备战高考数学一轮复习第1单元集合与常用逻辑用语单元训练(A卷,理,含解析)
高三文科数学一轮单元卷第一单元 集合与常用逻辑用语 A卷
一轮单元训练金卷?高三?数学卷（A）第一单元集合与常用逻辑用语注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）??，则（1．若集合）1?xxA???3?A0?A D．C BA．．．A??1A??22．下列表示正确的是（）20?N?3?Z D C．A．．．B Q?πZ?7??1?x?y2?????????，则下列结论中正确的是（和3．集合）xy?x,y?A B?yx,???x?4y?5???????AB??B1,1B．D．C．A．A?1A??????B?AmA??0,1,21,B，则实数的值是（4．已知集合．若，）m A．0 B．2C．0或2D．0或1或2????A?B,2??B?，则实数的取值范围是（5．设集合，若，）a??xxA a A．B．C．D．2a?2?a2a?2?a??????（6．已知集合，），则集合??x3x0?0xN???M??x1?x3x????NNMM ．CDA．．B．NeeNMMRR??????22??BA1??,yxyA?x 中元素的个数为（，则．已知集合7），xy?x,yB?D1C．．0 B3．A．2??22，则”的逆否命题是8 ．命题：“若R?b0a?b?a,0?b?a??22R?a,ba?b?0 ．若，则A0ba????22Ra,b?ab?0?．若，则B0a??b??22Ra,bb?0?，则．若且C0a??b0a???22R a,bb?0?或，则D．若0a??b0?a9．设有下面四个命题??logx?logx0,1x?p:?；，是的必要不充分条件；，1abb?1?1a?p:1121eπx11??????2x，函数．有两个零点；x2x?f?x?log，?0p:?x:p????413π2????π其中真命题是（）A．，B．，C．，D．，pppppppp4113324222”是“”的（）10．若，，则“y?x R y?yx?x A．充分不必要条件B．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件C．充分条件11．下面四个命题：n2n2：命题“，，”；”的否定是“2n?2?n N n??N?n?p0001????n b??a?1,m,1 是：向量的充分且必要条件；，，则ba?p nm?2A?B，则“”的逆否命题是“在中，若，：“在中，若pB?sinsin?sin△ABCBA△ABCsinA3则“”；BA?p?qp是假命题．：若“”是假命题，则p4其中为真命题的是（）A．，B．，C．，D．，pppppppp3232114212．给出下列四个命题：π??”的逆否命题为假命题；，则①命题“若1tan??4②命题，．则，使；R x?p:?1x?sin1sinx??p:?x?R00π??????2y?sinx?为偶函数”的充要条件；③“”是“函数Z???k πk23???????q?ppq那么”，使，④命题：“，则“若”；命题：?sinsin?R??x??sinxxcos0002为真命题．其中正确的个数是（）4．D3．C2．B1．A．分．请把答案填在题中横线上）小题，每小题5分，共20二、填空题（本大题有4??????2x．__________e04B?xxx2???3xA?，则，集合．已知全集为，13R?BAR?????1,2B??,aA??的范围是，且___________14．已知，．，则实数?BA a2的取值范围是_______15．命题“存在，使．”是假命题，则0??2xm?x R x?m??220a?2?p:x?1pq的取是，16，若的充分不必要条件，则实数．已知，0x?1?aq:x??2a _____________．值范围是70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）三、解答题（本大题有6小题，共????2R0,xxx??2x?3?A?．17．(10分）已知集合，R?B?xx?a?3,x；）求集合和（1BAA?AB ，求实数）若的取值范围．（2a??????，18．(12．分）已知集合，全集为实数集，Rax3?x?9B??xCA?2x?x??6x??和；ee）求（1BAA RR??AC （2）如果的取值范围．，求a?x1?2???20xx?a?B?，19，．(12分）设全集是实数集．x??0AR??3?x??AB；时，求（1）当4?a???，求实数的取值范围．e）若（2BAB?a R2恒成立．且分）已知命题，命题，20．(12R?q:?x?p:mR01x??mx?0??m1q为真命题，求的取值范围；）若命题（1m p?qp?q为真命题，求为假命题且（2）若的取值范围．m?????????0???0x3x2a??xax3pq 命题，：满足实数设命题分）(1221．：．其中，实数满足0a?xx p?q为真，求实数的取值范围．）若（1，且1?a x?p?q的充分不必要条件，求实数的取值范围．（2）若是a111????p:4?x?6，分）已知命题．22．(12 02?xm??m?xq:?????222????p?q的充分而不必要条件，求实数的取值范围；（1）若是m?q?p的必要而不充分条件，求实数）若（2的取值范围．是m）A高三?数学卷答案（一轮单元训练金卷?集合与常用逻辑用语第一单元分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是60小题，每小题5分，共一、选择题（本大题共12符合题目要求的）D 1．【答案】??1?0?，集合就是由全体大于【解析】的数构成的集合，显然，A1??1??xx?A A?0 ．故，故选DA【答案】2．2N?0Q?π．，，【解析】，，故选A Z??3Z?7B【答案】3．??1y?2x??????????????中的元素在【解析】中，，而，ABx?yx,yA?1,1B? x,y＝???5y?x?4?????AB? B．，故选所以C．【答案】4??AB?1,0?B ；【解析】当时，，满足0?m??AB?1,2B?或，，满足；所以当时，2m?m?0m?2 ．2或，故选C所以实数的值是0m D【答案】5．????,2???,a??【解析】因为．，所以，故选D2a?C【答案】6．????，【解析】，0?1?x??3xxNM??x????，e3?xx??1或xM?e?，0xxN??RR??e，故选C．3x|0?x?M?N?R7．【答案】B??0,0A为圆心，【解析】集合中的元素为点集，由题意可知集合1表示以为半径的单位圆上所有点22y?y?xxB相交于两点又圆与直线上所有的点组成的集合，组成的集合，集合表示直线1x?y?????2222BA?,?,中有2个元素．故选B，．，则????????2222????D【答案】．8．22”；【解析】“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若或，则0?b?a0b0?a?故选D．9．【答案】D【解析】对于命题，举例子即可得出结论，可令，此时无法得到，，，1b?2a?1?a??2b?ab?1pp2111p:1?log，故正确；：根据图像必有一个负根，另外还有令即可得2，4也是方程的pp?x1232eeπx1??xlog 正确．的最小值接近于：的最大值为接近于1，而1，故根，故错误；ppp??14342??π故选D．10．【答案】D2222yx?”是“”的既不充分也不必要条件．故选D．，因此“【解析】由，解得yx??xyy?x11．【答案】B????n1,,1b?a??m，n2n2”，所以是假命题；：命题“，，”的否定是“【解析】对于2n?2n?N n??N??np0001则，是的充分等价于对于：即，所以向量ba n?0?a?b m?p nmn?m?2且必要条件，所以是真命题；对于：在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，B?AB?sinsinAsin?△ABCsinBA△ABCp3则“”，所以是真命题；B?Ap?qpq是假命题，所以命题是假命题．或对于：若“”是假命题，则p4故答案为B．12．【答案】Bπ??”为真命题，所以其逆否命题为真命题；，则【解析】①命题“若1tan??4②命题，．则，使；R p:?x?1xsin?1xx?R?sin?p:?00π???????sinx2y?为偶函数”的充要条件；③“”是“函数Z?k??k π23????qp:”，④因为命题”为假命题；命题“，使，则：“若?sin?sin R x???cosxsinx?0002???q?p 为假命题．综上②③正确，选B．为假命题，所以二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）??2,3 13．【答案】??????????2x e ，0,3B?3xBx4xA?2??x?2?x?或?x?0?3xx0?x，【解析】，R．???．e则?AB[2,3R 14．【答案】1?a?时，【解析】由题意，当，所以实数的范围是．A?B1aa?1?a1?? 15．【答案】??，??8??22”使”的否定为“任意【解析】由题意得命题“存在，使，0?2x0m?xx??x?2m?R?Rx?x2?，在且为真命题，即上恒成立，∴R0m??x?x20m??1?811??．．∴的取值范围是解得??，m?m?? 88????0,2 16．【答案】??2?x?1【解析】，可得求解绝对值不等式1x?3或x??x??22可得，求解二次不等式a1?a或x?x|x?1?01??ax??2x3a?1??pq 若的不等式组可得是，的充分不必要条件，则，求解关于2a?a?1??1?a???0,2 的取值范围是．结合可得实数0?a a分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）6三、解答题（本大题有小题，共70??????0,2 17．【答案】（1）2），．；（3??a?3x?B?ax3?x?A??x1????230?3???x?1?A?xxx?2x 【解析】（1，）由题意得??????．3xa?3?x?xx?a?3??x?3x?a?3a??B?1??a?3?B?AB?A?A，∴，，解得．（2）2?0?a?3?a?3???0,2 ．∴实数的取值范围为a??????2）．；（e6 x?xeA?x?2或6?a，（18．【答案】1）x??B?9xA6RR????）因为，，【解析】（19??x?63?B?xxA?x2??????．e6 x?2或?Ae?xx；所以所以?9x?B?Ax6RR?C?A 时满足）当．（26?a1??A3?2x?B?x|?）1．2；（）．【答案】（19??a4?1???3A?xx??，当，）（【解析】1时，2?x?2x?B?4??a??2????3?x2|BA?x??则．?1???得，e，由2）（A?eB?或x3A?xx?eBBA???RR R2??，则成立，满足时，则??111当0a?e?a?0?BA?B R??，则成立，0?B，满足则当时，0a?e0a?A?B Ra??B?x??a?x，即，综上．时，当，则可得0a???0?a??a?a?24420．【答案】（1）；（2）或．2??1?m??2?2?m?2m2?，解得．（1）【解析】0?4???m2??2?mp：且，解得）若命题．（21?m R?m?1?0m?p?qp?qq必然一真一假．，为假命题且为真命题，p?m??1?pq假时，，解得，真当2?m??m??2或m?2?m??1?pq真时，，解得假．当2?m??1??2?m?2??m的取值范围是或．2?m?2??1m?21．【答案】（1）；（2）．2a??12?x?3???????????0??32x|1?x?3x?1?x3x?0P?x，1（）由，得，由【解析】??3??xx|2Q?p?qpq均为真命题，，可得为真，即为，由可得的取值范围是．3?2?x x pq?q?p 的充分不必要条件，是（2）若的充分不必要条件，可得是????，，由题意可得a?3xa??Px3?xQ??x2由，可得且，解得．P?Q2?a3?3a?1a?2?????????83,1621,???,；．1）（2）（22．【答案】pp：．，即命题（1）由题意得，命题：【解析】10x????6x?4?62?m?11m?11q?q：，：．所以命题2?x?mx?或??xm?22222m?11m??8或m?21pq?；是，∴充分而不必要条件，又∵2?m10或?2???22??????821,,???．的取值范围为所以实数mm?11?p?q：1）由（）知或或：；2（；102?x?x?x?x?2?m22．m?1???2??2p??q的必要而不充分条件，∴，又∵是?1?m?2?10??2??3,16?．．所以实数的取值范围为∴16m3???m。
高考数学(人教A版文科)一轮复习真题演练集训：第一章 集合与常用逻辑用语1-2 Word版含解析
真题演练集训1．[2015·山东卷]设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案：D解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．2．[2016·四川卷]设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由题意，x＞1且y＞1，则x＋y＞2，而当x＋y＞2时不能得出x＞1且y＞1.故p是q的充分不必要条件，故选A.(x＋2)＜0”的() 3．[2015·重庆卷]“x＞1”是“log13A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：当x＞1时，x＋2＞3＞1，又y＝log13x是减函数，∴log13(x＋2)＜log131＝0，则x＞1⇒log13(x＋2)＜0；当log13(x＋2)＜0时，x＋2＞1，x＞－1，则log13(x＋2)＜0⇒/ x＞1，故“x＞1”是“log13(x＋2)＜0”的充分而不必要条件．故选B.4．[2016·山东卷]已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又因为a⊆α，b⊆β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，设交线为l，当a，b都与直线l不相交时，则有a∥b.显然a，b可能相交，也可能异面或平行．综上，“直线a，b相交”是“平面α，β相交”的充分不必要条件．5．[2016·四川卷]设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：如图作出p ，q 表示的区域，其中⊙M 及其内部为p 表示的区域，△ABC 及其内部(阴影部分)为q 表示的区域，故p 是q 的必要不充分条件．。
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语课时作业3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课件理新人教A版
