狭义相对论的时空观

第3节 狭义相对论的时空观 一、 时空间隔变换

事件1 事件2 时空间隔

S ：),,,(1111t z y x ),,,(2222t z y x x x x ?=-12，y y y ?=-12 z z z ?=-12，t t t ?=-12

S '：),,,(1111t z y x '''' ),,,(2222t z y x '''' x x x '?='-'12，y y y '?='-'12

z z z '?='-'12，t t t '?='-'12

22111/1c u t u x x -'+'= 2

22

22/1c u t u x x -'+'=

1

1y y '= 22y y '= 11z z '= 22z z '=

221211/1c u x c u t t -'+'= 22222

2/1c

u x c u t t -'+'= 时空间隔变换：

22/1c u t u x x -'?+'?=? 2

2/1c

u t

u x x -?-?='?

y y '?=? y y ?='? z z '?=? z z ?='?

222/1c u x c u t t -'?+'?=? 222/1c

u x

c u t t -?-?='? 例：地面观察者测得地面上

甲已两地相距m 6100.8?一列火车从甲→已历时s 0.2，一飞船相对地面

以匀速c u 6.0=的速度 甲 m 100.8? 已 x 飞行，飞行方向与火车运动方向相同

求：飞船上观察者测得火车从甲→已运行的路程、时间及速度 解：地面：S ，飞船：S '，c u 6.0=

从甲出发：事件1，到达已地：事件2 S ：m x 6100.8?=?，s t 0.2=?

速度：s m t x V /100.40.2100.866

?=?=??= S '：22/1c u t u x x -?-?='?=m 8

2

86104.46

.010.21036.0100.8?-=-???-? 222/1c u x c u t t -?-?='?=s 48.26.01100.81036.00.226

8

=-???- c s m t x V 59.0/10774.18-≈?-='

?'

?='0<

二、速度变换，S ：dt r d V =，dt dx V x =，dt dy V y =，dt dz

V z =

S '：t d r d V ''=' ，t d x d V x ''='，t d y d V y ''='，t

d z d V z ''

='

22/1c u t u x x -'+'= 2

2/1c

u t ud x d dx -'

+'=

y y '= y d dy '= z z '= z d dz '=

222/1c u x c u t t -'+'= 222/1c u x d c u t d dt -'

+'= x

x

x V c u u

V x d c u t d t ud x d dt dx V '

++'='+''+'==2

21 x y y V c

u V c u x d c u t d y d c u dt dy V '+'-='+''

-==2222221/1/1

x z z V c

u V c u x d c u t d z d c u dt dz V '+'

-='+''-==22

22221/1/1 逆变换：x

x x V c

u

u V V 21--='，x y y V c u V c u V 22

21/1--='

x

z

z V c

u V c u V 2221/1--='

说明：（1）c u <<，0/2→c u ，0/22→c u

u V V x x +'≈，y y V V '≈，z z V V '≈

（2）空间坐标变换及速度变换不满足 矢量加法的平行四边形法则 （3）与光速不变原理自动相符合 y y '

u c V x ='

x x ' z z '

c c c

u u

c V c u u V V x x x =++='++'=2211

例：两火箭相向飞行

地面上测得：

c 9.0

c V A 9.0= c V B 9.0-= 求：A 上观察者测得 B 的速度 解：地面：S ，火箭A ：S '，c V u A 9.0==，B 为研究对象 S ：c V V B x 9.0-==

S '：c c

c c

c

c c V c u u V V x x x 995.081.18.1)9.0(9.019.09.0122-=-=----=--='

按伽利略变换，c u V V x x 8.1-=-='

三、 同时的相对性， 222/1c

u x c u t t -'

