余数与同余解析
同余问题解析
同余问题解析所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。
一、“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加倍”这是解较简单同余问题的口诀。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数。
下面以4、5、6为例，请记住[4,5,6]=60。
1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。
例：一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，求这个数。
因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60k-3，k为非零自然数。
即：当k=1、2、3、4、5…时都满足60k-3≡1（mod 4），60k-3≡2（mod,5），60k-3≡3（mod 6）。
2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。
例：一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，求这个数。
因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60k+7，k为非零自然数。
即：当k=1、2、3、4、5…时都满足60k+7≡3（mod 4），60k+7≡2（mod 5），60k+7≡1（mod 6）。
3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。
例：一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，求这个数。
因为余数都是1，所以取+1，表示为60k+1，k为非零自然数。
60k+1≡1（mod 4），60k+1≡1（mod 5），60k+1≡1（mod 6）。
4、最小公倍加倍：用一个数除以几个不同的数，得到的余数为0，此时反求的这个数，可以选这几个不同的数的最小公倍数的倍数，称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”例：一个数被4、5、6整除，求这个数。
数论之同余问题
因为13903 13511 392,14589 13903 686,
由于13511,13903,14589要被同一个数除时,
余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整 除.（392,686） 98，所以所求的最大整数是98.
（2003年南京市少年数学智力冬令营试题）22003与
定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数
【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,
所以每198个数一次.
1〜198之间只有1,2,3，…，17,198（余0）
这18个数除以18及33所得的余数相同，
而999±198=5…•…9,所以共有5X18+9=99个
这样的数.
【巩固】（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余 数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除 以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位 数中最大数是多少，最小数是多少？
1998,2000,2003
2000,2003,2001,1995,1998,2000,2003,2001,1995.
［例4】（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整
数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之
和是50,那么这个整数是.
【解析】（70 110 160） 50 290,50 316……2,除数应当是290的大于
【解析】设这个三位数为s'它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n,则s 17a m 19b n.
根据题意可知a m b n,所以s am s b n，即16a 18b,得8a 9..所以a是9的倍数，b是8的倍数.此时,
由于s为三位数，最小为100,最大为999，所以
同余问题知识点讲解
同余问题知识点讲解数论中的同余问题同余问题是数论中的一个重要知识点，也是各大数学竞赛和小升初考试必考的奥数知识点。
因此，学好同余问题对学生来说非常重要。
许多孩子都接触过同余问题，但也有不少孩子说“遇到同余问题就基本晕菜了！”。
同余问题主要包括带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理、乘法余数定理和同余定理），以及中国剩余定理和弃九法原理的应用。
带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r，且0≤r＜b，我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
其中，当r=0时，我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商；当r≠0时，我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。
一个完美的带余除法讲解模型可以将带余除法的概念用一个图形化的模型来解释。
假设有一堆书，共有a本，这个a可以理解为被除数。
现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色。
经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系，并且可以看出余数一定要比除数小。
三大余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小升初数学知识点余数、同余与周期
小升初数学知识点余数、同余与周期【一】同余的定义：
①假设两个整数a、b除以m的余数相同，那么称a、b对于模m同余。
②三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
【二】同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：假设a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)；
③传递性：假设a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，那么a≡ c(mod m)；
④和差性：假设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么
a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：假设a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：假设a≡b(mod m)，那么an≡bn(mod m)；
⑦同倍性：假设a≡ b(mod m)，整数c，那么a×c≡ b×c(mod m×c)；
【三】关于乘方的预备知识：
①假设A=a×b，那么MA=Ma×b=(Ma)b
②假设B=c+d那么MB=Mc+d=Mc×Md
【四】被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，那么
M≡n(mod 9)或(mod 3)；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，那么M≡Y-X或
M≡11-(X-Y)(mod 11)；
【五】费尔马小定理：
