2008年全国高中数学联赛试题及答案
2008年全国高中数学联赛试题
2008试题部分第一试一、 选择题(每小题6分,共36分) 1. 函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 32. 设[)2,4A =-，{}240B x x ax =--≤。
若B A ⊆，则实数a 的取值范围是( ) (A) [)1,2- (B) []1,2- (C) []0,3 (D) [)0,3 3. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止。
设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立。
则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为( )(A)24181(B) 26681(C)27481(D)6702434. 若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为5642cm ，则这三个正方体的体积之和为( )(A) 7643cm 或3586cm (B) 7643cm (C) 3586cm 或3564cm (D) 3586cm5. 方程组000x y z xyz xy yz xz y ++=⎧⎪=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 6. 设A B C 的A ∠、B ∠、C ∠所对的边a 、b 、c 成比例。
则sin cot cos sin cot cos A C A B C B++的取值范围是( )(A) ()0,+∞(B) 10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(C) 11,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(D) 1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭二、 填空题(本题满分54分,每小题9分) 7. 设()f x ax b =+（a 、b 为实数），1()()f x f x =，1()(())(1,2,)n n f x f f x n +==若7()128381f x x =+，则a b +=__________. 8. 设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-。
2008全国联赛答案
第一试1、【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b a b a b a b a b ++--⨯+====. 故选B . 2、【答】D .解 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知,,,B C E F 四点共圆，于是△AEF ∽△ABC ，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 故选D . 3．【答】C .解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个.所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C . 4．【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒，∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==.故选B .5．【答】 B .解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤. 要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅， 2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数. 所以r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n ia a +---⋅⋅=⋅⋅. 故选B.6． 【答】D .解 ∵(2008x y -=，∴x y ==y x ==由以上两式可得x y =. 所以2(2008x -=，解得22008x =，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=. 故选D .1．解 ∵221a a ===-，∴21a a +=， ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅- 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----.2．解 设正方形A B C D 的中心为O ，连AO ，则A O B D ⊥，2A O OB ==,2MO ===,∴MB MO OB =-又135ABM NDA ∠=∠=︒， 13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠，所以△ADN ∽△MBA ，故AD DNMB BA =，从而1AD DN BA MB =⋅==根据对称性可知，四边形AMCN 的面积115222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯+=△. 3．解 根据题意，,m n 是一元二次方程20x a x b ++=的两根，所以m n a +=-，m n b =. ∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n -≤+≤.∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-，故14b ≥-，等号当且仅当12m n =-=时取得； 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得. 所以14p =，14q =-，于是12p q +=. 4．解 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位； 24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1. 第二试 （A ）一．（本题满分20分）解 整理不等式（1）并将221a b +=代入，得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）在不等式（2）中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥.易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥.由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得42161610a a -+=，所以224a =或224a =. 又因为0a ≥，所以a =a =， 于是方程组（3）的解为4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为a b ==和a b == 二．（本题满分25分）解 （1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC ，所以BD BO AB AC =，即2r a l y=，故2al r y =.所以22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥，即2r ≥其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 三．（本题满分25分）解 （1）式即2634511()509509a b a b ++=，设634511,509509a b a b m n ++==，则 509650943511m a n a b --== （2） 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= （3）由（1）式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-.