古典概型
第1章§3古典概型
§3 古典概型 某接待站在某周接待了12次来访,已知这12次来访 都是在周二和周四进行的.问是否可以推断接待站的接待时 间是有规定的？ 假设接待站的接待时间没有规定, 且认为来访者每 周任一天到达是等可能的. 则 212 P{12次来访都在周二和周四 } 12 7 0.0000003 概率非常小的事件，称为小概率事件
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§3 古典概型 将 4 把能打开四间不同房门的钥匙随机发 给 4 个人,试求 A {至少有一人能打开门 } 的概率. P( A) P( A1 A2 A3 A4 ) 1 1 1 1 2! 3! 4! 0.625
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P( A) P( A1 A2 An ) 1 1 1 1 (1) n1 1 n! 2! 3! 4! 1e 1 0.632
碉堡面积 p 区域总面积
10 0.001 10000
第一章 随机事件与概率
§3 古典概型
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向平面有界区域 投掷一个点 可测量面积的平面区域 A
A 的面积 P( A) 的面积 则称上述试验为几何概型.
事件 A 发生的概率与位置无关,只与 A的面积有关， 这体现了某种“等可能性” 如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则 “面积” 改为“长度”、“体积”
第一章
随机事件与概率
§3 古典概型 设事件 A 含 k 个样本点，即 A {i1 , i 2 ,, i k } {i1 } {i 2 } {i k } P( A) P{i1 } P{i 2 } P{i k } 1 1 1 n n n k n
(1)n 1 P( A1 A2 An )
古典概型的特征与概率计算公式
古典概型的特征与概率计算公式古典概型是概率论中最基本的概型之一，它的特点是每个事件的可能性相等。
在古典概型中，我们可以通过计算样本空间和事件空间的大小来计算事件发生的概率。
1.等可能性：在古典概型中，每个事件的发生概率都是相等的。
2.有限性：古典概型中的样本空间是有限的，即所有可能的结果有限个。
3.独立性：古典概型中的事件之间是相互独立的，即一个事件的发生不会影响其他事件的发生概率。
根据这些特征，我们可以通过以下公式计算古典概型中事件的概率：1.概率的定义：事件A的概率P(A)定义为事件A发生的可能性与样本空间Ω中所有可能结果发生的总可能性的比值。
即：P(A)=N(A)/N(Ω)，其中N(A)表示事件A的结果数目，N(Ω)表示样本空间Ω中所有可能结果的数目。
2.互斥事件：如果两个事件A和B是互斥的（即A和B不可能同时发生），则它们的概率之和为各自概率的和。
即：P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.相互独立事件：如果两个事件A和B是相互独立的（即A的发生不会影响B的发生概率），则它们的概率乘积等于各自概率的乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
4.补事件：事件A的对立事件为A的补事件，记作A'。
补事件是指样本空间中不属于事件A的结果。
事件A的发生与A'的不发生是互斥的。
因此，P(A')=1-P(A)。
5.复合事件：如果事件A和B是两个独立事件，则同时发生的概率为两个事件的概率乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
通过以上公式，我们可以计算古典概型中事件的概率。
需要注意的是，在应用这些公式时，必须满足古典概型的特征，即事件是等可能发生的、样本空间是有限的，并且各事件之间是相互独立的。
古典概型
引申： 引申：
现有一批产品共 n件，其中 件正品 件 其中m件正品 n-m件次品 ( m , n ∈ N ,3 ≤ m < n ) 件次品. 件次品 （1）从中一次取出 件，求恰好有一 ）从中一次取出3件 件次品的概率； 件次品的概率； （2）如果从中取出 件，然后放回， ）如果从中取出1件 然后放回， 再任取1件 再任取 件……，求三次取出恰好有一 ， 件次品的概率。 件次品的概率。
“有放回”、“不放回” 有放回” 有放回 不放回” 抽样 现有一批产品共3件 其中2件正 例4 现有一批产品共 件，其中 件正 件次品. 品1件次品 件次品 （1）从中一次取出 件，求两件都是 ）从中一次取出2件 正品的概率； 正品的概率； （2）如果从中取出 件，然后放回， ）如果从中取出1件 然后放回， 再任取1件 再任取 件，求两次取出的都是正品 的概率。 的概率。
一个罐子里有同样大小的20个玻璃球 其中4 个玻璃球， 例2 一个罐子里有同样大小的 个玻璃球，其中 个是红色的， 个是黑色的 个是黑色的， 个是无色的 个是无色的， 个是红色的，6个是黑色的，10个是无色的，经充 分混合后，从罐子中任意取出一球， 分混合后，从罐子中任意取出一球，求下列事件的 概率： 概率： （1）取到有色玻璃球 ） （2）取到红色玻璃球 ） （3）取到无色玻璃球 ） 个球， （4）取出 个球，都是黑色 ）取出3个球
