第一中学高一数学下学期第一次月考试题(扫描版,无答案)(2021年整理)
山西省怀仁县第一中学2017-2018学年高一数学下学期第一次月考试题（扫描版，无答案）
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山西省怀仁县第一中学2017-2018学年高一数学下学期第一次月考试题（扫描版，无答案））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为山西省怀仁县第一中学2017-2018学年高一数学下学期第一次月考试题（扫描版，无答案）的全部内容。
2021年高一下学期第一次月考数学试题 Word版缺答案
高一数学试题胡勇 xx.4.2一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．过点且与直线平行的直线方程为．2．数列中，，则__ ___．3. 第4届世界杯于1950年在巴西举行，此后每4年举行一次，那么将在俄罗斯举行的xx 年世界杯是第届．4．两平行直线的距离是．5．等比数列中，为的前项和，且，则．6．设点,,若直线与线段相交，则的取值范围是 __.2021年高一下学期第一次月考数学试题 Word版缺答案8．数列满足，则数列的通项公式为．9. 已知是等比数列，和是关于的方程的两根，且，则锐角的值为．10.设直线的倾斜角为，则角的取值范围是．11．点到直线的距离是，那么= ．12．直线上有一点，它与两定点，的距离之差的绝对值最大，则点坐标是_________. 13．小勇是江苏省启东中学xx级高一学生，为他将来读大学的费用做好准备，他父母计划从2014年8月1日起至2016年8月1日期间,每月初定期到银行存款元（按复利．．计算），2016年9月1日全部取出，月利率按计算，预计大学的费用为6万元，则= ．（计算结果精确到元，可参考以下数据：）14．已知是定义在上不恒为零的函数，对于任意的，都有成立。
数列满足，且，则数列的通项公式=_________.二、解答题（本大题6小题，共90分。
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本题14分）已知直线，直线．分别求的值，使（1）与相交；（2）；（3）．16（本题14分）在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线于点．（1）当三角形的面积等于三角形面积时，求直线的方程；（2）当的中点在直线上时，求直线的方程．17．（本题16分）设为等差数列的前项和,且,,(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，且(为常数)，令，求数列的前项和为.18．（本题16分）已知点在函数的图像上，且（1）求证：数列为等差数列，并求出数列通项公式；（2）设数列的前项和为，①；②若对任意，不等式恒成立，求正整数的最小值.21952 55C0 嗀35794 8BD2 诒;24185 5E79 幹-36071 8CE7 賧838835 97B3 鞳2]FM。
2021年高一数学下学期第一次月考试卷 文(含解析)
2021年高一数学下学期第一次月考试卷文（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选择，仅有一个选择正确．请把选择字母填在答题卷的对应位置处）1．下列给出的赋值语句中正确的是（）A．3=A B．M=﹣M C．B=A=2 D．x+y=02．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法3．下列叙述错误的是（）A．频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B．若随机事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1C．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同4．某总体容量为M，其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样方法从中抽出一个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为（）A．B．C．D．N5．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．6．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红、黑球各一个7．在下列各图中，图中两个变量具有相关关系的图是（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（4）D．（2）（3）8．用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6，当x=﹣4时，v的值为（）A．﹣57 B．220 C．﹣845 D．33929．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）A．81.2，4.4 B．78.8，4.4 C．81.2，84.4 D．78.8，75.610．图中程序是计算2+3+4+5+6的值的程序．在WHILE后的①处和在s=s+i之后的②处所就填写的语句可以是（）A．①i＞1②i=i﹣1 B．①i＞1②i=i+1C．①i＞=1②i=i+1D．①i＞=1②i=i﹣1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的对应位置上）11．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=．12．现有A．B两枚均匀的骰子．用小莉掷A骰子朝上的数字为x、小明掷B骰子朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为．13．已知x与y之间的一组数据为：则y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点．x 0 1 2 3y 1 3 5﹣a 7+a14．为了在运行下面的程序之后得到输出结果为16，键盘输入x应该是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）15．（1）求三个数175，100，75的最大公约数．（2）将1015（6）转化成十进制的数，再将十进制转化为八进制．16．某高校学生总数为8000人，其中一年级1600人，二年级3200人，三年级xx人，四年级1200人．为了完成一项调查，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为400的样本．（1）各个年级分别抽取了多少人？（2）若高校教职工有505人，需要抽取50个样本，你会采用哪种抽样方法，请写出具体抽样过程．17．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．（1）若以A表示事件“和为6”，求P（A）．（2）若以B表示事件“和小于4或大于9”，求P（B）．（3）这个游戏公平吗？请说明；理由．18．铁路部门托运行李的收费方法如下：y是收费额（单位：元），x是行李重量（单位：kg），当0＜x≤20时，按0.35元/kg收费，当x＞20kg，20kg的部分按0.35元/kg，超出20kg的部分，则按0.65元/kg收费．（1）请根据上述收费方法求出y关于x的函数式；（2）画出程序框图．19．在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：分组频数[1.30，1.34）4[1.34，1.38）25[1.38，1.42）30[1.42，1.46）29[1.46，1.50）10[1.50，1.54）2合计100（1）画出频率分布表，并画出频率分布直方图；（2）估计纤度落在[1.38，1.50）中的概率；（3）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数．20．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考公式：=，=﹣b；参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）广东省东莞市松山湖莞美学校xx学年高一下学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选择，仅有一个选择正确．请把选择字母填在答题卷的对应位置处）1．下列给出的赋值语句中正确的是（）A．3=A B．M=﹣M C．B=A=2 D．x+y=0考点：赋值语句．专题：阅读型．分析：本题根据赋值语句的定义直接进行判断．解答：解：根据题意，A：左侧为数字，故不是赋值语句B：赋值语句，把﹣M的值赋给MC：连等，不是赋值语句D：不是赋值语句，是等式，左侧为两个字母的和．点评：本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义的把握直接进行判断即可．属于基础题．2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法考点：分层抽样方法；系统抽样方法．专题：应用题．分析：此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．解答：解：依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．故选B．点评：本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查．3．下列叙述错误的是（）A．频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B．若随机事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1C．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同考点：互斥事件与对立事件；概率的基本性质．专题：阅读型．分析：根据频率的意义和频率和概率之间的关系得到结论，随机事件的概率是大于等于0且小于等于1，互斥事件和对立事件之间的关系是包含关系，是对立事件一定是互斥事件，反过来不成立，抽签先后抽到的概率是相同的．解答：解：根据频率的意义，频率和概率之间的关系知道A正确，根据随机事件的意义，知道随机事件的概率是大于0且小于1，故B不正确，互斥事件和对立事件之间的关系是包含关系，是对立事件一定是互斥事件，反过来不成立，故C正确，抽签先后抽到的概率是相同的，故D正确．故选B．点评：本题考查频率和概率的关系，考查对立事件与互斥事件的关系，考查随机事件的概率，考查抽签的概率，本题是一个概念辨析问题．4．某总体容量为M，其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样方法从中抽出一个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为（）A．B．C．D．N考点：简单随机抽样．专题：计算题．分析：根据题意先求出总体中带有标记的鱼所占比例，由简单随机抽样方法得到的样本代表总体，即求出样本带有标记的个数的估计值．解答：解：由题意知，总体中带有标记的鱼所占比例是，故样本中带有标记的个数估计为，故选A．点评：本题的考点是简单随机抽样方法的应用，即总体中每个个体被抽到的机会一样，样本的结构和总体的一致，利用此特点求出近似值．5．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f（x0）≤0发生的概率是0.3解答：解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==故选C点评：本题考查了几何概型的意义和求法，将此类概率转化为长度、面积、体积等之比，是解决问题的关键6．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红、黑球各一个考点：互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：写出从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法情况，然后逐一核对四个选项即可得到答案解答：解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况，所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；至少有一个白球，至少有一个红球不互斥；至少有一个白球，没有白球互斥且对立；至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件，故选：D点评：本题考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题．7．在下列各图中，图中两个变量具有相关关系的图是（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（4）D．（2）（3）考点：散点图．专题：概率与统计．分析：根据散点图中样本点成带状分布，这样的变量具有线性相关关系，由此判断题目中的选项是否符合条件即可．解答：解：（1）中各点都在一条直线上，所以这两个变量之间是函数关系，不是相关关系；（2）、（4）所示的散点图中，样本点成带状分布，这两组变量具有线性相关关系；（3）所示的散点图中，样本点成团状分别，不是带状分布，所以这两个变量不具线性相关关系．综上，具有线性相关关系的是（2）和（4）．故选：C．点评：本题考查了利用散点图判断变量是否具有线性相关问题，是基础题目．8．用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6，当x=﹣4时，v的值为（）A．﹣57 B．220 C．﹣845 D．3392考点：秦九韶算法．专题：算法和程序框图．分析：把所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，得到要求的值．解答：解：∵f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，∴v0=3，v1=v0x+5=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=v1x+6=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=v2x+79=34×（﹣4）+79=﹣57，v4=v3x﹣8=﹣57×（﹣4）﹣8=220，∴V4的值为220；故选：B点评：本题考查秦九韶算法，本题解题的关键是对多项式进行整理，得到符合条件的形式，不管是求计算结果还是求加法和减法的次数都可以9．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）A．81.2，4.4 B．78.8，4.4 C．81.2，84.4 D．78.8，75.6考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据平均数和方差的定义，进行推导，即可得出答案．解答：解：设这组数据为x1，x2，…，x n，平均数为，方差为s2；则新数据为x1﹣80，x2﹣80，…，x n﹣80，它的平均数是===﹣80=1.2，∴=81.2；方差为s′2=[++…+]=[++…+]=4.4=s2．故选：A．点评：本题考查了平均数与方差的应用问题，解题时可以推导出正确的答案，是基础题目．10．图中程序是计算2+3+4+5+6的值的程序．在WHILE后的①处和在s=s+i之后的②处所就填写的语句可以是（）A．①i＞1②i=i﹣1 B．①i＞1②i=i+1C．①i＞=1②i=i+1D．