示范教案( 三角函数的诱导公式)

示范教案(  三角函数的诱导公式)
示范教案(  三角函数的诱导公式)

1.3 三角函数的诱导公式

整体设计

教学分析

本节主要是推导诱导公式二、三、四,并利用它们解决一些求解、化简、证明问题. 本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后继学习内容的基础,它们与公式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题.

在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想,无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化归意识,特别是在本课时的三个转化问题引入后,为什么确定180°+α角为第一研究对象,-α角为第二研究对象,正是化归思想的运用. 公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90°的非负角,但是在推导中却把α拓广为任意角,这一思维上的转折使学生难以理解,甚至会导致对其必要性的怀疑,因此它成为本课时的难点所在.

课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角.学生第一次接触到此题型,思维上有困难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度制的转化的练习. 三维目标

1.通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想.

2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.

3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力. 重点难点

教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等.

教学难点:六组诱导公式的灵活运用. 课时安排 2课时

教学过程

第1课时 导入新课

思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值. ②复习诱导公式一及其用途.

思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°(

2

到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题. 推进新课

新知探究 提出问题

由公式一把任意角α转化为[0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值?

活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求[90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想

.

图1

讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1.

β=??

???∈-∈+∈-],360,270[,360],270,180[,180],180,90[,180οοοοοοοοοβββa a a 提出问题

①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何? ②它们与单位圆的交点的位置关系如何? ③任意角α与180°+α呢?

活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图

2.

图2

引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.

无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.

利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).

指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二: sin(180°+α)=-si nα,cos(180°+α)=-cosα. 并指导学生写出角为弧度时的关系式:

sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα. 引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.

讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线. ②它们与单位圆的交点关于原点对称.

③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称. 提出问题

①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么? ②-α角的终边与角α的终边位置关系如何?

活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:

任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即: sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.

教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值. 讨论结果:

①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.

②-α角的终边与角α的终边关于x 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数. 提出问题

①下一步的研究对象是什么?

②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?

活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即: sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα. 强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.

引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.

让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆. 我们可以用下面一段话来概括公式一—四:

α+k·2π(k ∈Z ),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.

进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角. 讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;

②π-α角的终边与角α的终边关于y 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数. 示例应用

思路1

例1 利用公式求下列三角函数值: (1)cos225°;(2)sin

311π;(3)sin(3

16π

-);(4)cos(-2 040°). 活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟

练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题. 解:(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=2

2

-

;

(2)sin

311π=sin(4π3π-)=-sin 3

π

=23-;

(3)sin(316π-

)=-sin 316π=-sin(5π+3

π

) =-(-sin

3

π)=23;

(4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)

=cos120°=cos(180°-60°) =-cos60°=2

1

-

. 点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:

上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法. 变式训练

利用公式求下列三角函数值: (1)cos(-510°15′);(2)sin(3

17-

π). 解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′ =cos(360°+150°15′)

=cos150°15′=cos(180°-29°45′) =-cos29°45′=-0.868 2; (2)sin(317-

π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π

=2

3. 例2 2007全国高考,1

cos330°等于( ) A.

21 B.2

1

- C.23 D.23-

答案:C

变式训练

化简:οοο

ο790cos 250sin 430cos 290sin 21++

解:ο

οο

ο790

cos 250sin 430cos 290sin 21++

=

)

70720cos()70180sin()70360cos()70360sin(21ο

ο

ο

ο

οοοο++++-+

=ο

οοοοοοο70sin 70cos |

70sin 70cos |70cos 70sin 70cos 70sin 21--=+--

=170

sin 70cos 70cos 70sin -=--ο

οο

ο. 例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.

活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分. 解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480° =cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°) =cos(-45°)2

1

-

-sin45°+cos120° =cos45°2

1

-

22-+cos(180°-60°) =

222

1

-22--cos60°=-1. 点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.

变式训练 求证:

θθπθθπθπθπtan )

5sin()cos ()

6cos()2sin()2tan(=+----.

分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边. 证明:左边=

)

5sin()cos ()

6cos()2sin()2tan(θπθθπθπθπ+----

=

)

sin()cos ()

cos()sin()tan(θπθθθθ+----

=

θ

θθ

θθsin cos cos sin tan =tanθ=右边.

所以原式成立.

规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简. 知能训练

课本本节练习1—3. 解答:1.(1)-cos

94π;(2)-sin1;(3)-sin 5

π

;(4)cos70°6′. 点评:利用诱导公式转化为锐角三角函数.

2.(1)

21;(2)2

1

;(3)0.642 8;(4)23-.

点评:先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.

3.(1)-sin 2αcosα;(2)sin 4α.

点评:先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简. 课堂小结

本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想. 作业

课本习题1.3 A 组2、3、4.

设计感想

一、有关角的终边的对称性

(1)角α的终边与角π+α的终边关于原点对称. (2)角α的终边与角-α的终边关于x 轴对称. (3)角α的终边与角π-α的终边关于y 轴对称. 二、三角函数的诱导公式应注意的问题

(1)α+k·2π(k ∈Z ),-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号;可简单记忆为:“函数名不变,符号看象限.” (2)公式中的α是任意角.

(3)利用诱导公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值.

基本步骤是:任意负角的三角函数???→?公式三或一相应的正角的三角函数??→?公式一

0到2π角的三角函数???→?四

公式二、锐角的三角函数??→

?查表

三角函数. 即负化正,大化小,化为锐角再查表.

(设计者:沈献宏)

第2课时

导入新课

上一节课我们研究了诱导公式二、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名学生上黑板默写公式.在此基础上,我们今天继续探究别的诱导公式,揭示课题. 推进新课 新知探究 提出问题

终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角有何数量关系?