如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，那么ap-1≡1(mod p)。
初中数学竞赛余数及同余
余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.[答疑编号5721170101]【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.[答疑编号5721170102]【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？[答疑编号5721170103]【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
第36讲 同 余
第 17 讲 同 余同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工具之一。
设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作)(mod m b a ≡，否则，就说a 与b 对模m 不 同余，记作)(mod m b a ≡，显然，)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -⇔∈+=⇔≡；1、 同余是一种等价关系，即有自反性、对称性、传递性1).反身性：)(mod m a a ≡；2).对称性：)(mod )(mod m a b m b a ≡⇔≡；3). 传递性：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡则)(mod m c a ≡;2、加、减、乘、乘方运算若 a b ≡（mod m ） c d ≡（mod m ）则 a c b d ±≡±（mod m ），ac bd ≡（mod m ），n na b ≡（mod m ） 3、除法 设 ac bd ≡（mod m ）则 a b ≡（mod (,)m c m ）。
A 类例题例1．证明： 一个数的各位数字的和被9除的余数等于这个数被9除的余数。
分析 20≡2(mod9)，500≡5(mod9)，7000≡7(mod9)，……，由于10n－1=9M ，则10n ≡1(mod9)，故a n ×10n ≡a n (mod9)。
可以考虑把此数变为多项式表示a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0后处理。
证明 设a=110n n a a a a =a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0，∵10≡1(mod9)，∴10n ≡1(mod9)，∴a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0≡a n + a n-1+…+ a 1+a 0。
小升初奥数知识点讲解 余数问题
【小升初奥数知识点讲解】余数问题
余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X 或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
数学的同余数理论
数学的同余数理论同余数理论是数论中十分重要的一个分支，它研究了整数之间的"同余"关系。
同余数理论在密码学、数值分析、计算机科学等领域有广泛应用。
本文将介绍同余数理论的基本概念、性质和应用。
一、同余数的定义在数学中，我们称两个整数a和b在模p下同余，记作a≡b(mod p)，如果a与b的差是p的倍数，即p|(a-b)。
例如，12≡2(mod 5)，因为12-2=10是5的倍数。
同余关系具有自反性、对称性和传递性。
同余数的运算也有一些特性。
如果a≡b(mod p)且c≡d(mod p)，那么a+c≡b+d(mod p)和ac≡bd(mod p)。
这些特性使得同余数理论在代数运算中有着广泛的应用。
二、同余类与剩余系同余数理论中，我们将整数按照模p的大小分成不同的同余类。
对于模p，同余类可以表示为{0, 1, 2, ..., p-1}。
例如，在模5下，可以有同余类{0, 1, 2, 3, 4}。
同余类可以代表整数集合中的一个元素。
例如，在模5下，同余类[2]代表的是所有与2同余的整数，即{2, 7, 12, ...}。
我们用方括号来表示同余类。
同余类的中的最小正整数称为剩余系。
在模p下，剩余系是{0, 1,2, ..., p-1}。
例如，在模5下，剩余系为{0, 1, 2, 3, 4}。
三、欧拉定理和费马小定理同余数理论的两个重要的定理是欧拉定理和费马小定理。
欧拉定理表明，对于任意整数a和正整数n，如果a和n互质（即它们没有公共因数），那么a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，其中φ(n)表示n的欧拉函数值，即小于n且与n互质的正整数的个数。
费马小定理是欧拉定理的一个特例，当n为质数时，费马小定理成立。
费马小定理表明，对于任意质数p和不被p整除的整数a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
这两个定理在密码学和数论相关的问题中应用广泛，可以用于对数据进行加密和解密，以及快速计算大数的幂。
小学奥数如何用“同余法”巧解难题，非常棒的解题技巧
⼩学奥数如何⽤“同余法”巧解难题，⾮常棒的解题技巧同余这个概念最初是由伟⼤的德国数学家⾼斯发现的，同余即余数相同。
它的定义是这样的：两个整数a、b，如果他们同时除以⼀个⾃然数m，所得的余数相同，则称a、b对于模m同余，记作a≡b（mod.m），读作：a同余于b模m。
同余的性质⽐较多，家长指导孩⼦学习“同余法”，⾸先要熟悉 “同余”的这⼏个基本性质：1.对于同⼀个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如：201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2.对于同⼀个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就⼀定能被这个除数整除。
例如：519和399对于⼀个除数同余，那么这个除数⼀定是519与399的差的因数，即519与399的差⼀定能被这个除数整除。
3.对于同⼀个除数，如果两个数同余，那么他们的乘⽅仍然同余。
例如：20和29对于⼀个除数同余，那么20的任何次⽅都和29的相同次⽅对于这个除数同余，当然余数⼤⼩随次⽅变化。
4.对于同⼀个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如：60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。
5.对于同⼀个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d（mod m），（可加减性）6.对于同⼀个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）应⽤同余性质解题的关键是，在正确理解题意的基础上灵活运⽤同余性质。
家长应让孩⼦把握住⼀个策略，把求⼀个较⼤的数除以某数的余数问题转化为⼀个较⼩的数除以这个数的余数，使复杂的问题变简单，使困难的题变容易。
▊例题1：⽤412、133和257除以⼀个相同的⾃然数，所得的余数相同，这个⾃然数最⼤是⼏？【解析】假设这个⾃然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以a｜(412－133),a｜(412－257),a｜(257－133),说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最⼤是⼏，就是求这三个差的最⼤公约数。
同余与剩余
同余与剩余 1. 余数 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能被整除时，便产生余数。 被除数(a)÷除数（b)=商(c)…余数(d)，其中a、c均为整数，b、d为自然数。 其中，余数总是小于除数，即0db.
