数学人教版八年级上册乘法公式的应用
八年级上册数学乘法公式
八年级上册数学乘法公式一、乘法公式的基本内容。
（一）平方差公式。
1. 公式内容。
- (a + b)(a - b)=a^2-b^2。
2. 公式的几何解释（以人教版教材为例）- 我们可以通过一个边长为a的大正方形，在其中一角去掉一个边长为b的小正方形来理解。
- 大正方形的面积是a^2，小正方形的面积是b^2。
- 剩下的图形可以看作是一个长为(a + b)，宽为(a - b)的长方形，其面积为(a +b)(a - b)，所以(a + b)(a - b)=a^2-b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(3x+2y)(3x - 2y)。
- 解：这里a = 3x，b=2y，根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，可得(3x+2y)(3x - 2y)=(3x)^2-(2y)^2=9x^2-4y^2。
- 例2：计算( - 5m+4n)( - 5m - 4n)。
- 解：a=-5m，b = 4n，则( - 5m+4n)( - 5m - 4n)=(-5m)^2-(4n)^2=25m^2-16n^2。
（二）完全平方公式。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2+2ab + b^2；(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
2. 公式的几何解释（人教版）- 对于(a + b)^2，可以看作边长为(a + b)的正方形的面积。
- 这个正方形的面积可以分成四部分：边长为a的正方形面积a^2，两个长为a宽为b的长方形面积2ab，边长为b的正方形面积b^2，所以(a + b)^2=a^2+2ab +b^2。
- 对于(a - b)^2，可以看作边长为a的正方形去掉两个长为a宽为b的长方形（这两个长方形有一个边长为b的公共部分）后再加上边长为b的正方形的面积，即(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(2x+3y)^2。
- 解：这里a = 2x，b = 3y，根据(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，可得(2x+3y)^2=(2x)^2+2×(2x)×(3y)+(3y)^2=4x^2+12xy + 9y^2。
八年级上册数学人教版乘法公式讲解
八年级上册数学人教版乘法公式讲解
乘法公式是整式乘法的一个重要内容，它是指将一些特殊的多项式相乘，得到的结果用一个公式表达出来，这样可以简化计算过程，提高计算效率。
在乘法公式的教学中，首先需要了解什么是乘法公式。
乘法公式是形如（a+b）（a-b）的式子，它可以用来计算两个数的和与差的积。
接下来，需要掌握乘法公式的两种形式。
一种是平方差公式，即（a+b）（a-b）=a²-b²，该公式可以通过多项式乘法的法则进行验证；另一种是完全平方公式，即（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²，该公式可以通过多项式乘法的法则进行推导。
在应用乘法公式时，需要注意以下几点：
1. 掌握公式的结构特征，知道公式的左边是两个二项式相乘，右边是三个单项式的积。
2. 正确理解公式的意义，知道左边是两个数的和与差的积，右边是这两个数的
平方和与平方差的积。
3. 正确运用公式的条件，知道只有当左边是两个二项式相乘，右边是三个单项式的积时才能使用该公式。
4. 正确运用公式的逆用，知道将一些特殊的多项式相乘时，可以使用公式的逆用简化计算。
最后，为了巩固所学知识，可以进行适量的习题练习，以加深对乘法公式的理解和掌握。
同时，在做题时应该认真审题，注意观察公式的结构特征，以便能够正确运用公式进行计算。
人教版八年级数学上册乘法公式教学设计
3.小组合作任务：
-以小组为单位，共同探讨乘法公式在生活中的应用，结合实际案例，制作一份简洁明了的PPT，下节课进行分享。
4.家长参与作业：
-家长协助孩子一起完成一道乘法公式的实际问题，鼓励孩子在家庭环境中运用所学知识，增进亲子沟通。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的算术运算和简单的代数知识。在此基础上，乘法公式的学习将成为他们数学学习中一个新的里程碑。学生在这个阶段好奇心强，求知欲旺盛，但注意力容易分散，对抽象的数学概念和公式接受程度不一。因此，针对这些特点，教师在教学过程中应注重以下方面：
1.激发兴趣：通过生动有趣的生活实例，让学生感受到乘法公式在实际问题中的应用价值，提高学生的学习兴趣。
（二）过程与方法
1.采用直观演示、实际操作等方式，引导学生观察、思考、总结乘法公式。
2.设计丰富多样的练习题，让学生在解题过程中熟悉并运用乘法公式，提高运算技巧。
3.组织学生进行小组讨论、合作学习，培养学生主动探究、合作解决问题的能力。
4.引导学生通过比较、分析，发现乘法公式之间的联系，形成知识体系。
（一）教学重难点
1.重点：平方差公式、完全平方公式以及乘法分配律的理解和应用。
2.难点：乘法公式的推导过程及其在实际问题中的灵活运用。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
-利用生活实例，如计算土地面积、求解勾股定理等，引出乘法公式的应用，激发学生学习兴趣。
-通过提问、思考、讨论等方式，引导学生自主发现乘法公式。
-布置具有挑战性的课后作业，让学生在课后继续巩固乘法公式。
人教版八年级数学上册专项素养综合练(四)乘法公式的灵活应用课件
类型二 灵活应用乘法公式求式子的值
3.阅读理解: 已知a+b=5,ab=3,求a2+b2的值. 解:∵a+b=5, ∴(a+b)2=52,即a2+2ab+b2=25. ∵ab=3,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=19. 参考上述过程解答:
参考上述过程解答:
(1)若x-y=-3,xy=-2.