例1：指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？ ：指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？ 哪些是随机事件？ 哪些是随机事件？
A 若a、b、c都是实数，则a·（bc）=（ab）·c； 都是实数， 、 、 都是实数 （ ） （ ） ； B 没有空气，动物也能生存下去； 没有空气，动物也能生存下去； C 在标准大气压下，水在温度达到 0C时沸腾； 在标准大气压下，水在温度达到90 时沸腾 时沸腾； D 直线 直线y=k（x+1）过定点（-1，0）； （ ）过定点（ ， ）； E 某一天内手机收到的短消息次数为 ； 某一天内手机收到的短消息次数为0； F 一个袋内装有形状大小都相同的一个白球和 一个黑球，从中任意取出1个球为白球 个球为白球； 一个黑球，从中任意取出 个球为白球； A,D是必然事件 是必然事件 B,C是不可能事件 是不可能事件 E,F是随机事件 是随机事件
古典概型-简单-讲义
古典概型知识讲解一、基本事件的两个特点1.任何两个基本事件是互斥的；2.任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．二、古典概型的概念概念：如果一次实验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个事件出现的可能性相等，则这样的概率模型称为古典概型．三、古典概型的特征1.有限性：即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；2.等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型．注：判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有上述两个特征：有限性和等可能性．四、古典概型计算公式及步骤1. 如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；2. 如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=mn．3. 古典概型的计算步骤：(1) 阅读题目，收集信息，理解题意：(2) 判断是否为古典概型，并用字母表示所求事件：(3) 计算基本事件的个数n和所求事件中包含的基本事件个数：(4) 计算所求事件的概率mPn．典型例题一．选择题（共5小题）1．（2015?广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．2．（2017?新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．故选：D．3．（2015?广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．4．（2018?宣城二模）从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从4个人安排两人，总共有C42A22=12种．其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有C21C21=4种，∴其中至少有1名女生的概率P=．故选：A．5．（2015?新课标Ⅰ）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C．二．填空题（共3小题）6．（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=．故答案为：．7．（2016?江苏模拟）分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．8．（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=，故答案为：．三．解答题（共3小题）9．袋中有8个白球，2个黑球，从中随机连续摸取3次，每次取1个球，求：（1）不放回抽样时，摸出2个白球，1个黑球的概率．（2）有放回时，摸出2个白球，一个黑球的概率．【解答】解：（1）不放回抽样时，从10个球中摸出3个，基本事件数是==120；其中2个白球，1个黑球的基本事件数是?=?2=56；∴它的概率为P==；（2）有放回时，从10个球中摸出3个，基本事件数是10×10×10=1000；其中2个白球，1个黑球的基本事件数是8×8×2=128；∴它的概率为P==．10．将某校高三年级300名学生的毕业会考数学成绩进行整理后，分成五组，第﹣组[75，80），第二组[80，85），第三组[86，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分．