高中数学《第三章 复数》(4个课时)章节学案 新人教A版选修12
第三章 复数
二．课标要求：复数的概念：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义。
复数的四则运算：①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
第一节 数系的扩充和复数的概念
学习目标：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义。
第一课时 复数的概念 一．归纳重点
1．复数的代数形式：形如 的数叫做复数，其中 叫做虚数单位。
复数的实部为 ，虚部为 。
2．虚数和纯虚数：对于),(R b a bi a z ∈+=，当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数。
3．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间关系如右图所示：
4．复数的相等：di c bi a +=+的充要条件为 。
二．典型例题
例1．实数m 取什么值时，复数i m m z )1(1-++=是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
例2．如果i y y x i y y x )12()32()1()(+++=-++，求实数y x ,的值。
三．延伸训练
1．下列四个命题中，真命题是（ ）
①1-的平方根只有一个i ；②i 是方程012=+x 的一个根；③i 2是一个无理数；④)(1R a ai ∈-是一个复数。
.A ①② .B ②③ .C ①④ .D ②④ 2．对于复数bi a +，下列结论正确的是（ ）
.A bi a a +⇔=0为纯虚数 .B bi a b +⇔=0为实数 .C 3,323)1(-==⇔+=-+b a i i b a .D 1-的平方等于i 3．复数i a a 2
34--与复数ai a 42
+相等，则实数a 的值为（ ）
.A 1 .B 1或4- .C 4- .D 0或4-
4．复数i 3
1
2+-的实部为 ，虚部为 。
5．下列数中，其中实数为 ，虚数为 ，纯虚数为 。
①72+；②e ；③i 7
2
；④0；⑤i ；⑥2i ；⑦3i ；⑧85+i ；⑨)31(-i ；⑩i -2。
6．若i i y x y x 217)5()23(-=-++，则实数=x ，=y 。
7．若0)4()3(=-+-+i x y x ，则则实数=x ，=y 。
8．实数m 取什么值时，复数0)3()65(22=-++-i m m m m 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
第二课时 复数的几何意义 一．归纳重点
1．复数集C 和复平面内所有点所成的集合是 对应的，即 ， 这是复数的一个几何意义。
二．典型例题
例1．已知复数i x x x )2(562-++-在复平面内对应的点在第三象限，求实数x 的范围。
例2．当m 为何值时，复数i m m m m )12()352(22--+--是纯虚数？
三．延伸训练
1．2i i +在复平面内表示的点在（ ）
.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限
2．若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数x 的值为（ ）
.A 1 .B 1- .C 1± .D 1-或2-
3．若复数)()1|(|)2(2R a i a a a ∈-+--不是纯虚数，则（ ）
.A 1-=a .B 1-≠a 或2≠a .C 1-≠a .D 2≠a
4．对于下列判断，其中正确的个数是（ ）
①若C z ∈，则02≥z ；②若C z z ∈21,，且021>-z z ，则21z z >；③若b a >，则i b i a +>+。
.A 1 .B 2 .C 3 .D 0
5．实数m 取何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点（1）位于第四象限？ （2）位于第一、二象限？（3）位于直线x y =上？
6．在复平面内，O 是原点，向量OA 对应的复数是i +2，（1）如果点A 关于实轴的对应点为点B ，求向量
OB 对应的复数；（2）如果点B 关于虚轴的对应点为点C ，求点C 对应的复数。
第二节 复数代数形式的四则运算
学习目标：①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
第一课时 复数代数形式的加减运算及其几何意义 一．归纳重点
1．复数的加减法：=+±+)()(di c bi a 。
2．复数的乘法：=++))((di c bi a 。
3．共轭复数：当两个复数的 相等，虚部互为 时，这两个复数叫做共轭复数，虚部 的两个共轭复数叫做共轭虚数。
二．典型例题
例1．计算)43()2()65(i i i +---+-。
例2．设),(3,21R y x yi z yi x z ∈-=+=，且i z z 6521-=+，求21z z -。
例3．计算)2)(43)(21(i i i +-+-。
三．延伸训练
1．已知复数i z i z 31,2321-=+=，则复数21z z z -=在复平面内对应的点Z 位于复平面内的（ ）
.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限
2．直接写出下列式子的结果
（1）=-++)43()42(i i ；（2）=--++--)51()2(43i i i 。
（3）=+-)23(5i ；（4）=++--i i i 4)32()2( 。
3．计算：（1）)43)(43(i i -+；（2）2)1(i +；（3）)3)(67(i i --；（4）)32)(43(i i --+（5）2)1(i -； （6）)2)(43)(21(i i i ---+；（7）)23)(23(i i +-+；（8）)21)(2(i i i --。
第二课时 复数代数形式的乘除运算 一．归纳重点
1．复数的除法：di c bi
a di c bi a ++=
+÷+)()(= )0(≠+di c 。
2．常见的结论：（1）i i 2)1(2±=±；i i
i =-+11；
i i i
-=+-11；22))((b a bi a bi a +=-+。
（2）设i 23
21+-=ω，则i 2321--=ω；i 2
3212--=ω；1-=+ωω；1=⋅ωω；012=++ωω；13=n ω；ωω=+13n ；)(23Z n n ∈=+ωω。
二．典型例题
例1．计算：（1）)43()21(i i -÷+；（2）10
)11(i
i +-。
例2．计算：（1）i
i 31)31(5++-；（2）i i
i i 212)1()31(6
3++--++-。
三．延伸训练
1．4)1(i +等于（ ）
.A 4 .B 4- .C i 4 .D i 4-
2．计算100
)12(
i
i +的结果是（ ） .A i .B i - .C 1 .D 1-
3．
i
i
-+11等于（ ） .A i .B i - .C 1 .D 1-
4．6)1(i +等于（ ）
.A 4 .B 4- .C i 8 .D i 8-
5．复数i z i z -=+=1,321，则21z z ⋅在复平面内对应点位于（ ）
.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限
6．
=+-2
)
3(31i i 。
7．已知i a i
i 31)1(3
+=+-，则a = 。
8．已知i z i z 43,2121+=-=，求满足2
11
11z z z +=的复数z 。
9．已知32-i 是关于x 的方程022=++q px x 的一个根，求实数q p ,的值。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入复数代数形式的乘除运算学案含解析新人教A版选修1_2
