高考数学一轮专项测试：直线与圆
2024年高考数学一模好题分类汇编：直线与圆、圆锥曲线(解析版)
直线与圆、圆锥曲线题型01 直线与圆题型02 椭圆题型03 双曲线题型04 抛物线题型01 直线与圆1(2024·浙江·校联考一模)圆C :x 2+y 2-2x +4y =0的圆心C 坐标和半径r 分别为()A.C 1,-2 ,r =5B.C 1,-2 ,r =5C.C -1,2 ,r =5D.C -1,2 ,r =5【答案】A【详解】圆C :x 2+y 2-2x +4y =0，即C :x -1 2+y +2 2=5，它的圆心C 坐标和半径r 分别为C 1,-2 ,r = 5.故选：A .2(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)“a ≤-5或a ≥5”是“圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:(x +a )2+(y -2a )2=36存在公切线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【详解】圆C 1的圆心为0,0 ，半径r 1=1，圆C 2的圆心为-a ,2a ，半径r 2=6，所以两圆的圆心距为d =C 1C 2 =a 2+4a 2=5a 2，两圆内含时，即5a 2<6-1 ，解得-5<a <5，所以当两圆有公切线时，a ≥5或a ≤-5，所以“a ≤-5或a ≥5”是“圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:(x +a )2+(y -2a )2=36存在公切线”的充要条件．故选：C ．3(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知圆C 1:(x -3)2+y 2=1,C 2:x 2+(y -a )2=16，则下列结论正确的有()A.若圆C 1和圆C 2外离，则a >4B.若圆C 1和圆C 2外切，则a =±4C.当a =0时，圆C 1和圆C 2有且仅有一条公切线D.当a =-2时，圆C 1和圆C 2相交【答案】BCD【详解】C 13,0 ,C 20,a ,C 1C 2 =9+a 2,r 1=1,r 2=4.若C1和C 2外离，则C 1C 2 =9+a 2>r 1+r 2=5，解得a >4或a <-4，故A 错误；若C 和C 外切，C C =9+a 2=5，解得a =±4，故B 正确；当a =0时，C 1C 2 =3=r 2-r 1,C 1和C 2内切，故C 正确；当a =-2时，3<C 1C 2 =13<5,C 1和C 2相交，故D 正确.故选：BCD4(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为x =3ty =4t -1 (t 为参数)，直线l 2的参数方程为x =12s y =32s(s 为参数).(1)求这两条直线的普通方程(结果用直线的一般式方程表示)；(2)若这两条直线与圆C :(x -3)2+(y -4)2=m 2都相离，求m 的取值范围.【答案】(1)l 1:4x -3y -3=0，l 2:3x -y =0(2)4-332<m <33-42【详解】(1)直线l 1的参数方程为x =3t y =4t -1 ，则4x =12t3y =12t -3 ，两式相减得4x -3y -3=0直线l 2的参数方程为x =12sy =32s ，则s =2x 代入y =32s ，得y =3x ,3x -y =0；(2)圆C 的圆心为3,4 ，半径为m ，若l 1,l 2与圆C :(x -3)2+(y -4)2=m 2相离，所以12-12-35>m33-42>m，即35>m 33-42>m，解得4-332<m <33-42.5(2024·重庆·统考一模)过点P 作圆C :x 2+y 2-4x -43y +15=0的两条切线，切点分别为A ,B ，若△PAB 为直角三角形，O 为坐标原点，则OP 的取值范围为()A.2-2,2+2B.4-2,4+2C.2-2,2+2D.4-2,4+2【答案】D【详解】圆C :(x -2)2+(y -23)2=1的圆心C (2,23)，半径r =1，由PA ,PB 切圆C 于点A ,B ，且△PAB 为直角三角形，得∠APB =90°,|PA |=|PB |，连接AC ,BC ，则∠CAP =∠CBP =90°，即四边形APBC 是正方形，|PC |=2，因此点P 在以点C 为圆心，2为半径的圆上，而|OC |=22+(23)2=4，于是|OP |max =4+2,|OP |min =4-2，所以OP 的取值范围为4-2,4+2 .故选：D6(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知圆C ：x 2+y 2-4x -14y +45=0及点Q (-2,3)，则下列说法正确的是()A.直线kx -y -2k +1=0与圆C 始终有两个交点B.若M 是圆C 上任一点，则|MQ |的取值范围为22,62C.若点P (m ,m +1)在圆C 上，则直线PQ 的斜率为14D.圆C 与x 轴相切【答案】B【详解】依题意，圆C ：(x -2)2+(y -7)2=8，圆心C (2,7)，半径r =22，对于A ，直线kx -y -2k +1=0恒过定点(2,1)，而点(2,1)在圆C 外，则过点(2,1)的直线与圆C 可能相离，故A 不正确；对于B ，|CQ |=42，点Q 在圆C 外，由CQ -r ≤MQ ≤CQ +r 得：22≤MQ ≤62，故B 正确.对于C ，点P (m ,m +1)在圆C 上，则(m -2)2+(m -6)2=8，解得m =4，而点Q (-2,3)，则直线PQ 的斜率为m -2m +2=13，故C 不正确；对于D ，点C (2,7)到x 轴距离为7，大于圆C 的半径，则圆C 与x 轴相离，即圆C 与x 轴不相切，故D 不正确；故选：B7(2024·河北·校联考一模)已知圆C :x 2+2x +y 2-1=0，直线mx +n y -1 =0与圆C 交于A ，B 两点.若△ABC 为直角三角形，则()A.mn =0B.m -n =0C.m +n =0D.m 2-3n 2=0【答案】A【详解】因为圆C :x 2+2x +y 2-1=0，圆心为C -1,0 ，半径为r =2，即CA =CB =2因为△ABC 为直角三角形，所以AB =CB2+CA 2=2,设圆心C -1,0 到直线mx +n y -1 =0的距离为d ，d =-m -nm 2+n 2=m +nm 2+n 2由弦长公式AB =2r 2-d 2得d =1，所以m +nm 2+n2=1，化简得mn =0.故选：A .8(2024·广东深圳·校考一模)已知圆C ：x 2+y 2-2kx -2y -2k =0，则下列命题是真命题的是()A.若圆C 关于直线y =kx 对称，则k =±1B.存在直线与所有的圆都相切C.当k =1时，P x ,y 为圆C 上任意一点，则y +3x 的最大值为5+3D.当k =1时，直线l :2x +y +2=0,M 为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的切线MA ,MB ，切点为A ，B ，则CM ⋅AB 最小值为4【答案】BCD【详解】解：圆C ：x 2+y 2-2kx -2y -2k =0，整理得：x -k 2+y -1 2=k +1 2，所以圆心C k ,1 ，半径r =k +1 >0，则k ≠-1对于A ，若圆C 关于直线y =kx 对称，则直线过圆心，所以1=k 2，得k =±1，又k =-1时，r =0，方程不能表示圆，故A 是假命题；对于B ，对于圆C ，圆心为C k ,1 ，半径r =k +1 >0，则k ≠-1，当直线为x =-1时，圆心到直线的距离d =k -(-1) =k +1 =r ，故存在直线x =-1，使得与所有的圆相切，故B 是真命题；对于C ，当k =1时，圆的方程为x -1 2+y -1 2=4，圆心为C 1,1 ，半径r =2由于P x ,y 为圆C 上任意一点，设y +3x =m ，则式子可表示直线y =-3x +m ，此时m 表示直线的纵截距，故当直线与圆相切时，可确定m 的取值范围,于是圆心C 1,1 到直线y =-3x +m 的距离d =3+1-m12+32=r =2，解得m =3-3或m =5+3，则3-3≤m ≤5+3，所以y +3x 的最大值为5+3，故C 为真命题；对于D ，圆的方程为x -1 2+y -1 2=4，圆心为C 1,1 ，半径r =2，如图，连接AC ,BC ，因为直线MA ,MB 与圆C 相切，所以MA ⊥AC ,MB ⊥BC ，且可得MA =MB ，又AC =BC =r =2，所以MC ⊥AB ，且MC 平分AB ，所以S =1CM ⋅AB =2S =2×1MA ⋅AC ，则CM ⋅AB =2MA ⋅AC =2CM 2-r 2×2=4CM 2-4，则CM ⋅AB 最小值即CM 的最小值，即圆心C 1,1 到直线l :2x +y +2=0的距离d =CM min =2+1+222+12=5，所以CM ⋅AB 的最小值为4，故D 为真命题.故选：BCD .9(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知直线y =kx +2k ∈R 交圆O :x 2+y 2=9于P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 两点，则3x 1+4y 1+16 +3x 2+4y 2+16 的最小值为()A.9 B.16C.27D.30【答案】D【详解】由题设直线与y 轴的交点为A 0,2 ，设弦PQ 的中点为E x ,y ，连接OE ，则OE ⊥PQ ，即OE ⊥AE ，所以OE ⋅AE=0，即x ,y ⋅x ,y -2 =x 2+y y -2 =0，所以点E 的轨迹方程为x 2+(y -1)2=1，即E 的轨迹是以0,1 为圆心，1为半径的圆，设直线l 为3x +4y +16=0，则E 到l 的最小距离为4+165-1=3，过P ､E ､Q 分别作直线l 的垂线，垂足分别为M ,R ,N ，则四边形MNQP 是直角梯形，且R 是MN 的中点，则ER 是直角梯形的中位线，所以MP +NQ =2ER ，即3x 1+4y 1+165+3x 2+4y 2+165=2ER ，即3x 1+4y 1+6 +3x 2+4y 2+6 =10ER ≥30，所以3x 1+4y 1+16 +3x 2+4y 2+16 的最小值为30.故选：D .10(2024·吉林延边·统考一模)已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是圆O :x 2+y 2=4上的两点，则下列结论中正确的是()A.若点O 到直线AB 的距离为2，则AB =22B.若AB =23，则∠AOB =π3C.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为6D.x 1x 2+y 1y 2的最小值为-4【答案】ACD【详解】依题意，圆O :x 2+y 2=4的圆心O 0,0 ，半径为r =2如图所示：对于A 选项：因为点O 到直线AB 的距离为2，所以AB =2r 2-d 2=22，故选项A 正确；对于B 选项：因为AB =23，且OA =OB =r =2，所以在△ABC 中，由余弦定理可得：cos ∠AOB =OA2+OB 2-AB 22OA OB=4+4-122×2×2=-12,所以∠AOB =2π3，故选项B 错误；对于C 选项：由x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 =2x 1+y 1-12+x 2+y 2-12，其几何意义为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 到直线x +y -1=0的距离之和的2倍设A ,B 的中点为C x 0,y 0 ,结合梯形的中位线可知：则有x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 =22x 0+y 0-12，因为∠AOB =π2，所以AB =4+4=22,在直角三角形△OAB 中，OC =12AB =2,所以点C 的轨迹为以原点0,0 为圆心，2为半径的圆.因为0,0 到x +y -1=0的距离为d =0+0-12=22，所以x 0+y 0-12max=22+2=322，所以x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 max =22x 0+y 0-12max=6，故选项C 正确；对于D 选项：因为x 1x 2+y 1y 2=OA ⋅OB =2×2×cos OA ,OB，所以当OA ,OB所成的角为π时，x 1x 2+y 1y 2 min =2×2×cosπ=-4.故选项D 正确;故选：ACD .题型02椭圆11(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)如果椭圆x 2k +8+y 29=1(k >-8)的离心率为e =12，则k =()A.4B.4或-54C.-45D.4或-45【答案】B【详解】解：因为椭圆x 2k +8+y 29=1(k >-8)的离心率为e =12，当k +8>9时，椭圆焦点在x 轴上，可得：a =k +8,b =3,∴c =a 2-b 2=k -1,∴e =k -1k +8=12，解得k =4，当0<k +8<9时，椭圆焦点在y 轴上，可得：a =3,b =k +8,∴c =a 2-b 2=1-k ,∴e =c a=1-k 3=12，解得k =-54．∴k =4或k =-54.故选：B ．12(2024·福建厦门·统考一模)设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 交于A ，B 两点，若F 1F 2 =2，且△ABF 2的周长为8，则()A.a =2B.C 的离心率为14C.|AB |可以为πD.∠BAF 2可以为直角【答案】AC【详解】由F 1F 2 =2c =2⇒c =1，如下图△ABF 2周长为4a =8⇒a =2，故b 2=a 2-c 2=3，所以，椭圆离心率为e =12，A 对，B 错；当AB ⊥x 轴，即AB 为通径时|AB |min =2b 2a =3，且|AB |<2a =4，所以3≤|AB |<4，故|AB |可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时∠BAF 2最大，此时cos ∠BAF 2=a 2+a 2-4c 22a2=12，且∠BAF 2∈(0,π)，故(∠BAF 2)max =π3，即∠BAF 2不可能为直角，D 错.