（1）请在图中补全频率分布直方图并估算这300名学生数学成绩的中位数；（2）若M大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试，在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官B的面试，求第4组中至少有1名学生被考官B面试的概率．【解答】解：（1）根据频率和为1，计算第五组[95，100]的频率为1﹣0.03×5﹣0.05×5﹣0.06×5﹣0.04×5=0.1，又频率组距==0.02，补全频率分布直方图如图所示∵0.03×5+0.05×5=0.40＜0.5，0.40+0.06×5=0.70＞0.5，∴中位数在第三组[85，90）中，设为x，则（x﹣85）×5+0.40=0.50，解得x=87；估算这300名学生数学成绩的中位数87；（2）第3组有学生300×0.06×5=90人，第4组有学生300×0.04×5=60人，第5组有学生300×0.02×5=30人；用分层抽样的方法从中抽取6人，则第3组抽取3人，记为a、b、c，第4组抽取2人，记为D、E，第5组抽取1人，记为f；从这6名学生中随机抽取2人，基本事件为ab、ac、aD、aE、af、bc、bD、bE、bf、cD、cE、cf、DE、Df、Ef共15种，第4组中至少有1人被抽取的基本事件为aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE、Df、Ef共9种，故所求的概率为P==．11．某学校阅览室订有甲，乙两类杂志，据调查，该校学生中有70%阅读甲杂志，有45%阅读乙杂志，有22%兼读甲，乙两类杂志．求学生中至少读其中一类杂志的概率？【解答】解：有70%阅读甲杂志，有45%阅读乙杂志，有22%兼读甲，乙两类杂志，则学生中至少读其中一类杂志的读甲，乙两类杂志的有70%+45%﹣22%=93%，故学生中至少读其中一类杂志的概率0.93。
关于古典概型的三个典型例题及其在解题中的应用
关于古典概型的三个典型例题及其在解题中的应用古典概型是概率论的基础，又有着很高的实用价值，已成为义务教育阶段数学课程的一项重要内容.结合初中数学活动课的教学实践，通过古典概型应用的若干实例，阐述了问题求解的策略、多种方法以及不同方法的具体适用场合，对古典概型的解题规律做了有益的探究.关键词：古典概型；等概基本事件组；有利场合数；应用实例；求解策略；计算方法古典概型是概率论发展史上最早被人们认识、研究并加以应用的概率模型，是一种特殊的数学模型.古典概型在概率论中具有相当重要的地位，不仅其优越性明显，应用广泛，而且是进一步学习概率不可或缺的内容.一、学习古典概型的重要性1.有利于理解概率的意义.对于古典概型，频率的稳定性比较容易验证，也与同学们已有的生活经验和数学活动经验相吻合，从而概率的存在性和确定性易于领会、理解和接受.2.可帮助我们直接计算随机事件发生的概率，化解大量重复试验带来的耗时费力的矛盾，避免破坏性试验造成的损失.也就是说，不需要做任何试验，只要分析事件的本质，确认是古典概型，就可以直接计算得到概率的精确值，而且是理论值，它与用统计方法得到的结论相一致.3.能够有效地解决生产、生活和科研中的某一类问题.如抽签、摸球、摇号、掷骰子、中奖率、次品率、密码解锁、公平规则设计等.二、古典概型的概念1.等概基本事件组设A1，A2，…，An是一个事件组，如果它具有下列三条性质：（1）A1，A2，…，An发生的机会相同（等可能性）；（2）在任一次试验中，A1，A2，…，An至少有一个发生.也就是除此以外，不可能有别的结果（完全性）；（3）在任一次试验中，A1，A2，…，An至多有一个发生.也就是说这n个事件是互相排斥的（互不相容性）.则称A1，A2，…，An为一个等可能基本事件组，也称为一个等概基本事件组，其中任一事件Ai（i=1，2，…，n）称为基本事件.2.概率的古典定义如果试验的所有可能的结果可以表述为一个等概基本事件组A1，A2，…，An.其中有且仅有m个基本事件包含于随机事件J（即当且仅当这m个事件中任一事件发生时，事件J发生），则比值m/n就称为事件J的概率，记作P（J）=m/n.其中，n是基本事件的总数，m是事件J所包含的基本事件数，通常叫做事件J的有利场合数，或有利结果数.3.古典概型及其计算公式可以根据概率的古典定义来计算随机事件的概率，这样的概率模型称为古典概型.P（J）=m/n是概率古典定义的核心内容，它给出了古典概型中随机事件的概率计算公式.三、求解方法与策略1.古典概型的确认.对所要解决的问题，首先要确定是不是属于古典概型？这主要根据古典概型的两个基本特征，即试验结果是否具有有限性和等可能性.2.判定等可能性的常用依据.（1）客观对称性（如抛掷硬币、掷骰子等试验）；（2）某种均衡性（如摸球、抽签等试验）. 3.考察等概基本事件组.等概基本事件组是与古典概型相互印证的，也是概率计算的第一步.对某些问题，等概基本事件组不是唯一的，可供选择.一般情况下，其基本事件的总数越少，求解越为简便.4.按照古典概型中随机事件的概率计算公式，先求分母和分子，再求比值，即得所求概率.分母是等概基本事件组中基本事件的总数，分子是相应事件所包含的基本事件数，即该事件的有利场合数.5.运用多种方法实施计算.（1）直接列举法；（2）表格法；（3）树状图法；（4）根据乘法原理；（5）根据排列与组合的基本知识，或兼用乘法原理；（6）根据概率的运算性质.6.