln z z y u zy x x y -?=? ln ln z y z u x y x y z

?=?

12、说明函数在何时取得极值，并求出该极值：2

(1)z x y =-+ 解：函数定义域2R 。因为0z ≥，故10x y -+=时极小；无极大。

解方程组2(1)02(1)0z

x y x

z x y y

??=-+=??????=--+=???，可知函数驻点分布在直线

10x y -+=上。对于此直线上的点都有0z =。但是0z ≥恒成立。所以

函数在直线10x y -+=上的各点取得极小值0z =。

13.

22

22(,)(0,0)

lim ()x

y

x y x y →+

解：

22

22(,)(0,0)

lim ()x

y

x y x y →+=

22

22ln()

(,)(0,0)

lim

x

y x y x y e +→

而()22

2

2

2

2

2221ln()ln()4

x y x y x y x y +≤

++ ()22222,(0,0)1lim

()ln()04x y x y x y →++=，

。故原式=0

1e = 14.求u 的一阶全微分：22

z

u x y =

+

解：2222()()z du xdx ydy x y =-

++22

dz

x y

++ 15、求函数222x u x y z =

++在点M （1，2，-2）沿曲线2

4

22x t

y t z t =??=??=-?

在此点的切线方向上的

方向导数。

解：2232222

()

u y z x

x y z ?+=

?++，

32222

()

u xy y

x y z ?=-?++，

32222

()

u xz z

x y z ?=-?++。

在点（1，2，-2）它们的值分别是

822,,272727- 曲线在该点切线方向余弦为148

,,999

-。

方向导数为

81242816

()()279279279243

M

u l

?=

+-+-=-? 16.

(,)(0,)sin()lim

x y a xy x →

解：

(,)(0,)sin()

lim

x y a xy x

→=(,)(0,)sin()lim

x y a xy y xy →=a 17.求由下式决定的隐函数z 关于x 和y 的一阶偏导数：()

x y z x y z e -++++=。

解：等式两端对x 求偏导数，得()1(1)x y z z z

e x x

-++??+

=--?? 故

1z

x

?=-?。利用对称性可得1z y ?=-?

18.用拉格朗日法求条件极值：2

2

,1x y

z x y a b

=++=(0,0)a b ≠≠ 解：设2

2

(,)(1)x y

F x y x y a b

λ=+++

-，解方程组 1

201201F x x a F

y y

b x y a b

λλ??=+=???

??=+=?

???+=?? 可得2222222222

2,,a b ab a b

x y a b a b a b

λ=-==+++。 由于当x →∞或y →∞时都有z →+∞。故函数只能在有限处取得极小值（最小）值：

当222222

,ab a b x y a b a b ==++时，函数取得极小（最小）值22

22a b z a b =+ 19.求极限2320011

lim sin().x y x y xy x y →→-+ 解：原式2200

11sin()

lim x y x y xy x y xy →→-+=

222200200

(11)(11)sin()lim (2)

(11)1

sin()

lim (1)

111(2).

2

x y x y x y x y xy xy x y x y xy xy x y →→→→-+++=++=-

++=-

分分分

20.设2

2

(,)z f x y xy =-，求2z

x y

???.

解：

1212'2'2'',(2)z

f x f y xf yf x

?=?+?=+?分 21112221222[''(2)'']'[''(2)'']z

x f y f x f y f y f x x y

?=?-+?++?-+??? 22

1112221224''2'''2''''

(3)xyf x f f y f xyf =-++-+分.

21. 求抛物面22

z x y =+到平面10x y z +++=的最近距离。

解：设(,,)M x y z 在2

2

z x y =+上，M 到10x y z +++=的距离为d ，则

|1|

(1),3

x y z d +++=

分

2

2

(1).3

x y z d +++=

记222

(,,,)(1)()L x y z x y z x y z λλ=+++++-，

令222(1)202(1)20(2)2(1)00x y

z

L x y z x L x y z y L x y z L x y z λ

λλλ=++++=??=++++=??

=+++-=??=+-=?分 解得：11

22

,(2)x y z ==-=

分.

所以 11111|1|(2).222323

d =

--++=分

22.求曲面2

2

z x y =+上与平面240x y z +-=平行的切平面方程。 解：曲面2

2

z x y =+的切平面的法向量为

{2,2,1}(2)x y =-1n 分， 平面240x y z +-=的法向量为 2{2,4,1}.=-n

要使2

2

z x y =+切平面与平面240x y z +-=平行，必有//12n n ，即

221(2).241

x y -==-分 解之得，1,2,x y == 从而5

(2)z =分.

因此为2(1)4(2)(5)0,x y z -+---= 23． 函数arctan

,y

z x

=求(1,1)|dz . 解：因为

2222(1,1)

(1,1)

2

(1,1)

11()(2),2

1z

y y

y x x x y x ?=-=-=-

?++分

222(1,1)

(1,1)

2

(1,1)

111

(2),2

1z

x

y y x x y x ?=?==

?++分

所以 (1,1)11

|(1).22

dz dx dy =-

+分 24．设函数(,)z z x y =由方程2

2

2

()y

x y z xf x ++=确定，求z x

??。 解：(方法一)

令2

2

2

(,,)().y F x y z x y z xf x

=++- 则2()'(),2'(),2(2)x y z y y y y

F x f f F y f F z x x x x

=-+=-=分， 因此

()'()2(3)2x z y y y

f f x F z x x x x F z

--?=-=?分 .