故选：AC13(2024·云南曲靖·统考一模)已知P 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点，F 1,F 2分别为C 的左、右焦点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2外接圆半径与其内切圆半径之比为52，则C 的离心率为．【答案】57【详解】由题意，在Rt △PF 1F 2中|F 1F 2|=2c ,|PF 1|+|PF 2|=2a ,∠F 1PF 2=90°，所以其外接圆半径R =|F 1F 2|2=c ，内切圆的半径为|PF 1|+|PF 2|-|F 1F 2|2=a -c ，故c a -c =52⇒e =c a =57.故答案为：5714(2024·重庆·统考一模)已知点F 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为π3的直线交椭圆于P ,Q 两点，FP +FQ =FP -FQ ，则该椭圆的离心率为．【答案】3-1/-1+3【详解】令椭圆的左焦点为F ，半焦距为c ，分别连接F P ，F Q ，由FP +FQ =FP -FQ ，得四边形FPF Q 为矩形，而∠FOP =π3，则△OFP 为正三角形，所以|FP |=c ，FP =3c ，∴2a =PF +|PF ∣=(3+1)c ，则椭圆离心率为e =ca =3-1，故答案为：3-1.15(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知P 为椭圆C :x 29+y 23=1上的一个动点，过P 作圆M :(x -1)2+y 2=2的两条切线，切点分别为A ,B ，则AB 的最小值为.【答案】2105/2510【详解】设P x ,y ,∠MAB =θ，由已知MA ⊥AP ，由对称性可得AB ⊥PM ,所以∠PAB +∠MAB =π2,∠MPA +∠PAB =π2，且sin θ=2PM，因为PM =(x -1)2+y 2=(x -1)2+3-x 23=23x -322+52，因为-3≤x ≤3，所以PM ≥102，当且仅当x =32时等号成立，所以sin θ=2PM≤25，又θ∈0,π2 ，所以cos θ=1-sin 2θ≥15=55，所以AB =22cos θ≥22×55=2105.所以AB 的最小值为2105.故答案为：2105.16(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)若椭圆C 1和C 2的方程分别为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和x 2a 2+y 2b2=λ(a >b >0,λ>0且λ≠1)则称C 1和C 2为相似椭圆．己知椭圆C 1:x 24+y 23=1,C 2:x 24+y 23=λ(0<λ<1)，过C 2上任意一点P 作直线交C 1于M ，N 两点，且PM +PN=0，则△MON 的面积最大时，λ的值为()A.13B.12C.34D.32【答案】B【详解】当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为x =x 0，-2λ≤x 0≤2λ，联立x 24+y 23=1x =x，可得x =x 0y =±3×1-x 24 ，所以MN =23×1-x 204，所以△MON 的面积为S △MON =3x 01-x 204，由PM +PN =0 ，可得P 为MN 的中点，所以P x 0,0 ，因为点P 在椭圆C 2上，所以x 0=±2λ，所以S △MON =23×λ1-λ ，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =sx +t ，联立x 24+y 23=1y =sx +t ，消去y 得，4s 2+3 x 2+8stx +4t 2-12=0，∴Δ=64s 2t 2-44s 2+3 4t 2-12 =484s 2-t 2+3 >0，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8st 4s 2+3，x 1x 2=4t 2-124s 2+3，∴y 1+y 22=s x 1+x 2 +2t 2=-4s 2t 4s 2+3+t =3t4s 2+3，所以P 点坐标为-4st 4s 2+3,3t4s 2+3，因为点P 在椭圆C 2上，所以t 2=λ4s 2+3 ，因为原点O 到直线MN 的距离为t1+s 2，MN =1+s 2x 2-x 1 =1+s 2×x 1+x 2 2-4x 1x 2，所以△MON 的面积为S △MON =12t x 1-x 2 =23t 4s 2-t 2+34s 2+3=23×λ4s 2+3 ×1-λ 4s2+34s 2+3=23×λ1-λ ，综上，S △MON =23×λ1-λ ，又0<λ<1，又S △MON =23×λ1-λ =23×-λ-122+14，所以当λ=12时，△MON 的面积最大.故选：B .【点睛】关键点点睛：由PM +PN =0可得P 为MN 的中点，由此得到t 2=λ4s 2+3 ，将此关系代入S △MON 并化简可将S △MON 表示为一个变量的函数，从而利用二次函数求最值.17(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63，点P 0,2 在椭圆C 上，过点P 的两条直线PA ，PB 分别与椭圆C 交于另一点A ，B ，且直线PA ，PB ，AB 的斜率满足k PA +k PB =4k AB k AB ≠0 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)证明直线AB 过定点；(3)椭圆C 的焦点分别为F 1，F 2，求凸四边形F 1AF 2B 面积的取值范围．【答案】(1)x 212+y 24=1(2)证明见解析(3)24611,82 【详解】(1)由题设得b =2ca =63a 2=b 2+c 2，解得a 2=12，所以C 的方程为x 212+y 24=1；(2)由题意可设l AB :y =kx +m (m ≠2)，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y =kx +mx 212+y 24=1，整理得1+3k 2 x 2+6kmx +3m 2-12=0，Δ=36k 2m 2-41+3k 2 3m 2-12 =1212k 2-m 2+4 >0．由韦达定理得x 1x 2=3m 2-121+3k 2，x 1+x 2=-6mk1+3k 2，由k PA +k PB =4k AB 得y 1-2x 1+y 2-2x 2=4k ，即kx 1+m -2x 1+kx 2+m -2x 2=4k ，整理得2mk (m -2)=24-m 2 k ，因为k ≠0，得m 2-m -2=0，解得m =2或m =-1，m =2时，直线AB 过定点P (0,2)，不合题意，舍去；m =-1时，满足Δ=364k 2+1 >0，所以直线AB 过定点(0,-1)．(3))由(2)得直线l AB :y =kx -1，所以x =1k(y +1)，由x =1k (y +1)x 212+y 24=1，整理得1k 2+3y 2+2k 2y +1k 2-12=0，Δ=361k2+4>0，由题意得S F 1AF 2B =12F 1F 2 y1-y 2=22y 1-y 2 =1221k 2+41k 2+3，因为k AF 2=122，所以k 2>18，所以0<1k2<8，令t =1k 2+4，t ∈(2,23)，所以S F 1AF 2B =122t t 2-1=1221t -1t，在t ∈(2,23)上单调递减，所以S F 1AF 2B 的范围是24611,82．18(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)如图，D 为圆O ：x 2+y 2=1上一动点，过点D 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，连接BA 并延长至点W ，使得WA =1，点W 的轨迹记为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若过点K -2,0 的两条直线l 1，l 2分别交曲线C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点；于P ，Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得∠ORP +∠ORQ =π2？若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析，-65,0 (3)存在，R (0,±2)【详解】(1)设W x ,y ，D (x 0,y 0)，则A (x 0,0),B (0,y 0)，由题意知AB =1，所以WA =AB ，得(x 0-x ,-y )=(-x 0,y 0)，所以x 0=x2y 0=-y，因为x 2+y 20=1，得x 24+y 2=1，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意可知，直线l 1,l 2不平行坐标轴，则可设l 1的方程为：x =my -2，此时直线l 2的方程为x =-1my -2．由x =my -2x 24+y 2=1，消去x 得：(m 2+4)y 2-4my =0，解得：y =4m m 2+4或y =0(舍去)，所以x =m ⋅4m m 2+4-2=2m 2-8m 2+4，所以M 2m 2-8m 2+4,4m m 2+4 ，同理可得：N 2-8m 24m 2+1,-4m4m 2+1．当m ≠±1时，直线MN 的斜率存在，k MN =4mm 2+4+4m 4m 2+12m 2-8m 2+4-2-8m 24m 2+1=4m (5m 2+5)16m 4-16=5m 4m 2-4，则直线MN 的方程为y =5m 4m 2-4x +65，所以直线MN 过定点-65,0 ．当m =±1时，直线MN 斜率不存在，此时直线MN 方程为：x =-65，也过定点-65,0 ，综上所述：直线MN 过定点-65,0 ．(3)假设存在点R 使得∠ORP +∠ORQ =π2，设R 0,t ，因为∠ORP +∠ORQ =π2，所以∠ORQ =∠OPR ，即tan ∠ORQ =tan ∠OPR ，所以|OQ ||OR |=|OR ||OP |，所以|OR |2=|OP |⋅|OQ |，直线x =x 0与曲线C 交于不同的两点G 、H ，易知G 、H 关于x 轴对称，设G (x 0,y 0),H (x 0,-y 0)(y 0≠±1,y 0≠0)，易知点S 0,1，直线SG 方程是y =y 0-1x 0x +1，令y =0得点P 横坐标x P =-x 0y 0-1，直线SH 方程是y =y 0+1-x 0x +1，令y =0得点Q 横坐标x Q =x 0y 0+1，由|OR |2=|OP |⋅|OQ |，得t 2=x 20|y 20-1|，又G (x 0,y 0)在椭圆上，所以x 204+y 20=1，所以t 2=4，解得t =±2，所以存在点R (0,±2)，使得∠ORP +∠ORQ =π2成立．19(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，且点1,-32在椭圆上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点(-1,0)与椭圆交于M ,N 两点，椭圆C 的左、右顶点分别为A ,B ，直线BN 的斜率为k 1，直线AM 的斜率为k 2，求证：k 21+k 22k 1⋅k 2为定值．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【详解】(1)由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且点1,-32 在椭圆上，可得c a =12，所以b 2a 2=1-c 2a 2=1-12 2=34，又点1,-32 在该椭圆上，所以1a 2+94b 2=1，所以a 2=4，b 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)证明：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由于该直线斜率不为0，可设L MN ：x =my -1，联立方程x =my -1和x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2-6my -9=0，Δ>0恒成立，根据韦达定理可知，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1·y 2=-93m 2+4,my 1·y 2=-32y 1+y 2 ，k 1=y 2x -2,k 2=y 1x +2，k 2k 1=y 1(x 2-2)(x 1+2)y 2=y 1(my 2-3)(my 1+1)y 2=my 1y 2-3y 1my 1y 2+y 2，∴k 2k 1=-32(y 1+y 2)-3y 1-32(y 1+y 2)+y 2=3，∴k 21+k 22k 1∙k 2=k 1k 2+k 2k 1=103．20(2024·吉林延边·统考一模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2=30°，点1,32在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P -2,0 ，Q 2,0 ．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别为S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQS △NPQ的值．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)13【详解】(1)由∠OHF 2=30°，得b =3c (c 为半焦距)，∵点1,32 在椭圆E 上，则1a 2+94b2=1．又a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =3，c =1．∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)由(1)知F 21,0 ．设直线l :x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由x =my +1x 24+y 23=1消去x ，得3m 2+4 y 2+6my -9=0．显然Δ=144m 2+1 >0．则y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4．∴my 1y 2=32y 1+y 2 ．由P -2,0 ，Q 2,0 ，得直线AP 的斜率k 1=y 1x 1+2，直线BQ 的斜率k 2=y 2x 2-2．又k 1 =OM OP ，k 2 =ON OQ，OP =OQ =2，∴OMON =k 1k 2 ．∴S △MPQ S △NPQ =12PQ⋅OM 12PQ⋅ON =OM ON =k 1 k 2 ．∵k 1k 2=y 1x 2-2 x 1+2 y 2=y 1my 2-1 my 1+3 y 2=my 1y 2-y 1my 1y 2+3y 2=32y 1+y 2 -y 132y 1+y 2 +3y 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13．∴S △MPQ S△NPQ=13．21(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点为F 2,0 ，点2,3 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 的两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A ,B 两点和P ,Q 两点，设AB ,PQ 的中点分别为M ,N ，求△FMN 面积的最大值．【答案】(1)x 28+y 24=1(2)49【详解】(1)由题意知c =2．又a 2=b 2+c 2，所以a 2=b 2+4．把点2,3 代入椭圆方程，得2b 2+4+3b2=1，解得b 2=4．故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．(2)由题意知直线AB ,PQ 的斜率均存在且不为零．设直线AB 的方程为y =k x -2 k ≠0 ，且A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．由y =k x -2x 28+y 24=1消去y ，得1+2k 2 x 2-8k 2x +8k 2-8=0．所以x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2-81+2k 2．而y 1+y 2=k x 1-2 +k x 2-2 =k x 1+x 2 -4k =-4k1+2k 2，所以M 4k 21+2k 2,-2k 1+2k 2 ．同理得N 42+k 2,2k 2+k 2．若4k 21+2k 2=42+k 2，则k =±1，此时直线MN 的斜率不存在，可得直线MN :x =43．此时MN =43，所以S △FMN =12×43×23=49；若k ≠±1，则直线MN 的斜率为-2k1+2k 2-2k 2+k 24k 21+2k 2-42+k 2=3k21-k 2，可得直线MN ：y +2k 1+2k 2=3k 21-k 2 x -4k 21+2k 2．化简，得y =3k 21-k 2x -43 ．所以直线MN 过定点T 43,0 ．所以S △FMN =S △FTM +S △FTN =12×23×-2k 1+2k 2 +12×23×2k2+k 2=13×2k 1+2k 2+13×2k 2+k 2=13×2k 3+3k 21+2k 2 2+k 2 =2k 1+k 22k 4+5k 2+2=2k +1k 2k 2+1k2 +5．令t =k +1k∈2,+∞ ，则S △FMN =f t =2t 2t 2-2 +5=2t2t 2+1．因为f t =21-2t22t2+12<0，所以f t 在t∈2,+∞上单调递减．所以f t <f2 =49，即S△FMN<49.综上，S△FMN≤4 9 .所以当k=±1时，△FMN的面积取得最大值4 9．【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，定点问题，最值问题；意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，分类讨论的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，是解题的关键，此方法是考查的重点，需要熟练掌握.22(2024·山西晋城·统考一模)已知椭圆P:x26+y22=1的焦点是椭圆E的顶点，椭圆Q:x26+y29=1的焦点也是E的顶点．(1)求E的方程；(2)若F x0,y0，C，D三点均在E上，且CF⊥DF，直线CF，DF，CD的斜率均存在，证明：直线CD过定点(用x0，y0表示)．【答案】(1)x24+y23=1(2)过定点x07,-y07,证明见解析.【详解】(1)因为6-2=2，所以P的焦点为(-2,0)，(2,0)，因为9-6=3，所以Q的焦点为(0,-3)，(0,3)，所以可设E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则a=2，b=3，故E的方程为x24+y23=1．(2)证明：设C x1,y1，D x2,y2，直线CD:y=kx+m．k FC=y1-y0x1-x0，k FD=y2-y0x2-x0．因为CF⊥DF，所以k CF⋅k FD=-1，即x1-x0x2-x0+y1-y0y2-y0=0，即x1x2-x0x1+x2+x20+y1y2-y0y1+y2+y20=0①，将y=kx+m代入E的方程，得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，则Δ=483+4k2-m2>0，x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，y1+y2=k x1+x2+2m=6m3+4k2，y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+km x1+x2+m2=-12k2+3m23+4k2，将以上4个式子代入①，得x20-x0⋅-8km3+4k2+4m2-123+4k2+y20-y0⋅6m3+4k2+-12k2+3m23+4k2=0，即4kx0+m2+34x20-3+3y0-m2+4k2y203-4k2=0②，34y20代入②得4kx 0+m +y 0 kx 0+m -y 0 =3kx 0+m -y 0 kx 0-m +y 0 ，即kx 0+m -y 0 kx 0+7m +y 0 =0，因为CF ⊥DF ，所以F 不在直线CD 上，则kx 0+m -y 0≠0，则m =-y 0+kx 07，所以直线CD :y =k x -x 07 -y 07过定点x 07,-y 07 .【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，将韦达定理代入表达式化简为4kx 0+m 2+34x 20-3 +3y 0-m 2+4k 2y 203-4k 2 =0并利用点在椭圆上进一步化简是本题关键.23(2024·浙江·校联考一模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1,F 2，点P x 0,y 0 为椭圆C 上异于顶点的一动点，∠F 1PF 2的角平分线分别交x 轴、y 轴于点M 、N ．(1)若x 0=12，求PF 1 ；(2)求证：PM PN为定值；(3)当△F 1PN 面积取到最大值时，求点P 的横坐标x 0．【答案】(1)PF 1 =94(2)证明见解析(3)x 0=3-1【详解】(1)由已知得F 1-1,0 ，x 204+y 203=1⇒y 20=3-3x 204则PF 1 =x 0+1 2+y 20=2+12x 0．所以当x 0=12时，PF 1 =94；(2)设M m ,0 ，在△F 1PF 2中，PM 是∠F 1PF 2的角平分线，所以PF 1 PF 2=MF 1 MF 2，由(1)知PF 1 =2+12x 0，同理PF 2 =x 0-1 2+y 20=2-12x 0，即2+12x 02-1x =m +11-m ，解得m =14x 0，所以M 14x 0,0 ，过P 作PH ⊥x 轴于H ．所以PM PN=MH OH=34．(3)记△F 1PN 面积的面积为S ，由(1)可得，S =12F 1M ⋅y 0+13y 0 =16x 0+4 344-x 20 =312x 0+4 4-x 20，其中x 0∈-2,0 ∪0,2 ，则S =-364-x 2x 20+2x 0-2 ，当x 0∈-2,0 ∪0,3-1 时，S >0,S 单调递增；当x 0∈3-1,2 时，S <0,S 单调递减．所以当x 0=3-1时，S 最大．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用导函数求解面积表达式的最值，注意函数的定义域.24(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知如图，点B 1,B 2为椭圆C 的短轴的两个端点，且B 2的坐标为0,1 ，椭圆C 的离心率为22.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 不经过椭圆C 的中心，且分别交椭圆C 与直线y =-1于不同的三点D ,E ,P (点E 在线段DP 上)，直线PO 分别交直线DB 2,EB 2于点M ,N .求证：四边形B 1MB 2N 为平行四边形.【答案】(1)x 22+y 2=1(2)证明见解析【详解】(1)由题知b =1,c a =22,a 2=b 2+c 2. 解得a 2=2,b 2=1.故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)方法一：显然直线l 不能水平，故设直线l 方程为x =k y +t t ≠0 ，设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,N x N ,y N ,M x M ,y M ，由x =k y +t ,x 22+y 2=1得k 2+2 y 2+2k t y +t 2-2=0，令Δ>0得，k 2-t 2+2>0.所以y 1+y 2=-2k t k 2+2,y 1y 2=t 2-2k 2+2，令y =-1，得P t -k ,-1 .故直线PO 方程为y =1k-tx ，直线DB 方程为y =y 1-1x +1.由y =1k -txy =y 1-1x 1x +1 得x M =k -tx 1x 1+k -t 1-y 1=k -tx 1k +t y 1，将x M 中x 1,y 1换成x 2,y 2得x N =k-tx 2k +t y 2.∴x M +x N =k-tx 1k +t y 1+k-tx 2k +t y 2=k-tx 1k +t y 2 +x 2k +t y 1k +t y 1 k +ty 2，∵x 1k +t y 2 +x 2k +t y 1 =k x 1+x 2 +t x 1y 2+x 2y 1 =k k y 1+t +k y 2+t +t k y 1+t y 2+k y 2+t y 1 =k 2+t 2y 1+y 2 +2k ty 1y 2+1 =-2k t k 2+t 2 +2k t k 2+t 2k 2+2=0,∴O 为线段MN 中点，又O 为B 1B 1中点，∴四边形B 1MB 2N 为平行四边形.方法二：设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,M x M ,y M ,N x N ,y N .直线B 2D 方程为y =y 1-1x 1x +1，当直线l 的斜率不存在时，设l 方程为x =x 0x 0≠0 ，此时P x 0,-1 ，直线PO 方程的为y =-1x 0x ，由y =-1x 0xy =y 1-1x 0x +1得x M=-x 0y 1，同理x N =-x 0y 2,∵y 1=-y 2∴x M +x N =0，当直线l 斜率存在时，设l 方程为y =kx +t t ≠0 ，由y =kx +t ,x22+y 2=1 得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-2=0.令Δ>0得，1+2k 2-t 2>0.由韦达定理得x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-21+2k 2.将y =-1代入y =kx +t 得P -1-tk,-1 ∴直线PO 的方程为y =kt +1x 由y =y 1-1x 1x +1y =k t +1x得x M=-x 11+t y 1-1 1+t -kx 1=-x 11+t ktx 1+t 2-1同理可得x N =-x 21+tktx 2+t 2-1.∴x M +x N =-t +1 x 1ktx 1+t 2-1+x 2ktx 2+t 2-1=-t +12ktx 1x 2+t 2-1 x 1+x 2ktx 1+t 2-1 ktx 2+t 2-1∵2ktx 1x 2+t 2-1 x 1+x 2 =2kt 2t 2-2 +t 2-1 -4kt=0，∴x M +x N =0，综上所述，x M +x N =0,∴O 为线段MN 中点，又O 为B 1B 1中点，∴四边形B 1MB 2N 为平行四边形.【点睛】关键点点睛：证明四边形B 1MB 2N 为平行四边形的方法用对角线相互平分得到.25(2024·河北·校联考一模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，经过点F 1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l 与椭圆交于A 、B 两点(其中点A 在x 轴上方)，△ABF 2的周长为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面(平面AF 1F 2)与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面(平面BF 1F 2)互相垂直．①若θ=π3，求异面直线AF 1和BF 2所成角的余弦值；②是否存在θ0<θ<π2 ，使得折叠后△ABF 2的周长为152？