高中数学学案：3.2.2 复数代数形式的乘除运算学习目标核心素养1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(重点、难点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点)3．了解共轭复数的概念．(难点)1．通过学习复数乘法的运算律，培养逻辑推理的素养．2．借助复数代数形式的乘除运算，提升数学运算的素养.1．复数代数形式的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3思考22[提示]不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1.2．共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋b i，则z＝a－b i.3．复数代数形式的除法法则(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i(c ＋d i ≠0)1．复数(3＋2i)i 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3iD ．2＋3iB [(3＋2i)i ＝3i ＋2i·i ＝－2＋3i ，选B.] 2．设z ＝3－i1＋2i ，则|z |＝( )A ．2B ． 3C ． 2D ．1C [由z ＝3－i 1＋2i ，得|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－i 1＋2i ＝|3－i||1＋2i|＝105＝ 2.故选C.]3．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝____________， y ＝________. －1 1 [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3x ，－y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.]复数代数形式的乘法运算是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(2)计算：①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； ②(3＋4i)(3－4i)； ③(1＋i)2.(1)B [z ＝(1－i)(a ＋i)＝(a ＋1)＋(1－a )i ，因为对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1 ，故选B.](2)解：①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i.②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25. ③(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.1．两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2(a ，b ∈R )； (2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )； (3)(1±i)2＝±2i.[跟进训练]1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)(2)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． (1)C (2)5 [(1)A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i ×2i ＝－2，不是纯虚数． B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数． C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数． D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数． 故选C.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ， 所以z 的实部是5.]复数代数形式的除法运算【例2】 (1)3＋i 1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i(2)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(1)D (2)A [(1)3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.(2)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i 5＝3＋5i.]1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i.[跟进训练]2．(1)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8.(1)B [由复数的几何意义知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 1z 2＝－2－ii ＝－1＋2i ，对应的点在第二象限．](2)解：法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 24＝⎝⎛⎭⎫2i －2i 4＝(－1)4＝1. 法二：因为1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i2＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＝i 8＝1.共轭复数及其应用1．若z ＝z ，则z 是什么数？这个性质有什么作用？ 提示：z ＝zz ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数．2．若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 是什么数？这个性质有什么作用？提示：z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数． 3．三个实数|z |，|z |，z ·z 具有怎样的关系？ 提示：设z ＝a ＋b i ， 则z ＝a －b i ，所以|z |＝a 2＋b 2，|z |＝a 2＋(－b )2＝a 2＋b 2，z ·z ＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2＋b 2， 所以|z |2＝|z |2＝z ·z .【例3】 (1)已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( )A ．14B ．12C ．1D ．2(2)已知复数z 满足|z |＝5，且(1－2i)z 是实数，求z .思路探究：可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解．(1)A [法一：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝－3i 2＋i (1－3i )2＝i (1－3i )(1－3i )2＝i 1－3i ＝i (1＋3i )4＝－34＋i4，∴z ＝－34－i4， ∴z ·z ＝14.法二：∵z ＝3＋i(1－3i )2，∴|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋i (1－3i )2＝|3＋i||(1－3i )2|＝24＝12， ∴z ·z ＝14.](2)解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1－2i)z ＝(1－2i)(a ＋b i)＝(a ＋2b )＋(b －2a )i. 又因为(1－2i)z 是实数，所以b －2a ＝0，即b ＝2a ，又|z |＝5，所以a 2＋b 2＝5. 解得a ＝±1，b ＝±2.所以z ＝1＋2i 或－1－2i ，所以z ＝1－2i 或－1＋2i ，即z ＝±(1－2i)．1．在题设(1)条件不变的情况下，求z z.[解] 由例题(1)的解析可知z ＝－34＋i 4，z ＝－34－i 4，z ·z ＝14，∴z z ＝z 2z z ＝⎝⎛⎭⎫－34＋i 4214＝12－32i. 2．