高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总
高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总编者：邬小军【知识汇编】参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b+=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=⎧⎨=⎩为参数； 抛物线22y px =的参数方程是22()2x pt t y pt⎧=⎨=⎩为参数 极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan yx θ=。
【题型1】参数方程和极坐标基本概念1．点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（ C ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈2．圆5cos 53sin ρθθ=-的圆心坐标是（ A ）A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π- 3．已知P 为半圆C ： （θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π。
1）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； 2）求直线AM 的参数方程。
解：1）由已知，M 点的极角为3π，且M 点的极径等于3π，故点M 的极坐标为（3π，3π）.2）M 点的直角坐标为（36ππ，A （0,1），故直线AM 的参数方程为1(1)6x t y π⎧=+-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）4．已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
1)求曲线c 的极坐标方程2)若直线l 的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=1，求直线l 被曲线c 截得的弦长。
解：(1)∵曲线c 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x (α为参数)∴曲线c 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ 即曲线c 的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ (2)∵l 的直角坐标方程为x+y-1=0∴圆心c 到直线l 的距离为d=22=2∴弦长为225-=23 .5．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝sin （θ＋4π），曲线C2的极坐标方程为ρsin θ＝a （a ＞0），射线θ＝ϕ，θ＝ϕ＋4π，θ＝ϕ－4π，θ＝2π＋ϕ与曲线C1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a 的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程； （2）求｜OA ｜·｜OC ｜＋｜OB ｜·｜OD ｜的值．解：（1）1C ：2)1()1(22=-+-y x ， 2C ：a y =， 因为曲线1C 关于曲线2C 对称，1=a ，2C ：1=y （2）)4sin(22||πϕ+=OA ；ϕπϕcos 22)2sin(22||=+=OBϕsin 22||=OC ，)4cos(22)43sin(22||πϕπϕ+=+=OD24||||||||=⋅+⋅OD OB OC OA【题型2】直线参数方程几何意义的应用1．已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =52。
2．直线2()1x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ C ） A．．1404C3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C：22(2)1y x --=交于A ，B 两点.（1）求AB的长；（2）在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离.解：（1）直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，（t为参数），代入曲线C 的方程得24100t t +-=．设点A ，B 对应的参数分别为12t t ，，则124t t +=-，1210t t =-，所以12||||AB t t =-=（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为(22)-，， 所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为1222t t +=-，由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离||2PM =． 4．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。
解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （2）把直线312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x 得22231(1)(1)4,(31)2022t t t t +++=++-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为25．设经过点(1,0)P -的直线l 交曲线C ：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)于A 、B 两点．（1）写出曲线C 的普通方程；（2）当直线l 的倾斜角60α=时，求||||PA PB +与||||PA PB ⋅的值．解：（1）C ：22143x y +=．（2）设l ：11232x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）联立得：254120t t --=()212121216||||||45PA PB t t t t t t +=-=+-=，1212||||||5PA PB t t ⋅==6．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB⋅．解：（1）直线l 的参数方程为31,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为θρsin 6=.（2）把31,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得2(31)70t t +--=，127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ， 则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅=7．以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线l 的参数方程为2312x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. (1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB.解：(1)由θθρcos 4sin 2=，既θρθρcos 4sin 22= ∴曲线C 的直角坐标方程为x y 42=.(2)l 的参数方程为代入24y x =，整理的07842=-+t t ，所以122t t +=-，1274t t =-所以14374134)(132)3(212212122=+⨯=-+⨯=-+-=t t t t t t AB .