圆锥曲线大题十个大招——存在性问题
招式十：存在性问题
例1、设椭圆E: （a,b>0）过M （2
） ，
,1)两点，O 为坐标原点，
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且？若存在，
写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:
（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M （2） ，,1)两点,
所以解得所以椭圆E 的方程为 （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且,设
该圆的切线方程为解方程组得,即
,
则△=,即
,要使
,需使,即,所以,所以22
221x y a b
+=OA OB ⊥22
221x y a b
+=2222421611a b a b +=+=???????2
2118114
a b ?=????=??2284a b ?=?=?22
184x y +=OA OB ⊥y kx m =+2218
4x y y kx m
+==+?????22
2()8x kx m ++=222(12)4280k x kmx m +++-=2
2
2
2
2
2
164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>2
2
840k m -+>1222
12241228
12km x x k m x x k ?
+=-??+?-?=?+?
2222222
2
212121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++OA OB ⊥12120x x y y +=22222
28801212m m k k k
--+=++22
3880m k --=
又,所以,所以,即
,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,
,,所求的圆为,此时圆的切线都满足
,而当切线的斜率不存在时切线为
的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该
圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且.
因为, 所以
,
,
①当时
因为所以,
所以
, 22
3808m k -=≥22
840k m -+>22
238
m m ?>?≥?283m ≥m ≥m ≤y kx m =+r =
2
22
22
8381318
m m r m k ==
=-++
r =
22
83x y +=y kx m =+m ≥
m ≤x =22184x y +=(OA OB ⊥2283x y +=OA OB ⊥122
2
1224122812km x x k m x x k ?
+=-??+?-?=?+?
2222
2
21212122222
4288(84)
()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--?=+++||AB =====0k ≠||AB =
2
21
448k k +
+≥221101844k k <≤++2
232321[1]1213344
k k
<+≤++
所以
当且仅当时取”=”. ② 当时,.
③ 当AB 的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,
综上, |AB |
即:
2、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为
k 的直线l 与椭圆2
212
x y +=有两个不同的交点P 和
Q ．
（I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =22(12
x kx +=．
整理得221102k x ??
+++=
???
①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ??
?=-+=-> ???
，解得k
???-+ ? ???
，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12x x +=． ②
又1212()y y k x x +=++0)(01)(A B AB =-，，．所以OP OQ +与AB 共线等价于
46||233AB <≤22
k =±0k =||AB =
(||AB =||AB ≤≤||AB ∈
1212)x x y y +=+，
将②③代入上式，解得k =
．由（Ⅰ）知k <
或k >题意的常数k ．
3、设1F 、2F 分别是椭圆
2
2154
x y 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的
最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
解：易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===
，设P （x ，y ）
， 则1),1(),1(2
2
21-+=--?---=?y x y x y x PF PF ，35
1
1544222
+=--
+x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3；
当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k ，直线l 的方程为)5(-=x k y
由方程组22
22221(54)5012520054
(5)x y k x k x k y k x ?+
=?+-+-=??=-?