由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况： ①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =. ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去. 综合可知251a =. 此时方程（3）的解为3m =或5023m =（舍去）.把251a =，3m =代入（2）式，得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）解 由1,0x y x y +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤. 在（1）式中，令0,1x y ==，得0a ≥；令1,0x y ==，得0b ≥.将1y x =-代入（1）式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得42161610a a -+=，所以224a =或224a +=，又因为0a ≥，所以4a =或a =. 于是方程组（3）的解为4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组，分别为a b ==a b == 第二试 （C ）三．（本题满分25分）解 （1）式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=，设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==，则 5096509423511m a n a b c ---== （3） 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= （4）由（1）式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-.由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =，此时方程（4）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（3）式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-. 代入（2）式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。
2008年全国高中数学联赛一试二试试题整理详解汇编(一试+二试AB卷)(学生版)
2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。
答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。
答卷时问为120分钟。
一 试4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。
（A ）764 cm 3或586 cm 3 （B ） 764 cm 3（C ）586 cm 3或564 cm 3 （D ） 586 cm 3 5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。
（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 46．设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，则的取值范围是（ ）。
（A ）(0,)+∞ （B ） 51+ （C ）5151()-+ （D ）51)-+∞ 二、填空题（每小题9分，共54分）11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f = .12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．加 试（A 卷）一、（本题满分50分）如图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（1）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C 、、、四点共圆；（2）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB上一点，满足：32AE AB =，31BC EC=-，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O 的切线，2AC =，求()f P 的最小值． 二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明：（1）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （2）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件： 答一图1（1）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（2）lim n n x →∞存在； （3）200820071110n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．2008年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）试题参考答案说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，ABCD 是圆内接四边形．AC 与BD 的交点为P ，E 是弧AB 上一点，连接EP 并延长交DC 于点F ，点,G H分别在CE ，DE 的延长线上，满足EAG FAD ∠=∠，EBH FBC ∠=∠，求证：,,,C D G H 四点共圆．二、（本题满分50分）求满足下列关系式组 2222,50,x y z z y z ⎧+=⎨<≤+⎩的正整数解组(,,)x y z 的个数．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件： （ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在； （ⅲ）200820071110n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．题一图。
2008年全国高中数学联赛预赛试题及答案(江西赛区)
2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、选择题（每小题6分,共36分）1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞ ．2、设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y +=有公共点，则a b 的取值范围是（ ）.A 、11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞ ； D 、[]2,2-.3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则CD = .A 、7 ；B 、13 ；C 、18 ；D 、27．4、若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ⋅+⋅=，则k =（ ）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3．5、设(212n n a +=，n b 是n a 的小数部分，则当*n N ∈时，n n a b 的值（ ）．A 、必为无理数；B 、必为偶数；C 、必为奇数；D 、可为无理数或有理数．