A．p∧q B．p∨(綈q) C．p∧(綈q)
D．(綈p)∧q
解析 对于命题p，若α∥β，m∥α，则还需m⊄β才能推出m∥β，所以
命题p为假命题，命题綈p为真命题；对于命题q，若m∥α，m∥β，α∩β＝
n，则由线面平行的性质可推出m∥n，所以命题q为真命题，命题綈q为假
命题。所以(綈p)∧q为真命题。故选D。 答案 D
A．∀x∈R，f(－x)≠f(x) B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x) C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0) D．∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)
解析 由题意知∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题， ∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)是真命题。故选C。
答案 C
5．已知命题p：∃x0∈R，cosx0＝54；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0。则 下列结论正确的是( )
课时作业(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
基础过关组 一、选择题 1．下列语句是“p且q”形式的命题的是( ) A．老师和学生 B．9的平方根是3 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线互相平分的四边形是矩形
解析 根据逻辑联结词“且”的含义，可知C符合。A不是命题，B， D不是“p且q”形式。故选C。
答案 D
二、填空题 9．命题p的否定是“对所有正数x， ____。
x >x＋1”，则命题p可写为
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对
结论否定即可。 答案 ∃x0∈(0，＋∞)， x0≤x0＋1
10．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时 为假命题，则x＝________。
C．0，14
D．0，41
(人教A版)高考数学(理)一轮阶段检测【1】集合与常用逻辑用语、基本初等函数、导数(含答案)
阶段性综合检测(理)阶段性综合检测(一)集合与常用逻辑用语、基本初等函数、导数及其应用时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2018·北京西城抽样测试)若集合A ＝{x||x ＋1|＝x ＋1}，B ＝{x|x 2＋x ＜0}，则A∩B＝( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－1,0]D ．[－1,0]解析：因为A ＝{x|x≥－1}，B ＝{x|－1＜x ＜0}，所以A∩B＝{x|－1＜x ＜0}． 答案：A2．(2018·广东六校联考)满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由题意得{a 1，a 2}⊆M ⊆{a 1，a 2，a 4}， 所以M ＝{a 1，a 2}或M ＝{a 1，a 2，a 4}． 答案：B3．(2018·山东青岛质检)设集合P ＝{x|x 2－x －2≥0}，Q ＝{y|y ＝12x 2－1，x ∈P}，则P∩Q＝( )A ．{m|－1≤m＜2}B ．{m|－1＜m ＜2}C ．{m|m≥2}D ．{－1}解析：P ＝{x|x≥2或x≤－1}，又x ∈P 时，y ＝12x 2－1∈[－12，＋∞)，故Q ＝{y|y≥－12}，故P∩Q＝{m|m≥2}．答案：C4．(2018·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案：A5．(2018·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：f(x)＝|(ax －1)x|在(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)内无实根，即a ＝0或1a ＜0，也就是a≤0，故“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，故选C.答案：C6．(2018·安徽江南十校素质测试)有下列四个 ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆 ②“面积相等的三角形全等”的否③“若m≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否 ④“若A∩B＝B ，则A B”的逆否其中真 A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③解析：①中逆 ②中否③中x 2－2x ＋m ＝0有实数解⇔Δ＝4－4m≥0⇔m≤1，故原 ④若A∩B＝B ，则B ⊆A ，为假 答案：D7．(2018·长沙模考(一))已知命题p ：∃x ∈R ，使sinx －cosx ＝3， A ．0B ．1C ．2D ．3解析：sinx －cosx ＝2sin(x －π4)∈[－2，2]，而3∉[－2，2]，故 答案：C8．(2018·北京石景山期末)设函数f(x)＝13x －ln x(x ＞0)，则y ＝f(x)( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：∵f(1e )·f(1)＝(13e －ln 1e )×(13－ln 1)＝13(13e＋1)＞0， ∴f(x)在(1e，1)内无零点．又∵f(1)·f(e)＝(13×1－ln 1)×(13e －ln e)＝e －39＜0，∴f(x)在(1，e)内有零点． 答案：D9．(2018·广东佛山第二次质检)由曲线y ＝x 2和直线y ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的封闭图形的面积为( )A.16 B.13 C.12D.23解析：如图阴影部分所示，S ＝∫0x 2dx ＋12×14＝16.答案：A10．(2018·广东珠海摸底)已知函数f(x ＋1)是偶函数，当x 2＞x 1＞1时，[f(x 2)－f(x 1)]·(x 2－x 1)＞0恒成立，设a ＝f(－12)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：本题主要考查抽象函数的性质．由函数f(x ＋1)为偶函数知f(x)的对称轴为x ＝1. 当x 2＞x 1＞1时，[f(x 2)－f(x 1)]·(x 2－x 1)＞0得到f(x)在(1，＋∞)上是递增的， 所以f(－12)＝f(52)，所以f(2)＜f(52)＜f(3)．即b ＜a ＜c.答案：A11．(2018·北京朝阳期末)若函数y ＝f(x)在R 上可导且满足不等式xf′(x)＋f(x)＞0恒成立，且常数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．af(a)＞bf(b)B ．af(b)＞bf(a)C ．af(a)＜bf(b)D ．af(b)＜bf(a)解析：由题意设F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，则F′(x)＞0，∴F(x)为单调增函数， 又a ＞b ，∴F(a)＞F(b)． ∴af(a)＞bf(b)． 答案：A12．(2018·潮州二模)幂函数y ＝[f(x)]g(x)(f(x)＞0，f(x)≠1)在求导时可运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y ＝g(x)·lnf(x)，两边同时求导得y′y＝g′(x)lnf(x)＋g(x)，于是y′＝[f(x)]g(x)[g′(x)lnf(x )＋g(x)·]，运用此方法可以探求得知y ＝x x的单调递增区间为( ) A ．(1e ，1)∪(1，＋∞)B ．(1e ，＋∞)C ．(e ，＋∞)D ．(3,8)解析：由题意得y′＝x x[x′ln x＋x x′x]＝x x(ln x ＋1)＞0， ∴x ＞1e，又x ＞0，且x≠1，∴y ＝x x的单调递增区间为(1e ，1)∪(1，＋∞)．答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 单元
第一章单元质量检测时间：90分钟分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．已知集合A＝{0,1}，则满足条件A∪B＝{2,0,1,3}的集合B共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由题知B集合必须含有元素2,3，可以是{2,3}，{2,1,3}，{2,0,3}，{2,0,1,3}，共4个，故选D.答案：D2．已知集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x|log2x<2}，则A∩B＝( )A．(－1,3) B．(0,4)C．(0,3) D．(－1,4)解析：将两集合分别化简得A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|0<x<4}，故结合数轴得A∩B＝{x|－1<x<3}∩{x|0<x<4}＝{x|0<x<3}．答案：C3．“2a>2b”是“log2a>log2b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若2a>2b，只能得到a>b，但不能确定a，b的正负性，当0>a>b时，log2a，log2b 均无意义，更不能比较其大小，从而未必有“log2a>log2b”；若log2a>log2b，则可得a>b>0，从而有2a>2b成立．综上，“2a>2b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件．答案：B4．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( )A．p∨q B．p∧綈qC．綈p∧綈q D．綈p∨綈q解析：“至少有一位队员落地没有站稳”它的否定是“两位队员落地都站稳”，故为p ∧q，而p∧q的否定是綈p∨綈q.答案：D5．若定义域为R的函数f(x)不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A．∀x∈R，f(－x)≠－f(x)B．∀x∈R，f(－x)＝f(x)C．∃x0∈R，f(－x0)＝f(x0)D．∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)解析：由奇函数的定义可知：∀x∈R，f(－x)＝－f(x)，它的否定：∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)．故选D.答案：D6．已知集合S＝{1,2}，集合T＝{a}，∅表示空集，如果S∪T＝S，那么a的值构成的集合是( )A．∅B．{1}C．{2} D．{1,2}解析：因为S＝{1,2}，T＝{a}，S∪T＝S，所以T⊆S，a∈S，所以a＝1或a＝2，故选D.答案：D7．给定下列两个命题：①“p∨q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；②“∃x0∈R，使sin x0>0”的否定是“∀x∈R，使sin x≤0”．其中说法正确的是( )A．①真②假B．①假②真C．①和②都为假D．①和②都为真解析：①中，“p∨q”为真，说明p，q至少有一个为真，但不一定p为真，即“綈p”不一定为假；反之，“綈p”为假，那么p一定为真，即“p∨q”为真，命题①为真；特称命题的否定是全称命题，所以，②为真，综上知，①和②都为真．答案：D8．设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R 上是增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为函数f(x)＝a x在R上是减函数，所以0<a<1.由函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数可得：2－a>0，即a<2.所以若0<a<1，则a<2，而若a<2，推不出0<a<1.所以“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．答案：A9．已知命题p：函数y＝a x＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(0,1)；命题q：若函数y ＝f(x)为偶函数，则函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝1对称，则下列命题为真命题的是( )A．p∨q B．p∧qC．綈p∧q D．p∨綈q解析：函数y＝a x＋1的图象可看成把函数y＝a x的图象向左平移一个单位得到，而y＝a x 的图象恒过(0,1)，所以y＝a x＋1的图象恒过(－1,1)，则p为假命题；若函数y＝f(x)为偶函数，即y＝f(x)的图象关于y轴对称，因此y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)图象向左平移一个单位得到，所以y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则q为假命题．故p∨綈q为真命题，故选D.答案：D10．已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若a1<a2<a3，则数列{a n}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：若已知a1<a2<a3，则设数列{a n}的公比为q，有a1<a1q<a1q2.当a1>0时，解得q>1，此时数列{a n}是递增数列；当a1<0时，解得0<q<1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1<a2<a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p的否命题和逆否命题都是真命题，故选D.答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)11．