图论试卷及参考答案A-13级数学本科
可编辑
**学院2013—2014学年第二学期期末考试 数学与应用数学专业2013级《图论》试卷A
（本试卷满分100分，考试时间110分钟）
一、填空题 （每小题2分，共20分） 1．5阶完全图G 的边的个数是___________．
2．如果图G 的每个顶点的度数都相同，则称图G 为________图． 3．当且仅当无向连通图G 的顶点个数比边的个数多1时，图 G 是___． 4．无向图G 为欧拉图当且仅当G 连通，并且所有顶点的度都是 ． 5．(p ,q ) 图G 的向量空间的维数是_________．
6．图G 的任意一个顶点的关联集都是其余各顶点关联集的____． 7．5阶完全图的边连通度是 ．
8．已知M 是图G 的一个 ，若从G 中一个顶点到另一个顶点存在
一条道路，此路径由属于M 和不属于M 的边交替出现组成的，则称此路径为M -交错道路．
9．图G 是2-色的当且仅当G 是 ． 10．极大平面图所有面的次数均为 ． 二、判断题（每小题2分，共20分）
1．图的所有顶点的度数之和是边数的2倍．
2．连通图的一个生成树是边数最少的连通生成子图． 3．若一个图是欧拉图，那它也一定是哈密顿图．
4．图的秩等于图的完全关联矩阵的秩，也等于其关联矩阵的秩． 5．r 一定是r —正则图的一个特征值． 6．图的点连通度小于等于图的边连通度．
7．若一个图G 存在完美匹配，则该匹配必定是最大匹配． 8．图G 的一个M —可增广道路未必是一个M —交错道路． 9．图的边着色问题可以转化成图的点着色问题．
10．设G 为p 阶、q 条边、f 个面的连通平面图，则 p -q +f =2．
专业：__________ 班级：______ 学号：_______________________ 姓名：_____________________
——————————————密——————————————封————————————————线———————————
专业：________ 班级：___________ 学号：_______________________ 姓名：_____________________ ——————————————密——————————————封————————————————线———————————
三、解答题（每小题5分，共30分） 1．试判断下列两个图是否同构．
2．写出下图G 的一个生成树T 并写出图G 关于T 的基本圈组．
3．求下图的完全关联矩阵并以v 2为参考点写出关联矩阵和一个可逆大子阵．
4．简述图的点连通度、边连通度、最小顶点的度数三者之间的关系，并举例说明．
5．下面的图中加粗的边构成最大匹配吗？如果不是请说明理由．
v 1
4
3 v e 2 e 3
4 e A
B C
D
G
F
4v
5v 6v 1v
2v 3v 15 u u
43 u u
26 u u
6．试写出下图的一个着色方案，并回答该图的色数．
四、应用题（每小题5分，共10分）
1．下图是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿？
2．试建立下列问题的数学模型：有两组化学药品X 和Y ，每组各三类，设
{}123,,x x x 和{}123,,y y y ，已知不同组的化学药品不能放在一起，否则会发生爆
炸．现在将这些物品存放在三个仓库1，2，3中，但由于物品的特性及仓库自身的物理条件（如有无空调、通风条件等），1x 和1y 只允许放在1号和2号仓
f 1 f 2 m 1
f 3 f 4
f 5
m 2 m 3 m 4 m 5
v 2
v 3
v 4
v 1
v 5
库内，2x 和2y 只允许放在2号和3号仓库内，3x 和3y 只允许放在1号和3号仓库内，问：满足要求的存放方案是否存在？若存在，如何存放？ 五、证明题（每小题10分，共20分）
1．设T 是一个无向（p ,q ）图，证明T 是树则T 无圈且q =p -1．
2．设G 为p 阶连通平面图, 有q 条边, 且每个面的次数不小于l (l 33), 证
明 ()≤l
q p -2l -2
．
**学院2013—2014学年第二学期期末考试 数学与应用数学专业2013级《图论》
参考答案与评分标准A
命题教师：***
二、填空题 （每小题2分，共20分）
参考答案：
1．120；2．正则图；3．树；4．偶数；5．q ;6．环和；7．4；8．匹配；9．二部图；10．3 评分标准：
本部分每小题2分．凡与答案一致或意义相同的得2分，不一致（含空白）的不得分．
三、判断题（每小题2分，共20分）
参考答案：1-5.√√×√√ 6-10.√√×√√ 评分标准：
本部分每小题2分．凡与答案一致的得2分，不一致（含未做判断）的不得分．
三、解答题（每小题5分，共30分）
参考答案：
1.解：建立一一映射,1,2,3,4,5,6i i v u i =，可知两图同构． ……（5分）
2.解：因为图的生成树即其连通无圈的生成子图，因此，去掉图的一些边使其保持连通无圈即得其生成树．下图是其中的一种做法． …………（2分）
关于这棵树的基本圈有6个：AEG ，ABG ，EFG ，BCE ，DEF ，CDF ．（5分）
3.解：
………………（3分）
其中一个可逆的大子阵
100011001??