①i＞=1②i=i﹣1考点：循环语句．专题：图表型．分析：根据流程图所表示的算法功能可知求2+3+4+5+6的和，从而应该利用累积加的表达式，以及数i是逐一减小的，可得处理框应填的内容．解答：解：程序框图是计算2+3+4+5+6的和则第一个处理框应为i＞1，i是减小1个，i=i﹣1从而答案为：①i＞1②i=i﹣1．故选A．点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的对应位置上）11．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=96．考点：众数、中位数、平均数．分析：标准差是，则方差是2，根据方差和平均数，列出方程解出x、y的值．注意运算正确．解答：解：∵标准差是，则方差是2，平均数是10，∴（9+10+11+x+y）÷5=10 ①[1+0+1+（x﹣10）2+（y﹣10）2]=2 ②由两式可得：x=8，y=12∴xy=96，故答案为：96．点评：这个知识点是初中学过的，它和高中所学的有密切关系，区别随机变量的期望与相应数值的算术平均数．期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．12．现有A．B两枚均匀的骰子．用小莉掷A骰子朝上的数字为x、小明掷B骰子朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：由题意可知，P（x，y）共有6×6=36种等可能事件，找到确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：由题意可知，P（x，y）共有6×6=36种等可能事件，其中它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上有（如图所示）（1，3），（2，4），（3，3）共3个基本事件，故它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为P==，故答案为：．点评：本题考查了古典概型的概率问题，关键是找到满足条件的基本事件的个数，利用数形结合的思想，比较容易找，属于基础题．13．已知x与y之间的一组数据为：则y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点．x 0 1 2 3y 1 3 5﹣a 7+a考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：根据回归直线方程一定过样本中心点，先求出这组数据的样本中心点，即横标和纵标的平均数分别作横标和纵标的一个点，得到结果．解答：解：∵回归直线方程必过样本中心点，∵，∴样本中心点是（，4）∴y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点（，4）故答案为：（，4）点评：本题考查线性回归方程，本题是一个基础题，而求线性回归方程的问题，是运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，不然会前功尽弃．14．为了在运行下面的程序之后得到输出结果为16，键盘输入x应该是﹣5，5．．考点：伪代码．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，知程序功能是求分段函数y=的值，运行程序之后得到输出结果为16，从而可推得键盘输入x的值．解答：解：执行程序框图，知程序功能是求分段函数y=的值，运行程序之后得到输出结果为16，则有|x+1|=4，从而推得x=3（舍去）或x=﹣5，|x﹣1|=4，从而推得x=5或者x=﹣3（舍去），故答案为：﹣5，5．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）15．（1）求三个数175，100，75的最大公约数．（2）将1015（6）转化成十进制的数，再将十进制转化为八进制．考点：用辗转相除计算最大公约数；进位制．专题：算法和程序框图．分析：（1）解法一：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．解法二：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止（2）利用累加权重法，可先将1015（6）转化成十进制的数，再用除k求余法，可再将十进制转化为八进制．解答：解：（1）解法一：辗转相除法①先求175与100的最大公约数175=100×1+75100=75×1+2575=25×3故175与100的最大公约数为25②再求25与75的最大公约数75=25×3故175，100，75的最大公约数为25．解法二：更相减损术①先求175与100的最大公约数175﹣100=75100﹣75=2575﹣25=5050﹣25=25故175与100的最大公约数为25②再求25与75的最大公约数75﹣25=5050﹣25=25故175，100，75的最大公约数为25．（2）1015（6）=1×63+1×6+5=227，∵227÷8=28…3，28÷8=3…4，3÷8=0 (3)∴227=343（8）点评：本题考查的知识点是用辗转相除法计算最大公约数，数制之间的转化，其中熟练掌握辗转相除法及数制之间转化的运算法则，是解答本题的关键．16．某高校学生总数为8000人，其中一年级1600人，二年级3200人，三年级xx人，四年级1200人．为了完成一项调查，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为400的样本．（1）各个年级分别抽取了多少人？（2）若高校教职工有505人，需要抽取50个样本，你会采用哪种抽样方法，请写出具体抽样过程．考点：分层抽样方法；收集数据的方法．专题：概率与统计．分析：（1）有分类，根据分层抽样的特点进行选择；（2）根据系统抽样的步骤，写出即可．解答：（1）解：抽样比例：=，一年级1600×=80人，二年级3200×=160人，三年级xx×=100人，四年级1200×=60人（2）系统抽样，第一步，把505名教职工编号为001，002， (505)第二步，用简单随机抽样法剔除5个个体（剔除方法可用随机数表法），并对余下的500个个体重新编号001，002， (500)第三步，分段，由于k==10，故分段间隔为10，将总体分为50段，第四步，从第一段随机抽取一个号码为起始号码，比如是008，第五步，从008开始每隔10个号码抽取一个号码，这样得到008，018，028，…，498，各个号码对应的教职工组成一个容量为50的样本．点评：本题考查分层抽样和系统抽样，要根据总体的特点灵活选取合适的抽样方法进行样本的选取．把握好各种抽样方法适合的样本类型．17．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．（1）若以A表示事件“和为6”，求P（A）．（2）若以B表示事件“和小于4或大于9”，求P（B）．（3）这个游戏公平吗？请说明；理由．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；概率的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：将所有可能的基本事件情况列出表格，得出该游戏共包括25个等可能发生的基本事件，由此求出（1）、（2），（3）中对应的概率．解答：解：将所有可能的基本事件情况列表如下：甲数/乙数 1 2 3 4 51 2 3 4 5 62 3 4 5 6 73 4 5 6 7 84 5 6 7 8 95 6 7 8 9 10由上表可知，该游戏共包括25个等可能发生的基本事件，属于古典概型．（1）A表示事件“和为6”的基本事件数为5，∴P（A）==；（2）以B1表示事件“和小于4”，其基本事件数为3，概率为P（B1）=，以B2表示事件“和大于9”，其基本事件数为1，概率为P（B2）=；∴P（B）=P（B1）+P（B2）=+=；（3）这个游戏不公平：因为“和为偶数”的基本事件数是13，其概率为，“和为奇数”的基本事件数是12，其概率为；甲乙二人赢的概率不相等，所以，游戏不公平．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．18．铁路部门托运行李的收费方法如下：y是收费额（单位：元），x是行李重量（单位：kg），当0＜x≤20时，按0.35元/kg收费，当x＞20kg，20kg的部分按0.35元/kg，超出20kg的部分，则按0.65元/kg收费．（1）请根据上述收费方法求出y关于x的函数式；（2）画出程序框图．考点：函数解析式的求解及常用方法；设计程序框图解决实际问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意，易得函数解析式为y=；（2）由（1）此函数为分段函数，利用选择结构即可设计出程序框图．解答：解：（1）由题意可得=；（2）用程序框图描述上述收费方法如下：点评：本题考查函数解析式和程序框图，解题的关键是由题设中所给的问题得出函数解析式，属中档题．19．在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：分组频数[1.30，1.34）4[1.34，1.38）25[1.38，1.42）30[1.42，1.46）29[1.46，1.50）10[1.50，1.54）2合计100（1）画出频率分布表，并画出频率分布直方图；（2）估计纤度落在[1.38，1.50）中的概率；（3）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数．考点：极差、方差与标准差；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：计算题；作图题；概率与统计．分析：（1）将题目表格补全即可，注意纵轴为频率/组距；（2）由频率分布表直接求频率即可；（3）由频率分布直方图中得出数字特征．解答：解：（1）频率分布表如下：分组频数频率[1.30，1.34） 4 0.04[1.34，1.38）25 0.25[1.38，1.42）30 0.30[1.42，1.46）29 0.29[1.46，1.50）10 0.10[1.50，1.54） 2 0.02合计100 1.00频率分布直方图如下：（2）纤度落在[1.38，1.50）中的概率约为0.30+0.29+0.10=0.69；（3）从频率分布直方图可估计出纤度的众数：1.40，中位数：1.408，平均数：1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02=1.408818．点评：本题考查了频率分布表与频率分布直方图的作法及应用，属于基础题．20．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考公式：=，=﹣b；参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）考点：线性回归方程；散点图．专题：概率与统计．分析：（1）根据数据，作出散点图．（2）根据回归直线方程的求法求出线性回归方程．（3）根据回归直线方程进行预测．解答：解：（1）由数据作出散点图：分（2）序号x y xy x2l 3 2.5 7.5 92 43 12 163 54 20 254 6 4.5 27 3618 14 66.5 86…所以：所以线性同归方程为：y'=0.7x+0.35…（3）x=100时，y'=0.7×100+0.35=70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤…点评：本题主要考查回归直线的基础知识，要求熟练掌握最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并能运用回归直线进行预测．38693 9725 霥36460 8E6C 蹬37269 9195 醕27892 6CF4 泴&20386 4FA2 侢-T35121 8931 褱25213 627D 扽33335 8237 舷24489 5FA9 復39586 9AA2 骢。
2020-2021学年湖南省长沙市浏阳一中高一(下)第一次月考数学试卷 Word版含解析
2022-2021学年湖南省长沙市浏阳一中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角2．若点P 在的终边上，且OP=2，则点P的坐标（）A．（1，）B．（，﹣1）C．（﹣1，﹣）D．（﹣1，）3．下列函数中，最小正周期为的是（）A．B．C．D．4．已知sinα﹣cosα=﹣，则sinαcosα=（）A．B．C．D．5．已知（）A．B．C．D．6．将函数y=sin4x 的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．7．函数y=sin（2x+）图象的对称轴方程可能是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=8．设，，，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 9．函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为（）A．﹣3，1 B．﹣2，2 C．﹣3，D．﹣2，10．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题：（把答案填在答题卡相应题号后的横线上，本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．sin15°+cos15°=．12．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．13．已知，则sin（2α+β）=．14．函数的最小正周期为．15．下列命题中真命题的序号是．①y=sin|x|与y=sinx的象关于y轴对称．②y=cos（﹣x）与y=cos|x|的图象相同．③y=|sinx|与y=sin（﹣x）的图象关于x轴对称．④y=cosx与y=cos（﹣x）的图象关于y轴对称．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．已知tanα=3，计算：（1）；（2）sinαcosα；（3）（sinα+cosα）2．17．已知函数y=a﹣bcos3x（b＞0）的最大值为，最小值为﹣，求函数y=﹣4asin3bx的单调区间、最大值和最小正周期．18．已知cosα=，cos（α+β）=，且，，求tan及β的值．19．函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求α的值．20．已知函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R，A，ω＞0，﹣＜φ＜）图象上一个最高点为P（2，2），由这个最高点到相邻最低点间的曲线与X轴相交于点Q（6，0）．（1）求这个函数的解析式；（2）写出这个函数的单调区间．21．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．。
2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题含答案 (2)
（2）问从种植起，第几年树木生长最快？
22.对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知f(x)＝ax2＋1.
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2.
【答案】（1） ；（2） ．
19.已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的定义域，并判断函数 的奇偶性；
（Ⅱ）求解关于 的不等式 ．
【19题答案】
【答案】（Ⅰ）定义域为 ，函数 既不是奇函数，也不是偶函数；（Ⅱ） .