若存在，求tan θ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)①1328；②存在；tan θ=33514．【详解】解：(1)由椭圆的定义知：AF 1 +AF 2 =2a ,BF 1 +BF 2 =2a ，所以△ABF 2的周长L =4a =8，所以a =2，又椭圆离心率为12，所以c a =12，所以c =1，b 2=a 2-c 2=3，由题意，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)①由直线l ：y -0=3x +1 与x 24+y 23=1，联立求得A 0,3 ，(因为点A 在x 轴上方)以及B -85,-353 ，再以O 为坐标原点，折叠后原y 轴负半轴，原x 轴，原y 轴正半轴所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则F 10,-1,0 ，A 0,0,3 ，B 353,-85,0，F 20,1,0 ，F 1A =0,1,3 ，BF 2 =-353,135,0 ．记异面直线AF 1和BF 2所成角为φ，则cos φ=cos <F 1A ,BF 2 > =F 1A ⋅BF2 F 1A BF 2=1328；②设折叠前A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，折叠后A ，B 在新图形中对应点记为A ′，B ′，A ′x 1,y 1,0 ，B ′x 2,0,-y 2 ，由A ′F 2 +B ′F 2 +A ′B ′ =152，AF 2 +BF 2 +|AB |=8，故AB -A ′B ′ =12，将直线l 方程与椭圆方程联立my =x +1x 24+y 23=1，得3m 2+4 y 2-6my -9=0，y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系(原x 轴仍然为x 轴，原y 轴正半轴为y 轴，原y 轴负半轴为z 轴)；A ′B ′ =x 1-x 22+y 12+y 22，AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2，所以AB -A ′B ′ =x 1-x 22+y 1-y 2 2-x 1-x 22+y 21+y 22=12，(i )又-2y 1y 2x 1-x 22+y 1-y 2 2+x 1-x 22+y 21+y 22=12，所以x 1-x 1 2+y 1-y 2 2+x 1-x 2 2+y 21+y 21=-4y 1y 2，(ii )由(i )(ii )可得x 1-x 22+y 1-y 2 2=14-2y 1y 2，因为x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=1+m 2 y 1-y 2 2=14-2y 1y 2 2，所以1+m 26m 3m 2+42+363m 2+4=14+183m 2+42，即1441+m3m 2+42=14+183m 2+42，所以12+12m 23m 2+4=14+183m 2+4，解得m 2=2845，因为0<θ<π2，所以tan θ=1m =33514．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据折叠前、后三角形△ABF 2周长的变化，得到AB -A ′B ′ =12，进而根据两点间的距离公式及韦达定理进行求解.题型03 双曲线26(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1-22,0 ,F 222,0 ，且满足条件p ，可以解得双曲线C 的方程为x 2-y 2=4，则条件p 可以是()A.实轴长为4B.双曲线C 为等轴双曲线C.离心率为22D.渐近线方程为y =±x【答案】ABD【详解】设该双曲线标准方程为x 2a 2-y 2b2=1，则c =2 2.对于A 选项，若实轴长为4，则a =2，∴b 2=c 2-a 2=4，符合题意；对于B 选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a =b ，又c =22，a 2+b 2=c 2=8，可解得a 2=b 2=4，符合题意；对于C 选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D 选项，若渐近线方程为y =±x ，则a =b ，结合a 2+b 2=c 2=8，可解得a 2=b 2=4，符合题意，故选：ABD .27(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知A 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，O 为坐标原点，B ,C 为双曲线E 上两点，且AB +AC =2AO ，直线AB ,AC 的斜率分别为2和14，则双曲线E 的离心率为()A.2B.52C.62D.2【答案】C【详解】A a ,0 ，设B x 0,y 0 ,C -x 0,-y 0 ，则x 20a 2-y 20b2=1，则k AB =y 0x 0-a =2,k AC =y 0x 0+a =14，k AB ⋅k AC =y 20x 20-a 2=b 2x 20a2-1 x 20-a 2=b 2a 2=14×2=12，∴e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b a 2=1+12=62.故选：C【点睛】求解双曲线离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得a 和c ，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得a 2,c 2或a 2,b 2的等量关系式，由此来求得离心率.28(2024·云南曲靖·统考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 ，过其右焦点F 作一条直线分别交两条渐近线于A ,B 两点，若A 为线段BF 的中点，且OA ⊥BF ，则双曲线C 的渐近线方程为()A.y =±2xB.y =±3xC.y =±5xD.y =±12x【答案】B【详解】由题设作出图形，双曲线渐近线为y =±b a x ，F (c ,0)，则直线BF :y =-ab (x -c )，故y =-a b(x -c )y =-b a x，可得x =a 2c a 2-b 2，故y =-abc a 2-b 2，即B a 2c a 2-b 2,-abca 2-b2，又三角形BOF 为等腰三角形，所以|OB |2=a 2ca 2-b22+abc a 2-b22=c 2，则a 4+a 2b 2=(a 2-b 2)2，整理得b 2a 2=3⇒ba =3，即双曲线C 的渐近线方程为y =±3x .故选：B29(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右顶点分别为A 1,A 2,F 为C 的右焦点，C 的离心率为2，若P 为C 右支上一点，PF ⊥FA 2，记∠A 1PA 2=θ0<θ<π2，则tan θ=()【答案】A【详解】设C 的焦距为2c ，点P x 0,y 0 ，由C 的离心率为2可知c =2a ,b =3a ，因为PF ⊥FA 2，所以x 0=c ，将P c ,y 0 代入C 的方程得c 2a 2-y 20b 2=1，即y 0 =3b ，所以tan ∠PA 2F =3b c -a =3,tan ∠PA 1F =3bc --a=1，故tan θ=tan ∠PA 2F -∠PA 1F =3-11+3×1=12．故选:A ．30(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是右支上一点，满足AF 1⊥AF 2，直线AF 2交双曲线于另一点B ，且BF 1 -AF 1 =2a ，则双曲线的离心率为．【答案】102【详解】AF 2 =x ，则AF 1 =2a +x ，又BF 1 -AF 1 =2a ，所以BF 2 =AF 1 =2a +x ，则AB =AF 2 +BF 2 =2a +2x ，BF 1 =2a +AF 1 =4a +x ，又AF 1⊥AF 2，所以三角形AF 1B 为直角三角形，则AF 1 2+AB 2=BF 1 2,即2a +x 2+2a +2x 2=4a +x 2，化为x 2+ax -2a 2=0，解得x =a 或者x =-2a (舍)，此时AF 1 =3a ，在直角三角形AF 1F 2中，AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2,即9a 2+a 2=4c 2，所以c 2a2=e 2=52，所以e =102.故答案为：102.31(2024·浙江·校联考一模)已知A ,B 分别是双曲线C :x 24-y 2=1的左，右顶点，P 是双曲线C 上的一动点，直线PA ，PB 与x =1交于M ,N 两点，△PMN ,△PAB 的外接圆面积分别为S 1,S 2，则S1S 2的最小值为()【答案】A【详解】由已知得，A -2,0 ，B 2,0 ，由双曲线的对称性，不妨设P x ,y 在第一象限，所以k PA =y x +2，k PB =yx -2，所以k PA ⋅k PB =y x +2⋅y x -2=y 2x 2-4=x 24-1x 2-4=14，设直线PA 的方程为：y =k x +2 ,k >0，则直线PB 的方程为：y =14kx -2 ，同时令x =1，则y M =3k ，y N =-14k，所以MN =3k +14k,k >0，设△PMN ,△PAB 的外接圆的半径分别为r 1，r 2，由正弦定理得，2r 1=MNsin ∠MPN=MNsin ∠APB，2r 2=ABsin ∠APB，所以r 1r 2=MN AB =3k +14k 4≥23k ⋅14k 4=34，当且仅当3k =14k，即k =36时取等号，所以S 1S 2=πr 21πr 22=r 1r 22=316.故选：A【点睛】结论点睛：若A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，P 为双曲线上一动点，则直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值.32(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知O 为坐标原点，双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为62，点P x 1,y 1 是C 的右支上异于顶点的一点，过F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足是M ，|MO |=2，若双曲线C 上一点T 满足F 1T ⋅F 2T=5，则点T 到双曲线C 的两条渐近线距离之和为()A.22B.23C.25D.26【答案】A【详解】设半焦距为c ，延长F 2M 交PF 1于点N ，由于PM 是∠F 1PF 2的平分线，F 2M ⊥PM ，所以△NPF 2是等腰三角形，所以PN =PF 2 ，且M 是NF 2的中点.根据双曲线的定义可知PF 1 -PF 2 =2a ，即NF 1 =2a ，由于O 是F 1F 2的中点，所以MO 是△NF 1F 2的中位线，所以MO =12NF 1 =a =2，又双曲线的离心率为62，所以c =3，b =1，所以双曲线C 的方程为x 22-y 2=1.所以F 1(-3,0)，F 2(3,0)，双曲线C 的渐近线方程为x ±2y =0，设T (u ,v )，T 到两渐近线的距离之和为S ，则S =|u +2v |3+|u -2v |3，由F 1T ⋅F 2T=(u -3)(u +3)+v 2=u 2+v 2-3=5，即u 2+v 2=8，又T 在x 22-y 2=1上，则u 22-v 2=1，即u 2-2v 2=2，解得u 2=6，v 2=2，由|u |>2|v |，故S =2u3=22，即距离之和为2 2.故选：A .【点睛】由平面几何知识，PN =PF 2 ，依据双曲线的定义，可将|MO |=2转化为用a 表示，进而的双曲线的标准方程.33(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB =3F 2A，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为()A.7B.5C.3D.2【答案】A【详解】因为CB =3F 2A ，所以△F 1AF 2∽△F 1BC ，设F 1F 2 =2c ，则F 2C =4c ，设AF 1 =t ，则BF 1 =3t ，AB =2t ．因为BF 2平分∠F 1BC ，由角平分线定理可知，BF 1 BC=F 1F 2 F 2C=2c 4c =12，所以BC =2BF 1 =6t ，所以AF 2 =13BC =2t ，由双曲线定义知AF 2 -AF 1 =2a ，即2t -t =2a ，t =2a ，①又由BF 1 -BF 2 =2a 得BF 2 =3t -2a =2t ，所以BF 2 =AB =AF 2 =2t ，即△ABF 2是等边三角形，所以∠F 2BC =∠ABF 2=60°．在△F 1BF 2中，由余弦定理知cos ∠F 1BF 2=BF 12+BF 2 2-F 1F 2 22⋅BF 1 ⋅BF 2，即12=4t 2+9t 2-4c 22⋅2t ⋅3t，化简得7t 2=4c 2，把①代入上式得e =ca =7，所以离心率为7．故选：A ．34(2024·山西晋城·统考一模)双曲线C :x 2-y 2=m 2(m >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P (t ,s )(s ≠0)为C 的右支上一点，分别以线段PF 1，PF 2为直径作圆O 1，圆O 2，线段OO 2与圆O 2相交于点M ，其中O 为坐标原点，则()A.O 1O 2 =3mB.OM =mC.点(t ,0)为圆O 1和圆O 2的另一个交点D.圆O 1与圆O 2有一条公切线的倾斜角为π4【答案】BCD【详解】C 的方程可化为x 2m 2-y 2m2=1，可得a =m ，b =m ，c =2m ．由O 1为PF 1的中点，O 2为PF 2的中点，得O 1O 2 =12F 1F 2 =2m ，A 错误．由O 2为PF 2的中点，O 为F 1F 2的中点，得OO 2 =12PF 1 ，则OM =OO 2 -MO 2 =12PF 1 -PO 2 =12PF 1 -12PF 2 =a =m ，B 正确．设点Q 为圆O 1和圆O 2的另一个交点，连接PQ ，由O 1O 2⎳x 轴，可得O 1O 2⊥PQ ，O 1O 2为△PF 1F 2的中位线，则直线O 1O 2平分线段PQ ，则点Q 必在x 轴上，可得点Q 的坐标为(t ,0)，C 正确．如图，若BD 为圆O 1与圆O 2的一条公切线，B ，D 为切点，连接O 1B ，O 2D ，过点O 2作O 2A ⊥O 1B ，垂足为A ．由O 1O 2 =2m ，O 1A =O 1B -O 2D =12PF 1 -12PF 2 =a =m ，得sin ∠AO 2O 1=AO 1 O 1O 2=m 2m=22，。