活动:我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角的数量关系.

教师充分让学生探究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线y=x 对称的两个角之间的数量关系,关于直线y=x 对称的两个点的坐标之间的关系进行引导.

图3

讨论结果:如图3,设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为(x,y),由于角2

π

-α的终边与角α的终边关于直线y=x 对称,角

2

π

-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称,因此点P 2的坐标是(y,x),于是,我们有 sinα=y,cosα=x, cos(

2π-α)=y,sin(2

π

-α)=x. cos(

-α)=sinα, sin(2

π

-α)=cosα.

提出问题

能否用已有公式得出

+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式? 活动:教师点拨学生将2π+α转化为π-(2

π

-α),从而利用公式四和公式五达到我们的目的.

因为2π+α可以转化为π-(2π-α),所以求2

π

+α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化

为利用公式五,这时可以让学生独立推导公式六. 讨论结果:公式六

Sin(

+α)=cosα, cos(2

π

+α)=-sinα.

提出问题

你能概括一下公式五、六吗?

活动:结合上一堂课研究公式一—四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征,指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括. 讨论结果:

2

π

±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.

进一步可以简记为:函数名改变,符号看象限.

利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.

公式一—六都叫做诱导公式. 提出问题

学了六组诱导公式及上例的结果后,能否进一步归纳概括诱导公式,怎样概括?

讨论结果:诱导公式一—四,函数名称不改变,这些公式左边的角分别是2kπ+α(k ∈Z ),π±α,-α(可看作0-α).其中2kπ,π,0是横坐标轴上的角,因此,上述公式可归结为横坐标轴上的角±α,函数名称不改变.而公式五、六及上面的例1,这些公式左边的角分别是

2π±α,23π-α.其中2π,2

3π是纵坐标轴上的角,因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α,函数名

称要改变.两类诱导公式的符号的考查是一致的,故而所有的诱导公式可用十个字来概括:纵

变横不变,符号看象限.

教师指点学习方法:如果我们孤立地记忆这么多诱导公式,那么我们的学习将十分苦累,且效率低下.学习过程中,能挖掘各个公式的本质特征,寻求它们之间的共性,那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了.因此,要求大家多做这方面的工作,以后数学的学习就不再是枯燥无味的了. 示例应用

思路1 例1 证明(1)sin(

23π-α)=-cosα;(2)cos(2

3π-α)=-sinα. 活动:直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题.

证明:(1)sin(

23π-α)=sin[π+(2π-α)]=-sin(2π

-α)=-cosα; (2)cos(23π-α)=cos[π+(2π-α)]=-cos(2

π-α)=-sinα.

点评:由公式五及六推得2

±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系,从而进一步可

以推广到2

1

2+k π(k ∈Z )的情形.本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用.

例2 化简.)

2

9sin()sin()3sin()cos()

211cos()2cos()cos()2sin(a a a a a a a a +-----++-π

ππππ

πππ

活动:仔细观察题目中的角,哪些是可以利用公式二—四的,哪些是可以利用公式五、六的.认真应用诱导公式,达到化简的目的.

解:原式=

)]

2

(4sin[)]sin()[sin()cos ()]

2

(

5cos[)sin )(cos )(sin (a a a a a a a a +++----+---π

ππππ

π

=

)

2

sin(

)]sin ([sin )cos ()]

2cos([cos sin 2a a a a a a a +------π

π

=

a

a

cos sin -=-tanα. 思路2

例1 (1)已知f(cosx)=cos17x,求证:f(sinx)=sin17x;

(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx 推出f(cosx)=cosnx?

活动:对诱导公式的应用需要较多的思维空间,善于观察题目特点,要灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(

2π-x)或cosx=sin(2

π

-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移. 证明:(1)f(sinx)=f[cos(2π-x)]=cos[17(2π-x)]=cos(8π+2π-17x)=cos(2

π

-17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x.

(2)f(cosx)=f[sin(2π-x)]=sin[n(2π-x)]=sin(2πn -nx)=????

???∈+=-∈+=∈+=∈=-,

,34,cos ,,24,sin ,

,14,cos ,

,4,sin Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx Z k k n x

故所求的整数n=4k+1(k ∈Z ).

点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在. 变式训练

已知cos(

6

π

-α)=m(m≤1),求sin(32π-α)的值.

解:∵32π-α-(6π-α)=2π,∴32π-α=2π+(6π-α).

∴sin(32π-α)=sin [2π+(6π-α)]=cos(6

π-α)=m.

点评:(1)当两个角的和或差是2

π

的整数倍时,它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来.

(2)化简已知与所求,然后探求联系,这是解决问题的重要思想方法. 例2 已知sinα是方程5x 2-7x-6=0的根,且α为第三象限角,

)

2

cos()2cos()tan()2(tan )23sin()23sin(2a a a a a a +?--?-?-?+

π

ππππ

π的值.

活动:教师引导学生先确定sinα的值再化简待求式,从而架起已知与未知的桥梁. 解:∵5x 2-7x-6=0的两根x=2或x=5

3

-, ∵-1≤x≤1,∴sinα=5

3-

. 又∵α为第三象限角,∴cosα=2sin -1-=5

4-. ∴tanα=

4

3. ∴原式=)sin (sin )tan (tan )cos ()cos (2a a a a a a -?-??-?-=tana=4

3

点评:综合运用相关知识解决综合问题.