不同计算方法的适用场合.（1）计算简单随机事件的概率，可运用列举法（包括列表、画树状图）.当试验结果显然或试验步骤只有1个时，可直接列举出所有等可能的结果；当试验步骤只有2个且试验结果较少时，表格法和树状图法都是行之有效的；当试验步骤只有2个但试验结果较多时，宜选用列表的方法，显得整体清晰，类别分明，解题便捷.（2）當试验分为3步（或以上），通常选用树状图法；如果要采用列表法，则需2张（或更多）表格，即分步列表.（3）义务教育阶段，宜使用列举法，帮助计算.（4）初中后阶段，可介绍乘法原理，并实施计算.乘法原理通俗易懂，其思想方法与树状图法是一致的.遵循认知规律，所花时间不多，初中学生很快就能接受并较好地掌握，既可以帮助快捷计算，也可以作为对列举法的一种验算或印证，确保列举的所有等可能结果既不遗漏，也不重复.（5）当试验出现的结果较多时，往往需要运用乘法原理或排列与组合的基本知识加以计算.（6）随着概率知识的进一步学习和加深，运用概率的运算性质进行计算，常常会收到更好的效果.7.转化（化归）策略举例.（1）编号.例如，在摸球试验中，通常将彩色球编号，目的是创设等可能性.（2）等分.例如，在转盘问题上，通常将转盘作等分、涂色处理，就是把无限转化为有限，从而归结为古典概型来求解.8.对比策略举例.（1）放回与不放回，或称有放回与无放回.例如，在摸球试验中常有这两种不同的情形，注意到这二者之间的联系与区别，对比在使用表格时各自呈现的特点，从而掌握其规律.抽签方法指的是不放回的情形.（2）有序与无序，也就是考虑顺序与不考虑顺序.对某些问题，必须考虑顺序；而对有些问题，两种方法都能使用.注意这二者之间的联系与区别.（3）比照.这里是指通过对问题实质的分析，能否与一些常见的实用类型等同看待.例如，某些实际问题可以比照为摸球问题，某些实际问题可比照为抽签问题，等等.问题的实质相同，解决问题的思想方法也相同.四、应用实例与一题多解文中解题过程，在使用排列数或组合数符号计算的等号后面，紧接着写出了详细数字，是为了看清楚，让初中学生在还没有学习排列与组合知识的情况下，能运用乘法原理有效实施计算.为书写简洁起见，同一题中的同一随机事件除首次出现外，均用J表示.例1.经典分金币问题.传说，17世纪中叶，法国贵族公子梅雷参加赌博，和赌友各押赌注32枚金币.双方约定：抛掷1枚质地均匀的硬币，正面朝上，梅雷得1分；反面朝上，赌友得1分，先积满10分者赢全部赌注.赌博进行了一段时间，梅雷已得8分，赌友得7分.这时，梅雷接到通知，要他马上陪国王接见外宾，赌局只好中止.于是，产生了一个问题，应该怎样分配这64枚金币才算公平合理？这就是历史上著名的“分赌注”问题.解：假设赌局继续，那么最多再抛掷硬币4次，就可以分出输赢.不妨用m表示梅雷积1分，用d表示赌友积1分，运用树状图法可得所有等可能的结果共有16种，其中，梅雷先积满10分的有利场合数为11，赌友先积满10分的有利场合数为5.所以P（梅雷赢）=；P（赌友赢）=.于是梅雷应分得64×=44（枚）金币，赌友应分得64×=20（枚）金币.。
古典概型
例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C， D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考察的内容， 他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选 择一个答案，问他答对的概率是多少？
分析：解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型。如 果考生掌握或者掌握了部分考察内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等 可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可 以化为古典概型。
事件A或事件B发生 事件A与B同时发生的事件
A=B
A∪ B A∩ B
事件A与B互斥
事件A与B互为对立 事件
事件A与B不能同时发生
事件A与B不能同时发生， 但必有一个发生
A∩B=φ
A∩B=Φ且 A∪B=Ω
二、概率的基本性质
(1) 0≤P（A）≤1 (2) 当事件A、B互斥时， P ( A B) P ( A) P ( B) (3) 当事件A、B对立时， P ( A B) P ( A) P ( B) 1
提问：
A所包含的基本事件的个数 P （A）＝ 基本事件的总数
（1）在上述的实验中，出现奇数点的概率是多少？ （2）在使用古典概型的概率公式时，应该注意什么？
归纳： 在使用古典概型的概率公式时，应该注意：
（1）要判断该概率模型是不是古典概型； （2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验 中基本事件的总数。
A所包含的基本事件的个数 2 P （A）＝ ＝ 基本事件的总数 21
左右两组骰子所呈现的结果，可以让我们很容易的感受到， 这是两个不同的基本事件，因此，在投掷两个骰子的过程中，我 们必须对两个骰子加以区分。
思考?
两个答案都是利用古典概型的概率 的计算公式得到的,为什么会出现 不同结果呢?