? ? ???123
e e e …………………………………………（5分） 4.解：图的点连通度、边连通度、最小顶点的度数三者之间的关系为
k (G )≤l (G )≤d (G )． …………………………………………（3分）
下图是无向连通图，点连通度k (G )=1，边连通度l(G )=2，最小度d(G )=3，此图满足k (G )≤l (G )≤d (G )． …………………………………………（5分）
100110110100110??
?? ? ? ? ? ?
? ?????
2完全关联矩阵关联矩阵(v 为参考点)
1
001111000→011010
011
0E
A
B C
D
G
F
5.解：
不是最大匹配，因为该图中存在M-可增广道路． ………………（5分） 6.该图是3色的，颜色1：v 1，v 5，颜色2：v 2，v 4，颜色3：v 3． ………（5分） 本部分每小题5分，由于某些题的结果不唯一，因此要求只要运用理论正确，结果与答案等价，即得满分；如果有些偏差，酌情扣分；如果关键部分错误，该得分点不得分．
四、应用题（每小题5分，共10分）
参考答案：
1.这个问题可以归结为一笔画问题，一个连通图存在欧拉圈当且仅当图的顶点的度数是偶数．H 点和B 点是奇点，其余都是偶点，所以入口和出口应设在H 点和B 点． ………………（5分）
2.解：以药品为点，两药品不能放在一起则连边，则得到一个二部图，然后再对图中每个点x ，指定一个集合()L x ，用以表示允许存放的仓库和集合，即令()(){}111,2L x L y ==，()(){}222,3L x L y ==，()(){}331,3L x L y ==，如下图所示，于是问题转化为对3,3K 的点着色，但要求对每个点x 的着色，应选用各自的中所罗列的“颜色”，如下图所示：
f 1
f 2
m 1 f 3
f 4
f 5
m 2 m 3 m 4 m 5
{}
1
1,2x
{}
2
2,3x
{}
3
1,3x
实际上，本问题的着色不存在． ………………（5分） 评分标准：
本部分每小题5分，考生每解出一个步骤，得相应的分数．由于某一步单纯计算错误而导致其后数据错误，但方法正确的，酌情给分． 五、证明题（每小题10分，共20分）
参考答案：
1.证明:由树的定义可知T 无圈．下证q =p -1．对p 进行归纳证明． 当p=1时，q=0，显然q =p -1．
假设p=k 时结论成立，现证明p=k+1时结论也成立． ………… （2分）
由于树是连通而无圈的，所以至少有一个度数为1的顶点v ，在T 中删去
v 及其关联边，便得到k 个顶点的连通无圈图． ………… （4分）
由归纳假设它有k-1条边．再将顶点v 及其关联边加回得到原图T ，所以
T 中含有k+1个顶点和k 条边，故结论q =p -1成立．所以树是无圈且q =p -1的图．即q =k +1时结论成立． ……………… （10分）
2.证明：由于在计算面数之和时，每个边被计算了两次，因此各面次数之和等于边数的2倍，再由欧拉公式得： ……………… （5分） 2q 3 lf = l (2+q-p )
()1??
≥?≥?≤ ???
2q 2l 2+q -p -q 2-p q p -2l l l -2 …… （10分） 评分标准：
本部分每小题10分，根据参考答案的答题要点给分。要求只要运用理论正确，结果与答案等价，即得满分；如果有些偏差，酌情扣分；如果关键部分错误，该得分点不得分．
第四届全国组合数学与图论会议纪要
第四届全国组合数学与图论会议纪要 为促进我国组合数学与图论学科的进一步发展，加强国内同行的学术交流与合作，第四届全国组合数学与图论大会于2010年8月21日至25日在徐州师范大学举行。会议由中国组合数学与图论学会主办，徐州师范大学承办，并得到了徐州师范大学和国家自然科学基金委天元基金的大力资助。 会议期间，来自国内外约160所大学和研究院所的约400位专家、学者和研究生共聚一堂, 积极讨论，相互交流。福州大学范更华教授、同济大学邵嘉裕教授、中科院胡晓东教授、香港大学臧文安教授、南开大学高维东教授和北京交通大学常彦勋教授等作了6个大会报告（60分钟）。另外，分四个分组进行了13个特邀报告（30分钟）以及近120个小组报告（15分钟）。报告内容涉及组合数学与图论的各个领域。其中包括结构图论、随机图论、代数图论、化学图论、图的染色、组合设计、组合优化、组合计数、组合矩阵、复杂网络、网络优化、代数组合论与应用图论等众多领域。 开幕式由徐州师范大学数学科学学院院长刘笑颖教授主持，徐州师范大学党委书记徐放鸣教授首先致开幕词，接着，中国组合数学与图论学会的理事长陈永川发表了热情洋溢的讲话。
本次会议还举行了中国组合数学与图论学会理事会的换届选举。首先由上届正副理事长陈永川教授、李学良教授和王军教授（其中宝升教授因事缺席）提出新一届理事会的候选人名单。然后经理事会充分讨论，并进行民主投票选举，产生了51位新任理事，并随后由新一届理事会选举产生了新一届常务理事会与正副理事长。 与会代表衷心感谢本次会议的东道主徐州师范大学的校、院各级领导对本次会议的大力支持，衷心感谢会务组的全体同志为本次会议的顺利召开而付出的辛勤劳动。 经新一届常务理事会讨论，决定下一届全国组合数学与图论大会于2012年在洛阳师范学院举行。
离散数学图论与系中有图题目
离散数学图论与系中有图题目
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