变式训练

若函数f(n)=sin

6

π

n (n ∈Z ),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=____________________. 解:∵=sin 6πn (6πn +2π)=sin 6

)12(π

+n ,

∴f(n)=f(n+12).

从而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6) =2[f(1)+f(2)+f(3)] =2+3.

例3 已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数,又知f(2 003)=-1,求f(2 004)的值.

活动:寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系,这个联系就是我们解答问题的关键和要害. 解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β) =asin(2 002π+π+α)+bcos(2 002π+π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-asinα-bcosβ =-(asinα+bcosβ), ∵f(2 003)=-1, ∴asinα+bcosβ=1.

∴f(2 004)=asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β) =asinα+bcosβ=1.

点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程,在这个过程中一定要抓住关键和要害,注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键和要害就是求得式子asinα+bcosβ=1,它是联系已知和未知的纽带. 知能训练

课本练习4—7.

5.(1)-tan

5;(2)-tan79°39′;(3)-tan 36

;(4)-tan35°28′. 6.(1)

2

3

(2)22-;(3)-0.2116;(4)-0.758 7(5)3;(6)-0.647 5.

7.(1)sin 2α;(2)cos 2α+

a

cos 1

课堂小结

本节课同学们自己导出了公式五、公式六,完成了教材中诱导公式的学习任务,为求任意角的三角函数值“铺平了道路”.公式一至六可用一句话“纵变横不变,符号看象限”来记忆,简单方便,不会遗忘.利用这些公式,可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,为求值带来很大的方便,这种转化的思想方法,是我们经常用到的一种策略,要细心去体会、去把握.利用这些公式,还可以化简三角函数式,证明简单的三角恒等式,我们要多练习,在应用中达到熟练掌握的程度. 作业

1.课本习题1.3 B 组

2. 2.求值:sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 288°+sin 289°. 答案:44.5.

设计感想

1.本节设计指导思想是:在教师引导下放手让学生自主探究.因为公式多,学生容易记混,所以在学生的主动探究中明了公式的来龙去脉,在应用公式解决问题中灵活熟练掌握公式.通过学生的自主探究、推导公式,培养学生独立思考、知难而上的科学态度,更进一步地体会数学的奇特美、对称美.激发学生强烈的探究欲望,培养学生会学习的良好品质.

2.用口诀记忆公式:①π±α,-α,2kπ+α的三角函数公式为:“函数名不变,符号看象限.” ②

2

π±α,23π±α的三角函数公式为:“函数名改变,符号看象限.”其中α看成锐角.

3.用类比的方法学习本节课的基础知识,用化归的数学思想指导三角函数的求值、化简与证

明.

(完整版)三角函数诱导公式一览表(打印)

三角函数有关诱导公式一览表 公式 ) ( tan ) 2 tan( cos ) 2 cos( sin ) 2 sin( .1Z k k k k ∈ ? ? ? ? ? = + = + = + α α π α α π α α π ? ? ? ? ? = + - = + - = + α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .2 ? ? ? ? ? - = - = - - = - α α α α α α tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .3 ? ? ? ? ? - = - - = - = - α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .4 ? ? ? ? ? = - = - α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .5 ? ? ? ? ? - = + = + α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .6 ? ? ? ? ? - = - - = - α α π α α π sin ) 2 3 cos( cos ) 2 3 ( sin .7 口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看先象限 图形 简记结合图形,7组公式可用口诀概括为:“奇变偶不变,符号看象限” 说明①公式的推导思路:前面4组通过找角的终边位置关系—坐标关系—三角函数关系而得出(后面3组通过角的变换,进而借助前面的有关公式转化得到)②各组诱导公式都可用含角度的形式

③在应用诱导公式解题时,基本思路是:“负化正,大化小,化成锐角再求值”。 一定要记清特殊角的三角函数值,根据问题做到准确应用,正确求解。

三角函数的诱导公式教案优质课

三角函数的诱导公式(共5课时) 教学目标: 1、知识目标:理解四组诱导公式及其探究思路,学会利用 四组诱导公式求解任意角的三角函数值,会 进行简单的化简与证明。 2、能力目标:培养学生数学探究与交流的能力,培养学生 直觉猜想与抽象概括的能力。 3、情感目标与价值观:通过不断设置悬念、疑问,来引起 学生的困惑与惊讶,激发学生的好奇心和 求知欲,通过小组的合作与交流,来增强 学生学习数学的自信心。 教学重点:理解四组诱导公式 利用四组诱导公式求任意角的三角函数值和简单的化简与证明。 教学难点:四组诱导公式的推导过程 为了区分下节课的几组公式,要理解为何名称不变 理解确定符号的方法 教学方法:启发式结合讨论式教学方法,结合多媒体课件演示

教学工具:多媒体电脑,投影仪 教学过程: 一、问题情景: 回顾前面已经学习的理论知识,我们已经学习了任意角的三角函数的定义,学习了三角函数线,还有同角三角函数关系,但是我们还有一个关键问题没有解决,那就是:我们如何来求任意角的三角函数值呢 思考:你能填好下面的表吗 二、学生活动: 小组讨论: 1、找出我们可以解决的和目前无法解决的 2、对于还无法解决的,可否借助前面学习的知识求解

