三角函数的概念教案(一)
三角函数的定义教案
三角函数的定义教案教学目标：1. 理解三角函数的定义；2. 掌握常用三角函数的性质和图像；3. 能够利用三角函数的定义解决与角度和三角函数值有关的问题。
教学内容：1. 三角函数的定义；2. 三角函数的性质和图像；3. 解题方法和技巧。
教学步骤：第一步：引入教师引入三角函数的概念，提问学生是否听说过三角函数，它有哪些常用的函数。
第二步：三角函数的定义教师介绍正弦、余弦和正切三个常用的三角函数，并给出它们的定义：正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个角θ，它的正弦值等于对边与斜边的比值，即sinθ = 对边/斜边；余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个角θ，它的余弦值等于邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边/斜边；正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个角θ，它的正切值等于对边与邻边的比值，即tanθ = 对边/邻边。
第三步：三角函数的性质和图像教师介绍三角函数的性质和图像，例如：- 正弦函数的值域是[-1,1]，在区间[0,2π]上呈周期性变化；- 余弦函数的值域也是[-1,1]，在区间[0,2π]上呈周期性变化，与正弦函数的图像相位差90°；- 正切函数在某些角度上无定义，它在区间[-π/2,π/2]上呈周期性变化。
教师还可以通过实际的例子和问题，让学生对三角函数的图像和性质有更加深入的理解和认识。
第四步：解题方法和技巧教师通过一些实际问题的例子，引导学生掌握三角函数的解题方法和技巧，如：- 利用三角函数的定义和性质，求解角度；- 利用三角函数的图像和性质，求解三角函数的值；- 利用三角函数的关系，求解三角函数的等式或不等式。
第五步：小结和拓展教师对本节课的内容进行小结，并根据学生的掌握情况进行适当的拓展，如引入反三角函数的概念，讨论三角函数的其他性质等。
第六步：练习和讨论教师布置练习题，让学生在课后进行练习，并在下节课上进行讨论和解答。
同时，鼓励学生自主学习，查找和整理关于三角函数的更多相关资料。
三角函数的概念和定理教案
三角函数的概念和定理教案一、教学目标。
1. 知识目标，学生能够掌握三角函数的基本概念和定理，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义和性质。
2. 能力目标，学生能够运用三角函数的概念和定理解决实际问题，提高数学建模能力。
3. 情感目标，激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维和创新能力。
二、教学重点和难点。
1. 重点，三角函数的定义和性质，以及相关定理的理解和运用。
2. 难点，三角函数的概念和定理的抽象性，以及如何将其运用到实际问题中。
三、教学过程。
1. 导入（5分钟）。
教师可以通过一个简单的实际问题引入三角函数的概念，比如一个人在斜坡上行走时，斜坡的角度和行走的距离之间的关系。
这样可以引起学生的兴趣，同时也为后续的学习做铺垫。
2. 概念讲解（20分钟）。
首先，教师可以介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，以及它们在直角三角形中的应用。
然后，讲解三角函数的性质，如周期性、奇偶性等。
最后，引入三角函数的相关定理，如正弦定理、余弦定理和正切定理，并讲解其推导和应用。
3. 例题讲解（30分钟）。
教师可以选择一些典型的例题，让学生通过计算和推导来加深对三角函数概念和定理的理解。
同时，教师可以引导学生思考如何运用三角函数来解决实际问题，比如测量高楼的高度、计算航行船只的航向等。
4. 练习与讨论（20分钟）。
在课堂上安排一些练习题，让学生独立或小组完成，并进行讨论和分享。
教师可以在学生讨论的过程中指导他们思考问题的解决方法，引导他们发现三角函数概念和定理在实际问题中的应用。
5. 拓展与应用（15分钟）。
教师可以邀请学生分享一些与三角函数相关的实际问题，让学生尝试运用所学的知识来解决这些问题，并进行讨论和总结。
6. 课堂小结（5分钟）。
教师对本节课的重点内容进行总结，并强调学生在课后需要复习和巩固所学的知识。
四、教学反思。
三角函数的概念和定理是高中数学中的重要内容，它不仅具有理论意义，而且在实际问题中有着广泛的应用。
三角函数概念及应用教案
三角函数概念及应用教案一、教学目标。
1. 知识目标。
了解三角函数的概念和性质，掌握三角函数的基本公式和图像特征。
2. 能力目标。
能够运用三角函数解决实际问题，理解三角函数在几何、物理等领域的应用。
3. 情感目标。
培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的热情，提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点和难点。
1. 教学重点。
三角函数的定义和性质，三角函数的图像特征，三角函数在实际问题中的应用。
2. 教学难点。
学生对三角函数的概念和性质的理解，以及如何运用三角函数解决实际问题。
三、教学过程。
1. 导入。
通过引入一个实际问题，如求解一个三角形的边长或角度，引出三角函数的概念和应用，并激发学生的学习兴趣。
2. 概念讲解。
介绍三角函数的定义和性质，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义公式和性质，以及它们的周期性、奇偶性和对称性等特点。
3. 图像特征。
分别讲解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特征，包括振幅、周期、相位差等，并通过实例讲解如何根据函数的图像特征求解实际问题。