图论中有图题目 一、 没有一个简单的办法能确定图的色数以及用尽可能少的颜色给图的节点着色。Welch-Powell 给出了一个使颜色数尽可能少（不一定最少）的结点着色方法，在实际使用中比较有效： 第1步、 将图的结点按度数的非增顺序排列；第2步、用第1种颜色给第1个结点着色，并按照结点排列顺序，用同一种颜色给每个与前面已着色的结点不邻接的结点着色；第3步、换一种颜色对尚未着色的结点按上述方法着色，如此下去，直到所有结点全部着色为止。 例1 分别求右面两图的色数 （1）由于（1）中图G 中无奇数长的基本回路，由定理可知()2G χ=。 （2）由于（2）中图G 含子图轮图4W ，由于()44W χ=，故()4G χ≥。又因 为此图的最大度()4G ?=，G 不是完全图，也不是奇数长的基本回路，由定理可知()()4G G χ≤?=，因而()4G χ=。 （对n 阶轮图n W ，n 为奇数时有()3n W χ=，n 为偶数时有()4n W χ=；对n 阶零图n N ，有()1n N χ=；完全图n K ，有()n K n χ=；对于二部图12,,,G V V E E =<>=Φ时即()1n N χ=，E ≠Φ时即()2G χ=；在彼得森图G 中，存在奇数长的基本回路，因而()3G χ≥，又彼得森图既不是完全图也不是长度为奇数的基本回路，且()3G ?=，由定理()3G χ≤，故()3G χ=） 例 2 给右边三个图的顶点正常着 色，每个图至少需要几种颜色。 答案：（1） ()2G χ=；（2） ()3G χ=； （3）()4G χ= 例3 有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T 要放进贮藏室保管。出于安全原因， 下列各组药品不能贮在同一个室内：A-R, A-C, A-T, R-P, P-S, S-T, T-B, B-D, D-C, R-S, R-B, 4个结点、6个结点和8个结点的三次正则图 (2) (1) (3) (2)(1)
组合数学在计算机中的应用
组合数学在计算机中的应用 组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。随着计算机科学的发展,组合数学也在迅猛发展,而组合数学在理论方面的推进也促进计算机科学的发展。计算机软件空前发展的今天要求有相应的数学基础,组合数学作为大多数计算机软件设计的理论基础,它的重要性也就不言而喻。 就从目前我们在学习c++等语言进行编程解决问题看，组合数学的一些知识就能得到运用。例如Hannoi塔问题。用刚刚学的递推关系分析，设h(n)为n个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。显然，当n=1时，只需把a柱上的盘子直接移动到c柱就可以了，故h(1)=1。当n=2时，先将a柱上面的小盘子移动到b柱上去；然后将大盘子从a柱移到c柱；最后，将b柱上的小盘子移到c柱上，共计3个盘次，故h(2)=3。以此类推，当a柱上有n(n>=2)个盘子时，总是先借助c柱把上面的n-1个盘移动到b柱上，然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上；再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上；总共移动h(n-1)+1+h(n-1)个盘次。所以：h(n)=2h(n-1)+1 （边界条件：h1=1）。而一旦得出了这个递推关系式，就很容易运用递归算法来解决这样一个问题，递归算法因为是运用栈的方式进行加深与回溯，这个栈是系统给出的，故大大减少代码量。因此利用组合数学中的知识很容易抽象出数学模型再用相应的编程技巧来解决问题。 另外，我们最近数据结构正好学到了图这一章节。图是一种非常重要的数据存储结构，而在图的建立，遍历，生成树等问题的解决算法上基本都运用了组合数学中的知识。例如在最小生成树算法中间需要判断是否有环的问题，中间算法思想中就包含了欧拉图判定定理，(1) 无向连通图G是欧拉图=>G不含奇数度的结点(即G的所有结点的度均为偶数(0视为偶数))；(定理1) (2) 非0平凡图G有欧拉通路=>G最多有两个奇数度的结点；(定理1的推论) (3) 有向图D是欧拉图=>D连通且D的所有结点的入度等于出度。有向连通图有欧拉通路=>除两个结点外，其余结点的出度均等于入度，且这两点deg-(v)-deg+(v)=±1。(定理2) 除此之外，在那些我们还没有接触的计算机领域中，处处也有组合数学的身影。如：信息检索是计算机科学中一个基本而又重要的问题。如何组织数据,使用什么样的查找方法,对检索的效率有很大的影响。所熟知的在有序表结构上的二分搜索算法是一种很有效的方法,那么二分搜索是最好的算法吗?Yao利用Ramsey数对这一问题作了肯定的回答。 具体地讲,假设一个表有n个不同的项,其元素取自键空间M={1,2,,, m } ,希望找到在表中存储M的任意n元子集S的方法,使得容易回答下述询问: X在S中吗?如何存储M的n元子集的规则称为一个表结构或( m , n)-表结构。最简单的表结构是有序表结构,它是按上升序列出S中的元素。更一般的是按置换排序的表结构,其方法是固定{1,2,,, n}的一个置换,根据比置换的次序列出S中的元素。 信息检索的计算复杂性依赖于表结构和搜索策略。复杂性的度量是最坏情形下确定x 是否在S中所需要的询问次数。例如,对有序表结构,如果用二分搜索,所需要的询问次数是[log2( n+ 1) ]。复杂性f ( m , n )定义为所有的( m , n)-表结构和搜索策略下的复杂性的最小值。关于f ( m , n ), Yao证明了: 定理1 对每个n ,存在数N ( n) 使得f ( m , n) = [log2 ( n +1 ) ]对所有m>=N ( n) 成立。据此定理,对充分大的m ,就信息检索来说,用有序表结构是最有效的方法。 利用下述两个引理,立即可得此定理的证明。 引理1 若m >=2 n -1 , n >=2 ,对于按置换排序的表结构。无论采用何种策略,在最坏情形