3、这些角之间有何关联 教师指导:我们前面学过了三角函数的定义和三角函数线,知道角的 终边和单位圆的交点的坐标就是角对应的三角函数值,大 家先画出一个单位圆,然后把第一个角的终边画出来,它 和单位圆的交点记为(00,x y ),然后我们以每两排为一 组前后左右可以相互讨论,分别画出另外四个角的终边和 单位圆的交点,每组画一个,然后每组推出一名代表发言, 看看你在画图的时候发现了什么。 (给五分钟画图、总结,学生在画图中容易看出另外的几个角和 开始的锐角的关系) 三、 意义建构: 教师指导:请每组推出的代表发言。(按顺序,没合适人选时,教师可以随机指出一名代表) 第一组:由画图发现0390的角的终边和6 的终边是重合的,它们相差 0360,由三角函数定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等,表中第二列和第一列值相同。 教师指导:第一组总结的很好,我们可否也把 它推广到任意的角呢总结一下就是“终 边相同的角的三角函数值相同”,如何

必修4三角函数的诱导公式专项练习题

训练专题化设计 能力系统化培养 必修4三角函数的诱导公式专项练习题 班级: 姓名: 座号: 一、选择题 1. 已知sin(π+α)=4 5 ,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是 【 】 (A)- 5 3 (B) 53 (C)±5 3 (D) 5 4 2. 若cos100°= k ,则tan ( -80°)的值为 【 】 (A) (D) 3. 在△ABC ,则△ABC 必是 【 】 (A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形 4. 已知角α终边上有一点P (3a ,4a )(a ≠0),则sin(450°-α)的值是 【 】 (A)-45 (B)-35 (C)±3 5 (D)±4 5 5. 设A ,B ,C 是三角形的三个内角,下列关系恒等成立的是 【 】 (A)cos(A +B )=cos C (B)sin(A +B )=sin C (C)tan(A +B )=tan C (D)sin 2A B +=sin 2 C 二、填空题 6. 若1cos()2A π+=-,则sin()2 A π +的值是 . 7. 若cos() (||1)6m m πα-=≤,则2 sin()3 πα-是 . 8. 计算: tan(150)cos(570)cos(1140) tan(210)sin(690) -??-??-?-??-?= . 9. 化简:sin 2( 3π-x )+sin 2(6 π +x )= . 10. = . 三、解答题 11. 化简23 tan()sin ()cos(2) 2cos ()tan(2) π πααπααπαπ-?+?---?-. 12. 设f (θ)=322 2cos sin (2)cos()322cos ()cos(2)θπθθπθπθ+-+--+++-,求f (3π )的值.

《三角函数的诱导公式》(学案)

三角函数的诱导公式(第1课时)(学案) 一.教学目标 1.知识与技能 (1)能够借助三角函数的定义推导三角函数的诱导公式。 (2)能够运用诱导公式,把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。 2.过程与方法 (1)经历由几何直观探讨数量关系式的过程,培养学生数学发现能力和概括能力。 (2)通过对诱导公式的探求和运用,提高学生分析问题和解决问题的能力。 3.情感、态度、价值观 (1)通过对诱导公式的探求,培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。 (2)在诱导公式的探求过程中,运用合作学习的方式进行,培养学生团结协作的精神。 二.教学重点与难点 教学重点:探求π-α的诱导公式。π+α与-α的诱导公式在小结π-α的诱导公式发现过程的基础上,教师引导学生推出。 教学难点:π+α,-α与角α终边位置的几何关系,发现由终边位置关系导致(与单位圆交点)的坐标关系,运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。 三.教学方法与教学手段 问题教学法、合作学习法,结合多媒体课件 四.教学过程 角的概念已经由锐角扩充到了任意角,前面已经学习过任意角的三角函数,那么任意角的三角函数值.怎么求呢? (一)情境创设及问题提出 如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数 求值问题。 【情境创设】摩天轮旋转一周(比如如图30°角的位置)后又会 回到原位,你能否从数学角度或者用数学学语言来刻画一下什么是 “回到原位”?摩天轮旋转一周后,发生变化和没有变化的量分别 是什么?它们之间有何关系?从中你能得到什么结论? 一般地,由三角函数的定义可以知道,终边相同的角的同一三 角函数值__________,三角函数看重的就是终边位置关系。即有: (二)尝试推导 如何利用对称推导出角π-α与角α的三角函数之间的关系。 【问题2】你能找出和30°角正弦值相等,但终边不同的角吗? 角与角α的终边关于y轴对称,有:

三角函数的诱导公式第一课时教学设计

课题名称:三角函数的诱导公式(一) 课程模块及章节:必修4第一章节 教学背景分析 (一)课标的理解与把握 能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式 (二)教材分析: 本节课教学内容“诱导公式(二)、(三)、(四)”是人教版数学4,第一章1、3节内容,是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式(一)等知识的延续和拓展,又是推导诱导公式(五)的理论依据。 (三)学情分析: 如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中,发现问题,提出研究方法. 教学目标 1记忆正弦、余弦的诱导公式. 2. 诱导公式并运用其进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明. 教学重点和难点 运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明 教学准备、教学资源和主要教学方法 模型、直尺、多媒体。 自主性学习法;反馈练习式学习法 教学过程 教 学环节教师为主的活动 学生为主 的活动 设 计 意 图 导入新课一.问题引入: 角的概念已经由锐角扩充到了任意角,前面已经学习过任 意角的三角函数,那么任意角的三角函数值.怎么求呢先看一个 具体的问题。 求390°角的正弦、余弦值. 一般地,由三角函数的定义可以知道,终边相同的角的同 一三角函数值相等,即有: sin(+2kπ) = sinα,cos(+2kπ) = cosα,ta n(+2k π) = tanα (k∈Z) 。 (公式一) 通过复习 知识引人 新课 激 发 学 生 的 学 习 兴 趣 目 标 引 把学习目标板在黑板的右上角,并对目标进行解读。

