2014-2015年福建省福州市闽清高中等四校联考高一(上)期中数学试卷及参考答案
2014-2015年福建省福州市八县一中高一上学期期末数学试卷与答案Word版
2014-2015学年福建省福州市八县一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．（5.00分）用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（）A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体2．（5.00分）已知A（﹣1，3）、B（3，﹣1），则直线AB的倾斜角为（）A．45°B．60°C．120° D．135°3．（5.00分）已知直线l1：y=2x+1，若直线l2与l1关于直线x=1对称，则l2的斜率为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．24．（5.00分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面5．（5.00分）在空间直角坐标系中一点P（1，3，4）到x轴的距离是（）A．5 B． C． D．6．（5.00分）若两条平行线l1，l2的方程分别是2x+3my﹣m+2=0，mx+6y﹣4=0，记l1，l2之间的距离为d，则m，d分别为（）A．m=2，d=B．m=2，d=C．m=2，d=D．m=﹣2，d= 7．（5.00分）设l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列论述正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l∥m，l⊥α，则m⊥αD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β8．（5.00分）直线y=﹣x绕原点按逆时针方向旋转90°后所得直线与圆（x﹣2）2+y2=1的位置关系是（）A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心C．直线与圆相切D．直线与圆没有公共点9．（5.00分）平面α的斜线l与平面α所成的角是45°，则l与平面α内所有不过斜足的直线所成的角中，最大的角是（）A．45°B．90°C．135° D．60°10．（5.00分）一个正八面体的八个顶点都在同一个球面上，如果该正八面体的棱长为．则这个球的表面积为（）A．πB．2πC．4πD．11．（5.00分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=112．（5.00分）设集合A={（x，y）|y=x}与集合B={（x，y）|x=a+，a∈R}，若A∩B的元素只有一个，则实数a的取值范围是（）A．a=±B．﹣1＜a＜1或a=±C．a=或﹣1≤a＜1 D．﹣1＜a≤1或a=﹣二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置上.）13．（4.00分）若直线y=3x+b过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则b=．14．（4.00分）已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于．15．（4.00分）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD 的中点，则=．16．（4.00分）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B，E，F，C四点共面；②直线BF与AE异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD；．⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径．其中正确的有．（请写出所有符合条件的序号）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17．（12.00分）已知直线l：kx﹣y+1﹣2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|=|OB|，求k的值．18．（12.00分）有100件规格相同的铁件（铁的密度是7.8g/cm3），该铁件的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成（图中单位cm）．（1）指出该几何体的形状特征；（2）根据图中的数据，求出此几何体的体积；（3）问这100件铁件的质量大约有多重（π取3.1，取1.4）？19．（12.00分）已知点M（2，0），两条直线l1：2x+y﹣3=0与l2：3x﹣y+6=0，直线l经过点M，并且与两条直线l1•l2分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，若A与B重合，求直线l的方程，若x1+x2=0，求直线l的方程．20．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．21．（12.00分）如图，已知正三角形ABC的边长为6，将△ABC沿BC边上的高线AO折起，使BC=3，得到三棱锥A﹣BOC．动点D在边AB上．（1）求证：OC⊥平面AOB；（2）当点D为AB的中点时，求异面直线AO、CD所成角的正切值；（3）求当直线CD与平面AOB所成角最大时的正切值．22．（14.00分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，以及直线l：3x﹣4y﹣15=0．（1）求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省福州市八县一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．（5.00分）用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（）A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体【解答】解：∵各个截面都是圆，∴这个几何体一定是球体，故选：C．2．（5.00分）已知A（﹣1，3）、B（3，﹣1），则直线AB的倾斜角为（）A．45°B．60°C．120° D．135°【解答】解：∵A（﹣1，3）、B（3，﹣1），∴k AB==﹣1，∴直线AB的倾斜角α=135°．故选：D．3．（5.00分）已知直线l1：y=2x+1，若直线l2与l1关于直线x=1对称，则l2的斜率为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【解答】解：∵直线l1：y=2x+1，直线l2与l1关于直线x=1对称，作出图象，如图，结合图象，得直线l2与l1的倾斜角互补，∵直线l1：y=2x+1的斜率k=2，∴l2的斜率为k′=﹣2．故选：A．4．（5.00分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选：B．5．（5.00分）在空间直角坐标系中一点P（1，3，4）到x轴的距离是（）A．5 B． C． D．【解答】解：∵点（x，y，z）到x轴的距离d等于：d=．∴点P（1，3，4）到x轴的距离d等于：d==5．故选：A．6．（5.00分）若两条平行线l1，l2的方程分别是2x+3my﹣m+2=0，mx+6y﹣4=0，记l1，l2之间的距离为d，则m，d分别为（）A．m=2，d=B．m=2，d=C．m=2，d=D．m=﹣2，d=【解答】解：两条平行线l1，l2的方程分别是2x+3my﹣m+2=0，mx+6y﹣4=0，可得：，解得m=2，两条平行线l1，l2的方程分别是2x+6y=0，2x+6y﹣4=0，平行线之间的距离为：d==．故选：B．7．（5.00分）设l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列论述正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l∥m，l⊥α，则m⊥αD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解答】解：由l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，知：若l∥α，m∥α，则l与m相交、平行或异面，故A错误；若l∥α，l∥β，则α与β平行或相交，故B错误；若l∥m，l⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理知m⊥α，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l相交β、平行或l⊂β，故D错误．故选：C．8．（5.00分）直线y=﹣x绕原点按逆时针方向旋转90°后所得直线与圆（x﹣2）2+y2=1的位置关系是（）A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心C．直线与圆相切D．直线与圆没有公共点【解答】解：把直线y=﹣x绕原点按逆时针方向旋转90°后所得直线与原直线垂直，所得直线的斜率为，故所得直线的方程为y=x，即x﹣3y=0．再根据圆心（2，0）到所得直线x﹣3y=0的距离为=1，正好等于圆的半径，故所得直线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，故选：C．9．（5.00分）平面α的斜线l与平面α所成的角是45°，则l与平面α内所有不过斜足的直线所成的角中，最大的角是（）A．45°B．90°C．135° D．60°【解答】解：因为一个斜线跟平面上的直线所成的角要小于等于90°，在平面α任意做一条垂直于该斜线在平面α内的射影的直线，该直线与斜线成90°为最大角．故选：B．10．（5.00分）一个正八面体的八个顶点都在同一个球面上，如果该正八面体的棱长为．则这个球的表面积为（）A．πB．2πC．4πD．【解答】解：由题意正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则其中四点所组成的截面在球的一个大圆面上，因为正八面体的棱长为，所以底面四点组成的正方形的对角线的长为2，球的半径是1所以此球的表面积4π．故选：C．11．（5.00分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选：A．12．（5.00分）设集合A={（x，y）|y=x}与集合B={（x，y）|x=a+，a∈R}，若A∩B的元素只有一个，则实数a的取值范围是（）A．a=±B．﹣1＜a＜1或a=±C．a=或﹣1≤a＜1 D．﹣1＜a≤1或a=﹣【解答】解：由x=a+，得（x﹣a）2+y2=1，（x≥a），即集合B表示圆心在（a，0），半径为1的圆的右半部分，由图象知当直线y=x经过点A（a，1）时，直线和半圆有一个交点，此时a=1，当直线y=x经过点B（a，﹣1）时，直线和半圆有2个交点，此时a=﹣1，当直线和半圆相切时，圆心（a，0）到直线y=x的距离d=，交点a=（舍）或a=﹣，若A∩B的元素只有一个，则a=﹣或﹣1＜a≤1，故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置上.）13．（4.00分）若直线y=3x+b过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则b=5．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0 即圆（x+1）2+（y﹣2）2 =5，它的圆心为（﹣1，2），再根据直线y=3x+b过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，可得2=﹣3+b，求得b=5，故答案为：5．14．（4.00分）已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于2π．【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，∴底面半径=1，底面周长=2π，∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π，故答案为：2π．15．（4.00分）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD 的中点，则=10．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设|CA|=a，|CB|=b，则A（a，0），B（0，b）∵点D是斜边AB的中点，∴，∵点P为线段CD的中点，∴P∴===∴|PA|2+|PB|2==10（）=10|PC|2∴=10．故答案为：1016．（4.00分）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B，E，F，C四点共面；②直线BF与AE异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD；．⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径．其中正确的有①②③．（请写出所有符合条件的序号）【解答】解：根据几何体的平面展开图，画出它的直观图如下：①根据已知，EF∥AD∥BC；∴EF∥BC；∴B，E，F，C四点共面；∴该结论正确；②由图可看出BF和AE异面；∴该结论正确；③由①EF∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC；∴EF∥平面PBC；∴该结论正确；④分别取AD，EF，BC的中点G，H，M，并连接GH，HM，MG，则GH⊥EF，HM⊥EF；而EF是平面BCE和平面PAD的交线；∴∠GHM为平面BCE与平面PAD形成的二面角的平面角；若设该几何体的侧棱长为2，则：GH=，HM=，MG=2；显然GH2+HM2≠MG2；∴∠GHM≠90°；∴平面BCE与平面PAD不垂直；∴该结论错误；⑤把该正四棱锥沿底面各边及侧棱PD剪开，得到的展开图如下：BH⊥PA，∴B到侧棱PA的最短距离为BE，BE=；过E作EN⊥PD，则EN是点E到PD的最短距离，且EN=，NP=；而N到C的最短距离便是线段NC的长，NC=；∴从B点出发，绕过PAD面到达C点的最短距离为；而BE+EF+FC=；∴该结论错误；综上得正确的结论为①②③．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17．（12.00分）已知直线l：kx﹣y+1﹣2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|=|OB|，求k的值．【解答】（1）证明：设直线过定点（x0，y0），则kx0﹣y0+1﹣2k=0对任意k∈R 恒成立，即（x0﹣2）k﹣y0+1=0恒成立，∴x0﹣2=0，﹣y0+1=0，解得x0=2，y0=1，故直线l总过定点（2，1）．…（6分）（2）解：因直线l的方程为y=kx﹣2k+1，则直线l在y轴上的截距为1﹣2k，在x轴上的截距为2﹣，依题意：1﹣2k=2﹣＞0解得k=﹣1 或k=（经检验，不合题意）所以所求k=﹣1 …（12分）18．（12.00分）有100件规格相同的铁件（铁的密度是7.8g/cm3），该铁件的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成（图中单位cm）．（1）指出该几何体的形状特征；（2）根据图中的数据，求出此几何体的体积；（3）问这100件铁件的质量大约有多重（π取3.1，取1.4）？【解答】解：（1）由三视图可知，该几何体是个组合体；上部分是个正三棱锥，其三条侧棱两两垂直；下部分为一个半球，并且正三棱锥的一个侧面与半球的底面相切．…（3分）（2）由图可知：…（5分）球半径…（6分）…（8分）所以该几何体体积V=…（9分）（3）这100件铁件的质量m：…（11分）答：这批铁件的质量超过694g．…（12分）19．（12.00分）已知点M（2，0），两条直线l1：2x+y﹣3=0与l2：3x﹣y+6=0，直线l经过点M，并且与两条直线l1•l2分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，若A与B重合，求直线l的方程，若x1+x2=0，求直线l的方程．【解答】解：（1）若A与B重合，则直线过l1•l2的交点N，联立2x+y﹣3=0与3x﹣y+6=0可解得x=且y=，∴直线过点M（2，0）和N（，），∴直线的斜率k MN==，∴直线的方程为y﹣0=（x﹣2），即21x+13y﹣42=0；（2）①直线l过点M且斜率不存在时，不满足x1+x2=0；②直线l过点M且斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣2），联立y=k（x﹣2）和2x+y﹣3=0可解得x1=（k≠﹣2），联立y=k（x﹣2）和3x﹣y+6=0可解得x2=（k≠3），∵x1+x2=0，∴+=0，解得k=或k=﹣1，可得方程为x+y﹣2=0或3x+4y﹣6=0；综合①②可得直线的方程为：21x+13y﹣42=0或x+y﹣2=0或3x+4y﹣6=020．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．21．（12.00分）如图，已知正三角形ABC的边长为6，将△ABC沿BC边上的高线AO折起，使BC=3，得到三棱锥A﹣BOC．动点D在边AB上．（1）求证：OC⊥平面AOB；（2）当点D为AB的中点时，求异面直线AO、CD所成角的正切值；（3）求当直线CD与平面AOB所成角最大时的正切值．【解答】解：（1）证明：根据条件，AO⊥OB，AO⊥OC，OB∩OC=O；∴AO⊥底面BCO，OC⊂平面BCO；∴AO⊥OC，即OC⊥AO；又OB=OC=3，BC=3；∴OB2+OC2=BC2；∴OC⊥OB，AO∩OB=O；∴OC⊥平面AOB；∴OC，OB，OA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（0，0，3），B（0，3，0），C（3，0，0）；D为AB中点，∴D（0，）；∴，；设异面直线AO，CD所成角为θ，则cosθ=|cos|=；∴，tan；即异面直线AO、CD所成角的正切值为；（3）由（1）知，为平面AOB的法向量，设直线CD与平面AOB 所成角为α，D（0，），（），则：sin==；∴时，sinα取最大值，此时α最大；∴此时cosα=，tanα=；∴当直线CD与平面AOB所成角最大时的正切值为．22．（14.00分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，以及直线l：3x﹣4y﹣15=0．（1）求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为圆的圆心O（0，0），半径r=5，所以，圆心O到直线l：3x﹣4y﹣15=0的距离d：，由勾股定理可知，圆被直线l截得的弦长为．…（4分）（2）圆C与圆C1的公共弦方程为2x﹣4my﹣4m2﹣25=0，因为该公共弦平行于直线3x﹣4y﹣15=0，则≠，解得：m=…（7分）经检验m=符合题意，故所求m=；…（8分）（3）假设这样实数m存在．设弦AB中点为M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|所以点P（2，0）在以弦AB为直径的圆上．…（10分）设以弦AB为直径的圆方程为：x2+y2﹣2x+4my+4m2+λ（3x﹣4y﹣15）=0，整理得x2+（3λ﹣2）x+y2+（4m﹣4λ）y+4m2﹣15λ=0，则圆心坐标为（﹣，﹣），即M（，），则消去λ得：100m2﹣144m+216=0，25m2﹣36m+54=0因为△=362﹣4×25×54=36（36﹣25×6）＜0 所以方程25m 2﹣36m +54=0无实数根，赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数yxoM 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．所以，假设不成立，即这样的圆不存在． …（14分）。
福建省泉州一中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷
考试时间 120分钟 命题：曾雪英 审核：邱形贵第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题（共12小题，每题5分共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上） 1．已知集合{1,0,1}A =-，{1,}B m =．若B A ⊆，则实数m 的值是（ ）A ．0B ．1-C ．0或1-或1D ．1-或02．下列四个图像中，能构成函数的是（A ．（1） B.（1）、（3）、（4） C.（1）、（2）、（3） D.（3）、（4） 3．函数)10(12≠>+=+a a ay x ，的图象经过的定点坐标为 （ ）A ．)12(，-B ．)22(，-C ．)10(，D ．)20(， 4．下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）A ．01x y y ==， B ． 2)(||x y x y ==， C ．33x y x y ==， D ．x y x y lg 2lg 2==，5．三个数6log 7.067.067.0，，的大小顺序是（ ）A ．60.70.7log 60.76<<B ．60.70.70.76log 6<<C ．0.760.7log 660.7<<D ．60.70.70.7log 66<<6．已知幂函数αx x f =)(的图象经过点)222(，，则)4(f 的值为（ ） A ．21B ．2C ．161 D ．16 7．函数xx f 3log 21)(-=的定义域是（ ）A ．]9(，-∞B ．)9(，-∞C ．]90(，D ．），（90）．x y 2=10．函数xx x f 222)(+-=的值域是（ ）A ．)2(，-∞B ．]2-，（∞C ．），（20D ．]20(，11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的2121)0[x x x x ≠∞+∈，，、，恒有0)()(1212>--x x x f x f 成立，则以下结论正确的是（ ）A ．)3()1()2(->->f f fB ．)1()3()2(->->f f fC ．)1()2()3(->>-f f fD ． )2()1()3(f f f >->-12．已知函数⎩⎨⎧≥-<≤-=1121013)(x x x x f x ，，，设0≥>a b ，若()()f a f b =，则)(b f a ⋅的取值范围是（ ）A ．)121[∞+-， B ．)31121[--， C ． )232[， D ． ]232[，第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卷上） 13．若}2{}08|{2n mx x x ，-==-+，则=+n m14．集合{}4321，，，=A 的真子集个数是 15．已知xx f 1)12(=+，那么=)5(f16．设函数x x f 2)(=，对任意的 x 1、x 2（x 1≠x 2），考虑如下结论：①f (x 1·x 2) = f (x 1) + f (x 2)； ②f (x 1 + x 2) = f (x 1)·f (x 2)； ③f (－x 1) = 1f (x 1) ；④f (x 1) －1x 1 < 0 (x 1≠ 0)； ⑤)2(2)()(2121x x f x f x f +>+． 则上述结论中正确的是 （只填入正确结论对应的序号）三．解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)全集U =R ，集合}103|{<≤=x x A ，}3243312|{⎩⎨⎧+≤->-=x x x x B（I ）求A B ，A B , ()()U U C A C B ；（II ）若集合C ={|}x x a >，A C ⊆，求a 的取值范围（结果用区间表示）．18．(本小题满分12分)求值：（I ）232021)32()827()2()94(--+--+ （II ）9log )2log 34(log233⋅-19．(本小题满分12分)已知)(x f y =是定义在），（），∞+-∞00( 上的奇函数，当0>x 时，x x f 2log )(=，（I ）求函数)(x f 解析式并画出函数图像；（II ）请结合图像直接写出不等式0)(<x xf 的解集．20．(本小题满分12分)已知矩形ABCD ，|4||=AB 点P 沿矩形ABCD 的边从B 逆时针运动到A ．当点P 运动过的路程为x 时，记点P 的运动轨迹与线段OB OP 、围成的图形面积为)(x f ． （I ）求)(x f 表达式；（II ）若2)(=x f ，求x 的值．ABCOP x21．(本小题满分12分)已知函数()12++=x b ax x f 是定义在()11，-上的奇函数，且有5221=）（f （I ）求函数()x f 的解析式；（II ）用定义证明()x f 在()1,1-上是增函数； （III ）解不等式()()012<-+-x f x f ．22．(本小题满分14分)已知2)(2++=bx x x f ．（I ）若)(x f 在)1-(，∞上单调递减，求实数b 的取值范围； （II ）若)(x f 在区间]31[，上最大值为8，求实数b 的值；（III ）若函数)(x g 的定义域为D ， []D q p ⊆，，用分法T :qx x x x p n =<<<<= 210将区间[]q p ，任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得不等式 M x g x g x g x g x g x g x g x g n n ≤-++-+-+--|)()(||)()(||)()(||)()(|1231201 恒成立，则称函数)(x g 在区间[]q p ，上具有性质)(M σ．试判断当2-=b 时，函数()f x 在]30[，上是否具有性质)(M σ？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由．福建省泉州第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试高一年数学试卷 答案卷三．解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)-141x-3123-2-4-1O y17．(本小题满分12分) 解：（I ）[]3,7AB = ----- 3分；()2,10A B =-----6分；()()(,2][10,)U UC A C B =-∞⋃+∞-------------9分（II ）a 范围是(,3)-∞ ------------- 12分19．(本小题满分12分)解：（I ）当0<x 时，则0>-x ，)(log )(2x x f -=- -------------2分又)(x f y =是定义在R 上的奇函数)(log )()(2x x f x f --=--=∴ ------------- 4分⎩⎨⎧<-->=∴0)(log 0log )(22x x x x x f ，，------------- 5分（II ）)10()01(，， - -------------12分 -------------8分21．(本小题满分12分)解：（I ）由()()2101522100x x x f b a f f +=∴⎩⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛= ………（4分） （II ）设1121<<<-x x ，由()()()()()()01112221212121<++--=-x x x x x x x f x f()x f ∴在()1,1-上是增函数………（8分）（III ）()()()112+-=--<-x f x f x f1121<+-<-<-∴x x ，解得231<<x ……（12分）22．(本小题满分14分)解：（I ）2)(2++=bx x x f 图像开口向上，对称轴2bx -= 依题意：212-≤∴≥-b b------------- 3分 （II ）当422-≥≤-b b，时，)4(18311)3()(max -≥-=∴=+==b b f x f ，当422-<>-b b，时，583)1()(max =∴=+==b b f x f ，（舍去） 综上所述：1-=b -------------8分（III ）当2-=b 时函数()f x 在]10[，单调递减，而在]31[，单调递增，对任意划分T :30110=<<<<<<=-n i i x x x x x ， 必存在)0(n i ，∈，使得111>≤-i i x x ，)1()()()()()0(1210g x g x g x g x g g i i ≥>>>>=--)3()()()()()1(11g x g x g x g x g g n n i i =<<<<<-+ -----------9分|)()(||)()(||)()(||)()(|1231201--++-+-+-n n x g x g x g x g x g x g x g x g )()()()()()(|)()(|)()()()()()(11211122110-+++----++-+-+-+-++-+-=n n i i i i i i i i x g x g x g x g x g x g x g x g x g x g x g x g x g x g)(|)()(|)()()()(110*-+-+-=--i i i n i x g x g x g x g x g x g ----------10分法一：当)()(1i i x g x g ≥-时， )(2)()()(0i n x g x g x g -+=*)1(2)()(0g x g x g n -+<5)1(2)3()0(=-+=g g g -----------12分当)()(1i i x g x g <-时， )(2)()()(10--+=*i n x g x g x g)1(2)()(0g x g x g n -+<5)1(2)3()0(=-+=g g g -----------13分所以存在常数5≥M ,使得M x f x f ni i i ≤-∑=-11)()(恒成立，所以M 的最小值为5. -------------14分法二：|)()1()1()(|)()()()()(110i i i n i x g g g x g x g x g x g x g -+-+-+-=*--|)()1(||)1()(|)()()()(110i i i n i x g g g x g x g x g x g x g -+-+-+-≤--------12分)1()()1()()()()()(110g x g g x g x g x g x g x g i i i n i -+-+-+-=--)1(2)()(0g x g x g n -+=5)1(2)3()0(=-+=g g g ----------13分所以存在常数5≥M ,使得M x f x f ni i i ≤-∑=-11)()(恒成立，所以M 的最小值为5. -------------14分。
【精编】2014-2015年福建省泉州市晋江市季延中学高一(上)数学期中试卷带解析答案
2014-2015学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，第小题5分，共60分．）1．（5分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M∩（∁U N）=（）A．{5}B．{0，3}C．{0，2，3，5}D．{0，1，3，4，5}2．（5分）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．y=与y=x+1 B．y=lgx与y=lgx2C．y=﹣1与y=x﹣1 D．y=x与y=log a a x（a＞0且a≠1）3．（5分）函数y=的定义域为（）A．（1，）B．[1，）C．（1，2]D．（1，2）4．（5分）下列图象表示的函数能用二分法求零点的是（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=log a（x﹣1）（0＜a＜1）的图象大致是（）A．B．C． D．6．（5分）函数f（x）=x2+（3a+1）x+2a的递减区间为（﹣∞，4），则（）A．a≤﹣3 B．a≤3 C．a≤5 D．a=﹣37．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x+1，则当x ＜0时，f（x）的表达式为（）A．f（x）=﹣x+1 B．f（x）=﹣x﹣1 C．f（x）=x+1 D．f（x）=x﹣19．（5分）函数y=log a（x﹣1）+2的图象过定点（）A．（3，2） B．（2，1） C．（2，2） D．（2，0）10．（5分）某商品零售价今年比去年上涨25%，欲控制明年比去年只上涨10%，则明年比今年降价（）A．15% B．10% C．12% D．50%11．（5分）下列函数中，值域为（0，+∞）的函数是（）A．y=2B．y=（）1﹣x C．y= D．y=12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log 2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2]C． D．（0，2]二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．）13．（4分）用“＜”从小到大排列三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为．14．（4分）已知函数f（x）=ax3+bx﹣2，若f（2014）=10，则f（﹣2014）的值为．15．（4分）已知函数f（n）=，则f（3）的值是．16．（4分）已知函数f（x）满足：对任意实数x1＜x2，有f（x1）＞f（x2），且f（x1﹣x2）=，写出一个满足条件的函数，则这个函数可以写为f（x）=．（注：只需写出一个满足条件的函数即可）三．解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）计算：（1）；（2）．18．（12分）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m （高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？19．（12分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．20．（12分）函数f（x）=是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（）=．（1）求实数a、b，并确定函数f（x）的解析式；（2）判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论．21．（12分）如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）．（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（2）求这个几何体的表面积及体积．22．（14分）已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；（2）解不等式；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立．求实数m的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，第小题5分，共60分．）1．（5分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M∩（∁U N）=（）A．{5}B．{0，3}C．{0，2，3，5}D．{0，1，3，4，5}【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4，5}，N={1，4，5}，∴∁U N={0，2，3}，又集合M={0，3，5}，则M∩（∁U N）={0，3}．故选：B．2．（5分）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．y=与y=x+1 B．y=lgx与y=lgx2C．y=﹣1与y=x﹣1 D．y=x与y=log a a x（a＞0且a≠1）【解答】解：对于A，y==x+1（x≠1），与y=x+1（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于B，y=lgx（x＞0），与y=lgx2=lg|x|（x≠0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于C，y=﹣1=x﹣1（x≥0），与y=x﹣1（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于D，y=x（x∈R），与y=log a a x=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．3．（5分）函数y=的定义域为（）A．（1，）B．[1，）C．（1，2]D．（1，2）【解答】解：∵函数y=，∴（x﹣1）≥0，即0＜x﹣1≤1；解得1＜x≤2，∴函数y的定义域为（1，2]．故选：C．4．（5分）下列图象表示的函数能用二分法求零点的是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数图象可得，A中的函数没有零点，故不能用二分法求零点，故排除A．B和D中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，故不能用二分法求零点，故排除．只有C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点，故选：C．5．（5分）函数y=log a（x﹣1）（0＜a＜1）的图象大致是（）A．B．C． D．【解答】解：∵0＜a＜1，∴y=log a x在（0，+∞）上单调递减，又∵函数y=log a（x﹣1）的图象是由y=log a x的图象向右平移一个单位得到，故选：A．6．（5分）函数f（x）=x2+（3a+1）x+2a的递减区间为（﹣∞，4），则（）A．a≤﹣3 B．a≤3 C．a≤5 D．a=﹣3【解答】解：∵函数f（x）=x2+（3a+1）x+2a的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故函数f（x）=x2+（3a+1）x+2a的递减区间为（﹣∞，），又∵函数f（x）=x2+（3a+1）x+2a的递减区间为（﹣∞，4），∴=4，解得：a=﹣3，故选：D．7．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形∴r=1，h=∴故选：D．8．（5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x+1，则当x ＜0时，f（x）的表达式为（）A．f（x）=﹣x+1 B．f（x）=﹣x﹣1 C．f（x）=x+1 D．f（x）=x﹣1【解答】解：当x＜0时，则﹣x＞0∵x＞0时f（x）=﹣x+1，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）+1=x+1，∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x﹣1故选：B．9．（5分）函数y=log a（x﹣1）+2的图象过定点（）A．（3，2） B．（2，1） C．（2，2） D．（2，0）【解答】解：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位，即可得到函数y=log a（x﹣1）+2（a＞0，a≠1）的图象．又∵函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（1，0）点，由平移向量公式，易得函数y=log a（x﹣1）+2（a＞0，a≠1）的图象恒过（2，2）点，故选：C．10．（5分）某商品零售价今年比去年上涨25%，欲控制明年比去年只上涨10%，则明年比今年降价（）A．15% B．10% C．12% D．50%【解答】解：设明年比今年降价x%，依题意得（1+25%）（1﹣x%）=1+10%，解得x=12，故选：C．11．（5分）下列函数中，值域为（0，+∞）的函数是（）A．