6、设n 为正整数，且31n +与51n -皆为完全平方数，对于以下两个命题：（甲）.713n +必为合数；（乙）.()28173n n +必为两个平方数的和. 你的判断是（ ）A.甲对乙错；B. 甲错乙对；C.甲乙都对；D.甲乙都不一定对. 二、填空题（每小题9分，共54分）7、过点()1,1P 作直线l ，使得它被椭圆22194x y +=所截出的弦的中点恰为P ，则直线l 的方程为 .8、设x R ∈，则函数()f x =的最小值为 .9、四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成060的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 是BCD ∆的垂心，G 是ABC ∆的重心，若4AH =，AB AC =，则GH = ．10、000sin 20sin 40sin80⋅⋅= .11、数列{}n a 满足：11a =，且对每个*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b ++=的两根，则201kk b==∑ .12、从前2008个正整数构成的集{}1,2,,2008M = 中取出一个k 元子集A ，使得A 中任两数之和不能被这两数之差整除，则k 的最大值为 ． 三、解答题：13、（20分）AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高，（AB AC <），12,I I 分别是,ABD ACD ∆∆的内心，12AI I ∆的外接圆O 分别交,AB AC 于,E F ，直线,EF BC 交于点M ；证明：12,I I 分别是ODM ∆的内心与旁心．14、（20分）设,,x y z 为非负实数，满足1xy yz zx ++=，证明：11152x y y z z x ++≥+++．15、（20分）对于2n 元集合{}1,2,,2M n = ，若n 元集{}12,,,n A a a a = ，{}12,,,n B b b b = 满足：,A B M A B ==∅ ，且11n nk k k k a b ===∑∑，则称A B 是集M 的一个“等和划分”（A B 与B A 算是同一个划分）．试确定集{}1,2,,12M = 共有多少个“等和划分”．2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、选择题（每小题6分,共36分）1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞ ．答案：B ．解：欲使()f x 的值域为R ，当使真数243ax x a -+-可取到一切正数，故或者0a =；或者0a >且()24430a a --≥，解得04a ≤≤2、设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y +=有公共点，则a b 的取值范围是（ ）.A 、11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞ ； D 、[]2,2-.答：C ． 解：将2axy b-=代入椭圆方程并整理得，()22223121260a b x ax b +-+-=， 因直线和椭圆有公共点，则判别式()()()222212431260a a b b -+-≥，利用221a b +=，化简得22a b ≥，所以1ab≥．即(][),11,a b ∈-∞-+∞ ．3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则 CD = .A 、7 ；B 、13 ；C 、18 ；D 、27． 答案：B .解：四面体中，除CD 外，其余的棱皆与AB 相邻接，若长13的棱与AB 相邻，不妨设13BC =，据构成三角形条件，可知{}7,18,27AC ∉，36, 7AC BD ⇒=⇒=，{}{},18,27AD CD ⇒=，于是ABD ∆中，两边之和小于第三边，矛盾。
2008年全国高中数学联合竞赛加试试题及解答
2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD，180B D∠+∠<o，P是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB=⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P达到最小值时，P A B C,,,四点共圆；（Ⅱ）设E是ABC∆外接圆O的»AB上一点，满足：3 AEAB=，31BCEC=-，12ECB ECA∠=∠，又,DA DC是Oe的切线，2AC=，求()f P的最小值．二、（本题满分50分）设()f x是周期函数，T和1是()f x的周期且01T<<．证明：（Ⅰ）若T为有理数，则存在素数p，使1p是()f x的周期；（Ⅱ）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a满足110n na a+>>> (1,2,)n=⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n=⋅⋅⋅都是()f x的周期．图1三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =L ．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =L ； （ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =L ．2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<o ，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的»AB 上一点，满足：3AE AB =，31BC EC=-，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O e 的切线，2AC =，求()f P 的最小值．[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅． 因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在»AC 上时， ()()f P PB PD CA =+⋅． …10分又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 23sin 3AE AB αα==，从而3sin 32sin 2αα=，即33(3sin 4sin )4sin cos αααα-=，所以23343(1cos )4cos 0αα---=，整理得243cos 4cos 30αα--=， …30分答一图1解得3cos α=或cos 23α=-（舍去）， 故30α=o ，60ACE ∠=o ．由已知31BCEC=-=()sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(31)sin EAC EAC ∠-=-∠o ，即31sin cos (31)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=-∠，整理得231sin cos 2EAC EAC -∠=∠，故tan 2323EAC ∠==+-，可得75EAC ∠=o， …40分从而45E ∠=o ，45DAC DCA E ∠=∠=∠=o ，ADC ∆为等腰直角三角形．因2AC =，则1CD =．又ABC ∆也是等腰直角三角形，故2BC =，212212cos1355BD =+-⋅⋅=o ，5BD =． 故min ()5210f P BD AC =⋅=⋅=． …50分[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O e 外，故0P 在BD 上）．