互斥和互不相容的区别
3.4.1互斥事件
例2 一个盒内放有10个大小相同的小球，其中有 7 个红球，2个绿球，1个黄球，从中任取一个球。 求： （1）得到红球的概率； （2）得到绿球的概率； （3）得到红球或者绿球的概率。
解：设从中任去一个球，摸到红球为事件A， 摸到绿球为事件B，则摸到红球或者绿球为 事件A+B 则 P(A) =
7 10
那么事件A1＋A2＋…＋An发生（即A1，A2，…， An中有一个发生）的概率，等于这n个事件分 别发生的概率的和，即 P（A1＋A2＋…＋An) = P(A1)+P(A2)+…+P(An)
2、对立事件
（1）概念：如果A与B是互斥事件，且在一次试 验中A与B必有一个发生，则称它们为对立事件， 事件A的对立事件记为 A
（2）对立事件与互斥事件有 什么不同的呢？
对立事件是相对于两个互斥事件来说的，在一次试验中， 不可能同时发生的事件是互斥事件，两个互斥事件可能发 生一个，也可能都不发生，而对立事件则必须有一个发生， 但不可能同时发生，所以两个事件互斥，不一定对立，反 之，两个事件对立，它们一定互斥。 总之，它们的共同点是：不可能同时发生；异同点是： 对立一定互斥，互斥不一定对立。
讲授新课
• 1、互斥事件
（1）概念：如果事件A和事件B不可能同时发生 （即事件A发生，事件B不发生，事件B发生，事 件A不发生），那么称事件A与B为互斥事件，互 斥事件也叫做互不相容事件。 例如：上述例题中的事件A、B、C、D其中任意 两个都是互斥的。
互斥事件有什么性质？
• (1)如果两个事件A与B互斥，那么由A，B 所包含的结果所组成的集合的交集是空集； • （2）如果事件A，B是互斥事件，那么在 事件讨论的全过程中，A与B同时发生的机 会一次都没有，即A与B发生与否有三种可 能：A发生，B不发生；A不发生，B发生； A,B都不发生。
3.2.3互斥事件(优质课)
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第三章 §2 2.3
第4页
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[答一答] 2．怎样正确理解互斥事件与对立事件？
提示：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们 两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可 能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个 对立事件必有一个要发生，但是不可能两个事件同时发生，也不 可能两个事件同时不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立； 反之两个事件对立，它们一定互斥．
（5,6）（5,7）（5,8）（5,9）
6 （6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5） （6,7）（6,8）（6,9） 7 （7,1）（7,2）（7,3）（7,4）（7,5）（7,6） （7,8）（7,9）
8 （8,1）（8,2）（8,3）（8,4）（8,5）（8,6）（8,7） （8,9）
提示：并(和)事件具有三层意思：(1)事件 A 发生，事件 B 不发生；(2)事件 A 不发生，事件 B 发生；(3)事件 A，B 同时发 生．即事件 A，B 中至少有一个发生．
与集合的并集的性质 A∪B＝B∪A 类似，事件 A 与事件 B 的并(和)事件等于事件 B 与事件 A 的并(和)事件，即 A∪B＝B∪ A.
规律方法 互斥事件和对立事件的判断方法 (1)判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验 中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件， 若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件． (2)判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这 两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有 一个发生．如果这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事 件，只要有一个条件不成立，这两个事件就不是对立事件． 事实上，解决此类问题的关键是明晰“恰”“至少”“至 多”“都”等关键词．
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第1章
第一章 随机变量基础
1.1 概率基本术语 1.2 随机变量及其分布 1.3 随机变量函数及其分布 1.4 随机变量及其函数的数字特征 1.5 高斯随机变量
第一章 随机变量基础
第一章 随机变量基础
1.1.1 概率空间 1. 随机现象有两个主要特点： ① 个别试验的不确定性；
② 大量试验结果的统计规律性。 概率论和数理统计是描述和 研究随机现象统计规律性的数学学科， 它们研究大量随机现 象内在的统计规律、 建立随机现象的物理模型并预测随机现 象将要产生的结果。
第一章 随机变量基础
下面对一维实随机变量做简要说明。 (1) 样本ξk是样本空间上的点， 所对应的实数xk是某个 实数集R1上的点。 因此， 一维实随机变量X(ξ)就是从原样 本空间Ω到新空间R1的一种映射， 如图1-5所示。 (2) 随机变量X(ξ)总是对应一定的概率空间(Ω, F, P)。 为了书写简便， 没有特殊要求时不必每次写出随机变量X(ξ) 的概率空间(Ω, F, P)。 (3) 随机变量X(ξ)是关于ξ的单值实函数， 简写为X。 本书规定用大写英文字母X, Y, Z, …表示随机变量， 用 相应的小写字母x, y, z， …表示随机变量的可能取值， 用 R1表示一维实随机变量的值域。 简单地说， 随机变量实际上就是样本空间为一维实数域 R1其子集的概率空间。
推广到多个事件， 设A1, A2, …，AN为同一样本空间上 的一组事件， 若对任意的M(2≤M≤N)及任意M 个互不相同的
整数i1, i2, …， iM, 满足
P( Ai1 Ai2 AiM ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( AiM )
(1-10)
第一章 随机变量基础
3.