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若∁I(M∩N)＝∁I N，则M∪N＝________.解析：由Venn图可知N M，∴M∪N＝M.答案：M12．已知集合A ＝{0,2}，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________． 解析：由题意知a 2＝4，所以a ＝±2. 答案：±213．已知命题p ：“∃x 0∈(0，＋∞)，x 0>1x 0”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q 的真假为________(填“真”或“假”)．解析：全称命题的否定为特称命题，所以命题q 为：∀x ∈(0，＋∞)，x ≤1x.答案：∀x ∈(0，＋∞)，x ≤1x假14．由命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________．解析：∵“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题， ∴“任意x ∈R ，使x 2＋2x ＋m >0”是真命题， ∴Δ＝4－4m <0，解得m >1，故a 的值是1. 答案：1三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)15．(10分)设集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<4x ＋3. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ，求a ，b 的值． 解：(1)A ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<4x ＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋3<0＝{x |－3<x <1}， 所以A ∩B ＝{x |－2<x <1}．(2)因为2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ＝{x |－3<x <1}， 所以－3和1为2x 2＋ax ＋b ＝0的两根，故⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝－3＋1，b 2＝－3×1，所以a ＝4，b ＝－6.16．(10分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．解：由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， 则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪0<c ≤12或c ≥1. 17．(12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |(x －2)(x －3)<0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}． (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A .(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)A ＝{x |2<x <3}，当a ＝12时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <94. ∁U B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥94， (∁U B )∩A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪94≤x <3.(2)由若q 是p 的必要条件知p ⇒q ，可知A ⊆B . 若a 2＋2>a 知B ＝{x |a <x <a 2＋2}．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2.即a ∈(－∞，－1]∪[1,2]．18．(12分)已知命题p ：关于x 的不等式a x>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解：由关于x 的不等式a x>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1；由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，当p 假，q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >12⇒a >1；当p 真，q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12⇒0<a ≤12.综上，知实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)．。
高考数学(理)大一轮复习习题： 第一章 集合与常用逻辑用语 Word版含答案
第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语 第一节 集 合突破点(一) 集合的基本概念1．集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a ∈A ；若b 不属于集合A ，记作b ∉A . (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． 2．常用数集及记法[例1] ( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92B.98 C ．0D ．0或98[解析] (1)∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B 中有5个元素．本节主要包括3个知识点： 1.集合的基本概念； 2.集合间的基本关系； 3.集合的基本运算.(2)当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.故a ＝0或98.[答案] (1)C (2)D [方法技巧]求元素(个数)的方法高考中，常利用集合元素的互异性确定集合中的元素，一般给定一个新定义集合，如“已知集合A ，B ，求集合C ＝{z |z ＝x *y ，x ∈A ，y ∈B }(或集合C 的元素个数)，其中‘*’表示题目设定的某一种运算”．具体的解决方法：根据题目规定的运算“*”，一一列举x ，y 的可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，从而得出z 的所有可能取值，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．元素与集合的关系[例2] (1)设集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6}，若x ∈A ，且x ∉B ，则x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6(2)(2017·成都诊断)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． [解析] (1)因为x ∈A ，且x ∉B ，故x ＝3. (2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去； 当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.[答案] (1)B (2)－32[方法技巧]利用元素的性质求参数的方法已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法： (1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值． (2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]设集合P ＝{x |x 2－2x ≤0}，m ＝30.5，则下列关系正确的是( ) A ．m P B ．m ∈P C ．m ∉PD ．m ⊆P解析：选C 易知P ＝{x |0≤x ≤2}，而m ＝30.5＝3>2，∴m ∉P ，故选C.2．[考点一]已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8D ．9解析：选D 集合B 中的元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．3．[考点二](2017·杭州模拟)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.4．[考点一]已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N}，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．解析：因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6. 答案：(5,6]5．[考点一]若集合A ＝{x ∈R|ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝________.解析：当a＝0时，方程无解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.故符合题意的a的值为4.答案：4突破点(二)集合间的基本关系A B或B A∅B且B≠∅含有n个元素的集合，其子集的个数为2；真子集的个数为2－1(除集合本身)；非空真子集的个数为2n－2(除空集和集合本身，此时n≥1)．[例1]已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[解析]由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的集合C为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，3,4}，共4个．[答案] D[易错提醒](1)注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)任何集合的本身是该集合的子集，在列举时千万不要忘记．集合间的关系考法(一)[例2]已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()A．A B B．B AC．A⊆B D．B＝A[解析]由题意知A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，所以A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以B A.故选B.[答案]B[方法技巧]判断集合间关系的三种方法(1)列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(2)结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(3)数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．[提醒]在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系．考法(二)根据集合间的关系求参数[例3]已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．[解析]∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅， 则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． [答案] (－∞，3] [易错提醒]将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]集合A ＝{x ∈N|0<x <4}的真子集个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7D ．8解析：选C 因为A ＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7.2．[考点二·考法(一)](2017·长沙模拟)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则( )A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P解析：选C 因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}＝{y |y ≤1}，所以∁R P ＝{y |y >1}，又Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}＝{y |y >0}，所以∁R P ⊆Q ，故选C.3．[考点二·考法(二)]已知集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0，a ＋3}，且A ⊆B ，则a ＝( ) A ．1B ．0C ．－2D ．－3解析：选C ∵A ⊆B ，∴a ＋3＝1，解得a ＝－2.故选C.4．[考点二·考法(二)]已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]突破点(三) 集合的基本运算1．集合的三种基本运算(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A . (2)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .(3)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.[例1] (1)(2016·x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}(2)(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32D.