y=2B．y=（）1﹣x C．y= D．y=【解答】解：∵≠0，∴2≠1∴函数y=2的值域为（0，1）∪（1，+∞），故A不正确；函数y=（）1﹣x的值域为（0，+∞），故B正确；∵（）2﹣1≥0，∴函数y=的值域为[0，+∞），故C不正确；∵0≤1﹣2x＜1，∴函数y=的值域为[0，1），故D不正确．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log 2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2]C． D．（0，2]【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（）=f（﹣log 2a）=f（log2a），则f（log 2a）+f（）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]，故选：A．二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．）13．（4分）用“＜”从小到大排列三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为＜0.76＜60.7．．【解答】解：∵0＜0.76＜0.70＜1＜60.7，而＜0，故答案为：＜0.76＜60.7．14．（4分）已知函数f（x）=ax3+bx﹣2，若f（2014）=10，则f（﹣2014）的值为﹣14．【解答】解：由已知得f（2014）=a×20143+b×2014﹣2=10，所以a×20143+b×2014=12．则f（﹣2014）=a×（﹣2014）3﹣b×（﹣2014）﹣2=﹣（a×20143+b×2014）﹣2=﹣14．故答案为﹣14．15．（4分）已知函数f（n）=，则f（3）的值是6．【解答】解：由题意，f（0）=1，f（1）=f（0）=1，f（2）=2f（1）=2，f（3）=3f（2）=6故答案为：616．（4分）已知函数f（x）满足：对任意实数x1＜x2，有f（x1）＞f（x2），且f（x1﹣x2）=，写出一个满足条件的函数，则这个函数可以写为f（x）=（底数为0至1之间的任意一指数函数均可）．（注：只需写出一个满足条件的函数即可）【解答】解：∵对任意实数x1＜x2，有f（x1）＞f（x2），∴f（x）是R上的减函数．∵f（x1﹣x2）=∴f（x）是指数函数．同时满足以上两个条件的函数比如：f（x）=验证：f（x1﹣x2）===故答案为：（底数为0至1之间的任意一指数函数均可）三．解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）===；（2）====1﹣．18．（12分）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？【解答】解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积（2分）如果按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积（4分）（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径为8m棱锥的母线长为l=则仓库的表面积S1=π×8×4=32π（m2）（6分）如果按方案二，仓库的高变成8m棱锥的母线长为l==10则仓库的表面积S2=π×6×10=60π（m2）（8分）（3）∵V2＞V1，S2＜S1∴方案二比方案一更加经济（12分）19．（12分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．【解答】解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：﹣3＜x＜1，则函数的定义域为：（﹣3，1）（2）函数可化为f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，即x2+2x﹣2=0，∵，∴函数f（x）的零点是（3）函数可化为：f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）=log a[﹣（x+1）2+4]∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴log a[﹣（x+1）2+4]≥log a4，即f（x）min=log a4，由log a4=﹣4，得a﹣4=4，∴20．（12分）函数f（x）=是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（）=．（1）求实数a、b，并确定函数f（x）的解析式；（2）判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）即=﹣，﹣ax+b=﹣ax﹣b，∴b=0，（或直接利用f（0）=0，解得b=0）．∴f（x）=，∵f（）=，∴解得a=1，∴f（x）=（2）f（x）在（﹣1，1）上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）==∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴﹣1＜x1x2＜1，x1﹣x20，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数．21．（12分）如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）．（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（2）求这个几何体的表面积及体积．【解答】解：（1）这个几何体的直观图如图所示．（2）这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q﹣A1D1P的组合体．由PA1=PD1=，A1D1=AD=2，可得PA1⊥PD1．故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×1+2××2=22+4（cm2），所求几何体的体积V=23+×（）2×2=10（cm3）．22．（14分）已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；（2）解不等式；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立．求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）在[﹣1，1]上单调增，证明如下由题意，设x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2则x1﹣x2＜0∵x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．令x=x1，y=﹣x2，∴f（x1）+f（﹣x2）＜0∵函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调增；（2）由（1）知，，解得：（3）由于函数f（x）在[﹣1，1]上单调增，∴函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1∴f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立可转化为：0≤m2﹣2am对所有a∈[﹣1，1]恒成立∴，解得m≥2或m≤﹣2或m=0赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
福建省厦门双十中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷(Word版含解析)
2014-2015学年福建省厦门双十中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）Q为有理数集，设集合A={x∈Q|x＞﹣1}，则（）A．φ∉A B．∉A C．∈A D．{}⊆A2．（3分）如图，U是全集，M、P是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．M∩（∁U P）B．M∩P C．（∁U M）∩P D．（∁U M）∩（∁U P）3．（3分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2）D． [1，+∞）4．（3分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（b，c）和（c，+∞）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（a，b）和（b，c）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内5．（3分）设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．（3分）已知函数f（x）满足f（x﹣1）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（﹣∞，0）D．（﹣1，0）7．（3分）已知函数f（x）=log2x的反函数为g（x），则g（1﹣x）的图象为（）A．B．C．D．8．（3分）若函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，则f（x）一定（）A．是偶函数B．是奇函数C．在x∈（﹣∞，0）上单调递减D．在x∈（0，+∞）上单调递减9．（3分）某渔场鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x要小于m，留出适当的空闲量，已知鱼群的年增加量y（吨）和实际养殖量x（吨）与空闲率（空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数k＞0），则鱼群年增长量的最大值为（）A．B．C．D．10．（3分）已知函数f（x）满足f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]内，函数g（x）=f（x）﹣log m（x+2）有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[3，+∞）D．（1，3]二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）f（x）的图象如图，则f（x）的值域为．12．（4分）若lg2=a，lg3=b，则log43=．（用a，b表示）13．（4分）若B={﹣1，3，5}，试写出一个集合A=，使得f：x→2x﹣1是A到B的映射．14．（4分）计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低原来的，现在价格为8100的计算机，则9年后价格可将为．15．（4分）已知函数f（x）=，某同学利用计算器，算得f（x）的部分与x的值如表：x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …f（x）…﹣0.4697 ﹣0.4412 ﹣0.3889 ﹣0.30 ﹣0.1667 00.1667 0.30 0.3889 …请你通过观察，研究后，描述出关于f（x）的正确的一个性质（不包括定义域）16．（4分）关于函数f（x）=（a＞0，a≠1），有以下命题：①函数图象关于轴对称；②当a＞1时，函数在（1，+∞）上为增函数；③当0＜a＜1时，函数有最大值，且最大值为a2；④函数的值域为（a2，+∞）．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，满分52分，解答题写出必要的文字说明，推演步骤．）17．（8分）已知集合M={x|﹣ax2+2x+1=0}只有一个元素，，B={y|y=﹣x2+2x﹣1}．（1）求A∩B；（2）设N是由a可取的所有值组成的集合，试判断N与A∩B的关系．18．（8分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生的接受能力，x表示引入概念和描述问题所用的时间（单位：分钟），可有以下的公式：f（x）=（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？（2）一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？19．（8分）已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1﹣2．（Ⅰ）若a=1，求f（log23）的值；（Ⅱ）某同学研究的值域时的过程如下，请你判断是否正确，如果不正确，请写出正确的过程．f（x）=（2x）2﹣2a•2x﹣2=（2x﹣a）2﹣a2﹣2∴f（x）的值域为[﹣a2﹣2，+∞）．20．（8分）函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的部分图象如图所示，设两函数的图象交于点O（0，0），A（x0，y0）．（Ⅰ）请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？（Ⅱ）求证x0∈（，1）；（Ⅱ）请通过直观感知，求出使f（x）＞g（x）+a对任何1＜x＜8恒成立时，实数a的取值范围．21．（10分）定义在（0，+∞）函数f（x）满足：①当时x＞1，f（x）＜﹣2；②对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）+2．（Ⅰ）求出f（1）的值；（Ⅱ）解不等式f（x）+f（x﹣1）＞﹣4；（Ⅲ）写出一个满足上述条件的具体函数（不必说明理由，只需写出一个就可以）．22．（10分）已知函数f（x）=为偶函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的判断．（Ⅲ）是否存在实数λ，使得当x∈[，]（m＞0，n＞0）时，函数f（x）的值域为[2﹣λm，2﹣λn]，若存在，求出λ的取值范围，若不存在说明理由．2014-2015学年福建省厦门双十中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）Q为有理数集，设集合A={x∈Q|x＞﹣1}，则（）A．φ∉A B．∉A C．∈A D．{}⊆A考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合．分析：注意到集合A中的元素是有理数，从而判断．解答：解：由题意，∅⊆A，∉A，故选B．点评：本题考查了元素与集合的关系及集合与集合的关系，属于基础题．2．（3分）如图，U是全集，M、P是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．M∩（∁U P）B．M∩P C．（∁U M）∩P D．（∁U M）∩（∁U P）考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题．分析：U为全集，M，P是集合U的子集，分析阴影部分元素满足的性质，可得答案．解答：解：由已知中阴影部分在集合M中，而不在集合P中故阴影部分所表示的元素属于M，不属于P（属于N的补集）即（C U P）∩M故选A．点评：本题考查了Venn图表达集合的关系及集合运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键．3．（3分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2）D． [1，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可．解答：解：由题意解得x∈[1，2）∪（2，+∝）故选A点评：本题是基础题，考查函数定义域的求法，注意分母不为零，偶次方根非负，是解题的关键．4．（3分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（b，c）和（c，+∞）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（a，b）和（b，c）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．解答：解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选C．点评：熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．5．（3分）设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a考点：对数值大小的比较．专题：计算题．分析：要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．解答：解：∵0＜0.32＜1log20.3＜020.3＞1∴log20.3＜0.32＜20.3，即c＜b＜a故选B．点评：本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．6．（3分）已知函数f（x）满足f（x﹣1）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（﹣∞，0）D．（﹣1，0）考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）的解析式，然后再求不等式f（x）＜0的解集．解答：解：令x﹣1=t，∴x=t+1，t+1＞0，所以f（t）=lg（t+1），函数f（x）的解析式为：f（x）=lg（x+1），不等式f（x）＜0化为lg（x+1）＜0即：lg（x+1）＜0所以不等式的解集为：（﹣1，0）故选D．点评：本题考查其他不等式的解法，对数的运算性质，考查计算能力，是基础题．7．（3分）已知函数f（x）=log2x的反函数为g（x），则g（1﹣x）的图象为（）A．B．C．D．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=log2x的反函数为g（x）=2x，可得g（1﹣x）=21﹣x=，利用指数函数的单调性及其x=0时的函数值即可得出．解答：解：函数f（x）=log2x的反函数为g（x）=2x，则g（1﹣x）=21﹣x=，当x=0时，g（1）=1，再利用单调性可知图象为C．故选：C．点评：本题考查了互为反函数的求法、指数函数的单调性，属于基础题．8．（3分）若函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，则f（x）一定（）A．是偶函数B．是奇函数C．在x∈（﹣∞，0）上单调递减D．在x∈（0，+∞）上单调递减考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的定义得m2﹣m﹣1=1求出m的值，再判断出函数f（x）的奇偶性、单调区间，即可得到正确答案．解答：解：因为函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，所以m2﹣m﹣1=1，即m2﹣m﹣2=0，解得m=2或m=﹣1，即f（x）=x2或，因为f（x）=x2是偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，是奇函数，在（﹣∞，0），（0，+∞）上递减，所以f（x）一定在（﹣∞，0）上递减，故选：C．点评：本题考查幂函数的定义，以及幂函数的性质，属于基础题．9．（3分）某渔场鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x要小于m，留出适当的空闲量，已知鱼群的年增加量y（吨）和实际养殖量x（吨）与空闲率（空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数k＞0），则鱼群年增长量的最大值为（）A．B．C．D．考点：函数最值的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：由题意可得，y=kx•，（k＞0，0＜x＜m），利用基本不等式求最值．解答：解：由题意可得，y=kx•，（k＞0，0＜x＜m），≤（）2=，（当且仅当x=m﹣x，即x=时，等号成立）故选B．