4. 应用实例。
通过一些实际问题，如建筑物的倾斜角度、航空航天中的导航问题、声波的传播等，引导学生理解三角函数在实际问题中的应用，并通过实例讲解如何运用三角函数解决这些问题。
5. 练习。
给学生提供一些练习题，让他们运用所学的知识解决实际问题，巩固所学内容。
6. 总结。
对本节课所学的内容进行总结，强调三角函数在实际问题中的应用，并鼓励学生多多思考，多多实践，提高解决实际问题的能力。
四、教学手段。
1. 板书。
教师通过板书讲解三角函数的定义、性质和图像特征，方便学生理解和记忆。
2. 多媒体。
利用多媒体设备，播放相关的动画、视频等，直观地展示三角函数的图像特征，激发学生的学习兴趣。
3. 实物。
通过一些实物模型或实际物体，如三角形、建筑物、声波等，让学生直观地感受三角函数在实际问题中的应用。
五、教学反思。
通过本节课的教学，学生对三角函数的概念和性质有了更深入的理解，对三角函数在实际问题中的应用也有了一定的认识。
人教版《数学》第一册教案——5.3-1三角函数的概念
课时教案课题 5.3-1三角函数的概念课时 1 课型新授课教学目的掌握任意角的三角函数的定义，会利用定义求任意角的三角函数值．重点任意角的三角函数的概念难点任意角的三角函数值符号的确定关键教师的例题讲解与学生的练习相结合教具资料直尺学生准备用品笔、本教学环节教学内容教育教学调控组织教学师生问好,查出缺席1分钟引入以直角三角形中角A的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的相关知识导入新课．5分钟新授内容将锐角三角形放到直角坐标系中，如右图所示．设点C的坐标为(,)x y，AC边的长度为r，则角A的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割可以分别写作:sinyAr=；cosxAr=；tanyAx=；cotxAy=；cscryα=；secrxα=.下面，把这个定义推广到任意角.如右图所示，设角α是任意大小的角,在角α的终边上取不与原点重合的任意点(,)P x y,它到原点的距离是220r x y=+>，则角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别定义为由于角α的余割、正割、余切分别是角α的正弦、余弦、正切的倒数，因此只需重点研究正弦函数、余弦函数与正切函数.由定义可以看出，正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下：三角函数定义域sinαRcosαRtanα｛2,Zk kααπ≠π+∈｝15´sinyrα=；cos xrα=；tan yxα=；cot xyα=；sec rxα=；csc ryα= .当角α采用弧度制时,角α的取值集合与实数集R 之间具有一一对应的关系,所以三角函数是以实数α为自变量的函数.2．概念的强化（利用课件演示、讲授，启发学生回答，6分钟）例1（讲授）已知角α的终边经过点(2,3)P -,求sin α、sin α和tan α.解 因为 2x =, 3y =-，所以222(3)13r =+-=.于是 3313sin 1313y r α-===-； 2213cos 1313x r α===； 3tan 2y x α==-．注意 知道角α终边上一点P 的坐标，求角α的某个三角函数值时，首先要求出点P 到坐标原点的距离r ，然后利用三角函数的定义直接进行计算．巩固练习1．已知点P (3,4)为角α终边上一点，求sin α、cos α和tan α． 2．已知点P (1,0)为角α终边上一点，求sin α、cos α和tan α．答案：1．4sin 5α=；3cos 5α=；4tan 3α=． 2．sin 0α=；cos 1α=；tan 0α=．综合应用 13´小结: 本节需掌握任意角的三角函数的定义，并会利用定义来求三角函数 2´。
2025届高考数学一轮复习教案：三角函数-任意角和弧度制及三角函数的概念
第一节任意角和弧度制及三角函数的概念【课程标准】1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查扇形的弧长、面积、三角函数的定义;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向正角、负角、零角按终边位置象限角和轴线角(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为__-α__.(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式角α的弧度数公式|α|=l r(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°=180rad;1rad=(180)°弧长公式弧长l=|α|r扇形面积公式S=12lr=12|α|r23.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义(推广):设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sinα=, cosα=,tanα=(x≠0).(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)三角函数的定义域三角函数sinαcosαtanα定义域R R{α|α≠kπ+π2,k∈Z}【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.-π3是第三象限角B.若角α的终边过点P(-3,4),则cosα=-35C.若sinα>0,则α是第一或第二象限角D.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形面积为3π2【解析】选BD.