，得
依题意2
20(1680)0k k ?=->-
<<，得当5
5
55<
<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ，则4
5252,455022
2102221+=+=+=+k k x x x k k x x
.4
520)54525()5(2
2200+-=-+=-=∴k k
k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F
1204204
5251)4520(02
22
222-=-=+-+-
-?=?∴k k k k k k
k k k R
F ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|
4、椭圆G ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、B 2四点共
圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25（1）求此时椭圆G 的方程；（2）设斜率为k （k≠0）的
直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P （0，3
3
）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．
解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心
故该椭圆中,22c b a ==
即椭圆方程可为22222b y x =+，H （x,y ）为椭圆上一点，则
b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222，30<
++b b ，25350962
±-==++b b b 得（舍去），182||,3,322+-=≥b HN y b 有最大值时当，16501822
2
==+b b 得∴所求椭圆方程为116
3222=+y x
（2）设),(),,(),,(002211y x Q y x F y x E ，则由???????=+=+116
32116
322
2222
121y x y x 两式相减得0200=+ky x ……③
又直线PQ ⊥直线m ∴直线PQ 方程为331+=
x k y 将点Q （00,y x ）代入上式得，3
3100+-=x k y ④
由③④得Q （3
3
,332-k ），Q 点必在椭圆内部116322
020<+∴
y x ，
由此得
00294,0,2472
<<
<-∴≠<
k k k 或又故当)2
94
,0()0,294(?-∈k 时，E 、F 两点
关于点P 、Q 的直线对称
5、已知椭圆F 的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到 （I ）求，的值；
（II ）上是否存在点P ，使得当绕F 有成立？若存在，求出所有的P 的坐标与的方程；若不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为
，故
， ， 由 ，得 ，= （Ⅱ）C 上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。
由 （Ⅰ）知椭圆C 的方程为+=6. 设
(ⅰ)
假设上存在点P ，且有成立，则，
，整理得
22
22:1(x y C a b a b +=>>l C A B l O l a b C l OP OA OB =+l (),0,c F l O c y x ,0=--l 2
2
00c c
=
--2
2
2
=
c 1=c 3
3==
a c e 3=a 22c a
b -=2P l F OB OA OP +=2
2x 2
3y ).,(),,(2211y x B y x A )1(-=x k y l x l 的方程为轴时，设不垂直当C OP OA OB =+）点的坐标为（2121,y y x x P ++6)(3)(2221221=+++y y x x 664323221212
2222121=+++++y y x x y x y x 632,6322
2222
1
21=+=+y x y x C B A 上，即在、又
故 ①
将
②
于是 , =, ， 代入①解得，，此时 于是=， 即
因此， 当时，， ； 当时，， 。
（ⅱ）当垂直于轴时，由知，C 上不存在点P 使成立。
综上，C 上存在点使成立，此时的方程为. 6、已知直线经过椭圆 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆的右顶点
为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。
（I ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值；
03322121=++y y x x 并化简得代入,632)1(2
2
=+-=y x x k y 0636)32(2222=-+-+k x k x k 2221326k k x x +=+21x x 2
23263k
k +-22212
21324)2)(1(k k x x k y y +-=--=22
=k 2
3
21=
+x x )2(2121-+=+x x k y y 2
k
-
)2,23(k P -2-=k )2
2
,
23
(P 022=-+y x l 的方程为2=
k )2
2
,23(-P 022=--y x l 的方程为l x )0,2(=+OB OA OB OA OP +=)2
2
,23
(±
P OB OA OP +=l 022=-±y x 220x y -+=22
22:1(0)
x y C a b a b +=>>C B S C x ,AS BS 10
:3l x =
,M N C
（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，
确定点的个数，若不存在，说明理由
（I ）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为 （Ⅱ）直线AS 的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而 由得0 设则得，从而 即
又，由得 故
又 ，当且仅当，即时等号成立 时，线段的长度取最小值 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时， 此时的方程为
要使椭圆上存在点，使得的面积等于
，只须到直线
，所以在平C T TSB ?1
5T C (2,0),A -(0,1),2,1D a b ∴==C 2
214
x y +=k 0k >AS (2)y k x =+1016(
,)33
k M 22
(2)14
y k x x y =+???+=??2222
(14)16164k x k x k +++-=11(,),S x y 212164(2),14k x k --=+21
22814k x k -=+12414k y k =+222284(,),1414k k S k k -++(2,0)B 1(2)4103y x k x ?=--????=??103
13x y k ?
=????=-??
101(,)33N k ∴-161||33k MN k =+1611618
0,||233333
k k k MN k k >∴
=+≥?=16133k k =14k =14k ∴=
MN 8
3
MN 1
4
k =
BS 6420,(,),||55x y s BS +-=∴
=C T TSB ?15T BS T
行于且与
的直线上。 设直线'
:0l x
y t
，则由
解得或
7、已知双曲线22
2x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．
（I ）若动点M 满足1111F M F A F B FO =++（其中O 为坐标原点）
，求点M 的轨迹方程； （II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．
解法一：（I ）设()M x y ，，则1(2)F M x y =+，，111(2)F A x y =+，，
1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111F M F A F B FO =++得 121226x x x y y y +=++??
=+?，即1212
4x x x y y y +=-??+=?，
于是AB 的中点坐标为422x y -??
???