领 活动导学二.尝试推导 由上一组公式,我们知道,终边相同的角的同一三角函数 值一定相等。反过来呢 问题:你能找出和30°角正弦值相等,但终边不同的角吗 角π与角的终边关 于y轴对称,有 sin(π ) = sin , cos(π ) = cos ,(公式二) tan(π ) = tan 。 因为与角终边关于y轴 对称是角π-,,利用这种对称关系,得到它们的终边与单位 圆的交点的纵坐标相等,横坐标互为相反数。于是,我们就得 到了角π与角的三角函 数值之间的关系:正弦值相等, 余弦值互为相反数,进而,就得 到我们研究三角函数诱导公式 的路线图: 角间关系→对称关系→坐 标关系→三角函数值间关系。 三.自主探究 问题:两个角的终边关于x 轴对称,你有什么结论两个角的终边关于原点对称呢 角与角的终边关于x轴对称,有: sin() = sin , cos() = cos ,(公式三) tan() = tan 。 角π + 与角终边关于 原点O对称,有: sin(π + ) = sin , cos(π + ) = cos ,(公式四) tan(π + ) = tan 。 上面的公式一~四都称为三角函数的诱导公式。 结论:α π α π α± - ∈ ? +, , ) ( 2Z k k的三角函数值,等 于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的 符号. 学生阅读、 观察、思 考、讨论交 流。 提问式回 答,教师再 补充完整。 学生观察 图形,思考 学生观察、 思考、讨论 以 问 题 式 给 出, 把 课 堂 较 给 学 生, 激 发 学 生 学 习 的 自 主 性。 培 养 学 生 的 空 间 想 象 能 力

(完整版)三角函数诱导公式总结

三角函数诱导公式与同角的三角函数 【知识点1】诱导公式及其应用 公式一: sin()-sin αα-=; cos()cos αα-= ; tan()tan αα-=- 公式二: ααπ-sin sin(=+); ααπ-cos cos(=+); ααπtan tan(=+). 公式三: ααπsin sin(=-); ααπ-cos cos(=-); ααπtan tan(-=-) 公式四: sin(2sin παα-=-); cos(2cos παα-=); tan(2tan παα-=-) 公式五: sin( 2π-α) = cos α; cos(2π -α) = sin α. 公式六: sin(2π+α) = cos α; cos(2π +α) =- sin α. 公式七: sin(32π-α)=- cos α; cos(32π -α) = -sin α. 公式八: sin(32π+α) = -cos α; cos(32 π +α) = sin α. 公式九:απαsin )2sin(=+k ; απαcos )2cos(=+k ; απαtan )2tan(=+k .(其中Z ∈k ). 方法点拨: 把α看作锐角 一、前四组诱导公式可以概括为:函数名不变,符号看象限 公式(五)到公式(八)总结为一句话:函数名改变,符号看象限(原函数所在象限) 二、奇变偶不变,符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ +?2 k 或是απ-? 2 k ,符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数,是奇数就改变函 数名,偶数就不变

例1、求值(1)29cos( )6π= __________. (2)0tan(855)-= _______ ___. (3)16 sin()3 π-= __________. 的值。 求:已知、例)sin(2)4cos() 3sin()2cos( , 3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+ 例3、 )2cos()2sin(21++-ππ【 】 A .sin2-cos2 B .cos2-sin2 C .±(sin2-cos2) D .sin2+cos2 例4、下列各式不正确的是【 】 A . sin (α+180°)=-sin α B .cos (-α+β)=-cos (α-β) C . sin (-α-360°)=-sin α D .cos (-α-β)=cos (α+β) 例5、若sin (π+α)+sin (-α)=-m ,则sin (3π+α)+2sin (2π-α)等于【 】 A .-23 m B .-32 m C .23 m D .3 2 m 例6、已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ,满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为【 】 A .5 B .-5 C .6 D .-6 例7、试判断 sin(2)cos() (9tan (5) 2αππαα παπα-+??+- ??? ··cos 为第三象限角)符号 例8、化简3 sin(3)cos()cos(4) 25 tan(3)cos()sin() 22 πααππαπαπααπ-?-?+-?+?- 例9、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π),求 ) sin()2 3sin(2) 2cos(5)sin(α--α-π α-π+α-π 例10、若1sin()3 πθ-= ,求 []cos() cos(2) 3 3 cos()1cos sin()cos()sin() 22 πθθππθθ θπθπθπ+-+ --?-?--+的值. 提示:先化简,再将1sin 3 θ=代入化简式即可.

三角函数诱导公式学案(一)