20.已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上 单调递增区间.
【20题答案】
A. B.
C. D.
【5题答案】
【答案】D
6. “ ”是“ ”成立的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【6题答案】
【答案】B
7.函数 的部分图象如图所示.将 图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图象的函数解析式是（）
A. B.
C. D.
【7题答案】
① 在区间 上是单调的；
②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是函数 的一个“黄金区间”.
如果 可是函数 的一个“黄金区间“，则 的最大值为（）
A. B.1C. D.2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.若 为第二象限角，则下列结论正确的是（）
A B. C. D.
【9题答案】
2021年高一下学期第一次月考数学试题(5-12班) 含答案
2021年高一下学期第一次月考数学试题（5-12班）含答案分值：150分时间：120分钟叶列开王春一、选择题（每题5分，共12题）1. tan600°的值是（）（A）－（B）（C）－（D）2．下列关于向量的说法中，正确的是()．A．长度相等的两向量必相等B．两向量相等，其长度不一定相等C．向量的大小与有向线段的起点无关D．向量的大小与有向线段的起点有关3．设为第二象限角，P（x, ）是其终边上一点, 若cos=,则sin的值为 ( ) (A) －(B) (C) (D) －4．函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数5．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()．A．－2 B．0 C．1 D．26．电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如右图所示，则当秒时，电流强度是（）A．安 B．安C．安 D．安7．已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（）A. B.C. D.8．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么()．A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2是实数C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对9.已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图像不可能是图1中的（）10.若a 为常数，且a ＞1，0≤x ≤2π，则函数f (x )=cos 2x +2a sin x －1的最大值为（ ）A.2a +1B.2a －1C.－2a －1D.a 2 11. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） 12．设定义一种向量。
已知，点在的图像上运动，点Q 在的图像上运动且满足（其中O 为坐标原点）则的最大值A 及最小正周期T 分别为（ ） A ．2， B ．2， C ．， D ．， 二、填空题（每题5分，共4题）13．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 。
山东省济南市2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题
山东省济南市2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,0,1M =-，{}21N y y x ==-，则MN =（ ）A ．0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．已知:tan p α=:3q πα=，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知0.90.810.8,ln , 1.22a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>4．若非零向量,a b ，满足22||||3a b =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4π B ．2π C ．34π D ．π5．函数()log 2a y x =+(0a >，且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在角θ的终边上，则cos 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．12-D ．126．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则=a （ ） A ．3B ．3-C ．13-D ．137．若将函数g (x )图象上所有的点向左平移6π个单位长度得到函数f (x )的图象，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0,0,||)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，则（ ）A ．g (x )＝sin (2)3x π+B ．g (x )＝sin 2(2)3x π+C ．g (x )＝sin2xD ．g (x )＝sin (2)6x π+8．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．7二、多选题 9．下列命题中，正确的是（ ） A ．若R k ∈，且0kb =，则0k =或0b = B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b =C ．若不平行的两个非零向量a ，b ，满足a b =，则()()0a b a b +⋅-= D ．若a 与b 平行，则a b a b ⋅=⋅ 10．下列选项中正确的是（ ） A ．α∃，使得4sin 4sin αα+≥成立 B ．若a ，b 为正实数，则2b aa b +≥C ．当0a ≠，不等式12a a+≥恒成立D ．若正实数x ，y 满足21x y +=，则218x y+≥11．已知函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，当[]2,3x ∈时，()12f x x =--，则下列选项正确的是（ ） A ．()f x 在()3,2--上为减函数 B ．()f x 的最大值是1 C ．()f x 的图象关于直线2x =-对称D ．()f x 在()4,3--上()0f x <12．给出下面四个结论，其中正确的是（ ）A ．函数()tan 2f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数，且()f x 的最小正周期为2B ．函数()2sin(2),f x x x R ϕ=-+∈的最大值为2，当且仅当,2k k Z πϕπ=+∈时()f x 为偶函数C ．函数()tan()f x x =-的单调增区间是,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．函数1()sin 23f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎭，[]2,2x ππ∈-的单调减区间是5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、填空题13．已知扇形的弧长为3cm ，周长为7cm ，则这个扇形的面积为______2cm ．14．已知α，β为锐角，且(1)(1)4αβ=，则αβ+=_____． 15．已知函数()y f x =是偶函数，当[]0,1x ∈时，1f x ，当1x >时，()12x f x -=，则()12f x -<的解集是______. 16．已知幂函数()223m m y x m N --*=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递减，则满足()()33132m m a a --+<-的a 的取值范围为________.四、解答题 17．已知4a =，3b =，()()24a b a b +⋅-=． (1)求a b ⋅； (2)求a b +．18．已知0απ<<，1sin cos 5αα+=．(1)求sin 2α的值； (2)求cos sin αα-的值．19．已知函数()()sin 20,2f x x πϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，______．请在①函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，①函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称，①函数()f x 在5,63ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()y f x =的图象将向右平移6π个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在2,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域．20．某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x 万件产品，还需另外投入原料费及其他费用()f x 万元，产量不同其费用也不同，且()21,010,29lg 41,10.x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪+-≥⎩已知每件产品的售价为8元且生产的该产品可以全部卖出.(1)写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；(2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？21．已知函数()sin cos cos 6f x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)已知α，β为锐角，111,26421220f f βπαβπ+⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值.22．己知定义在R 上的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值： （2）求函数()f x 的值域；（3）若对任意的,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()2()cos 2sin 0f k f θθ+-≤有解，求实数k 的取值范围．参考答案：1．D 【解析】 【分析】首先求集合N ，再求M N ⋂. 【详解】211y x =-≥-，即{}1N y y =≥-，{}1,0,1M =-，所以{}1,0,1M N ⋂=-. 故选：D 2．B 【解析】求出命题p 为真时α的取值，根据集合之间的关系可得结论． 【详解】tan α=3k παπ=+，k Z ∈；而q 只有3πα=，因此p q ⇒为假，q p ⇒为真，①p 是q 的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键． 3．B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性可得答案. 【详解】根据指数函数的单调性可知，00.910.80.80=>>， 即0.8001,1.21.21a <<=>，即c ＞1，由对数函数的单调性可知1ln 02<，即0b <．所以c ＞a ＞b ． 故选：B ． 4．A【解析】 【分析】设向量a 与b 的夹角为θ，根据向量的垂直和向量的数量积，以及向量的夹角公式计算即可. 【详解】解：设向量a 与b 的夹角为θ， ①22||||3a b =， 不妨设||3b m =，则22a m =， ①()(32)a b a b -⊥+， ①()(32)0a b a b -⋅+=， ①223||2||0a b a b --⋅=， 26a b m ∴⋅=，26cos ||||32a b m a b m θ⋅∴==⋅⋅，0θπ≤≤，①4πθ=.故选：A. 【点睛】本题考查了向量的数量积公式和向量的垂直，考查了学生的运算能力，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】先求出定点A 的坐标，再利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解． 【详解】解：对于函数()log 2a y x =+(0a >，且1)a ≠，令21x +=，求得1x =-，y =(A -，且点A 在角θ的终边上，可得sin θ则cos sin 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭．故选：A ． 6．B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，进行转化，建立方程进行求解即可． 【详解】 解：()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e =-．若(ln 2)8f =，(ln 2)(ln 2)8f f ∴-=-=-，则ln 28a e --=-， 得ln 28a e -=， 得ln8ln2a =-， 即3ln2ln2a =-， 得3a -=，得3a =-， 故选：C ． 7．C 【解析】 【分析】由函数()f x 的部分图象求出A 、T 、ω和ϕ的值，写出()f x 的解析式，再得出()g x 的解析式． 【详解】由函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)2πϕ<的部分图象知，1A =，且35346124T πππ=-=， 解答T π=，所以22Tπω==； 又12x π=，()1f x =，sin(2)112πϕ⨯+=，所以262k ππϕπ+=+，k Z ∈；由||2ϕπ<知，3πϕ=；所以()sin(2)3f x x π=+；所以()()sin[2()]sin 2663g x f x x x πππ=-=-+=．故选：C ． 8．D 【解析】根据题意，判断函数()f x 的最小正周期为2；再由其奇偶性，得到()f x 关于直线1x =对称，画出函数()f x 和cos y x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，结合图像，即可得出结果.【详解】因为()()11f x f x =+-，所以()()2f x f x +=，因此函数()f x 的最小正周期为2； 又因为函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，所以()()()111f x f x f x +=-=-， 即函数()f x 关于直线1x =对称，画出函数()f x 和cos y x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如下，由图像可得，函数()f x 和cos y x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有7个交点，除1x =，其余两两关于直线1x =对称，因此关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为2317⨯+=.故选：D. 【点睛】本题主要考查方程实数解的问题，根据数形结合的思想求解即可，属于常考题型.9．AC 【解析】 【分析】根据数乘运算的定义判断A ；根据a b ⊥时，0a b ⋅=判断B ；根据向量加减法的几何意义判断C ；根据a 与b 平行且反向时的结果判断D. 