①x2+y2=
.
②求(x+y)2的值. (2)若m+n-p=-10,(m-p)·n=-1,求(m-p)2+n2的值.
(3)已知x+y=7,x2+y2=25,求(x-y)2的值.
解析 (1)①∵x-y=-3, ∴(x-y)2=(-3)2,即x2-2xy+y2=9, ∵xy=-2,∴x2+y2=(x-y)2+2xy=5. ②(x+y)2=x2+y2+2xy=5+2×(-2)=5-4=1. (2)∵m+n-p=-10,∴(m-p+n)2=(-10)2, 即(m-p)2+2(m-p)·n+n2=100, ∵(m-p)·n=-1,∴(m-p)2+n2=(m-p+n)2-2(m-p)·n=100-2×(-1)=100 +2=102.
解析 (1)设5-x=a,x-2=b, 则(5-x)(x-2)=ab=2,a+b=(5-x)+(x-2)=3, ∴(5-x)2+(x-2)2=(a+b)2-2ab=32-2×2=5. (2)设6-x=a,3-x=b, 则(6-x)(3-x)=ab=1,a-b=(6-x)-(3-x)=3, ∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=13, ∵(6-x)+(3-x)=a+b, ∴9-2x=a+b,∴(9-2x)2=(a+b)2=13.
人教版八年级数学上册第14章2 乘法公式
知2－练
例 3 计算： (1)(x＋7y)2； (2)(－4a＋5b)2； (3)(－2m－n)2； (4)(2x＋3y)(－2x－3y).
解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方 公式进行计算.
(1)(x＋7y)2；
知2－练
解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2 ＝x2＋14xy＋49y2；
知2－练
解：原式＝4y2－4y＋1； 原式＝9a2＋12ab＋4b2； 原式＝x2－4xy＋4y2； 原式＝4x2y2＋4xy＋1.
2
例4
计算：(1)9992；(2)
30
1 3
.
知2－练
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再 利用完全平方公式展开计算即可.
(1)9992；
知2－练
解：9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12
增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)＝(a－b)2－c2
连用公式 (a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4
特别解读
知1－讲
公式的特征：
1. 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完
全相同，另一项互为相反数.
2. 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去
＝1 000 000－2 000＋1＝998 001；
2
(2)
30
1 3
.
2
2
2
30
1 3
＝
30＋
1 3
＝302＋2×30×13＋
1 3
＝900＋20＋
19＝920 19.
4-1. 运用完全平方公式进行简便计算：
【精品讲义】人教版 八年级上册数学 乘法公式与因数分解 知识点讲解+练习题
讲 义(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4 1、计算下列各式：(1)[(x ＋y)3]4 ； (2) (a 4n )n －1 ；(3) (－a 3)2＋(－a 2)3－(－a 2)·(－a)4 ；(4) x 3·x 2·x 4＋(－x 4)2＋4(－x 2)4例. 计算：()()53532222x y x y +-(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例. 计算：()()()()111124-+++a a a a例. 计算：()()57857822a b c a b c +---+例.（1）已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
(2) 已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
(3) 已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
(4) 已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
例：计算19992-2000×1998 例.已知13x x-=，求441x x +的值。
人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》教案
人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》教案一. 教材分析人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》这一课时，是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式的基础上进行教学的。
本课时主要让学生进一步理解乘法公式的结构特征，提高学生灵活运用乘法公式解决实际问题的能力，培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式，对公式有一定的理解，但在运用公式解决实际问题时，往往会因为对公式的理解不够深入而出现错误。