古典概型
古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1n；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝ m n. 4．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数. 题型一 基本事件与古典概型的判断例1 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？思维启迪 判断一个概率模型是否为古典概型的依据是古典概型的“有限性”和“等可能性”．解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A ：“摸到白球”，B ：“摸到黑球”，C ：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个， 故一次摸球摸到白球的可能性为511， 同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311， 显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．思维升华 古典概型需满足两个条件：①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的．(1)下列问题中是古典概型的是( )A ．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B ．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C ．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D ．同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率(2)将一枚硬币抛掷三次共有________种结果．答案 (1)D (2)8解析 (1)A 、B 两项中的基本事件的发生不是等可能的；C 项中基本事件的个数是无限多个；D 项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．(2)设出现正面为1，反面为0，则共有(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)8种结果．题型二 古典概型的概率例2 (2013·山东)某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(2(1)以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．思维启迪 计算基本事件总数或计算某一事件包含的基本事件数时，可以用列举的方法，列举时要不重不漏．解 (1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M ，其包括事件有3个，故P (M )＝36＝12. (2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共10个．设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N ，且事件N 包括事件有(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共3个．则P (N )＝310. 思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．(1)(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．(2)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是________．答案 (1)23 (2)25解析 (1)三位同学每人选择三项中的两项有C 23C 23C 23＝3×3×3＝27(种)选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C 23C 13C 12＝3×3×2＝18(种)选法．∴所求概率为P ＝1827＝23. (2)第一步先排语文书有A 22＝2(种)排法．第二步排物理书，分成两类．一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A 24＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有A 55＝120(种)，所以同一科目的书都不相邻的概率是48120＝25. 题型三 古典概型与统计的综合应用例3 (2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B(2)在(1)中，若A 评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．思维启迪 各组抽取人数的比率是相等的，因此，由B 组抽取的比率可求得其它各组抽取的人数．解 (1)(2)记从A 12312B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29. 思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数； (2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率； (3)从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率． 解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400. (2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5.故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率P ＝0.5. (3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在 185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率P ＝915＝0.6. 典例：(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．(1)基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取两个球的所有结果列举出来↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}↓两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4)↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式P ＝26＝13(2)两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示)基本事件的总数可用列举法表示↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意细节，m 是第一个球的编号，n 是第2个球的编号)n <m ＋2的情况较多，计算复杂(将复杂问题转化为简单问题)↓计算n ≥m ＋2的概率↓n ≥m ＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)↓P 1＝316(注意细节，P 1＝\f(3,16)是n ≥m ＋2的概率，需转化为其对,立事件的概率)n <m ＋2的概率为1－P 1＝1316. 规范解答解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13. [4分] (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个． [6分] 又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316. [10分] 故满足条件n <m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316. [12分] 温馨提醒 (1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善．如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4等；第(2)问，有次序．(2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，第(1)问应写成{1,2}的形式，表示无序，第(2)问应写成(1,2)的形式，表示有序．(3)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．在第(2)问中，由于不能将事件n<m＋2的概率转化成n≥m＋2的概率，导致数据复杂、易错．所以按要求规范解答是做好此类题目的基本要求．方法与技巧1．古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．2．确定基本事件的方法列举法、列表法、树状图法．失误与防范1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝∅时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．A 组 专项基础训练一、选择题1．(2013·课标全国Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ( ) A.12 B.13 C.14 D.16答案 B解析 基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以所求概率P ＝26＝13，故选B.2．甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( ) A.136 B.19 C.536 D.16答案 D解析 最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P ＝636＝16，所以选D.3．(2013·安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ( ) A.23 B.25 C.35 D.910答案 D解析 由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910.4．第12届全运会于2013年在沈阳举行，运动会期间来自A 大学2名和B 大学4名共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是 ( ) A.115 B.25 C.35 D.1415答案 C解析 记2名来自A 大学的志愿者为A 1，A 2,4名来自B 大学的志愿者为B 1，B 2，B 3，B 4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共15种．