【详解】解：对于A 选项，根据数乘运算的定义，A 选项正确； 对于B 选项，当a b ⊥时，0a b ⋅=亦成立，B 选项错误；对于C 选项，若不平行的两个非零向量a ，b ，满足a b =，则由向量加减法运算的几何意义得a b +与a b -是以非零向量a ，b 为邻边的菱形的对角线，故()()a b a b +⊥-，即()()0a b a b +⋅-=，故正确；对于D 选项，当a 与b 平行且反向时，a b a b ⋅=-⋅，故错误； 故选：AC 10．ABD 【解析】 【分析】A.D 可以代入特殊值，即可判断，BD 利用基本不等式即可判断. 【详解】A.当sin 1α=时，4sin 54sin αα+=≥成立，故A 正确.B.当a ，b 为正实数，2b a a b +≥=，当a b =时等号成立，故B 正确；C.当0a <时，10a a +<，所以不等式12a a+≥不恒成立，故C 错误；D.0,0x y >>()212142448yx x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4y x x y =时，即122x y ==时等号成立，故D 正确. 故选：ABD 11．BCD 【解析】先由已知区间对应的函数解析式，判定函数单调性，再由函数奇偶性可判断A 错；再由题中条件，确定函数的周期，以及函数的对称性，根据周期性求出函数值域，进而可判断BCD 正确. 【详解】因为当[]2,3x ∈时，()[]121230,1f x x x x =--=-+=-∈，则函数()f x 在[]2,3x ∈上递减，又函数()f x 是偶函数，所以()f x 在()3,2--上为增函数；故A 错； 因为函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，所以()()f x f x -=，()()11f x f x -+=-+，则()()11f x f x -=-+，所以()()2=-+f x f x ，则()()()24f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x +=， 所以()f x 以4为周期；则()()()222f x f x f x +=-=-，所以()f x 关于直线2x =对称， 因此当[]1,2x ∈时，()[]0,1f x ∈；当[]0,1x ∈时，[]22,3x +∈，则()212211f x x x x +=-+-=-=-，又()()2=-+f x f x ，所以()[]11,0f x x =-∈-；因为偶函数关于y 轴对称，所以当[]1,0x ∈-时，()[]1,0f x ∈-； 综上，当[]13,x ∈-时，()[]1,1f x ∈-；又()f x 是以4为周期的函数，所以x R ∀∈，()[]1,1f x ∈-，则()max 1f x =，故B 正确； 因为()()()222f x f x f x +=-=-+，函数()f x 为偶函数，所以()()22f x f x +=--，因此()()22f x f x -+=--，所以()f x 的图象关于直线2x =-对称；即C 正确；因为()0,1x ∈时，()10f x x =-<显然恒成立，函数()f x 是以4为周期的函数， 所以()f x 在()4,3--上也满足()0f x <恒成立；故D 正确； 故选：BCD.思路点睛：求解函数基本性质相关问题时，一般性需要根据题中条件，确定函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等，利用求解析式的方法求解函数的值域，最值等即可. 12．ABD 【解析】 【分析】()tan tan 22f x x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可判断A 正确，利用正弦函数的知识可判断B 正确，()tan()tan f x x x =-=-，该函数无单调增区间，可判断C 错误，11()sin sin 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解出不等式1222232k x k πππππ-≤-≤+，可判断D 正确. 【详解】因为()tan tan 22f x x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以其是奇函数，最小正周期为22ππ= 故A 正确函数()2sin(2),f x x x R ϕ=-+∈的最大值为2， 当且仅当,2k k Z πϕπ=+∈时()2cos 2f x x =±为偶函数故B 正确()tan()tan f x x x =-=-，其单调递减区间为,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，无单调增区间故C 错误11()sin sin 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1222232k x k πππππ-≤-≤+解得54433k x k ππππ-≤≤+，与[]2,2x ππ∈-的公共部分为5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故D 正确 故选：ABD 13．3 【解析】 【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得结果.由题意可知，扇形的半径为732cm 2-=，因此，该扇形的面积为21323cm 2S =⨯⨯=. 故答案为：3. 14．23π 【解析】 【分析】将题目所给方程展开后，化简为()tan αβ+的形式，由此求得αβ+的大小. 【详解】将()()114αβ=展开得)()tan tan 31tan tan αβαβ+=-⋅，即()tan tantan 1tan tan αβαβαβ+=+=-⋅α，β为锐角，0παβ<+<，故2π3αβ+=.【点睛】本小题主要考查利用两角和的正切公式对已知条件进行化简，考查特殊角的三角函数值，属于中档题. 15．()1,3- 【解析】 【分析】根据题意，画出()f x 的图象，数形结合，即可求得不等式的解集. 【详解】()f x 的图象如图所示.令122x -=，可得2x =，所以()22f =. 因为()12f x -<，所以()()12f x f -<.结合函数图象可得12x -<，解得13x . 故答案为：()1,3-. 16．()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到1m =，代入不等式得到()()1133132a a +<-，根据函数的单调性解得答案. 【详解】 幂函数()223m m y xm N --*=∈在()0,∞+上单调递减，故2230mm --<，解得13m -<<.*m N ∈，故0m =，1，2.当0m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去； 当1m =时 ，4y x -=关于y 轴对称，满足； 当2m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；故1m =，()()1133132a a --+<-，函数13y x -=在(),0∞-和()0,∞+上单调递减， 故1320a a +>->或0132a a >+>-或1032a a +<<-，解得1a <-或2332a <<. 故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭17．(1)6【解析】 【分析】（1）根据向量数乘运算的运算律求解即可； （2）结合根据向量模的运算公式求解即可. (1)解：①()()24a b a b +⋅-=①2224a a b b -⋅-=，2224a a b b -⋅-=①4a =，3b = ①(224234a b -⋅-⨯=，即6a b ⋅=(2)解：①4a =，3b =，6a b ⋅=，①()22222222242631a ba ab b a a b b +=+⋅+=+⋅+=+⨯+=，①()231a b a b +=+=18．(1)2425- (2)75-【解析】 【分析】（1）由0απ<<，1sin cos 5αα+=，两边同时平方，可求出sin 2α的值；（2）由（1）知sin 2α的值，可判断α为第二象限角，再对cos sin αα-两边同时平方，可求出cos sin αα-的值. (1)()21sin cos 1sin 225ααα+=+=，所以24sin 225α=-.(2)()249cos sin 1sin 225ααα-=-=①0απ<<，sin 20α<，①α为第二象限角 7cos sin 5αα-=-.19．(1)条件选择见解析，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭(2)⎡-⎢⎣⎦【解析】 【分析】（1）不管选择条件，都是根据三角函数对称性，列式，结合ϕ的取值范围，求函数的解析式；（2）首先利用三角函数变换规律，求得()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据2,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求6x π-的范围，即可求得函数的值域. (1)若选①，函数()f x 的图像关于直线6x π=对称，则2,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，则6,k k Z πϕπ=+∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ，所以函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；若选①，函数sin 2126y f x x πϕπ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象关于原点对称，则,6k k Z πϕπ-+=∈，则6,k k Z πϕπ=+∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ，所以函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；若选①，函数()f x 在5,63ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则函数()f x 在3x π=-取得最小值，则()sin 213f x πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则22,32ππϕπ⎛⎫⨯-+=-+∈ ⎪⎝⎭k k Z ，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ，所以函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；(2)由题意可得函数()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以563,6x πππ⎛⎫⎡⎤-∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以62ππ-=-x 时，()min sin 12g x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； 63x ππ-=时，()max sin3g x π==所以函数()g x 在2,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为⎡-⎢⎣⎦．20．(1)()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩(2)当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立函数关系式；（2）利用函数单调性求出最大值，即可得到答案. (1)当010x <<时，()2211838322W x x x x x =--=-+-.当10x ≥时，()()89lg 413lg 38W x x x x x x =-+--=--+. 故()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩ (2)当010x <<时，()()22118382922W x x x x =-+-=--+，所以当8x =时，()W x 取得最大值，且最大值为29； 当10x ≥时，()lg 38W x x x =--+，此时()W x 单调递减， 所以当10x =时，()W x 取得最大值，且最大值为27.综上，当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元. 21．(1)2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;【解析】 【分析】（1）根据两角差的正弦公式、二倍角公式、降幂公式化简即可得出()f x ，再由正弦型三角函数的单调性求解即可；（2）由（1）及同角三角函数的基本关系可求出β，αβ+的正余弦值，再由角的变换ααββ=+-求解即可.(1)()sin cos cos 6f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π11cos 211()cos )cos 2sin(2)24264x f x x x x x x +∴=+=+=++π， 令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. (2)11111sin()cos 26224244f ⎛⎫+=++=+=+ ⎪⎝⎭βππββ, cos β∴=故可得sin β= 1111sin()2122420f +⎛⎫-=++= ⎪⎝⎭αβπαβ3sin()sin 5∴+=<=αββ， 4cos()5∴+=-αβ[]cos cos ()cos()cos sin()sin ∴=+-=+++ααββαββαββ 4355⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 22．（1）1b =，2a =；（2）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）(2,)-+∞.【解析】 【分析】（1）由函数是奇函数，则(0)0f =，(1)(1)f f -=-，解得a ，b 的值；（2）将函数解析式化为()()()1212121211()22221221221x x x x x x x f x +-++--====-+++++，由1111,22122x ⎛⎫-+∈- ⎪+⎝⎭，求得值域； （3）由定义法证得函数单减，结合奇函数性质，不等式()2cos 2sin ()0f f k θθ-+≤等价于2cos 2sin k θθ≥-+，即22sin 2sin 1(sin 1)2k θθθ≥+-=+-，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，从而求得k 的取值范围. 【详解】（1）由题意，定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数，得1(0)02b f a -==+，122(1)(1)14b b f f a a ---==-=-++，1b ∴=，2a =，那么112()2xx f x 2+-=+经检验是奇函数（2）由（1）可得()()()1212121211()22221221221x x x x x x x f x +-++--====-+++++ 20x >，211x ∴+>，1(0,1)21x ∴∈+，1111,22122x ⎛⎫∴-+∈- ⎪+⎝⎭()f x ∴的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）设12x x <，则()()()()12211221111111222222x x x x x x f x f x ++++--=-=12x x <，12220x x ∴-<则()()210f x f x -<，即()()21f x f x <； ①函数()f x 在R 上是减函数．．由()2cos 2sin ()0f f k θθ-+≤，即()()22()cos 2sin cos 2sin f k f f θθθθ≤--=-+ ，()f x 在R 上是减函数；2cos 2sin k θθ∴≥-+，对任意的,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，即22sin 2sin 1(sin 1)2k θθθ≥+-=+-，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，由,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin (1,1)θ∈-，2(sin 1)2(2,2)θ∴+-∈-，2k ∴>-，故得实数k 的取值范围(2,)-+∞．。