高三数学一轮复习专题基础训练――直线与圆 试题
08－09高级中学高三一轮复习专题根底训练――直线与圆本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
1．〔2021年卷〕平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，那么动点C 的轨迹是 (A)〔A 〕一条直线 〔B 〕一个圆 〔C 〕一个椭圆〔D 〕双曲线的一支2．〔2021年卷〕假设三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠一共线，那么11a b +的值等于___12_________. 3．〔〕设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，那么a 的值是〔 B 〕〔Ａ〕4± 〔Ｂ〕± 〔Ｃ〕2± 〔Ｄ〕4. 〔2021年春卷〕直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，那么三角形OAB 面积的最小值为 4 .5．〔2021年全国卷II 〕过点〔1，2〕的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ 22 ．6．〔2021年卷〕圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是〔A 〕x －y ＝0 〔B 〕x ＋y ＝0 〔C 〕x ＝0 〔D 〕y ＝0解：圆心为〔1，，半径为1，故此圆必与y 轴〔x=0〕相切，选C 点评：此题主要考察圆的定义及直线与圆的位置关系 7．〔2021年卷〕圆M ：〔x ＋cos θ〕2＋〔y －sin θ〕2＝1， 直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：（A ） 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； （B ） 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公一共点； （C ） 对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切〔D 〕对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切 其中真命题的代号是______________〔写出所有真命题的代号〕解：圆心坐标为〔－cos θ，sin θ〕d ＝|sin |1θϕ≤－－＝（＋）应选〔B 〕〔D 〕8．〔2021年卷〕圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，那么点P 到直线x －y －1＝0的间隔 是2． 9. ( 2021年卷〕假设圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的间隔为那么直线l 的倾斜角的取值范围是 ( B )A.[,124ππ] B.[5,1212ππ] C.[,]63ππD.[0,]2π10．〔2021年卷〕直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，那么______.a =14 11．〔2021年卷〕在极坐标系中，O 是极点，设点A 〔4，3π〕，B 〔5，－65π〕，那么△OAB 的面积是 5 ．12．〔2021年卷〕如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，假设p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的间隔 ，那么称有序非负实数对〔p ，q 〕是点M 的“间隔 坐标〞．常数p ≥0，q ≥0，给出以下命题：①假设p ＝q ＝0，那么“间隔 坐标〞为〔0，0〕的点 有且仅有1个；②假设pq ＝0，且p ＋q ≠0，那么“间隔 坐标〞为 〔p ，q 〕的点有且仅有2个；③假设pq ≠0，那么“间隔 坐标〞为〔p ，q 〕的点有且仅有4个． 上述命题中，正确命题的个数是 [答]〔 C 〕1l 2lOM 〔p ，q 〕〔A 〕0； 〔B 〕1； 〔C 〕2； 〔D 〕3．13．〔2021年卷〕假如实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为〔 〕A ．2B ．1C ．2-D ．3- 解：当直线2x y t -=过点(0，-1)时，t 最大，应选B 。
高三数学一轮复习高考总复习测评卷 直线和圆的方程 章末质量检测 文 试题
·创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日金版新学案?高考总复习配套测评卷——高三一轮数学『文科』卷(七)直线和圆的方程————————————————————————————————————— 【说明】 本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷 (选择题 一共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．下面各组方程中，表示一样曲线的是( )A ．y ＝x 与yx＝1 B ．|y |＝|x |与y 2＝x 2C ．|y |＝2x ＋4与y ＝2|x |＋4D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ(θ为参数)y ＝cos 2θ与y ＝－x 2＋12．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( )A ．－x ＋2y －4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝03．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直〞的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．过点P (5，－2)，且与直线x －y ＋5＝0相交成45°角的直线l 的方程是( )A ．y ＝－2B ．y ＝2，x ＝5C ．x ＝5D ．y ＝－2，x ＝55．假设PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1,2)，那么直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝06．假设k ，－1，b 三个数成等差数列，那么直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)7．D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0，所确定的平面区域，那么圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为( )A.π4B.π2C.3π4D.3π28．A (－3,8)和B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，那么点M 的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎪⎫225，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，2259．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，假设目的函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，那么2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．410．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (3,1)，B (－1,3)，假设点C 满足|＋|＝|－|，那么C 点的轨迹方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x －y ＝0C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 D ．3x －2y －11＝011．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝012．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向挪动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城B 在A 的正东40千米处，那么B 城处于危险区内的时间是为( )A ．小时B ．1小时C ．小时D ．2小时第二卷 (非选择题 一共90分)二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上) 13．将直线y ＝x ＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，那么所得直线的方程为________．14．在坐标平面内，与点A (1,3)的间隔 为2，且与点B (3,1)的间隔 为32的直线一共有__________条．15．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，那么△EOF (O 为坐标原点)的面积等于________．16．在直角坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6y ＋4≤0，|x －2|＋|y －3|≥3表示的平面区域的面积是________．三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)17．(本小题满分是10分)△ABC 的两条高所在直线的方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程．18．(本小题满分是12分)如图，直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(－2,0)，直角顶点B 的坐标为(0，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求BC 边所在直线的方程．(2)圆M 是△ABC 的外接圆，求圆M 的方程．19.(本小题满分是12分)△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0.AC 边上的高BH 所在直线为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程．20．(本小题满分是12分)甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元/吨和元/吨．要使总运费最少，煤矿应怎样编制调运方案？21.(本小题满分是12分)圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)经过点(1，3)． (1)求圆C 的方程；(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l ，它与圆C 相交于A ，B 两个不同点，且满足＝12＋32(O 为坐标原点)关系的点M 也在圆C 上？假如存在，求出直线l 的方程；假如不存在，请说明理由．22．(本小题满分是12分)圆M 的方程为：x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．(1)求圆N 的方程；(2)圆N 与x 轴交于E 、F 两点，圆内的动点D 使得|DE |、|DO |、|DF |成等比数列，求·的取值范围；(3)过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A 、B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行？请说明理由． 答案：卷(七)一、选择题1．B 用排除法做．A 、C 易排除，∵点坐标范围明显不一致．D 中前者x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]，后者x ∈R ，y ∈(－∞，1]，故排除D.2．D 选D.由题意知所求直线与2x －y －2＝0垂直． 又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)． 故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0.3．C 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立；当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1.所以“a ＝1〞是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直〞的充要条件． 4．D (1)假设直线l 的斜率存在，设为k ，由题意，tan 45°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －11＋k ，得k ＝0，所求l 的直线方程为y ＝－2.