其中至少有一名A 大学志愿者的事件有9种．故所求概率P ＝915＝35.故选C.5．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512B.712C.13D.12答案 A解析 ∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P ＝1536＝512，故选A.二、填空题6．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．答案 512解析 圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b2， 当d <2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b2<2， 得b >a ，满足b >a 的，共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512.7． (2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．答案 2063 解析 P ＝4×57×9＝2063.8．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________．答案 14解析 由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222.若用两种颜色有122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有8种．又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为14.三、解答题9．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)．(1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率；(2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率．解 (1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种．a ⊥b ，即m －3n ＝0，即m ＝3n ，共有2种：(3,1)、(6,2)， 所以事件a ⊥b 的概率为236＝118. (2)|a |≤|b |，即m 2＋n 2≤10，共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种，其概率为636＝16.10．(2013·天津)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，(1)(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝25.B 组 专项能力提升1．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ( ) A.110 B.18 C.16 D.15答案 D解析 如图所示，从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A 、B ，A 、C ，A 、D ，A 、E ，A 、F ，B 、C ，B 、D ，B 、E ，B 、F ，C 、D ，C 、E ，C 、F ，D 、E ，D 、F ，E 、F ，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A 、D ，B 、E ，C 、F ，共3种，故其概率为315＝15.2．将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m 和n ，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是 ( ) A.12 B.23 C.34 D.56答案 D解析 所有事件有6×6＝36(种)，若满足条件，则y ′＝2mx 2－n ≥0对x ≥1恒成立，又m >0，即(2mx 2－n )min ＝2m －n ，即2m ≥n ，而2m <n 有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，则2m ≥n 共30种．∴P ＝3036＝56.3．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A.35B.310C.12D.625答案 B解析 设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.4．袋中装有大小相同的总数为5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是910，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________． 答案 310解析 因为袋中装有大小相同的总数为5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为110，设白球个数为x ，则黑球个数为5－x ，那么可知白球有3个，黑球有2个，因此从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为310.5． (2013·课标全国Ⅱ)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________. 答案 8解析 由题意，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，∴在n 个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是C 2n ＝n (n －1)2＝2÷114＝28，∴n ＝8.6．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆) 轿车A 轿车B 轿车C舒适型100 150 z 标准型300 450 600 A 类轿车10辆．(1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000， 则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400.(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001 000＝a 5，则a ＝2. 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个．事件E 包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个．故P (E )＝710，即所求概率为710. (3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9. 设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.。
《古典概型》课件
探求：怎么求古典概型概率？ (1)如果一次试验的等可能基本事件共有
1 一个等可能基本事件发生的概率都是 _______; n
(2) 如果某个事件A包含了其中
n 个，那么每
m P A 那么事件A发生的概率为：____________; n
m个等可能基本事件，
2、古典概型的概率计算公式
m P( A) n 其中n是试验中所有基本事件的个数，m是事件A
⑴问共有多少个基本事件； ⑵求摸出两个球都是红球的概率； ⑶求摸出的两个球都是黄球的概率； ⑷求摸出的两个球一红一黄的概率。
示例1：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球， 从中一次摸出两个球。 求⑴共有多少个基本事件； 解⑴分别对红球编号为1、2、3、4、5号，对黄球编号6、7、 8号，从中任取两球，有如下等可能基本事件，枚举如下：
数学建构
求一个事件发生的概率一般通过大量试验,利用统计 频率估计概率,但工作量太大，结果有摆动性, 有的还具 有破坏性。因此需建立一个理想的数学模型来解决相关 问题。古典概型即是这样的一个模型。用它可直接计算 概率，通过下列实例概括古典概型的定义： 1.掷一枚均匀的硬币，求事件“正面向上”的概率； 2.掷一枚骰子，求事件“出现点数为偶数”的概率。
（7，8）
数学分析
1.考察抛硬币的实验，为什么在实验之前你也可以想 到抛一枚硬币，正面向上的概率为1/2? 原因:（1）抛一枚硬币,可能出现的结果只有两种； （2）硬币是均匀的，所以出现这两种结果的可能性 是均等的。 2.若抛掷一枚骰子，它落地时向上的点数为偶数的概 率是多少？ 为什么？
不通过大量重复实验，而只通过对一次实验中可能出现 的结果的分析来计算概率。 即(1)对于每次实验,只可能出现有限个不同的实验结果; (2)所有不同的实验结果,它们出现的可能性是相等的;
古典概型的概念
古典概型的概念
古典概念是十九世纪现代艺术理论家J·M·W·斯特拉斯伯勒首先提出的。
它可以理
解为运用传统形式，在形式和艺术上传承传统，使其继承至今。
它是一种传统的理论，意
在传承传统，把传统唱片改变人们日常生活，同时又能被原著作者所推崇，传承传统思想。
古典概念注重文化传统，它尊重作者的原则及艺术上的传统精神。
它要求作者在表达的时
候不断地审视自己的艺术表达手法，以及在审美中表达清晰的概念。
同时，古典概念也重
视作者对当地传统文化传统的延续，而不是盲目而模仿拷贝这一问题。
另外，古典概念同
样要求作者应有批判性的思考，运用类似古典概念的形式表达艺术，而不仅仅是复制古典
艺术的精髓。
古典概念的本质就在于session of continuous determination and reinterpretation of traditional forms，关于艺术表现的传统不仅要被继承下去，而
且还要保持其准确的价值观以及对传统的特定解释。
古典概念对不同的艺术形式都有不同的解释，可以说，它赋予了艺术形式多元文化的
价值意义，正因此，它才使艺术形式及其传统得以持续发扬。
在文学创作中，古典概念同
样有着强大的意义，它要求作者延续传统文体，而不只是靠剽窃模仿传统，把写作手法与
审美观念传统整合在一起，使新作品有着新的内涵。
总而言之，古典概念让传统文化和艺术形式保持着原汁原味的同时，又可以按照新的
想法表达出来，使它们衍型化，在这样的过程中，文化就能够得以持续发扬。
古典概型
抽奖(抽签)问题
5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一 张，求： （1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率； （3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.
在1000张有奖储蓄的奖券中，设有一个一等奖，三个 二等奖，从中买2张奖券，求： （1）分别获一等奖、二等奖的概率； （2）获得一等奖或二等奖的概率.
变式2:假设有20道单选题,他答对了18道,他是随机
选择的可能性大,还是他掌握了一定的知识的可能
性大?