高一数学下学期第一次月考 试题_1_1
一中2021-2021学年度下学期第一次月考试卷高一数学本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部， 满分是150分，考试时间是是120分钟。
第一卷〔选择题 一共50分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的，请将答案写在答题卷上。
〕 1、 以下说法正确的选项是〔 〕 A 单位向量都相等。
0,0a a ==B 若则。
C 大小不同的角，其弧度数一定不一样。
D 三角形内角为第一象限角或者第二象限角。
2sin 600tan 24011A BCD22+-++、的值是（ ）A y cos(2)22sin()Dy cos()22x B y x Cy x x πππππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+=+=+=+3、下列函数中，周期为，且在，上为减函数的是( )42=sin(2)4()61111ABCD6432y x y tan x ππωωπωω+>=+4、若函数=tan()(0)的图像向右平移个单位长度后，6与函数的图像重合，则的最小值为（ ）45cos 25A =4cos(4-)B4(4)55444cos(4)55y x y x y sin x Cy x D y =4sin(4x )ππππππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=+=-+、将函数的图像上各点向右平移个单位长度，2再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到图像的函数解析式是（ ）2716sin()log ,2922A B C D 33πααππα-=∈±、若且（-,0），则cos(+)的值为（ ）2-以上都不对312127()2sin(),()()()35A6B3C1D3f x x x R f x f x f x x x ππππ=+∈≤≤-、函数对任意都有成立，则的最小值是（ ） {}{}220118A sin ,cot ,1,sin ,sin cos ,0,A B cos()A 0B1C3D1B ααααααα==++=-2011、已知若=，则sin 9cos1sin130A1B1C 1D 1222x y πππ+-=+--+、直线的倾斜角是（ ）10R ()3()(),(1)1,(0)2,(1)(2)(3)(2011)2A 1B 1C 0D 2f x x f x f x f f f f f f =-+-==-++++--3、定义在上的函数的图像关于点（-,0）成中心对称，对任意的实数都有4且则的值为（ ）第二卷 〔非选择题 一共100分〕二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分。
2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．(34)(12)i i ++-= （ ）A ．42i +B ．42i -C ．14i +D ．15i + 【答案】A【分析】利用复数的加法法则直接计算即可.【详解】()()(34)(12)314242i i i i ++-=++-=+.故选：A.【点睛】本题考查复数的加法运算，属于基础题.2．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD = 【答案】D【解析】根据共线向量的定义和性质逐一判断即可选出正确答案.【详解】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D【点睛】本题考查了共线向量的定义和性质，考查了相等向量的定义，考查了零向量的性质，属于基础题.3．已知正方形ABCD 的边长为6，M 在边BC 上且3BC BM =，N 为DC 的中点，则AM BN ⋅=A ．-6B ．12C ．6D ．-12【答案】A【分析】以向量,BA BC 为基底，将,AM BN 用基底表示，结合向量数量积的运算律，即可求解.【详解】由M 在边BC 上且3BC BM =，N 为DC 的中点， 13AM BM BA BC BA =-=-， 1122BN BC CN BC CD BC BA =+=+=+， 11()()32AM BN BC BA BC BA ⋅=-⋅+ 2215112186362BC BC BA BA =-⋅-=-=-. 故选：A.【点睛】本题考查向量基本定理以及向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题. 4．若向量a ，b 满足1==a b ，且()12a a b ⋅-=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解.【详解】因为1==a b ，()12a a b ⋅-=，即212a a b -⋅=，21cos ,2a a b a b -⋅⋅=，求得1cos ,2a b =，所以向量a 与b 的夹角为3π. 故选：B5．在ABC 中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133b c + B ．5233c b - C ．2133b c - D ．1233b c + 【答案】A 【详解】试题分析：，故选A ．6．已知i 是虚数单位，复数1232,14z i z i =-+=-，则复数12z z z =+在复平面内表示的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据复数的加法运算，表示出复数z ，进而得到其在复平面内表示的点坐标，即可得到所在象限．【详解】由复数加法运算可知12321422z z z i i i =+=-++-=-- 在复平面内表示的点坐标为()2,2--，所以所在象限为第三象限所以选C【点睛】本题考查了复数的简单加法运算，复平面内对应的点坐标及其象限，属于基础题．7．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为km.A 85B 415C 215D ．5【答案】B【分析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值．【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒， 由正弦定理，sin sin CD AD CAD ACD =∠∠， 所以·sin 4?sin12043sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒， 由正弦定理，sin sin CD BD CBD BCD =∠∠， 所以·sin 4sin4546sin sin603CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒ 在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：415AB =所以A 与B 的距离AB =故选B 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．8．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当x π=时，10i e π+=被称为数学上的优美公式.根据欧拉公式，263i i e e ππ+表示复数z ，则z =（ ）A ．2+BC ．2D ．2 【答案】B【分析】根据欧拉公式将263i i e e ππ+化简为z =，再利用复数模的计算公式计算即可.【详解】根据欧拉公式有26322cos sin cos sin 6633i i e e i i ππππππ+=+++=，所以z =，||z 故选：B 【点睛】本题主要考查复数模的计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.9．三棱柱111ABC A B C 中，90BAC ∠=，AB AC a ==，111160∠=∠=AA B AA C ，1190∠=BB C ，侧棱长为b ，则其侧面积为（ ）A B C ．ab D 【答案】C【分析】先由题中条件，得到侧面11AA B B 和侧面11AAC C 为一般的平行四边形，侧面11BB C C 为矩形，根据题中数据，分别计算三个侧面的面积，即可求出结果.【详解】如图，由已知条件可知，侧面11AA B B 和侧面11AAC C 为一般的平行四边形，侧面11BB C C 为矩形.在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC a ==，∴BC =，∴11BCC B S b ⋅=矩形.∵111160AA B AAC ∠=∠=︒，AB AC a ==，∴点B 到直线1AA 的距离为3sin 602a a ︒=. ∴111132AA C C AA B B S S ab ==四边形四边形. ∴()322322S ab ab ab =⨯+=+侧.故选C【点睛】本题主要考查棱柱的侧面积，熟记棱柱结构特征以及侧面积公式即可，属于常考题型.10．下列说法中正确的个数是（ ）①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；②平行四边形可以确定一个平面；③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；④若,A A αβ，且l αβ=，则A 在l 上. A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】根据空间点、直线、平面之间的位置关系的公理及定理，对每项逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于①，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故①不正确； 对于②，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故②正确；对于③，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故③不正确； 对于④，由公理可得，若,,A A l αβαβ∈∈⋂=，则∈A l ，故④正确.故选：B【点睛】本题主要考查空间点、直线、平面之间的位置关系的公理及定理的应用.11．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ） A ．142ππ+ B ．122ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】B【分析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．【详解】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h ，圆柱的侧面展开图是一个正方形，2r h π∴=，∴圆柱的侧面积为2224rh r ππ=，圆柱的两个底面积为22r π，∴圆柱的表面积为22222224r rh r r ππππ+=+，∴圆柱的表面积与侧面积的比为：22222241242r r r πππππ++=， 故选：B ．12．PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，连接PB ，PC ，PD ，AC ，BD ，则下列垂直关系正确的个数是（ ）①面PAB ⊥面PBC ②面PAB ⊥面PAD③面PAB ⊥面PCD ④面PAB ⊥面PACA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据题意,底面为正方形且PA ⊥平面ABCD ,则BC ⊥平面PAB ;即可判断【详解】证明：对于①,因为底面为正方形所以BC AB ⊥由题意可知PA ⊥平面ABCD所以BC PA ⊥,而PA AB A =所以BC ⊥平面PAB又因为BC ⊂平面PBC所以平面PAB ⊥平面PBC ,所以①正确;对于②,因为AD BC ∥故由①可得AD ⊥平面PAB ,而AD ⊂平面PAD所以平面PAD ⊥平面PAB ,所以②正确③④错误,不垂直.综上可知,正确的为①②故选：B【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定,属于基础题.二、填空题13．在平行四边形ABCD 中1AB e =，2AC e =，14NC AC =，12BM MC =，则MN =________.（用12,e e 表示）【答案】1225312e e -+ 【分析】根据向量的线性运算性质及几何意义，由12BM MC =得23MC BC =，利用向量的三角形法则得BC ＝AC －AB ，又14NC AC =，MN ＝CN －CM ，最后将AC 和AB 两个向量都用1e 和2e 表示即可求得结果.【详解】如图：MN ＝CN －CM＝CN ＋2BM ＝CN ＋23BC ＝－14AC ＋23(AC －AB ) ＝－214e ＋212()3e e - ＝1225312e e -+. 故本题答案为1225312e e -+. 【点睛】本题是一道关于向量运算的题目，考查平面向量的基本定理，解答本题的关键是熟练掌握向量的加法与减法的运算法则，属基础题.14．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A 、B 两点的距离为______【答案】502m 【分析】由ACB ∠与BAC ∠，求出ABC ∠的度数，根据sin ACB ∠，sin ABC ∠，以及AC 的长，利用正弦定理即可求出AB 的长．【详解】解：在ABC ∆中，50AC m =，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒，即30ABC ∠=︒，则由正弦定理sin sin AB AC ACB ABC=∠∠， 得：250sin 25021sin 2AC ACB AB m ABC ⨯∠===∠．故答案为：502m .【点睛】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 15．如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边11A B 作一个平行于棱1C C 的平面11A B EF ，记平面分三棱台两部分的体积为1V （三棱柱111A B C FEC -），2V 两部分，那么12:V V =______.【答案】3：4【解析】设三棱台的高为h ，上底面的面积是S ，则下底面的面积是4S ，计算体积得到答案.【详解】设三棱台的高为h ，上底面的面积是S ，则下底面的面积是4S ，()174233V h S S S Sh ∴=++=台，1123,743V Sh V Sh V Sh Sh ∴=∴==-. 故答案为：3:4.【点睛】本题考查了三棱台的体积问题，意在考查学生的计算能力.16．如图，S 为等边三角形ABC 所在平面外一点，且SA SB SC AB ===，,E F 分别为,SC AB 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为______.【答案】45°【分析】由GE AC //，得GEF ∠等于异面直线EF 与AC 所成角，通过求GEF ∠的大小，即可得到本题答案.【详解】如图，取AS 的中点G ，连接,GE GF ，则,GE AC GF SB ////GEF ∴∠等于异面直线EF 与AC 所成角.设2AB =，则1,1GE GF ==.取AC 的中点M ，连接,MS MB .SA SB SC AB ===，,SAC ABC ∴∆∆为等边三角形，,,SM AC BM AC SM BM M ∴⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面BMS ，,AC SB EG GF ∴⊥∴⊥，45GEF ∴∠=︒.所以，异面直线EF 与AC 所成的角为45︒.故答案为：45︒【点睛】本题主要考查异面直线所成角，把异面直线平移到一个面上，然后通过解三角形求角，是解决此类题目的常用方法.三、解答题17．如图所示，在ABO ∆中，14OC OA =，12OD OB =，AD 与BC 相交于点M .