把题设(2)的条件“(1－2i)z 是实数”换成“(1－2i)z 是纯虚数”，求z .[解] 设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，由例题(2)的解可知a ＝－2b ，由|z |＝a 2＋b 2＝5b 2＝5，得b ＝1，a ＝－2；或 b ＝－1，a ＝2.所以z ＝－2－i ，或z ＝2＋i.1．由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数．2．注意共轭复数的简单性质的运用．1．复数代数形式的乘法运算类似于多项式的乘法，同时注意i 2＝－1的应用. 2．复数代数形式的除法运算采用了分母实数化的思想，即应用z ·z ＝|z |2解题． 3．记住几个常用结论：(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )． (2)(1±i)2＝±2i. (3)若z ＝zz 是实数；若z ＋z ＝0，则z 是纯虚数；z ·z ＝|z |2＝|z |2.1．判断正误(1)实数不存在共轭复数． ( ) (2)两个共轭复数的差为纯虚数．( ) (3)若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为( ) A ．5B. 5C ．3D. 3A [z ·z ＝(2－i)(2＋i)＝22－i 2 ＝4＋1＝5.]3．若复数z 满足z (1＋i 5)＝2i 25(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．1 B ．2 C. 2D. 3C [因为z (1＋i 5)＝2i 25，所以z (1＋i)＝2i ，所以z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )2＝1＋i ，故|z |＝12＋12＝ 2.]4．已知复数z 1＝(－1＋i)(1＋b i)，z 2＝a ＋2i1－i ，其中a ，b ∈R .若z 1与z 2互为共轭复数，求a ，b 的值．[解] z 1＝(－1＋i)(1＋b i)＝－1－b i ＋i －b ＝(－b －1)＋(1－b )i, z 2＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a ＋a i ＋2i －22＝a －22＋a ＋22i.由于z 1和z 2互为共轭复数，所以有 ⎩⎨⎧a －22＝－b －1，a ＋22＝－(1－b )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念（第1课时）课堂探究 新人教A 版选修1-2 探究一 复数的分类判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．【典型例题1】当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数？思路分析：根据复数的分类标准→列出方程或不等式组→解出m →结论 解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数． (2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6m ＝0，m ≠0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．温馨提示 若给出的不是复数的标准形式，应先化成a ＋b i(a ，b ∈R )的标准形式，再根据相关概念答题．探究二 复数的有关概念1．复数写成代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )后，才能确定实部和虚部；2．对复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )而言，虚部为b ，而不是b i ；3．两个复数不全是实数，就不能比较大小．【典型例题2】下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②复数z ＝0的实部和虚部均为0；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是( )A ．①B ．②④C ．②③D ．③④解析：在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，则x 2－1＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0为实数，故③错误；②④正确．答案：B探究三 复数相等两个复数相等的充要条件是求复数及解相关方程或不等式的主要依据，是把复数问题实数化的桥梁．运用两复数相等的充要条件时，首先要把“＝”左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出方程(组)求解．【典型例题3】(1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值；(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值． 思路分析：先确定“＝”两边复数的实部和虚部，然后列方程组求解．解：(1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715. 点拨提示 (1)利用复数相等，我们可以把复数问题转化为实数问题来解决．(2)复系数方程有实根问题，实际上就是两个复数相等的问题．。
人教A版高中数学选修第三章复数的代数形式的乘除运算教案新
第二课时3.2.2 复数的代数形式的乘除运算教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算教学过程：一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2+⨯ （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
=，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子 例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算（第1课时）课堂探究 新人教A 版选修1-2探究一 复数的加减法运算对复数进行加减运算时，要先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行．【典型例题1】计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)；(2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．思路分析：根据复数的加减法法则．解：(1)原式＝(3－4－3)＋(－5i －i －4i)＝－4－10i.(2)原式＝(5－9＋3)＋(－7i ＋8i －2i)＝－1－i.温馨提示 进行复数加减运算时，把i 看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．探究二 复数加减运算的几何意义复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，类比加法的几何意义可知复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．【典型例题2】已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i.(1)求AO →表示的复数；(2)求CA →表示的复数；(3)求B 点对应的复数．思路分析：对于(1)，可由AO →＝－OA →求得；对于(2)，由CA →＝OA →－OC →求得；对于(3)，可先求出OB →的坐标，进而可知点B 的坐标．解：(1)∵AO →＝－OA →，∴AO →表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)∵OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.探究三 复数加减法的综合应用1．解决复数问题时，设出复数的代数形式z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，利用复数相等或模的概念，列方程求实、虚部可把复数问题实数化．