点评：本题考查了实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．10．（3分）已知函数f（x）满足f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]内，函数g（x）=f（x）﹣log m（x+2）有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[3，+∞）D．（1，3]考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：把函数的零点转化为两函数图象的交点，求出函数f（x）的解析式，利用数形结合即可得到结论．解答：解：∵f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1），则f（x）+1==，∴f（x）═﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣log m（x+2）有两个零点，则由g（x）=f（x）﹣log m（x+2）=0得f（x）=log m（x+2）有两个根，即y=f（x）与y=g（x）=log m（x+2）的图象有两个交点，函数图象如图，当0＜m＜1时，函数y=log m（x+2）单调递减，此时不满足条件，当m＞1时，函数y=log m（x+2）单调递增，若两函数有两个交点，则满足当x=1时，g（1）≤1，即log m3≤1，解得m≥3，故选：C点评：本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围，考查了函数零点与函数图象与x轴的交点之间的关系，体现了数形结合的思想，和应用图象解决问题的能力．二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）f（x）的图象如图，则f（x）的值域为[﹣4，3]．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的图象求函数的最大值和最小值，从而求得函数的值域．解答：解：由函数的图象可得，当x=5时，函数取得最小值为﹣4，函数的最大值为3，故函数的值域为[﹣4，3]，故答案为[﹣4，3]．点评：本题主要考查函数的图象的特征，利用函数的图象求函数的最大值和最小值，属于基础题．12．（4分）若lg2=a，lg3=b，则log43=．（用a，b表示）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得log43===．解答：解：∵lg2=a，lg3=b，∴log43===．故答案为：．点评：本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意换底公式的合理运用．13．（4分）若B={﹣1，3，5}，试写出一个集合A={0，2，3}，使得f：x→2x﹣1是A到B 的映射．考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：根据映射的定义，分别令2x﹣1=﹣3，﹣1，3，解得x的对应值，即可得到集合A．解答：解：根据映射的定义，分别令2x﹣1=﹣1，3，5，解得x=0，2，3，从而得到集合A={0，2，3}，故答案为{0，2，3}．点评：本题主要考查映射的定义，属于基础题．14．（4分）计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低原来的，现在价格为8100的计算机，则9年后价格可将为300．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：由题意，逐次计算出三年后，六年后，九年后的价格即可解答：解：由题意，现在价格为8100的计算机，三年后价格8100×．六年年后价格8100×（）2．九年后价格8100×（）3=300．故答案为300．点评：本题属于简单应用题，根据题意依次求解，属于数列的简单应用15．（4分）已知函数f（x）=，某同学利用计算器，算得f（x）的部分与x的值如表：x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …f（x）…﹣0.4697 ﹣0.4412 ﹣0.3889 ﹣0.30 ﹣0.1667 00.1667 0.30 0.3889 …请你通过观察，研究后，描述出关于f（x）的正确的一个性质在R上递增（不包括定义域）考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过自变量x的增加，函数值随着增加，则函数f（x）=在R上递增．再由单调性定义加以证明即可．解答：解：通过自变量x的增加，函数值随着增加，则函数f（x）=在R上递增．证明：设m＜n，则f（m）﹣f（n）==，由于m＜n，则2m＜2n，即2m﹣2n＜0，又2m＞0，2n＞0，则f（m）﹣f（n）＜0，即有函数f（x）=在R上递增．故答案为：在R上递增点评：本题考查函数的性质和运用，考查通过图象观察得到结论，再由单调性定义证明的方法，属于基础题．16．（4分）关于函数f（x）=（a＞0，a≠1），有以下命题：①函数图象关于轴对称；②当a＞1时，函数在（1，+∞）上为增函数；③当0＜a＜1时，函数有最大值，且最大值为a2；④函数的值域为（a2，+∞）．其中正确命题的序号是①②③．（写出所有正确命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①利用偶函数的概念与性质可判断①；②令g（x）==|x|+=，利用复合函数的单调性可判断②；③利用y=|x|+≥2（当且仅当|x|=1，即x=±1时取“=”）及复合函数的性质可判断，当0＜a＜1时，函数的最值，可判断③；④利用②③的结论可判断④．解答：解：①，∵f（x）的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）===f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，即函数图象关于轴对称，故①正确；②，令g（x）==|x|+=，当x＞1时，g′（x）=1﹣＞0，y=g（x）在（1，+∞）上为增函数；当a＞1时，函数y=a x在（1，+∞）上为增函数，由复合函数的单调性质可得，当a＞1时，函数y=f（x）在（1，+∞）上为增函数，故②正确；③，由于y=|x|+≥2（当且仅当|x|=1，即x=±1时取“=”），当0＜a＜1时，函数y=a x在（0，1），（﹣∞，﹣1）单调递减；在（1，+∞），（﹣1，0）上单调递增，∴0＜a＜1，x=±1时函数有最大值，且最大值为a2，故③正确；④，当a＞1时，函数的值域为（a2，+∞）；当0＜a＜1时，函数的值域为（0，a2]，故④错误．综上所述，正确命题的序号是①②③，故答案为：①②③．点评：本题考查函数的性质，着重考查函数的奇偶性、对称性、复合函数的单调性及函数的值域，考查转化思想．三、解答题（本大题共6小题，满分52分，解答题写出必要的文字说明，推演步骤．）17．（8分）已知集合M={x|﹣ax2+2x+1=0}只有一个元素，，B={y|y=﹣x2+2x﹣1}．（1）求A∩B；（2）设N是由a可取的所有值组成的集合，试判断N与A∩B的关系．考点：交集及其运算；集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：（1）由x+1≥0，得A={x|x≥﹣1}；由y=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2，得B={y|y≤0}，由此能求出A∩B．（2）由集合M={x|﹣ax2+2x+1=0}只有一个元素，解得a=0，或a=﹣1．故N={﹣1，0}，由此得到N⊊（A∩B）．解答：解：（1）由x+1≥0，得x≥﹣1，∴A={x|x≥﹣1}；由y=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2，得y≤0，∴B={y|y≤0}，∴A∩B={x|﹣1≤x≤0}．（2）∵集合M={x|﹣ax2+2x+1=0}只有一个元素，∴当a=0时，方程2x+1=0只有一个实数解，符合题意；当a≠0时，△=4﹣4（﹣a）=0，解得a=﹣1．∴N={﹣1，0}，∴N⊊（A∩B）．点评：本题考查交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18．（8分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生的接受能力，x表示引入概念和描述问题所用的时间（单位：分钟），可有以下的公式：f（x）=（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？（2）一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可；（2）令f（x）=55，分段求出x，两个时间之差就是持续的时间，最后和13分钟比较大小即可．解答：解：（1）当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1（x﹣13）2+59.9，为开口向下的二次函数，对称轴为x=13故f（x）递增，最大值为f（10）=59；当10＜x≤16时，f（x）=59；当30≥x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59，因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（2）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或x=20（舍去），当16＜x≤30时，令f（x）=55，解得x=17因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为17﹣6=11＜13，故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．点评：本题考查分段函数，考查分段函数图象和增减性，此题学生容易出错，原因是学生把分段函数定义理解不清，自变量取值不同，函数解析式不同是分段函数最显著的特点．19．（8分）已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1﹣2．（Ⅰ）若a=1，求f（log23）的值；（Ⅱ）某同学研究的值域时的过程如下，请你判断是否正确，如果不正确，请写出正确的过程．f（x）=（2x）2﹣2a•2x﹣2=（2x﹣a）2﹣a2﹣2∴f（x）的值域为[﹣a2﹣2，+∞）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）若a=1，根据对数的运算法则即可求f（log23）的值；（Ⅱ）利用换元法结合一元二次函数的性质即可求出函数的值域．解答：解：（Ⅰ）若a=1，f（x）=4x﹣2x+1﹣2．则f（log23）==（）2﹣2×3﹣2=9﹣6﹣2=1；（Ⅱ）不正确：f（x）=（2x）2﹣2a•2x﹣2=（2x﹣a）2﹣a2﹣2，令t=2x，则t＞0，则函数等价为y=g（t）=（t﹣a）2﹣a2﹣2，若a≤0，则函数在（0，+∞）上为增函数，此时y=g（t）＞g（0）=﹣2，若a＞0，则当t=a时，函数取得最小值，此时y=g（t）≥g（t）=﹣a2﹣2，综上当a≤0时，函数的值域为（﹣2，+∞），当a＞0时，函数的值域为[﹣a2﹣2，+∞）．点评：本题主要考查与指数函数有关的性质是运算，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．20．（8分）函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的部分图象如图所示，设两函数的图象交于点O（0，0），A（x0，y0）．（Ⅰ）请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？（Ⅱ）求证x0∈（，1）；（Ⅱ）请通过直观感知，求出使f（x）＞g（x）+a对任何1＜x＜8恒成立时，实数a的取值范围．考点：对数函数的图像与性质．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由图象特征可知，C1是g（x）=log3（x+1）的图象，C2对应f（x）=x2；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣log3（x+1），利用函数的零点判定定理证明；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（1）=1﹣log32＞0，且由图象可知，a＜1﹣log32．解答：解：（Ⅰ）C1是g（x）=log3（x+1）的图象，C2对应f（x）=x2；（Ⅱ）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣log3（x+1），∵F（）=﹣log3（+1）=log32﹣＜0，F（1）=1﹣log32＞0，故存在x0∈（，1），使F（x0）=0，即x0是函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的图象的交点；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（1）=1﹣log32＞0，且由图象可知，a＜1﹣log32．点评：本题考查了幂函数与对数函数的区别及函数图象的应用，属于中档题．21．（10分）定义在（0，+∞）函数f（x）满足：①当时x＞1，f（x）＜﹣2；②对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）+2．（Ⅰ）求出f（1）的值；（Ⅱ）解不等式f（x）+f（x﹣1）＞﹣4；（Ⅲ）写出一个满足上述条件的具体函数（不必说明理由，只需写出一个就可以）．考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）+2，从而解得；（Ⅱ）令y=，x＞1，则有f（1）=f（x）+f（y）+2，从而可推出f（y）＞﹣2，则f（x）+f（x﹣1）＞﹣4可化为即f（x（x﹣1））＞﹣2，从而解得；（Ⅲ）f（x）=x﹣2．解答：解：（Ⅰ）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）+2；则f（1）=﹣2；（Ⅱ）令y=，x＞1，则有f（1）=f（x）+f（y）+2，则f（y）=﹣4﹣f（x），又∵x＞1时，f（x）＜﹣2；∴f（y）＞﹣2，f（x）+f（x﹣1）＞﹣4可化为f（x（x﹣1））﹣2＞﹣4，即f（x（x﹣1））＞﹣2，故，解得，1＜x＜；（Ⅲ）f（x）=x﹣2．点评：本题考查了抽象函数的性质判断与应用，属于中档题．22．（10分）已知函数f（x）=为偶函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的判断．（Ⅲ）是否存在实数λ，使得当x∈[，]（m＞0，n＞0）时，函数f（x）的值域为[2﹣λm，2﹣λn]，若存在，求出λ的取值范围，若不存在说明理由．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可求实数a的值；（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可证明f（x）的单调性．（Ⅲ）根据函数的单调性将条件关系转化为一元二次方程根的取值范围即可．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）==为偶函数，∴f（﹣x）==，即﹣（a+1）=a+1，解得a=﹣1．（Ⅱ）当a=﹣1时，f（x）=，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，0）为减函数．证明：设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）===．∵0＜x1＜x2，∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．故函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，同理可证在（﹣∞，0）为减函数．（Ⅲ）∵函数f（x）在（0，+∞）上为增函数∴若存在实数λ，使得当x∈[，]（m＞0，n＞0）时，函数f（x）的值域为[2﹣λm，2﹣λn]，则满足，即，即m，n是方程x2﹣λx+1=0的两个不等的正根．则满足，即，解得λ＞2，故存在λ＞2，使得结论成立．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及一元二次方程根与系数之间的关系，综合考查函数的性质．。
2024-2025学年福建省福州市高一上学期期中联考数学质量检测试卷
2024-2025学年福建省福州市高一上学期期中联考数学质量检测试卷一、单选题1. 已知集合（ ）{}{}*0,1,2,3,M N x x M N ==∈<⋂=N A.B.C.D.{}0,1,2{}1,2{}03x x ≤<{}03x x <<2. 命题“”的否定是（ ）20,310x x x ∃>-->A.B.20,310x x x ∃>--≤20,310x x x ∃≤--≤C.D.20,310x x x ∀>--≤20,310x x x ∀≤--≤3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A.B.()1,()xf xg x x==()()f x g x ==C.D.2(),()f x x g x ==21(),()1(1)1x f x g x x x x -==+≠-4. “或”是“幂函数在上是减函数”的（2m =-3m =()223()5m m f x m m x+-=--(0,)+∞）A. 充分不必要条件B. 充要条件C .必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 函数的值域为（）1y x =-A. B.C. D.1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦[)0+，∞1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6. 已知函数，若对任意实数且，不等式2(23)1,1()(2),1a x a x f x x a x x -+-<⎧=⎨-+-≥⎩12,x x 12x x ≠恒成立，则实数a 的取值范围为（）()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦A. B. C. D. 30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭53,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭7. 已知命题满足，且恒成立，命题 “:0,0P x y >>121x y +=2221x y m m +>++:Q ，使”，若命题与命题都为真命题，则实数的取值范围{}12x x x ∃∈≤≤10x m ++≥P Q m 是（ ）A .B. C. D. 32m -≤<32m -≤≤42m -≤≤3m ≥-8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，x ∈R 用表示不超过x 的最大整数，则标为高斯函数.例如：，已知[]x []=y x []2[3.5421],.=-﹣=函数，则下列选项中，正确的是（ ）()[]x f x x =A. (2)(2)f f =﹣-B. 的最大值为1()f x C. 的最小值为0()f x D. 在上的值域为()f x 0,)(+∞[0,1]二、多选题9. 已知集合均为的子集，若，则（ ）,A B R A B =∅ A.B. R A B⊆ðR A B⊆ðC. D.A B ⋃=R()()RRR A B ⋃=ðð10. 已知且，则下列不等式恒成立的是（ ）0,0a b >>2a b +=A. 的最小值为2B. 的最小值为22a b +1122a ba b +++43C. 的最大值为1的最大值为2ab 11. 已知函数的定义域是，对，都有，()f x ()0,∞+(),0,x y ∀∈+∞()()()f xy f x f y =+且当时，，且，下列说法正确的是（ ）1x >()0f x >112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A.