【新课标通用】2014届高考数学(文科)二轮复习方案专题课件：第8讲 三角恒等变换与解三角形
1 变式题 (1)若 tan θ ＝3，则 cos 2θ ＝________． π 6 (2)已知 sin 2α ＝ sin α ，α∈0， ，则 tan α ＝ 5 2 ________．
4 [答案] (1) 5
4 (2) 3
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第8讲
三角恒等变换与解三角形
cos2θ －sin2θ 1－tan2θ [解析] (1)cos 2θ ＝ 2 ＝ ＝ cos θ ＋sin2θ 1＋tan2θ
命 题 考 向 探 究
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第8讲
三角恒等变换与解三角形
规范解答 3.正(余)弦定理在解三角形中的应用 解：(1)由 sin 2Ccos C－cos 2Csin C＝ 3－ 3cos C，(1 分) 化简得 sin C＝ 3－ 3cos C，
命 题 考 向 探 究
即 sin C＋ 3cos C＝ 3，(3 分) π π 3 得 2sinC＋ 3 ＝ 3，则 sinC＋ 3 ＝ 2 ，(4 分) π 2π π 故 C＋ 3 ＝ 3 或 3 (舍去)，(5 分) π 则 C＝ 3 .(6 分)
——主干知识 ——
⇒ 三角恒等 变换 关键词：倍角 公式、 sin(α± cos(α± β)， β)，
[解析] cos α ＝1－2sin 2 ＝1－ 1 1 2× ＝ . 3 3
2α
tan(α± 公 式 的 逆 β) 用，如①②.
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第8讲
核 心 知 识 聚 焦
三角恒等变换与解三角形
—— 体验高考 ——
命 题 考 向 探 究
1 1－9 4 1＝5. 1＋ 9 6 6 (2)由 sin 2α ＝ sin α 得 2sin α cos α ＝ sin α ， 5 5 3 4 4 cos α ＝ ，sin α ＝ ，tan α ＝ . 5 5 3
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三角恒等变换与解三角形
► 考向二 正(余)弦定理在解三角形中的应用 考向： 利用正弦定理和余弦定理研究三角形的边角关 系． 例 2 在三角形 ABC 中，sin 2C·cos C＋ 3cos C＝ cos 2C·sin C＋ 3. (1)求角 C 的大小； (2)若 AB＝2，且 sin B·cos A＝sin 2A，求△ABC 的 面积．
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三角恒等变换与解三角形
► 考向三 正(余)弦定理的实际问题 考向：两点间距离的测量，物体高度的测量．
命 题
三角恒等变换与解三角形
命 题 考 向 探 究
例 3 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好 处在坡度为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第 一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°， 且第一排和最后一排的距离为 10 6 m(如图 3－8－1 所 示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌的播放时 间约为 50 s，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗．
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三角恒等变换与解三角形
⇒ 三角形中 的常用结论 关键词：三角 形面积公式间的关 系、三角形的边角 关系，如⑥.
b c [解析] 由sin B＝sin C⇒c＝2 2，∵A 1 ＝105°，∴△ABC 的面积为 ×2×2 2 2 6＋ 2 ×sin 105°＝2 2× 4 ＝ 3＋1.
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三角恒等变换与解三角形
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[答案]
(1)A
(2)C
命 题 考 向 探 究
[解析] (1)cos 2α ＋sin2α ＝2cos2α －1＋1－cos2α ＝ 9 2 cos α ＝25. π (2)因为 θ∈－π ， 2 ， － 所以 sin θ ＝－ 1－cos2θ ＝ θ θ θ θ θ θ 24 －25， 2 <0， 2 >0， sin 2 >cos 2 ， sin cos 且 因此 sin 2 ＋cos 2 θ θ 2 θ θ θ <0.由 sin 2 ＋cos 2 ＝1＋2sin2cos 2 ＝1＋sin θ 得 sin 2 ＋ θ 1 cos 2 ＝－5.
③④.