因为-π3是第四象限角,所以选项A错误;由三角函数的定义可知,选项B正确;由sinα>0可知,α是第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上,所以选项C错误;由扇形的面积公式可知,选项D正确.2.(必修第一册P175练习T1改题型)-660°等于()A.-133πB.-256πC.-113πD.-236π【解析】选C.-660°=-660×π180=-113π.3.(必修第一册P176习题T2改条件)下列与角11π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+11π4(k∈Z)C.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z)【解析】选C.与11π4的终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,则x=()A.-3B.-4C.-6D.-10【解析】选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,所以sinα=45,解得x=±6,因为α是第二象限角,所以x=-6.【巧记结论·速算】α所在象限与2所在象限的关系α所在象限一二三四α2所在象限一、三一、三二、四二、四【即时练】设θ是第三象限角,且|cos2|=-cos2,则2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.因为θ是第三象限角,所以2的终边落在第二、四象限,又|cos2|= -cos2,所以cos2<0,所以2是第二象限角.【核心考点·分类突破】考点一象限角及终边相同的角[例1](1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角,则()A.-α是第一象限角B.2是第三象限角C.3π2+α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上【解析】选D.因为α是第二象限角,可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,对于A,可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ,k∈Z,此时-α位于第三象限,所以A错误;对于B,可得π4+kπ<2<π2+kπ,k∈Z,当k为偶数时,2位于第一象限;当k为奇数时,2位于第三象限,所以B错误;对于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以3π2+α位于第一象限,所以C错误;对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上,所以D正确.(2)在-720°~0°内所有与45°终边相同的角为-675°和-315°.【解析】所有与45°终边相同的角可表示为β=45°+k×360°(k∈Z),当k=-1时,β=45°-360°=-315°,当k=-2时,β=45°-2×360°=-675°.【解题技法】1.知α确定kα,(k∈N*)的终边位置的步骤(1)写出kα或的范围;(2)根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.2.求适合某些条件的角的方法(1)写出与这个角的终边相同的角的集合;(2)依据题设条件,确定参数k的值,得出结论.【对点训练】已知角θ在第二象限,且|sin2|=-sin2,则角2在()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为角θ是第二象限角,所以θ∈(π2+2kπ,π+2kπ),k∈Z,所以2∈(π4+kπ,π2+kπ),k∈Z,所以角2在第一或第三象限.又|sin2|=-sin2,所以sin2<0,所以角2在第三象限.考点二弧度制及其应用[例2]已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.(1)若α=π3,R=10cm,求扇形的弧长l.(2)(一题多法)若扇形的周长是16cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?(3)若α=π3,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.【解析】(1)因为α=π3,R=10cm,所以l=|α|R=π3×10=10π3(cm).(2)方法一:由题意知2R+l=16,所以l=16-2R(0<R<8),则S=12lR=12(16-2R)R=-R2+8R=-(R-4)2+16,当R=4cm时,S max=16cm2,l=16-2×4=8(cm),α==2,所以S的最大值是16cm2,此时扇形的半径是4cm,圆心角α=2rad.方法二:S=12lR=14l·2R≤14·(r22)2=16,当且仅当l=2R,即R=4cm时,S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α=2rad.(3)设弓形面积为S弓形,由题意知l=2π3cm,所以S弓形=12×2π3×2-12×22×sinπ3=(2π3-3)cm2.【解题技法】应用弧度制解决问题时的注意事项(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.(3)在解决弧长和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】若扇形的周长是16cm,圆心角是360π度,则扇形的面积(单位cm2)是16.【解析】设扇形的半径为r cm,圆心角弧度数为α=360π·π180=2,所以αr+2r=16即4r=16,所以r=4,所以S=12αr2=12×2×16=16.