极大似然法
古典概型基础习题：正确划分基本事件
3.同时掷两个骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
思考：课本127页，为什么要把两个骰子标上记号？如果 不标记号会出现什么情况(课本128页)？你能解释其中的原 因吗？
小军说：“四只小老虎都是雄性或雌性的可能性不 大。”
小强犹豫不决地说：“也许只有一只雄性吧?” 小军不同意小强的意见，他说：“也许只有一只雌性 呢。” 过了一会儿，小强激动地说：“应该这样想，因为每 只老虎是雌是雄的机会是一半对一半，所以很明显，最 有可能的情况是两只雌的、两只雄的。四只小老虎雌性 和雄性的比例最可能是2∶2。”小军也认为小强的话有 道理。 那么，小强的答案真的有道理吗?
袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球, (1)作放回抽样(即前一个人取一只球观察颜色后放回袋 中，后一人再取一只球)，(2)作不放回抽样(即前一个人 取一只球观察颜色后不放回袋中，后一人再取一只球)， 分别在(1)和(2)的情况下求第i(i=1,2,…,k)个人抽到白球 的概率(设k≤a+b)．
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(1)试验结果有限的概率模型一定是古典概型. (
)
(2)只要每个试验结果出现的可能性相同,则该概率模型一定 是古典概型. ( )
(3)有限性和等可能性是判定一个事件是古典概型的关键.( (4)事件A包含的基本事件有m个,试验的所有可能结果数有n 个,则P(A)= . m (
n
)
【解析】(1)错误.因为每个试验的结果不一定等可能
【微思考】
判断一个试验是否为古典概型的关键是什么?
提示:关键在于判断是否具备古典概型的两个
特征,即有限性和等可能性.
对古典概型的理解
古典概型由于满足基本事件的有限性和基本
事件发生的可能性相等这两个重要特征,所以 求事件的概率就可以不用通过大量的重复试 验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果 进行分析和计算即可.
3.试验③中,虽然基本事件只有两个,但是两个基本事件发生的
可能性不相等,故不是古典概型;试验①中,所有可能出现的基
本事件有无数多个,故不是古典概型.试验②④是古典概型.
答案:②④
【变式训练】下列试验是否属于古典概型?
(1)一个盒子中有三个除颜色外完全相同的球, 其中红球、黄球、黑球各一个,从中任取一
出现.
(2)错误.因为试验的结果不一定有有限个.
(3)正确.有限性和等可能性是判定一个事件是古典概 型的关键. (4)错误.该概率模型未必是古典概型. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)先后抛掷均匀的壹分、贰分的硬币各一次: ①一共可出现________种不同的结果; ②出现“一枚正面朝上,一枚反面朝上”的结果有_____种; ③出现“一枚正面朝上,一枚反面朝上”的概率是________. (2)三张卡片上分别写上字母E,E,B,将三张卡片随机地排成 一行,恰好排成英文单词BEE的概率为________. (3)从甲、乙、丙、丁4位同学中任选两人参加演讲比赛,则
(2)x·y是3的倍数包含的基本事件(如图).
【补偿训练】袋中有红、白色球各一个,每次任取一个,有放回 地抽取三次.(1)写出所有的基本事件.(2)三次抽取的球中红色 球出现的次数多于白色球出现的次数所包含的基本事件有多少 个? 【解析】(1)(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,
【方法技巧】古典概型的判断方法
判断一个事件是否是古典概型,关键看该事件
是否具备古典概型的两大特征: (1)有限性——在一次试验中,所有可能出现
的基本事件只有有限个.例如,从自然数集中
任选一个数,把它和5比较大小.因为所有可能 的结果有无限多个,所以该试验不是古典概型.
(2)等可能性——每个基本事件出现的可能性 相等.例如,在适宜的条件下种下一粒种子观
§2 古典概型 2.1 古典概型的特征和概率计算公式
基本事件：试验的每一个可能结果称为基本事件. 对基本事件的两点认识 (1)事件结果的不可再分性:每次试验有一个且只有一个基本事件出现 ,任
何事件都可以表示成基本事件的和,但基本事件不可
再分为更小的事件.例如,在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中, 可能出现的结果是“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”,而且 每次只可能出现其中一种结果,这六种结果就成为这个试验的基本事件. 试验的结果也可以分为“奇数点”和“偶数点”两种情况,但它们不是基 本事件,而是各由3个基本事件组成的一个复杂事件.
察它是否发芽,这个试验的结果只有“发芽”
和“不发芽”两种,但这两种结果出现的可能 性一般不是均等的,所以该试验不是古典概型.
【即时练】
1.判断下列试验是不是古典概型,并说明理由. (1)从6名同学中任选4人,参加数学竞赛. (2)近三天中有一天降雨的概率. (3)从10人中任选两人表演节目.
【解析】(1)(3)为古典概型,因为它们符合古
(3)画树状图:
①由树状图可知这个试验的所有的基本事件有 (正,正,正),(正,
正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,
反,正),(反,反,反).
②由①知基本事件的总数为8.
③“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件:(正,正, 反),(正,反,正),(反,正,正).