[解析] 由 3sin A＝5sin B，根据正弦定理 7 得 3a＝5b，因为 b＋c＝2a，所以 c＝ a.又因 5 a2＋b2－c2 2π 1 为 cos C＝ ＝－ ，所以 C＝ . 2ab 2 3
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三角恒等变换与解三角形
—— 体验高考 ——
——主干知识 ——
2． [2013· 辽宁卷改编] 在△ABC 中， 内角 A， C 的对边分别为 a， B， b，c. a>b，则 B＝________．
π [答案] 6
——主干知识 ——
⇒ 三角恒等 变换 关键词：倍角
，且
公式、 sin(α± cos(α± β)， β)， tan(α± 公 式 的 逆 β) 用，如①②.
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三角恒等变换与解三角形
小结：给出角的某一个三角函数值求其他三角 函数值时，需要关注两个方面，一是运用公式进行
命 题 考 向 探 究
变形与已知条件取得联系，进而直接代入求值；二 是通过已知条件挖掘隐含条件，判断角的位置和相 应三角函数值的符号．
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三角恒等变换与解三角形
命 题 考 向 探 究
a2＋b2－c2 3 3 解：(1)∵a2＋b2－c2＝2ab，∴cos C＝ 2ab ＝4. ∵A＋B＝π －C， 2A＋B 1－cos（A＋B） 1＋cos C 7 ∴sin 2 ＝ ＝ ＝8. 2 2 3 2 2 2 3 2 2 (2)∵a ＋b －c ＝2ab，且 c＝2，∴a ＋b －4＝2ab. 3 2 2 又∵a ＋b ≥2ab，∴2ab≥2ab－4，∴ab≤8. 3 32 7 2 ∵cos C＝ ，∴sin C＝ 1－cos C＝ 1－ ＝ . 4 4 4 1 ∴S△ABC＝2absin C≤ 7， 当且仅当 a＝b＝2 2时， △ABC 的面积最大， 最大值为 7.
—— 基础知识必备 ——
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三角恒等变换与解三角形
命 题 考 向 探 究
► 考向一 高考中三角恒等变换的常见问题 考向：利用和(差)角公式和倍角公式求三角函数值． 3 例 1 (1)已知 cos α ＝5，则 cos 2α ＋sin2α 的值为( ) 9 18 23 34 A．25 B．25 C．25 D．25 θ π 7 (2)已知 cos θ ＝－ ，θ∈－π ，－ ，则 sin ＋ 25 2 2 θ cos 2 ＝( ) 1 1 1 1 A．－25 B.25 C．－5 D．5
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命 题 考 向 探 究
2
第8讲
三角恒等变换与解三角形
【答题步骤】 第一步：根据所给条件中式子的结构选用两角差的正弦
命 题 考 向 探 究
π sinC＋ ＝ 3
公式等价转化为
3 2；
第二步：依据特殊角的三角函数值确定角 C； 第三步：由 sin Bcos A＝2sin Acos A 进行分类研究； 第四步： 分别计算 cos A＝0 和 sin B＝2sin A 时的面积并 综合解答．
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第8讲
三角恒等变换与解三角形
小结：解三角形的主要方法有： ①已知两角和一边，可求得第三角，并利用正弦定理 把其他两边分别求出； ②已知两边及其夹角，可用余弦定理求出第三边，再
命 题 考 向 探 究
用正弦定理求较小边所对的角，根据三角形内角和定理确 定第三角； ③已知两边和其中一边的对角，先用正弦定理和内角 和定理求出两角，再利用正弦定理或余弦定理求第三边， 要注意多种情形的可能性； ④已知三边，只能通过余弦定理先求出两个角，再由 内角和定理求得第三角．
⇒ 余弦定理 关键词： 变形 及逆用，如⑤.