，． 当AB 不与x 轴垂直时，121224822
y
y y y x x x x -==----，即1212()8
y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22
222x y -=，两式相减得
12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．
将1212()8
y
y y x x x -=
--代入上式，化简得22(6)4x y --=． BS BS l |2|2
,42
t +=32t =-52t =-
当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．
所以点M 的轨迹方程是22
(6)4x y --=．
（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．
当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入2
2
2x y -=有2
2
2
2
(1)4(42)0k x k x k -+-+=．
则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421
k x x k +=-，
于是2
1212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--
22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++
22222222
(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++-- 22
222
2(12)2442(12)11
m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．
当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(2，(2，，
此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．
故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．
8、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭
圆22219
x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C 的方程；
(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
解： (1)设圆心坐标为(m ，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x -m)2+(y -n)2=8已知该圆与直线y=x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
2
n m -=22 即n m -=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 ，m 2+n 2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得??
?=-=22
n m ，
故圆的方程为(x+2)2+(y -2)2=8
(2)a =5，∴a 2=25，则椭圆的方程为
22125
9
x
y
其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。
要探求是否存在异于原点的点Q ，使得该点到右焦点F 的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F 为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y 2=8与(1)所求的圆的交点数。 通过联立两圆的方程解得x=
，y= 即存在异于原点的点Q(
，)，使得该点到右焦点F 的距离等于的长。
9、设椭圆E: （a ，b>0）过M （2） ，，1)两点，O 为坐标原点，
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且？若存在，
925-OF OF 54
5
12545
12
OF 22
2
21x y a b +=OA OB ⊥
写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: （a ，b>0）过M （2
） ，
,1)两点,
所以解得所以椭圆E 的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且,设
该圆的切线方程为解方程组得,即
,
则△=,即
, 要使,需使,即,所以, 所以又, 所以,所以,
22
221x y a b +=2222421611a b a b +=+=???????2211
8
11
4
a b ?=????=??2284a b ?=?=?22184x y +=OA OB ⊥y kx m =+2218
4x y y kx m
+==+?????22
2()8x kx m ++=222(12)4280k x kmx m +++-=2
2
2
2
2
2
164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>2
2
840k m -+>122
2
12241228
12km x x k m x x k ?
+=-??+?-?=?+?
2222222
2
212121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k
--=++=+++=-+=+++OA OB ⊥12120x x y y +=22222
28801212m m k k k --+=++22
3880m k --=22
38
08
m k -=
≥22840k m -+>22238
m m ?>?≥?2
83m ≥
即或, 因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为，
，， 所求的圆为，此时圆的切线都满足
，而当切线的斜率不存在时切线为
与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且.
m ≥
m
≤y kx m =
+r =
2
22
2
2
8381318
m m r m k
===-++
r =22
83x y +=
y kx m =+m ≥m ≤x =22184x y +=(OA OB ⊥228
3
x y +=
OA OB ⊥
圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标（x0, y0） （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 22 例1：已知椭圆C : x+ y=1（a b0）的离心率为3，过右焦点F的直线l与C相交于A, B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（1）求a, b的值 uuur uuur uuur （2）C上是否存在点P，使得当l绕F旋转到某一位置时，有 OP = OA + OB成立？若存 在，求出所有的P的坐标和l的方程，若不存在，说明理由 解：（1）e = c = 3a:b:c = 3: 2 :1 a3
则a = 3c ,b = 2c ，依题意可得： F (c ,0) ，当l 的斜率为1时 l :y = x - c x - y - c = 0 d O - l = = 解得： c = 1 22 a = 3, b = 2 椭圆方程为： +=1 32 (2)设P ( x 0 , y 0 ) ， A (x 1, y 1),B (x 2, y 2) 当l 斜率存在时，设l :y = k (x -1) 联立直线与椭圆方程： y =k (x - 1) 消去y 可得： 2x 2+3y 2=6 (3k 2 +2)x 2 -6k 2x +3k 2 -6=0 uuur uuur uuur Q OP =OA +OB x 0 =x 1 +x 2 y 0 =y 1+y 2 x 1+x 2= 62k y 1+ y 2 =k (x 1+x 2)-2k = 6k 3 3k 2+2 -2k 4k 3k 2+ 2 4k P 3k 62k +2,-3k 42k +2 因为P 在椭圆上 23k 2+2+3-3k 2+2=6 72k 4 +48k 2 =6(3k 2 + 2)2 24k 2 (3k 2 +2)=6(3k 2 +2)2 24k 2= 6(3k 2+ 2) k = 2 当 k = 2 时， l : y =2 ( x -1) ， P , - 32 2,- 2 当k =- 2时，l : y =- 2(x -1)，P 3, 2 32 2, 2 当斜率不存在时，可知l :x =1 ，A 1,2 3 l :x =1 A 1, 3 ,B 1,-2 3 3 ，则P (2,0)不在椭圆上 2x 2+3k 2(x -1)2 = 6 ，整理可得：