1.2.三角函数诱导公式学案(一) 预习案(限时20分钟) 学习目标: (1)能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式; (2)能够运用诱导公式,把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题 学习重点: 用联系的观点发现并证明诱导公式,体会把未知问题化归为已知问题的思想方法 学习难点:如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中,发现问题,提出研究方法. 预习指导:请根据任务提纲认真预习课本P23-25 ? 任务一:探究三角函数诱导公式(二) (三)(四) 思考: (1)各象限内三角函数值的符号是什么?(只讨论正弦、余弦、正切) (2)任意角的三角函数的定义是什么? (3)公式一的内容与作用是什么? 探究一:任意角α与(π+α)三角函数值的关系. ①α与 (π+α)角的终边关系如何? ②设α与(π+α)角的终边分别交单位圆于点P 1,P 2,则点P 1与P 2位置关系如何? ③设点P 1(x ,y ),那么点P 2的坐标怎样表示? ④sin α与sin(π+α),cos α与cos(π+α),tan α与tan(π+α)的关系如何? 利用三角函数定义,自己探索,归纳成公式(二) _______)tan(_______)cos(_______)sin(=+=+=+απαπαπ 探究二:任意角α与(-α)三角函数值的关系. ①α与(-α)角的终边位置关系如何? ②设α与(-α)角的终边分别交单位圆于点P 1,P 2点P 1与P 2位置关系如何? ③设点P 1(x ,y ),则点P'的坐标怎样表示? ④sin α与sin(-α),cos α与cos(-α) ,tan α与tan(-α)关系如何? 利用三角函数定义,经过探索,归纳成公式(三) _______)tan(_______)cos(_______)sin(=-=-=-ααα 探究三:α与(π-α)的三角函数值的关系. ①α与(π-α)角的终边位置关系如何? ②设α与(π-α)角的终边分别交单位圆于点P 1,P 2点P 1与P 2位置关系如何? ③设点P 1(x ,y ),则点P'的坐标怎样表示? ④sin α与sin(π-α),cos α与cos(π-α) ,tan α与tan(π-α)关系如何? 经过探索,归纳成公式(四) _______)tan(_______)cos( _______)sin(=-=-=-απαπαπ 预习检测 1.cos 225?=_________ 2.)45sin(ο-=_________ 3.)150tan(ο =________ _______)180tan()cos()180sin(.4=--?+οοααα 5.若,31)tan(=+απ则=αtan __________________

三角函数的诱导公式教案

1.3三角函数的诱导公式 贾斐三维目标 1、通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想. 2、通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用. 3、进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力. 重点难点 教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等. 教学难点:六组诱导公式的灵活运用. 课时安排2课时 教学过程 导入新课 思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值. ②复习诱导公式一及其用途.

思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到 到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像360°( 2 公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题. 新知探究 提出问题 由公式一把任意角α转化为[0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求[90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.

三角函数诱导公式大全

三角函數誘導公式大全 三角函数诱导公式 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四:

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为:

对于k2π/2±α(k∈Z)的个三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变; ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 例如: sin(2π-α)=sin(42π/2-α),k=4为偶数,所以取sinα。 当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符号为“-”。 所以sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是: 奇变偶不变,符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时,角k2360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦;三为切;四余弦”. 这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”; 第三象限内切函数是“+”,弦函数是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”. 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦

三角函数诱导公式专项练习(含答案)

三角函数诱导公式专项练习 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题 1.() A. B. C. D. 2.的值为() A. B. C. D. 3.已知,则cos(60°–α)的值为 A. B. C. D.– 4.已知,且,则()A. B. C. D. 5.已知sin(π-α)=-,且α∈(-,0),则tan(2π-α)的值为( ) A. B.- C.± D. 6.已知,则=( ) A. B. C. D. 7.已知,,则() A. B. C. D. 8.已知,则() A. B. - C. D. - 9.如果,那么 A. - B. C. 1 D. -1 10.已知,则() A. B. C. D. 11.化简的值是()

A. B. C. D. 12.的值是() A. B. C. D. 13.已知角的终边经过点,则的值等于 A. B. C. D. 14.已知,则() A. B. C. D. 15.已知的值为()A. B. C. D. 16.已知则() A. B. C. D. 17.已知,且是第四象限角,则的值是( ) A. B. C. D. 18.已知sin=,则cos=( ) A. B. C.- D.- 19.已知cos α=k,k∈R,α∈,则sin(π+α)=( ) A.- B. C.± D.-k 20.=( ) A. sin 2-cos 2 B. sin 2+cos 2 C.±(sin 2-cos 2) D. cos 2-sin 2 21.的值为 A. B. C. D. 22.() A. B. C. D.

《三角函数的诱导公式》教学设计

1.3 三角函数的诱导公式 (名师:杨峻峰) 一、教学目标 (一)核心素养 从对称性出发,获得一些三角函数的性质.会选择合适的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (二)学习目标 1. 牢固掌握五组诱导公式. 2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征,熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明. 3. 通过诱导公式的推导,培养学生的观察能力、分析归纳能力. 4.渗透把未知转化为已知以及分类讨论的数学思想. (三)学习重点 熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明. (四)学习难点 相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识,诱导公式的推导、记忆及符号判断. 二、教学设计 (一)课前设计 1. 阅读教材第23页至第27页,填空: (1)如图,πα+的终边与角α的终边关于 原点 对称; (2)如图,α-的终边与角α的终边关于 x轴 对称; (3)如图,πα-的终边与角α的终边关于 y 轴 对称; (4)如图, 2 π α-的终边与角α的终边关于 直线y =x 对称;

(5)诱导公式: 公式二:()sin πα+=sin α-,()cos πα+=cos α-,()tan πα+=tan α; 公式三:()sin α-=sin α-,()cos α-=cos α,()tan α-=tan α-; 公式四:()sin πα-=sin α,()cos πα-=cos α-,()tan πα-=tan α-; 公式五:sin 2πα??-= ???cos α,cos 2πα?? -= ???sin α; 公式六:sin 2πα??+= ???cos α,cos 2πα?? += ??? sin α-. 2.预习自测 1.下列选项错误的是( ) A.利用诱导公式二可以把第三象限的三角函数化为第一象限的三角函数.? B.利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数. ? C. sin cos 2παα? ?+=- ?? ?. ? ? ? D .若α为第四象限角,则sin cos 2παα? ?-=- ???.? ? ? 答案:C. (二)课堂设计 1.知识回顾

三角函数的诱导公式(教案)