()10f =B. 函数在上单调递增()f x ()0,∞+C.()()()1112320232023232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 满足不等式的取值范围为()()22f x f x --≥x82,3⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题12. 已知函数且，则实数的值为_________.()221,03,0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩()027f x =0x 13. 已知函数为上的偶函数，当时，，则时，()f x R 0x >2()23f x x x =+-0x <____________．()f x =14.设是定义在上的奇函数，对任意的满足()f x ()(),00,-∞+∞ ()12,0,x x ∈+∞且，则不等式的解集为_______．()()122112x f x x f x x x ->-()315f =()5f x x>四、解答题15. 已知集合,集合．{}215A x x =-≤-≤∣{}()121B x m x m m =+≤≤-∈R ∣（1）若，求；4m =()A B ⋃R ð（2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的:p x A ∈:q x B ∈p q m 取值范围16. 已知函数是定义在上的奇函数，且．()21mx nf x x +=+[]1,1-()11f =（1）用定义法证明在上单调递增；()f x []1,1-（2）求使成立的实数的取值范围．()()2110f a f a -+-<a17. ，用表示的较小者，记为，已知R x ∀∈()m x ()(),f x g x ()()(){}min ,m x f x g x =，()()22,f x x x g x x=-+=-（1）画出函数的图象，并写出单调递减区间．()m x ()m x （2）求不等式的解集．()()22f x g a a <-18. 使太阳光射到硅材料上产生电流直接发电，以硅材料的应用开发形成的光电转换产业链条称之为“光伏产业”．随着光伏发电成本持续降低，光伏产业已摆脱了对终端电站补贴政策的依赖，转向由市场旺盛需求推动的模式，中国光伏产业已进入平价时代后的持续健康发展的成熟阶段．某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元．为了节能环保，决定修建一个可使用16年的光伏电站，并入该合作社的电网．修建光伏电站的费用（单位：万元）与光伏电站的太阳能面板的面积（单位：）成正比，比例系数为0.12．为了保证正常x 2m 用电，修建后采用光伏地能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下．当光伏电站的太阳能面板的面积为（单位：）时，该合作社每年消耗的电费为（单位：万元，x 2m 50kx +为常数）．记该合作社修建光伏电站的费用与16年所消耗的电费之和为（单位：万元）k F ．（1）用表示；x F （2）该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使最小？并求出最小值；F （3）要使不超过140万元，求的取值范围．F x 19.若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有()f x D M D ⊆t x M ∈，且，则称为M 上的增长函数．x t D +∈()()f x t f x +>()f x t（1）已知函数，函数，判断和是否为区间上的增()g x x =()2h x x =()g x ℎ(x )[−1,0]32-长函数，并说明理由：（2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n 的最小()f x x=()f x []4,2--n -值；（3）如果的图像关于原点对称，当时，，且为R 上()f x 0x ≥()22f x x a a =--()f x 的增长函数，求实数a 的取值范围．4-。
2014-2015年福建省厦门市松柏中学高一(上)期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年福建省厦门市松柏中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）下列四个选项中正确的是（）A．1∈{0，1}B．1∉{0，1}C．1⊆{x，1}D．{1}∈{0，1}2．（5分）函数f（x）=+lg（x+2）的定义域为（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，1]C．[﹣2，1）D．[﹣2，﹣1]3．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．B．y=lgx2，y=2lgxC．D．4．（5分）今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）t B．v=t C．v= D．v=2t﹣2A．v=log5．（5分）函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）6．（5分）下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=log3（﹣x）7．（5分）已知0＜a＜1，则在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B． C．D．8．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b9．（5分）若函数y=x2+bx+c（x∈（﹣∞，1））不是单调函数，则实数b的取值范围（）A．b＞﹣2 B．b＜﹣2 C．b≥﹣2 D．b≤﹣210．（5分）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对二、填空题：本大题6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=．12．（4分）lg4+2lg5=．13．（4分）设函数f（x）=，则f（f（3））的值为．14．（4分）函数f（x）=log a（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点．15．（4分）函数f（x）=|4x﹣x2|，若方程f（x）=a恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是．16．（4分）若函数f（x）为定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）为增函数，则不等式f（lgt）+f（lgt﹣1）≥2f（1）的解集为．三、解答题：共6题，共76分.17．（12分）已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C∩A=C≠∅，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=ln（1﹣x）．（1）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的定义域；（2）判断函数h（x）=f（x）﹣g（x）的奇偶性，并加以证明；（3）求不等式f（x）﹣g（x）＞0的解集．19．（12分）已知函数为奇函数；（1）求f（﹣1）以及m的值；（2）在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；（3）若函数g（x）=f（x）﹣2k+1有三个零点，求实数k的取值范围．20．（12分）某机械生产厂家每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足R（x）=，假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：（Ⅰ）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？21．（14分）对于函数f（x）=+（a＞1）．（1）探究函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；（2）当a=2时，求函数f（x）在[﹣2，﹣1]上的最大值和最小值．22．（14分）设函数f（x）=k×2x﹣2﹣x是定义域为R的奇函数．（1）求k的值，并判断f（x）的单调性（不需要用定义证明）；（2）解不等式f[f（x）]＞0；（3）设g（x）=4x+4﹣x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．2014-2015学年福建省厦门市松柏中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）下列四个选项中正确的是（）A．1∈{0，1}B．1∉{0，1}C．1⊆{x，1}D．{1}∈{0，1}【解答】解：根据题意，分析选项可得：对于A、1是集合{0，1}的元素，则有1∈{0，1}，A正确；对于B、1是集合{0，1}的元素，则有1∈{0，1}，B错误；对于C、1是集合{x，1}的元素，则有1∈{x，1}，C错误；对于D、集合{1}是集合{0，1}的子集，应有{1}∈{0，1}，故D错误；故选：A．2．（5分）函数f（x）=+lg（x+2）的定义域为（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，1]C．[﹣2，1）D．[﹣2，﹣1]【解答】解：根据题意可得解得﹣2＜x≤1所以函数的定义域为（﹣2，1]故选：B．3．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．B．y=lgx2，y=2lgxC．D．【解答】解：A、y=1的定义域为R，y=的定义域为x≠0，两函数的定义域不同，故不是同一函数；B、y=lgx2的定义域为x≠0，y=2lgx的定义域为x＞0，两函数的定义域不同，故不是同一函数；C、y=x与y=有相同的定义域，值域与对应法则，故它们是同一函数；D、y=|x|的定义域为R，y=的定义域为x≥0，两函数的定义域不同，故不是同一函数，则选项C中的两函数表示同一函数．故选：C．4．（5分）今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．v=logt B．v=t C．v= D．v=2t﹣2【解答】解：当t=4时，A、v=log24=2，故选项错误；B、v=4=﹣2，故选项错误；C、v==7.5．故选项正确；D、v=2×4﹣2=6，故选项错误；故选：C．5．（5分）函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：当x=0时，f（0）=20+0=1＞0，当x=﹣1时，f（﹣1）=＜0，由于f（0）•f（﹣1）＜0，且f（x）的图象在[﹣1，0]上连续，根据零点存在性定理，f（x）在（﹣1，0）上必有零点，故选：B．6．（5分）下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=log3（﹣x）【解答】解：A中的函数是指数函数，不符合题意；B中的函数在定义域内不具有单调性，故不对；C中的函数是奇函数，且在定义域内是减函数，是正确选项；D中的函数定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选：C．7．（5分）已知0＜a＜1，则在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B． C．D．【解答】解：当0＜a＜1时，y=a﹣x为增函数，y=log a x为减函数，此时C图象符合要求．故选：C．8．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：D．9．（5分）若函数y=x2+bx+c（x∈（﹣∞，1））不是单调函数，则实数b的取值范围（）A．b＞﹣2 B．b＜﹣2 C．b≥﹣2 D．b≤﹣2【解答】解：∵函数y=x2+bx+c的图象是抛物线，对称轴是x=﹣，且当x∈（﹣∞，1）时，y不是单调函数，∴﹣＜1，即b＞﹣2，∴b的取值范围是{b|b＞﹣2}；故选：A．10．（5分）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x2﹣4x，则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x＞0）的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有：2个．故选：C．二、填空题：本大题6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=3．【解答】解：由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案为：3．12．（4分）lg4+2lg5=2．【解答】解：lg4+2lg5=lg4+lg25=lg100=2故答案为：2．13．（4分）设函数f（x）=，则f（f（3））的值为．【解答】解：∵函数，3＞1∴f（3）=，∴f（）=（）2+1=+1=，故答案为；14．（4分）函数f（x）=log a（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点（2，1）．【解答】解：由于对数函数y=log a x恒过定点（1，0）而函数f（x）=log a（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点（2，1）故答案为：（2，1）15．（4分）函数f（x）=|4x﹣x2|，若方程f（x）=a恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是{a|a＞4，或a=0} ．【解答】解：方程f（x）=a解的情况，即是函数f（x）和函数y=a交点的情况，并且：，所以如图所示：若方程f（x）=a恰有两个不相等的实数解，则函数f（x）与函数y=a有两个交点；∴由图象得a＞4，或a=0；∴a的取值范围是{a|a＞4，或a=0}．故答案为：{a|a＞4，或a=0}．16．（4分）若函数f（x）为定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）为增函数，则不等式f（lgt）+f（lgt﹣1）≥2f（1）的解集为（0，）∪（10，+∞）．【解答】解：∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），且f（|x|）=f（x），∵f（lgt﹣1）=f（﹣lgt）=f（lgt），∴不等式f（lgt）+f（lgt﹣1）≥2f（1）等价于2f（lgt））≥2f（1），∴f（lgt））≥f（1），∴f（|lgt|）≥f（1），∵函数f（x）在[0，+∞）为增函数，∴|lgt|＞1，即lgt＞1或lgt＜﹣1，解得t＞10或0，即不等式的解集为（0，）∪（10，+∞）故答案为：（0，）∪（10，+∞）．三、解答题：共6题，共76分.17．（12分）已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C∩A=C≠∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A∩B={x|2＜x≤3}，∁R B={x|x≤2}，∴（∁R B）∪A={x}x≤3}；（2）若C∩A=C≠∅，∴C是A的子集，∴1＜a≤3．18．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=ln（1﹣x）．（1）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的定义域；（2）判断函数h（x）=f（x）﹣g（x）的奇偶性，并加以证明；（3）求不等式f（x）﹣g（x）＞0的解集．【解答】解：（1）由，解得﹣1＜x＜1．∴函数h（x）=f（x）﹣g（x）的定义域为（﹣1，1）；（2）h（x）=f（x）﹣g（x）=ln（x+1）﹣ln（1﹣x）=ln为奇函数．事实上，∵h（﹣x）==﹣h（x），∴函数h（x）为奇函数；（3）由f（x）﹣g（x）＞0，得ln（x+1）＞ln（1﹣x）．∴，解得0＜x＜1．∴不等式f（x）﹣g（x）＞0的解集为（0，1）．19．（12分）已知函数为奇函数；（1）求f（﹣1）以及m的值；（2）在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；（3）若函数g（x）=f（x）﹣2k+1有三个零点，求实数k的取值范围．【解答】（1）∵f（x）为奇函数，且f（1）=﹣12+2×1=1，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1．而f（﹣1）=（﹣1）2+m（﹣1）=1﹣m=﹣1，所以m=2．故f（﹣1）=﹣1，m=2．（2）由（1）知函数f（x）=，则y=f（x）的图象如右图所示：（3）若函数g（x）=f（x）﹣2k+1有三个零点，即函数y=f（x）与函数y=2k﹣1的图象有三个交点，由图象知：﹣1＜2k﹣1＜1，解得0＜k＜1．故实数k的取值范围为（0，1）．20．（12分）某机械生产厂家每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足R（x）=，假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：（Ⅰ）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【解答】解：（Ⅰ）由题意得G（x）=2.8+x (2)分∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…6 分（Ⅱ）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…8 分当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…11 分∴当工厂生产400台时，可使赢利最大为3.6万元．…12 分21．（14分）对于函数f（x）=+（a＞1）．（1）探究函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；（2）当a=2时，求函数f（x）在[﹣2，﹣1]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，①当0＜a＜1时，ax2＜ax1＜a0=1，∴ax2﹣ax1＜0，ax1﹣1＜0，ax2﹣1＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）单调递增；②当a＞1时，ax2＞ax1＞a0=1，∴ax2﹣ax1＞0，ax1﹣1＞0，ax2﹣1＞0，∴f （x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）单调递减．综上，当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）为增函数；当a＞1时，f（x）在（0，+∞）为减函数．（2）a=2时，f（x）=+，f（﹣x）=+=1）由2x﹣1≠0，得x≠0，∴定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．∵f（﹣x）=+=﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．由（1）知：函数f（x）在[1，3]上是减函数，由（1）知：f（x）为奇函数，∴f（x）在[﹣2，﹣1]上也为减函数，∴f（x）max=f（﹣2）=﹣，f（x）min=f（﹣1）=﹣．22．（14分）设函数f（x）=k×2x﹣2﹣x是定义域为R的奇函数．（1）求k的值，并判断f（x）的单调性（不需要用定义证明）；（2）解不等式f[f（x）]＞0；（3）设g（x）=4x+4﹣x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=k×2x﹣2﹣x是奇函数，∴f（0）=0，∴k×20﹣2﹣0=0，∴k=1．，此时f（﹣x）=﹣f（x），满足题意∵y=2x是增函数，∴y=﹣2﹣x是增函数，∴f（x）=2x﹣2﹣x是增函数；（2）∵f[f（x）]＞0，∴f[f（x）]＞f（0）．∵f（x）=2x﹣2﹣x是增函数，∴2x﹣2﹣x＞0，∴2x＞2﹣x，∴x＞0，∴f[f（x）]＞0的解集是（0，+∞）．（3）令2x﹣2﹣x=t，∵x≥1，∴，，①当时，，∴2﹣m2=﹣2，∴m=2．②当时，y在t=时取最小值，，∴（舍去）．综上得m=2．。