5． [2013· 新课标全国卷Ⅰ改编] 已知锐 角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c， 23cos2A＋cos 2A＝0⑤ ，a＝7，c＝6， 则 b＝________．
[答案] 5
[解析] 23cos2A＋cos 2A＝0，即 25cos2A ＝1.因为△ABC 为锐角三角形，所以 cos A＝ 1 .在△ABC 中，根据余弦定理得 49＝b2＋36 5 1 12 2 －12b× ，即 b － b－13＝0，解得 b＝5. 5 5
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第8讲 三角恒等变换 与解三角形
第8讲
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三角恒等变换与解三角形
—— 体验高考 ——
α 1．[2013· 江西卷改编] 若 sin 2 3 ＝ ，则 cos α ＝① ________． 3
1 [答案] 3
三角恒等变换与解三角形
—— 体验高考 ——
——主干知识 ——
⇒ 正弦定理 4．[2013· 安徽卷改编] 设△ABC 的内 关键词：正弦定理 角 A，B，C 所的对边分别为 a，b，c，若
b＋c＝2a，3sin A＝5sin B ________． 2π [答案] 3
④
， 则
C ＝ 变形形式，如 的
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三角恒等变换与解三角形
方法指导 题的处理策略
命 题 考 向 探 究
9.含有 asin α＋bcos α＝c 的三角函数问
(1)使用辅助角公式化为 a2＋b2sin(α＋φ)＝c 的形式， a b 其中 cos φ＝ 2 ，sin φ＝ ； 2 2 2 a ＋b a ＋b (2)两端平方后使用降幂公式、 二倍角的正弦公式把其化 为关于 2α 的关系式； (3)与 sin2α＋cos2α＝1 联立，求出 sin α，cos α.
2014高考数学(文)二轮专题突破课件(浙江专版)第1部分 专题2 第2讲 三角恒等变换与解三角形
π － β< 2 .
β 则sinα－2＝ α cos2－β＝
1－cos 1－sin
2
2
β 4 5 α－ ＝ ， 2 9
4 3 π π ∵sin(α－2β)＝ 7 且－4<α－2β<2， 1 ∴cos(α－2β)＝7. ∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) 11 1 5 3 4 3 1 ＝－14×7＋ 14 × 7 ＝2. π 3π π ∵4<α＋β < 4 ，∴α＋β＝3. π [答案] (1)C (2)A (3)3
α － β ＝ 2
5 3，
α＋ β β α 故cos 2 ＝cosα－2－2－β β α β α ＝cosα－2cos2－β＋sinα－2sin2－β 1 ＝－9×
2．两个定理 (1)正弦定理 a b c sin A＝sin B＝sin C＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C; a b c sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(3)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 A＋ B 7 4sin 2 －cos 2C＝2，且a＋b＝5，c＝ 7，则△ABC的面积
2
为________． [自主解答] (1)由已知及正弦定理得2sin Asin B＝ 3 sin
备战高考数学(文)二轮专题4 第1课时《三角恒等变换》PPT教学课件
数 解 等 价 于 y a与 y 2sin ( x )( x (0， ])的 图
3
象有两个交点，
所 以 ，2sin ( x ) ( 3，2)． 故 选 D.
3
3.已 知 sina1， (， 3)， cos4， (3， 2)，
4
2
5
2
则 ab是 ( )
A. 第 一 象 限 角
专题四 三角函数与平面向量
1．高考考点 (1)和与差的三角函数公式： ①会用向量的数量积推导出两角差的余 弦公式． ②能利用两角差的余弦公式导出两角差 的正弦、正切公式． ③能利用两角差的余弦公式导出两角和 的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联 系．
(2)简单的三角恒等变换：能运用上述公式 进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差 化积、半角公式，但对这三组公式不要求记 忆)．
本 题 由 tan()1求 得 tan， 因 此 sin， cos
47
都 可 求 得 ． 将 所 求 的 式 子 化 为 sin， cos的 有 关 表
达 式 即 可 获 解 ．
题型二 三角函数式的求值问题
【例2】已知0 ，sin 4.