(2)假设直线l 的斜率不存在，那么直线l 的方程为x ＝5，且与直线x －y ＋5＝0相交成45°角．应选D.5．B 结合圆的几何性质易知直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.6．A ∵k ，－1，b 成等差数列， ∴k ＋b ＝－2.∴当x ＝1时，y ＝k ＋b ＝－2. 即直线过定点(1，－2)．7．B 如图阴影局部表示⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0，确定的平面区域，所以劣弧AB 的弧长即为所求．∵k OB ＝－13，k OA ＝12，∴tan ∠BOA ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－131＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1，∴∠BOA ＝π4.∴劣弧A B 的长度为2×π4＝π2.8．B 点B (2,2)关于x 轴的对称点为B ′(2，－2)，连接AB ′，易求得直线AB ′的方程为2x ＋y －2＝0，它与x 轴交点M (1,0)即为所求．9．A 不等式组表示的平面区域如下图阴影局部，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目的函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)获得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6 ＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥136＋2 ＝256， 应选A10．C 由|＋|＝|－|知⊥，所以C 点的轨迹是以两个端点A 、B 为直径的圆，圆心坐标为线段AB 的中点(1,2)，半径等于5，所以C 点的轨迹方程是(x －1)2＋(y －2)2＝5.11．D 由条件知M 点在圆内，故当劣弧最短时，l 应与圆心与M 点的连线垂直， 设圆心为O ，那么O (2,0)， ∴K OM ＝2－01－2＝－2.∴直线l 的斜率k ＝12，∴l 的方程为y －2＝12(x －1)．即x －2y ＋3＝0.12．B 如图，以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，那么B (40,0)，台风中心挪动的轨迹为射线y ＝x (x ≥0)，而点B 到射线y ＝x 的间隔 d ＝402＝202＜30，故l ＝2302－(202)2＝20，故B 城处于危险区内的时间是为1小时． 二、填空题13．【解析】 直线y ＝x ＋3－1的斜率为1，故倾斜角为45°，旋转后的直线的倾斜角为60°，斜率为3，故所求直线方程为y －3＝3(x －1)，即3x －y ＝0.【答案】3x －y ＝014．【解析】 以A (1,3)为圆心，以2为半径作圆A ，以B (3,1)为圆心，以32为半径作圆B .∵|AB |＝(1－3)2＋(3－1)2＝22＝32－2， ∴两圆内切， 公切线只有一条． 【答案】 1 15．【解析】 如图圆心O 1(2，－3)到直线l ：x －2y －3＝0的间隔 为5，那么|EF |＝29－5＝4，O 到l 的间隔 d ＝35，故S △OEF ＝12d |EF |＝655.【答案】65516．【解析】 区域为圆面(x －2)2＋(y －3)2＝9内挖去了一个内接正方形． 【答案】 9π－18三、解答题17．【解析】 可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，那么可设AB ，AC 边上的高所在的直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，那么可求得AB ，AC 所在的直线方程为y－2＝－32(x －1)，y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，y －x －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0得B (7，－7)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －x －1＝02x －3y ＋1＝0得C (－2，－1)，所以直线BC 的方程为2x ＋3y ＋7＝0. 18．【解析】 (1)设C (x 0,0)， 那么k AB ＝－220－(－2)＝－ 2.k BC ＝0＋22x 0－0＝22x 0. ∵AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1， 即－2×22x 0＝－1，∴x 0＝4，∴C (4,0)，∴k BC ＝22， ∴直线BC 的方程为y －0＝22(x －4)，即y ＝22x －2 2. (2)圆M 以线段AC 为直径，AC 的中点M 的坐标为(1,0)，半径为3， ∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －8＝0. 19．【解析】 直线AC 的方程为：y －1＝－2(x －5)，即2x ＋y －11＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝3，那么C 点坐标为(4,3)．设B (m ，n )，那么M (m ＋52，n ＋12)，⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋52－n ＋12－5＝0m －2n －5＝0， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －n －1＝0m －2n －5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1n ＝－3那么B 点坐标为(－1，－3)直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.20．【解析】 设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－x )＋y ＋1.6(300－y )(万元)，即z ＝780－x －y . x 、y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，200－x ≥0，300－y ≥0，x ＋y ≤280，200－x ＋(300－y )≤360， 作出上面的不等式组所表示的平面区域如下图．设直线x ＋y ＝280与y 轴的交点为M ，那么M (0,280)，把直线l ：x ＋y ＝0向上平移至经过点M 时，z 的值最小． ∵点M 的坐标为(0,280)，∴甲煤矿消费的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨、向西车站运20万吨时，总运费最少． 21．【解析】 (1)由圆C ：x 2＋y 2＝r 2，再由点(1，3)在圆C 上，得r 2＝12＋(3)2＝4所以圆C 的方程为 x 2＋y 2＝4；(2)假设直线l 存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)①假设直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y －1＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋1)＋1x 2＋y 2－4＝0消去y 得，(1＋k 2)x 2＋2k (k ＋1)x ＋k 2＋2k －3＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－2k (k ＋1)1＋k 2＝－2＋2－2k 1＋k 2，x 1x 2＝k 2＋2k －31＋k 2＝1＋2k －41＋k 2， y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (k ＋1)(x 1＋x 2)＋(k ＋1)2＝2k ＋41＋k 2－3， 因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在圆C 上，因此，得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4， 由＝12＋32得x 0 ＝x 1＋3x 22，y 0＝y 1＋3y 22，由于点M 也在圆C 上，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋3x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 222 ＝4，整理得，x 21＋y 214＋3x 22＋y 224＋32x 1x 2＋123y 1y 2＝4， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以1＋2k －41＋k 2＋(2k ＋41＋k2－3)＝0， 从而得，k 2－2k ＋1＝0，即k ＝1，因此，直线l 的方程为 y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0，②假设直线l 的斜率不存在，那么A (－1，3)，B (－1，－3)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，3－32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322 ＝4－3≠4，故点M 不在圆上与题设矛盾综上所知：k ＝1，直线方程为x －y ＋2＝022．【解析】 圆M 的方程可整理为：(x －1)2＋(y －1)2＝8，故圆心M (1,1)，半径R ＝2 2.(1)圆N 的圆心为(0,0)，因为|MN |＝2＜22，所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M .设其半径为r .因为圆N 内切于圆M ，所以有：|MN |＝R －r ， 即2＝22－r ，解得r ＝ 2.所以圆N 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意可知：E (－2，0)，F (2，0)．设D (x ，y )，由|DE |、|DO |、|DF |成等比数列，得|DO |2＝|DE |×|DF |， 即：(x ＋2)2＋y 2×(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，整理得：x 2－y 2＝1.而＝(－2－x ，－y )，＝(2－x ，－y )，·＝(－2－x )(2－x )＋(－y )(－y )＝x 2＋y 2－2＝2y 2－1，由于点D 在圆N 内，故有⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＜2x 2－y 2＝1，由此得y 2＜12，所以·∈[－1,0)． (3)因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，那么直线MB 的斜率为－k .故直线MA 的方程为y －1＝k (x －1)，直线MB 的方程为 y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k (x －1)x 2＋y 2＝2， 得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点M 在圆N 上，故其横坐标x ＝1一定是该方程的解，可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2， 同理可得：x B ＝k 2＋2k －11＋k 2， 所以k AB ＝y B －y A x B －x A＝ －k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝ 2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k MN . 所以，直线AB 和MN 一定平行．。
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷专练（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
则由椭圆的中心对称性可知可知AF1BF2为平行四边形，则可得△ABF2的周长为|AF当AB位于短轴的端点时，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，当围成的等腰三角形底边在直线l因为tanα=2tanα21―tan2α2=2，且tanα2>所以k=tanθ=tanα2=5―12，或故选：B．5．（5分）（2024·西藏拉萨的最小值为（）A．1453【解题思路】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可6．（5分）（2024·湖南邵阳点B在C上且位于第一象限，B．8 A．453【解题思路】由点A―1,8由点A―1,8在抛物线y23所以抛物线C的方程为y2设B(x0,y0)，则x0>0,y0>由题意知F p2,0，又OP 显然直线AB的斜率不为由y2=2pxx=ty+p2，得y2―2pty显然直线BD的斜率不为由y2=2pxλp，得y2故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
如图，因为K OA=∠PDA=∠ODB，所以×|PA|⋅S△PAB=12故选：ABD.11．（6分）（2024·福建龙岩|AB|=8.过焦点F的直线C的准线与坐标轴的交点，则（A．若MF=3FN，则直线C．∠MON为钝角设M(x1,y1),N(x2,y 得y2―8my―16=所以y1y2=―16,x1∴x1x2+y1y2=4⟨⟩三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高三数学一轮复习精练 直线和圆
高三数学一轮复习精练：直线和圆一、选择题（12题，每题5分）1.原点到直线052=-+y x 的距离为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．51.【答案】：D【解析】：原点为(0，0)，由公式，得：521|5|2=+-=d ，故选（Ｄ）。
