静定与超静定
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第十四章：超静定结构
Fl3 8EI
0
l3 2EI
X1
l3 3EI
X2
l2 2EI
X3
5Fl3 48EI
0
3l 2
l2
2l
Fl 2
2 EI
X1
2EI
X2
EI
X3
8EI
0
14
化简，得：
32l X1 12l X 2 36X 3 3Fl 0 24l X1 16l X 2 24X 3 5Fl 0 12l X1 4l X 2 16X 3 Fl 0
14
11
1 EI
1 2
l
l
2l 3
l3 3EI
1 ql 2 2
1F
1 EI
1 3
ql2 2
l
3l 4
ql4 8EI
M图
11X1 1F 0
l
M图
X1
1F
11
ql4
8EI l3
3 ql （方向向上） 8
3EI
14
例2：解图示超静定问题。
多余约束可以是结构外部的（多余支撑条 件），也可以是结构内部的。
14
2.内部约束
多余内部约束的实例：
ab
静定
二次超静定
三次超静定 14
具有多余内部约束的结构的特点：平衡 方程可以求出所有反力，但不能求出所有内 力。
一个超静定结构，去掉 n 个约束后成为 静定结构，则原结构为 n 次超静定结构。
材料力学-简单的超静定问题
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§6-2 拉压超静定问题
拉压变形时的胡克定律 l FN l EA
综合考虑变形的协调条件、虎克定律和静力 学平衡条件求解拉压超静定问题。
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例 已知1、2杆抗拉刚度为E1A1, 3杆抗拉刚度为E3A3， F的大小已知，求各杆内力。
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2
l
A
A*
l3
FN 3l E3 A3
9
4、联解方程
FN1
2 cos
F
E 3 A3
E 1 A1 c o s 2
FN 3
1
2
F E 1 A1
cos3
E 3 A3
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装配应力的计算：超静定结构中由于加工误 差， 装配产生的应力。
平衡方程：
FN1 FN2
F N 3(F N 1F N 2)cos
超静定问题：若未知力的个数多于独立的平
衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定
全部未知力，这类问题为超静定问题。相应结
构称为超静定结构。
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超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之 差，也等于多余约束数。
多余约束：在结构上加上的一个或几个约束， 对于维持平衡来说是不必要的约束称多余约束。 对应的约束力称多余约束反力。
由于超静定结构能有效降低结构的内力及变 形，在工程上应用非常广泛。
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基本静定系：解除多余约束代之于未知力后的 结构。
●超静定问题的解法：综合考虑变形的几何相 容条件、物理关系和静力学平衡条件。
6-简单超静定问题
4、补充方程
FN 1l FN 3l cos EA cos EA FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
FN 3
F 1 2 cos 3
目 录
二、装配应力
构件的加工误差是难以避免的。对静定结构，加工误 差只是引起结构几何形状的微小变化，而不会在构件内引 起应力。但对静不定结构，加工误差就要在构件内引起应 力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。 装配应力是结构构件在载荷作用之前已具有的应力， 因而是一种初应力。
超静定结构中才有温度应力。
目 录
解题思路： 平衡方程:RA = RB 变形几何关系: 物理关系:
(t 时)
lT lF
lT l t
RB L
RB l lF EA
EA Lt
补充方程:
联立求解: RA RB EAt
EAt t Et A
目 录
一静定问题及超静定问题三基本静定系或相当系统是一个静定结构该结构上作用有荷载和多余约束力61超静定问题及其解法61超静定问题及其解法二多余约束及多余约束力在静定结构的基础上增加的约束
第六章
简单的超静定问题
§6–1 概述
§6–2 §6–3 §6–4 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
目的与要求：
M
max
WZ
32 M
d
max 3
76.4MPa
目 录
例题
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构， 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 D 次超静定。
FN 1l FN 3l cos EA cos EA FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
FN 3
F 1 2 cos 3
目 录
二、装配应力
构件的加工误差是难以避免的。对静定结构，加工误 差只是引起结构几何形状的微小变化，而不会在构件内引 起应力。但对静不定结构，加工误差就要在构件内引起应 力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。 装配应力是结构构件在载荷作用之前已具有的应力， 因而是一种初应力。
超静定结构中才有温度应力。
目 录
解题思路： 平衡方程:RA = RB 变形几何关系: 物理关系:
(t 时)
lT lF
lT l t
RB L
RB l lF EA
EA Lt
补充方程:
联立求解: RA RB EAt
EAt t Et A
目 录
一静定问题及超静定问题三基本静定系或相当系统是一个静定结构该结构上作用有荷载和多余约束力61超静定问题及其解法61超静定问题及其解法二多余约束及多余约束力在静定结构的基础上增加的约束
第六章
简单的超静定问题
§6–1 概述
§6–2 §6–3 §6–4 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
目的与要求：
M
max
WZ
32 M
d
max 3
76.4MPa
目 录
例题
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构， 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 D 次超静定。
超静定
l A
1)解除B端约束,建立相当系统 解除B端约束, 2)由正则方程 d11 X 1 + D 1P = 0 3)求系数和常数项
4l 4l 3 d11 = 3EI D 1F - Fl 3 = 2 EI
F X1
F
l 1
4)带入正则方程求解 3 X1 = F 8 4)做弯矩图
M = M 1 ?X 1 MF
例1, 试求图示梁的约束反力,设EI为常数. 试求图示梁的约束反力, EI为常数 为常数.