组合数学在生活中的应用
组合数学在生活中的应用
组合数学在生活中的应用
组合数学在生活中的应用 数计学院姓名：廖梓文班别： 11数本3班学号：2011224323 摘要本文从对组合数学的一些基本概念和方法入手,结合具体的应用举例和数学史上的著名故事作为论题进行研究,进行了较全面的资料搜集.使人们加深对组合数学的理解,并应用于生活. 关键词:组合数学;数学游戏 1 引言 本文通过具体的应用实例和数学史上的一些故事和难题,介绍了组合数学是如何在生活中应用的.在研究了一些典型的例子和趣味性的故事的基础上,系统的查阅了相关文献，并结合生活中涉及组合数学的相关知识进行阐述,具体说明了组合数学的基本方法及其在生活中的应用.这样就使组合数学显得更加形象,也使抽象的理论概念变得浅显具体,更易被初学者理解和接受,以至于可以激发人们在生活中应用组合数学的意识. 2 组合数学的历史 组合数学是一门既古老又年轻的数学分支。随着计算机的普及推广,组合数学这门古老的学科焕发出蓬勃的生机. 组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。 我国古人在《河图》《洛书》中便已经对一些有趣的组合问题给出了正确的解答。中国最早的组合数学理论可追溯到宋朝时期的”贾宪三角”, 后来被杨辉引用, 所以普遍称之为“杨辉三角”, 这在西方是1654年由帕斯卡提出，但比中国晚了400多年。近代，由于计算机的出现，组合数学这门学科得以迅猛发展，成为了一个重要的数学分支。近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过K?nigsberg城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。 4.组合数学的基本解题方法
离散数学测验题--图论部分(优选.)
离散数学图论单元测验题 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1、在图G ＝
组合数学与图论复习题与参考答案
组合数学与图论复习题及答案 1．Show that if n+1 integers are chosen form the set {1,2, …,2n},then there are always two which differ by at most 2. 从{1,2, …,2n}中选出n+1个数，在这n+1个数中，一定存在两个数，其中一个整数能整除另外一个整数。 任何一个数都可以写成2k*L，其中k是非负数，L是正奇数。现在从1到2n 之间只有n个奇数。由于有n+1个数都能表示成2k*L，而L的取值只有n中，所以有鸽子洞原理知道，至少有两个数的L是一样的，于是对应k小的那个就可以整除k大的另一个数。 2．Show that for any given 52 integers there are exist two of them whose sum, or else difference, is divisible 100. 设52个整数a 1，a 2 ，…，a 52 被100除的余数分别是r 1 ,r 2 ,…,r 52 ，而任意一 个数被100除余数为0，1，2，…，99，一共100个。他们可以分为51个类{0},{1,99},{2,98},…,{49,51},{50}。将这51个集合视为鸽笼，则将 r 1,r 2 ,…,r 52 放入51个笼子中，至少有两个属于同一个笼子，所以要么有ri＝rj， 要么有ri＋rj＝100，也就是说ai－aj|100或者ai＋aj|100。 3．从1，2，3，…，2n中任选n+1个数，证明在这n+1个数中至少有一对数互质。 鸽子洞原理，必有两个数相邻，相邻的两个数互质 4．Prove that Ramsey number R(p,q)≤R(p,q-1)+R(p-1,q). 令N＝R(p,q-1)+R(p-1,q)，从N个人中中随意选取一个a，F表示与a相识的人，S表示与a不相识的人。 在剩下的R(p,q-1)+R(p-1,q)－2＋1个人中，由鸽子洞原理有，或者F中有R(p,q-1)人，或者S中有R(p-1,q)人。如果F中有R(p,q-1)人，则与a相识的人为p个；如果S中有R(p-1,q)人，则与a不相识的人有p个。所以有R(p,q)≤R(p,q-1)+R(p-1,q) 5．There are 10 people, either there are 3 each pair of whom are acquainted, or there are 4 each pair of whom are unacquainted。 从10人中随意选一个人p，F表示与p相识的人，S表示与p不相识的人若F中至少有4人，如果至少有4人不相识，则满足题设；如果有2人相识，则加上p有3人相识，也满足题设。 若F中至多有3人，则S中至少有6人，6人中至少有3人相识，或者不相识。如果相识则满足题设，如果不相识加上p不相识的人就有4个，也满足题设。6．In how many ways can six men and six ladies be seated at round table if the men and ladies to sit in alternate seats? 6个男的先进行圆排列，然后6个女的插入空位。 7．In how many ways can 15 people be seated at round table if B refuses to sit next to A? What if B only refuses to sit on A right?