【题型3】两类最值问题1．已知曲线C ：2219x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程； （2）设P 是曲线C 上任一点，求P 到直线l 的距离的最大值.解：（1）曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）， 直线l 的直角坐标方程为20x y -+= （2）设(3cos ,sin )P αα，P 到直线l的距离d =ϕ为锐角，且1tan 3ϕ=）当cos()1αϕ+=时，P 到直线l的距离的最大值max d =2．已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线13cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）求曲线1C 的普通方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．解：（1）曲线1C 的普通方程是：22194x y +=（2）曲线C 的普通方程是：2100x y +-= 设点(3cos ,2sin )M αα，由点到直线的距离公式得：)10dαϕ--其中34cos,sin55ϕϕ==αϕ∴-=时，mind=98(,)55M3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是2xy⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t为参数），以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为)4ρθπ=+. （1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为(2,0)，试求11PA PB+的值.解：（1）由)4ρθπ=+，展开化为2cos sin)4(cos sin)ρρθρθρθρθ=-=-，将cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入,得22440x y x y+-+-，所以，圆C的直角坐标方程是22440x y x y+-+-.（2）把直线l的参数方程2xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）代入圆的方程并整理，可得：240t+-=.设A，B两点对应的参数分别为12,t t，则121240t t t t+=-⋅=-<，所以12t t-==∴1212121111t tPA PB t t t t-+=+==⋅.4．已知曲线1C的参数方程是)(3siny2cosx为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD的顶点都在2C上，且,,,A B C D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD+++的取值范围.解：（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ点,,,A B C D的直角坐标为1,1)--（2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数2222224416t PA PB PC PD x y =+++=++23220sin [32,52]ϕ=+∈。
高考数学 第7讲 极坐标与参数方程知识点+典型例题+变式训练+基础训练+高考真题(精心整理,很实用)
第7讲 极坐标与参数方程【基础知识】一.极坐标知识点1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 二.参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()()x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。
（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
） 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2．曲线的参数方程（1）圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .（2）椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .（3）抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y pt x ⎩⎨⎧==. （4）经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos o o ααt y y t x x （t 为参数）.3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致. 规律方法指导：1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等. 2.把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。
高考极坐标与参数方程题型总结(附云南昆明统测题)
极坐标与参数方程知识点一、极坐标2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0). 二、参数方程1．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． (2)圆的参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x (θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)．抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．2．参数方程的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．与曲线C（以抛物线px y 22=为例）相交于A 、B 两点，将直线的标准参数方程带入曲线C 中，得到关于t 的一元二次方程，由参数t 的几何意义可得如下结论：(1)||||||21t t PB PA =⋅ (2) ||||||||21t t PB PA +=+ (3)21221214)(||||t t t t t t AB -+=-=极坐标与参数方程高考题考点一、求最值（取值范围） 1.【2012高考新课标】已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围.2.（2014云南省第二次统测）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 3,cos 3y x （α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()16πρθ+=．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 是曲线C 上的点，求M 到直线l 的距离的最大值．3．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．4．(2012洛阳示范高中联考高三理) (本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程．已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）. （Ⅰ）设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ； （Ⅱ）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.5 ．（云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点P （-1，0），其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系.设曲线C 的极坐标方程为26cos 50.ρρθ-+=（1）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围； （2）设()y x M ,为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.6.（云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理科数学）坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为5cos (3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）（1）求过椭圆的右焦点，且与直线42(3x tt y t =-⎧⎨=-⎩为参数）平行的直线l 的普通方程。
