高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第2课时课件 新人教版必修5
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等差数列的性质(52张PPT)
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第二章 2.2 第2课时
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方法2：∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列． 设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项． ∴a60＝a15＋3d，∴20＝8＋3d，解得d＝4. ∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
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第二章 2.2 第2课时
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[点评]
等差数列中项数成等差的项仍然组成等差数
列，方法2正是应用等差数列这一性质解题的．
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第二章 2.2 第2课时
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变式训练2 已知数列{an}为等差数列． (1)若a15＝10，a45＝90，求a60； (2)公差d＝－2，且a1＋a4＋a7＋„＋a97＝50，求a3＋a6 ＋a9＋„＋a99的值．
第二章 2.2 第2课时
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联立解得 a2＝4，a5＝13，或 a2＝13，a5＝4. a5－a2 当 a2＝4，a5＝13 时，d＝ ＝3； 5－2 a5－a2 当 a2＝13，a5＝4 时，d＝ ＝－3. 5－2 ∴公差 d 为 3 或－3.
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第二章 2.2 第2课时
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[解]
(1)∵a2＋a26＝a3＋a25＝2a14，
∴a2＋a3＋a25＋a26＝4a14＝48. 解得 a14＝12. (2)∵a2＋a5＝a3＋a4， ∴a2＋a3＋a4＋a5＝2(a2＋a5)＝34. 解得 a2＋a5＝17. 又已知 a2a5＝52，
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2.2.2 等差数列(二)课件-河南省兰考县第三高级中学人教版高中数学必修五
例4、三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a1，a2，a3 则依题意有 a1+a2+a3=12 ∵a1+a3=2a2，故3a2=12
∴a2=4
aa11a3
a3
12
8
解得 aa13
2 6
或
a1 a3
6 2
∴这三个数为2，4，6或6，4，2
例4、三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积也为12，求此三数.
（3）已知 a2+a14=10，能求出a16吗？
练习：
1、已知在等差数列an 中， a1 a3 6, a7 18,
则 a10 ___2__7_____.
2、已知在数列an 中，
an
0, a1
1 ，若数列{ 1
1
an
}
恰好成公差为 3 的等差数列，则 an __3_n___2___.
3、在等差数列{an}中， a2 a3 a4 a12 a14 2 ，
规律二：
在等差数列an中，若m, n, p, q N ,
则当m n p q时，总有am an a p aq
特别地，若m n 2 p，则am an 2ap
练习：在等差数列{an}中，
（1）已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 ；10 （2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8； 15
数列{an}是等差数列
an=pn+q(p、q是常数)
➢判断一个数列是等差数列的方法
(1)定义法：an an1 d, n 2 (或an1 an d, n N*)
高中数学人教A版必修5第二章2.2等差数列2课时课件
a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想：形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n)，
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的 规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整 除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下 一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10 级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列. 设这个数列为{bn}, 则 b1=61, b15=40. 由通项公式 b15=b1+(15-1)d 得
(2) 是等差数列, 它的首项是原数列首项a1, 公差是原 数列公差的 2 倍, 即2d.
(3) 也是等差数列, 它的首项是原数列首项a7, 公差是 原数列公差的 7 倍, 即7d.
5. 已知{an}是等差数列. (1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么? (2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出 什么结论?
人教高中数学必修五 第二章 2.2 等差数列求和公式(共55张PPT)
或
跟踪练习
1. 在等差数列{an}中； (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17.
解
5×4 S5＝5a1＋ d＝5， 2 (1) a6＝a1＋5d＝10，
解得 a1＝－5，d＝3. ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16. 10×9 S10＝10a1＋ d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. 2 17×a1＋a17 17×a3＋a15 17×40 (2)S17＝ ＝ ＝ ＝340. 2 2 2
又当 n＝1 时，a1＝21 1＝1≠5，
－
5 ∴an＝ n－1 2
n＝1， n≥2.
(2)法一
an＋12 (消 Sn)；由 Sn＝ (n∈N*)，得 4an＋1＝4(Sn＋ 4
2
1－Sn)＝(an＋1＋1)
－(an＋1)2
化简得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0， 因为an＞0，∴an＋1－an＝2， 又4S1＝4a1＝(a1＋1)2得a1＝1， 故{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1.