2．利用复数加减运算及模的几何意义，应用数形结合的思想，可以直观简便地解决复数问题．【典型例题3】设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.思路分析：解答本题可利用“复数问题实数化”的思想或“数形结合”的思想求解． 解法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，由题设知：a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，∴2ac ＋2bd ＝0，∴|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－2ac －2bd ＝2，∴|z 1－z 2|＝ 2.解法二：由复数加减法的几何意义知：|z 1＋z 2|与|z 1－z 2|恰为以z 1，z 2为邻边的正方形的两条对角线长．故|z 1－z 2|＝|z 1＋z 2|＝ 2.温馨提示 掌握以下常用结论：在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB ：(1)为平行四边形；(2)若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；(3)若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；(4)若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．探究四 易错辨析易错点 向量的终点对应的复数与向量对应的复数混淆致错【典型例题4】已知A (1,0)，B (2,1)，C (－1,3)，且CD →＝AB →，求CD →及D 点对应的复数．错解：设CD →，AB →及点D 对应的复数分别为z 1，z 2和z 3.因为AB →＝(2,1)－(1,0)＝(1,1)，所以AB →对应的复数为z 2＝1＋i.又因为CD →＝AB →，所以CD →对应的复数为z 1＝1＋i ，即D 点对应的复数为z 3＝1＋i.错解辨析：错解中将D 点对应的复数与CD →对应的复数混为一谈，只有当向量的起点在坐标原点时，终点对应的复数才和向量对应的复数相等．正解：设点A ，B ，C ，D 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，z 4，所以z 1＝1，z 2＝2＋i ，z 3＝－1＋3i.所以AB →对应的复数为z 2－z 1＝1＋i.又AB →＝CD →，故CD →对应的复数为1＋i ，即z 4－z 3＝1＋i ，所以z 4＝1＋i ＋(－1＋3i)＝4i.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算（第2课时）课堂探究 新人教A 版选修1-2探究一 复数代数形式的乘除运算1．两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．2．在进行复数除法运算时，通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c －d i ，化简后就可得到上面的结果．【典型例题1】计算：(1)(1－i)2； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 思路分析：解答本题可根据相关的复数运算法则求解，但需注意符号的正负问题． 解：(1)(1－i)2＝1－2i ＋i 2＝－2i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＋34i ＋34i 2(1＋i) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋12i －34(1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝－32－32i ＋12i －12＝－1＋32＋1－32i. 探究二 共轭复数实部相等、虚部互为相反数的两个复数称为互为共轭复数，两个共轭复数的模相等．它们在复平面内对应的点关于x 轴对称．在复数的除法中，用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行化简，可以说共轭复数是分母实数化的基础，也是除法运算的基础．其中z ·z ＝|z |2＝|z |2是共轭复数的常用性质．【典型例题2】已知复数z 1＝(－1＋i)(1＋b i)，z 2＝a ＋2i1－i，其中a ，b ∈R .若z 1与z 2互为共轭复数，求a ，b 的值．思路分析：先利用复数的除法运算化简z 2，再利用z 1，z 2实部相等，虚部互为相反数列出关于a ，b 的方程组求解．解：z 1＝(－1＋i)(1＋b i)＝－1－b i ＋i －b＝(－b －1)＋(1－b )i ，z 2＝a ＋2i 1－i＝a ＋2i 1＋i1－i 1＋i＝a ＋a i ＋2i －22＝a －22＋a ＋22i ，由于z 1和z 2互为共轭复数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a －22＝－b －1，a ＋22＝－1－b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.探究三 虚数单位i 的幂的运算利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12±32i 3＝1，1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ，i 的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程． 【典型例题3】计算i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 017.思路分析：可利用等比数列求和公式化简或者利用i n的周期性化简． 解法一：原式＝i1－i 2 0171－i＝i[1－i 2 1 008·i]1－i＝i·1－i1－i＝i.解法二：∵i ＋i 2＋i 3＋i 4＝i －1－i ＋1＝0， ∴i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)．∴原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017＝i.探究四 易错辨析易错点 实数与复数范围混淆致错【典型例题4】已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实数根，求实数k 的值． 错解：因为方程有实数根，所以Δ＝(k ＋2i)2－4(2＋k i)≥0，解得k ≥23或k ≤－2 3. 错因分析：由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根． 正解：设x 0是方程的实数根，代入方程并整理， 得(x 02＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎨⎧x 0＝－2，k ＝2 2.所以k 的值为－22或2 2.反思 关于复系数一元二次方程有实数根的问题，一般是将实数根代入方程，用复数相等的充要条件来求解．。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算（第1课时）预习导航 新人教A 版选修1-21．复数的加、减法运算法则及运算律(1)复数的加、减法运算法则设复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.两个复数的和、差仍然是一个确定的复数．(2)复数加法满足的运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，满足交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1，结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．思考1 若复数z 1，z 2满足z 1－z 2＞0，能否认为z 1＞z 2?提示：不能．如2＋i －i ＞0，但2＋i 与i 不能比较大小．2．复数加法的几何意义如图，若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数，即复数的加法可以按照向量的加法来进行，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，这就是复数加法的几何意义．提醒：因为复数具有数与形的双重性，因此复数加法也应从数与形两个方面来领会．代数形式上，复数加法类似于多项式加法的合并同类项；几何形式上，复数加法类似于向量加法．3．复数减法的几何意义设OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )对应，且OZ 1→，OZ 2→不共线，则这两个复数的差z 1－z 2与向量OZ 1→－OZ 2→(即Z 2Z 1→)对应，这就是复数减法的几何意义．如图所示．这表明两个复数的差z 1－z 2(即OZ 1→－OZ 2→)与连接两个向量的终点Z 1，Z 2，且指向被减数的向量对应．思考2 从上图看，|z 1－z 2|的意义是什么？提示：表示点Z 1与Z 2之间的距离．。