过,,A C D 分别作000,,P A P C P D 的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC ∆之三内角分别为x y z ，，，则0180AP C y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A ⊥，110B A P C ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=，所以111A B C ∆∽ABC ∆． …10分设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有 0000()()f P P A BC P D CA P C AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A P C A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆=111111MA B C MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=， 从而 0()()f P f M ≤．由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点．由点0P 在O e 上，故0,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值11102()A B C f P S λ∆=2ABC S λ∆=，记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 23sin 3AE AB αα==，从而3sin 32sin 2αα=，即33(3sin 4sin )4sin cos αααα-=，所以23343(1cos )4cos 0αα---=，整理得243cos 4cos 30αα--=， …30分答一图2解得cosα=cos α=（舍去），故30α=o ，60ACE ∠=o ．由已知1BCEC==()sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠o ，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠1cos 2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==，可得75EAC ∠=o， …40分所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，AC =，1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在O e 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，11B C BD ===故λ=min ()21f P == …50分[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有 1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．有 PA BC PC AB PA BC PC AB ⋅+⋅≥⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以 ()()()()A P C B C P B A --+--()()()()A P C B C P B A ≥--+-- （1）P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅()()B P C A PB AC =--=⋅u u u r u u u r，从而 PA BC PC AB PD CA ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rPB AC PD AC ≥⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r()PB PD AC =+⋅u u u r u u u r u u u r BD AC ≥⋅u u u r u u u r． （2） …10分 （1）式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A -- 同向，故存在实数0λ>，使得()()()()A P C B C P B A λ--=--，A PB AC P C Bλ--=--， 所以 arg()arg()A P B AC P C B--=--，向量PC uuu r 旋转到PA u u u r 所成的角等于BC uuu r旋转到AB u u u r 所成的角， 从而,,,P A B C 四点共圆．（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =⋅． 以下同解法一．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>(1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得nT m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得1ma nb +=． 于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅ 是()f x 的周期． …10分 又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅是()f x 的周期． …20分（Ⅱ）若T 是无理数，令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则101a <<，且1a 是无理数，令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，…… 111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……． …30分由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． …40分 最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期． …50分。
2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛
图1
⊥BC 于 F ,则 △AFE 为直角三角形 . 因为 ∠AEF = 30° ,所以 , 1 5 3 AF = AE = , 2 2 5 3 即梯形 ABCD 的高 AF = . 2 又四边形 AEBD 为平行四边形 ,因此 , AD = EB . 1 1 故 S = ( AD + BC ) AF = EC・ AF 2 2 1 5 3 25 3 = × 10 × = . 2 2 2 四、 原不等式两边同乘以 30 得 15(3 x -1 ) -10 (4 x -2 ) ≥ 6 (6 x -3 ) -39 . 解得 x ≤ 2. 记 y = 2| x -1|+| x +4| . ( 1) 当 x ≤- 4 时 , y =- 2 ( x -1 ) - ( x +4 ) =-3 x -2 . 所以 , y 的最小值为 ( - 3) ×( -4 ) -2= 10 ,此时 x =-4 . ( 2) 当 -4 ≤x ≤ 1时,
2 13. 设函数 f ( x ) = x - k x - 1 ( x ≥ 1, k 为 给 定 的 实 数 ,0< k <1 ) . 试 求 f ( x ) 的 值域 .
参考答案
第一试
一、 1. B. 注意到 π 4 2 f x+ = sin x + cos x 2 4 4 2 2 = sin x + cos x + cos x ・ sin x 4 2 = cos x + sin x = f ( x ) . π 1 1 ≠ 又 f ( 0) =1 、 f = + f ( 0) , 故 4 4 2 选 (B) . 2. B. 由点集 M 、 N 的几何意义易知 . 3. A. xy + 4>2 x +2 y Ζ ( x - 2) ( y -2 ) >0 Ζ x < 2 , y <2 或 x >2 , y >2 .