圆锥曲线常见题型与答案
圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意： （1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况； （3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=； 例题： （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ） A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）； （2） 方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支） （3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） （4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值围为____ （答：11(3,)(,2)22---U ）； （5）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）； （6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为 _______（答：226x y -=） 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理； 圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±； ③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为 2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 p e c b a ,,,,
圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，
圆锥曲线大题(有答案)
三、解答题 1.( 2013年上海市春季高考数学试卷 (含答案))本题共有2个小题，第1小题满分 已知椭圆C 的两个焦点分别为 只(1,0)、F 2(1, 0),短轴的两个端点分别为 B (1) 若RBB2为等边三角形,求椭圆c 的方程； ujir (2) 若椭圆C 的短轴长为2 ,过点F 2的直线I 与椭圆C 相交于P 、Q 两点,且F 1P 2 2 【答案】［解］(1)设椭圆C 的方程为x 2 y 2 1(a b 0). a b a 2b 2 4 2 1 根据题意知。… ，解得a 2 4, b 2 ' a 2 b 2 1 3 3 2 2 故椭圆C 的方程为X y 1. 4 1 3 3 2 ⑵ 容易求得椭圆C 的方程为X y 2 1. 2 当直线I 的斜率不存在时，其方程为x 1,不符合题意; 当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y k(x 1). 设 P(X 1，yJ ，Q(X 2, y 2),则 unr uuir uir uur 因为F 1P F 1Q ,所以F 1P FQ 0,即 4分,第2小题满分9分. B 2 uur FQ ,求直线I 的方程? y k(x 由x 2 2 — y 2 1)x 2 4k 2x 2(k 2 1) 0. x X 2 4k 2 2k 2严 2(k 2 2k 1) uir uuir (X 1 1,yJ, FQ (X 2 1小) 1) 得(2k 2 1
解得k 2 1 ,即k 7 所以，a 2. 又由已知，c 1, 所以椭圆C 的离心率e C 1 2 a V 2 2 2 X 2 由 知椭圆C 的方程为—y 1. 设点Q 的坐标为(x,y). ⑵ 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx 2 . 因为M,N 在直线I 上，可设点M,N 的坐标分别为(石，心 2),(x 2,kx 2 2),则 2 2 (k 1)x 1x 2 (k 2 1)(x 1 x 2) k 1 7 k 2 1 2 k 2 1 0, 故直线l 的方程为x 7y 1 0 或 x 7y 2. (2013年高考四川卷(理)) 2 已知椭圆 C : x 2 a 2 y 2 1,(a b 0)的两个焦点分别为 R( b 1,0),F 2(1,0),且椭圆 (I )求椭圆 C 的离心率； (n )设过点 A(0,2)的直线 I 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且 1 ,2 2 | AQ|2 | AM | 2 ,求点 Q 的轨迹方程? |AN |2 【答案】解:2a PF 1 PF 2 (1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于 0,1 , 0, 1两点，此时Q 点坐标为 0,2
高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)
专题0８解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点．过点且斜率不为０的直线与椭圆交于两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)证明：在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标． 【答案】（1)(２） 【解析】试题分析：(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程；(Ⅱ）设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为,可得 ,由定值可得需满足，解得可得定点坐标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. （Ⅱ）证明: 由题意设直线的方程为, 由消去ｙ整理得, 设,,
要使其为定值，需满足, 解得 ． 故定点的坐标为 ． 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 (１)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意． 2．【四川省成都市第七中学201７－２0１8学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2 :2C y px =（0,p p >为常数)交于不同的两点,M N ,当1 2 k =时，弦MN 的长为15（1)求抛物线C 的标准方程; （2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ,且直线MQ 经过点()1,1B -,判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标;若不过定点,请说明理由． 【答案】(1）24y x =；(2)直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由(1）可设()()() 2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ,则1 2 MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=; 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++= ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上1 1 t t ?= (1）; 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将（1)代入()121221t t t t ?=-+- (2) 将(2)代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．
圆锥曲线大题专题训练答案和题目
圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．