三角函数的诱导公式 (教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

课题:三角函数的诱导公式 授课教师:吴淑群 教材:苏教版数学4第1章1.2.3 教学目标 1.理解三角函数的诱导公式; 2.能运用这些公式处理简单的三角函数的化简、求值等问题; 目标解析 1.在理解的基础上,熟记诱导公式; 2.能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,并进行简单的三角变换; 3.经历由几何特征(终边的对称)到发现数量关系(诱导公式)的探索过程;4.从公式推导和运用的过程中,体会数形结合、转化与化归等思想方法; 5.初步体会三角函数和周期性变化的内在联系; 教学重点、难点 重点:四组诱导公式的推导、记忆和运用。 难点:诱导公式推导过程中数形关系的转换;符号的判断。 教学方法与教学手段 探究教学法、多媒体辅助教学。 教学过程 一、创设情景 先行组织者

师:我们已经学习了任意角三角函数的概念。三角函数是以圆周运动为原型,为 了刻画周期性运动而建立的数学模型。那么,周期性是怎样体现在三角函数的概念之中的?今天,我们仅就上述问题做一个初步的探讨。 二、建构数学 1.终边相同的角的三角函数 (1)提出问题(展示课件) 已知任意..角α,观察角α的终边绕着原点逆时针旋转的过程。 问题1:在上述变化过程中,有哪些东西会周而复始的重复出现? (2)解决问题 (根据学生回答的情况,视机提出下列提示性问题) 问题1-1:角的终边的位置会重复出现吗三角函数值会重复出现吗 问题1-2:什么时候“角的终边位置”会重复出现什么时候三角函数值会重复出现 要求学生把分析的结论用数学等式表示出来: ) (tan )2tan()(cos )2cos()(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απααπαα πα 问题1-3 :角α与角παk 2+)(Z k ∈的三角函数值为什么相等呢? (让学生回到定义去解决问题) (3)小结: 回顾解决问题的思路,得到下面的框图

三角函数诱导公式及推导

三角函数诱导公式及推 导 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角函数诱导公式:所谓三角函数诱导公式,就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。 常用公式:公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=- sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)=cotα 公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)= cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六:π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2+α)=-cotα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2+α)=-tanα cot(π/2-α)=tanα 推算公式:3π/2 ±α与α的三角函数值之间的关系: sin(3π/2+α)=-cosα sin(3π/2-α)=-cosα

《三角函数的诱导公式》

三角函数的诱导公式(第1课时) 南京师范大学附属中学刘洪璐 教材:苏教版《普通高中课程标准实验教科书(必修4)·数学》第1.2.3节 一.教学目标 1.知识与技能 (1)能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。 (2)能够运用诱导公式,把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。 2.过程与方法 (1)经历由几何直观探讨数量关系式的过程,培养学生数学发现能力和概括能力。 (2)通过对诱导公式的探求和运用,培养化归能力,提高学生分析问题和解决问题的能力。 3.情感、态度、价值观 (1)通过对诱导公式的探求,培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。 (2)在诱导公式的探求过程中,运用合作学习的方式进行,培养学生团结协作的精神。 二.教学重点与难点 教学重点:探求π-α的诱导公式。π+α与-α的诱导公式在小结π-α的诱导公式发现过程的基础上,教师引导学生推出。 教学难点:π+α,-α与角α终边位置的几何关系,发现由终边位置关系导致(与单位圆交点)的坐标关系,运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。 三.教学方法与教学手段 问题教学法、合作学习法,结合多媒体课件 四.教学过程 角的概念已经由锐角扩充到了任意角,前面已经学习过任意角的三角函数,那么任意角的三角函数值.怎么求呢?先看一个具体的问题。 (一)问题提出 如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题。 【问题1】求390°角的正弦、余弦值. 一般地,由三角函数的定义可以知道,终边相同的角的同一三角函数值相等,三角函数看重的就是终边位置关系。即有:sin(α+k·360°) = sinα, cos(α+k·360°) = cosα,(k∈Z) tan(α+k·360°) = tanα。 这组公式用弧度制可以表示成sin(α+2kπ) = sinα, cos(α+2kπ) = co sα,(k∈Z) (公式一) tan(α+2kπ) = ta nα。

高中数学专题学习:三角函数概念及诱导公式

第7讲 三角函数概念及诱导公式 【知识梳理】 1.任意角:按逆时针旋转所成的角为正角,按顺时针旋转所成的角为负角. 2.象限角:角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<,则sin y r α=,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 9.三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10.三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT .

2019-2020学年高中数学 三角函数诱导公式学案2 新人教A版必修4.doc

2019-2020学年高中数学 三角函数诱导公式学案2 新人教A 版必 修 4 二、重点、难点 重点: 借助于单位圆,推导出正弦、余弦相互转化的诱导公式。 难点: 利用诱导公式解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。 三、教学过程 引入新课 1函数名称 )(2Z k k ∈+πα α- απ- απ+ αsin αcos αtan 2.(1)=6 sin π _____;=3 cos π _____。 (2)=4 sin π _____;=4 cos π _____。 (3)=0sin _____;=2 cos π _____。 那么能否将锐角推广到任意角呢? 猜测公式五: 。 3.角6π与3 π 的终边有何关系?利用单位圆,画出三角函数线,证明你的结论。 4.(1)=65sin π_____;=3cos π_____。(2)=43sin π_____;=4cos π_____。 (3)=65cos π_____;=3sin π_____。(4)=43cos π_____;=4 sin π_____。 x y O 知识链接:初中学习过,任意锐角的正弦 值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值 等于它的角的正弦值。 由2π βα= +得απ β-= 2 , )2cos(sin απα-=,)2 sin(cos απ α-=