?+'?=? （1） 如果两事件在S '系同时同地发生，即0='?t ，0='?x

则0=?t ，即在S 系两事件同时发生

（2）如果两事件在S '系同时不同地发生，即0='?t ，0≠'?x 则0≠?t ，即在S 系两事件不同时发生

“异地”的同时是相对的 y S

O x x '

z A B 0='?t ，222/1c u x c u t t -'?+'?=?=222

/1)(c

u x x c u

A B -'-' 例：北京、上海相距1000km 从两地同时各发一列火车 一飞船对地以c u 6.0=的 速度飞行，方向由北京→

上海 求：飞船上测得两地发车的时间差，哪一列火车先发出？ 解：地面S ，飞船S '，c u 6.0=

北京发车：事件1，上海发车：事件2 S ：m km x 6101000==?，0=?t

S '：222/1c u x c u t t -?-?='?=s 0025.06.01101036.026

8

-=-??- 012

<'-'='?t t t ，12t t '<'，上海的车先发出

四、长度收缩

S

x

1

2

L

x

x=

'

-

'：静止长度（固有长度）

运动物体的长度=同时测得物体两端的坐标差

S：t，A：

1

x，B：

2

x，L

x

x=

-

1

2

（t

x,

1

）：事件1，（t

x,

2

）：事件2

2

2

1

1

/

1c

u

ut

x

x

-

-

='，

2

2

2

2

/

1c

u

ut

x

x

-

-

=

'，

2

2

1

2

1

2

/

1c

u

x

x

x

x

-

-

='

-

'

2

2

/

1c

u

L

L

-

=，

2

2

/

1L

c

u

L

L<

-

=，静止长度最长

说明：

（1）相对效应

（2）物体在其运动方向长度收缩

在垂直运动方向长度不变0

=

V

例：

S m

x'

x

求：S系中测得杆长及其与x轴夹角

解：S'：

cosθ

L

L

x

=

'，

sinθ

L

L

y

=

'

S：2

2

2

2/

1

cos

/

1c

u

L

c

u

L

L

x

x

-

=

-

'

=θ

s i nθ

L

L

L

y

y

=

'

=

2

2

2

2

2

2

2

2s i n

)

/

1(

c o sθ

θL

c

u

L

L

L

L

y

x

+

-

=

+

=

=

2

2

2

cos

)

/

(

1θ

c

u

L-=)

(

791

.0m

2

2

2

2

/

1

/

1

c o s

s i n

c

u

tg

c

u

L

L

L

L

tg

x

y

-

=

-

=

=

θ

θ

θ

θ， 4.

63

=

θ

五、时间膨胀

定义：如果在某惯性系中同一地点上先后发生了两个事件，则在该惯性系中测得的这两个事件的时间间隔称为

固有时间或原时，用

τ表示

设在S'系中，同一地点，先后发生两个事件，0

=

'

?x

在S：

2

2

2

/

1c

u

x

c

u

t

t

-

'

?

+'

?

=

?=

2

2/

1c

u

t

-

'

?

，

2

2

/

1

τ

τ

τ>

-

=

c

u

固有时间最短 说明：（1）相对效应

（2）运动的时钟变慢

粒子由产生到衰变经历的时间间隔：粒子的寿命τ 固有寿命0τ

2

2

/1c

u -=

ττ

例：带电±π介子固有寿命s 80106.2-?=τ，某加速器射出的

带电±π介子的速度c v 8.0=

求：实验室中测得±π介子的寿命及其衰变前飞行的距离 解：实验室：S ，±π介子：S '，c v u 8.0==

2

20

/1c u -=

ττ=s 81033.4-?

)(4.101033.41038.088m v l =????==-τ 六、 因果关系的绝对性

两个独立事件，222/1c

u x c u t t -'

?+'?=?，由于u 及x '?的任意性 不能保证t ?与t '?同号

两个独立事件的先后次序可能会因参照系的不同而颠倒 因果关系是绝对的

证明：S '：相互作用或信号传递速度t x V x '

?'

?='

222/1c u x c u t t -'

?+'?=?=)1(/1222x V c u c

u t '+-'? c u <，c V x ≤'，12<'

c

V u x ，012>'+c V u x

t ?与t '?同号

如果在S '：012

>'-'='?t t t 则在S ：012>-=?t t t