高中数学人教A版选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引
3.2.2复数代数形式的乘除运算【课标转述】(1)能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
【学习目标】通过学习P58-P60页内容，掌握复数乘除运算法则；1、会计算简单的复数乘除运算；2、理解共轭复数的概念及简单的运算。
【学习流程】一、【复习引入】问题：复数加、减运算的法则和复数加法的几何意义；二、【自主学习】复数的乘法（个人看书完成）复数的乘法规定按照以下的法则进行：z1 z2 =(a+bi）（c+di）=_________________探究：复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律吗？（用z1，z2， z3∈C表示）三、【例题解析】（个人完成）例2、计算（1）(1-2i)(3+4i)(-2+i); （2） (1+i)2;例2小结（（2）的过程对比实数系中的公式）：例3、计算：（3+4i）（3-4i）由例3引出共轭复数的概念和记法：思考：若z1，z2是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？（2）z1*z2是一个怎样的数？探究：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探究复数除法的法则。
（指导：类比复数的加减法自学，可以小组讨论）写出计算过程：（a+bi）÷（c+di）=例4、计算(1+2i) ÷(3-4i)四、【练习反馈】：（个人完成，小组评改，课堂展示）1、课本P60页练习：1、2、3题补充：（1）(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi)（2）()()i i i i +-+-+1111552、zz z i 34z i 21及，求：）已知：（+=⋅+。
五、【课堂小结】：（从知识与方法，例题与练习方面总结）六、【拓展延伸】：已知2i-3是关于x 的方程2x 2+px+q=0的一个根，求实数p ，q 的值七、【课后作业】：P61 A 组4（3）（4）、5（1）（4）题。
高中数学 第三章3.1.2 复数的几何意义讲解与例题 新人教A版选修12
3.1.2 复数的几何意义问题导学一、复平面内的点与复数的关系活动与探究11．在复平面内，点A ，B 对应的复数分别是－3＋2i,1－4i ，则线段AB 的中点对应的复数是( )．A ．－2－2iB ．4－6iC ．－1－iD ．2－3i2．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点(1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)．迁移与应用1．复数z ＝－2i －1，则复数z 在复平面内对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．复数z ＝m －2－(4－m 2)i ，且复数z 在复平面内的点位于虚轴上，则m 的值为( )．A ．0B ．2C ．－2D ．±2确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解．二、复平面内复数与向量的对应关系活动与探究2 已知平面直角坐标系中，O 是原点，向量OA u u u r ，OB uuu r 对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA u u u r 对应的复数是( )．A ．－5＋5iB ．5－5iC ．5＋5iD ．－5－5i迁移与应用 在复平面内，复数i,1,4＋2i 对应的点分别为A ，B ，C ．求平行四边形ABCD 的D 点所对应的复数．根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．三、复数的模活动与探究3已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，复数z 的虚部为3，且|z |＝2．若复数z 在复平面内对应的点在第二象限，则复数z ＝__________．迁移与应用已知复数z ＝a ＋i(0＜a ＜2)，则|z |的取值范围是__________．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模为22z a b +＝．答案：课前·预习导学【预习导引】1．实轴 虚轴 纯虚数 2．Z (a ，b ) OZ uuu r预习交流1 (1)提示：不是．实轴上的点都是实数，但虚轴上的点不全是纯虚数，因为原点O 也在虚轴上，其为实数0，不是纯虚数．(2)提示：①在复平面中，复数z ＝a ＋b i(a ，b R )对应的点应该是Z (a ，b )，而不是(a ，b i)． ②复数z ＝a ＋b i 的对应向量OZ uuu r 是以原点O 为起点，否则就谈不上一一对应． ③我们常把复数z ＝a ＋b i(a ，b R )说成点Z 或说成向量OZ uuu r ，并且规定，相等的向量表示相等的复数．(3)四3．|z | |a ＋b i| a 2＋b 2预习交流2 B课堂·合作探究【问题导学】活动与探究 1．思路分析：根据复数z ＝a ＋b i(a ，b R )在复平面内的对应点为(a ，b )，求出A ，B 点坐标，再求A ，B 中点．C 解析：由已知A (－3,2)，B (1，－4)，∴AB 的中点为(－1，－1)，∴AB 中点对应复数为－1－i ．2．思路分析：根据复数与复平面内点的一一对应关系，依题设要求列出不等式求解即可．解：(1)要使点位于第四象限，需⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m <3或m >5，－7<m <4， ∴－7＜m ＜3．(2)要使点位于x 轴负半轴上，需⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3<m <5，m ＝－7或m ＝4， ∴m ＝4．(3)要使点位于上半平面(含实轴)，而m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7．迁移与应用 1．C 解析：复数z 在复平面内的对应点为(－1，－2)，该点位于第三象限．2．B 解析：当点在虚轴上时，实部m －2＝0，∴m ＝2．活动与探究2 思路分析：根据复数与平面向量，复数与复平面内的点一一对应，得到向量OA u u u r ，OB uuu r 的坐标，计算出向量BA u u u r 的坐标，再确定对应的复数． B 解析：由已知OA u u u r ＝(2，－3)，OB uuu r ＝(－3,2)，BA u u u r ＝OA u u u r －OB uuu r ＝(5，－5)， ∴BA u u u r 对应的复数为5－5i ．迁移与应用 解：方法1：由已知A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)，则AC 的中点坐标为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32． 由平行四边形的性质可知，E 也是BD 的中点．