2
5
1求 sin 2 sin 2 的值；
cos2 cos2
【 解 析 】 c o s x 2 s in x 1 2 ta n x 5 . c o s x s in x 1 ta n x
5 .(2 0 1 1三 明 模 拟 题 )已 知 A B C 的 三 个 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ， 且 b 2c2a2 b c ， 则
47 求下列各式的值：
1tan；
2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第2课时 同角三角函
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第2课时同角三角函数的基本关系式页)1. (必修4P 16例1改编)α是第二象限角，tan α＝－815，则sin α＝________．答案：817解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－815，解得sin α＝±817.∵ α为第二象限角，∴ sin α>0，∴ sin α＝817.2. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－523π＝________． 答案：－12解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos(17π＋π3)＝－cos π3＝－12.3. sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________． 答案：2解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.4. (必修4P 21例题4改编)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．答案：－223解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos[π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α.又－π＜α＜－π2，所以－712π＜5π12＋α＜ －π12.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＝－223，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.5. (必修4P 22习题9(1)改编)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos ()π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝__________．答案：－2解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝cos θ－（－cos θ）cos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2) 商数关系：tan α＝sin αcos α.2. 诱导公式记忆规律：奇变偶不变，符号看象限． [备课札记]题型1 同角三角函数的基本关系式例1 (必修4P 23第18题改编)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1) 求tan α的值； (2) 将1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 解：(1) (解法1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15 ①，sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理，得25sin 2α－5sin α－12＝0.∵ α是三角形内角，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(解法2)∵ sin α＋cos α＝15，∴ (sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴ 2sin αcos α＝－2425，∴ (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵ sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴ sin α>0，cos α<0.∵ sin α－cos α>0，∴ sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(2) 1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵ tan α＝－43，∴ 1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257.变式训练已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0，2π)．(1) 求sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值；(2) 求m 的值；(3) 求方程的两根及此时θ的值． 解：(1) 由韦达定理可知 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12①，sin θ·cos θ＝m2②，而sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝ sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2) 由①两边平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，将②代入得m ＝32. (3) 当m ＝32时，原方程变为2x 2－(1＋3)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.∵ θ∈(0，2π)，∴ θ＝π6或π3. 例2 (必修4P 23第10(2)题改编)化简： (1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α1＋cos α)．解：原式＝(（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α)(（1＋cos α）2sin 2α－（1－cos α）2sin 2α)＝(1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|)(1＋cos α|sin α|－1－cos α|sin α|)＝2sin α|cos α|·2cos α|sin α|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）已知sin α·cos α<0，sin αtan α>0，化简：cos α2·1－sinα21＋sinα2＋sin α2·1＋cosα21－cosα2＝________． 答案：±2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 解析：∵sin α·cos α<0，∴α为第二或第四象限角． 又∵sin α·tan α>0，∴α为第四象限角， ∴α2为第二或四象限角． ∴原式＝cos α2·1－sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2·1＋cosα2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α2＋cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第二象限角，－sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第四象限角，∴原式＝±2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π4.题型2 利用诱导公式进行化简求值例3 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin （π－α）＋5cos （2π－α）2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin （－α）的值．解：∵ sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴ －sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴ sin α＝－2cos α，且cos α≠0. ∴ 原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.备选变式（教师专享）已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1) sin(2π－α)；(2) sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n∈Z )．解：∵ cos(π＋α)＝－12，∴ －cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，∴ sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1) sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32.(2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.1. (2013·广东文)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝________． 答案：15解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.2. 已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)＝________． 答案：－12解析：由条件，知π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴ a 5＝π3，∴ cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－12. 3. 已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝________．答案：－24解析：因为sin α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－19＝－223，从而tan α＝－24. 4. 已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则cos(α－π6)＝____________．