§5.2 利用系统函数求响应
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第五章_傅里叶变换的应用1
11
系统响应频域分析小结
优点：可以直观地体现信号通过系统后信号频谱的
改变，解释激励与响应时域波形的差异，物理概念清 楚。
不足：
（1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应 仍需按时域方法求解。 （2）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。
解决方法：采用拉普拉斯变换
系统零状态响应频域分析方法与卷积积分法的关系： 傅里叶变换的时域卷积定理是联系的桥梁。
r (t )
利用冲激信号作用于系统可产生特定波形r(t)。
E
(t )
E 2
E 2
H ( j )
0
r (t )
2 4 6
4
2
t
0
w
E
E 2
实际用窄 矩形脉冲
R( j ) H ( j )
0
4
2
t
20
§5.4 理想低通滤波器
一、理想低通滤波器的频域特性和冲激响应
例：
v1 (t )
L
C
R
v2 (t )
L R C
h(t ) ?
10
v1 (t )
E
v2 (t )
E
0
t 输入信号波形
V1 ( j)
0 t 输出信号的失真波形 V2 ( j)
频谱发生改变
0
0
输入信号的频谱的高频分量比起低频分量受到较严重的衰减
输出信号的波形发生了失真，主要表现在上升和下降特性上。 利用频域的系统函数 H ( j ) 物理概念比较清楚，但求解不 如拉氏变换法简便。一般使用s域系统函数求响应。
6
第五章大连理工大学考研信号与系统课件
Kk
lim (s sk )N (s) lim
ssk D(s)
ssk
d ds
(s
sk
)N (s)
d ds
D(s)
N (s) D ( s)
ssk
展开式中每个部分分式对应一个指数函数，即
Kk s sk
K k e skt ε(t)
n
f (t) 1{F (s)} 1{
Kk
}
n
1{
Kk
}
k 1 s sk
拉普拉斯变换分析法的优点：
1、可一次求出全响应； 2、可将微积分运算转换成乘除法运算； 3、可将复杂的函数转换为简单的初等函数； 4、可将卷积运算转换为乘积运算。
同时可以引出系统的一个重要概念：系统函数。 它是描述系统特性的重要概念
§5.2 拉普拉斯变换
若信号本身不满足绝对可积条件，其付立叶变换就不
§5.3 拉普拉斯变换的收敛域
信号 f (t) 与收敛因子 et 相乘是否收敛，
取决于两个因素：
1、信号本身的收敛性； 2、收敛因子中的取值，即复变量 s 实部的取值。
我们把使 f (t)et 满足绝对可积的 的取值
范围叫做信号 f (t)的拉普拉斯变换的收敛域。
只有在此收敛域内取值时，信号的拉氏变换 才存在，即F(s)才有意义，否则信号的拉氏变换 不存在。
存在。为使信号收敛，用一叫做收敛因子的指数函数
e t去乘 f (t)
f (t)
f (t)e t
1
1
t
t
0
0
f
(t )
1 e
t
t 0 t0
f (t)e t
e t
e
t
e
利用系统函数求响应.ppt
s j jC
显然，二种方法结果不相等。因此,在求解电路 响应时需要针对具体问题考虑它的确切含义。
二、利H用(j) Fh(求t) 系统对非周期信号的响应
下图所示RC电路，在输入端1 1加入矩形脉冲v1t ， 利用傅里叶分析方法求2 2端电压v2 t 。
1
R
v1 (t )
C
2 分析：
v2(t) R j H j E j
§ 5.2 利用系统函数求响应
• 主要内容
•系统的频响特性与H(s)的关系
•利用 H(j) F求h(系t)统对非周期信号的响应
• 重点：利用H(j) F求h(系t)统对非周期信号的响
应
一、系统的频响特性与H(s)的关系
当H (s)在虚轴上及右半平面无极点,这时有：
Fht H j H s s j
1
vC 0 0
2
H j ht Fet
v1(t) E
H s
s j
O
t
rt F 1R j
解：
1
H
s
R
sC 1
1
RC s 1
令 1
RC
sj
H
j
j
sC
RC
激励信号v1 t 的傅里叶变换式为
V1
j
E
Sa
2
e
j 2
E
j
1 e j
响应v2 t的傅式变换
V2 j H j V1 j
j
E
Sa
e
j
2
2
V2 j e j2
求v2(t)
v2
j
j
E
j
1 e j
EБайду номын сангаас
显然，二种方法结果不相等。因此,在求解电路 响应时需要针对具体问题考虑它的确切含义。
二、利H用(j) Fh(求t) 系统对非周期信号的响应
下图所示RC电路，在输入端1 1加入矩形脉冲v1t ， 利用傅里叶分析方法求2 2端电压v2 t 。
1
R
v1 (t )
C
2 分析：
v2(t) R j H j E j
§ 5.2 利用系统函数求响应
• 主要内容
•系统的频响特性与H(s)的关系
•利用 H(j) F求h(系t)统对非周期信号的响应
• 重点：利用H(j) F求h(系t)统对非周期信号的响
应
一、系统的频响特性与H(s)的关系
当H (s)在虚轴上及右半平面无极点,这时有：
Fht H j H s s j
1
vC 0 0
2
H j ht Fet
v1(t) E
H s
s j
O
t