福建省厦门一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷Word版含解析讲述
2014-2015学年福建省厦门一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，只有一个选正确．1．（5分）已知全集U={x∈N|x≤4}，A={1，2}，则∁U A为（）A．{3} B．{0，3} C．{3，4} D．{0，3，4}2．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=x B．y=﹣x3C．y=D．3．（5分）在同一坐标系中，函数y=2﹣x与y=log2x的图象是（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）=log3x+2x﹣6的零点位于区间（）A．B．C．D．5．（5分）已知a=20.5，b=lg2，c=ln2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b6．（5分）某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：第x天 1 2 3 4 5被感染的计算机数量y（台）10 20 39 81 160若用下列四个函数中的一个来描述这些数据的规律，则其中最接近的一个是（）A．f（x）=10x B．f（x）=5x2﹣5x+10C．f（x）=5•2x D．f（x）=10log2x+107．（5分）若函数y=xf（x）的图象关于y轴对称，则函数y=f（x）的图象关于（）A．原点对称B．x轴对称C．y轴对称D．直线y=x对称8．（5分）函数的零点个数是（）A．0B．1C．2D．39．（5分）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：f1（x）=2log2x，f2（x）=log2（x+2），f3=log22x，f4=log2（2x）则“同形”函数是（）A．f1（x）与f2（x）B．f2（x）与f3（x）C．f2（x）与f4（x）D．f1（x）与f4（x）10．（5分）设函数e x|lnx|=1两个不同的实根为x1，x2，则（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．0＜x1x2＜1 D．x1x2＞1二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．（4分）已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，则f（﹣）=．12．（4分）已知函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，则A∩B=．13．（4分）函数f（x）=a x﹣1+log a x，（a＞0，a≠1）在区间上的最大值和最小值的和为a，则实数a的值为．14．（4分）已知函数，则使不等式f（x）＞0成立的x取值范围是．15．（4分）对于函数y=f（x），x∈D，若存在常数c，使对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足，则称函数f（x）在D上的均值为c，现已知函数：①y=2x，②y=x5，③y=2sinx，④y=lgx，则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是（填上所有符合要求的函数的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）若函数是偶函数．（1）求实数m的值；（2）作出函数y=f（x）的图象，并写出其单调区间；（3）就实数k的取值范围，讨论函数y=f（x）﹣k零点的个数．17．（13分）已知函数f（x）=log a（3+x）+log a（3﹣x），（a＞0且a≠1），（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域和值域；（2）求关于x不等式f（x）＜0的解集．18．（13分）已知函数f（x）=3x，f（a+2）=18，g（x）=3ax﹣4x+1，（1）求实数a的值；（2）若ma=1，求g（m）的值；（3）求函数g（x）在上的最大值和最小值．19．（13分）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（百元）与时间x（天）的函数关系近似满足为正常数），日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的部分数据如表所示：x（天）10 20 25 30Q（x）（件）110 120 125 120已知第10天的日销售收入为121（百元）．（1）求k的值；（2）给出以下四种函数模型：①Q（x）=ax+b，②Q（x）=a|x﹣25|+b，③Q（x）=a•b x，④Q（x）=a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）求该服装的日销售收入f（x）（1≤x≤30，x∈N）的最小值．20．（14分）已知函数f（x）=a﹣是在R上的奇函数，（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性；（3）若对于任意实数，不等式f（t+2）+f（k•t2﹣1）＞0恒成立，求k的取值范围．21．（14分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c满足条件；①y=f（x）的图象过点，②当x=﹣1时，y=f（x）取得最小值是0．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）﹣k2x在上是单调函数，求k的取值范围；（3）是否存在自然数m，使得关于x的不等式f（x﹣m）≤x在区间上有解？若存在，求出自然数m的取值集合，若不存在，说明理由．2014-2015学年福建省厦门一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，只有一个选正确．1．（5分）已知全集U={x∈N|x≤4}，A={1，2}，则∁U A为（）A．{3} B．{0，3} C．{3，4} D．{0，3，4}考点：补集及其运算．专题：计算题；集合．分析：由题意先化简U={x∈N|x≤4}={0，1，2，3，4}，再求∁U A．解答：解：U={x∈N|x≤4}={0，1，2，3，4}，故∁U A={0，3，4}，故选D．点评：本题考查了集合的化简与集合的运算，属于基础题．2．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=x B．y=﹣x3C．y=D．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：探究型．分析：对于A，是一次函数，在其定义域内是奇函数且是增函数；对于B，是幂函数，在其定义域内既是奇函数又是减函数；对于C，是幂函数，在其定义域内既是奇函数，但不是奇函数；对于D，是指数函数，在其定义域内是减函数，但不是奇函数．故可得结论．解答：解：对于A，是一次函数，在其定义域内是奇函数且是增函数；对于B，是幂函数，在其定义域内既是奇函数又是减函数；对于C，是幂函数，在其定义域内既是奇函数，但不是减函数；对于D，是指数函数，在其定义域内是减函数，但不是奇函数；综上知，B满足题意故选B．点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，考查常见初等函数，需要一一判断．3．（5分）在同一坐标系中，函数y=2﹣x与y=log2x的图象是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质．专题：计算题．分析：由函数y=2﹣x=是减函数，它的图象位于x轴上方，y=log2x是增函数，它的图象位于y轴右侧，能得到正确答案．解答：解：∵函数y=2﹣x=是减函数，它的图象位于x轴上方，y=log2x是增函数，它的图象位于y轴右侧，观察四个选项，只有A符合条件，故选A．点评：本题考查指数函数和对数函数的性质，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）函数f（x）=log3x+2x﹣6的零点位于区间（）A．B．C．D．考点：二分法求方程的近似解．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数零点存在定理，若f（x）=log3x+2x﹣8若在区间（a，b）上存在零点，则f （a）•f（b）＜0，我们根据函数零点存在定理，对四个答案中的区间进行判断，即可得到答案．解答：解：当x=3时，f（3）=log33﹣6+2×3=1＞0当x=2时，f（2）=log32﹣6+2×2=log34＜0即f（3）•f（2）＜0又∵函数f（x）=log3x+2x﹣6为连续函数故函数f（x）=log3x+2x﹣6的零点一定位于区间（2，3）．故选：B．点评：本题考查的知识点是零点存在定理，我们求函数的零点通常有如下几种方法：①解方程；②利用零点存在定理；③利用函数的图象，其中当函数的解析式已知时（如本题），我们常采用零点存在定理，本题属于基本知识的考查．5．（5分）已知a=20.5，b=lg2，c=ln2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=20.5＞1，b=lg2＜c=ln2＜1，∴a＞c＞b．故选：D．点评：本题考查了对数函数的单调性，属于基础题．6．（5分）某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：第x天 1 2 3 4 5被感染的计算机数量y（台）10 20 39 81 160若用下列四个函数中的一个来描述这些数据的规律，则其中最接近的一个是（）A．f（x）=10x B．f（x）=5x2﹣5x+10C．f（x）=5•2x D．f（x）=10log2x+10考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据选项中的函数，依次代入x值求出y的值，通过y的值与表格中所给出的y的值进行比较，误差越小则拟合度越高，误差越大则拟合度越小，计算即可得到答案．解答：解：对于选项A，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，30，40，50，对于选项B，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，40，70，110，对于选项C，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，40，80，185，对于选项D，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，10+10log23，30，10+10log25，而表中所给的数据为，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，39，81，160，通过比较，即可发现选项C中y的值误差最小，即y=5•2x能更好的反映y与x之间的关系．故选：C．点评：本题考查了选择合适的模型来拟合一组数据，根据模型中的y的值和实际数据y的值进行比较，误差越小则拟合度越高，误差越大则拟合度越小．本题是一个比较简单的综合题目．7．（5分）若函数y=xf（x）的图象关于y轴对称，则函数y=f（x）的图象关于（）A．原点对称B．x轴对称C．y轴对称D．直线y=x对称考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数y=xf（x）的图象关于y轴对称，得出﹣f（x）=f（﹣x），从而判断f（x）的图象的对称性．解答：解：∵函数y=xf（x）的图象关于y轴对称，∴xf（x）=﹣xf（﹣x），即﹣f（x）=f（﹣x），∴函数y=f（x）是奇函数，∴函数y=f（x）的图象关于原点对称．故选：A点评：本题考查了函数的奇偶性的定义，运用定义式判断，属于容易题．8．（5分）函数的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根解析式画出图象，根据函数对单调性，结合图象判断零点个数．解答：解：∵函数，∴通过函数式子可知（﹣∞，0）（0，+∞）为单调递减函数∴根解析式画出图象，结合图象判断：零点个数是2，故选：C点评：本题考查了函数的图象的运用，求解函数的零点问题，属于中档题．9．（5分）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：f1（x）=2log2x，f2（x）=log2（x+2），f3=log22x，f4=log2（2x）则“同形”函数是（）A．f1（x）与f2（x）B．f2（x）与f3（x）C．f2（x）与f4（x）D．f1（x）与f4（x）考点：对数函数的图像与性质．专题：新定义．分析：利用对数函数的运算的法则可知函数f4=log2（2x）=1+log2x，它的图象可由y=log2x 向上平移1个单位得到；函数f2（x）=log2（x+2）的图象可由y=log2x向先向左平移2个单位得，故它们符合“同形”函数．解答：解：∵f2（x）=log2（x+2）的图象可由y=log2x向先向左平移2个单位得，f4=log2（2x）=1+log2x，它的图象可由y=log2x向上平移1个单位得到；故f2（x）与f4（x）为“同形”函数．故选C．点评：本题主要考查了对数函数的图象的变换．考查了学生对对数函数基础知识的掌握的熟练程度．解答的关键是认清新定义的“同形”函数的本质属性．10．（5分）设函数e x|lnx|=1两个不同的实根为x1，x2，则（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．0＜x1x2＜1 D．x1x2＞1考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由题意f（x）=e﹣x﹣|lnx|的零点，即方程e﹣x=|lnx|的实数根．因此在同一坐标系内作出函数y=e﹣x与y=|lnx|的图象，并设x1＜x2，可得lnx2＜﹣lnx1，推出x1x2＜1．再根据x1＞且x2＞1得到x1x2＞，由此即可得到本题的答案．解答：解：函数f（x）=e﹣x﹣|lnx|的零点，即方程e﹣x=|lnx|的实数根同一坐标系内作出函数y=e﹣x与y=|lnx|的图象，如图所示不妨设x1＜x2，可得0＜x1＜1且x2＞1∵0＜﹣lnx1＜1，∴lnx1＞﹣1，可得x1＞∵x2＞1，∴x1x2＞又∵y=e﹣x是减函数，可得lnx2＜﹣lnx1，∴lnx2+lnx1＜0，得lnx1x2＜0，即x1x2＜1综上所述，可得＜x1x2＜1故选：C点评：本题给出含有指数和对数的基本初等函数，求函数的两个零点满足的条件，着重考查了指数函数、对数函数的图象与性质，以及函数的零点与方程根的关系等知识点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．（4分）已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，则f（﹣）=1．考点：函数奇偶性的性质；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的性质，将条件进行转化即可得到结论．解答：解：∵f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，∴f（﹣）=﹣f（）=，故答案为：1点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性是解决本题的关键．12．（4分）已知函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，则A∩B={x|0＜x≤2或3≤x≤10}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的定义和函数的定义域求解．解答：解：∵函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，∴A={x|}={x|0＜x≤10}，B={x|x2﹣5x+6≥0}={x|x≥3或x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2或3≤x≤10}．故答案为：{x|0＜x≤2或3≤x≤10}．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意函数的定义域的合理运用．13．（4分）函数f（x）=a x﹣1+log a x，（a＞0，a≠1）在区间上的最大值和最小值的和为a，则实数a的值为．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：由已知可知，函数y=a x﹣1和y=log a x有相同的单调性，通过分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论f（x）的单调性，分别求出其最大（小）值，列出关于a的方程求解．解答：解：①当a＞1时，函数y=a x﹣1和y=log a x在上都是增函数，∴f（x）=a x﹣1+log a x在上递增，∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+log a2+1=a，∴log a2=﹣1，得a=（舍去）；②当0＜a＜1时，函数y=a x﹣1和y=log a x在上都是减函数，∴f（x）=a x﹣1+log a x在上递减，∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+log a2+1=a，∴log a2=﹣1，得a=，综上，a的值为，故答案为：点评：求函数的最值问题，一般利用函数的单调性来求；而对于指对函数研究其单调性时，要分底数a＞1或0＜a＜1进行讨论；同时本题还要注意根据a的范围去掉绝对值符号达到化简的目的．14．（4分）已知函数，则使不等式f（x）＞0成立的x取值范围是（﹣1，+∞）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将已知关系式中的分式分离出常数，再解不等式f（x）＞0即可求得答案．解答：解：∵=（1﹣）+（）=（1﹣）+（﹣1+）=﹣＞0，∴＞，∴4•4x+4＞2•2x+4，即22x+2＞2x+1，∴2x+2＞x+1，解得：x＞﹣1．故答案为：（﹣1，+∞）．点评：本题考查指数型不等式的解法，从分式中分离出常数是关键，考查转化思想与运算求解能力．15．（4分）对于函数y=f（x），x∈D，若存在常数c，使对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足，则称函数f（x）在D上的均值为c，现已知函数：①y=2x，②y=x5，③y=2sinx，④y=lgx，则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是②④（填上所有符合要求的函数的序号）考点：函数的值；函数的图象．专题：新定义．分析：首先分析题目求对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使f（x1）+f（x2）=4成立的函数．对于函数①y=2x，利用特殊值法代入验证不成立成立．即可得到答案．对于函数②y=x5，可直接取任意的x1，验证求出唯一的，即可得到成立．对于函数③y=2sinx，因为y=2sinx是R上的周期函数，明显不成立．对于函数④y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然成立．解答：解：首先分析题目求对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使f（x1）+f（x2）=4成立的函数．对于函数①y=2x，利用特殊值x1=3时，代入验证不成立成立．