⎝⎛⎭⎫32，3 [解析](1)因为B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．(2)∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3，∴A ＝{x |1<x <3}．∵2x －3>0，∴x >32，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32.∴A ∩B ＝{x |1<x <3}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32＝⎝⎛⎭⎫32，3. [答案](1)C (2)D [方法技巧]求集合的交集或并集时，应先化简集合，再利用交集、并集的定义求解．交、并、补的混合运算[例2] (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}[解析](1)因为∁U B ＝{2,5,8}，所以A ∩∁U B ＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}． (2)∵A ∪B ＝{x |x ≤0}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≤0或x ≥1}， ∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}． [答案](1)A (2)D[方法技巧]集合混合运算的解题思路进行集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合用不等式形式表示时，可借助数轴求解，对于端点值的取舍，应单独检验．集合的新定义问题[例3] (2017·合肥模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R}，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R}，则A ⊕B 等于( )A.⎝⎛⎦⎤－94，0 B.⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) [解析]因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥－94，B ＝{y |y <0}， 所以A －B ＝{y |y ≥0}，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y <－94， A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪ y ≥0或y <－94. 故选C. [答案] C [方法技巧]解决集合新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一](2016·北京高考)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－1,0,1,2,3}，则A ∩B ＝( )A ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{－1,0,1}D ．{－1,0,1,2}解析：选C 集合A ＝{x |－2<x <2}，集合B ＝{－1,0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{－1,0,1}． 2．[考点一](2017·长春模拟)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( )A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)解析：选C∵A＝(0，＋∞)，B＝(－1,1)，∴A∪B＝(－1，＋∞)．故选C.3．[考点二](2017·贵阳模拟)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁B)＝()RA．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)解析：选B由题意知B＝{x|－1≤x≤3}，所以∁R B＝{x|x<－1或x>3}，所以A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}，故选B.4．[考点三]定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A ＝{1,2}，B＝{1,2}，则A*B中的所有元素之和为()A．5 B．6 C．7 D．9解析：选C∵A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，且A＝{1,2}，B＝{1,2}，∴A*B＝{1,2,4}，故A*B中的所有元素之和为1＋2＋4＝7.5．[考点二]设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A＝{x|x(x＋3)<0}＝{x|－3<x<0}，∁U B＝{x|x≥－1}，阴影部分为A∩(∁U B)，所以A∩(∁U B)＝{x|－1≤x<0}．答案：{x|－1≤x<0}[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国丙卷)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝()A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)解析：选D由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0<x≤2或x≥3}．故选D.2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝()A．{－1,0} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}解析：选A由题意知B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.3．(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3 B．6 C．8 D．10解析：选D列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．4．(2016·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝()A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1， 2}解析：选D∵x2＜9，∴－3＜x＜3，∴B＝{x|－3＜x＜3}．又A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{1,2,3}∩{x|－3＜x＜3}＝{1,2}，故选D.5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝() A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}解析：选A因为x＝n2，所以当n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，所以集合B＝{1,4,9,16}，所以A∩B＝{1,4}．[课时达标检测]基础送分课时——精练“12＋4”，求准求快不深挖一、选择题1．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A的真子集的个数是()A．16 B．8C．4 D．3解析：选D集合A中有两个元素，则集合A的真子集的个数是22－1＝3.选D.2．若集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{0,1} D．{0，－1}解析：选C因为B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{0,1}，所以A∩B＝{0,1}．3．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．－3∈A B．3∉BC．A∩B＝B D．A∪B＝B解析：选C 由题A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B . 4．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1)D ．(－∞，1]解析：选A M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0＜x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]． 5．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C ∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.6．已知全集为整数集Z.若集合A ＝{x |y ＝1－x ，x ∈Z}，B ＝{x |x 2＋2x >0，x ∈Z}，则A ∩(∁Z B )＝( )A ．{－2}B ．{－1}C ．[－2,0]D ．{－2，－1,0}解析：选D 由题可知，集合A ＝{x |x ≤1，x ∈Z}，B ＝{x |x >0或x <－2，x ∈Z}，故A ∩(∁Z B )＝{－2，－1,0}，故选D.7．(2017·成都模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－1<0}，则图中的阴影部分表示的集合为( )A ．(－∞，1]∩(2，＋∞)B ．(－1,0)∪[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选B 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x <1}，所以A ∪B ＝{x |－1<x ≤2}，A ∩B ＝{x |0≤x <1}．故图中阴影部分表示的集合为∁(A ∪B )(A ∩B )＝(－1,0)∪[1,2]．8．设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x ||x |≤1}，B ＝{x |log 2x ≤1}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．(0,1] B ．[－1,1]C ．(1,2]D ．(－∞，－1]∪[1,2]解析：选C 由|x |≤1，得－1≤x ≤1，由log 2x ≤1，得0<x ≤2，所以∁U A ＝{x |x >1或x <－1}，则(∁U A )∩B ＝(1,2]．9．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{2,3}B ．{－1,2,5}C ．{2,3,5}D ．{－1,2,3,5}解析：选D 由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，此时B ＝{2,3，－1}，则A ∪B ＝{－1,2,3,5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．故A ∪B ＝{－1,2,3,5}．10．设集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选B 集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >a }，因为A ⊆B ，所以a ≤－1.11．已知全集U ＝{x ∈Z|0<x <8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( )A ．M ∩(∁U N )B ．∁U (M ∩N )C ．∁U (M ∪N )D ．(∁U M )∩N解析：选C 由已知得U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，N ＝{2,6}，M ∩(∁U N )＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M ∩N ＝{2}，∁U (M ∩N )＝{1,3,4,5,6,7}，M ∪N ＝{2,3,5,6}，∁U (M ∪N )＝{1,4,7}，(∁U M )∩N ＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，故选C.12．(2017·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N|x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21解析：选D 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，又x ∈N ，故集合A ＝{0,1,2,3}．∵A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，∴A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，∴A *B 中的所有元素之和为21.二、填空题13．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N}的元素的个数是________．解析：由定义可知A ×B 中的元素为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)．其中使log x y ∈N 的有(2,2)，(2,4)，(2,8)，(4,4)，共4个．答案：414．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∩(∁I B )＝________. 解析：∵集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，∴∁I B ＝{0,1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．答案：{1}15．集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，则A ∩(∁R B )＝________. 