若事件A1, A2, …，AN两两互斥(互不相容)， 即i j ，
事件的关系和运算
A ,
A A,
A A,
A .
4. 事件的互不相容 (互斥)
若事件 A 、B 满足 A B AB .
则称事件 A与B互不相容.
实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . 互斥 “骰子出现1点”
, 推广 称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 和 事 件即
k 1
n
A1 , A2 , , An至 少 发 生 一 个 ;
称 Ak 为 可 列 个 事 件1 , A2 , 的 和 事 件即 A ,
k 1
A1 , A2 , 至 少 发 生 一 个 .
(k 1,2,) 是 的子集 .
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 ,
则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B
若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B.
二、随机试验和随机事件
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验. 1.试验在相同的条件下可以重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先 明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确切知道哪一个结果 会出现.
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等.
2. 随机现象
概率论复习知识点总结.ppt
y)
F( x,)
FY ( y)
lim F( x,
x
y) F ( ,源自y)第3章要点五、边缘分布律与联合分布律的关系
➢设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为 ➢P{X = xi，Y = yj} = pij，i，j = 1，2，…，则
pi • P{ X xi } pij , i 1,2, j 1
(a b) 2 (b a)2 12
θ
θ2
μ
σ2
第4章要点
四、协方差及相关系数 ➢定义式：Cov( X ,Y ) E[( X EX )(Y EY )]
XY
Cov( X ,Y ) (D( X ) 0, D(Y ) 0) D( X ) D(Y )
➢计算式： Cov( X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
A∪B发生A、B至少有一个发生
第1章要点
二、事件运算满足的定律 ➢事件的运算性质和集合的运算性质相同，设A，B，C为 事件，则有 ➢交换律：A B B A, AB BA ➢结合律：( A B) C A (B C), ( AB)C A(BC) ➢分配律：( A B)C ( AC) (BC),
P(A∪B) = P(A) + P(B)–P(AB)．
例1.4；作业: 一、4，11 ； 二、3，5，6
第1章要点
四、古典概型与几何概型 ➢古典概型概率计算公式：
P(
A
)
事件A中中所所有包样含本样点本的点个的数个数
k n
作业：三、6，8
第1章要点
五、条件概率与乘法公式 ➢若P(A)>0
➢
P(B A) P( AB) P( A)
➢贝叶斯公式：
P( Ai B)
人教B版必修3高中数学3.1.4《概率的加减公式》ppt同步课件
§3.1 事件与概率
§3.1.4 概率的加法公式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解事件的并(或和)的含义及记法． 2．理解互斥事件和对立事件的定义． 3．掌握判断两个事件互斥或对立的方法以及两者的区别 与联系． 4．会应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P( A )＝1－P(A)解 决实际问题.
规律技巧 利用概率加法公式求概率时，一定先判断所涉 及事件是否互斥.
变式训练2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概 率为0.16，在80～89分的概率为0.52，在70～79分的概率 0.12，在60～69分的概率为0.1，分别计算小明在数学考试中取 得80分以上的概率和小明及格的概率．
解 根据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事 件是互斥的，记B＝“考试成绩在90分以上”，C＝“考试成 绩在80～89分”，D＝“考试成绩在70～79分”，E＝“考试 成绩在60～69分”，根据互斥事件的概率加法公式，所求事件 的概率便可获解．
2．互斥事件、对立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且必有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断 设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B. ①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅； ②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅，且A∪B＝U(U为全 集)，即A＝∁UB或B＝∁UA； ③对互斥事件A与B的和A∪B，可理解为集合A∪B.