q A l B
1)解除B端约束,建立相当系统 解除B端约束, 2)由正则方程 d11 X 1 + D 1P = 0 3)求系数和常数项
骣 1 骣 鼢2 1 l3 珑l l = d11 = 珑 l鼢 桫 桫 EI 珑 鼢3 2 3EI D 1F
二,正则方程的建立
1,一次超静定问题的正则方程 力法求解静不定问题的关键——建立正则方程. 力法求解静不定问题的关键——建立正则方程.下 建立正则方程 面通过一例说明建立正则方程的步骤. 面通过一例说明建立正则方程的步骤. 图为车削工件安有尾顶针的简化模型. 图为车削工件安有尾顶针的简化模型.
力法求解过程如下: 力法求解过程如下:
第二节
用力法解超静定结构
一,力法
力法——以多余约束力为基本未知量 力法——以多余约束力为基本未知量,将变形或位移表 为基本未知量, 示为未知力的函数,通过变形协调条件作为补充方程求 示为未知力的函数, 来解未知约束力,这种方法称为力法 又叫柔度法 力法, 柔度法. 来解未知约束力,这种方法称为力法,又叫柔度法. 力法的基本思路: 力法的基本思路: 1,结构静定化 2,在未知力处 3,变形条件 4,正则方程 解除多余约束 建立 借助莫尔积分 解线性方程 静定基与相当系统 变形协调条件 补充方程(正则方程) 补充方程(正则方程) 未知力
简单的超静定问题
补充方程 AD杆的轴力
列出独立的平衡方程 超静定结构的求解方法 变形几何关系 物理关系 补充方程 联立平衡方程与补充方程
1、列出独立的平衡方程
超静定结构的求解方法
2、变形几何关系
3、物理关系
变形几何相容方程（补充方程）
4、联立独立的平衡方程与补充方程，求解方程组
解除多余支座约束
基本静定系（相当系统）
超静定梁
多余支反力
解:
故为一次超静定问题。
1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一个独立的静力平衡方程
MA
MB
位移相容条件 扭转角的绝对值相等。 2. 设固定端B为“多余”约束。解除“多余”约束B，代之一“多余”未知力偶矩MB，得到相当系统。
3. 补充方程 4. 求解 MA MB
5. 杆的AC段横截面上的扭矩为
从而有 (a) 扭转角大小为 扭转角转向与Me一致
§7-4 简单超静定梁
例7-4-1 试求图示系统的支反力。
=
L
q
MA
B
A
q
L
FB
A
B
q
L
A
B
x
or
2. 变形协调方程
+
q
L
FB
A
B
=
FB
A
B
q
A
B
3. 物理方程
解：
1. 解除多余约束，代以支反力，建立基本静定系。
+
q
L
FB
A
B
=
FB
A
B
q
A
B
4. 补充方程
5. 求解其它问题（反力、应力、变形等）
例7-4-2 试求图示等截面连续梁的约束反力，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度为
超静定结构
l
A
B
l
q
D
2 ）建立正则方程 1 (δ 11 + ) X 1 + ∆1P = 0 C
3 ）求解 2 1 2 2l 3 δ11 = ( × l × l × × l) = EI 2 3 3EI 1 1 ql 2 2l 1 ql 2 3l ∆ 1P = − ( ×l × × + ×l × × ) EI 2 2 3 3 2 4 ∆ 1P 7 ql 4 7 ql =− X1 = − = (↑ ) 1 24 EI 24 δ11 + C 2 ）据平衡条件，求得
ql 2 M C = M × X1 = 7
0 C
q
A
ql 2 7
X1
MP
ql 2 2
M
5ql 2 14
M A = M × X 1 − M PA
0 A
5 ql 2 =− 14
例14 − 2 − 4 画图示刚架的内力图。
q
D
q
C
X2
解：利用对称性，从CD中间
X1
EI
D K
剖开，由于结构对称，载荷 对称，故只有对称内力， 所以，X 3 = 0。
δ11
求得 X 1 后，则可解出相当系统所有内力、位移，此相当系统的解 即为原系统的解。
三、n次静不定的正则方程
可将上述思想推广到n次静不定系统，如解除n个多余约束后的未知多余 约束力为 X j ( j = 1,2,..., n ) 它们将引起 X i 作用点的相应的位移为 ∑ ∆ ij ,而原系统由 x j ( j = 1, K n) j =1 与外载荷共同作用对此位移限制为零（或已知），故有
P A C D n O B P (b) P A