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)本文介绍了高考极坐标与参数方程大题题型，并给出了三个例子进行解答。
例1：在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为(x-1)^2+y^2=1，求圆C的极坐标方程。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=2cosθ。
例2：已知直线l的参数方程为x=-4t+a，y=3t-1，在直角坐标系xoy中，以O点为极轴建立极坐标系，设圆M的方程为ρ^2-6ρsinθ=-8.求圆M的直角坐标方程和实数a的值。
解析：将ρ和θ用x和y表示，得到x+(y-3)=1，然后将直线l的参数方程化为普通方程，得到3x+4y-3a+4=0.根据圆心到直线的距离和直线截圆所得弦长的关系，解得a=12或a=22/3.例3：已知曲线C的参数方程为x=2+5cosα，y=1+5sinα，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。
求曲线C的极坐标方程和直线l被曲线C截得的弦长。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=5.将直线l的极坐标方程化为普通方程，得到ρ(sinθ+cosθ)=1.由于曲线C是一个圆，因此直线l与曲线C的交点分别为A(7π/4.3+2√2)和B(3π/4.3-2√2)，弦AB的长度为4√2.1) 曲线C的参数方程为：x=9\cos^3\theta,\ y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为$x+y-1=0$。
2) 设$P(9\cos^3\alpha,3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离为$d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$。
为求$d$的最大值，我们可以将$d$表示为$10\cos(\alpha+\theta)+\frac{1}{\sqrt{2}}$的形式，其中$\theta$为一个与$\alpha$无关的常数，且$\tan\theta=\frac{1}{3}$。
极坐标与参数方程 题型总结归纳 附答案
《极坐标与参数方程》高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。
题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值： ---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ①套公式：利用点到线的距离公式①辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标的直角坐标方程为.这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边（①）由题意，可设点的直角坐标为 因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，xOy 1C ()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()4ρθπ+=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α.（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）当时）（13sin =+πα即当时，，此时的直角坐标为.（三）直线参数方程的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程()sin()2|3d παα==+-2()6k k Z παπ=+∈()d αP 31(,)22第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。
极坐标与参数方程高考经典题型归纳总结
1.弦长问题模型11.在平面直角坐标系中，圆C 的方程为()25622=++y x（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程为t t y t x (sin cos ⎩⎨⎧==αα为参数），l 与C 交于点B A ,， ①若43πα=，求AB ， ①若10=AB ，求l 的斜率。
2.已知直线t ty tx (32⎩⎨⎧=+=为参数）与曲线θθρcos 8sin 2=交于B A ,，求AB2.弦长问题模型2（只对直线过原点才可以）注意：若直线倾斜角为α且过原点，则该直线的直角坐标方程为αtan x y=，其参数方程为⎧==ααsin cos t y t x ，其极坐标方程为)(R ∈=ραθ3.在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .3.参数方程最值问题模型4.已知曲线θθθ(sin 2cos 1:1⎩⎨⎧+=+=y x C 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线:2C4πθ=()R ∈ρ（1）写出1C 的极坐标方程，2C 的一个参数方程；（2）设1C 与2C 交于N M ,两点，P 为1C 上一动点，求PMN ∆面积的最大值。
4.利用直线参数方程中t 的几何意义问题模型5.在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为:2,4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩直线l 与曲线C 分别交于,M N(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程; (2)若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值.5.综合问题例题1在平面直角坐标系xoy 中，曲线13:221=+y x C ，以坐标原点为极轴，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线a C 222)4sin(:2+=+πθρ（1）写出1C 的参数方程，2C 的普通方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C ，求PQ 的最小值以及此时P 点坐标。
高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总
