椭圆(2)
3.1.1椭圆的第二定义 课件【共35张PPT】
数学建构
2、
|PF1| a ex0 |PF2| a ex0
|PF1| a e y0 |PF2| a e y0
数学建构
3、
|AB| 2a e(x1 x2 ) |AB| 2a e(x1 x2 ) |AB| 2a e( y1 y2 ) |AB| 2a e( y1 y2 )
F
o
•
F
x
活动探究 类型三 例3、
椭圆第二定义的应用
思考：条件不变，求|PA|＋|PF|的 最小值。
y
P• P• •
•P
•
F
o
•
F
x
课堂检测
1、已知椭圆的短轴长是2，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆 的中心到准线的距离为________
课堂检测 2、
此处利用两点 间距离公式
课堂小结
e c (a c 0) a
d2 Q x
x 25 2
数学练习
1、已知椭圆x2＋2y2=4 上一点P到左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离 为________
数学练习
法一：
方法基础，但计算量太大，考验耐心。
数学练习
法二：画图分析，结合焦半径公式求解
活动探究 类型三 例3、
椭圆第二定义的应用
y
P• P• •
•P
Q Q
•
x2 b2
1(a
b
0)
(0， c)
x a2 /c
y a2 /c
e c (0 e 1) a
|PF1| a ex0 |PF2| a ex0
|PF1| a e y0 |PF2| a e y0
数学选修2-1~2.2(2)椭圆的标准方程
2 2
y M
F1
0
F2
x
y b
2 2
1(a b 0)
所以：b2=1.52-1.22=0.81 因此，这个椭圆的方程为：
x
2
根据题意:2a=3, 2c=2.4,
2.25
y
2
0.81
1
示例5、将圆 x 2 y 2 4 上的点的横坐标保 持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得 的曲线的方程，并说明它是什么曲线。
x
2
依定义知,点A 的轨迹为双曲线(除去顶点)方程为：
4
y
2
12
1 （ y≠0）
请同学们思考：
1.椭圆的两个焦点分别是F1(-8，0)和F2(8，0)，且 椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此椭圆 方程是_____________。 2.△ABC中，三边a、c、b成等差数列，且a>c>b， 若A（-1，0），B（1，0），则动点C的轨迹方程 为____________。 3. 椭圆 A.5
堂小结(1) 满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
(1)平面上----这是大前提; (2)动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是 常数 2a; (3)常数 2a 要大于焦距 2c;
MF1 MF2 2 a 2 c
4
椭圆的标准方程(1)
x a
2 2
y b
2 2
2 2
×
2
y b
2 2
1( a , b 0)的焦点坐标为
2
( a b , 0)
×
9
Ex3写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
高二数学椭圆的标准方程2
♦ 1求动点轨迹方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线 上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略， 直接列出曲线方程) （3）用坐标表示条件P（M），列出方程 f ( x, y) 0 （4）化方程 f ( x, y) 0 为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，可以 适当予以说明)
2 2
y + =1 m - 1 3- m
.
2
2
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范 围是 (1,2)
练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a= 6 ,b=1,焦点在x轴上; (2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5. (3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点； (4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 2 不同点：焦点在x轴的椭圆 x 项分母较大. 2 y 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.
练习：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a 2 , b 2 ，写出焦点坐标.
2
解：设｜PB｜＝r．
∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10． ∴两圆的圆心距｜PA｜＝10－r， 即｜PA｜＋｜PB｜＝10(大于｜AB｜)． ∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆． ∴2a＝10， 2c＝｜AB｜＝6， ∴ a＝ 5， c＝ 3． ∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．
x y ＝ 1． 即点P的轨迹方程为 25 16
椭圆第二定义是什么
椭圆第二定义是什么
---------------------------------------------------------------------- 椭圆的第二定义:平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）。
1、椭圆的第二定义：
平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数），其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=土a 2/c<焦点在X轴上>或者y=士a ~2/c<焦点在Y轴上>)。
2、参数方程：
x=acos 0 , y=bsin 0 。
求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解：
x=a×cos β , y=b×sin β a为长轴长的一半b为短轴长的一半。
椭圆的第一第二第三定义
椭圆的第一第二第三定义
椭圆的三个定义如下：
1. 椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a大于F1F2）的动点P的轨迹，即：PF1+PF2=2a，其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离F1F2=2c叫做椭圆的焦距。
这是椭圆的第一定义。
2. 椭圆是到定点F和到定直线距离之比等于常数e（即椭圆的离心率，e小于1）的动点的轨迹。
这是椭圆的第二定义。
3. 椭圆是到定点距离与到定直线距离之比等于常数e（即椭圆的离心率，e小于1）的动点的轨迹。
这是椭圆的第三定义。
椭圆的第二和第三定义是通过第一定义推导出来的。
可以查阅数学书籍了解更多有关椭圆定义的信息。