课时达标检测(四十九) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 Word版含解析
课时达标检测（四十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在 性问题 [一般难度题——全员必做] 1．(2018·郑州质检)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程； (2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点． 解：(1)由题意得，点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物 线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p 2 ＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y . (2)设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)，联立????? x 2＝4y ， y ＝kx －2，消去y 整理得x 2－4kx ＋8＝0， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8. k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2 ＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)． 即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1(x 1－x 2)4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24 ， ∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24 x ＋2，即直线AC 恒过定点(0,2)． 2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆E ：x 24 ＋y 2＝1上的非坐标轴上的点，且4k OA ·k OB ＋1＝0(k OA ，k OB 分别为直线OA ，OB 的斜率)． (1)证明：x 21＋x 22，y 21＋y 22均为定值； (2)判断△OAB 的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)证明：依题意，x 1，x 2，y 1，y 2均不为0， 则由4k OA ·k OB ＋1＝0，得4y 1y 2x 1x 2 ＋1＝0， 化简得y 2＝－x 1x 24y 1 ，
圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有!)
圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两 个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；
(完整版)高考圆锥曲线题型归类总结(最新整理)
）直接法：直接利用条件建立之间的关系； 和直线的距离之和等于 ），端点向圆作两条切线
的距离比它到直线的距离小于 ：和⊙：都外切，则动圆圆心 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨 是抛物线上任一点，定点为,分所成的比为 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 过抛物线的焦点作直线交抛物线于
?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0； ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；?120K K +=12K K = ④“共线问题” （如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； AQ QB λ= ?（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；?六、化简与计算；七、细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而
新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案
新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案
全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理）） 过点2,0) 引直线l 与曲线2 1y x = +相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜 率 等 于 （ ） A ．y E B B C CD =++3 B ．3 C ．3± D ．32 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 双曲线 2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ） A ．25 B ．4 5 C 25 D 453 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版）） 已知中心在原 点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程 是 （ ） A ．22 145 x -= B ．22 145 x y -= C ． 22 125 x y -= D ． 22 125 x -=
4 ．（2013年高考新课标1（理）） 已知双曲线C : 22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52 ,则C 的渐近 线 方 程为 （ ） A ．14y x =± B ．13 y x =± C ． 12 y x =± D ．y x =± 5 ．（2013年高考湖北卷（理）） 已知04π θ<<,则双曲线 22 122:1 cos sin x y C θθ -=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦 距相等 D ．离心率相等 6 ．（2013年高考四川卷（理）） 抛物线2 4y x =的焦点到双曲线 2 21 3 y x -=的渐近线的距 离 是 （ ） A ．12 B ．3 2 C ．1 D 3
圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题 、基础知识 1在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数） 存在，并用代数形式进行表示。 再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素， 则假设成 立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1 ）点：坐标 x 0,y 0 （2 ）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3 ）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2 ）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素， 则可将核心变量参与到条件中， 列出关于该变量与辅助变 量 的方程（组），运用方程思想求解。 、典型例题: 于A,B 两点，当I 的斜率为1时，坐标原点 0到I 的距离为 在，求出所有的 P 的坐标和I 的方程，若不存在，说明理由 解：（1） e C 2 3 a : b : c '3^2 :1 a 3 2 2 例1 :已知椭圆C :笃每 1 a a b 0的离心率为 过右焦点F 的直线I 与C 相交 （1 ）求a,b 的值 （2） C 上是否存在点P ，使得当I 绕F 旋转到某一位置时，有 0P 成立？若存