设OA a =，OB b =. （1）试用向量a 、b 表示OM ；（2）在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ，设OE OA λ=，OF OB μ=，求证：137λμ+=.【答案】（1）1377OM a b =+；（2）证明见解析. 【解析】（1）设OM ma nb =+，由A 、D 、M 三点共线以及B 、C 、M 三点共线可得出关于m 与n 的方程组，解出这两个未知数，即可得出OM 关于a 、b 的表达式； （2）设EM MF η=，利用向量的减法运算可得出11OM a b λμηηη=+++，结合1377OM a b =+可建立等式，通过化简计算可得出137λμ+=，即可得出结论. 【详解】（1）不妨设OM ma nb =+.由于A 、D 、M 三点共线，则存在()1αα≠-使得AM MD α=，即()OM OA OD OM α-=-，于是1OA OD OM αα+=+. 又12OD OB =，所以()121121OA OB OM a b ααααα+==++++， 则()1121m n ααα⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩，即21m n +=.① 由于B 、C 、M 三点共线，则存在()1ββ≠-使得CM MB β=， 即()OM OC OB OM β-=-，于是1OC OB OM ββ+=+. 又14OC OA =，所以()1141411OA OB OM a b βββββ+==++++，所以()1411m n βββ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即41m n +=.②由①②可得17m =，37n =，所以1377OM a b =+；（2）由于E 、M 、F 三点共线，所以存在实数()1ηη≠-使得EM MF η=， 即()OM OE OF OM η-=-，于是1OE OFOM ηη+=+.又OE OA λ=，OF OB μ=，所以111OA OB OM a b λημλμηηηη+==++++，所以137711a b a b λμηηη+=+++，则117317λημηη⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，可得171371ληημη⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，两式相加得137λμ+=.【点睛】本题考查了平面向量的数乘，向量的线性运算及向量表示三点共线，属中档题． 18．如图，一艘船从港口O 出发往南偏东75°方向航行了100km 到达港口A ，然后往北偏东60°方向航行了160km 到达港口B ．试用向量分解知识求从出发点O 到港口B 的直线距离（2 1.414,145.5612.065≈≈，结果精确到0.1km ）．（提示：将OA ，AB 分解为垂直的两个向量．）【答案】241.3km【分析】建立直角坐标系，利用平面向量的坐标表示公式，结合平面向量加法的几何意义和坐标表示公式进行求解即可.【详解】建立如图所示的坐标系：显然907515,906030,100,160AOC BAE OA AB ︒︒︒︒︒︒∠=-=∠=-===，于是有：sin15100sin15AC AC OA ︒︒=⇒=，cos15100cos15OCOC OA︒︒=⇒=， sin 30160sin 3080BE BE BA ︒︒=⇒==，cos30160cos30803AE AE BA︒︒=⇒== 所以(100cos15,100sin15),(803,80)OA AB ︒︒=-=，因为(100cos15803,100sin1580)OB OA AB ︒︒=+=+-+，所以有： 222222(100cos15803)(100sin1580)(100cos15)(803)(100sin15)80160003cos1516000sin153560032000cos 452089402208940 1.41420145.562012.065241.3OB︒︒︒︒︒︒︒=++-+=++-++-=+=+≈+⨯=≈⨯=19．如图所示，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，点D ，E ，F 为圆O 上的点，,,DBC ECA FAB 分别是以BC,CA,AB 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB 为折痕折起,,DBC ECA FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥，则当ABC 的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围.【答案】(0,543【分析】根据题意，设三棱锥的底面边长为a ，则03a <<连接OD ，交BC 与点G ，则OD BC ⊥，从而可知36,OD OG ==，则36DG =，根据三角形的面积分别求出三棱锥的底面积和侧面积，从而得出三棱锥的表面积9S a =，根据a 的取值范围，即可求出当ABC 的边长变化时，三棱锥的表面积的取值范围.【详解】解：由题可知，等边三角形ABC 的中心为O ，圆O 的半径为6， 设三棱锥的底面边长为a ，即等边三角形ABC 的边长为a ， 如图，连接OD ，交BC 与点G ，由题意可知，OD BC ⊥， 则2333OA ==，6OD =，可知OA OD <36<，则063a <<1336,3OD OG ===，则36DG OD OG =-=， ∴三棱锥的底面积为：213sin 6024ABC S a a =⨯⨯⨯=△，由题可知，,,DBC ECA FAB 全等，则面积相等， ∴三棱锥的侧面积为：211333336922DBC S BC DG a a ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△， 所以三棱锥的表面积为：2233399ABC DBC S S S a a =+=+=△△， 063a <<09543a ∴<<，即(0,543S ∈，所以当ABC 的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围是(0,543.20．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB BC AA ===；(1)求异面直线1A B 和CD 所成角的正切值； (2)求三棱柱11A AB D DC -的体积和表面积. 【答案】(1)32(2)体积6，表面积1613+【分析】（1）因为//AB CD ，所以1A B 与CD 所成的角即为1A B 与AB 所成的角，从而得到结果； （2）根据三棱柱的体积公式和表面积公式即可得到结果. 【详解】（1）在长方体中，因为//AB CD ，所以1A B 与CD 所成的角即为1A B 与AB 所成的角，即1A BA ∠（或补角），113tan 2A A A BA AB ∠==， 所以异面直线1A B 和CD 所成角的正切值为32；（2）易知三棱柱11A AB D DC -是直三棱柱，底面1A AB 是直角三角形， 所以111132322A ABSA A AB =⋅⋅=⨯⨯=． 又11A D 为三棱柱的高，所以111326A ABV SA D =⋅=⨯=，又四边形11A D CB 为矩形，1112,13A D A B ==，所以1111213,224,236A D CB ABCD A D DA S S S ==⨯==⨯=四边形四边形四边形，故所求表面积111112A ABA D CB ABCD A D DA S SS S S =+++四边形四边形四边形232134616213=⨯+++=+.21．如图，四边形ABCD 中，,,642ABAD AD BC AD BC AB ，，，,E F 分别在,BC AD 上，EF AB ∥.现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC .（1）当1BE =时，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，使得CP 平面ABEF ？若存在，求出P 点位置；若不存在，说明理由（2）设BE x =，问当x 为何值时，三棱锥A CDF -的体积有最大值？并求出这个最大值. 【答案】（1）见解析；（2）当3x =时，三棱锥A CDF -的体积V 有最大值，最大值为3 【分析】（1）先找到点32APPD，再证明此时CP 平面ABEF .（2）BE x =，(04),6AFx xFDx ，体积的表达式为21333V x 得到答案.【详解】（1）存在点P ，使得CP平面ABEF ，此时32APPD .当32AP PD时，35AP AD， 过点P 作MP FD ，交AF 于点M ，连接EM ，如图，则35MP FD . ∵在四边形ABCD 中，16BE AF AD ，∴5FD，∴3MP =.∵3,//EC EC FD ，∴//MP EC ，且MP EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，∴//PC ME . ∵CP 平面,ABEF ME 平面ABEF ，∴CP平面ABEF .（2）∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ⋂平面EFDC EF ，,AF EF AF 平面EFDC .∵BE x =，∴(04),6AFx xFDx ，故三棱锥A CDF -的体积21112633323Vx xx ，当3x =时，三棱锥A CDF -的体积V 有最大值，最大值为3【点睛】本题考查了线面平行，体积的最值，先找后证是一个常规的方法，找到体积的表达式是解题的关键.22．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11C D ，11B C 的中点．（1）求证：B ，D ，E ，F 四点共面； （2）若ACBD P =，11A C EF Q =，1AC 与平面EFBD 交于点R ，求证：,,P Q R 三点共线．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）证明EF ∥BD 即可得出结论；（2）只需说明,,P Q R 三点都是平面BDEF 和平面ACC 1A 1的公共点即可得出结论． 【详解】证明：（1）连接11B D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，∵E ，F 分别为11C D ，11B C 的中点， ∴EF 是111B C D △的中位线，∴11//EF B D ， 又因为11//B D BD ，∴//EF BD∴四边形BDEF 为梯形，即B ，D ，E ，F 四点共面． （2）在正方体1111ABCD A B C D -中，ACBD P =，11A C EF Q =，AAC C与平面BDEF的交线，∴PQ是平面11AC交平面BDEF于点R，又因为1AAC C与平面BDEF的一个公共点．∴R是平面11因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，P Q R三点共线．∴,,。
高一数学下学期第一次月考试题_1_3
一中2021—2021学年度第二学期月考考试高一年级数学试卷说明：1. 考试时间是是90分钟，满分是150分.2. 将卷Ⅰ答案需要用2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或者圆珠笔答在答题纸上.3. Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位. 卷Ⅰ(选择题 一共60分)选择题〔一共12小题，每一小题5分，一共计60分；在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项是正确的〕 ⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是( ).A ．12)1(3++-=n n n a nn B ．12)2()1(++-=n n n a n n C ．121)1()1(2--+-=n n a nn D ．12)3()1(++-=n n n a nn △ABC 中，假设B A sin sin >，那么A 与B 的大小关系为〔 〕.A. B A >B. B A <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定 }{n a 中，n S 表示前n 项和，假设12,123423+=+=S a S a ，那么公比q =〔 〕.A.3-B.1-C.34.如图，为了测量A 、B 两点间的间隔 〔A 、B 不可视〕，以下四组数据应选用〔 〕.A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．α，β，bD ．a ，b ，γ5. 公差不为零的等差数列{an}的前n 项和为Sn ，假设a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，那么S10等于( ).A ．18B ．24C ．60D ．906. 在△ABC 中,根据以下条件解三角形,其中有两个解的是〔 〕.A. b=10, A=450, C=600B. a=6, c=5, B=600C. a=7, b=5, A=600D. a=14, b=16, A=4507. 数列}{n a 满足222213221n a a a a n n =++++- ，那么n a 等于( ). A. 12-n B. n )21( C. 1)21(-nD. n 2 8. 在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤，那么A 的取值范围是〔 〕.A.⎥⎦⎤ ⎝⎛6,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,6 C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛3,0π D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,3 9. 数列{an}中，a1=1，an+1=22+n n a a 〔n ∈N*〕，那么1012是这个数列的第〔 〕项.10. △ABC 中，1c o s 1c o s A a B b -=-，那么△ABC 一定是〔 〕. A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形11. {}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，假设214000S S =，O 为坐标原点，点(2,)n P a 、2011(2011,)Q a ，那么OP OQ ⋅=〔 〕.A ．2021B ．4022C ．0D ．112. 如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，那么 sin C 的值是 ( )．A.33B.36C.63D.66卷Ⅱ(非选择题 一共90分)二. 填空题 〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分；把答案写在题中横线上〕13. 数列{}n a 的前n 项和n nS 23+=，那么n a =__________. 14. 14. 等差数列{}n a 中，1,553-=-=a a {}n a 的前n 项和n S 的最小值 .15. 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，那么AB ＋2BC 的最大值为________．〔 16. ++∈+=N n n a n n ),2(log )1(，我们把使乘积n a a a .21 ⋅⋅为整数的n ，叫 称作“类数〞，那么在区间()2009,1内所有类数的和为_______ ．三. 解答题〔本大题一一共6小题；解答写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕1 17.〔此题满分是10分〕A ，B 是海面上位于东西方向相距)33(5+︒45，B 点北偏西︒60的D 点有一艘轮船发出求救信，位于B 点南偏西︒60且与B 点相距320海里的C 点的救援船立即前往营救， 其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间是？姓名______________ 班18.〔此题满分是12分〕设ABC ∆是锐角三角形，c b a ,,分别是内角C B A ,,所对边长，并且B B B A 22sin 3sin 3sin sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ.求A ；(2) 假设72,12==⋅a AC AB ，求)(,c b c b <其中.19. 〔此题满分是12分〕设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=〔Ⅰ〕求{}n a ，{}n b 的通项公式； 〔Ⅱ〕求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S20.〔此题满分是12分〕在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.cos A －2cos C cos B＝2c －a b . (1)求sin C sin A 的值；(2)假设cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S.21.〔此题满分是12分〕数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211122n S n n =+.数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=(n *∈N )，且311b =，129153b b b +++=.〔Ⅰ〕求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； 〔Ⅱ〕设3(211)(21)n n n c a b =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n k T >对一切n *∈N 都成立的最大正整数k 的值.22.〔此题满分是12分〕数列{}n a 中，n S 是其前n 项和， 并且() ,2,1241=+=+n a S n n ，11a =〔1〕设n n n a a b 21-=+),2,1( =n ，求证：数列{}n b 是等比数列；〔2〕求数列{}n a 的通项公式； 〔3〕数列{}n a 中是否存在最大项与最小项，假设存在，求出最大项与最小项；假设不存在，说明理由.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