2.直线过点（-1，2）且与直线x y 32=垂直，则的方程是 A ．0123=-+y x B.0723=++y xC. 0532=+-y xD.0832=+-y x2.【答案】A【解析】可得l 斜率为33:2(1)22l y x -∴-=-+即3210x y +-=，选A 。
3. 已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为A 22(1)(1)2x y ++-= B 22(1)(1)2x y -++= C 22(1)(1)2x y -+-= D 22(1)(1)2x y +++=3.【答案】B【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.4. 过原点且倾斜角为60︒的直线被圆学2240x y y +-=所截得的弦长为科网4.【答案】:D【解析】:22,(2)4x y +-=直线方程圆的标准方程,圆心(0,2)到直线的距离1d ==，由垂径定理知所求弦长为*d == 故选D.5. 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是A.2B.3C.115D.37165.【答案】：A【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。
解析：直线2:1l x =-为抛物线24y x =的准线，由抛物线的定义知，P 到2l 的距离等于P 到抛物线的焦点)0,1(F 的距离，故本题化为在抛物线24y x =上找一个点P 使得P 到点)0,1(F 和直线2l 的距离之和最小，最小值为)0,1(F 到直线1:4360l x y -+=的距离，即25|604|min =+-=d ，故选择A 。
2025年高考数学一轮复习-直线与圆-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-直线与圆-专项训练一、基本技能练1.过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A.x－y＋1＝0B.x＋y－3＝0C.2x－y＝0或x＋y－3＝0D.2x－y＝0或x－y＋1＝02.已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，直线l：x＋3y－2＝0，则“r>3”是“直线l与圆C 相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋(2－2k)上存在一点P，使得|OP|＝2，则k 的取值范围为()A.[3－2，3＋2]B.(－∞，2－3]∪[2＋3，＋∞)C.[2－3，2＋3]D.(－∞，3－2]∪[3＋2，＋∞)4.已知直线l：ax＋by＝1是圆x2＋y2－2x－2y＝0的一条对称轴，则ab的最大值为()A.1 4B.1 2C.1D.25.过点P(5，1)作圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的割线l交圆C于A，B两点，点C 到直线l的距离为1，则PA→·PB→的值是()A.32B.33C.6D.不确定6.已知直线x＋y＋1＝0与x＋2y＋1＝0相交于点A，过点A的直线l与圆M：x2＋y2＋4x＝0相交于点B，C，且∠BMC＝120°，则满足条件的直线l的条数为() A.0 B.1C.2D.37.已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为()A.(y－1)2－x2＝65B.x2－(y－1)2＝65C.y2－(x＋1)2＝65D.(x＋1)2－y2＝658.已知M是圆C：x2＋y2＝1上一个动点，且直线l1：mx－ny－3m＋n＝0与直线l2：nx＋my－3m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是()A.[3－1，23＋1]B.[2－1，32＋1]C.[2－1，22＋1]D.[2－1，33＋1]9.(多选)已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则()A.l1恒过点(2，－2)B.若l1∥l2，则a2＝12C.若l1⊥l2，则a2＝1D.当0≤a≤1时，直线l2不经过第三象限10.(多选)如图，O为坐标原点，B为y轴正半轴上一点，矩形OABC为圆M的内接四边形，OB为直径，|OC|＝3|OA|＝3，过直线2x＋y－4＝0上一点P作圆M 的两条切线，切点分别为E，F，则下列结论正确的是()A.圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1B.直线AB的斜率为2C.四边形PEMF的最小面积为2D.PA→·PC →的最小值为4511.已知直线l 1：y ＝(2a 2－1)x －2与直线l 2：y ＝7x ＋a 平行，则a ＝________.12.过点M (0，－4)作直线与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相切于A ，B 两点，则直线AB 的方程为________.二、创新拓展练13.(多选)已知圆C 1：(x －3)2＋(y －1)2＝4，C 2：x 2＋(y ＋3)2＝1，直线l ：y ＝k (x －1)，点M ，N 分别在圆C 1，C 2上.则下列结论正确的有()A.圆C 1，C 2没有公共点B.|MN |的取值范围是[1，7]C.过N 作圆C 1的切线，则切线长的最大值是42D.直线l 与圆C 1，C 2都有公共点时，k ≥2314.(多选)过点P (1，1)的直线与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A ，B 两点，线段MN 是圆C 的一条动弦，且|MN |＝42，则()A.△ABC 面积的最大值为92B.△ABC 面积的最大值为14C.|AB |的最小值为27D.|PM →＋PN →|的最小值为22－215.在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝1交x 轴于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧，若直线x ＋3y ＋m ＝0上存在点P ，使得|PA |＝2|PB |，则实数m 的取值范围为________.16.在平面直角坐标系xOy 中，过点A (0，－3)的直线l 与圆C ：x 2＋(y －2)2＝9相交于M ，N 两点，若S △AON ＝65S △ACM ，则直线l 的斜率为________.参考答案与解析一、基本技能练1.答案D解析当直线过原点时，满足题意，方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为xa＋y－a＝1，∵直线过(1，2)，∴1a－2a＝1，∴a＝－1，∴方程为x－y＋1＝0，故选D.2.答案A解析由题意知圆心(0，0)到直线x＋3y－2＝0的距离d＝|－2|1＋3＝1，当r>3时，直线与圆相交，当直线与圆相交，则d＝1<r，故“r>3”是“直线l与圆C相交”的充分不必要条件.故选A.3.答案C解析点O(0，0)到直线l：y＝kx＋(2－2k)的距离d＝|2－2k| k2＋1.由题意得坐标原点到直线l距离d≤|OP|，所以|2－2k|k2＋1≤2，解得2－3≤k≤2＋3，故k的取值范围为[2－3，2＋3]，故选C.4.答案A解析圆x2＋y2－2x－2y＝0的圆心为(1，1)，直线l：ax＋by＝1是圆x2＋y2－2x－2y＝0的一条对称轴.可得a＋b＝1，则ab ＝14，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号.所以ab 的最大值为14，故选A.5.答案B解析由题意，可得向量PA →与PB →共线且方向相同，圆C 的圆心为(－1，2)，半径为2，如图所示，其中PD 为切线，根据切割线定理，则PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|＝|PD →|2＝|PC →|2－|CD →|2＝62＋12－22＝33.故选B.6.答案B解析由题意得点A (－1，0)，圆M ：x 2＋y 2＋4x ＝0的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心(－2，0)，半径r ＝2，由∠BMC ＝120°，可得圆心M 到直线l 的距离d ＝1，直线l 过点A (－1，0)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，圆心M 到直线l 的距离d ＝1，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.圆心M (－2，0)到直线l 的距离d ＝|－2k －0＋k |k 2＋1＝|－k |k 2＋1＝1，此方程无解.故满足条件的直线l 的条数为1，故选B.7.答案D解析设动圆圆心P (x ，y )，半径为r ，则P 到l 1的距离d 1＝|2x －3y ＋2|13，P 到l 2的距离d 2＝|3x －2y ＋3|13，因为l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24.∴2r 2－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，化简后得r 2－d 21＝169，r 2－d 22＝144，相减得d 22－d 21＝25，将d 1，d 2代入距离公式后化简可得(x ＋1)2－y 2＝65，故选D.8.答案B解析依题意，直线l 1：m (x －3)－n (y －1)＝0恒过定点A (3，1)，直线l 2：n (x －1)＋m (y －3)＝0恒过定点B (1，3)，显然直线l 1⊥l 2，因此，直线l 1与l 2交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其方程为：(x －2)2＋(y －2)2＝2，圆心N (2，2)，半径r 2＝2，而圆C 的圆心C (0，0)，半径r 1＝1，如图：|NC |＝22>r 1＋r 2，所以两圆外离，由圆的几何性质得：|PM |min ＝|NC |－r 1－r 2＝2－1，|PM |max ＝|NC |＋r 1＋r 2＝32＋1，所以|PM |的取值范围是[2－1，32＋1].故选B.9.答案BD解析l 1：(a ＋1)x ＋ay ＋2＝0⇔a (x ＋y )＋x ＋2＝0，＋y ＝0，＋2＝0，＝－2，＝2，即直线恒过点(－2，2)，故A不正确；若l1∥l2，则有(a＋1)(1－a)＝a2，解得a2＝12，经检验满足条件，故B正确；若l1⊥l2，则有a(a＋1)＋a(1－a)＝0，解得a＝0，故C不正确；若直线l2恒过点(1，1)且不经过第三象限，则当1－a≠0时，aa－1<0，解得0<a<1，当a＝1时，直线l2：x＝1，也不过第三象限，当a＝0时，直线l2：y＝1，也不过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，直线l2不经过第三象限，故D正确.10.答案AD解析由题意可得圆M的直径|OB|＝2，线段OB的中点即为圆M的圆心，所以圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1，故A正确；易知∠AOB＝π3，从而可得∠xOC＝π3，所以直线OC的斜率为k OC＝tan π3＝3，由AB∥OC可得直线AB的斜率为k AB＝k OC＝3，故B错误；连接PM，可得Rt△PME≌Rt△PMF，所以四边形PEMF的面积为S＝2S Rt△PME＝|ME|·|PE|＝|PE|＝|PM|2－1，当直线PM与直线2x＋y－4＝0垂直时，|PM|最小，即|PM|min＝|2×0＋1－4|5＝355，所以S min＝255，故C错误；因为PA→·PC→＝(PM→＋MA→)·(PM→＋MC→)＝(PM→＋MA→)·(PM→－MA→)＝PM→2－MA→2＝PM→2－1≥95－1＝45，故D正确.故选AD.11.解析∵两直线平行，a2－1＝7，≠－2，解得a＝2.12.答案x－7y＋18＝0解析圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，圆心为C(－1，3)，半径为2，由圆的切线的性质可得MA⊥AC，则|MA|＝|MC|2－22＝（－1－0）2＋（3＋4）2－22＝46，所以，以点M为圆心、以|MA|为半径的圆M的方程为x2＋(y＋4)2＝46，将圆M的方程与圆C的方程作差并化简可得x－7y＋18＝0.因此直线AB的方程为x－7y＋18＝0.二、创新拓展练13.答案AC解析圆C1的圆心C1(3，1)，半径r1＝2，圆C2的圆心C2(0，－3)，半径r2＝1.对于选项A，圆心距d＝（0－3）2＋（－3－1）2＝5>r1＋r2，所以圆C1，C2外离，选项A正确；对于选项B，|MN|的最小值为d－(r1＋r2)＝2，最大值为d＋(r1＋r2)＝8，选项B 错误；对于选项C，连接C1C2与圆C2交于点N(外侧交点)，过N作圆C1的切线，切点为P，此时|NP|最长，在Rt△C1PN中，|NP|＝（d＋r2）2－r21＝62－22＝42，选项C 正确；对于选项D，直线l方程化为kx－y－k＝0，圆心C1到直线l的距离|2k－1|k2＋1≤2，解得k≥－3 4，圆心C2到直线l的距离|3－k|k2＋1≤1，解得k≥43所以直线l与圆C1，C2都有公共点时，k≥43，选项D错误.故选AC.14.答案BCD解析设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得0≤d ≤2，|AB |＝29－d 2，则S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×29－d 2·d ＝9d 2－d 4当d 2＝2时，(S △ABC )max ＝14，故A 错误，B 正确；由0≤d ≤2，|AB |＝29－d 2知|AB |min ＝29－2＝27，C 正确；过圆心C 作CE ⊥MN 于点E ，则点E 为MN 的中点，又|MN |＝42，则|CE |＝9－8＝1，即点E 的轨迹为圆(x －2)2＋y 2＝1.因为|PM →＋PN →|＝2|PE →|，且|PE →|min ＝|PC |－1＝2－1，所以|PM →＋PN →|的最小值为22－2，故D 正确.因此应选BCD.15.答案－133，1解析由题意得A (－1，0)，B (1，0)，设P (x ，y )，则由|PA |＝2|PB |，得（x ＋1）2＋y 2＝2（x－1）2＋y 2，＋y 2＝169，＋y 2＝169与直线x ＋3y ＋m ＝0有交点，即|53＋m |2≤43，解得－133≤m ≤1.故实数m 的取值范围为－133，1.16.答案±3147解析由题意得C (0，2)，直线MN 的斜率存在，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为y ＝kx －3，与x 2＋(y －2)2＝9联立，得(k 2＋1)x 2－10kx ＋16＝0，Δ＝100k 2－64(k 2＋1)＝36k 2－64>0，得k 2>169，x 1＋x 2＝10k k 2＋1，x 1x 2＝16k 2＋1.因为S △AON ＝65S △ACM ，所以12×3×|x 2|＝65×12×|2－(－3)|×|x 1|，则|x 2|＝2|x 1|，于是x 2＝2x 1，x 1＝10kk 2＋1，x 21＝16k 2＋1两式消去x 1得k 2＝187，满足Δ>0，所以k ＝±3147.。