rt F 1R j
解：
1
H
s
R
sC 1
1
RC s 1
令 1
RC
sj
H
j
j
sC
RC
激励信号v1 t 的傅里叶变换式为
V1
j
E
Sa
2
e
j 2
E
j
1 e j
响应v2 t的傅式变换
V2 j H j V1 j
j
E
Sa
e
j
2
2
V2 j e j2
求v2(t)
v2
j
j
E
j
1 e j
EБайду номын сангаас
信号与系统(郑君里)复习要点
信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章 信号与系统 1、信号的分类①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性）②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：)0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00a t t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δy (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x (0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t ) + f 2(t ) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性)T[{0},{a x 1(0) +b x 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f (t - t d )] = y f (t - t d)(时不变性质)直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
信号与系统讲义第五章1引言及无失真传输条件
无失真：时域波形传输不变
e(t )
e(t)
线性网络
t
H ( j)
R( j) KE( j)e jt0 R( j) E( j)H ( j)
r (t )
t t0
r(t) K e(t t0 )
H ( j) R( j) Ke jt0 E( j)
频域无失真条件： H ( j) Ke jt0
H( j) K () t0
r(t) e(t)*h(t)
R( j) E( j)H( j) H ( j) LT[h(t)] H ( j) R( j)
E( j)
对稳定系统
H (s)
H ( j) H (s) s j
系统函数还可以通过对微分方程取傅氏变换而得到
求矩形脉冲通过低通滤波器的响应
v1 (t )
E
t
0
输入信号波形
R
傅里叶变换在现代通信系统中的应用非常多，典 型的应用就是——滤波、调制与解调、抽样
频域系统函数——系统的频率响应函数H(jw)
稳定系统：s域系统函数→频域系统函数
频域系统函数H(jw)描述了系统对信号的各频率
成份的加权
傅氏变换将信号分解为无穷多项ejwt信号的叠加
S域系统函数H(s)描述系统对复指数信号est的加
5.3 无失真传输
信号通过系统传输，由于系统对信号中各频率分 量幅度产生不同程度的衰减，使得响应中各频率 分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真。
同样地，由于系统对输入信号各频率分量产生的 相移，信号也会出现失真，称为相位失真
频域由相于移系→统时对域信延号时各频率分量产生的相移不与频
输 输
入 出率成yx正((t相t))比对，ss位iinn使((置响11t产t )应生的s1变)in各(化s频i2，nt率()而分2t引量起在2的) 时失间真轴上的
信号与系统§5.2 利用系统函数求响应
§5.2 利用系统函数H(j)求响应
•系统的频响特性与H(s)的关系 •正弦信号激励下的稳态响的关系
当H ( s)在 虚 轴 上 及 右 半 平 面 无极 点 ：
Fht Hj Hs s j
当H ( s)在 虚 轴 上 有 极 点 不 同 。 例：
当输入为 t时，求出v(t)即h(t)
1t
1
i t
h(t) v(t) i(t)d t u(t)
C
C
H(s) Lh(t) 1
s
H(j ) Fh(t) 1
j
C vt
二．正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为sin0t,系统的频率响应为H() H() ej()，
总结
系统可以看作是一个信号处处理器：
H j 是一个加权函数对，信号各频率分量进行 加权。
， 信 号 的 幅 度 由 H (j ) 加 权 ，信号的相位由 修正。
对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信
号分解，求响应再叠加的过程。
则系统的稳态响应为
H(0 ) sin0t (0 )
正 弦 信 号sin0t作 为 激 励 的 稳 态 响 应 为与 激 励 同
频 率 的 信 号 ， 幅 度 由H j0 加 权 ， 相 移 0 。 H j 代 表 了 系 统 对 信 号 的 处理 效 果 。
三．非周期信号的响应