2. 同余 同余：两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a、b对于m同余。 例：23除以5的余数是3，18除以5余数也是3，则称23与18对于5同余。 同余的性质：对于同一个除数m，两个数和的余数与余数的和同余，两个数差的余数与余数的差同余，两个数积的余数与余数的积同余。 例：15除以7余数是1，18除以7余数是4 15+18=33，则33除以7的余数与1+4-5除以7的余数相同 18-15=3，则3除以7的余数与4-1=3除以7的余数相同 15×18=270，则270除以7的余数与1×4=4除以7的余数相同。 3. 剩余问题 剩余问题主要有以下三种情况： ① 一个数除以4余2，除以5余2，除以6余2，这个数可表示为？ ② 一个数除以4余3、除以5余2、除以6余1，这个数可表示为？ ③ 一个数除以4余1、除以5余2、除以6余3，这个数可表示为？ 对于上述三种问题，解题思路是先找出一个满足条件的数，再加上几个除数的最小公倍数的n倍，即为所求。 中，余数相同，2满足条件，加上4、5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为60n+2 中，4+3=5+2=6+1=7，余数与除数之和相同，即和同。7满足条件，加上4、5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为60n+7 中，1-4=2-5=3-6=-3，余数与除数之差相同，即差同。-3满足条件，在此基础上加上4、5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为60n-3。
所以有：余同加余，和同加和，差同加差，最小公倍数做周期。 例：16×41×164除以7的余数为（ ） 解析：此题答案为1。因为16÷7=2.......2,41÷7=5......6，164÷7=23.......3，所以16×41×164除以7的余数与2×6×3除以7的余数相同。
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余数与同余解析六余数和同余1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法2.除法算式的特征:余数＜除数3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a 和b的差能被m整除。
性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。
根据被除数﹦商×除法＋余数，算得：0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24；4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。
所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。
一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。
这个凑，可不是漫无目的的凑。
而是有理有据才行。
1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。
2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。
3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37.4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。
被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37.6、结果是17+22×37即为答案。
在作除法运算时，我们有这样的经验：(1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23，(2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4)由此，我们可以来讨论下面的两个问题.某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少?读者一定会想到有：5×7×11+4=389，5×7×11×2+4=774，5×7×11×3+4=1159，答案有无数多个，但最小的只能是389.于是，我们也可以提这样的问题：某数被5除余2，被7除余4，被11除余8.问某数是多少和某数最小是多少?读者一定会想到是5×7×11×1-3=382，5×7×11×2-3=767，5×7×11×3-3=1152，答案有无数多个，但最小只能是382.【规律】某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]+k.某数分别除以a、b、c、……，得到相应的余数A、B、C、……，并且这些余数跟相应的除数都相差同样多(设为k)，即a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]-k.例2：小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。
那么该题的余数是多少？问题1、474除以一个两位数的余数是6，求符合条件的所有两位数。
想：因为被除数=商×除数＋余数，所以商×除数=被除数－余数。
因此，所求两位数与商的积是474－6=468，把468分解质因数是468=2×2×3×3×13，又因为要求的除数是两位数，只要将468的质因数进行配对试算就行。
解：468=2×2×3×3×13，2×13=26，3×13=39，2×2×3=12，2×3×3=18，2×2×13=52，2×3×13=78，2×2×3×3=36.答：符合条件的两位数有：13，26，39，12，18，52，78和36共8个。