2024届全国高考数学复习考点好题专项(直线与圆)练习(附答案)
A.x-√3y+3=0
B.x+√3y+3=0
C.√3x-y+3=0
D.√3x+y+3=0
)
7.(多选题)(2023 广东惠州模拟)已知直线 l:kx-y-k=0 与圆 M:x2+y2-4x-2y+1=0,则下列说法正确的是
(
)
A.直线 l 恒过定点(1,0)
B.圆 M 的圆心坐标为(2,1)
2
2
20 20
√2
√2,所以直线
和圆相切.
3.D 答案解析 如图,令直线 l 与圆 C 交于点 A,B,依题意,∠ACB=120°,而圆 C 的圆心 C(2,0),半
径 r=2,∠ABC=30°,因此点 C 到直线 l 的距离 d=rsin 30°=1,于是 d=
|3|
2 2
=1,
整理得 n=±2√2m,
√2
所以直线 l 的斜率 k=- =± .
4
4.C 答案解析 (方法一)由 x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为 3
的圆.
设 x-y=u,则 x-y-u=0,且由题意知直线 x-y-u=0 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 有公共点,则
2024 届全国高考数学复习考点好题专项（直线与圆）练习
一、必备知识夯ห้องสมุดไป่ตู้练
1.(2023 浙江温州三模)已知直线 l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,若 l1⊥l2,则 a+b=(
A.-1
B.0
高考数学一轮复习精选试题：直线与圆(选择与填空) Word版含答案
直线与圆01一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．两直线与平行，则它们之间的距离为( )A ．B C D【答案】D2．圆：和圆：交于两点，则直线的的方程是( )A ．B ．C ．D ． 【答案】A3．已知三点A （－2,－1）、B （x ，2）、C （1，0）共线，则x 为( )A ．7B ．-5C ．3D ．-1 【答案】A4．“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B5．过点（1，2）且与原点的距离最大的直线方程是( )A ．2x+y-4=0B ． x+2y-5=0C ．x+3y-7=0D ．3x+y-5=0 【答案】B330x y +-=610x my ++=421313513267102006422=+-+y x y x 0622=-+x y x ,A B AB 30x y +=3+0x y =30x y -=350y x -=216．已知直线与直线相互垂直，则实数的值为( )A ．9B ．—9C ．4D ．—4【答案】D7．若表示圆，则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．R【答案】C8．如果两条直线l 1:与l 2:平行，那么 a 等于( )A ．1B ．-1C ．2D ． 【答案】B9．直线与直线之间的距离是( )A ．B ．2C ．D ． 【答案】C10．已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( )A ．+=1B ．+=1C ．+=1D ．+=1 【答案】B1:2310l x y +-=2:650l x my ++=m 22(1)20x y x y λλλ++-++=λ(0)+，∞114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1(1)()5+-，∞∞，260ax y ++=(1)30x a y +-+=233470x y +-=6830x y ++=5417101751C 2(1)x +2(1)y -2C 1C 10x y --=2C 2(2)x +2(2)y -2(2)x -2(2)y +2(2)x +2(2)y +2(2)x -2(2)y -11．曲线|x ―1|+|y ―1|=1所围成的图形的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．【答案】B12．设直线过点，且与圆相切，则的斜率是( ) A ． B ． C ． D ．【答案】A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．点分别在直线上，则线段长度的最小值是 .【答案】14．已知曲线y ＝3x2＋2x 在点(1，5)处的切线与直线2ax －y －6＝0平行，则a ＝ ．【答案】415．已知圆交于A 、B 两点，则AB 所在的直线方程是 。
高考数学一轮总复习直线与圆的多元综合运用
高考数学一轮总复习直线与圆的多元综合运用在高考数学考试中，直线与圆的多元综合运用是一个重要的考点。
该考点主要考察学生对直线和圆的性质、关系以及相关求解方法的理解和运用能力。
下面将从几个典型的应用问题入手，探讨直线与圆的多元综合运用。
问题一：已知圆C的圆心为O，点A在圆上，点B在直线l上，且AB是圆C的直径，求证：直线AB垂直于直线l。
解析：由题意可知，直线AB是圆C的直径，因此直线AB的垂直平分线就是圆C的半径，也即线段AC、BC的中垂线。
而中垂线与线段所在直线垂直，所以直线AB垂直于直线l。
问题二：已知直线l与圆C的切点为A，直线l过点B(圆C外一点)，求证：直线AB的长度等于直线BC的长度。
解析：由题意可知，直线l是圆C的切线，而切线与半径垂直，所以∠OAB = 90°。
又因为直线l过点B，所以直线AB是直线l与圆C交点B到圆心O的线段。
利用勾股定理可得：AB² = AO² + OB²。
同理，直线BC也是直线l与圆C交点C到圆心O的线段，所以BC² = CO² + OB²。
由于AO = CO（半径），所以AO² = CO²。
将以上两个等式结合起来，可得到AB²= BC²。
因此，直线AB的长度等于直线BC的长度。
问题三：已知圆C的弦AB与直线l相交于点D，圆C内一点P到直线l的距离为d，求证：直线l与弦AB的交点D到圆心O的距离也为d。
解析：设直线l与圆C交于点E和F。
由题意可知，直线l与弦AB 相交于点D，采用反证法来证明直线l与弦AB的交点D到圆心O的距离也为d。
假设直线l与弦AB的交点D到圆心O的距离为d1，且d1 ≠ d。
因为直线l与圆C相交于点E和F，所以圆C的直径EF垂直于直线l，也即EF是直线l的宽度。
而弦AB也是直线l的一部分，所以直线l的宽度不可能大于EF的宽度。
假设直线l与弦AB的交点D到圆心O的距离为d1 ≠ d，那么直线l的宽度必然大于EF的宽度，与直线l 的定义相矛盾。
高考数学高三一轮复习直线和圆经典小题汇总
1．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．2. 一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 的正半轴上，则该圆的标准方程为_______． 3．在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．44．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．25．一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 6．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -=7．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．108．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B ．C ．6D ．9．设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．⎡⎣D ．⎡⎢⎣⎦ 10．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．412．若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =A ．21B ．19C ．9D ．11-13．过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是 A ．]60π，（ B ．]30π，（ C ．]60[π， D ．]30[π， 14．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－815．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．16．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π17．过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=18．已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4B 1C ．6- D19．已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定20．已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切， 且与直线10ax y -+=垂直， 则a =A ．12-B ．1C ．2D ．1221．则“2-=m ”是“直线1l ：0422=+-+m my x 与直线2l ：022=+-+m y mx 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件22．已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．123．若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(3-，3)B ．(-0)(0，3)C ．[3-，3]D ．(-∞，3-) (3，+∞)24．若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y += 相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++=25．已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________． 26．直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．27．圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 ．28．若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____． 29．已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．30．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .34.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －2)2＋(y －2)2＝235.若曲线y ＝1＋4－x 2与直线kx －y －2k ＋4＝0有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，512B.⎝⎛⎦⎤13，34C.⎝⎛⎦⎤512，34D.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ 36.已知P 是过三点O (0,0)，A (1,1)，B (4,2)的圆M 上一点，圆M 与x 轴、y 轴的交点(非原点)分别为S ，T ，则|PS |·|PT |的最大值为( )A ．25B ．50C ．75D ．10037.若过点P (2,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －7＝0相交于两点A ，B ，且∠ACB ＝60°(其中C 为圆心)，则直线l 的方程是( )A ．4x －3y －5＝0B ．x ＝2或4x －3y －5＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．x ＝2或4x －3y ＋5＝038.已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)39.已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13 40.在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．41.直线x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__.。