河北省第一中学2022-2021学年高一数学下学期6月月考试题(含解析)
河北省沧州市第一中学2020-2021学年高一数学下学期6月月考试题（含解析）（满分：150分，测试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.不等式2340x x --<的解集为（ ） A. {}41x x -<<B. {}14x x -<<C. {}14x x <<D.{1x x <-或}4x >【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】2340x x --<可化为()()410x x -+<，则该不等式的解集为{}14x x -<< 故选：B【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，属于基础题.2.一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且直观图O A B C ''''的面积为2，则原梯形的面积为（ ）A. 2B. 2C. 4D. 42【答案】D 【解析】 【分析】根据24S S =直观原图，可求出原梯形的面积. 【详解】由斜二测画法知，24S S =直观原图，又2S =直观， 42S ∴=原图故选：D .【点睛】本题考查斜二测画法，属于基础题.3.等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则前9项的和9S 等于（ ） A. 66 B. 99C. 144D. 297【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可求得a 4=13，a 6=9，从而有a 4+a 6=22，由等差数列的前n 项和公式即可求得答案．【详解】解：∵在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，44339,13a a ==，66327,9a a ==， 461922a a a a +=+=，∴数列{}n a 的前9项之和1999()2299922a a S +⨯===， 故选：B【点睛】本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n 项和公式是解决问题的关键，属于基础题． 4.给定下列命题：①22a b a b >⇒>；②22a b a b >⇒>；③1b a b a >⇒<；④11a b a b>⇒<； 其中正确的命题个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的基本性质或者举反例逐一判断各个命题．【详解】解：（方法一）对于①，取1,2a b ==-，则a b >，但2214a b =<=，故①错； 对于②，取2,1a b =-=，则22a b >，但a b <，故②错；对于③，取1,2a b =-=-，则a b >，但21ba =>，故③错； 对于④，取1,2ab ==-，则a b >，但11112a b =>=-，故④错；故选：A ．（方法二）对于①，由于a b >，则0a b ->，而()()22a b a b a b -=+-，但+a b 的符号不确定，故①错；对于②，由于22a b >，则()()220a b a b a b -=+->，则+a b 和-a b 同号，但+a b 的符号不确定，则-a b 的符号也不确定，故②错；对于③，由于a b >，则0b a -<，而1b b a a a --=，但a 的符号不确定，故③错； 对于④，由于a b >，则0b a -<，而11b aa b ab--=，但ab 的符号不确定，故④错；故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．5.已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ） A 1 3 C. 22【答案】B 【解析】 【分析】设出圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积列方程，解方程求得圆锥的底面半径. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故其母线长为2π2πrr =，所以圆锥的表面积为()221ππ29π2r r +=，解得3r =故选：B【点睛】本小题主要考查圆锥表面积有关计算，属于基础题.6.已知直线1:210l ax y +-=，直线2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则实数a 的值为（ ） A. 4﹣ B. 4C. 4±D. 0【答案】A 【解析】 【分析】解不等式820,a a ⨯-⨯=得4a =±，检验舍去4a =得解. 【详解】因为12l l //，所以820,4a a a ⨯-⨯=∴=±.当4a =时，1:4210l x y +-=，2:4210l x y +-=，两直线重合，所以舍去； 当4a =-时，满足题意. 故选：A【点睛】本题主要考查两直线平行的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7.设,,αβγ是三个互不重合的平面，,m n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（ ）A. 若//,//m m αβ，则//αβB. 若//,//m n αα，则//m nC. 若,m m αβ⊥⊥，则//αβD. 若,a γβγ⊥⊥，则//αβ【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直线，平面直线平行或垂直的判定定理和性质定理进行判断即可.【详解】A .同时平行于一条直线的两个平面不一定平行，可能平行也可能相交，故A 错误， B .若//,//m n αα，则,m n 关系不确定，可能平行也可能相交，也可能异面，故B 错误， C .若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，C 成立， D .若,a γβγ⊥⊥，则//αβ或α与β相交，故D 错误，故选：C .【点睛】本小题主要考查空间线线、面面位置关系命题的判断，属于基础题.8.设函数()21f x mx mx =--，若对于任意[]1,3x ∈，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A. 3,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 5,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 50,7⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.()5,00,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用分离参数法得到215m x x <-+，转为求函数251y x x =-+在[]1,3的最小值，从而可求得m 的取值范围.【详解】由题意()4f x m <-+，可得()215m x x -+<当[]1,3x ∈时，21[1,7]x x -+∈，则215m x x <-+令251y x x =-+，[]1,3x ∈，当3x =时，251x x -+的最小值为57因为对于任意[]1,3x ∈，215m x x <-+恒成立，所以57m <故选：B【点睛】本题考查恒成立问题的解法，经常利用分离参数法，转为求函数最值问题，属于中档题.9.第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）．A. 20︒B. 28︒C. 38︒D. 48︒【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到PE 和ME 的长度，从而得到tan PME ∠的值，根据正切函数的单调性，得到3045PME ︒︒<∠<，从而得到答案.【详解】依题意得“斗冠”的高为60.333.327-=米， 如图，27PE =，11()22ME MN EF =-=⨯139(139.469.9)4-=， PME ∠为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，27108tan 0.781391394PE PME ME ∠===≈， 而3tan300.583︒=≈，tan 451︒=，且tan y x =0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因为0.580.781<<，所以3045PME ︒︒<∠<， 故选：C ．【点睛】本题考立体几何中求线段的长度和正切函数的单调性，属于简单题.10.在同一直角坐标系中，直线0ax y a -+=与圆()222x a y a ++=的位置可能是（ ）A. ②③B. ①②C. ②④D. ①④【答案】D 【解析】 【分析】讨论圆心(,0)a -到直线0ax y a -+=的距离与半径的大小关系，确定a 的范围，即可作出判断.【详解】解：圆222()x a y a ++=的圆心为(,0)a -，半径为a则圆心(,0)a -到直线0ax y a -+=的距离为221a a d a -+=+221a a a a -+<+2111a a -<+，即22121a a a -+<+，即0a >此时说明直线与圆相交，且直线的斜率为正数，则①正确，②③错误； 221a a a a -+>+2111a a ->+，即22121a a a -+>+，即0a <此时说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，则④正确； 故选：D【点睛】本题主要考查了判断直线与圆位置关系，属于中档题.11.若数列{}n a 21232n a a a a n n =+，*n ∈N 则31235721n a a a a n +++⋅⋅⋅+=+（ ） A. 224n n + B. 24n n +C. 22n n +D. 21n【答案】C 【解析】先少写一项做差求通项n a ，然后代入即可求解. 【详解】当1n =13a = 19a = 当2n ≥时，21232n a a a a n n +()()21231121n a a a a n n -=-+-相减()212n a n n =+≥()221n a n =+所以2121na n n =++ 所以()2312321357212357212n n n a a a a n n n n +++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++==++ 当1n =时，也满足 所以2312235721n a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=++ 故选：C【点睛】此题考查数列求通项，主要利用()12n n n a S S n -=-≥进行求通项，属于较易题目. 12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A 86π B. 46πC. 26π6π【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即 364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，22122122x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=62R ∴=，34466338V R ∴=π=π⨯=π，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 二、多选题13.对于ABC ，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若sin 2sin 2A B =，则ABC 必为等腰三角形 B. 若A B >，则sin sin A B >C. 若1AC =，13BC =120A =︒，则ABC 的面积为334D. 若222sin sin sin 0B C A +->，则ABC 必为锐角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】由sin 2sin 2A B =得出22A B =或22A B π+=从而判断A ；由大边对大角，正弦定理判断B ；根据余弦定理以及三角形面积公式判断C ；取120,30B A C ︒︒===判断D. 【详解】对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+= 当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2A B π+=时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确；对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a bA B=，即sin sin A B >成立．故B 正确； 对于C ，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得21131212c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭即2120c c +-=，解得3c =或4c =-（舍）则11333sin 1322ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△，故C 正确； 对于D ，当120,30B A C ︒︒===时，2222sin 120sin 30sin 30s n 0i 120︒︒︒︒+-=> 此时ABC 为钝角三角形，故D 错误； 故选：BC【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 14.如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）A. 