答案:【加练备选】已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2,求:(1)扇形的半径;(2)扇形圆心角的弧度数.【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,圆心角为α.(1)由题意得S=12lr=12×60r=240,解得r=8(cm),即扇形的半径为8cm.(2)α==608=152,所以扇形圆心角的弧度数为152rad.考点三三角函数的定义及应用【考情提示】三角函数的定义主要考查利用定义求三角函数值及三角函数值符号的应用,常与三角函数求值相结合命题,题目多以选择题、填空题形式出现.角度1利用定义求三角函数值[例3](1)已知角α的终边经过点P(2,-3),则sinα=-31313,tanα=-32.【解析】因为x=2,y=-3,所以点P到原点的距离r=22+(-3)2=13.则sinα===-31313,tanα==-32.(2)若角60°的终边上有一点A(4,a),则a=43.【解析】由题设知:tan60°=4=3,即a=43.角度2三角函数值的符号[例4](1)若sinαtanα<0,且cos tan>0,则角α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.由sinαtanα<0,知α是第二象限或第三象限角,由cos tan>0,知α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.(2)sin2cos3tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】选A.因为π2<2<3<π<4<3π2,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0.所以sin2cos3tan4<0.【解题技法】与三角函数定义有关的解题策略(1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出点P的坐标.(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.【对点训练】1.(多选题)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是()A.tan A与cos BB.cos B与sin CC.tan2与cos2D.tan2与sin C【解析】选CD.因为A,B的范围不确定,所以A选项不满足条件;cos B与sin C都有意义,但cos B不一定为正值,故B选项不满足条件;因为B,C∈(0,π),所以2,2∈(0,π2),所以C选项满足条件;因为0<A<π,所以0<2<π2,所以tan2>0,又因为0<C<π,所以sin C>0,故D选项满足条件.2.已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cosθ=35,则实数a的值是()A.-2B.211C.-2或211D.1【解析】选B.由题设可知=35且2a+1>0,即a>-12,所以42+4r152+5=925,则11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=211,又a>-12,所以a=211.【加练备选】已知角α的终边上一点P的坐标为(sin5π6,cos5π6),则角α的最小正值为5π3.【解析】因为sin5π6>0,cos5π6<0,所以角α的终边在第四象限,根据三角函数的定义,可知sinα=cos5π6=-32,故角α的最小正值为α=2π-π3=5π3.。
高中数学教学备课教案三角函数的基本概念和性质
高中数学教学备课教案三角函数的基本概念和性质对于高中数学教学备课教案——三角函数的基本概念和性质，我们需要清晰地掌握此概念以及相关性质，并在备课教案中合理安排教学内容和教学方法，以帮助学生全面理解和掌握三角函数的基本知识。
以下是一份备课教案的示例，供参考。
教案名称：三角函数的基本概念和性质教学目标：1. 理解三角函数的定义，并能够根据定义计算各个角的三角函数值。
2. 掌握正弦和余弦函数的基本性质，如定义域、值域、单调性等。
3. 了解三角函数的周期性和对称性，并能够应用到相关实际问题中。
教学时间：2课时教学步骤：Step 1：导入与概念引入（时间：5分钟）通过引入一个有趣的数学问题，激发学生的学习兴趣，并为三角函数的定义铺垫。
示范问题：小明站在一个高楼的窗边，仰望月亮，他与地面之间的角度为30°，此时，月亮与地面之间的角度为60°。
如果月亮与地面的距离为1km，那么小明离月亮的距离是多少？Step 2：引入三角函数的定义（时间：15分钟）引入正弦函数、余弦函数的定义，并通过示例问题演示如何计算角的三角函数值。
示例问题：已知三角形ABC，∠B=30°，BC=5cm，AC=√3cm，请计算sin∠B和cos∠B的值。
Step 3：探究三角函数的性质（时间：25分钟）通过图像展示和实际问题分析，引入三角函数的周期性和对称性，并讲解三角函数的基本性质。
示例问题：1. 利用图像展示，让学生观察正弦函数和余弦函数的周期性，并求出它们的周期。
2. 利用实际问题，让学生理解三角函数的对称性，并能够应用到相关实际问题中。
Step 4：巩固与拓展（时间：10分钟）通过练习题巩固学生对三角函数的基本概念和性质的理解，提高他们的运算能力及应用能力。
示例练习题：1. 已知∠A为任意角，且sin∠A=0.6，cos∠A=-0.8，求∠A的大小。
2. 一个沙滩上的灯塔，距离岸边50m，高度30m。
三角函数的定义 教案
三角函数的定义教案一、知识要点1. 什么是三角函数三角函数，顾名思义，是与三角形相关的函数。