组合数学
组合数学论文 现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好像是有思维的。组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。 广义的组合数学就是离散数学，离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。 组合数学中有几个著名的问题： 地图着色问题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色？这是图论的问题。 船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河？ 这是线性规划的问题。 中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。 货郎问题：一个货郎要去若干城镇卖货，然后会到出发地，给定各个城镇之间的旅行时间，应怎么样计划他的路线，使他可以去每个城镇而且所用的时间最短。这个问题至今都没有有效的算法。 这几个问题将组合数学研究的问题具体表现出来，同时也可以看出他在我们生活中有着很重要的地位。 组合数学中主要可以分成以下几个部分：排列组合与容斥原理、二项式定理、递推关系与生成函数、polya定理。下面我将以这四个部分分别介绍组合数学的各方面问题。 1、排列组合与容斥原理： 排列组合里面的4个重要的基本原理：加法原理、乘法原理、减法原理、除法原理 前面两个最为基本，后面两个是根据前两个派生出来的。乘法原理有的时候的应用很巧妙，可以作为一种打开思路的办法。
图论与组合数学期末复习题含答案
组合数学部分 第1章 排列与组合 例1： 1)、求小于10000的含1的正整数的个数； 2、)求小于10000的含0的正整数的个数； 解：1)、小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个 2)、“含0”和“含1”不可直接套用。0019含1但不含0。在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。不含0的1位数有19个，2位数有29个，3位数有39个，4位数有49个 不含0小于10000的正整数有() ()73801919999954321=--=+++个含0小于10000的正整数9999－7380=2619个。 例2： 从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？ 解：将[1,300]分成3类： A={i|i ≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298}, B={i|i ≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299}, C={i|i ≡0(mod 3)}={3,6,9,…,300}. 要满足条件，有四种解法： 1)、3个数同属于A; 2)、3个数同属于B ； 3)、3个数同属于C; 4)、A,B,C 各取一数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。 例3：（Cayley 定理：过n 个有标志顶点的数的数目等于2-n n ） 1）、写出右图所对应的序列； 2）、写出序列22314所对应的序列； 解： 1）、按照叶子节点从小到大的顺序依次去掉节点（包含与此叶子 节点相连接的线），而与这个去掉的叶子节点相邻的另外一个点值则记入序列。如上图所示，先去掉最小的叶子节点②，与其相邻的点为⑤，然后去掉叶子节点③，与其相邻的点为①，直到只剩下两个节点相邻为止，则最终序列为51155.。 2）、首先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从小到大顺序依次排列并插入递增序列得到：7。我们再将给出序列22314写在第一行，插入后的递增序列写在第二行。如下图第一行所示： ??→????? ??--②⑤67112223344522314??→???? ? ??--②⑥11223344672314 ??→????? ??--③②11233447314??→???? ? ??--①③11344714
组合数学前沿介绍
组
合
数
学
Combinatorics
马昱春 MA Yuchun myc@https://www.360docs.net/doc/b69303045.html,
1
组
合
数
学
Combinatorics
组合数学:有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认 为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑 等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合 数学是一门研究离散对象的科学。
https://www.360docs.net/doc/b69303045.html,/zh-cn/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6
Combinatorics: Combinatorics is a branch of pure mathematics concerning the study of discrete (and usually finite) objects. It is related to many other areas of mathematics, such as algebra, probability theory, ergodic theory and geometry, as well as to applied subjects in computer science and statistical physics.