高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总【知识汇编】参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=⎧⎨=⎩为参数； 抛物线22y px =的参数方程是22()2x pt t y pt⎧=⎨=⎩为参数 极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan yx θ=。
【题型1】参数方程和极坐标基本概念1．已知曲线C的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
1)求曲线c 的极坐标方程2)若直线l 的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=1，求直线l 被曲线c 截得的弦长。
解：(1)∵曲线c 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x (α为参数)∴曲线c 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ 即曲线c 的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ (2)∵l 的直角坐标方程为x+y-1=0∴圆心c 到直线l 的距离为d=22=2∴弦长为225-=23 .2．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝sin （θ＋4π），曲线C2的极坐标方程为ρsin θ＝a （a ＞0），射线θ＝ϕ，θ＝ϕ＋4π，θ＝ϕ－4π，θ＝2π＋ϕ与曲线C1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a 的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程； （2）求｜OA ｜·｜OC ｜＋｜OB ｜·｜OD ｜的值． 解：（1）1C ：2)1()1(22=-+-y x ， 2C ：a y =， 因为曲线1C 关于曲线2C 对称，1=a ，2C ：1=y （2）)4sin(22||πϕ+=OA ；ϕsin 22||=OC ，【题型2】直线参数方程几何意义的应用1.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1y x --=交于A ，B 两点.（1）求AB的长；（2）在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为⎛⎝，求点P 到线段AB 中点M 的距离.解：（1）直线l的参数方程为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，（t为参数），代入曲线C 的方程得24100t t +-=．设点A ，B 对应的参数分别为12t t ，，则124t t +=-，1210t t =-，所以12||||AB t t =-=（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为(22)-，， 所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为1222t t +=-，由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离||2PM =． 2．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
(完整)高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总(2),推荐文档
2 2 5 - 2 3⎩ ⎨ ⎩x 将⎩2【知识汇编】高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总参数方程：直线参数方程： ⎨⎧x = x 0 + t cos (x 0 , y 0 ) 为直线上的定点， t为直线上任一y = y + t sin (t 为参数) ⎩ 0点(x , y ) 到定点(x 0 , y 0 ) 的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程： ⎧x = a + r c os (为参数 (a,b)为圆心，r 为半径；椭 圆 x 2 y 2⎨y =b的参数方程是⎧x = a cos；+ =a2 b 21⎩ y = b sin(为参数) 双曲线 x 2 - y= 的参数方程是 ⎧x = a sec；a 2 b21⎨y = b tan (为参数)⎩抛物线 y 2 = 2 px 的参数方程是⎧x = 2 pt 2⎨y = 2 pt (t 为参数)极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点 P 的极坐标为(,) ，直角坐标为(x , y ) ，则 x =cos , y = sin,2 = x 2 + y 2 , tan= y 。
【题型 1】参数方程和极坐标基本概念⎪x = 2 + ⎨1.已知曲线 C 的参数方程为⎩⎪ y = 1 +5cos 5 sin(为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
1) 求曲线 c 的极坐标方程 2) 若直线l 的极坐标方程为(sinθ+cosθ)=1，求直线l 被曲线 c 截得的弦长。
⎪x = 2 + ⎨ 解：(1)∵曲线 c 的参数方程为⎪⎩y = 1 + cossin (α 为参数)∴曲线 c 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 ⎧x = cos⎨y = sin 代入并化简得： =4cosθ+2sinθ 即曲线 c 的极坐标方程为=4cosθ+2sinθ(2)∵ l 的直角坐标方程为 x+y-1=20 ∴圆心 c 到直线l 的距离为 d= = ∴弦长为 2 =2 .2. 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极5 52 14 4 ) )轴．已知曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ＝2 sin （θ＋ 4 ），曲线 C2 的极坐标方程为ρsinθ＝a （a ＞0），射线 θ＝，θ＝＋ 4 ，θ＝－ 4 ，θ＝ 2 ＋与曲线 C1 分 别交异于极点 O 的四点 A ，B ，C ，D ．（1）若曲线 C1 关于曲线 C2 对称，求 a 的值，并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程； （2）求｜OA ｜·｜OC ｜＋｜OB ｜·｜OD ｜的值．解 ：（1）C 1 ： (x - 1)2 + ( y - 1)2= 2 ，C 2 ： y = a ， 因为曲线C 1 关于曲线C 2 对称， a = 1 ， C 2 ： y = 12 sin(+（2）| OA |= 2 ) ；| OB |= 2 sin(+= 2 cos| OC |= 2 | OD |= 222 sin， sin(+ 3= 2 42 cos(+ 4| OA | ⋅ | OC | + | OB | ⋅ | OD |= 42【题型 2】直线参数方程几何意义的应用xOy⎧x = -2 + 1t 2 ⎨⎪ y = 2 + 3 t 1. 在平面直角坐标系 中，直线l 的参数方程为⎩线C ： ( y - 2)2 - x 2= 1交于 A ， B 两点.（1） 求AB的长；2（ t 为参数），直线l 与曲（2） 在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点 P 的极坐标为⎛ 2 2,34 ⎪⎫，⎝⎭求点 P 到线段 AB 中点M 的距离.x = -2 + ⎨1 t ，2 ⎪ y = 2 +3 t ，解：（1）直线 l 的参数方程为⎩2 （t 为参数）， 代入曲线 C 的方程得t 2+ 4t - 10 = 0 ．设点 A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2 ，则t 1 + t 2 = -4 ， t 1t 2 = -10 ， 所以| AB |=| t 1 - t 2 |= 2 ．（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点 P 的直角坐标为(-2，2) ，2 2 2 ) ⎧( ) t + t - 4t t 21 2 1 2 + y 标为(1, 2) M 2 l P 6 C M 3 xt 1 + t 2 = -2所以点 P 在直线 l 上，中点 M 对应参数为 2 ，由参数 t 的几何意义，所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离| PM |= 2 ．2. 已知直线l 经过点 P (1,1) ,倾斜角=，6（1） 写出直线l 的参数方程。