x2不存在对于函数②y=x5，可直接取任意的x1，验证求出唯一的，即可得到成立．对于函数③y=2sinx，因为y=2sinx是R上的周期函数，明显不成立．对于函数④y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然成立．故答案为：②④点评：此题主要应用新定义的方式考查平均值不等式在函数中的应用．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）若函数是偶函数．（1）求实数m的值；（2）作出函数y=f（x）的图象，并写出其单调区间；（3）就实数k的取值范围，讨论函数y=f（x）﹣k零点的个数．考点：函数图象的作法；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意，1﹣2﹣1=1﹣m﹣1，从而解出m；（2）作出函数图象，由图象写出其单调区间；（3）由图象讨论函数y=f（x）﹣k零点的个数．解答：解：（1）由题意，1﹣2﹣1=1﹣m﹣1，解得，m=2；（2）作出函数y=f（x）的图象如下，单调减区间：（﹣∞，﹣1），（0，1）；单调增区间：（﹣1，0），（1，+∞）．（3）由图可知，①当k＜﹣2时，函数y=f（x）﹣k没有零点；②当k=﹣2时，函数y=f（x）﹣k有两个零点；③当﹣2＜k＜﹣1时，函数y=f（x）﹣k有4个零点；④当k=﹣1时，函数y=f（x）﹣k有3个零点；⑤当k＞﹣1时，函数y=f（x）﹣k有两个零点．点评：本题考查了函数性质的应用及函数图象的作法，属于中档题．17．（13分）已知函数f（x）=log a（3+x）+log a（3﹣x），（a＞0且a≠1），（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域和值域；（2）求关于x不等式f（x）＜0的解集．考点：指、对数不等式的解法；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=3时，由函数f（x）的解析式可得：3+x＞0且3﹣x＞0，由此求得函数的定义域．进而根据对数的运算性质和对数函数的图象和性质，得到函数的值域；（2）不等式f（x）＜0可化为log a（3+x）•（3﹣x）＜log a a，分当a＞1和当0＜a＜1时两种情况，分别利用函数的单调性和定义域，可求得要求的不等式的解集．解答：解：（1）当a=3时，f（x）=log3（3+x）+log3（3﹣x），由3+x＞0且3﹣x＞0得：x∈（﹣3，3），故函数f（x）的定义域为（﹣3，3），又由f（x）=log3（3+x）+log3（3﹣x）=log3（9﹣x2）中，当x=0时，9﹣x2取最大值9，此时f（x）取最大值2，可得求函数f（x）的值域为（﹣∞，2]；（2）函数f（x）=log a（3+x）+log a（3﹣x）=log a（9﹣x2），当a＞1时，不等式f（x）＜0可化为：9﹣x2∈（0，1），解得：x∈（﹣3，﹣2）∪（2，3），当0＜a＜1时，不等式f（x）＜0可化为：9﹣x2∈（1，+∞），解得：x∈（﹣2，2），故当a＞1时，不等式f（x）＜0的解集为（﹣3，﹣2）∪（2，3），当0＜a＜1时，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，2）．点评：本题主要考查求函数的定义域、判断函数的奇偶性，对数不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．18．（13分）已知函数f（x）=3x，f（a+2）=18，g（x）=3ax﹣4x+1，（1）求实数a的值；（2）若ma=1，求g（m）的值；（3）求函数g（x）在上的最大值和最小值．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由已知中f（x）=3x，f（a+2）=18，结合指数的运算性质可得3a=2，化为对数式，可得实数a的值；（2）若ma=1，则g（m）3﹣+1，进而根据指数和对数的运算性质得到答案；（3）g（x）=3ax﹣4x+1=2x﹣4x+1，令t=2x，（x∈），则t∈，则y=g（x）=2x﹣4x+1=﹣t2+t+1，进而根据二次函数的图象和性质，得到答案．解答：解：（1）∵f（x）=3x，∴f（a+2）=3a+2=18，∴3a=2，∴a=log32（2）若ma=1，则m=log23，∴g（m）=3﹣+1=3﹣9+1=﹣5，（3）g（x）=3ax﹣4x+1=2x﹣4x+1，令t=2x，（x∈），则t∈，则y=g（x）=2x﹣4x+1=﹣t2+t+1的图象是开口朝下，且以直线x=为对称轴的抛物线，故当t=，即x=﹣1时，函数g（x）取最大值，当t=1，即x=0时，函数g（x）取最小值1．点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，指数和对数的运算性质，换元法思想，难度中档．19．（13分）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（百元）与时间x（天）的函数关系近似满足为正常数），日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的部分数据如表所示：x（天）10 20 25 30Q（x）（件）110 120 125 120已知第10天的日销售收入为121（百元）．（1）求k的值；（2）给出以下四种函数模型：①Q（x）=ax+b，②Q（x）=a|x﹣25|+b，③Q（x）=a•b x，④Q（x）=a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）求该服装的日销售收入f（x）（1≤x≤30，x∈N）的最小值．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用f（10）=P（10）•Q（10），可求k的值；（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②，从表中任意取两组值代入可求得结论；（3）求出函数f（x）的解析式，分段求最值，即可得到结论．解答：解：（1）依题意有：f（10）=P（10）•Q（10），即，所以k=1．…（2分）（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q（x）=a|x﹣25|+b．…（4分）从表中任意取两组值代入可求得：Q（x）=﹣|x﹣25|+125=125﹣|x﹣25|．…（6分）（3）∵，∴．…（8分）①当1≤x＜25时，在上是减函数，在∪[1，+∞）∪{0}；（3）假设存在自然数m，使得关于x的不等式f（x﹣m）≤x在区间上有解，即有（x﹣m+1）2≤x，即|x﹣m+1|，即有﹣2﹣x≤1﹣m≤2﹣x在区间上有解，y=﹣2﹣x=﹣（+1）2+1在=2即x=4时，取得最小且为﹣8，y=2﹣x=﹣（﹣1）2+1在=1即x=1时，取得最大且为1，则有﹣8≤1﹣m≤1，解得，0≤m≤9．故存在，且自然数m的取值集合是{0，1，2，3，4，…，9}．点评：本题考查二次函数的解析式的求法，考查函数的单调性的判断和运用，考查函数的恒成立思想，注意运用参数分离，转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．。
2014-2015年福建省厦门六中高一(上)数学期中试卷和答案
2014-2015学年福建省厦门六中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本学科王大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）设集合A={m∈Z|﹣3＜m＜2}，B={n∈N|﹣1＜n≤3}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）集合A={x|0≤x≤4}，集合B={y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是（）A．f：x→y=x B．f：x→y=x C．f：x→y=x D．f：x→y=3．（5分）已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）的表达式为（）A．B．C．f（x）=x2D．f（x）=x﹣24．（5分）设a=70.3，b=log70.3，c=0.37，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a5．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）6．（5分）函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，） B．（﹣∞，1]C．（，1]D．（，1）7．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥58．（5分）函数的值域是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）C．（0，1） D．（1，+∞）9．（5分）若函数f（x）=log a x在区间[a，3a]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（）A．B．C．0或D．或10．（5分）函数y=x2﹣2x+3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A．[1，∞）B．[0，2]C．（﹣∞，2]D．[1，2]11．（5分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A． B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，若f（log2x）＞f（1），则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（，2）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，1）∪（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．（4分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．14．（4分）函数f（x）=log a（x﹣2）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P 点的坐标是．15．（4分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）≤0的解集为．16．（4分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：（1）f（x）=（2）f（x）=x2（3）f（x）=（4）f（x）=，能被称为“理想函数”的有（填相应的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）计算下列各式（1）（x＞0，y＞0）（结果用指数表示）（2）log84+log26﹣log23+log36•log69﹣lg100+．18．（12分）已知集合A={x|a﹣1≤x≤2a+3}，B={x|﹣2≤x≤4}，全集U=R （Ⅰ）当a=2时，求A∪B和（∁R A）∩B；（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数，（1）用函数单调性定义证明：f（x）在（﹣1，+∞）是增函数；（2）试求在区间[1，2]上的最大值与最小值．20．（12分）已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的取值范围．21．（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？22．（14分）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；（2）若a＞2，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；（3）若存在a∈[3，6]，使得关于x的方程f（x）=t+2a有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．2014-2015学年福建省厦门六中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本学科王大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）设集合A={m∈Z|﹣3＜m＜2}，B={n∈N|﹣1＜n≤3}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：集合A={m∈Z|﹣3＜m＜2}={﹣2，﹣1，0，1}，B={n∈N|﹣1＜n≤3}={0，1，2，3}，所以A∩B={0，1}．故选：A．2．（5分）集合A={x|0≤x≤4}，集合B={y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是（）A．f：x→y=x B．f：x→y=x C．f：x→y=x D．f：x→y=【解答】解：当x=4时，根据对应法则f：x→y=x，得y=2∈B；根据对应法则f：x→y=x，得y=；根据对应法则f：x→y=x，得y=；根据对应法则f：x→y=，得y=2∈B．根据函数的概念可知选项C中对应法则不能构成A到B的函数．故选：C．3．（5分）已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）的表达式为（）A．B．C．f（x）=x2D．f（x）=x﹣2【解答】解：设幂函数为：y=x a，因为点在幂函数f（x）的图象上，所以3，解得a=﹣2，函数的解析式为：f（x）=x﹣2．4．（5分）设a=70.3，b=log70.3，c=0.37，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵a=70.3＞70=1，b=log70.3＜log71=0，0＜c=0.37＜0.30=1，∴b＜c＜a．故选：B．5．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选：C．6．（5分）函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，） B．（﹣∞，1]C．（，1]D．（，1）【解答】解：由题得：⇒⇒⇒（，1]．故选：C．7．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2其对称轴为：x=1﹣a∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数∴1﹣a≥4故选：A．8．（5分）函数的值域是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）C．（0，1） D．（1，+∞）【解答】解：因为3x＞0，所以3x+1＞1，所以．故选：C．9．（5分）若函数f（x）=log a x在区间[a，3a]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（）A．B．C．0或D．或【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=log a x在区间[a，3a]上是单调递增函数∴解得a=当0＜a＜1时，函数f（x）=log a x在区间[a，3a]上是单调递减函数∴解得a=∴a=或故选：D．10．（5分）函数y=x2﹣2x+3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A．[1，∞）B．[0，2]C．（﹣∞，2]D．[1，2]【解答】解：由题意可知抛物线的对称轴为x=1，开口向上∴0在对称轴的左侧∵对称轴的左侧图象为单调递减∴在对称轴左侧x=0时有最大值3∵[0，m]上有最大值3，最小值2，当x=1时，y=2∴m的取值范围必须大于或等于1∵抛物线的图象关于x=1对称∴m 必须≤2故选：D．11．（5分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：g（x）=2•（）x，∴g（x）为减函数，且经过点（0，2），排除B，C；f（x）=1+log2x为增函数，且经过点（，0），排除A；故选：D．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，若f（log2x）＞f（1），则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（，2）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，1）∪（2，+∞）【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，若f（log2x）＞f（1），则log2x＞1 ①，或log2x＜﹣1 ②．解①求得x＞2，解②求得0＜x＜，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．（4分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．【解答】解：==﹣1，∴f[f（）]=f（﹣1）=3﹣1=．故答案为：．14．（4分）函数f（x）=log a（x﹣2）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P 点的坐标是（3，1）．【解答】解：由于对数函对数y=log a x的图象恒过（1，0），而y=1+log a（x﹣2）的图象可由数函数y=log a x的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，∴y=1+log a（x﹣2）的图象经过定点（3，1），故答案为：（3，1）．15．（4分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）≤0的解集为[﹣2，0]∪[2，5] ．【解答】解：由图象可知：当x＞0时，f（x）≤0解得2≤x≤5，f（x）≥0解得0≤x≤2；当x＜0时，﹣x＞0，因为f（x）为奇函数，所以f（x）≤0，即﹣f（﹣x）≤0⇒f（﹣x）≥0⇒0≤﹣x≤2，解得﹣2≤x≤0．综上，不等式f（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤0，或2≤x≤5}．故答案为：[﹣2，0]∪[2，5]．16．（4分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：（1）f（x）=（2）f（x）=x2（3）f（x）=（4）f（x）=，能被称为“理想函数”的有（4）（填相应的序号）．【解答】解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，（1）f（x）=为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故排除（1）；（2）f（x）=x2为定义域上的偶函数，排除（2）；（3）f（x）==1﹣，定义域为R，由于y=2x+1在R上为增函数，故函数f（x）为R上的增函数，排除（3）；（4）f（x）=的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故（4）为理想函数故答案为（4）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）计算下列各式（1）（x＞0，y＞0）（结果用指数表示）（2）log84+log26﹣log23+log36•log69﹣lg100+．【解答】解：（1）原式===．（x＞0，y＞0）．（2）原式=+﹣2+==2．18．（12分）已知集合A={x|a﹣1≤x≤2a+3}，B={x|﹣2≤x≤4}，全集U=R （Ⅰ）当a=2时，求A∪B和（∁R A）∩B；（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，A={x|1≤x≤7}，则A∪B={x|﹣2≤x≤7}，∁R A={x|x＜1或x＞7}，（∁R A）∩B={x|﹣2≤x＜1}；（Ⅱ）∵A∩B=A，∴A⊆B，①若A=∅，则a﹣1＞2a+3，解得a＜﹣4；②若A≠∅，由A⊆B，得到，解得：﹣1≤a≤，综上：a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，]．