设事件A为“两数之和等于7”,则事件A包含 (2,5),(3,4),(4,3),(5,2)共4个基本事件. 答案:4
(3)连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币
出现正面还是反面. ①写出这个试验的所有基本事件.
②求这个试验的所有基本事件的个数.
③“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪 几个基本事件?
3.题中,(正,正,反)和(正,反,正)是同一个基本事件吗?
(2)每个基本事件发生的可能性相同:在一次试验中,每个基本
事件发生的可能性都相同.例如,抛掷一枚质地均匀的骰子的试
验中,有六个基本事件,每个基本事件发生的可能性相同.
【微思考】 (1)基本事件能否包含多个试验结果? 提示:不能.因为试验的每一个可能结果对应一个基本 事件,故每个基本事件只含有一个试验结果. (2)判断一个事件是否是基本事件的关键是什么?
典概型的两个特征:有限性和等可能性,而(2) 不符合等可能性.
2.下面是古典概型的是
(
)
A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本 事件时 B.为求任意的一个正整数平方的个位数是1的
概率,将取出的正整数作为基本事件时
C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中 最短路线的概率 D.抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止
红),(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白).
(2)红色球次数多于白色球次数包含的基本事件数为 4.
古典概型
古典概型的定义：如果试验 A 满足 (1).试验的所有可能结果只有有限个,每次 试验只出现其中的一个结果； (2).各种结果出现的可能性相同。 则称这样的试验模型为等可能概率模型或古典 概率模型，简称等可能概型或古典概型。
3.下列试验:①从规格直径为40mm±0.5 mm的 产品中,任意抽一根,测量其直径d;②抛掷一 枚骰子,观察其出现的点数;③某人射击,中靶 或不中靶;④从装有大小和形状都相同的3个
黑球,4个白球的口袋中任取两个球,取到一个
黑球、一个白球的概率. 其中是古典概型的有________.
【自主解答】2选C.古典概型的基本事件是等可能事件,A中的 点数之和出现的概率不相等,故不正确;B中的基本事件数有无 数多个,与古典概型的基本事件的总数应有有限个不相符 ,故不 正确;C符合古典概型的要求;D中基本事件数不确定,不正确.
【解题探究】1.题中,摸出的两个小球有先后顺序吗?我们 可以用什么方法区分这些小球?
(1)分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸 出两个球,有如下基本事件(如摸到1,2号球用(1,2)表示):(1, 2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4, 5). 因此,共有10个基本事件. 摸出的两个都是白球的基本事件有(1,2),(1,3),(2,3)3个. 答案:10 3
甲入选的概率为________.
【解析】(1)①先后抛掷均匀的壹分、贰分的硬币各一次出现 的结果有4种,即(正,正),(正,反),(反,正),(反,反).
②“一枚正面朝上,一枚反面朝上”的结果有两种,即(正,反), (反,正). ③出现“一枚正面朝上,一枚反面朝上”的概率为P= 2 1 .
4 2
【解析】选D.由基本事件的定义知,选项
A,B,C都是基本事件,D中包含取出标号为
1和7,3和5两个基本事件,所以D不是基本 事件.
【方法技巧】基本事件的两个探求方法 (1)列表法:将基本事件用表格的方式表示出来,通过 表格可以弄清基本事件的总数,以及要求的事件所包 含的基本事件数.列表法适用于较简单的试验的题目, 基本事件较多的试验不适合用列表法.
【解题探究】选取的两个数字与顺序有关吗? 试验所包含的基本事件的总数为多少?
解：从5个正整数中任意取出两个不同的数,有10 种取法,若取出的两数之和等于5,则有(1,4),(2,3),
共有2个,
2 1 所以取出的两数之和等于5的概率为 . 10 5
答案:
1 5
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
提示:判断一个事件是否是基本事件的关键是看它是
否能够再分,不能再分的事件才是基本事件.
【即时练】
袋中装有标号分别为1,3,5,7的四个相同的小
球,从中取出两个,下列事件不是基本事件的
是 A.取出的两球标号为3和7 B.取出的两球标号的和为4 C.取出的两球的标号都大于3
D.取出的两球的标号的和为8
(2)两个袋中,分别装有写着0,1,2,3,4,5六个数字的卡片,从 每个袋中各任取一张卡片 , 使两数之和等于 7 的基本事件有 ______个.
(2)从每个袋中任取一张卡片的情况如下: 0
0 1 2 3 4 5 (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)
1
(0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)
(2)树状图法:树状图法是使用树状的图形把基本事件
列举出来的一种方法,树状图法便于分析基本事件间
的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问
题的主要手段,树状图法适用于较复杂的试验的题目.
【题型示范】
(1)一个口袋内装有大小形状完全相同的5个
球,其中3个白球,2个黑球,从中一次摸出两个
球,则共有________个基本事件.事件“摸出 的两个都是白球”包括________个基本事件.
2
(0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)
3
(0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)