2008年全国高中数学联赛吉林赛区预赛试题
绝密★启用前2008年全国高中数学联赛吉林赛区预赛试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．为了得到函数的图象，可以将函数 的图象 A ．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移个单位长度 D ．向左平移个单位长度2．2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有两套大小不同的福娃（共10个福娃）从两套福娃中任意选出5个福娃，恰好缺一个组成完整“奥运会吉祥物”的选法有（）种. A ．160 B ．320 C ．32 D ．1203．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足.则P —定为△ABC 的（）. A ．边AB 中线的中点B ．边AB 中线的三等分点（非重心）C ．重心D ．边AB 的中点4．若存在钝角a ，使得 成立，则实数x 的取值范围是（）.A ． 或B ． 或D．5．对于集合M、N，定义且，，设，.则（）.A．B．C．D．6．已知数列的通项.则下列表述正确的是（）A．最大项为，最小项为B．最大项为，最小项不存在C．最大项不存在，最小项为D．最大项为，最小项为○…………外…○…………内…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题7．已知多项式 .且满足 .则正整数n 的一个可能值为________.8．已知 是单位正方体黑白两只蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁的爬行路线是 ，黑蚂蚁的爬行路线是 ，它们都依照如下规则：所爬行的第n+2段与第n 段所在直线必须是异面直线.设黑白两只蚂蚁都走完2008段后各停止在正方体的某个顶点处.此时，黑白两只蚂蚁的距离是________.9．已知函数 的定义域为R ，满足：（1） 是偶函数；（2）对于任意的 都有 ，且 时， .则直线 与函数 的图像交点中最近的两点之间的距离为 .10．有六根细木棒，其中较长两根的长度分别为 、 ，其余四根的长度均为a ，用它们搭成三棱锥.则其中两条较长的棱所在直线的夹角的余弦值为 .11．设 ， .则满足条件的所有实数a 的取值范围为 .12．若集合 、 满足 ,则记 是A 的一组双子集拆分.规定： 和 是A 的同一组双子集拆分.已知集合 .那么，A 的不同双子集拆分共有 组. 三、解答题13．如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面a 内作菱形ABCD,边长为1,∠BAD=60°，再在a 的上方，分别以△ABD 与△CBD 为底面安装上相同的正棱锥P-ABD 与Q-CBD ，∠APB=90°.（1）求二面角P-BD-Q 的余弦值；（2）求点P到平面QBD的距离.14．已知长度为6的线段CD的中点为M.现以CD为一边在同一侧作两个周长均为16的△ACD、△BCD，且满足∠AMB=90°.求△AMB的面积的最小值.15．设函数（a、b为实常数）.已知不等式对任意的实数x均成立，定义数列和为：，，，数列的前n项的和记为,其前n项的乘积记为.证明：（1），且；（2）对任意的正整数n，为定值.16．在四维空间中，定义点与点之间的距离为.考察点集或.如果对I的任意一个n元子集，都能找到、、,使得为正三角形，即,求n的最小值.17．已知正数a、b、c满足.求的最小值.参考答案1．B【解析】【分析】根据三角函数的恒等变换化简函数为，再根据三角函数的图象变换，即可得到答案.【详解】y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos2.则为了得到函数＝的图象，可以将函数＝的图象向右平移个单位长度.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答中利用三角函数恒等变换的公式，得到函数的解析式，再利用三角函数的图象变换求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2．A【解析】【详解】因，故选A..3．B【解析】【详解】如图所示，因为O是△ABC的重心，所以，.故OP.因此，P在AB中线CF的三等分点（分重心）处.4．A【解析】【详解】设.则.所以，.故.解得或.5．C【解析】【详解】由，，得. 6．D【解析】【详解】，，.当时，为减函数，且.又因为，上的减函数，所以，单调递增.因此，.所以，最大，最小.7．4【解析】【详解】取x=0,得.取x=1，得，即，从而，.故n=4为可能的值.8．【解析】【详解】易知两只蚂蚁走过的路线以6为周期，黑白两只蚂蚁走完2008段后分别停止在正方体的顶点和，相距.9．4【解析】【详解】画出函数的图像（如图所示）.从图中易看出直线y=4与函数的图像交点中最近的两点之间的距离为4.10．或0【解析】依题意可得，三棱锥中较长的两条棱长为，设这两条棱所在直线的所成角为。
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题解析
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1.函数f (x )=5−4x +x 22−x在(−∞,2)上的最小值是()A.0 B.1 C.2 D.3解答f (x )=2−x +12−x⩾2，等号成立时x =1.所以选C .2.设A =[−2,4),B ={x |x 2−ax −4⩽0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为()A.[−1,2)B.[−1,2]C.[0,3]D.[0,3)解答设f (x )=x 2−ax −4，依题意f (x )=0的两根x 1,x 2∈[−2,4).由于∆=a 2+16>0，于是 f (−2)=2a ⩾0,f (4)=12−4a >0,a 2∈[−2,4)⇒a ∈[0,3).所以选D .3.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ为()A.24181 B.26681 C.27481 D.670243解答由于比赛不满6局时胜者比对方多2分，则比赛局数只能是2,4,6.其中2局分胜负的情况为甲或乙胜2局；4局分胜负的情况为甲或乙胜3局负1局，且负的1局在前2局.于是需要比赛6局的情况是在前4局中，甲或乙在1,2局和3,4局中均为1胜1负.相应分布列为局数ξ246概率P (23)2+(13)2C 12·13(23)3+C 12·23(13)34(13)2(23)2于是Eξ=2×59+4×2081+6×1681=26681.所以选B .4.若三个棱长均为整数(单位：cm )的正方体的表面积之和为564cm 2，则这三个正方体的体积之和为()A.764cm 3或586cm 3B.764cm 3C.586cm 3或564cm 3D.586cm 3解答设三个正方体的棱长分别为a,b,c ，则6(a 2+b 2+c 2)=564⇒a 2+b 2+c 2=94.