答案：0解析：依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．又－π2＜α＜0，因此α＝－π3，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－π6＝cos π2＝0.1. 已知0<x<π，sinx ＋cosx ＝15.(1) 求sinx －cosx 的值； (2) 求tanx 的值．解：(1) ∵ sinx ＋cosx ＝15，∴ 1＋2sinxcosx ＝125，∴ 2sinxcosx ＝－2425，又∵ 0<x<π，∴ sinx>0，2sinxcosx ＝－2425<0，∴ cosx<0，∴sinx －cosx>0，∴ sinx －cosx ＝1－2sinxcosx ＝75.(2) sinx ＋cosx sinx －cosx ＝17，tanx ＋1tanx －1＝17，tanx ＝－43.2. 已知3cos 2(π＋x)＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，求6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)的值．解：由已知得3cos 2x ＋5sinx ＝1，即3sin 2x －5sinx －2＝0，解得sinx ＝－13或sinx ＝2(舍去)．这时cos 2x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝89，tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝18，故6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋4×18－3×89＝－256.3. 已知在△ABC 中，sinA ＋cosA ＝15.(1) 求sinA·cosA；(2) 判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3) 求tanA 的值．解：(1) 因为 sinA ＋cosA ＝15①，两边平方得1＋2sinAcosA ＝125，所以sinA·cosA＝－1225. (2) 由(1) sinAcosA ＝－1225<0，且0<A<π，可知cosA<0，所以A 为钝角，所以△ABC是钝角三角形．(3) (sinA －cosA)2＝1－2sinAcosA ＝1＋2425＝4925.又sinA>0，cosA<0，sinA －cosA>0， 所以sinA －cosA ＝75②，所以由①，②可得sinA ＝45，cosA ＝－35，则tanA ＝sinA cosA ＝45－35＝－43.4. 已知sin(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos （2π－θ）－sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos （π－θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18.1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π；② 转化为锐角．3. 在应用诱导公式时需先将角变形，有一定技巧，如化32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.请使用课时训练（A ）第2课时（见活页）.[备课札记]。
高考数学二轮复习 高校信息化课堂 专题四 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形课件 文
(B) 1 3
(C) 1 2
(D) 2 3
(2)(2014 浙江建人高复月考)sin 2α= 24 ,0<α< π ,则
25
2
2 cos（ π -α）的值为( ) 4
(A) 1 5
(B)- 1 5
(C)± 7 (D) 7
5
5
第十三页，共46页。
解析:(1)cos2（α+
π
）=
1
cos
2
π 2
4
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(2)解:由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C 得, (2b-a)2=a2+b2-2abcos 2π .
3 即 b(3b-5a)=0. ∵b≠0, ∴3b-5a=0, ∴a =3.
8 故缉私艇追上走私船需要 1 个小时的时间.
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题后反思 正、余弦定理是解三角形的工具,而 三角形应用问题中的测量问题、行程问题等都是考 查(kǎochá)正、余弦定理应用的常见模型.解决此 类问题,首先根据题意合理画出示意图,并标注已知 信息,然后结合图形将条件归结到某一个三角形中, 最后正确选取正、余弦定理求解.
m.
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解析:Rt△ABC 中,∠CAB=45°, BC=100 m,
∴AB=100 m,AC=100 2 m, ∵∠MAC=75°,∠ACM=60°, ∴∠AMC=180°-75°-60°=45°,
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△MAC 中,根据正弦定理
AC = AM sin AMC sin MCA
由正弦定理,得 = c ,即 2 2c = c ,
sin A sin C sin A sin C
高考数学二轮复习(10)三角恒等变换教案
三角恒等变换【专题要点】两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）；三角公式的灵活运用，包括正用、逆用、变形使用等，运用公式进行化简、求值、证明以及解三角形或结合三角函数图象解题【考纲要求】 1．和与差的三角函数公式（1）向量的数量积推导出两角差的余弦公式．（2）用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．（3）用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．（4）体会化归思想的应用，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明（5）理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； 2．简单的三角恒等变换运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用 【知识纵横】11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
你能根据下图回顾推导过程吗？【教法指引】高考对三角恒等式部分的考查仍会是中低档题，无论是小题还是大题中出现都是较容易的．主要有三种可能：（1）以小题形式直接考查：利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简；（2）以小题形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式；（3）以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查，对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题，主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力复习时，教师要教给学生注重对问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，还要重视相关的思想方法，如数形结合思想、特值法、构造法、等价转换法等的总结和应用，这有利于缩短运算程序，提高解题效率【典例精析】例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差. 解：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-αααcos sin 22sin =2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-ααα2tan 1tan 22tan -=()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=-=+=⨯+=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题. 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、sin 72cos 42cos72sin 42-； （2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-．解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）、()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．例3xx -解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022xx x x x x x⎫-=-=-=-⎪⎪⎭思考：是怎么得到的？=分别等于12.小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.例4、（2007某某理12）．已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是． 解：将1sin cos 5θθ+=两边平方得12sin cos 25θθ=-，所以249(sin cos )12sin cos 25θθθθ-=-=，则7sin cos 5θθ-=±，又324θππ≤≤，所以cos 0,sin 0θθ<>，所以7sin cos 5θθ-=， 故227cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )25θθθθθθθ=-=+-=-．例5、（2008年某某卷理12）.已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是．解：21cos 21()sin sin cos sin 222x f x x x x x -=-=-,此时可得函数的最小正周期22T ππ==．例6.（2008年某某卷15）．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为,105．（1）求tan(αβ+)的值； （2）求2αβ+的值．解：由条件的cos 10αβ==因为α,β为锐角，所以sin α=10β= 因此1tan 7,tan 2αβ== （1）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（2）22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π。
高考数学二轮复习考点十《三角恒等变换与解三角形》课件
B，∴sin
A＝a
sin b
B＝183.