法二
(消 an)：由上可知
2 Sn＝an＋1，∴2 Sn＝Sn－Sn－1＋1(n≥2)， 化简可得( Sn－1)2＝Sn－1， ( Sn＋ Sn－1－1)( Sn－ Sn－1－1)＝0， 又 S1＝1，{an}的各项都为正数， 所以 Sn－ Sn－1＝1. 所以 Sn＝n，从而 Sn＝n2， 所以 an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，a1＝1 也适合，故 an ＝2n－1.
4S n 4S1 4S 2 ... Sn 3． 已知数列{an}中， a1＝2，a1 2 a2 2 an 2
,
求 an.
新课标人教A版高中数学必修五第二章第二节《等差数列》课件
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差
通常用字母 d 表示。
定义的符号表示是：an - an-1=d(n≥2,n∈N)
判断下列数列是否为等差数列？若是，则公差是多少？若不是，
说明理由？
(1). 6，4，2，0,-2,-4…
(2). a，a，a，a，…
(3). 0，1，0，1，…
(4). 1，2，3，4，…
则an pn q.
结论: 等差数列的通项公式是关于n的一次形式，
反之亦成立。
1. 在直角坐标系中，画出通项公式为an ＝
2n-1 的数列的图像，这个图像有什么特点？
2. 在同一坐标系中，画出y=2x-1的图像，
你发现了什么？据此说一说等差数列 =
+ 的图象与一次函数y = x + b 的 图 象
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
……
由此得到
an=a1+（n-1）d , n∈N+,
例1 等差数列{an}中
①已知a1 =2，d=3，n=10，求 an
②已知d = - 0.5，a7 =8，求 a1
③已知a1 = 12，a6 = 27，求 d
④已知a1 = 3，an = 21，d = 2，求n
作
业
必做：同步练习册 基础巩固
选做：同步练习册 能力提升
第二章 数列
2.2 等差数列
• 学习目标：
• 1、掌握等差数列的概念
• 2、理解等差数列通项公式的推导过程，能运用通项公式
解 决 一些简单的问题。
• 3、了解等差数列的函数特征
等差数列的定义
视察下面数列，思考这些数列有什么共同特点？
通常用字母 d 表示。
定义的符号表示是：an - an-1=d(n≥2,n∈N)
判断下列数列是否为等差数列？若是，则公差是多少？若不是，
说明理由？
(1). 6，4，2，0,-2,-4…
(2). a，a，a，a，…
(3). 0，1，0，1，…
(4). 1，2，3，4，…
则an pn q.
结论: 等差数列的通项公式是关于n的一次形式，
反之亦成立。
1. 在直角坐标系中，画出通项公式为an ＝
2n-1 的数列的图像，这个图像有什么特点？
2. 在同一坐标系中，画出y=2x-1的图像，
你发现了什么？据此说一说等差数列 =
+ 的图象与一次函数y = x + b 的 图 象
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
……
由此得到
an=a1+（n-1）d , n∈N+,
例1 等差数列{an}中
①已知a1 =2，d=3，n=10，求 an
②已知d = - 0.5，a7 =8，求 a1
③已知a1 = 12，a6 = 27，求 d
④已知a1 = 3，an = 21，d = 2，求n
作
业
必做：同步练习册 基础巩固
选做：同步练习册 能力提升
第二章 数列
2.2 等差数列
• 学习目标：
• 1、掌握等差数列的概念
• 2、理解等差数列通项公式的推导过程，能运用通项公式
解 决 一些简单的问题。
• 3、了解等差数列的函数特征
等差数列的定义
视察下面数列，思考这些数列有什么共同特点？
人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
证明．在求{an}通项公式时，要用到{an－2}是等差数列，先求 1
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
必修5课件2.2.2等差数列的通项公式
2在数列 an 中, 如果对于任意的正整数n n 2, 都有
an 1 an 1 an , 那么 an1 an an an1 n 2. 2 这表明, 这个数列从第2 项起 , 后一项减去前一项所 得的差始终相等, 所以数列 an 是等差数列.
an1 an 1 所以有 an . 2
2 . 2 . 2 等 差 数 列的 通 项 公 式
观察等差数列 an : 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ,
如何写出它的第 项呢 ? 100
我们有 a1 4 , a2 7 4 3 , a3 10 4 3 2 ,
a4 13 4 3 3 ,
an a1 n 1 d .