https://www.360docs.net/doc/b69303045.html,/wiki/Combinatorics 2
组合数学与离散数学
? 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（ 也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的 问题。
– 组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩 阵、组合优化等。
? 离散数学(Discrete mathematics)是数学的几个分 支的总称，以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数 无穷个元素；因此它充分描述了计算机科学离散 性的特点。
– 离散数学通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、 关系论、函数论、组合学、代数系统与图论。 。
3
组合数学学习心得
组合数学学习心得 在进入研究生学习的第一个学期就开设了组合数学这门课程，我感到很庆幸和开心，因为我在学完这门课程之后学到了很多东西，不仅仅是课本上的，还有许多在课本上是学不到了！ 组合数学，对大多数学生来说是一门十分困难的课程，由于自己本科学的是数学，所以学起来还好，也比较喜欢这门课程。组合数学可以一般描述为：组合数学是研究离散结构的存在，计数，分析，和优化等问题的一门学科。经验证发现的组合数学最有力的工具之一为数学归纳法。归纳是一个强有力的过程，在组合数学中尤其是如此。用数学归纳法证明一个结果常常比证明一个弱结果更容易。许多组合问题的解决常常需要某些特别的例证，而且有时需要结合使用一般的理论。我们必须学会建立数学模型，研究模型，抓住问题的要害，灵活的应用智慧来解决问题。“图论”是组合数学课程中比较重要的一部分。在刚接触到“图”这一章的时候我是抱着好奇之心去学习的，因为这章都是关于“图” ，想了解一下和几何图形的差别，所以觉得善长几何的我应该能够把它学好。但是不可否认，随着知识的深入，这一章一定会比前面的更难理解，更难学。因此上课的时候听得格外认真，课后还找了一些相关书籍阅览。在看过这些书籍以后，我才真正了解到它并不是枯燥乏味的，它的用途非常广泛，并且应用于我们整个日常生活中。比如：怎样布线才能使每一部电话互相连通，并且花费最小？从首府到每州州府的最短路线是什么？n 项任务怎样才能最有效地由 n 个人完成？管道网络中从源点到集汇点的单位时间最大流是多少？一个计算机芯片需要多少层才能使得同一层的路线互不相交？怎样安排一个体育联盟季度赛的日程表使其在最少的周数内完成？我们能用4种颜色来为每张地图的各个区域着色并使得相邻的区域具有不同的颜色吗？这些问题以及其他一些实际问题都涉及“图论” 。这里所说的图并不是几何学中的图形，而是客观世界中某些具体事物间联系的一个数学抽象，用顶点代表事物，用边表示各式物间的二元关系，如果所讨论的事物之间有某种二元关系，我们就把相应的顶点练成一条边。这种由顶点及连接这些顶点的边所组成的图就是图论中所研究的图。由于它关系着客观世界的事物，所以对于解决实际问题是相当有效的。总之，图论是数学科学的一个分支，而四色问题是典型的图论课题。通过对图论的初步理解和认识，我深深地认识到，图论的概念虽然有其直观、通俗的方面，但是这许多日常生活用语被引入图论后就都有了其严格、确切的含义。我们既要学会通过术语的通俗含义更快、更好地理解图论概念，又要注意保持术语起码的严格。 学习数学重要的是理解，而不是像其它科目一样死背下来，数学有一个特点,那就是”举一反三”。做会了一道题目，就可以总结这道题目所包含的方法和原理,再用总结的原理去解决这类题，收效就会更好.学习数学还有一点很重要，那就是从基本的下手，稳稳当当的去练，不求全部题都会做，只求做过的题不会忘，会用就行了。在做题的过程中，学习是一生的事情，不要过于着急，一步一个脚印的来,就一定会取得一想不到的效果。数学的学习是一个积累和运用的过程，因此，学好数学的一个必要前提便是要注重平时的积累和运用。而在日常时对于数学的学习还是有许多方法的。数学学习做题是极为必要的，因此做题之后的总结工作也是极为重要的，否则只能是杂而不精，无法将知识融会贯通，合理运用。 组合数学是一门既古老又年轻的数学分支。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。如果说微积分和近代数学
离散数学图论练习题
图论练习题 一.选择题 1、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。 (1) 欧拉图(2) 树(3) 平面图(4)连通图 2、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？() (1) {0，10，110，101111}(2) {01，001，000，1} (3) {b，c，aa，ab，aba}(4) {1，11，101，001，0011} 3、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路。 4、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。 (1) 0(2) 1(3) 2(4) 不能确定 5、n阶无向完全图Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。 6、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是()。 7、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。 8、有n个结点的树，其结点度数之和是()。 9、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。 (1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1} (3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011} 10、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。 11、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。 12、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则 (1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。 13、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。 14、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。 15、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于: (1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。 16、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。 17、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16 18、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12