设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12＝2，y ＋02＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝3.即D (3,3)．∴D 点对应的复数为3＋3i ． 方法2：由已知可得：OA u u u r ＝(0,1)，OB uuu r ＝(1,0)，OC u u u r ＝(4,2)， ∴BA u u u r ＝(－1,1)，BC uuu r ＝(3,2)， ∴BD u u u r ＝BA u u u r ＋BC uuu r ＝(2,3)， ∴OD u u u r ＝OB uuu r ＋BD u u u r ＝(3,3)， ∴点D 对应的复数为3＋3i ．活动与探究3 思路分析：由|z |＝2，虚部为3，可解出a ，再利用点在第二象限，确定a 为负值，从而求出z ．－1＋3i 解析：由已知得⎩⎨⎧ b ＝3，a 2＋b 2＝4，∴⎩⎨⎧ a ＝±1，b ＝ 3.又∵复数z 对应的点在第二象限，∴a ＝－1，则z ＝－1＋3i ．迁移与应用 (1，5) 解析：|z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴1＜|z |＜5．当堂检测1．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A 解析：i(2－i)＝1＋2i ，其在复平面上的对应点为(1,2)，该点位于第一象限，故选A ．2．复平面内下列哪个点对应的复数是纯虚数( )．A ．(1,2)B ．(－3,0)C ．(0,0)D ．(0，－2)答案：D 解析：复平面内点(0，－2)对应的复数是－2i ，是纯虚数．3．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹为( )．A ．一个圆B ．线段C ．两点D ．两个圆答案：A 解析：∵|z |2－2|z |－3＝0，∴(|z |－3)(|z |＋1)＝0．∴|z |＝3．∴复数z 对应点的轨迹是一个圆．4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋i m 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为__________．答案：9 解析：与复数z 对应的点为(m －3,m ，由已知得m －3＝m m ＝9． 5．已知复平面内，AB u u u r 对应的复数为－1＋2i ，AC u u u r 对应的复数为－2－3i ，则BC uuu r 对应的复数为__________．答案：－1－5i 解析：由已知AB u u u r ＝(－1,2)，AC u u u r ＝(－2，－3)， ∴BC uuu r ＝AC u u u r －AB u u u r ＝(－1，－5)． ∴BC uuu r 对应的复数为－1－5i ．。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末归纳提升3 新人教A版选修12
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末归纳提升3 新人教A 版选修1-2复数的概念及分类复数是在实数的基础上扩充的，其虚数单位为i ，满足i 2＝－1，且i 同实数间可以进行加、减、乘、除法的运算，结合复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，a 、b 的条件可把复数分为：复数(z ＝a ＋b i ，a 、b ∈R )⎩⎨⎧实数b ＝0，虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.其中纯虚数中“b ≠0”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．12【思路点拨】 先将已知复数化为“a ＋b i”的形式，再由纯虚数定义求a . 【规范解答】 法一1＋a i2－i＝1＋a i 2＋i2－i2＋i＝2－a ＋2a ＋1i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2，故选A.法二1＋a i 2－i ＝i a －i2－i为纯虚数，所以a ＝2，故选A. 【答案】 A若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( )A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠2【解析】 a 2－a －2≠0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0|a －1|－1＝0，a ≠－1且a ≠2或a ＝2.综上可知，a ≠－1. 【答案】 C复数的四则运算复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i 2＝－1.在进行复数的运算时，要灵活利用i ，ω的性质，或适当变形创造条件，从而转化为关于i ，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活应用：(1)设ω＝－12±32i ，则ω2＝ω，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(n ∈N ＋)等．(2)(12±32i)3＝－1.(3)作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b i b －a i ＝a ＋b i i b －a i i ＝a ＋b i ia ＋b i＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＋z ＝( )A ．1－iB ．－2iC ．1＋iD ．－2【思路点拨】 先计算z 1＝z 2－2zz －1，再计算z 1＋z .【规范解答】 法一 z 2－2z z －1＝1－i 2－21－i 1－i －1＝－2i －2＋2i－i＝－2i－i·i＝－2i ， ∴z 2－2z z －1＋z ＝－2i ＋1＋i ＝1－i.故选A. 法二 z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i－i·i＝－2i. ∴z 2－2zz －1＋z ＝－2i ＋1＋i ＝1－i.故选A. 【答案】 A计算：(1)2＋2i 41－3i5；(2)－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 006.【解】 (1)2＋2i 41－3i5＝241＋i4－25－12＋32i 5＝－242i225－12＋32i 2＝2(－12＋32i)＝－1＋3i.(2)－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 006＝－23＋i i 1＋23i i ＋21 003－2i 1 003＝－23＋i i i －23－1i1 003 ＝i －1－i＝i －i ＝0.共轭复数与模除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：(1)|z |＝1⇔z ＝1z；(2)z ∈R ⇔z ＝z ；(3)z ≠0，z 为纯虚数⇔z ＝－z .设z 1、z 2∈C ，且|z 1|＝1，|z 2|≠1，求|z 1＋z 21＋z 1·z 2|的值．【思路点拨】 利复数模的性质：z ·z ＝|z |2进行化简． 【规范解答】 ∵|z 1|＝1， ∴|z 1|2＝z 1·z 1＝1.从而|z 1＋z 21＋z 1z 2|＝|z 1＋z 2z 1z 1＋z 2|＝|1z 1|＝1|z 1|＝1.已知z ∈C ，解方程z ·z －3i z ＝1＋3i. 【解】 ∵z ·z ＝|z |2，把方程变形为 z ＝－1＋1－|z |23i ，①两边取模得|z |2＝|z |2＝1＋1－|z |229.整理得|z |4－11|z |2＋10＝0. 解得|z |2＝1或|z |2＝10.将其代入①得z ＝－1或z ＝－1－3i. ∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.复数的几何意义1.运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．