(方法二)

方程222

()y x y z xf x

++=两边对x 求导，并注意z 是,x y 的函数，得 222()'()()()'(),z y y y y y y x z f xf f f x x x x x x x

?+=+-=-? 解得

()'()22y y y

f f x z x x x x z

--?=?. 25．如何将已知正数a 分成两个正数,x y 之和，使得p

q

x y 为最大，其中p 、q 是已知的正数。

解：由拉格朗日乘数法，令

(,,)()(2).p q L x y x y x y a λλ=++-分

由11

00(2)0

p q x p q y L px y L qx y L x y a λλλ--?=+=?=+=??

=+-=?分 解得驻点(

,)(2)ap aq

p q p q

++分. 又由题意当点(,)x y 趋于边界0x =或0y =时，目标函数f 趋于零，所以连续函数f 在驻点取最大值。因此当,ap aq x y p q p q

=

=++时，p q

x y 的值最大 26．设3

(,)(,),,y

z f x y g u v u x v x =+==，其中,f g 具有一阶连续偏导数，求.z

x

?? 解：

'''(2)x u v z u v f g g x x x

???=+?+????分

'2'1'

3(3).y x u v

f x

g yx g -=++分

27．求曲线2

2,cos(),2ln x t y t z t π===在对应于2t =点处的切线及法平面方程。 解：当2t =时，对应点的坐标为(8,1,2ln 2)；又参数方程的切线方向向量为： 222

|{4,sin(),}|{8,0,1}(2)t t t t t

ππ===-=n 分，

故切线方程为812ln 2

(2)801

x y z ---==分， 或88(2ln 2)

10

x z y -=-??

-=?.

而法平面方程为8(8)(2ln 2)0(2)x z -+-=分.

28.求函数23

u xy z =在点0(1,1,1)M 处方向导数的最大值和最小值。 解：u 在点0(1,1,1)M 处沿方向l 的方向导数为：

23322(cos 2cos 3cos )|cos 2cos 3cos (2).

M M u y z xyz xy z l

αβγαβγ?=++?=++分

令0

{cos ,cos ,cos },{1,2,3},αβγ==l g 则

000||||cos ,M u l

???=?=???g l g l g l 为与的夹角。

要使

M u l

??取最大值，则cos 1?＝，即0?＝，也就是0

g l 与同向时，

M u

l

??取最大值，

即：当1{1,2,3}14

=

l 时，

M u l ??取最大值||14(3).=g 分

同理，要使

M u

l

??取最小值，则cos 1?＝-，即?π＝，也就是0

g l 与反向时，

M u l

??取最小

值，即：当1{1,2,3}14

-=

l 时，

M u l ??取最小值||14(3).=-g 分

29. 设函数)e ,(2

xy

y x f z =，求

x z ??，y

z ??． 解：设y x u 2

=，xy

v e =，那么

xy x u 2=??，2x y u =??，xy y x

v

e =??，xy x y v e =?? 故

x v v f x u u f x z ?????+?????=??=u f xy ???2+v

f

y xy ???e

y v v f y u u f y z ?????+?????=??=u f x ???2+v

f x xy ???e 30. 设()y x z z ,=是由

063

33=-+++xyz z y x 所确定的隐函数，求它在点（1，2，-1）处的偏导数y z

x

z ????及

的值。

00

00

2022

231

,=(1,2,1)35311

3(3)5

3)

(M M M M z yz

x M x xy z z xz

y y xy

z ?--==--?+?--==-?+分分

31. 斜边长为m 的所有直角三角形中，求有最大周长的直角三角形直角边的边长． 解：设两条直角边的边长为x ，y ，周长为S ，则

y x m S ++=（1分）

并满足 2

2

2

m y x =+．由

)(),,(222m y x y x m y x F -++++=λλ（2分）

令 ?????????=-+=??=+=??=+=??0021021222m y x F

y y F

x x F

λ

λλ（3分） 解得 m y x 2

2=

= 因为所有直角三角形的直角顶点位于直径为m 的半圆周上，最小周长不存在，从而实际问题只有最大值，此时有最大周长的直角三角形的边长均是

2

2

m 。 32.．设

v e z u

sin =，而xy u =,y x v +=,求x z ??,y z

?? x v

v z x u u z x z ????+

????=??

=1cos sin ?+?v e y v e u

u =

()v v y e u

cos sin +（3分） y v

v z y u u z y z ????+

????=??

=1cos sin ?+?v e x v e u

u =

()v v x e u

cos sin +

33.．设(

)

f y x f z 且 ,2

2+=可微，求z z y

x x y

??-??。

2 (2) 2 (2) 0(2)z z z z

xf yf y x x y x y

????''==-=????分分分 34．求曲面3=+-xy z e z 在点()0,1,2处的切平面与法线的方程.

()3,,-+-=xy z e z y x f z 则

()10,1,2=??x f ,()

20,1,2=??y f ,

()00,1,2=??z f

（3分）

切平面方程为()()000122=-+-+-z y x 即042=-+y x （2分）

法线方程为???

??=-=-0

21

12z y x （2分）

35.将正数12分成三个正数z y x ,,之和，使得z y x u 2

3

=为最大.（8分）

解：令)12(),,(2

3-+++=z y x z y x z y x F λ，则 ???????=++=+='=+='=+='12

0020

32

33

22z y x y x F yz x F z y x F z y x λλλ（3分） 解得唯一驻点)2,4,6(（4分），故最大值为.69122462

3max =??=u

36、已知z=arctan x

y

，求

y x z x z ?????2,。

解：2

22

2

2222)

(,y x x y y x z y x y x z +-=???+-=?? 37.设(

)

2

2

,z f xy y x =+,求2,z z y x y

?????

122z y x f f y

?=?+??，()()2

111221222222z

x y y x y x f f f f f x y ?=++++?? 38. 已知z=arctan x

y

，求

y x z x z ?????2,。

解： 222

22222(3),(3)()

z y z y x x x y x y x y ?-?-==?+??+分分