10．(2021·辽宁沈阳高三年级质量监测)若 cos x－π6＝13，则 sin 2x＋π6 ＝________．
答案 －79 解析 sin 2x＋π6＝sin 2x－π6＋2π＝cos 2x－π6＝2cos2x－π6－1＝－79.
11．(2021·广东高州第二次模拟)已知 α∈π2，π，且 2cos2α＝sin α－1， 则 tan α＝________．
号．
四、解答题 13．(2021·山东济宁高三第一次模拟)已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 b cos C＋c cos B＝2a cos A. (1)求角 A； (2)若 a＝2 3，△ABC 的面积为 2 3，求 b＋c 的值．
解 (1)因为 b cos C＋c cos B＝2a cos A， 由正弦定理得，sin B cos C＋sin C cos B＝2sin A cos A， 所以 sin (B＋C)＝sin A＝2sin A cos A， 因为 0<A<π，所以 sin A≠0，所以 cos A＝12，所以 A＝π3.
所以 cos α＝ 415，tan α＝csoins αα＝ 1155.故选 A.
二、选择题(在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求)
8．(2021·三湘名校教育联盟高三联考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边
分别为 a，b，c，若 c＝ 23b＝3，B＝2C，则下列结论正确的是( )
A．sin
(2)因为△ABC 的面积为 2 3，所以12bc sin A＝2 3， 因为 A＝π3，所以12bc sin π3＝2 3，所以 bc＝8. 由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A， 因为 a＝2 3，A＝π3， 所以 12＝b2＋c2－2bc cos π3＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－24， 所以 b＋c＝6.
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通真题感悟：常考问题7 三角恒等变换与解三角形
常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用[真题感悟]1．(2011·江苏卷)已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则k 的值为________．解析 因为e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，所以e 1·e 2＝||e 1||e 2cos 〈e 1，e 2〉＝cos 2π3＝－12，又a·b ＝0，所以(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k －12－2＋(－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，解得k ＝54. 答案 542．(2012·江苏卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF→＝2，则AE →·BF→的值是________． 解析 以顶点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，设F (x,2)，所以AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x ＝2⇒x＝1，即F (1,2)，所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2(1－2)＋2＝ 2.答案 23．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析 因为向量a ，b 为单位向量，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12，由b·c ＝0，得∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )·b 2＝12t ＋(1－t )×12＝12t ＋1－t ＝1－12t ＝0.∴t ＝2.答案 24．(2013·山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC→－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－ ＝(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 答案 712[考题分析]高考对本内容的考查主要有：平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B 级，只有平面向量的应用为A 级要求，平面向量的数量积为C 级要求，应特别重视．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题.。
高考数学二轮复习 专题知识突破 122 三角恒等变换与解三角形课件(文、理)新人教A版
知识(zhī shi)方法·考点串联
连点串线成面 构建知识(zhī shi)体系
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1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. (2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ. (3)tan(α±β)＝1ta∓ntaαn±αttaannββ.
721＝
3 2.
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在△ABC 中，由正弦定理得，sBinCα＝sin∠ACCBA. 故 BC＝siAnC∠·sCinBαA＝ 7×2123＝3.
6
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[方法规律] 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和 定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和 原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统 一结构”，这是使问题获得解决的突破口.
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[方法规律] (1)三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”、 “弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一，通过三 角恒等变换，化繁为简，便于化简求值，其基本思路为：找差异， 化同名(同角)，化简求值．
(2)求解三角函数中的给值求值问题时，要注意两点：一是分析 已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角；二是 正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数 值来表示．
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课堂笔记 (1)因为 f(x)＝ 2cosx－1π2， 所以 f－π6＝ 2cos－6π－1π2 ＝ 2cos－4π＝ 2cos4π＝ 2× 22＝1. (2)因为 θ∈32π，2π，cosθ＝35，
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所以 sinθ＝－ 1－cos2θ＝－