则a , 3c, b ,2c，依题意可得：F c,0，当I的斜率为1时 d o 解得: 、、3,b 椭圆方程为: X2 2 y 2 (2)设P x o,y o ,X i,y i ,B X 2,y2 当l斜率存在时，设 X o X1 X2 联立直线与椭圆方程: 3k2 2 x2 6k2x X 1 6k2 X 23k2 2 6k2 3k2 2' 6k2 3k2 2 4 2 72 k 48k y o y1 y 2 2 2x 3y 3k2 y1 Y2 k y2 消去 6 X-| x2 y 可得：2x2 3k2 2k 6k3 3k2 2k 2 1 6，整理可得: 4k 3k2 2 4k 3k2 2 因为P在椭圆上 2 6 3k 2 2 2 24 k 3k 3k2 24k2 6 3k2 .2 .2 时，I 3 V2 2，2 当斜率不存在时，可知4,B 3 2,0不在椭圆上 1, 3
圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案
1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。
圆锥曲线历年高考题附答案解析
数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ．43 B ．75 C ．85 D ．3 4．（2006高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. C. 2 D. 4 5.（2006卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006卷）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设
圆锥曲线三大难点解读
圆锥曲线三大难点解读 山东 王中华 李燕 2006年高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度．本文对各地考题归类整理，并探讨这三大难点的求解策略． 难点一、最值与定值（定点）问题 圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解． 定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆2222:1(0) x y Q a b a b +=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）在Q 的方程中，令2 1cos sin a θθ=++， 2sin 0b θθπ? ?=< ?2??≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远，此时，设l 与 x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时，ABD △的面积最大？ 分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为2 2 2 2 2 0b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2 a 、 2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m 的斜率是否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ， ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为121 2 S y y =-， 当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大． 点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高． 注：与最值相关的试题，还有江西卷理科第9题、北京卷理科第19题、全国卷I 理科第20题、文科第21题、山东卷文科第21题等． 例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>u u u r u u u r ．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM u u u u r ·AB u u u r 为定值；
圆锥曲线大题题型归纳3
圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +2 64 y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少？ 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 总论：常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K 参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 （1）中点弦问题 （2）焦点三角形问题 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率) 4、弦长公式法 弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2 0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·| |12a k △ ·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来
圆锥曲线解答题中存在性问题 (2)
圆锥曲线解答题中存在性问题 121,1)1.3 123,1.2 1XOY B A O P AP BP P AP BP x M N P F x -=??1.在平面直角坐标系中，点与点（关于原点对称，是动点， 且直线与的斜率之积等于-（）求动点的轨迹方程； （）设直线和分别与直线交于点。问：是否存在点， 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存 在，说明理由。 2.已知椭圆E 经过点A （2,3），对称轴为坐标轴，焦点F ，在轴上，离 心率e=（）求1223E F AF E ∠椭圆的方程； （）求的角平分线所在直线l 的方程； （）在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出； 若不存在，说明理由。 3.已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2,3），且点F （2,0）为其右 焦点。 （1）求椭圆C 的方程； （2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线 OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。 1122112222 12121222114.:2. 12,11A B A B B F B F x y C A A B B F F a b A B S S C P A B OP AP PB ===?=如图，椭圆+=1的顶点为，，，，焦点为，，（）求椭圆的方程； （）设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于点，与椭圆相交于两点的直线，，是否存在上述直线，使成立？若存在， 求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
2 15.2 312 . x C PA PB PM m -?=已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点（，）.过点P （2,1）的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M.(1)求椭圆C 的方程； （2）求直线l 的方程以及点M 的坐标； （3）是否存在过点P 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点A,B ，满足 ？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由 226.:36,20. 1. 220.;M x y N P M Q NP G P MP NQ GQ NP G C l C A B O OS OA OB l OASB l ++==?==+已知圆（点），为圆上的动点，在上，在M 上，且满足，（）求点轨迹方程（）过点（，）作直线与曲线交于、两点，为原点，且是否存在直线，使四边形对角线相等?若存在，求出直线若不存在，请说明理由. 7.如图，A 、B 、22 221(0),2. 12x y a b A BC a b O AC BC BC AC C E E P Q PC QC x PQ +=>>⊥==C 是椭圆E ：上的三点，其中点的坐标为（），过椭圆的中心，且（）求点的坐标及椭圆的方程； （）若椭圆上存在两点、，使得直线与直线关于直线的斜率.