简单超静定问题
简单超静定问题17内容Chap.6 简单超静定问题 1. 超静定问题及其解法2.拉压超静定问题3.扭转超静定问题 4.简单超静定梁要求了解超静定问题及其解法§6.1 超静定问题及其解法一. 静定超静定概念 1. 静定问题――仅用静力平衡方程就能求出全部未知力，这类问题称为静定问题. statically determinate problem 特点：未知力的数目等于静力学平衡方程的数目。
2. 超静定问题――仅用静力平衡方程不能求出全部未知力。
又称静不定问题。
statically indeterminate problem 特点：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。
BC1 ααA2F y FN1 α αA未知力数目：2 ( FN1 , FN2 ) 静力平衡方程数目：2 ( ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 ) 静定结构，--------静定问题仅用静力平衡方程便能求解全部未知量。
FN2 xFN1FN2 FN3FN4FF未知力：4个平衡方程：2个超静定结构，超静定问题。
需要补充 2 个方程。
3. 超静定次数degree of statical indeterminancy 未知力数目与平衡方程数目之差。
也是需要补充的方程数目。
FN1FN2 F N3FN4FF未知力：4个平衡方程：2个超静定次数= 4-2 = 2 此结构可称为2次超静定结构4. 多余约束redundant restraint ------结构保持静定所需约束之外的约束。
即没有这部分约束结构也能保持一定的几何形状(静定)。
BC D B DBAAAFFF5. 多余未知力forceredundant unknown多余约束提供的约束力。
超静定次数= 多余未知力数目判断超静定次数：方法1: 多余未知力数目方法2:未知力数目-平衡方程数目二. 超静定问题的解法：1. 判断超静定次数：未知力数目-平衡方程数目2. 列平衡方程：静力平衡关系 3. 列几何方程：反映各杆变形之间的关系，需要具体问题具体分析。
超静定结构的位移计算
建筑力学
谢谢观看！
最后需要说明的是，在计算超静定结构的过 程中，经过的计算步骤和数学运算较多，比较容 易发生错误。为保证最后结果的正确性，校核工 作是十分重要的。最后内力图的校核，应从平衡 条件和变形条件两个方面进行：
正确的内力图首先要满足平衡条件。平衡条 件的校核 出结构的一部分都应满足平衡条件。
建筑力学
超静定结构的位移 计算
超静定结构的位移计算
超静定结构的位移计算和静定结构的位移计 算方法相同，即采用单位荷载法。由力法计算可 知，当多余未知力解出后，静定的基本结构在多 余未知力和荷载共同作用下的内力和变形是与原 结构的受力与变形完全一致的。因此，超静定结 构的位移计算问题可以转化为基本结构的位移计 算问题，即静定结构的位移计算问题。
正确的内力图还应该满足变形条件。因为计算 超静定结构内力时，除平衡条件外，还应用了变形 条件。特别是在力法中，多余未知力是由变形条件 求得的，因此，校核工作应以变形条件为重点。校 核变形条件的一般作法是，任意选取基本结构，任 意选取一个多余未知力Xi，然后根据最后的内力图 算出沿Xi方向的位移△i，并检查△i是否与原结构 中的相应位移(给定值)相等。
(a)
【解】 1）用力法求解，作出最后弯矩图如
图（b）所示。
2) 选取悬臂刚架为基本结构，将单位力施加
在基本结构上，绘出
M
图如图（c）所示。
1
(b)M图(kN m)
(c) M1图
3）按图乘法求结构的位移。
由M图与
M
图相乘，可得
1
1
11
21
ΔDV
EI
(10 2
2 2
10 2 2
3
2
2
20 4 2
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简单的说静定结构就是没有多余的联系（或称约束）。
举个浅显但不一定严谨的例子，你在墙上固定一块木板，需要钉两个钉子（阻止木板落下或转动），这时可以认为是静定结构。
如果你在多钉几个钉子，那么这时就有多余的约束了，多几个钉子就多了几个约束，这就叫超静定结构，这时木板钉的更稳了。
可见超静定结构比静定结构具有跟好的安全性，因为多余联系存在，即使其中一个或多个约束破坏，仍然不至失稳或破坏。
而静定结构，去掉一个约束，即宣告破坏。