由于(3k ±1)2≡1(mod 3)，于是a,b,c 中必有2个数为3的倍数，不妨设为a,b .检验得32+62=45⇒c =7；32+92=90⇒c =2.从而a 3+b 3+c 3=586或764.所以选A .5.方程组 x +y +z =0,xyz +z =0,xy +yz +xz +y =0的有理数解(x,y,z )的个数为()A.1B.2C.3D.4解答xyz +z =z (xy +1)=0⇒z =0或xy =−1.当z =0时， x +y =0,xy +y =y (x +1)=0⇒ x =0,y =0或 x =−1,y =1.当xy =−1时， (x +y )2=y −1,xy =−1⇒(y −1y )2=y −1⇒y 2+1y 2=y +1⇒y 4−y 3−y 2+1=(y −1)(y 3−y −1)=0.由于y 3−y −1=0没有有理根，则y =1⇒x =−1.于是有理解(x,y,z )的个数为2，所以选B .6.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 成等比数列，则sin A cot C +cos A sin B cot C +cos B的取值范围是()A.(0,+∞) B.(0,√5+12)C.(√5−12,√5+12) D.(√5−12,+∞)解答设等比数列a,b,c 的公比为q ，则b =aq,c =aq 2.于是 a +b >c,b +c >a ⇒ q 2−q −1<0,q 2+q −1>0⇒√5−12<q <√5+12.sin A cot C +cos A sin B cot C +cos B =sin A cos C +cos A sin C sin B cos C +cos B sin C =sin (A +C )sin (B +C )=sin B sin A =b a =q ∈(√5−12,√5+12).所以选C .二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.设f (x )=ax +b ，其中a,b 为实数，f 1(x )=f (x ),f n +1(x )=f (f n (x ))，n =1,2,···，若f 7(x )=128x +381，则a +b =.解答f 2(x )=a (ax +b )+b =a 2x +ab +b =a 2x +b (1−a 2)1−a ，f 3(x )=a (a 2x +ab +b )+b =a 3x +a 2b +ab +b =a 3x +b (1−a 3)1−a ，···，f 7(x )=a 7x +b (1−a 7)1−a =128x +381⇒a =2,b =3.所以a +b =5.8.设f (x )=cos 2x −2a (1+cos x )的最小值为−12，则a =.解答设t =cos x ∈[−1,1]，则f (x )=2t 2−1−2a (1+t )=2t 2−2at −2a −1=2(t −a 2)2−a 22−2a −1.于是 a 2∈[−1,1],−a 22−2a −1=−12或 a 2>1,1−4a =−12或 a 2<−1,1=−12.解得a =−2±√3(−2−√3舍去).所以a =−2+√3.9.将24个志愿者名额分配给3所学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种.解答将24个志愿者名额分配给3所学校，每校至少有一个名额的分配方法有C 223=253种；3所学校名额相同的分配方法有1种；有且仅有2所学校名额相同的分配方法(即满足2x +z =24且x =z 的正整数解)有10×3=30种.所以3所学校名额互不相同的分配方法共有253−1−30=222种.10.设数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n +a n =n −1n (n +1),n =1,2,···，则通项a n =.解答S n +a n =2S n −S n −1=n −1n (n +1)=2n +1−1n ⇒2(S n −1n +1)=S n −1−1n ⇒数列{S n −1n +1}是公比为12的等比数列，且S 1−12=−12，于是S n −1n +1=−(12)n ⇒S n =1n +1−(12)n (n ∈N ∗).所以a n =S n −S n −1=1n +1−(12)n −1n +(12)n −1=(12)n −1n (n +1).11.设f (x )是定义在R 上的函数，若f (0)=2008，且对任意x ∈R ，满足f (x +2)−f (x )⩽3·2x ,f (x +6)−f (x )⩾63·2x ，则f (2008)=.解答f (2008)=f (0)+[f (2)−f (0)]+[f (4)−f (2)]+···+[f (2008)−f (2006)]⩽2008+3(20+22+···+22006)=2008+41004−1=22008+2007；f (2004)=f (0)+[f (6)−f (0)]+[f (12)−f (6)]+···+[f (2004)−f (1998)]⩾2008+63(20+26+···+21998)=2008+64334−1=22004+2007，又 f (x +6)−f (x )⩾63·2x ,f (x )−f (x +2)⩾−3·2x⇒f (x +6)−f (x +2)⩾60·2x ⇒f (2008)−f (2004)⩾60·22002⇒f (2008)⩾f (2004)+60·22002=64·22002+2007=22008+2007.所以f (2008)=22008+2007.12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为4√6的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.解答如图，小球O 是正四面体P −DEF 的内切球.设AC 的中点为G ，作OM ⊥P G 于M .则有r =1⇒P O =3⇒P M =2√2=13P G ，同理AN =2√2=13AF ⇒MN =2√6.于是小球在正四面体一个面内能接触到的区域是以MN 为边长的正三角形及内部，其面积为正四面体一个面面积的14.所以该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积为正四面体表面积的34，即S =34×4×√34×(4√6)2=72√3.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.已知函数f (x )=|sin x |的图像与直线y =kx (k >0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：cos αsin α+sin 3α=1+α24α.解答如图，直线y =kx (k >0)与f (x )=|sin x |的图像相切于点A (α,−sin α)(π<α<3π2)，由于(−sin x )′=−cos x，于是有−sin αα=−cos α⇒α=tan α.