高考数学极坐标与参数方程题型归纳
高考数学极坐标与参数方程题型归纳在高考数学试题中，关于极坐标与参数方程的题型占据着重要的位置。
理解和掌握这部分知识点，不仅有助于应对考试，也对于深入理解数学的概念和应用有着重要意义。
下面我们来归纳总结一些常见的高考数学极坐标与参数方程题型。
极坐标题型1.求一点在极坐标系中的坐标给定一点在极坐标系中的表示形式，要求将其转换为直角坐标系中的坐标表示。
2.求极坐标下的函数表达式已知一函数在直角坐标系中的表达式，要求将其转换为极坐标下的函数表达式。
3.求曲线在极坐标系中的方程已知函数在极坐标系中的表达式，要求确定其对应的曲线在极坐标系下的方程式。
4.求曲线与极轴、极径的交点给定曲线在极坐标系下的方程，要求求解其与极轴或者极径的交点。
参数方程题型1.极坐标与参数方程的互相转化给定一个曲线的参数方程，要求将其转换为极坐标系的方程表示，或者反之。
2.参数方程求切线斜率已知曲线的参数方程，要求求解某点处的切线的斜率。
3.参数方程求曲线间的距离给定两条曲线的参数方程，要求确定其之间的距离。
4.参数方程求曲线的长度已知曲线的参数方程，要求确定其在一定区间内的弧长。
解题技巧1.理解极坐标与参数方程的基本概念在解题时，首先要对极坐标、参数方程的定义及基本性质有清晰的理解。
2.熟练运用坐标转换公式对于极坐标与直角坐标系之间的转换，可以根据公式进行相应的转化，这是解题的基本技巧。
3.掌握参数方程的运算方法参数方程的运算方法在解题时非常重要，要善于利用参数方程的特点进行计算。
4.多练习，熟悉题型通过多练习不同类型的题目，熟悉题型变形和解题技巧，提高解题效率。
高考数学中的极坐标与参数方程题型涵盖了数学的多个重要概念，需要认真理解和掌握。
通过不断的练习和积累，相信在高考数学中能够取得优异的成绩。
2023年新版极坐标及参数方程知识点及高考题汇编
1. 极坐标及参数方程知识点1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中旳任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ旳作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中旳坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系旳概念：在平面内取一种定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一种长度单位、一种角度单位(一般取弧度)及其正方向(一般取逆时针方向)，这样就建立了一种极坐标系。
3．点M 旳极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 旳距离||OM 叫做点M 旳极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边旳xOM ∠叫做点M 旳极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 旳极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表达同一种点。
极点O 旳坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ有关极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表达同一点。
假如规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内旳点可用唯一旳极坐标),(θρ表达；同步，极坐标),(θρ表达旳点也是唯一确定旳。
5．极坐标与直角坐标旳互化：6。
圆旳极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径旳圆旳极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径旳圆旳极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径旳圆旳极坐标方程是θρsin 2a =；7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表达以极点为起点旳一条射线；)R (∈=ραθ表达过极点旳一条直线.在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴旳直线l 旳极坐标方程是a =θρcos .8．参数方程旳概念：在平面直角坐标系中，假如曲线上任意一点旳坐标y x ,都是某个变数t 旳函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 旳每一种容许值，由这个方程所确定旳点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线旳参数方程，联络变数y x ,旳变数t 叫做参变数，简称参数。
高考极坐标与参数方程题型总结
高考极坐标与参数方程题型总结1.在极坐标系中，要将直线C1：x=-2和圆C2：(x-1)^2+(y-2)^2=1转化为极坐标方程。
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，将直线和圆的方程中的x和y用极坐标中的r和θ表示，然后化简即可得到它们的极坐标方程。
求出C2和C3的交点M、N的坐标，然后计算三角形OMN的面积即可求出C2MN的面积。
2.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x=tcosα，y=tsinα，其中α∈[0,π)。
将C1的参数方程转化为极坐标方程，即可得到C2和C3的极坐标方程。
求出C2和C1的交点A和C3和C1的交点B的极坐标，然后计算AB的极坐标差值的正弦值的最大值，即可得到AB的最大值。
3.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x=acos(t)，y=1+asin(t)，其中a>0.将C1的方程转化为极坐标方程，即可得到C2的极坐标方程。
设C3的极坐标方程为ρ=k，其中k>0.将C1和C2的极坐标方程代入C3的极坐标方程中，解出a即可。
1.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为r=cos(2θ)，参数方程为x=cos(2t)，y=sin(2t)。
2.求解：(1) C1的极坐标方程为r=cos(2θ)；(2) 射线x=λ与曲线C1分别交于M,N，求实数λ的最大值。
3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=cos(θ)，直线L的极坐标方程为θ=π/3.1) 将曲线C极坐标方程化为直角坐标方程得y=cos(x)，其中x=θ-π/2；2) 直线L与曲线C交于A,B两点，点P(0,1)过点A，求点B的坐标为(√3/2,-1/2)。
4.在极坐标系中，已知曲线C的极坐标方程为r=2cos(θ)。
1) 点P的轨迹的极坐标方程为r=2cos(θ)+2sin(θ)；2) 以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，直线L：y=√3x 与曲线C相交于E，求E的坐标为(1,√3)。