组合数学与数论1
第一部分：组合数学 第一章计数的基本原则 一．组合数学的历史和内容 1.历史：组合数学最早起源于中世纪的印度，在漫长的历史中，一 直发展缓慢。随着上一世纪计算机的出现，组合数学开始快速地发展。近几年，由于计算机安全领域受到重视以及组合数学在计算机安全领域的应用，组合数学受到越来越多的重视。 2.内容：组合数学主要包括以下几个内容： (1)组合分析（也称为组合计数理论） (2)组合优化（包括线性规划，整数规划等） (3)组合设计（包括区组设计等） (4)组合算法（例如：搜索算法，DFS算法与分支定界法，动态规 划等） *图论本是组合数学这个家族的一个主要成员，但它已成长壮大，独立成一门学科。 3. 本课程介绍的主要内容：组合计数理论 二．加法原则与乘法原则 1. 加法原则： 设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则“事件A 或事件B”有m+n种产生方式。 例子：大于0而小于10的偶数有4个，即：{2，4，6，8}，大于0而小于10的奇数有5个，即：{1，3，5，7，9}。则大于0而小于10
的整数有：4+5=9个，即：{1，2，3，4，5，6，7，8，9}。 *如果A1,A2,?,A n是互不相交的有穷集，那么 |A1∪A2∪?∪A n|=|A1|+|A2|+?+|A n| 2.乘法原则： 若事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则“事件A 与事件B”有mn种产生方式。 例1：设一个符号由两个字符组成，第一个字符有a,b,c,d,e五种方式，第二个字符有1,2,3三种方式。则根据乘法原则，该符号具有5×3= 15种方式，即 a1,b1,c1,d1,e1;a2,b2,c2,d2,e2;a3,b3,c3,d3,e3. 例2：从A到B有3条不同的道路，从B到C有2条不同的道路，从A经B到C共有n=3×2=6条不同的道路。 例3：求比10000小的正整数中含有数字1的数的个数。 解：先求所有4位数中不含有数字1的个数，即求由{0，2，3，4，5，6，7，8，9} 9个数字组成的4位数的个数。每一位都有9种出现方式，根据乘法原则，由9个数字组成的4位数个数为：9×9×9×9= 6561，其中包含0000不是正整数。故比10000小不含数字1的4位正整数的个数=6561?1=6560. 所以小于10000含有数字1的4位数个数=9999?6560=3439.
离散数学图论复习
离散数学11春图论部分综合练习辅导 大家好！本学期的第二次教学辅导活动现在开始，本次活动主要是针对第二单元图论的重点学习内容进行辅导，方式同样是通过讲解一些典型的综合练习作业题目，帮助大家进一步理解和掌握图论的基本概念和方法． 图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法．教学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等． 本次综合练习主要是复习这一单元的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题．这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要内容的学习． 下面是本学期第4，5次形考作业中的部分题目． 一、单项选择题 单项选择题主要是第4次形考作业的部分题目． 第4次作业同样也是由10个单项选择题组成，每小题10分，满分100分．在每次作业在关闭之前，允许大家反复多次练习，系统将保留您的最好成绩，希望大家要多练几次，争取好成绩．需要提醒大家的是每次练习的作业题目可能不一样，请大家一定要认真阅读题目． 1．设图G ＝
组合数学在计算机中的应用
目录 摘要 (1) 1.组合数学概述 (1) 2.组合数学在生活中的应用 (1) 3.组合数学与计算机软件 (1) 3.1 信息时代的组合数学 (2) 3.2 组合数学在计算机软件的应用 (2) 3.3组合数学与计算机软件的关系 (2) 3.4组合数学在国外软件业的发展状况 (2) 4 Ramsey 数在计算机科学中的应用 (3) 4.1Ramsey 定理和Ramsey 数 (3) 4.2信息检索 (3) 参考文献 (5)
组合数学在计算机中的应用 摘要：介绍了组合数学的概念、起源与研究的主要内容,分析了组合数学的特点以及其在生活中的应用,阐述了组合数学与计算机软件的联系,并着重通过两个例子说明了Ramsey 数在计算机科学的信息检索中的重要应用。 关键词：组合数学;组合算法;Ramsey 数;信息检索; 1：组合数学概述 组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。 2：组合数学在生活中的应用 在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。 当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。航空调度和航班的设定也是组合数学的问题。怎样确定各个航班以满足不同旅客转机的需要，同时也使得每个机场的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延误等特殊情况下，怎样作最合理的调整，这些都是组合数学的问题。 组合数学在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。 总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。所以组合数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。 3：组合数学与计算机软件 随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作，生活，学习，社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。
组合数学及其图论试题库