解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}，∴∁R B ＝{y |y <0或y >2}．∴A ∩(∁R B )＝[－3,0)．答案：[－3,0)16．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎭⎬⎫y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝{y |y <a 或y >a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[3，2]． 答案：(－∞，－ 3 ]∪[3，2] 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件突破点(一) 命题及其关系本节主要包括2个知识点： 1.命题及其关系； 2.充分条件与必要条件.1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”命题的真假判断[例1]A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x<y，则x2<y2[解析]取x＝－1，排除B；取x＝y＝－1，排除C；取x＝－2，y＝－1，排除D.[答案] A[方法技巧]判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，则q”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．四种命题的关系得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[例2](1)命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是()A．若a>b，则a－1≤b－1B．若a>b，则a－1<b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0[解析](1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．[答案](1)C(2)C[方法技巧]1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．(2)若命题有大前提，需保留大前提．2．判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．能力练通抓应用体验的“得”与“失” 1．[考点一]下列命题中为真命题的是( ) A ．mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程B ．抛物线y ＝ax 2＋2x －1与x 轴至少有一个交点C ．互相包含的两个集合相等D ．空集是任何集合的真子集解析：选C A 中，当m ＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B 中，当Δ＝4＋4a <0，即a <－1时，抛物线与x 轴无交点，故是假命题；C 是真命题；D 中，空集不是本身的真子集，故是假命题．2．[考点二]命题“若x 2＋y 2＝0，x ，y ∈R ，则x ＝y ＝0”的逆否命题是( ) A ．若x ≠y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2＝0 B ．若x ＝y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0 C ．若x ≠0且y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0 D ．若x ≠0或y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0解析：选D 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x ＝y ＝0知x ＝0且y ＝0，其否定是x ≠0或y ≠0.故原命题的逆否命题是“若x ≠0或y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0”．3．[考点二]命题“若△ABC 有一个内角为π3，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC 的三个内角成等差数列，则△ABC 有一个内角为π3”，它是真命题．故选D.4．[考点二]有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.答案：①②③突破点(二)充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念2.A BB A充分条件与必要条件的判断[例1] x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2016·天津高考)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( ) A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，∴x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q ⇒/ p ．故p 是q 的充分不必要条件．(2)当x ＝1，y ＝－2时，x ＞y ，但x ＞|y |不成立；若x ＞|y |，因为|y |≥y ，所以x ＞y .所以x ＞y 是x ＞|y |的必要而不充分条件．[答案] (1)A (2)C [方法技巧]充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件．充分条件与必要条件的应用[例2] (1)2( )A ．a ≥1B ．a >1C ．a ≥4D ．a >4(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[解析] (1)命题可化为∀x ∈[1,2)，a ≥x 2恒成立．∵x ∈[1,2)，∴x 2∈[1,4)．∴命题为真命题的充要条件为a ≥4.∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a >4，故选D. (2)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [答案] (1)D (2)[0,3][方法技巧]根据充分、必要条件求参数的思路方法根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一](2017·长沙四校联考)“x >1”是“log 2(x －1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由log 2(x －1)<0得0<x －1<1，即1<x <2，故“x >1”是“log 2(x －1)<0”的必要不充分条件，选B.2．[考点二]已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选A 由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，解得x <－1或x >2.因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.3．[考点一](2017·太原模拟)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若cos α≠12，则α≠2k π±π3(k ∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q ⇒/p .所以p 是q 的充分不必要条件．4．[考点二]已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选A 设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1.5．[考点一]已知函数f (x )＝13x－1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)解析：若f (x )＝13x －1＋a 是奇函数， 则f (－x )＝－f (x )， 即f (－x )＋f (x )＝0， ∴13－x －1＋a ＋13x －1＋a＝2a ＋3x1－3x ＋13x －1＝0，即2a ＋3x －11－3x＝0，∴2a －1＝0， 即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1.若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝12，所以f (x )＝13x －1＋12，f (－x ) ＝13－x －1＋12＝－13x －1－12＝－f (x )， 故f (x )是奇函数．∴“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件． 答案：充要[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f (x ) 在x ＝x 0 处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：选C 设f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但是f (x )是单调增函数，在x ＝0处不存在极值，故若p ，则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q ，则p 是一个真命题．故选C.2．(2012·新课标全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： p 1：|z |＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4解析：选C ∵复数z ＝2－1＋i＝－1－i ，∴|z |＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题．[课时达标检测]基础送分课时——精练“12＋4”，求准求快不深挖 一、选择题1．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．2．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．3．“a <0，b <0”的一个必要条件为( ) A ．a ＋b <0 B ．a －b >0C.a b >1D.ab<－1 解析：选A 若a <0，b <0，则一定有a ＋b <0，故选A.4．已知命题p ：“若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ”，则下列说法正确的是( ) A ．命题p 的逆命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” B ．命题p 的逆命题是“若x <2ab ，则x <a 2＋b 2” C ．命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” D ．命题p 的否命题是“若x ≥a 2＋b 2，则x <2ab ”解析：选C 命题p 的逆命题是“若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 2”，故A ，B 都错误；命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ”，故C 正确，D 错误．5．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A f(x)是定义在R上的奇函数可以推出f(0)＝0，但f(0)＝0不能推出函数f(x)为奇函数，例如f(x)＝x2.故选A.6．原命题p：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．4解析：选C当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．7．“a＝2”是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A“a＝2”可以推出“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不能推出．故“a＝2”是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．8．(2017·杭州模拟)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．9．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD 中AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．10．(2017·烟台诊断)若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选A p ：|x |≤2等价于－2≤x ≤2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以有[－2,2]⊆(－∞，a ]，即a ≥2.11．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④D ．②和④解析：选D 只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．12．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当k ＝1时，l ：y ＝x ＋1，由题意不妨令A (－1,0)，B (0,1)，则S △AOB ＝12×1×1＝12，所以充分性成立；当k ＝－1时，l ：y ＝－x ＋1，也有S △AOB ＝12，所以必要性不成立．二、填空题13．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________． 解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3.答案：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 14．