• 傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差 异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理 概念清楚； •用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易； •引出H(jω)重要意义在于研究信号传输的基本特性， 简历滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义， 这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中 具有十分重要的指导意义。
•系统的频响特性与H(s)的关系 •正弦信号激励下的稳态响的关系
当H ( s)在 虚 轴 上 及 右 半 平 面 无极 点 ：
Fht Hj Hs s j
当H ( s)在 虚 轴 上 有 极 点 不 同 。 例：
当输入为 t时，求出v(t)即h(t)
1t
1
i t
h(t) v(t) i(t)d t u(t)
C
C
H(s) Lh(t) 1
s
H(j ) Fh(t) 1
j
C vt
二．正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为sin0t,系统的频率响应为H() H() ej()，
总结
系统可以看作是一个信号处处理器：
H j 是一个加权函数对，信号各频率分量进行 加权。
， 信 号 的 幅 度 由 H (j ) 加 权 ，信号的相位由 修正。
对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信
号分解，求响应再叠加的过程。
则系统的稳态响应为
H(0 ) sin0t (0 )
正 弦 信 号sin0t作 为 激 励 的 稳 态 响 应 为与 激 励 同
频 率 的 信 号 ， 幅 度 由H j0 加 权 ， 相 移 0 。 H j 代 表 了 系 统 对 信 号 的 处理 效 果 。
三．非周期信号的响应
• 傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差 异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理 概念清楚； •用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易； •引出H(jω)重要意义在于研究信号传输的基本特性， 简历滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义， 这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中 具有十分重要的指导意义。
第5章傅里叶变换应用于通信系统滤波调制与抽样课件
xlabel('角频率w(rad/s)'); ylabel('相位(度)');
程序运行结果如图所示。
• 用MATLAB画出的幅频和相频特性图
截止频率
当
rad/s时
当
rad/s时
所以，系统响应为
• 用MATLAB画出的输入和输出波形
例
某线性非时变系统的幅频响应|H(j)|和相频响应()如图
所示。若激励
h(t)
lim c
π c
sin[c (t t0 )] c (t t0 )
lim c
π c
Sa[c (t
t0 )]
(t
t0)
欲使h(t)不失真，理想低通滤波器的带宽必须为无
！ 限宽，即应满足无失真传输的条件。理想低通滤
波器为一非因果系统，实际中是不可实现的，但
在分析和设计滤波器时仍具有理论指导意义。
理想低通滤波器的频率响应为
|H(jω)|
() t0 K
H
(
j)
Ke
jt0
,
c
t
0,
c
c 0
c
滤波器的 截止频率
通带 c 阻带 c
通带 阻带
使信号通过的频率范围。 阻止信号通过的频率范围。
1. 理想低通滤波器的冲激响应为
h(t) F 1[H ( j)] 1 H ( j)e jtd 1 e e d c jt0 jt
例
右图是常见的用RLC元件 构成的某系统电路。设
，
，
试用MATLAB的freqs()函数 求解该系统频率响应并绘图。 RLC二阶低通滤波器电路图
解 根据原理图，容易写出系统的频率响应为：
连续时间系统的频域分析
d
ln(e2 )
12
d
1
2
2
d
1
1 2
1
d
lim
B
tg 1
B B
lim 2(B tg1B) 2 lim (B )
B
B
2
发散的，物 理不可实现
5.7 希尔伯特变换*（Hilbert）
物理可实现系统的实质是具有因果性 因果系统的实部和虚部之间相互限制 因果系统的模和相角之间相互限制
e
j
2
arctg (
2
)
2 2
V2 ( j )
j
E (1 e j )
j
E (1 e j ) E (1 e j )
j
j
v2 (t) E(1 et )u(t) E(1 e(t ) )u(t )
v2 (t )
t
5.3 周期信号激励下的系统响应*
一、正弦周期信号激励下的系统响应 正弦周期激励信号的傅氏变换
ln H ( j) ln H ( j) j( j)
ln H ( j ) 1 () d
( j ) 1
ln H ( j) d
因果系统的频谱模被已知的相位唯一地确 定,反过来也一样.