2．任何一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面内一点Z (a ，b )对应，而任一 点(a ，b )又可以与以原点为起点，点Z (a ，b )为终点的向量OZ →对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意|z |、|z －a |的几何意义——距离．3．复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则． 由减法的几何意义知|z －z 1|表示复平面上两点Z ，Z 1间的距离． 4．复数形式的基本轨迹(1)当|z －z 1|＝r 时，表示复数z 对应的点的轨迹是以z 1对应的点为圆心，半径为r 的圆；单位圆|z |＝1.(2)当|z －z 1|＝|z －z 2|时，表示以复数z 1、z 2的对应点为端点的线段的垂直平分线．已知复数z 1＝i(1－i)3，(1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值． 【思路点拨】 (1)利用模的定义求解；(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合．【规范解答】 (1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)， ∴|z 1|＝22＋－22＝2 2.(2)法一 |z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ， |z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝cos θ－22＋sin θ＋22＝9＋42sin θ－π4.当sin(θ－π4)＝1时，|z －z 1|取得最大值9＋42， 从而得到|z －z 1|的最大值22＋1.法二 |z |＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z 1对应坐标系中的点(2，－2)． ∴|z －z 1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，则|z －z 1|max ＝22＋1.已知等腰梯形OABC 的顶点A 、B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .【解】 设顶点C 对应的复数z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ， ∵OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， ∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－5y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3，y 2＝4.∵|OA |≠|BC |，∴x 2＝－3，y 2＝4(舍去)，故z ＝－5.复数问题实数化的思想复数的代数形式z ＝x －y i(x ，y ∈R )，从实部虚部来理解一个复数，把复数z 满足的条件转化为实数x ，y 应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题．已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .【思路点拨】 由x ，y 为共轭复数设出x ，y 代入条件等式，利用复数相等转化为实数方程组．【规范解答】 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i. 又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ， ∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.设存在复数z 同时满足下列两个条件： ①复数z 在复平面内的对应点位于第二象限； ②z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R )． 求a 的取值范围．【解】 设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，由①得x <0，y >0. 由②得x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ， 即x 2＋y 2－2y ＋2x i ＝8－a i ， 由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －12＝9，a ＝2x .∵x 2＋(y －1)2＝9表示以(0,1)为圆心，3为半径的圆，且x <0，∴－3≤x <0， ∴－6≤2x <0，即－6≤a <0， ∴a 的取值范围是[－6,0)．。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末高效整合 新人教A版选修12
第三章 复 数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析： z 1－z 2＝5－7i. 答案： D2．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位)，b 是实数，则b 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 解析： ∵(1＋b i)(2＋i)＝(2－b )＋(2b ＋1)i 是纯虚数， ∴2－b ＝0，且2b ＋1≠0，∴b ＝2. 答案： A3．复数3i －11＋i (i 为虚数单位)的模是( )A. 5 B ．2 2 C ．5 D ．8解析： 3i －11＋i＝－－＋－＝2＋4i 2＝1＋2i ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪3i －11＋i ＝|1＋2i|＝ 5.答案： A4．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－2i2－i ，则复数z 的虚部是( )A ．－35iB ．－35C.45i D ．45解析：1－2i2－i＝－＋－＋＝4－3i 5＝45－35i ，所以复数z 的虚部是－35.答案： B5．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析： ∵(a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴b ＝－1，a ＝1.故选D. 答案： D6．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2)D ．(4,2)解析： 先求出z ，再根据复数的几何意义求出对应点的坐标． 方法一：因为i z ＝2＋4i ，所以z ＝2＋4ii ＝＋－－＝4－2i.在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(4，－2)，选C.方法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由i z ＝2＋4i ，得i(a ＋b i)＝2＋4i ，即－b ＋a i ＝2＋4i ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，即z ＝4－2i ，故复数z 对应的点的坐标为(4，－2)，选C.方法三：因为i z ＝2＋4i ，所以(－i)i z ＝(－i)(2＋4i)＝4－2i ， 即z ＝4－2i ，故复数z 对应的点的坐标为(4，－2)，选C. 答案： C7．已知复数z ＝－2＋4i 1－i ，则z 对应的点所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析： z ＝－2＋4i 1－i ＝－2＋＋－＋＝－6＋2i2＝－3＋i ，所以复数z 对应的点所在的象限是第二象限．答案： B8．若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C. 2D ．