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是 不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导 致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生， 故B与E还是对立事件．
不相容关系的符号
不相容关系的符号摘要：一、前言二、不相容关系的概念1.定义2.重要性三、常见的不相容关系符号1.非此即彼关系2.同时存在关系3.互斥关系四、不相容关系符号的应用1.逻辑电路2.编程语言3.数学公式五、结论正文：在计算机科学、逻辑学以及数学等领域中，不相容关系符号是一种用于表示不同概念之间关系的符号。
本文将介绍不相容关系的概念，以及几种常见的不相容关系符号，并探讨它们在不同场景中的应用。
一、前言不相容关系是指在两个或多个概念之间存在某种程度的对立或排斥关系。
这种关系在计算机科学、逻辑学以及数学等领域中具有重要意义，因为它可以帮助我们理解各种概念之间的联系。
为了更好地描述这种关系，人们引入了不相容关系符号。
二、不相容关系的概念1.定义不相容关系是指在两个或多个概念之间存在某种程度的对立或排斥关系。
例如，生与死、真与假、开与关等概念之间就存在不相容关系。
2.重要性在计算机科学、逻辑学以及数学等领域中，不相容关系符号是一种用于表示不同概念之间关系的符号。
了解这些符号有助于我们更好地理解各种概念之间的联系，从而为解决问题提供有力的工具。
三、常见的不相容关系符号1.非此即彼关系非此即彼关系（也称为互补关系）是指两个概念中只有一个能够成立。
例如，生死、真假、开关等概念之间就存在非此即彼关系。
在逻辑电路中，非此即彼关系常用“或”门（OR）和“与”门（AND）来表示。
2.同时存在关系同时存在关系是指两个概念可以同时成立。
例如，男女、昼夜、离合等概念之间就存在同时存在关系。
在逻辑电路中，同时存在关系常用“异或”门（XOR）来表示。
3.互斥关系互斥关系是指两个概念不能同时成立。
例如，生死、真假、黑白天等概念之间就存在互斥关系。
在逻辑电路中，互斥关系常用“与非”门（NAND）和“或非”门（NOR）来表示。
四、不相容关系符号的应用1.逻辑电路逻辑电路是计算机科学和电子工程中的一个重要领域，它利用逻辑门实现逻辑运算。
在逻辑电路中，不相容关系符号被广泛应用于描述各种逻辑关系。
互斥与对立知识点总结
互斥与对立知识点总结I. 互斥与对立的基本概念1. 互斥的概念互斥是指两个或多个概念、事件、观点或属性不能同时存在或发生的关系。
在某种情况下，它们之间是相互排斥的，即一个存在时另一个就不存在，或者一个发生时另一个就不可能发生。
互斥关系可以在各种领域中见到，比如在数学中，两个事件A和B如果是互斥事件，那么它们不可能同时发生；在生活中，冬天和夏天是互斥的季节，它们不可能同时存在。
2. 对立的概念对立是指两个概念、事件、观点或属性在某些方面相互对立、相对矛盾或相互排斥的关系。
在对立关系中，一方的存在或发生与另一方的不存在或不发生是相对立的。
对立关系常常表现为两者在一定条件下只能选其一的关系，比如在生活中，黑白、善恶、正误等都是对立的概念。
II. 互斥与对立的特性1. 互斥的特性互斥关系表现为相互排斥、不可共存的特征。
在互斥关系中，一方的存在或发生会排斥另一方的存在或发生，二者是互不相容的。
在数学中，互斥事件的概念是指两个事件不能同时发生；在生活中，男性和女性是互斥的性别。
2. 对立的特性对立关系表现为相对矛盾、相互排斥的特征。
在对立关系中，一方的存在或发生与另一方的不存在或不发生是相对立的，它们在某些方面对立，互相排斥。
在生活中，善与恶、美与丑、真与假等都是对立的概念。
III. 互斥与对立的逻辑规律1. 互斥关系的逻辑规律在逻辑上，互斥关系表现为排中否命题，即两个命题不能同时成立的逻辑关系。
如果一个事件A发生，那么事件B就不可能发生；如果事件B发生，事件A也不可能发生。
在数学中，互斥事件的概率加在一起等于1，在概率论中有着重要的应用。
2. 对立关系的逻辑规律对立关系表现为互不可兼得的逻辑规律。
如果一个命题是真的，那么它的对立命题就是假的；如果一个命题是假的，那么它的对立命题就是真的。
在逻辑推理、论证和辩证法中，对立关系是非常重要的一种规律，它在求证和推理中起着重要的作用。
IV. 互斥与对立的实际应用1. 在科学研究中互斥与对立的思维方式在科学研究中有着广泛的应用。
概率论第一章第二节
A、B 互斥
A、B 对立
SA
B
AB
互斥
A B A S
A B S且AB 对立
21
事件的运算规律
交换律 A B B A, AB BA 结合律 A (B C ) (A B) C
A(BC ) (AB)C 分配律 A (B C ) (A B) (A C )
A(B C ) (AB) (AC )
例如，只包含两个样本点的样本空间
S {0, 1},
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模 型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型.