所以cos αsin α+sin 3α=cos α2sin 2αcos α=12sin 2α=1+tan 2α4tan α=1+α24α.14.解不等式log 2(x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1)<1+log 2(x 4+1).解答解析一：原不等式⇒x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2(x 4+1)⇒x 12+3x 10+5x 8+3x 6−2x 4−1<0⇒(x 4+x 2−1)(x 8+2x 6+4x 4+x 2+1)<0⇒x 4+x 2−1<0⇒0⩽x 2<√5−12⇒x ∈(− √5−12, √5−12).解析二：原不等式⇒x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2(x 4+1)⇒x 12+3x 10+3x 8+x 6+2(x 8+x 6)<2x 4+1⇒x 6+3x 4+3x 2+1+2(x 2+1)<2x 2+1x 6⇒(x 2+1)3+2(x 2+1)<(1x 2)3+2x 2⇒x 2+1<1x 2⇒x 4+x 2−1<0⇒0⩽x 2<√5−12⇒x ∈(− √5−12, √5−12).15.如图，P 是抛物线y 2=2x 上的动点，点B 、C 在y 轴上，圆(x −1)2+y 2=1内切于△P BC ，求△P BC 面积的最小值.解答如图，设P (2t 2,2t ),M (1,0)，过P 的直线y −2t =k (x −2t 2)与圆M 相切，则有|k (1−2t 2)+2t |√1+k2=1⇒4t 2(t 2−1)k 2−4t (2t 2−1)k +4t 2−1=0设直线P B,P C 的斜率为k 1,k 2，于是y B =2t −2t 2k 1,y C =2t −2t 2k 2，S △P BC =12·2t 2|y B−y C |=2t 4|k 1−k 2|=2t 4·√16t 2(2t 2−1)2−16t 2(t 2−1)(4t 2−1)4t 2(t 2−1)=2t 2·|t |√(2t 2−1)2−(t 2−1)(4t 2−1)t 2−1=2t 4t 2−1=2(t 4−1+1t 2−1)=2(t 2+1+1t 2−1)=2(t 2−1+1t 2−1+2)⩾2(2+2)=8，等号成立时t 2=2⇒t =±√2.所以△P BC 面积的最小值是8.。
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2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。
答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。
答卷时问为120分钟。
一 试一、选择题（每小题6分，共36分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）。
（A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3) 3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ ）。
（A ）24181 （B ）26681 （C ）27481（D ） 6702434．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。
（A ）764 cm 3或586 cm 3 （B ） 764 cm 3 （C ）586 cm 3或564 cm 3 （D ） 586 cm 35．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。
（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 6．设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是（ ）。
（A ）(0,)+∞ （B ）（C） （D）)+∞二、填空题（每小题9分，共54分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += .第15题8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a = . 9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种．10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a = ．11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f = . 12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．15．如图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C 、在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．解 答1. 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．故选C.2. 因为240x ax --=有两个实根 12a x =，22a x =B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a -且42a ，解之得03a ≤<．故选D 。
3.方法一： 依题意知，ξ的所有可能值为2、4、6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==， 4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选B 。
方法二： 依题意知，ξ的所有可能值为2、4、6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，因此520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选B 。
4. 设这三个正方体的棱长分别为a b c 、、，则有()2226564a b c ++=，即22294a b c ++=。
不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<，c 只能取9、8、7、6 ．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =． 若8c =， 则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，即4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解；若4b =，则214a =无解．因此c=8时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时2258b ≥，即229b ≥。