有下列几个命题：①“若a >b ，则1a >1b”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b ”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．答案：②③15．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)16．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0] 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词本节主要包括2个知识点：1.简单的逻辑联结词；2.全称量词与存在量词.突破点(一)简单的逻辑联结词基础联通抓主干知识的“源”与“流”命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真简记为“p∧q两真才真，一假则假；p∨q一真则真，两假才假；綈p与p真假相反”．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”含逻辑联结词命题的真假判断[例1](2017·大连模拟)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题的序号是() A．①③B．①④C．②③D．②④[解析]依题意可知，命题p为真命题，命题q为假命题，则綈p为假命题，綈q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题．[答案] C[方法技巧]判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．(2)判断命题真假的步骤根据复合命题的真假求参数[例2] x <0}，命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________________．[解析] 由关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1.由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”，故⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，解得a >1或0<a ≤12，即a ∈⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)． [答案]⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)[方法技巧]根据复合命题真假求参数的步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题解析：选D 因为函数y ＝x 2－2x 在[1，＋∞)上是增函数，所以其单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1x 的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题．故选D.2．[考点一]已知命题p ：当a >1时，函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ；命题q ：“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直”的充要条件，则以下结论正确的是( )A ．p ∨q 为真命题B ．p ∧q 为假命题C ．p ∧綈q 为真命题D ．綈p ∨q 为假命题解析：选A 当a >1时，一元二次方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a <0，则x 2＋2x ＋a >0对任意x ∈R 恒成立，故函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，故命题p 是真命题；直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直等价于a ×2＋2×(－3)＝0，解得a ＝3，故“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直”的充要条件，故命题q 是真命题．所以p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，p ∧綈q 为假命题，綈p ∨q 为真命题．故选A.3．[考点二]设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：对于命题p ：Δ<0且a >0，故a >2；对于命题q ：a >2x －2x ＋1在x ∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y ＝2x －2x ＋1为增函数，所以⎝⎛⎭⎫2x －2x ＋1<1，故a ≥1.命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，等价于p ，q 一真一假，即⎩⎨⎧a >2，a <1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≥1，故1≤a ≤2.答案：[1,2]4．[考点二]已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y。
2019届高考数学一轮复习第一单元《集合与常用逻辑用语》综合检测A卷附答案解析
第一单元 集合与常用逻辑用语一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．下列表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．3．集合） A ． B ．C ．D ．4．已知集合，．若，则实数的值是（ ） A ．0B ．2C ．0或2D ．0或1或25．设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知集合，，则集合（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知集合，，则中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．08．命题：“若，则”的逆否命题是A ．若，则B ．若，则C ．若且，则D ．若或，则 9．设有下面四个命题，是的必要不充分条件；，；函数有两个零点；，．{}1A x x =>-3A -∈2A -∈1A -∈0A ∈0∈N 27∈Z 3-∉Z π∈Q (){},A x y y x ==1A ∈B A ⊆()1,1B ⊆A ∅∈{}0,1,2A ={}1,B m =B A ⊆m {}A x x a =≤(),2B =-∞A B ⊆a 2a ≥2a >2a ≤2a <{}13M x x =-≤<{}0N x x =<{}03x x ≤<=MN M N ()R MN ð()R M N ð(){}22,1A x y xy =+=(){},B x y y x ==AB ()220,a b a b +=∈R 0a b ==()0,a b a b ≠≠∈R 220a b +≠()0,a b a b =≠∈R 220a b +≠0a ≠()0,b a b ≠∈R 220a b +≠0a ≠()0,b a b ≠∈R 220a b +≠1:1p a >1b >1ab >()2:0,1p x ∃∈eπ11log log x x >3:p ()22xf x x =-41π:0p x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，π11log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭其中真命题是（ ） A ．，B ．，C ．，D ．，10．若，，则“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件11．下面四个命题：：命题“，”的否定是“，”； ：向量，，则是的充分且必要条件；：“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”；：若“”是假命题，则是假命题．其中为真命题的是（ ） A ．，B ．，C ．，D ．，12．给出下列四个命题： ①命题“若，则”的逆否命题为假命题； ②命题，．则，使； ③“”是“函数为偶函数”的充要条件； ④命题：“，使”；命题：“若，则”，那么为真命题．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知全集为，集合，，则__________．14．已知，，且，则实数的范围是___________．15．命题“存在，使”是假命题，则的取值范围是_______．16．已知，，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(10分）已知集合，．1p 3p 1p 4p 2p 3p 2p 4p x y ∈R 22x y >x y >1p n ∀∈N 22n n >0n ∃∉N 0202n n ≤2p (),1m =a ()1,n =-b m n =⊥a b 3p ABC △A B >sin sin A B >ABC △sin sin A B ≤A B ≤4p p q ∧p 1p 2p 2p 3p 2p 4p 1p 3p π4α=tan 1α=:p x ∀∈R sin 1x ≤0:p x ⌝∃∈R 0sin 1x >()π2πk k ϕ=+∈Z ()sin 2y x ϕ=+p 0x ∃∈R 003sin cos 2x x +=q sin sin αβ>αβ>()p q ⌝∧R {}24x A x =≥{}230B x x x =-≥()AB =R ð(],A a =-∞[]1,2B =AB φ≠a x ∈R 220x x m ++≤m :12p x ->22:210q x x a -+-≥()0a >p q a {}2230,A x x x x =--<∈R {}3,B x x a x =-<∈R（1）求集合和； （2）若，求实数的取值范围．18．(12分）已知集合，，，全集为实数集． （1）求和；（2）如果，求的取值范围．19．(12分）设全集是实数集，，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．20．(12分）已知命题且，命题，恒成立． （1）若命题为真命题，求的取值范围；（2）若为假命题且为真命题，求的取值范围．21．(12分）设命题：实数满足，其中，命题：实数满足． （1）若，且为真，求实数的取值范围． （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．22．(12分）已知命题，．（1）若是的充分而不必要条件，求实数的取值范围； （2）若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．A B A B A =a {}26A x x =<<{}39B x x =<<{}C x x a =>R A R ð()A B R ðA C ≠∅a R 1203x A x x ⎧-⎫=≥⎨⎬-⎩⎭{}20B x x a =+≤4a =-AB ()A B B =R ða :p m ∈R 10m +≤:q x ∀∈R 210x mx ++>q m p q ∧p q ∨m p x ()()30x a x a --<0a >q x ()()320x x --≤1a =p q ∧x p ⌝q ⌝a :46p x -≤111:20222q x m x m ⎛⎫⎛⎫-+--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭p q ⌝m q ⌝p ⌝m一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第一单元 集合与常用逻辑用语一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】，集合就是由全体大于的数构成的集合，显然， 故，故选D ． 2．【答案】A【解析】，，，，故选A ．3．【答案】B，中的元素在中， 所以，故选B ． 4．【答案】C【解析】当时，，满足；当时，，满足；所以或， 所以实数的值是0或2，故选C ． 5．【答案】D【解析】因为，所以，故选D ． 6．【答案】C【解析】，， ，，，故选C ．7．【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意可知集合表示以为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素．故选B ． 8．【答案】D{}1A x x =>-∴A 1-01>-0A ∈0∈N 27∉Z 3-∈Z π∉Q (){},A x y y x ==B A BA ⊆0m ={}1,0B =B A ⊆2m ={}1,2B =B A ⊆0m =2m =m (](),,2a -∞⊆-∞2a <{}13M x x =-≤<{}0N x x =<{}13M x x x ∴=<-≥R 或ð{}0N x x =≥R ð{}|03Mx N x ∴=≤<R ðA ()0,0B y x =221x y +=y x =⎝⎭⎛ ⎝⎭A B【解析】“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若或，则”； 故选D ． 9．【答案】D【解析】对于命题，举例子即可得出结论，可令，，此时无法得到，，令即可得，故正确；：根据图像必有一个负根，另外还有2，4也是方程的根，故错误；：的最大值为接近于1，而的最小值接近于1，故正确．故选D ． 10．【答案】D【解析】由，解得，因此“”是“”的既不充分也不必要条件．故选D ． 11．【答案】B【解析】对于：命题“，”的否定是“，”，所以是假命题； 对于：等价于即，所以向量，，则是的充分且必要条件，所以是真命题；对于：在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”，所以是真命题；对于：若“”是假命题，则或是假命题，所以命题是假命题． 故答案为B ． 12．【答案】B【解析】①命题“若，则”为真命题，所以其逆否命题为真命题； ②命题，．则，使； ③“”是“函数为偶函数”的充要条件； ④因为命题“，使”为假命题；命题：“若，则”，为假命题，所以为假命题．综上②③正确，选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】【解析】，，，则．