5
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的 总件数.
S
思考：何时 A B ？何时 A B A？
18
5. 互不相容(互斥) 若AB ，称事件A与B互不相容.
A S
B
即A与B不能同时发生.
AB “骰子出现1点”互斥
“骰子出现2点”
基本事件是两两互不相容的.
19
6. 逆事件（对立事件）
若 A B S且 AB ，则称 A与B互为逆事件，或对立 事件.
14
三、事件的关系与运算
设试验E, 样本空间S,
A, B, Ak (k 1, 2, )是S的子集.
BA
1. 包含
S
A B
A发生必导致B发生. A B
实例“长度不合格” 必然导致 “产品不合格”,
特别地：A B
A B且B A.
设A为任一事件，有
(1) A S， (2) A A，
(3) A B 又 B C A C.
投资项目多方案间的比较与选择
第三节 独立型方案的比选
【解】A、B、C三个方案的净现值都大于零，从自身的经济性来看都是 可行的，但由于资金有限制，因此三个方案不能同时实施，只能选择其 中一个或两个方案。
1) 列出所有不超过资金限额的组合方案。 2) 对每个组合方案中独立方案的现金流量进行叠加，作为组合方案的
现金流量，并将组合方案按投资额从小至大排列。 3) 按组合方案的现金流量计算各方案的净现值。 4) 净现值最大的方案为最优组合方案。
工程经济学
第一节 投资方案之间的关系
一、 互斥关系
互斥关系是指各投资方案之间互不相容、互相排斥，只能选择其一， 其余方案必须放弃。
•不具有可加性
二、 独立关系
独立关系是指各投资方案的现金流量是独立的，不具有相关性，采纳 任一方案不会影响对其他方案的选择，即某一方案的采用与否只同方案 本身的可行性有关，而与其他方案是否采纳没有关系。
第二节 互斥型方案的比选
【例5-6】据【例5-5】的资料，运用年费用比较法选择最优方案。 【解】计算A、B方案的等额年费用。
由于ACA＜ACB，因此方案A为最优方案。 在实际应用中，对于效益相似但难以估算的互斥方案进行比选时， 若方案寿命期相同，则任意选择其中的一种方法即可；若方案的寿命期 不同，则一般使用年费用法。
第三节 独立型方案的比选
独立型方案是指被比选的各投资方案现金流量是独立的，不具有相 关性。任何一个方案的采纳与否都不影响其他方案的采纳。
一、 无资源限制的情况
如果运行方案所需的资源足够多，则独立型方案的比选只需考虑各方 案自身的经济性，只要方案本身NPV≥0或IRR≥ic，方案就是可行的。
二、 有资源限制的情况
第二节 互斥型方案的比选
【解】计算各投资方案的净现值：
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互斥和互不相容的区别
互不相容又叫互斥，即两个事件不能同时发生，强调“同时发生”。
发生了A就不能发生B，发生了B就不能发生A。而相互独立即使两
个事件各自发生与否与另一个事件的发生与否没有关系;A和B独立
的意思就是，A发生和B发生没有关系，A发生不会影响B发生，A
和B也可能同时发生，不过A和B互不影响。
1、互斥事件定义中事件A与事件B不可能同时发生是指若事件
A发生，事件B就不发生或者事件B发生，事件A就不发生。如，粉
笔盒里有3支红粉笔，2支绿粉笔，1支黄粉笔,现从中任取1支，记
事件A为取得红粉笔，记事件B为取得绿粉笔，则A与B不能同时发
生，即A与B是互斥事件。
2、对立事件的定义中的事件A与B不能同时发生，且事件A与
B中“必有一个发生”是指事件A不发生，事件B就一定发生或者事
件A发生，事件B就不发生。如，投掷一枚硬币，事件A为正面向上，
事件B为反面向上，则事件A与事件B必有一个发生且只有一个发生。
所以，事件A与B是对立事件，但1中的事件A与B就不是对立事件，
因为事件A与B可能都不发生。事件A的对立事件通常记作A。
3、如果事件A与B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中恰有一
个发生)的概率，等于事件
A、B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，此公式可以
由特殊情形中的既是互斥事件又是等可能性事件推导得到。如果事件
A1、A2、..An彼此互斥，那么事件41+2+.*+An发生(即A1、A2、..An
中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即
P(A1+A2+..+An)=P(A1)+P(A2)+..+P(An)。