2.1.1椭圆及其标准方程(二)
临晋中学自主探究学案
2.1.1椭圆及其标准方程<二> 课时4 编号2
主编：李蕊 卫春红 审核：史淑荣
一、预习P 34-P 35完成下列问题：
1.求椭圆标准方程有定义法、待定系数法、相关点法、交轨法，请解析分别在什么条件下使用这些方法？
2.求椭圆的标准方程时，采用待定系数法，步骤是什么？
3.用相关点法求点的轨迹方程的基本步骤是什么？
4.由例2，你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
二、训练
1.一动圆与已知圆O 1 1)3(22=++y x 外切，与圆O 2 (x+3)2+y 2
=1内切，试求动圆圆心的轨迹方程
2.求中心在原点，对称轴在坐标轴上，且过点M(-2，3)和（1,23）的椭圆的标准方程
3.已知点M 在椭圆19
362
2=+y x 上，'MP 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为'P ，且M 为线段'PP 的中点，求点P 的轨迹方程。
椭圆第二定义公式
椭圆第二定义公式
椭圆第二定义公式：x2/a2+y2/b2=1
椭圆是一种常见的曲线，在几何学中，它可以用第二定义公式来描述：x2/a2+y2/b2=1。
这个公式表明，椭圆是一种满足特定约束条件的曲线，其中a和b是椭圆的长短轴，它们决定椭圆的形状，当a=b时，椭圆就会变成一个圆。
椭圆的应用非常广泛，它们可以用来描述太阳系中行星的运行轨迹，也可以用来描述光的反射和折射的原理。
椭圆也可以用来描述球体的曲率，并应用于空间曲率的研究，例如黑洞研究等。
此外，椭圆也被用于机器人学中，用于计算机控制的精准操作，如臂机的移动等。
椭圆的计算方法也很实用，它可以用来计算曲线的长度，其比较精确，并可以精确的拟合曲线。
总之，椭圆第二定义公式：x2/a2+y2/b2=1可以用来描述椭圆的形状，并用于许多不同领域的应用，它也是几何学和机器人学的重要部分。
椭圆第二椭圆第二定义教学设计
. . . ....椭圆第二定义教学设计养正中学刘华湘背景分析：本节课是在学生学习完了椭圆定义及其标准方程、椭圆简单几何性质的基础上进行的；是对椭圆性质（离心率）在应用上的进一步认识；着重引出椭圆的第二定义、焦半径公式和准线方程，掌握椭圆定义的应用。
教学中力求以教师为主导，以学生为主体，充分结合多媒体技术，以“形”为诱导，以椭圆的二个定义为载体，以培养学生的思维能力、探究能力、归纳抽象能力以及等价转化思想为重点的教学思想.教材的地位和作用：圆锥曲线是解析几何的重要内容，而椭圆又是学生遇到的第一种圆锥曲线；能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。
而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，从图形和第一定义来看椭圆与圆比较接近，从而对于学生来说学习完圆后再学习椭圆比较容易接受；而椭圆的第二定义即“到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹”，正好可以把椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线有机地统一起来，使学生对圆锥曲线有个整体知识体系，所以说这个定义在整章起到了一种“纽带”的作用.学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.教学目标知识目标：椭圆第二定义、准线方程；能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2了解离心率的几何意义；3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 教学难点：椭圆的第二定义的运用；教学方法：创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结. 教学过程 复习回顾1．椭圆81922=+y x 的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为26，离心率为322，焦点坐标为)26,0(±，顶点坐标为)9,0(±)0,3(±，（准线方程为4227±=y ）. 2．短轴长为8，离心率为53的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 20 . 引入课题【习题4（教材P96）】椭圆的方程为1162522=+y x ，M 1，M 2为椭圆上的点① 求点M 1（4，2.4）到焦点F （3，0）的距离 2.6 .② 若点M 2为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？解：202)34(||y MF +-=且116254202=+y 代入消去20y 得51325169||==MF【推广】你能否将椭圆12222=+by a x 上任一点),(y x M 到焦点)0)(0,(>c c F 的距离表示成点M 横坐标x 的函数吗？解：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1)(||222222b y ax y c x MF 代入消去2y 得2222222)(2||a x a c x a b b c cx x MF -=-++-=||||||22ca x e c a x a c a x a c -=-=-= 问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）椭圆上的点M 到右焦点)0,(c F 的距离与它到定直线c a x 2=的距离的比等于离心率ac 问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）动点M 到定点)0,(c F 的距离与它到定直线ca x 2=的距离的比等于常数)(c a a c >的点的轨迹是椭圆．【引出课题】椭圆的第二定义当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ac e 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．对于椭圆12222=+by a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F -'的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+bx a y 的准线方程是c a y 2±=．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．由椭圆的第二定义e dMF =∴||可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -=-==||||2右；左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +=--==|)(|||2左典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；解：由题意可知右焦点)0,(c F 右准线c a x 2=；左焦点)0,(c F -和左准线ca x 2-=变式：求椭圆81922=+y x 方程的准线方程；解：椭圆可化为标准方程为：198122=+x y ，故其准线方程为42272±=±=c a y小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出例2、椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是5.2，求M 到左焦点的距离为 .