证 因为 an 为等差数列, 所以当n 2时, 有
a2 a1 d , a3 a1 d , an an1 d .
将上面 n 1 个等式的两边分别相加 , 得
an a1 n 1 d , 所以 an a1 n 1 d .
例6 如图, 三个正方形的边 AB, BC , CD的长组成等差数 列, 且AD 21cm, 这三个正方 形的面积之和是179cm 2 C B A D 21cm 1求AB, BC , CD 的长 ; 2以 AB, BC , CD 的长为等差数列的前三 ,以第10 项为边长 项 的正方形的面积是多少 ? 解 1 设公差为d d 0, BC x , 则 AB x d , CD x d . x d x x d 21 , x 7, x 7,舍去. 解得 则 或 2 2 2 x d x x d 179, d 4 d 4 所以 AB 3 cm, BC 7 cm, CD 11 cm.
人教A版数学必修5第二章2.2等差数列课件
解：由题意可知
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组 ，解这个方程组，得
a1 2 d 3 还有什么方法，又能得到什么 即这个等差数列的结首论项，是让-２我，们公一差起是看３看。吧！
【精讲点拨】 知识延伸：
am a1 (m 1)d a1 am (m 1)d
高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出
故 了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一 事 道很纷杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯
即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家 伙又在捣 乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃 惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数 加倒数第二个 数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未 曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇 报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。
如果不是，请说明理由． (1)4,7, 10,13,16，…； (2)31,25,19,13,7，…；
(3)0,0,0,0,0，…； (4)a，a－b，a－2b，…；
(5)1,2,5,8,11，….
问题：上述题目中反应出公差的范围？公差 对数列的增减性有何影响？
➢课堂展示清单
【合作探究一】
公差d是每一项（第2项起）与它的前一 项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且 公差可以是正数，负数，也可以为0.
最低降至5m。那么从开始放水算起，到
可以进行清算工作的那天，水库每天的水
2019-2020学年数学人教A版必修5课件：2.2 第2课时等差数列的性质
4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－ a10的值为________．
【答案】30
【解析】∵a2 ＋a14＝2a8，∴a2 ＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.
利用等差数列的通项公式或性质解题
【例1】 在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ ()
在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋
a13＝118，则a4＋a10＝( )
A．45
B．50
C．75
D．60
【答案】B
【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝ 118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50.∴a4＋a10＝a2＋a12＝ 50.故选B．
(2019 年陕西西安模拟)《莱因德纸草书》是世
界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100
个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大
的三份之和的17等于较小的两份之和，问最小的 1 份为多少？这
个问题的答案为( )
A．53
B．130
C．56 【答案】A
D．161
【解析】设五个人分得的面包为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100， ∴a＝20.由17(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，得 3a＋3d＝7(2a －3d)，∴24d＝11a.∴d＝565.∴最小的一份为 a－2d＝20－2×565 ＝53.故选 A．
【方法规律】常见设元技巧： (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这 两个数为a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a ＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋ d，a＋3d，公差为2d.
高中数学必修5课件：第2章2-2-1等差数列
第二章 数列
解析： (1)证明：bn＋1－bn＝an＋11－2－an－1 2 ＝4－a41n－2－an－1 2＝2aan－n 2－an－1 2 ＝2aann－－22＝12. 又b1＝a1－1 2＝12， ∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．
数学 必修5
第二章 数列
(2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n. ∵bn＝an－1 2，∴an＝b1n＋2＝2n＋2. ∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋2.
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] 方法一：设等差数列{an}的前三项分别为
a1，a2，a3.依题意得aa11·＋a2a·a23＋＝a63＝6，18，
∴a31a·1＋a1＋3dd＝·1a81，＋2d＝66，
2分
解得ad1＝＝－115 或ad1＝＝51.，
6分
数学 必修5
第二章 数列
∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0. 故取a1＝11，d＝－5， ∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16. 即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16. 令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10. ∴－34是数列{an}的项，且为第10项.
由aa190<>11，， 得221155＋＋98dd><11，，
解得785<d<235.
故选 C. 【错因】 在解决本题时，必须深刻理解“从第10项起开
始比1大”的含义．尤其是“开始”这个词，它不仅表明 “a10>1”，而且还隐含了“a9≤1”这一条件，所对上述两个错 解都未从题干中彻底地挖掘出隐含条件．
第二章 数列
4．已知三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方 和为116，求这三个数．