组合数学及其图论 1、一个图G 是指一个有序三元组（V （G ），E （G ），G ?），其中G ?是：________________. 关联函数 2、 是有40个点的简单图且 中任两个点之间有且只有1条路，则 。 39 3、只有一个顶点所构成的图称为：________________ 平凡图 4、如果H 是G 的子图，其中V （H ）=V （G ）和E （G ）=E （H ）至少有一个不成立，就称H 是G 的：_____________. 真子图 5、设G 是p 阶简单图，则__________________等号成立当且仅当G 是完全图。 q(G)≤p(p-1)/2 6、如果一条途径的_________与___________相同，就称这条途径为闭途径。 起点 终点 7、如果对图G=（V ，E ）的任何两个顶点u 与v ，G 中存在一条（u-v ）路，则称G 是___________否则称为是______________ 连通图、 非连通图 8、设G 是P 阶连通图，则__________________. q(G)≥p-1 9、若二分图 有Hamilton 回路，则 与 满足 。 10、若G 是2-边连通图，则G 有强连通的________________. 定向图 11、边数最少的连通图是 。
树 12、没有回路的连通图称为_______________. 树 13、的图是图或图。 平凡图，不连通图 14、树T的每一个非悬挂点都是T的 __________. 割点 15、二分图中若与满足，则必有完美对集。 16、给定一个图G，如果图G的一个生成子图T是一棵树，则称T是G的一个_______________. 生成树 17、设G是无环图，e是G的一条边，则 τ(G)=___________________________. τ （G－e）+τ (G·e) 18、是阶简单图，则，等号成立当且仅当是图。 ，完全图 2、 19、___________________________的生成树称为最优生成树。 连通赋权图中具有最小权 20、的一个对集是最大对集的充要条件是。 中无可扩路 21、一个有向图D，如果略去每条弧的方向时所得无向图是一棵树，就称D为_____________________. 有向树 22、经过G的每条边的迹称为G的Euler迹，如果这条迹是闭的，则称这条闭迹为G的 ________________. Euler环游 23、是简单图且，则。
组合数学-浅谈组合数学与计算机科学
浅谈组合数学与计算机科学 摘要：组合数学，又称为离散数学，是一门研究离散对象的科学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支，随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显。 关键词：组合数学计算机欧拉回路 Abstract: The combination of mathematics, also known as discrete mathematics, is a study of discrete objects. A combination of computer mathematics is a branch of mathematics developed rapidly since, with the increasing importance of the development of computer science, combinatorial mathematics has become more prominent. Key words: Combinatorics Computer Euler circuit 1.组合数学简述 组合数学是一门古老而又新兴的数学分支。我国古人早在《河图》、《洛书》中已对一些有趣的组合问题给出了正确的解答。近代随着计算机的出现,组合数学这门学科得到了迅猛的发展,成为了一个重要的数学分支。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。 组合数学主要研究符合一定条件的组态对象、计数及构造等方面的问题。离散构形问题是组合数学的主要研究内容，主要包括：①构形构形的存在性问题；②构形的构造性问题；③构形的计数问题；④构形的最优化问题。 现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等; 另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。 电子计算机处理的信息，都是仅用“0”与“1”两个简单数字表示的信息，或者是用这种数字进行了编码的信息。所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而组合数学是一门研究离散对象的科学。现代数学的研究内容主要包括两个方面：一方面类是研究连续对象的，如分析、代数等，另一方面就是研究离散对象的组合数学。
图论与组合数学 教学大纲 2016 修改版
《图论与组合数学》教学大纲 一、课程名称：图论与组合数学 二、课程代码：021********* 三、课程英文名称：Graph Theory and Combinatorics 四、课程负责人：刘任任，肖芬，曹春红 五、学时与学分：48学时（理论40学时，实验8学时），3.0学分 六、课程性质：必修 七、适用专业：工科本科计算机科学与技术专业 八、选课对象：计算机科学与技术专业 九、预修课程：集合论与数理逻辑、C语言程序设计I、数据结构 十、课程教材与参考书目： 课程教材： 1.刘任任编著，《离散数学》，中国铁道出版社，2009年12月； 2.刘任任主编，《离散数学题解与分析》，中国铁道出版社，2010年10月。 参考书目： 1.Kneneth H. Rosen, Discete Mathematics and Its Applications, Fifth Edition,2003年； 2.Richard Johnsonbaugh, Discrete Mathematics, Prentice Hall Inc., 2000年； 3.Kolman B., etc., Discrete Mathematical Structures，Prentice Hall Inc., 2001； 4.Brualdi, R.A. (美)，组合数学(第四版)，北京机械工业出版社，2005年2月； 5.卢开澄，组合数学，清华大学出版社， 6.孙吉贵等编著，《离散数学》，高等教育出版社，2002年； 7.陈莉等编著，《离散数学》，高等教育出版社，2002年。 十一、开课单位：信息工程学院 十二、课程与能力培养中的对应关系 1、能力1.2: 掌握计算机科学与技术专业所要求的数学和自然科学基本知识，能将其用于计算机复杂工程问题的分析与建模； 2、能力2.1：掌握文献检索、资料查询的基本方法，能够运用现代技术获取相关文献，具有资料阅读和文献研究能力，并用于计算机科学与技术相关的复杂工程问题的分析和推理； 3、能力2.2：通过理论与实践相结合的系统学习，能够识别复杂工程问题中所涉及的数学、自然科学及计算机科学与技术专业的相关理论知识。 十三、课程的目标 图论和组合数学是现代数学的重要分支，是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门科学，是计算机科学与技术专业的基础理论课程。通过本课程的学习，使学生掌握图论与组合数学的基本原理和方法，了解和掌握无向图、有向图、连通图、排列与组合、容斥原理、递推关系和生成函数等基本知识，灵活运用所学知识对一些简单问题进行建模并编程求解。