5.8 调制与解调
调制：
g(t) 相乘 g(t) cos0t f (t) g(t) cos0t
R( j) [ () 1 ](1 e j )e j t0 j
r(t) 1 R( j)e j t d 2
1
Si[(t
t0
)
Si[(t
t0
)]
Y=处,为Si(y)第一个峰起点, Si()=1.8514.
r(t)
|max
郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第5章 傅里叶变换应用于通信系统——
3 2
c
j)2 (
3 2
c
)
2
| H ( j) | e
j ( )
| H ( j) |
1
[1
(
c
)
2
]2
(
c
)
2
(
)
arctan[
1
c
(c
)
2
]
h(t) F 1[H ( j)]
2 c 3
ct
e 2 sin(
3 2
ct
)
波形及频谱图：
6 / 26
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衰减不能过于迅速；佩利-维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。
五、希尔伯特变换研究系统函数的约束条件
7 / 26
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希尔伯特变换对
R()
1
X
()
d
X
(
)
1
R( )
d
该变换对说明具有因果性的系统函数 H ( j) 的实部 R() 被已知的虚部 X () 唯一
轴上的相对位置产生变化；
（3）线性失真：幅度、相位变化，不产生新的频率成分；
（4）非线性失真：产生新的频率成分。
2．无失真传输条件
（1）无失真传输
系统的无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只是大小与出现的时间不同，而无波
形 上 的 变 化 。 设 激 励 信 号 为 e(t) ， 响 应 信 号 为 r(t) ， 则 无 失 真 传 输 的 条 件 是 r(t) Ke(t t0) ，K 为常数， t0 为滞后时间，如图 5-1 所示。
第五章拉氏变换
第五章 傅里叶变换应用于通信系统 -滤波、调制与抽样
第五章 傅里叶变换的应用
-滤波、调制与抽样
5.1 频域系统函数 5.2 利用频域系统函数求响应 5.3 无失真传输 5.4 理想低通滤波器 5.5 系统的物理可实现性、佩利-维纳准
则 5.7 调制与解调 5.9 从抽样信号恢复连续时间信号
2
滤波
3.信号无失真传输条件（对系统的要求） 1、从频域看系统无失真传输条件
r(t) Ke(t t0)
两边取傅里叶变换 R( j ) KE( j )e j t0
R( j) H( j)E( j)
H ( j ) Ke j t0
H( j) K
( ) t0
即要求系统的幅频响应特性为常数K；相频响应为一通过原点的直线(t0 )。
V2
j
2
E
sin
w
2
2 2
2
w
2
arctg
w a
w
2
arctg
w a
m
n 0, 1, 2,L
4n w 2(2n 1)
2(2n 1) w 2(2n 2)
V1( j)
V2( j)
0
w
0
w
V1( j)
E Sa( )
2
2E sin
V2 ( j) RC
2
1 R2C 2
1t
1 (t )
E 1 e RC u(t) E 1 e RC u(t )
u2 (t) E
u1 (t )
E
0
t
输出信号的失真波形
0
t
输入信号波形
输出信号的波形与输入信号相比产生了失真， 输出波形上升和下降特性：
第五章 傅里叶变换的应用
-滤波、调制与抽样
5.1 频域系统函数 5.2 利用频域系统函数求响应 5.3 无失真传输 5.4 理想低通滤波器 5.5 系统的物理可实现性、佩利-维纳准
则 5.7 调制与解调 5.9 从抽样信号恢复连续时间信号
2
滤波
3.信号无失真传输条件（对系统的要求） 1、从频域看系统无失真传输条件
r(t) Ke(t t0)
两边取傅里叶变换 R( j ) KE( j )e j t0