试一试：1、1309除以一个质数，余数是21，求这个质数。
2、389除以一个两位数，余数是5，求符合条件的所有两位数。
问题3、一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？想：因为967，1000，2001除以这个整数的余数相同，967，1000，2001这三个数两两相减的差，都是所求整数的因数。
解：1000－967=33=3×11，2001－1000=1001=7×11×13，2001－967=1034=2×11×47，这些差的公因数就是所求的整数。
答：这个整数是11。
试一试：1、有一个大于1的整数，用它除1000，1975，2001都得到相同的余数，这个整数是多少？2、1989，901和306被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。
问题4、两个自然数相除，商15，余3。
已知被除数、除数、商、余数的和是853，求被除数和除数。
想：因为853是被除数、除数、商和余数相加的和，从853里减去余数3，减去商15的差，就是被除数、除数的和；又因为被除数=除数×商＋余数即被除数=除数×15＋3，再从850里减去余数3，就是除数的（15＋1）倍。
解：853－3×2－15=832，832÷（15＋1）=52，52×15＋3=783.答：被除数是783，除数是52。
试一试：1、两数相除，商16，余数是4，已知被除数、除数、商和余数的和是313，求除数和被除数。
2、两数相除，商40余7，已知被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。
问题5、求111……11被13除的余数。
2007个1解析：用2007个1所组成的2007位整数去除以13，再求出余数，显然太麻烦。
我们可以先写出若干1所组成的数来除以13，容易发现111111是13的倍数，即每6个1所组成的六位数是13的倍数，再看2007个1组成的数中有多少个6个1组成的六位数，最后看还余下多少个1来确定余数。
由于2007÷6=334……3，即111……11可按6个1一节分成334节余3个1，2007个1而111÷13=8……7，所以所求的余数为7。
试一试：1、777……7除以13，余数是几？商的各位数字之和是多少？100个72、333……3除以7，余数是几？2007个3问题6、（1）一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小的数是几？（2）有一个数，除以3余1，除以4余2，问这个数除以12余数是几？解析：我们可以用枚举来解答。
（1）除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29……除以5余3的数有：3，8，13，18，23，28，33，38……除以7余2的数有：2，9，16，23，30，37，44……从上面所列的数可知，第一个公有的数是23，所以适合这些条件的最小数是23.（2）除以3余1的数有：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31……它们除以12的余数是：1，4，7，10，1，4，7，10，1，4，7……除以4余2的数有：2，6，10，14，18，22，26，30，34……它们除以12的余数是：2，6，10，2，6，10，2，6，10……上面两行只有数10是共同的。
所以符合条件的数是10.试一试：1、一个数除以5余1，除以6余3，除以7余6，这个数最小是多少？2、一个数除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？综合练习1、570被一个两位数除，余数是15，这个两位数是多少？2、一个非零自然数除以11所得的商和余数（余数不为0）相等，写出所有符合条件的数。
3、求2001×2002×2003除以9的余数。
4、求2002×2002－2001除以7的余数。
5、两个数相除，商8余16，已知被除数、除数、商和余数的和为265，求除数和被除数。
6、有一个数除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12，余数是几？7、一个数除以17的余数是5，被除数扩大2倍，余数是多少？8、333……33除以13的余数是几？2007个39、一个大于1的整数，它除324，919，2007所得的余数相同。
求这个整数。
10、如果一个一百零一位数：33……3N55……5，这个数是7的倍数，那么N是多少？ 50个3 50个511、有一个数用它去除100，余数是1，用它去除50，余数是6，求这个数。
12、有一个整数，用它去除45，53，143得到的3个余数的和是20，这个数是多少？13、苹果362个，梨234个，等分给若干个小朋友，最后多了5个苹果和3个梨，每人分到的苹果和梨的总数不超过30个，那么小朋友有多少人？在整数除法运算中，除了“能整除”的情形外，更多的是“不能整除”情形，如95÷3，48÷5……，不能整除就产生了非零余数问题。
95÷3=31......2，，48÷5=9 (3)它们的另一种表示法为：95=3×31+2，48=5×9+3一般地，a是整数，b是自然数，那么一定有两个整数q和r，使得a=b×q+r（0≤r< p="">当r≠0时，r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商，a、b仍分别叫做被除数和除数。
式子a=b×q+r叫做带余数除法，也就是：a÷b= q……r。
用同一个自然数去除两个或更多整数，余数可能不同，也可能相同。
如，53÷6=8 (5)82÷6=13 (4)94÷6=15 (4)其中，82，94被6除的余数相同，是同余除法。
例2：求2001的2003次方除以13的余数。
根据性质4来解决。
2001除以13的余数等于12，12除以13的余数也是12，可以说2001的2003次方与12的2003次方对于除数13同余。