猜测公式六: 。 5.你能否用公式二和五证明你猜测的公式六? 例题剖析 例1.求证:(1)ααπcos )2 3sin(-=+ (2)ααπsin )2 3cos(=+ 例2.已知3 1)75cos(=+α ,且?-<

必修四1.3.三角函数的诱导公式(教案)

人教版新课标普通高中◎数学④ 必修 1 1.3 三角函数的诱导公式 教案 A 教学目标 一、知识与技能 1.理解诱导公式的推导过程; 2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用. 3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力. 二、过程与方法 利用三角函数线,从单位圆关于x 轴、y 轴、直线y x 的轴对称性以及关于原点O 的中心对称性出发,通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想. 三、情感、态度与价值观 通过本节的学习使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手,利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物,从而达到了解新事物的目的,并使学生养成积极探索、科学研究的好习惯. 教学重点、难点 教学重点:五组诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等. 教学难点:六组诱导公式的灵活运用. 教学关键:五组诱导公式的探究. 教学突破方法:问题引导,充分利用多媒体引导学生主动探究. 教法与学法导航 教学方法:探究式,讲练结合. 学习方法:切实贯彻学案导学,以学生的学为主,教师起引导的作用,具体表现在教学过程当中. 1. 充分利用多媒体引导学生完善从特殊到一般的认知过程; 2. 强调记忆规律,加强公式的记忆; 3. 通过对例题的学习,完成学习目标. 教学准备 教师准备:多媒体,投影仪、直尺、圆规. 学生准备:练习本、直尺、圆规. 教学过程 一、创设情境,导入新课 我们利用单位圆定义了三角函数,而圆具有很好的对称性.能否利用圆的这种对称

必修4三角函数地诱导公式专项练习题

训练专题化设计能力系统化培养 必修4三角函数的诱导公式专项练习题 班级:姓名:座号:一、选择题 1. 已知sin(π+α)= 4 5 ,且α是第四象限角,则c os(α-2π)的值是【】 (A) -3 5 (B) 3 5 3 (C) ± 5 (D) 4 5 2. 若cos100 °= k,则t an ( - 80°)的值为【】 (A) -1 k k 2 (B) 1 k k 2 (C) 1 k k 2 (D) - 1 k k 2 3. 在△ABC 中,若最大角的正弦值是2 2 ,则△ABC 必是 【】 (A) 等边三角形(B) 直角三角形(C)钝角三角形(D)锐角三角形 4. 已知角α终边上有一点P(3a,4a)(a≠0),则s in(450 -°α)的值是【】 (A) -4 5 (B) - 3 5 3 (C) ± 5 4 (D) ± 5 5.设A,B,C 是三角形的三个内角,下列关系恒等成立的是【】 (A)cos( A +B)=cosC (B)sin( A+ B)=sin C(C)tan( A+B )=tanC (D)sin A B 2 =sin C 2 二、填空题 6. 若 1 cos( A) ,则s in( A) 的值是. 2 2 2 7. 若cos( ) m (| m |≤1) ,则s in( ) 6 3 是. 8. 计算:t an( 150 ) cos( 570 ) cos( 1140 ) tan( 210 ) sin( 690 ) = . 9. 化简:sin 2( 2( 2( -x)+sin 3 6 +x)= . 10. 化简: 1 2sin10 cos10 2 cos10 1 cos 170 = . 三、解答题 11. 化简 2 tan( ) sin ( ) cos(2 ) 2 3 cos ( ) tan( 2 ) . 12.设f(θ)= 3 2 2cos sin (2 ) cos( ) 3 2 2 2cos ( ) cos(2 ) ,求f( 3 )的值.

1.3.2三角函数诱导公式(二)(教、学案)

1. 3.2三角函数诱导公式(二) 【教材分析】 《三角函数的诱导公式》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第三节,其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六。这节是诱导公式(二)的推导,在诱导公式(一)的推导中用到了一次对称变换,这节是利用两次对称变换推导到的诱导公式,充分体现对称变换思想在数学中的应用,在练习中加以应用,让学生进一步体会的任意性;综合诱导公式(一)、(二)总结出记忆诱导公式的口诀:“奇变偶不变,符号看象限”,了解从特殊到一般的数学思想的探究过程,培养学生用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。诱导公式在三角函数化简、求值中具有非常重要的工具作用,要求学生能熟练的掌握和应用。 【教学目标】 1.借助单位圆,推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式,能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 2.通过公式的应用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程,培养学生的化归思想,以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。 3. 培养学生的化归思想,使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径. 【教学重点难点】 教学重点:掌握 απ±2角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路 教学难点:απ ±2角的正弦、余弦诱导公式的推导. 【学情分析】 学生在前面第一类诱导公式学习中感受了数形结合思想、对称变换思想在研究数学问题中的应用,初步形成用对称变换思想思考问题的习惯,对于两次对称变换思想的应用是上一节课的深化;学生对高中数学知识有了一定了解和掌握,也形成了自己的学习方法和习惯,对学习高中数学有了一定兴趣和信心,且具有了一定的分析、判断、理解能力和交流沟通能力。但由于诱导公式多,学生记忆困难,应用时易错,应该渗透归纳总结的学习方法,让学生找规律,体现自主探究、共同参与的新课改理念。 【教学方法】 1.学案导学:见后面的学案。 2.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 【课前准备】 1.学生的学习准备:预习“三角函数的诱导公式”,完成预习学案。 2.教师的教学准备:多媒体课件制作,课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。 3.教学手段:利用计算机多媒体辅助教学. 【课时安排】1课时 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑

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