R( j) H( j)E( j)
H ( j ) Ke j t0
H( j) K
( ) t0
即要求系统的幅频响应特性为常数K；相频响应为一通过原点的直线(t0 )。
V2
j
2
E
sin
w
2
2 2
2
w
2
arctg
w a
w
2
arctg
w a
m
n 0, 1, 2,L
4n w 2(2n 1)
2(2n 1) w 2(2n 2)
V1( j)
V2( j)
0
w
0
w
V1( j)
E Sa( )
2
2E sin
V2 ( j) RC
2
1 R2C 2
1t
1 (t )
E 1 e RC u(t) E 1 e RC u(t )
u2 (t) E
u1 (t )
E
0
t
输出信号的失真波形
0
t
输入信号波形
输出信号的波形与输入信号相比产生了失真， 输出波形上升和下降特性：
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第
三．非周期信号的响应
傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差 系统对信号的加权作用改变了信号的频谱， 异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理 概念清楚。 概念清楚。 用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易。 用傅里叶分析法求解过程烦琐， 用傅里叶分析法求解过程烦琐 不如拉氏变换容易。 引出 引出H(jω)重要意义在于研究信号传输的基本特性， 重要意义在于研究信号传输的基本特性， 引出 重要意义在于研究信号传输的基本特性 简述滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义， 简述滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义， 这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中 具有十分重要的指导意义。
§5.2 利用系统函数H(jω)求响应
系统的频响特性与H(s)的关系 系统的频响特性与H(s)的关系 系统的频响特性与 正弦信号激励下的稳态响应 正弦信号激励下的稳态响应 非周期信号激励下系统的响应 非周期信号激励下系统的响应
第
一．系统的频响特性与H(s)的关系
极点： 当H(s)在虚轴上及右半平面无 ： 极点 在虚轴上有极点不同。 当H(s)在虚轴上有极点不同。 例： F[h(t )] = H( jω) = H(s) s=jω
4 页
第
总结
系统可以看作是一个信号处理器： 系统可以看作是一个信号处理器：
H( jω)是一个加权函数， 是一个加权函数， 加权。 对信号各频率分量进行加权。
，5Βιβλιοθήκη 页信号的幅度由 H(jω) 加权， 加权， 修正。 信号的相位由 (ω)修正。
有不同的加权作用， 对于不同的频率 ω，有不同的加权作用，这也是信 号分解，求响应再叠加的过程。 号分解，求响应再叠加的过程。
2 页
当输入为 (t )时，求出 (t )即 (t ) δ v h + i(t ) 1 t 1 C h(t ) = v(t ) = ∫ i(t )d t = u(t ) v(t ) ∞ C C 1 H(s) = L[h(t )] = s 1 H ( S ) s = jω ≠ + πδ (ω ) 1 jω H(jω) = F[h(t )] = + π δ (ω) jω
第
二．正弦信号激励下系统的稳态响应
3 页
设激励信号为sin(ω0t )，系统的频率响应为H(ω) = H(ω) ej(ω)， 则系统的稳态响应 稳态响应为 则系统的稳态响应为
r(t) = H(ω0 ) sin[ω0t +(ω0 )]
sin 正弦信号 (ω0t )作为激励的稳态响应为 与激励同 频率的信号， H 加权， 频率的信号，幅度由 ( jω0 ) 加权，相移 (ω0 )。 H( jω)代表了系统对信号的处 理效果。 理效果。