故6b ≥，但6b c ≤=，所以6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解(,,)(2,a b c =或(,,)(3,6,7)a b c =，体积为3331239764V =++=（cm 3）或3332367586V =++=（cm 3）。
故选A 。
5. 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩， 若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ② 将②式代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①式得1x y=-，代入③式化简得3(1)(1)0y y y ---=.易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①式得1x =-，由②式得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩故选B 。
6.设a b c 、、的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++ s i n ()s i n ()s i ns i n ()s i n ()s i nA CB B b q BC A A a ππ+-=====+-． 因此，只需求q 的取值范围．因为a b c 、、成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此a b c、、要构成三角形的三边，必须且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得11,22q q q ⎧-<<⎪⎪⎨⎪><⎪⎩从而1122q <<，因此所求的取值范围是．故选C 。
7. 由题意知12()(1)nn n n f x a x aaa b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-，由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．8. 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----，(1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -； (2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---． 又2a >或2a <-时，()f x 的c 不能为12-，故2112122a a ---=-，解得2a =-2a =-舍去)．9. 方法一：用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=(个)位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=(种)．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222(种)．方法二：设分配给3个学校的名额数分别为123x x x 、、，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222（种）． 10. 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ， 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ． 令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)，有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a nn ． 11. 方法一：由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-（第12题图1）24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅， 因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++10031413(0)41f +-=⋅+-200822007=+． 方法二： 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=，6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤，得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+． 12. 如图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=． 记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则2211PP PO OP =-==．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1PEF ，如图2．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M．因16MPP π∠=，有11cos PM PP MPP =⋅=，故小三角形的边长12PE PA PM a =-=-．小球与面PAB 不能接触到的部（第13题）分的面积为（如图2中阴影部分）1PAB PEF S S ∆∆-22())a a --2=-． 又1r =，a =1PAB P EF S S ∆∆-==4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为13. ()f x 的图象与直线y kx = )0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈． 由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=．因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+14sin cos αα= 22cos sin 4sin cos αααα+= 21tan 4tan αα+=214αα+=． 14. 方法一：由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++<+．即 1210864353210x x x x x +++--<． 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++-<，864242(241)(1)0x x x x x x +++++-<，所以4210x x +->，22(0x x <。