变式：求M 到右焦点的距离为 .解：记椭圆的左右焦点分别为21,F F 到左右准线的距离分别为21,d d 由椭圆的第二定义可知：e d MF =||53||11===a c e d MF 5.15.253||11=⨯==∴ed MF 5.1||1=∴MF 又由椭的第一定义可知：5.8||102||||221=∴==+MF a MF MF另解：点M 到左准线的距离是 2.5，所以点M 到右准线的距离为685253505.222=-=-c a 5.868553||||2222=⨯==∴=ed MF e d MF小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用例1、 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹；解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则21|8|)2(22=-+-x y x 由化简得1121622=+y x ，故所的轨迹是椭圆。
椭圆的第二定义和第三定义
椭圆的第二定义和第三定义
平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）。
椭圆的相关定义
椭圆是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于
|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。
其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。
第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a （2a≥｜F1F2｜）的动点P的轨迹叫做椭圆。
即：其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离｜F1F2｜=2c≤2a叫做椭圆的焦距。
P为椭圆的动点。
第二定义：椭圆平面内到定点F（c，0）的距离和到定直线l：x=a²/c（F不在l上）的距离之比为常数从C/A,（即离心率，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。
第三定义：平面内的动点到两定点A1(a，0)、A2(-a，0)的斜率乘积，等于常数 e²-1的点的轨迹，叫做椭圆或双曲线，其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点；当常数大于-1小于0时为椭圆；当常数大于0时为双曲线。
椭圆的面积公式。
椭圆第二定义及其应用
椭圆第二定义及其应用在新课标课本(人教A 版)《椭圆》中，有这样一道例题“例6 点),(y x M 与定点)0,4(F 的距离和它到直线425:=x l 的距离的比是常数54，求点M 的轨迹”。
我们知道，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆，如果对这道例题进行推广，就得到椭圆的第二定义（比值定义）.定义：平面内与一个定点F 的距离和一条定直线的距离之比为常数)10(<<e e 的点的轨迹是椭圆. 定点F 称为椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率.椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简,下面举例如下: 一、求距离［例1］椭圆的方程为16410022=+y x 上有一点P ，它到椭圆的左准线的距离等于10，求点P 到它的右焦点的距离.解：∵64,10022==b a ，∴66410022=-=-=b ac ，∴a c e ==53106= 依椭圆第二定义，设P 点到椭圆左焦点的距离为d ，则5310=d ,∴6=d ∴点P 到椭圆右焦点距离为2×10－6=14评述：椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简，熟练掌握椭圆第二定义灵活地将它应用到解题当中，是我们在学习中的重要训练对象.二、求最值［例2］已知定点A （－2，3），点F 为椭圆1121622=+y x 的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，求|MA |+2|FM |的最小值，并求出此时点M 的坐标.分析：设M （x ,y ），则有⎪⎩⎪⎨⎧=++-+-++=+11216)2(2)3()2(2222222y x y x y x FM MA 由①可将y 用x 表示出来，将其代入②，则式子|MA |+2|FM |可转化成一个关于x 的一元函数，再求其最小值.以上解法，思路可行，计算量却很繁琐，不妨换一种思考方法.解：∵a =4,b =23,c =2∴e =21 右焦点F （2，0），右准线方程l :x =8设点M 到右准线l 的距离为d ，则21==e dFM 得2|MF |=d ∴|MA |+2|MF |=|MA |+d由于点A 在椭圆内，过A 作A K ⊥l ，K 为垂足，易证|A K|为|MA |+d 的最小值，其值为8+2=10∵M 点的纵坐标为3，得横坐标为23① ②∴|MA |+|2MF |的最小值为10，点M 的坐标为（23，3）评述：（1）以上解法就是椭圆第二定义的巧用，将问题转化成点到直线的距离去求，就可以使题目变得简单易解了.（2）一般地，如果遇到一个定点到定直线问题应联想到椭圆第二定义. 三、推导公式［例3］设P （x 0,y 0）是离心率为e 的椭圆，方程为12222=+by a x 上的一点，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为1r 和2r .求证：0201,ex a r ex a r -=+=证明：由椭圆第二定义，得e ca x PF =+201∴|PF 1|=e ca x 20+=e )(20c a x +,∴|PF 1|=0ex a +又e cax PF =-202,∴|PF 2|=e ca x 20-=e )(20c a x -, ∴|PF 2|=0ex a -，综上所述0201,ex a r ex a r -=+= 注意：|PF 1|=0ex a +,|PF 2|=0ex a -，称为(00,y x )点椭圆的焦半径，焦半径公式在解题中的作用应引起我们广大师生的注意.［例4］已知椭圆1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为30°的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长. 解法一：∵a =3,b =1,c =22,∴F (－22,0)∴直线方程为y =)22(31+x 与1922=+y x 联立消元，得4x 2+122x +15=0 ①设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)则依韦达定理，得x 1+x 2=－32,x 1x 2=415∴|AB |=21221214)(32311x x x x x x -+=-+,∴|AB |=2解法二：由于所求线段AB 是椭圆的“焦点弦”，故也可用“焦半径”公式计算：|AB |=|AF |+|BF |=2a +e (x 1+x 2)=2评述：一般地，遇到点到椭圆焦点的距离问题，可采用“焦半径”公式处理.。