此外，学生的逻辑思维能力和创新思维能力还有待提高，因此，在教学中，需要引导学生深入理解乘法公式的结构特征，培养学生灵活运用公式解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生进一步理解乘法公式的结构特征，提高学生灵活运用乘法公式解决实际问题的能力。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生独立解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在生活中的重要性，培养学生的团队协作精神和积极进取的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生进一步理解乘法公式的结构特征，提高学生灵活运用乘法公式解决实际问题的能力。
2.教学难点：如何引导学生深入理解乘法公式的结构特征，如何培养学生灵活运用公式解决实际问题的能力。
五. 教学方法1.自主学习法：引导学生独立思考，自主探究，提高学生的独立解决问题的能力。
2.合作交流法：鼓励学生之间相互讨论、交流，培养学生的团队协作精神。
3.启发式教学法：教师通过提问、设疑，引导学生深入思考，激发学生的创新思维。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要对乘法公式有深入的了解，以便在教学中引导学生深入理解乘法公式的结构特征。
2.学生准备：学生需要预习平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式，以便在课堂上更好地理解和运用。
人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》教学设计
人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》这一课时，是在学生掌握了平方差公式和完全平方公式的基础上进行学习的。
本课时主要让学生了解和掌握乘法公式的综合应用，进一步培养学生的运算能力和解决问题的能力。
教材通过具体的例题和练习，引导学生运用平方差公式和完全平方公式解决实际问题，从而提高学生对乘法公式的理解和运用。
二. 学情分析学生在学习本课时，已经具备了一定的代数基础，对平方差公式和完全平方公式有一定的了解。
但是，对于如何灵活运用这些公式解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习差异，针对不同程度的学生给予适当的引导和帮助，使他们在原有基础上得到提高。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握乘法公式的综合应用，能够灵活运用平方差公式和完全平方公式解决实际问题。
2.过程与方法：通过例题和练习，培养学生运用乘法公式进行运算的能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：乘法公式的综合应用。
2.难点：如何灵活运用平方差公式和完全平方公式解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生掌握乘法公式的运用。
2.实例分析法：教师通过具体的例题，讲解乘法公式的运用，使学生能够更好地理解并掌握。
3.练习法：学生通过大量的练习，巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作含有例题和练习的教学PPT，以便于展示和讲解。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学素材：收集一些生活中的实际问题，用于引导学生运用乘法公式解决。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，引导学生回顾平方差公式和完全平方公式，为新课的学习做好铺垫。
人教版初中八年级上册数学《乘法公式的灵活运用》精品教案
教学研讨： 说课与反思
1.上课教师说课。 2.上课教师做教学反思。
教学研讨
感谢你的参与 期待下次再见
解：由(a＋b)2＝7得a2＋b2＋2ab＝7① 由(a－b)2＝3得a2＋b2－2ab＝3② 将a2＋b2 和ab分别看作整体，类比解方程组求解， (①＋②)÷2得a2＋b2＝5 (①－②)÷4得ab＝1 ∴a2＋b2＋ab＝5＋1＝6
方法总结 平方差公式：
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方和公式： 完全平方差公式：
⑵19.7×20.3 ＝(20－0.3) (20＋0.3) ＝202－0.32 ＝400－0.09 ＝399.91
(1)2013²－2012×2014＋1 (2)9×11×101×10001．
解：⑴2013²－2012×2014＋1 ＝20132－(2013－1)(2013＋1)＋1 ＝20132－(20132－12)＋1 ＝20132－20132＋1＋1 ＝2
类型二：利用乘法公式的变式求值 已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2 和(a－b)2
解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab 当a＋b＝5，ab＝3时 原式＝52－2×3 ＝19
(a－b)2 ＝(a＋b)2－4ab 当a＋b＝5，ab＝3时 原式＝ 52－4×3 ＝13
已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3，求a2＋b2＋ab的值为______________.
乘法公式的灵活运用
乘法公式实质是多项式乘法的简便运算，运用乘法公式同样也可以简化 某些乘法运算，下面略举一二.