19．（12分）已知函数，（1）用函数单调性定义证明：f（x）在（﹣1，+∞）是增函数；（2）试求在区间[1，2]上的最大值与最小值．【解答】解：（1）任取x1，x2∈（﹣1，+∞），且x1＜x2，则∵x1，x2∈（﹣1，+∞），且x1＜x2，∴x1+1＞0，x2+1＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）为（﹣1，+∞）上的增函数．（2）令t=2x，则t∈[2，4]，由（1）可知在[2，4]上为增函数，则，．20．（12分）已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由函数的解析式可得，解不等式组求得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）．（Ⅱ）∵函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．（Ⅲ）∵f（x）＞0，∴log a（1+x）＞log a（1﹣x），当0＜a＜1时，由﹣1＜1+x＜1﹣x＜1，求得﹣1＜x＜0，故不等式的解集为（﹣1，0）；当a＞1时，由1＞1+x＞1﹣x＞﹣1，求得0＜x＜1，故不等式的解集为（0，1）．21．（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【解答】解：（1）f（x）=k 1x，，，，（x≥0），（x≥0）（2）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．（0≤x≤20）令，则==所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，y max=3万元．22．（14分）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；（2）若a＞2，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；（3）若存在a∈[3，6]，使得关于x的方程f（x）=t+2a有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．【解答】（1）当a=2，x∈[0，3]时，f（x）=x|x﹣2|=作函数图象，可知函数f（x）在区间[0，3]上是增函数．所以f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9．（2）f（x）=①当x≥a时，f（x）=（x﹣）2﹣．因为a＞2，所以．所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．②当x＜a时，f（x）=﹣（x﹣）2﹣．因为a＞2，所以．所以f（x）在（﹣∞，]上单调递增，在[，a]上单调递减．综上所述，函数f（x）的递增区间是（﹣∞，]和[a，+∞），递减区间是[，a]．（3）当3≤a≤6时，由（1）知f（x）在（﹣∞，]，[a，+∞）上分别是增函数，在[，a]上是减函数，当且仅当2a＜t+2a＜时，方程f（x）=t+2a有三个不相等的实数解．即0＜t＜令，g（a）=在a∈[3，6]时是增函数，故g（a）max=4．∴实数t的取值范围是（0，4）．。
2024-2025学年福建省福州市八县(市)协作校高一(上)期中数学试卷(含答案)
第1页，共7页2024-2025学年福建省福州市八县（市）协作校高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合𝑀={1,2,3}，𝑁={(𝑥,𝑦)|𝑥∈𝑀，𝑦∈𝑀，𝑥+𝑦∈𝑀}，则集合𝑁中的元素个数为( )A. 2B. 3C. 8D. 92.“𝑎+𝑐>𝑏+𝑑”是“𝑎>𝑏且𝑐>𝑑”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.集合𝑀={𝑥|𝑥<−2或𝑥≥3}，𝑁={𝑥|𝑥−𝑎≤0}，若𝑁∩∁𝑅𝑀=⌀(𝑅为实数集)，则𝑎的取值范围是( )
A. {𝑎|𝑎≤3}B. {𝑎|𝑎≤−2}C. {𝑎|𝑎<−2}D. {𝑎|−2≤𝑎≤2}4.若命题“∀𝑥∈𝑅，𝑥2−2≥𝑚”是真命题，则实数𝑚的取值范围是( )
A. (−∞,−2]B. (−∞,−2)C. [2,+∞)D. (2,+∞)
5.已知𝑚<10，则𝑚+9𝑚−10的最大值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 106.已知函数𝑓(𝑥)是定义域为𝑅的奇函数，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥+1).若𝑓(3+2𝑚)+𝑓(2𝑚−11)>0，则𝑚的取值范围为( )
A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,2)D. (2,+∞)7.某文具店购进一批新型台灯，若按每盈台灯15元的价格销售，每天能卖出30点；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少于400元的销售收入.则这批台灯的销售单价𝑥(单位：元)的取值范围是( )A. {𝑥|10≤𝑥<16}B. {𝑥|12≤𝑥<18}C. {𝑥|15≤𝑥≤20}D. {𝑥|10≤𝑥≤20}8.已知函数𝑓(𝑥)的定义域为𝑅，𝑓(𝑥+4)为偶函数，𝑓(−𝑥+2)为奇函数，且𝑓(𝑥)在[0,2]上单调递增，则下列错误的是( )A. 𝑓(2)=0B. 𝑥=4为函数𝑓(𝑥)图象的一条对称轴C. 函数𝑓(𝑥)在[4,8]上单调递减D. 𝑓(1)<𝑓(7)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列四个结论中正确的是( )第2页，共7页
2014-2015年福建省泉州市晋江市中远学校高一(上)数学期中试卷和答案
2014-2015学年福建省泉州市晋江市中远学校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x∈N|1＜x＜5}，集合B={x∈N|2＜x＜6}，则A∩B=（）A．{2，3}B．{4，3}C．{5，3}D．{44，5}2．（5分）如果f（x）=，则f（7）=（）A．2 B．4 C．2 D．103．（5分）函数f（x）=3x﹣6的零点是（）A．0 B．3 C．2 D．﹣64．（5分）设集合A={1，3，a}，B={1，2}且A⊇B，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2） D．[1，+∞）6．（5分）下列函数图象中，能用二分法求零点的是（）A．B． C．D．7．（5分）下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．0.75﹣0.1＜0.750.1C．（）1.6＞（）D．0.50.4＞0.50.68．（5分）函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1） B．（1，0） C．（2，1） D．（0，2）9．（5分）已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3的单调增区间为（）A．（﹣∞，﹣3]B．[﹣3，+∞）C．（﹣∞，3]D．[3，+∞）10．（5分）在同一坐标系下函数y=﹣x+a和y=a x图象可能是（）A．B．C．D．11．（5分）某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（）A．9% B．10% C．11% D．12．（5分）若函数g（x）=x2+2x﹣12m在区间（﹣∞，﹣2）与（﹣2，1）上各有一个实根，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．（+∞）C．（0，）D．（，1）二、填空题：（本大题共4个小题，每个小题4分，共16分）13．（4分）设lg2=a，lg3=b，则lg6=．（用a、b来表示）14．（4分）幂函数f（x）图象过点，则f（4）的值为．15．（4分）如果指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是．16．（4分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）+，且f（）=0，当x时，f（x）＞0．给出以下结论：①f（0）=﹣；②f（﹣1）=﹣；③f（x）为R上减函数；④f（x）+为奇函数；⑤f（x）+1为偶函数．其中正确结论的序号是．三、解答题：（本大题共6个小题，共74分）17．（12分）设全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|2＜x＜7}，求（1）A∩B；（2）（∁U A）∪B；（3）（∁U A）∩（∁U B）18．（12分）已知函数f（x）=，（1）在平面直角坐标系中画出f（x）的图象；（2）若f（a）=8，求a的值．19．（12分）已知函数f（x）=x﹣．（1）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[3，6]上的最小值和最大值．20．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21．（12分）已知函数f（x）=log2（4x+1）﹣ax．（1）若函数f（x）是R上的偶函数，求实数a的值；（2）若a=4，求函数f（x）的零点．22．（14分）已知函数f（x）=log4（4x+1）﹣．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）若方程f（x）﹣m=0有解，求m的取值范围；（Ⅲ）若函数g（x）=log4[1+2x+3x+…+（n﹣1）x﹣n x a]，n≥2，n∈N，对任意x ∈（﹣∞，1]有意义，求a的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市晋江市中远学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x∈N|1＜x＜5}，集合B={x∈N|2＜x＜6}，则A∩B=（）A．{2，3}B．{4，3}C．{5，3}D．{44，5}【解答】解：因为A={x∈N|1＜x＜5}={2，3，4}，B={x∈N|2＜x＜6}={3，4，5}，则A∩B={3，4}，故选：B．2．（5分）如果f（x）=，则f（7）=（）A．2 B．4 C．2 D．10【解答】解：∵f（x）=，∴f（7）===故选：C．3．（5分）函数f（x）=3x﹣6的零点是（）A．0 B．3 C．2 D．﹣6【解答】解：∵函数f（x）=3x﹣6，∴f（x）=3x﹣6=0，得x=2，根据函数零点的概念：函数f（x）=3x﹣6的零点是2故选：C．4．（5分）设集合A={1，3，a}，B={1，2}且A⊇B，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵B={1，2}，∴2∈B，∵A⊇B，∴2∈A．∵集合A={1，3，a}，∴a=2．故选：C．5．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2） D．[1，+∞）【解答】解：由题意解得x∈[1，2）∪（2，+∝）故选：A．6．（5分）下列函数图象中，能用二分法求零点的是（）A．B． C．D．【解答】解：由函数图象可得，A中的函数没有零点，故不能用二分法求零点，故排除A．B 和D中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，故不能用二分法求零点，故排除．只有C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点，故选：C．7．（5分）下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．0.75﹣0.1＜0.750.1C．（）1.6＞（）D．0.50.4＞0.50.6【解答】解：∵y=3x，y=x，单调递增，∴A，C正确，∵y=0.75x，y=0.5x，单调递减，∴D正确，故选：B．8．（5分）函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1） B．（1，0） C．（2，1） D．（0，2）【解答】解：∵log a1=0，∴当x﹣1=1，即x=2时，y=1，则函数y=log a（x﹣1）+1的图象恒过定点（2，1）．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3的单调增区间为（）A．（﹣∞，﹣3]B．[﹣3，+∞）C．（﹣∞，3]D．[3，+∞）【解答】解：∵f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，∴对称轴x=﹣3，开口向下，∴函数在（﹣∞，﹣3]递增，故选：A．10．（5分）在同一坐标系下函数y=﹣x+a和y=a x图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：解：函数y=﹣x+a和y=a x，当a＞1时，y=﹣x+a，单调递减，y=a x单调递增，且直线在y轴交点为在（0，1）上边，A正确，B．D不正确当0＜a＜1时，一次函数单调递减，指数函数单调递减，且直线在y轴交点为在（0，1）下边，C不正确故选：A．11．（5分）某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（）A．9% B．10% C．11% D．【解答】解：根据题意可得：∵设原价为a，应提价x，则商品降价10%后，价格为，∴a=×（1+x）∴x=，故选：D．12．（5分）若函数g（x）=x2+2x﹣12m在区间（﹣∞，﹣2）与（﹣2，1）上各有一个实根，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．（+∞）C．（0，）D．（，1）【解答】解：∵函数g（x）=x2+2x﹣12m，∴函数的对称轴为x=﹣1，图象开口向上．∵函数g（x）=x2+2x﹣12m在区间（﹣∞，﹣2）与（﹣2，1）上各有一个实根∴可得f（﹣2）＜0，且f（1）＞0即﹣12m＜0，且1+2﹣12m＞0∴0＜m故选：C．二、填空题：（本大题共4个小题，每个小题4分，共16分）13．（4分）设lg2=a，lg3=b，则lg6=a+b．（用a、b来表示）【解答】解：lg6=lg（2×3）=lg2+lg3=a+b．故答案为：a+b14．（4分）幂函数f（x）图象过点，则f（4）的值为2．【解答】解：设幂函数f（x）=x a∵f（x）的图象过点（2，）∴2a==∴a=∴f（x）=∴f（4）=故答案为：215．（4分）如果指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是（2，3）．【解答】解：∵指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数∴0＜a﹣2＜1⇒2＜a＜3故答案为：（2，3）．16．（4分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）+，且f（）=0，当x时，f（x）＞0．给出以下结论：①f（0）=﹣；②f（﹣1）=﹣；③f（x）为R上减函数；④f（x）+为奇函数；⑤f（x）+1为偶函数．其中正确结论的序号是①②④．【解答】解：由题意和xy的任意性，取x=y=0代入可得f（0）=f（0）+f（0）+，即f（0）=，故①正确；取x=，y=代入可得f（0）=f（）+f（）+，即=0+f（）+，解得f（）=﹣1，再令x=y=代入可得f（﹣1）=f（﹣）+f（）+=﹣2+=，故②正确；令y=﹣x代入可得=f（0）=f（x）+f（﹣x）+，即f（x）++f（﹣x）+=0，故f（x）+为奇函数，④正确；取y=﹣1代入可得f（x﹣1）=f（x）+f（﹣1）+，即f（x﹣1）﹣f（x）=f（﹣1）+=﹣1＜0，即f（x﹣1）＜f（x），故③f（x）为R上增函数，错误；⑤错误，因为f（x）+1=f（x）++，由③可知g（x）=f（x）+为奇函数，故g（﹣x）+﹣g（x）﹣=﹣2g（x）不恒为0，故函数f（x）+1不是偶函数故答案为：①②④三、解答题：（本大题共6个小题，共74分）17．（12分）设全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|2＜x＜7}，求（1）A∩B；（2）（∁U A）∪B；（3）（∁U A）∩（∁U B）【解答】解：（1）∵集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|2＜x＜7}，∴A∩B={x|2＜x＜5}，（2）又全集U=R，∴∁U A={x|x≥5或x≤﹣1}，∁U B={x|x≥7或x≤﹣2}，即（∁U A）∪B={x|x＞2或x≤﹣1}，（3）（∁U A）∩（∁U B）={x|x≥7或x≤﹣1}．18．（12分）已知函数f（x）=，（1）在平面直角坐标系中画出f（x）的图象；（2）若f（a）=8，求a的值．【解答】解：（1）f（x）的图象如下：（2）f（a）=8当a≥1时，有2a=8，即a=4当a＜﹣1时，有﹣2a=8，即a=﹣4综上所述：a=4或﹣4．19．（12分）已知函数f（x）=x﹣．（1）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[3，6]上的最小值和最大值．【解答】解：（1）证明：设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=x1﹣﹣x2+=（x1﹣x2）+（﹣）=（x1﹣x2）+=，∵x1＜x2＜0，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，1+x1x2＞0∴＜0即f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调递增．（2）由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；∴函数f（x）在[3，6]上是增函数；∴，．20．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【解答】解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得．所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．21．（12分）已知函数f（x）=log2（4x+1）﹣ax．（1）若函数f（x）是R上的偶函数，求实数a的值；（2）若a=4，求函数f（x）的零点．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的偶函数∴f（﹣x）=f（x）即f（﹣x）﹣f（x）=0∴[log2（4﹣x+1）﹣a（﹣x）]﹣[log2（4x+1）﹣ax]=0﹣2x+2ax=0即a=1（2）若a=4，f（x）=log2（4x+1）﹣4x令f（x）=0，log2（4x+1）=4x4x+1=24x（4x）2﹣4x﹣1=0或（舍）∴22．（14分）已知函数f（x）=log4（4x+1）﹣．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）若方程f（x）﹣m=0有解，求m的取值范围；（Ⅲ）若函数g（x）=log4[1+2x+3x+…+（n﹣1）x﹣n x a]，n≥2，n∈N，对任意x ∈（﹣∞，1]有意义，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）是偶函数，∵f（﹣x）=log4（4﹣x+1）+=log4+=log4（4x+1）﹣=f（x）．故f（x）是偶函数．（Ⅱ）∵f（x）﹣m=0∴m=f（x）=log4（4x+1）﹣=log4（4x+1）﹣log42x=log4（），又=≥2，∴m≥；故要使方程f（x）﹣m=0有解，m的取值范围为m≥．（Ⅲ）由1+2x+3x+…+（n﹣1）x﹣n x a＞0知a＜恒成立又∵，i=1，2…n﹣1，是减函数，∴y=也是减函数，∴在区间（﹣∞，1]上有＞a，∴a的取值范围是（﹣∞，）．。