－ 2解析： 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a ＜0，解得a ＝－1，选B.答案： B 9．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2解析： z ＝3＋i －32＝3＋i －2－23i＝3＋－3－＋3－3＝－3＋i 4，z ＝－3－i4， 所以，z ·z ＝－3＋i 4·－3－i 4＝14，故选A.答案： A10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 依题意3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案： A11．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．无数个解析： f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0， f (3)＝i 3－i －3＝－2i.∴{f (n )}＝{0，－2i,2i}． 答案： B 12．若z ＝21－i，则z 100＋z 50＋1的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－iD ．i解析： z ＝21－i ＝1＋i2，z 100＋z 50＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 250＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 250＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 225＋1＝i 50＋i 25＋1 ＝i 2＋i ＋1＝i. 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________． 解析： 由已知得2(m －1)－(m ＋2)＝0，∴m ＝4. 答案： 414．若z ＝(1－2i)(a －i)(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析： 因为z ＝(1－2i)(a －i)＝a －2－(1＋2a )i 为纯虚数，所以a －2＝0，－(1＋2a )≠0，解得a ＝2.答案： 215．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析： ∵AB →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB →|＝2 2. 答案： 2 216．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝________. 解析： 设出复数的代数形式，结合复数的运算法则，利用复数相等的条件求解． 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，∴z ＝1＋i. 答案： 1＋i三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(z 1－2)i ＝1＋i ，复数z 2的虚部为2，且z 1z 2为实数，求z 2.解析： 由(z 1－2)i ＝1＋i ，得z 1－2＝1＋ii＝(1＋i)(－i)＝1－i ， ∴z 1＝3－i.设z 2＝x ＋2i(x ∈R )， 则z 1·z 2＝(3－i)(x ＋2i) ＝3x ＋2＋(6－x )i 为实数， ∴x ＝6，∴z 2＝6＋2i.18．(本小题满分12分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m1－i－2(1－i)．求实数m 取什么值时，复数z 是①零；②虚数；③纯虚数．解析： 由于m ∈R ，复数z 可以表示为z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.①当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2＝0，即m ＝2时，z 为零．②当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数．③当⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，即m ＝－12时，z 为纯虚数．19．(本小题满分12分)设z ＝＋2＋－2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．解析： z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i ，将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i 得： (1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， 即(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.20．(本小题满分12分)已知复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)·z 为纯虚数． (1)求复数z ；(2)若ω＝z2＋i，求复数ω的模|ω|. 解析： (1)(1＋3i)·(3＋b i)＝(3－3b )＋(9＋b )i ∵(1＋3i)·z 是纯虚数， ∴3－3b ＝0，且9＋b ≠0， ∴b ＝1，∴z ＝3＋i. (2)ω＝3＋i2＋i ＝＋－＋－＝7－i 5＝75－15i ， ∴|ω|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫752＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝ 2.21．(本小题满分13分)已知复数z 满足方程z 2＋2i z ＋3＝0，求z .解析： 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z 满足方程z 2＋2i z ＋3＝0，得(x ＋y i)2＋2i(x ＋y i)＋3＝0.整理，得(x 2－y 2－2y ＋3)＋2(xy ＋x )i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2－2y ＋3＝0， ①xy ＋x ＝0. ②由②，得x ＝0或y ＝－1.当x ＝0时，由①，得y 2＋2y －3＝0，则y ＝1或y ＝－3； 当y ＝－1时，由①，得x 2＋4＝0，无解．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3.∴z ＝i 或z ＝－3i.22．(本小题满分13分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2，z 所对应的点A 在第一象限．(1)求z ；(2)若z ，z 2，z －z 2在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求cos ∠ABC . 解析： (1)令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． ∵|z |＝2， ∴x 2＋y 2＝2.①又∵z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i ， ∴2xy ＝2， ∴xy ＝1.②由①，②可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.∴z ＝1＋i ，或z ＝－1－i. 又∵x >0，y >0，∴z ＝1＋i. (2)z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1＋i －2i ＝1－i.如图所示，∴A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)， ∴BA →＝(1，－1)，BC →＝(1，－3)， ∴cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝1＋32·10＝425＝255.。