点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥B. 若正方体的棱长为1，三棱锥1B C MD -的体积最大值为13C. 在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30°D. 点M 存在无数个位置满足//BM 平面11B D C 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过证明1AD ⊥面1A DC ，可得当点1M A D ∈上时，有1CM AD ⊥，可判断A ； 由已知11B C MD C D B M V V --=，当点M 与点1A 重合时，点M 到面1C BD 的距离最大，计算11B A C D V -可判断B ；连接1A M ，因为11//CD A B ，则11A B M ∠为异面直线1B M 与CD 所成的角，利用余弦定理算出1A M 的距离，可判断C ；证明平面11//B CD 平面1A BD ，即可判断D.【详解】解：对于A ，连接111,,,AD A D DC AC 由正方体的性质可得1111,,AD A D AD DC A D DC D ⊥⊥=，1,A D DC ⊂平面1A DC则1AD ⊥平面1A DC当点1M A D ∈上时，有1CM AD ⊥故点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥，故A 正确；对于B ，由已知11B C MD C D B M V V --=当点M 与点1A 重合时，点M 到面1C BD 的距离最大则三棱锥1B C MD -的体积最大值为11311114111323A C BD V -=-⨯⨯⨯⨯⨯=，故B 正确；对于C ， 连接1A M因为11//CD A B ，所以11A B M ∠为异面直线1B M 与CD 所成的角设正方体棱长为1，1A M x =，则2211B M x =+点1A 到线1AD 的距离为2211222+=，21x ∴≤≤ 221123cos cos 20213A B M x ︒∠===+ 解得32,12x ⎡⎤=∉⎢⎥⎣⎦所以在线段1AD 上不存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30︒，故C 错误；对于D ，连接111111,,,,,A B BD A D D C D B B C11//A D BC ，11A D BC =∴四边形11A BCD 为平行四边形，则11//A B D C1A B ⊄平面11B CD ，1D C ⊂平面11B CD 1//A B ∴平面11B CD ，同理可证//DB 平面11B CD 1A B DB B ⋂=，1,A B DB ⊂平面1A BD ∴平面11//B CD 平面1A BD若1M A D ∈，MB ⊂平面1A BD ，则//BM 平面11B D C ，故D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查空间垂直关系的证明和判断，考查几何体体积的计算，异面直线所成角的计算，线面平行的判断，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题15.设()3,2,1A ，()1,0,5B ，()0,3,4C ，AB 的中点为M ，则CM =_______. 【答案】3 【解析】 【分析】由中点坐标公式得出M 的坐标，再由两点间距离公式求解即可. 【详解】由题意知，()2,1,3M ，则()()()2222013343CM =-+-+-=故答案为：3【点睛】本题主要考查了求空间中两点间的距离，属于基础题. 16.已知0a >，0b >，且2a b +=，那么21a b+的最小值为________. 【答案】322+ 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】21a b +()12133222322222b a b a a b a b a a b b ⎛⎫=+=++≥+⋅= ⎝+⎭+⎪当且仅当2b a a b=，即222,422b a ==-时，取等号 则21a b +322+322+【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题.17.直线210x y --=与圆M ：224640x x y y -+-+=相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为____________. 【答案】12 【解析】 【分析】先由圆的方程得到圆心坐标与半径，再由点到直线距离公式求出圆心(2,3)M 到直线210x y --=的距离，结合圆的性质，即可求出结果.【详解】圆M ：224640x y x y +--+=可化为22(2)(3)9x y -+-= 则圆M 的圆心(2,3)M ，半径3r = 点(2,3)M 到直线210x y --=的距离26155d --==由题意知，当BD 为过圆心M 且垂直于AC 时，四边形ABCD 面积的最大 且最大值为1129561222AC BD ⨯⨯=⨯-= 故答案为：12【点睛】本题主要考查了直线与圆的应用，熟记点到直线的距离公式，以及圆的性质即可，属于中档题.18.一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以72千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为________千米.（结果保留根号）【答案】6【解析】【分析】利用正弦定理以及直角三角形的边角关系得出直升机飞行的高度.【详解】如下图所示6075135BAC︒︒︒∠=+=，30EAB∠=︒，30ACB∠=︒，1672605BC DE==⨯=千米由正弦定理sin sinAB BCACB BAC=∠∠可得，61sin3252sin52BC ACBABBAC⨯⋅∠===∠千米在直角ABE△中，3236tan535BE AB EAB=⋅∠==千米6【点睛】本题主要考查了正弦定理的实际应用，属于中档题.四、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤.）19.已知直线l的方程为34100x y+-=，求直线l'的方程，使得：（1）l'与l平行且过点1,2；（2）l'与l垂直且l'与两坐标轴围成的三角形的面积为2.【答案】（1）3450x y +-=；（2）43430x y -+=或43430x y --=. 【解析】 【分析】（1）由l '与l 平行设l '的方程为340x y m ++=，再由1,2在l '上得出m 的值，进而得出直线l '的方程；（2）由l '与l 垂直设出直线l '的方程，再由l '与两坐标轴围成的三角形的面积求出λ的值，进而得出直线l '的方程.【详解】（1）解：设l '的方程为340x y m ++=，由点1,2在l '上知380m -++=，5m =-，所以直线l '的方程为3450x y +-=.（2）解：设l '的方程为430x y λ-+=，令0y =，得4x λ=-，令0x =，得3y λ=，于是三角形面积12243S λλ=-⋅=，得248λ=，43λ=± 所以直线l '的方程为43430x y -+=或43430x y --=. 【点睛】本题主要考查了根据两直线平行和垂直求方程，属于中档题. 20.如图所示，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且s 3c in os b C C a-=.（1）求A ；（2）若点P 是线段CA 延长线上一点，且3PA =，2AC =，6C π=，求PB .【答案】（1）23π；（27. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，化边为角，可得tan 3A =-，进而可求A ; （2）结合三角形的性质及余弦定理可求PB .【详解】（1）由条件，s 3c in os bC C a-=， 则由正弦定理，sin sin 3co i 3s n s BC AC -=， 所以()3sin cos sin sin sin sin sin cos sin cos 3A C A CB AC A C C A -==+=+， 即3sin sin sin cos 3A C C A -=， 又sin 0C >，所以tan 3A =-，23A π=. （2）由（1）可知，23BAC π∠=，而6C π=，则6ABC π∠=，所以2AB AC ==， 在PAB △中，3PAB π∠=，由余弦定理，2222cos 9467PB PA AB PA AB PAB ⋅=∠=+-+-=.所以7PB =.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，边角的转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.21.如图所示，在ABC 中，22CA CB AB ==，四边形ABED 是正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，G ，F 分别是EC ，BD 的中点.求证：（1）//GF 平面ABC ； （2）平面DAC ⊥平面EBC ；（3）求直线EC 与平面ABED 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理结合中位线定理证明即可；（2）利用面面垂直的性质以及线面垂直的判定定理证明AC ⊥平面EBC ，最后由面面垂直的判定定理证明即可；（3）取AB 的中点N ，利用面面垂直的性质得出CN ⊥平面ABED ，进而得出CEN ∠为直线EC 与平面ABED 所成的角，最后由直角三角形的边角关系得出直线EC 与平面ABED 所成的角的正弦值.【详解】（1）证明：连接AE ，因为四边形ADEB 为正方形，所以AE BD F ⋂=，且F 是AE 的中点，因为G 是EC 的中点，所以//GF AC .又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ，所以//GF 平面ABC .（2）证明：因为四边形ADEB 为正方形，所以EB AB ⊥又因为平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，BE ⊂平面ABED 所以BE ⊥平面ABC ，所以BE AC ⊥ 因为2CA CB AB ==，所以222CA CB AB +=，所以AC BC ⊥ 又因为BCBE B =，BC ，BE ⊂平面EBC ，所以AC ⊥平面EBC因为AC ⊂平面DAC ，所以平面DAC ⊥平面EBC . （3）取AB 的中点N ，连接EN ，CN 因为CB CA =，所以CN AB ⊥又因为平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，CN ⊂平面ABC 所以CN ⊥平面ABED ，所以CEN ∠即为直线EC 与平面ABED 所成的角.不妨设1AB =，则12CN =，6CE = ∴162sin 6CEN ∠==.所以直线EC 与平面ABED 所成的角的正弦值为6.【点睛】本题主要考查了证明线面平行，面面垂直，求线面角，属于中档题.22.正项数列{}n a 的前项和n S 满足：242n n n S a a =+，()*n ∈N，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()2212n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n ∈N 都有564n T <. 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用n S 与n a 的关系，结合等差数列的性质，即可得出数列{}n a 的通项公式； （2）由2n a n =得出数列{}n b 的通项公式，结合裂项相消法和不等式的性质证明即可. 【详解】（1）解：∵正项数列{}n a 的前项和n S 满足：242n n n S a a =+，()*n ∈N ① 则211142n n n S a a ---=+，()2n ≥②①-②得()22114222n n n n n a a a a a n --=-+≥- 即()2211222n n n n a a a a n --+=-≥ 即()()()()11122n n n n n n a a a a a a n ---+=+-≥又10n n a a ->+，12n n a a --=，()2n ≥.又12a =，所以数列{}n a 是以2为首项2为公差的等差数列.所以2n a n =.（2）证明：由于2n a n =，()2212n n n b n a +=+则()()2222111116422n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦ ()()()222222222111111111111632435112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦ ()()22221111115111621626412n T n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+=⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了由n S 求n a 以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.23.已知圆M 的方程为()2221x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .（1）求若60APB ∠=︒，试求点P 的坐标；（2）求证：直线AB 过定点；（3）设线段AB 的中点为N ，求点N 的轨迹方程.【答案】（1）P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析；（3）221758464x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（除去点()0,2）.【解析】【分析】（1）设()2,P m m ，由圆性质以及直角三角形的性质得出2M P =，由两点间距离公式得出m 的值，进而得出点P 的坐标；（2）求出经过A ，P ，M 三点的圆的方程，并与圆M 的方程联立，得出直线AB 的方程，从而得出直线AB 过定点；（3）根据直角三角形的性质得出点N 在以MR 为直径的圆上，求出半径和圆心坐标，即可得出点N 的轨迹方程.【详解】（1）解：设()2,P m m ，因为PA 是圆M 的切线，60APB ∠=︒所以30APM ∠=︒，2M P =，所以()()22224m m +-=，解之得0m =，45m =故所求P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）解：设()2,P m m ，又()0,2M ，则MP 的中点,12m Q m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 因为PA 是圆M 的切线，所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程：()22221122m m x m y m ⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 化简得：222(2)20x y mx m y m +--++= 由()22222220,430x y mx m y m x y y ⎧+--++=⎨+-+=⎩两式相减，得AB ：()22320mx m y m +-+-=，即()22230m x y y +--+=， 由220,230x y y +-=⎧⎨-=⎩可得AB 过定点13,42R ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）因为N 为圆M 的弦AB 的中点，所以MN AB ⊥，即MN RN ⊥，故点N 在以MR 为直径的圆上.M ，R 的中点为17,84⎛⎫ ⎪⎝⎭，1528r MR == 点N 的轨迹方程221758464x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（除去点()0,2）. 【点睛】本题主要考查了圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，直线过定点问题，求有关圆的轨迹方程，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.。