0a ≠0b ≠220a b +≠1p 2p 2a =-2b =-1ab >1a >1b >1e x =21π1:1log e p >2p 3p 3p 4p 12x⎛⎫⎪⎝⎭π1log x 4p 22x y >x y >22x y >x y >1p n ∀∈N 22n n >0n ∃∈N 0202n n ≤2p ⊥a b 0m n -=m n =(),1m =a ()1,n =-b m n =⊥a b 3p ABC △A B >sin sin A B >ABC △sin sin A B ≤A B ≤4p p q ∧p q π4α=tan 1α=:p x ∀∈R sin 1x ≤0:p x ⌝∃∈R 0sin 1x >()π2πk k ϕ=+∈Z ()sin 2y x ϕ=+:p 0x ∃∈R 003sin cos 2x x +=q sin sin αβ>αβ>()p q ⌝∧[)2,3{}{}242x A x x x =≥=≥{}{}23003B x x x x x x =-≥=≤≥或()0,3B =R ð())[2,3 AB =R ð14．【答案】【解析】由题意，当时，，所以实数的范围是．15．【答案】 【解析】由题意得命题“存在，使”的否定为“任意，使”且为真命题，即在上恒成立，∴，解得．∴的取值范围是． 16．【答案】【解析】求解绝对值不等式可得， 求解二次不等式可得， 若是的充分不必要条件，则，求解关于的不等式组可得，结合可得实数的取值范围是．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由题意得，．（2），，∴，解得．∴实数的取值范围为．18．【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）因为，， 所以；所以． （2）当时满足．19．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），当时，， 1a ≥1a ≥AB φ≠a 1a ≥18⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，x ∈R 220x x m ++≤x ∈R 220x x m ++>220x x m ++>R 180m ∆=-<18m >m 18⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，(]0,212x ->{}31x x x ><-或22210x x a -+-≥{}|11x x a x a ≥+≤-或p q 1311a a +≤-≥-⎧⎨⎩a 2a ≤0a >a (]0,2{}13A x x =-<<{}33B x a x a =-<<+[]0,2{}{}223013A x x x x x =--<=-<<{}{}{}33333B x x a x x a x a x a =-<=-<-<=-<<+A B A =A B ∴⊆3133a a -≤-+≥⎧⎨⎩02a ≤≤a []0,2{}2 6 A x x x =≤≥R 或ð(){}69 A B x x =≤<R ð6a <{}26A x x =<<{}39B x x =<<{}2 6 A x x x =≤≥R 或ð(){}69 A B x x =≤<R ð6a <A C ≠∅{}|23A B x x =-≤<14a >-132A xx ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭4a =-{}22B x x =-≤≤则．（2），由得，则当时，满足，则成立， 则当时，，满足，则成立， 当时，，即，综上． 20．【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1），解得． （2）若命题：且，解得．为假命题且为真命题，，必然一真一假．当真假时，，解得，当假真时，，解得．的取值范围是或． 21．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，由， 可得，由为真，即为，均为真命题， 可得的取值范围是．（2）若是的充分不必要条件，可得是的充分不必要条件， 由题意可得，， 由，可得且，解得． 22．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意得，命题：，即命题：． 命题：．所以：， 又∵是充分而不必要条件，，∴； 所以实数的取值范围为．{}|23A B x x =-≤<132A x x x ⎧⎫=≥<⎨⎬⎩⎭R 或ð()A B B =R ðB A ⊆R ð0a >B =∅B A ⊆R ð0a >0a ={}0B =B A ⊆R ð0a =0a <{B x x =≤12104a -<<14a >-22m -<<2m ≤-12m -<<240m ∆∴=-<22m -<<p m ∈R 10m +≤1m ≤-p q ∧p q ∨p ∴q p q 122m m m ≤-⎩≤-≥⎧⎨或2m ≤-p q 122m m >--<<⎧⎨⎩12m -<<m ∴2m ≤-12m -<<23x ≤<12a <<()()130x x --<{}13|P x x =<<()()320x x --≤{}23|Q x x =≤≤p q ∧p q x 23x ≤<p ⌝q ⌝q p {}3P x a x a =<<{}23Q x x =≤≤Q P Ö2a <33a <12a <<()(),821,-∞-+∞[]3,16-p 646x -≤-≤p 210x -≤≤q 11222m x m -≤≤+q ⌝11222m x x m -<>+或p q ⌝11102222m m -∴>+<-或821m m <->或m ()(),821,-∞-+∞（2）由（1）知：或；：或； 又∵是的必要而不充分条件，∴，∴．所以实数的取值范围为．p ⌝2x <-10x >q ⌝12m x -<122x m >+q ⌝p ⌝12212102m m -≥⎧⎪-+⎨≤⎪⎪⎪⎩316m -≤≤m []3,16-。
高考数学一轮总复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合高考AB卷理
【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第1章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合高考AB 卷 理集合的概念及集合间的关系1.(2013·大纲全国，1) 设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.6解析 1，2，3与4，5分别相加可得5，6，7，6，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M 中有4个元素.答案 B2.(2012·全国，1)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A.3B.6C.8D.10解析 要使x －y ∈A ，当x ＝5时，y 可是1，2，3，4；当x ＝4时，y 可是1，2，3；当x ＝3时，y 可是1，2；当x ＝2时，y 可是1.综上共有10个，选D.答案 D集合间的基本运算3.(2016·全国Ⅰ，1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 解析 由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >32，得A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x <3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，故选D. 答案 D4.(2016·全国Ⅱ，2)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3} 解析 由(x ＋1)(x －2)<0解得集合B ＝{x |－1<x <2}，又因为x ∈Z ，所以B ＝{0，1}，因为A ＝{1，2，3}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}，故选C.答案 C5.(2016·全国Ⅲ，1)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝( )A.[2，3]B.(－∞，2]∪[3，＋∞)C.[3，＋∞)D.(0，2]∪[3，＋∞)解析S＝{x|x≥3或x≤2}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝(0，2]∪[3，＋∞).答案 D6.(2015·全国Ⅱ，1)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B ＝( )A.{－1，0}B.{0，1}C.{－1，0，1}D.{0，1，2}解析由A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1}，得A∩B ＝{－1，0}，故选A.答案 A7.(2014·全国Ⅱ，1)设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )A.{1}B.{2}C.{0，1}D.{1，2}解析N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0，1，2}，所以M∩N＝{1，2}.答案 D8.(2014·全国Ⅰ，1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝( )A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)解析A＝{x|x≤－1，或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，选A.答案 A9.(2014·大纲全国，2)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝( )A.(0，4]B.[0，4)C.[－1，0)D.(－1，0]解析由题意可得M＝{x|－1<x<4}，所以M∩N＝{x|0≤x<4}，故选B.答案 B10.(2012·大纲全国，2)已知集合A＝{1，3，m }，B＝{1，m}，A∪B＝A, 则m＝( )A.0或 3B.0或3C.1或 3D.1或3解析因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以m＝3或m＝m.若m＝3，则A＝{1，3，3}，B ＝{1，3}，满足A∪B＝A，若m＝m，解得m＝0或m＝1，若m＝0，则A＝{1，3，0}，B ＝{1，0}，满足A∪B＝A，若m＝1，A＝{1，3，1}，B＝{1，1}，显然不成立，综上m＝0或m＝3，选B.答案 B集合的概念及集合间的关系1.(2015·重庆，1)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则( )A.A＝BB.A∩B＝∅C.A⫋BD.B⫋A解析由于2∈A，2∈B，3∈A，3∈B，1∈A，1∉B，故A，B，C均错，D是正确的，选D. 答案 D2.(2013·山东，2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )A.1B.3C.5D.9解析因为x，y∈{0，1，2}，所以x－y值只可能为－2，－1，0，1，2五种情况，所以集合B中元素的个数是5.答案 C3.(2012·江西，1)若集合A＝{－1，1}，B＝{0，2}，则集合{z︱z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )A.5B.4C.3D.2解析因为x∈A，y∈B，所以当x＝－1时，y＝0，2，此时z＝x＋y＝－1或1.当x＝1时，y＝0，2，此时z＝x＋y＝1或3，所以集合{z|z＝－1，1，3}＝{－1，1，3}共三个元素，选C.答案 C集合间的基本运算4.(2016·北京，1)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－1，0，1，2，3}，则A∩B＝( )A.{0，1}B.{0，1，2}C.{－1，0，1}D.{－1，0，1，2}解析A＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－2＜x＜2}∩{－1，0，1，2，3}＝{－1，0，1}.答案 C5.(2016·山东，2)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )A.(－1，1)B.(0，1)C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)解析∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.答案 C6.(2016·四川，1)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( )A.3B.4C.5D.6解析由题可知，A∩Z＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩Z中的元素的个数为5.选C.答案 C7.(2015·天津，1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝( )A.{2，5}B.{3，6}C.{2，5，6}D.{2，3，5，6，8}解析由题意知，∁U B＝{2，5，8}，则A∩∁U B＝{2，5}，选A.答案 A8.(2015·福建，1)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( )A.{－1}B.{1}C.{1，－1}D.∅解析集合A＝{i，－1，1，－i}，B＝{1，－1}，A∩B＝{1，－1}，故选C.答案 C9.(2015·广东，1)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N ＝( )A.∅B.{－1，－4}C.{0}D.{1，4}解析因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}＝{1，4}，所以M∩N＝∅，故选A.答案 A10.(2015·浙江，1)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q＝( )A.[0，1)B.(0，2]C.(1，2)D.