类型一：利用乘法公式进行简便运算
运用乘法公式简便计算： (1)9982 (2)19.7×20.3
解：⑴9982 ＝(1000－2) 2 ＝10002－2×1000×2＋22 ＝100 0000－4000＋4 ＝996004
人教版初中数学八年级上册14.2乘法公式优秀教学案例示例
（一）知识与技能
1.学生能够掌握完全平方公式、平方差公式的概念及推导过程。
2.学生能够运用乘法公式解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.学生了解乘法公式的应用范围，熟练运用公式进行计算和证明。
（二）过程与方法
1.引导学生通过观察、分析、归纳、推理等方法发现乘法公式的规律。
2.培养学生运用数学符号表示乘法公式，提高符号表达能力。
4.课堂练习：设计具有梯度的练习题，巩固乘法公式的运用。
5.总结提升：引导学生总结乘法公式的运用规律，提高解题能力。
6.课后作业：布置适量作业，巩固所学知识，提高应用能力。
五、教学评价
1.学生对乘法公式的掌握程度，包括公式记忆、理解与应用。
2.学生在解决问题时的创新能力，能否灵活运用乘法公式。
3.学生合作交流的能力，以及在团队协作中发挥的作用。
2.学生尝试解答：让学生独立思考，尝试运用已学知识解决问题。
3.教师引导：总结学生解答过程中存在的问题，引出本节课要学习的内容——乘法公式。
（二）讲授新知
1.介绍完全平方公式、平方差公式的概念及推导过程。
2.举例说明：通过具体例题，展示乘法公式的应用。
3.公式总结：引导学生总结乘法公式的特点，明确其适用范围。
3.学生合作交流的能力，以及在团队协作中发挥的作用。
五、教学反思
本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。同时，关注学生的个体差异，针对不同学生制定合适的辅导措施，确保每一位学生都能在数学学习中取得进步。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设生活情境：以商场打折促销为背景，引导学生关注乘法公式在实际问题中的应用。如：某商品原价为200元，现进行8折优惠，求优惠后的价格。
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乘法公式教学设计
一、教学目标
知识与技能：理解和掌握平方差公式，并能灵活运用公式进行简单运算。
过程与方法：经历平方差公式的探索，体会观察发现—归纳验证—应用拓展这一数学方法，培养学生分析、归纳能力。
情感态度与价值观：感悟具体到抽象的探究方法（一般到特殊）；通过几何验证感知数形结合思想。
在应用中，激发学生学习兴趣和信心。
二、教学重点、难点
教学重点：熟练应用平方差公式，完全平方公式
教学难点：明确公式的结构特征及对公式的变式运用。
三、教法与学法
（1）教法
培养学生观察概括能力，在探索中由旧到新，由学到“思”，由“思”到知识方法的提升，体验探索数学的方法，同时展示学生探索成果，让学生感受学习数学是一件快乐的事。
（2）学法
让学生明确获取知识只有通过自己的探索才能不仅“知其然”，而且“知其所以然”，透过表象看公式特征，
而不是死记硬背，在应用中学会知识的迁移，抓住公式的结构特征，提高灵活运用能力。
四、教学过程
（一）引导语：在中学数学流传着这样的一句话，叫“难度不够，计算来凑”，足以见得计算能力在数学学习中的重要性，但若在计算中能用一些运算律，公式，那么我们能够较快，较准确的得出计算结果，这便是乘法公式对整式乘法的意义。
除此之外乘法公式还有什么应用，让我一起来共同寻找。
（二）复习提问:（1）平方差公式是？语言描述是？
（2）完全平方公式是？语言描述是？完全平方公式的变形是？
（三）公式应用
直接应用公式
1.口答直接说出结果：
①（3a+4）（3a－4）=___；②（2a2－b）（2a2+b）=____；
②（3－x）（x+3）=______；④（－x+y）〃（x+y）=_____；
⑤(2a-b)2=_____ ; ⑥(xy+1)2=_______.
教学设计：考察中等偏下的学生是否会运用公式进行计算，能否准确记忆公式结构.
2.下列各式中运算结果是9a2－16b2的值（）
A.(-3a+4b)(-3a-4b)
B.(-4b+3a)(-4b-3a)
C.(4b+3a)(4b-3a)
D.(3a-4b) 2
3.（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．
设计意图：平方差公式结构的熟练掌握及平方差公式和完全平方差公式的区别.
公式的推广
1．利用乘法公式进行计算
（1）（a+b+c）（a+b-c）
练习（2）（a+b－1）（a－b+1）
设计意图：括号里是三项的，考查学生是否会利用添括号法则，构造出平方差公式，然后计算；也是考察学生对公式形式的掌握程度.
2．简便计算：（1）102
3×111
3
；（2）982.
能力提升
用简便方法计算：1.(x+2y)(x-2y)(x2+4y2)
2.(2+1)(22+1)(24+1)
设计意图：让学生体会多次应用平法差公式进行计算，会使计算更加简便.
思维拓展
1.已知m+n=3,mn=-2,求：
（1）m2+n2；（2）m2+3mn+n2的值.
设计意图：考查学生对于完全平方公式的变形公式的掌握程度.
2．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．
3.如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪
拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）
A.2cm2
B.2acm2
C.4acm2
D.(a2-1) cm2
设计意图：乘法公式的应用不仅仅在于代数方面的应用，还在于实际问题方面的应用.而理解的角度不同又可以得
出不同的解题办法，培养学生思维的横向发展.
4.先化简，在求值：
（a+2b）（a-2b）+（a+2b）2-4ab，其中a=1,b=1
10.
设计意图：注意化简求值这类问题的解题步骤.
（四）小结
在物理中有一条最重要的结论：能量是守恒的，对于数学我也有类似的看法，那就是你想的多一些，算的就少一些，如果你在做题之前先认真想想，找一找是否有你学过
的方法规律来解决问题，我我想你在数学的学习过程中会
少走很多弯路.
五、板书设计。