[1，2]解析∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁R P＝{x|0＜x＜2}，∴(∁R P)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.答案 C11.(2015·陕西，1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝ ( )A.[0，1]B.(0，1]C.[0，1)D.(－∞，1]解析由题意得M＝{0，1}，N＝(0，1]，故M∪N＝[0，1]，故选A.答案 A12.(2014·四川，1)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝( )A.{－1，0，1，2}B.{－2，－1，0，1}C.{0，1}D.{－1，0}解析因为A＝{x|－1≤x≤2}，B＝Z，故A∩B＝{－1，0，1，2}.答案 A13.(2014·辽宁，1)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}解析A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}.答案 D14.(2013·重庆，1)已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝( )A.{1，3，4}B.{3，4}C.{3}D.{4}解析因为A∪B＝{1，2，3}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.答案 D15.(2014·重庆，11)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B＝________.解析依题意得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∁U A＝{4，6，7，9，10}，(∁U A)∩B ＝{7，9}.答案{7，9}集合中的创新问题16.(2015·湖北，9)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B 中元素的个数为( )A.77B.49C.45D.30解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个.故A⊕B中元素的个数为45.故选C.答案 C。
高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第1章 集合与常用逻辑用语1-2aWord版含解析
[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．下列命题中是真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若x－312是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②B．①③C．②③D．①②③答案B解析对于①，其否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，这显然是正确的，故①为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故②为假命题；对于③，原命题为真，故逆否命题也为真．因此是真命题的是①③.故选B.2．(·河南八市联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c答案A解析否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．故选A.3．(·曲阜模拟)已知p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，q：函数g(x)＝log a(x＋1)(a>0且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析易知p成立⇔a≤1，q成立⇔a>1，所以綈p成立⇔a>1，则綈p 是q 的充要条件．故选C.4．下列命题正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“a >0，b >0”是“b a ＋a b ≥2”的充分必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”D ．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0 答案 D解析 若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，那么p ∧q 可能为真，也可能为假，故A 错误；若a >0，b >0，则b a ＋a b ≥2，又当a <0，b <0时，也有b a ＋a b ≥2，所以“a >0，b >0”是“b a ＋a b ≥2”的充分不必要条件，故B 错误；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，故C 错误，易知D 正确．故选D.5．“a <－1”是“∃x 0∈R ，a sin x 0＋1<0”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由题意知“∃x 0∈R ，a sin x 0＋1<0”等价于“(a sin x ＋1)min <0”，即“当a >0时，－a ＋1<0，即a >1；当a <0时，a ＋1<0，即a <－1”，所以“a <－1”是“∃x 0∈R ，a sin x 0＋1<0”的充分不必要条件，故选B.6．(·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析 设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题， 即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.7．(·衡水联考)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x ，f (－x )＝sin(－x )－1－x＝－sin x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数；反之，当f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0， 所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的充要条件．故选C.8．(·天津模拟)已知f (x )＝2x ＋3(x ∈R )，若|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)，则a ，b 之间的关系是( )A ．b ≥a 2B ．b <a 2C ．a ≤b 2D ．a >b 2答案 A解析 ∵f (x )＝2x ＋3，且|f (x )－1|<a ，∴|2x ＋2|<a .∴－a <2x ＋2<a ，∴－2－a 2<x <－2＋a 2.∵|x ＋1|<b ，∴－b <x ＋1<b ，∴－b －1<x <b －1.∵|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－a 2，－2＋a 2⊆(－b －1，b －1)， ∴⎩⎨⎧－b －1≤－2－a 2，b －1≥－2＋a 2，解得b ≥a 2.故选A. 9．(·江西一联)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >0”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 复数z ＝(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2－2a i ＋i ＝a ＋2＋(1－2a )i 在复平面内对应的点为M (a ＋2,1－2a )．若a >0，则a ＋2>0，但1－2a 的正负不确定，所以点M 是否在第四象限也是不确定的；若点M 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，1－2a <0，解得a >12，此时可推出a >0.所以“a >0”是“点M 在第四象限”的必要不充分条件．故选B.10．(·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设p ：0<r <3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝|1－3×0＋3|2＝2.当r∈(0,1)时，直线与圆相离，圆上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆上只有一个点到直线的距离为1；当r∈(1,2)时，直线与圆相离，圆上有两个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，圆上有两个点到直线的距离为1；当r∈(2,3)时，直线与圆相交，圆上有两个点到直线的距离为1.综上，当r∈(0,3)时，圆上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆上至多有两个点到直线的距离为1可得0<r<3，故p是q的充分必要条件．故选C.二、填空题是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是________．答案(－1，＋∞)解析12．已知条件p：x∈A，且A＝{x|a－1<x<a＋1}，条件q：x∈B，且B＝{x|y＝x2－3x＋2}．若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)解析 易得B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，且A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，由p 是q 的充分条件，可知A ⊆B ，故a ＋1≤1或a －1≥2，即a ≤0或a ≥3.即所求实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．13．(·泰安模拟)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 ∵p 是q 的必要不充分条件，∴q ⇒p ，且p ⇒/ q .设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A .又B ＝{x |2<x ≤3}，当a >0时，A ＝{x |a <x <3a }；当a <0时，A ＝{x |3a <x <a }．故当a >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2； 当a <0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(1,2]．14．(·长沙模拟)r (x )：已知r (x )＝sin x ＋cos x >m ；s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]∪[－2，2)解析 由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 得sin x ＋cos x 的最小值为－ 2.若∀x ∈R 时，命题r (x )为真命题，则m <－ 2.若命题s (x )为真命题，即∀x ∈R ，不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.若命题r (x )为真命题，命题s (x )为假命题，则m ≤－2；若命题r(x)为假命题，命题s(x)为真命题，则－2≤m<2.综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)．三、解答题15．(·沂水模拟)已知f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解(1)逆命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.是真命题．(用反证法证明)假设a＋b<0，则有a<－b，b<－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设中f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立．从而a＋b≥0成立．逆命题为真．(2)逆否命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.是真命题．原命题为真，证明如下：∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．∴原命题为真命题，∴其逆否命题也为真命题．16．(·江苏兴化月考)已知命题：“∃x∈{x|－1<x<1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题．(1)求实数m的取值集合M；(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求实数a 的取值范围．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解，即m 的取值范围就为函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易知M ＝{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－14≤m <2. (2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以M ⊆N .当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意；当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎨⎧ 2－a <－14，a ≥2，解得a >94； 当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }， 则⎩⎨⎧ a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上，a >94或a <－14.。