在初中和高中的数学和物理课程中，我们经常使用三角函数来描述和解决各种问题，如测量角度、计算三角形的周长和面积、分析周期性现象等等。
(1) 正弦函数：定义域为实数集合，值域为[-1,1]。
其定义式为：y=sin(x)。
二、教学过程1. 正弦函数的定义及简单应用(1) 导入：告诉学生三角函数是什么，引导学生回想初中时学习的正余弦函数的相关知识。
(2) 定义：正弦函数是指一个角的正弦值与该角的对边长度之比所确定的函数，通常用sin表示。
(3) 理解：图形辅助理解正弦函数的定义。
绘制一条半径为1的半圆，以圆心为原点建立平面直角坐标系，横坐标轴代表角度，纵坐标轴表示正弦值。
通过在半圆上移动一个点P，观察P 点的正弦值的变化，从而建立正弦函数的概念。
(4) 案例：分别计算在直角三角形中，已知角A=30°，对边长度为2时，斜边长度和邻边长度的值。
解：∠A=30°，则正弦值为sin30°=1/2。
斜边长度为：c=2/sin30°=4。
邻边长度为：b=√c²-a²=√4²-2²=√12。
对边长度为：a=b·tan60°=b·√3。
由a²+b²=c²，代入得b=√c²-a²=√3。
图形辅助理解正切函数的定义。
绘制直角三角形，以角A为例，角A的正切值是指该角的对边长度与邻边长度之比。
画出该角的对边和邻边，通过计算对边和邻边的长度，求出角A的正切值，从而建立正切函数的概念。
解：∠A=45°，对边长度为x，邻边长度为x·√3。
余切值为cot45°=1。
5-2-1三角函数的概念 教案——高一上学期数学人教A版必修第一册
第五章三角函数5.2.1三角函数的概念教学设计一、教学目标1. 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，会求具体弧度的三个三角函数值.2.从三角函数的定义认识其定义域、函数值在各个象限的符号.3.根据定义理解公式一，初步解决与三角函数值有关的一些简单问题.二、教学重难点1.教学重点三角函数的定义.三角函数值在各个象限内的符号，公式一.2.教学难点用角的终边上的点刻画三角函数.三角函数值的符号的应用.三、教学过程（一）探究一：三角函数的概念1.定义：设α是一个任意角，α∈R，它的終边OP与单位圆交于点P（x，y）.（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα；（3）把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=（x ≠0）.2.记法：通常将三角函数记为：正弦函数：sin ,y x x =∈R ；余弦函数：cos ,y x x =∈R ； 正切函数：tan ,()2y x x k k ππ=≠+∈Z . 探究二：三角函数的定义域交流讨论完成下表：探究三：各象限角的三角函数值的符号各个象限角的三角函数值的符号求证：角θ为第三象限角的充要条件是sin 0,(1)tan 0.(2)θθ<⎧⎨>⎩.证明：先证充分性，即如果（1）（2）式都成立，那么θ为第三象限角.因为（1）式sin 0θ<成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合；又因为（2）式tan 0θ>成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.因为（1）（2）式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限.于是角θ为第三象限角.再证必要性，即如果角θ为第三象限角，那么（1）（2）式都成立.因为角θ为第三象限角，所以sin 0θ<，同时tan 0θ>，即（1）（2）式都成立.综上，命题得证.探究四：公式一公式一：sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan .k k k k απααπααπα+⋅=+⋅=+⋅=∈Z 其中 在运算中起到简化的作用，即利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0到2π范围角的三角函数值.（二）课堂练习1.已知4sin 5α=，α在第二象限，则tan α=（ ） A ．43 B ．43- C ．34 D ．34- 答案：B 解析：由4sin 5α=及α是第二象限角，得3cos 5α==-，所以sin tan s 43co ααα==-. 故选： B2.如果点(sin ,cos )P θθ位于第三象限，那么角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C3.已知点()2,0A -，()2,0B ，若圆()()22230x y r r -+=>上存在点P （不同于点A ，B ），使得0PA PB ⋅=，则r 的取值范围是( )A.(1,5)B.[]1,5C.(]1,3D.[)3,5 答案：B解析：0PA PB ⋅=，∴点P 在以AB 为直径的圆224x y +=上. 圆222(3)(0)x y r r -+=>上存在点P （不同于点A ，B ），使得0PA PB ⋅=，∴圆222(3)(0)x y r r -+=>与圆224x y +=有公共点，|2|32r r ∴-≤≤+，解得15r ≤≤，故选B.（三）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?1.三角函数的定义.2.三角函数的定义域.3.各象限角的三角函数值的符号.4.公式一.四、板书设计1.定义：正弦函数：sin ,y x x =∈R ； 余弦函数：cos ,y x x =∈R ；正切函数：tan ,()2y x x k k ππ=≠+∈Z . 2.三角函数的定义域.3.各象限角的三角函数值的符号.4.公式一sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan .k k k k απααπααπα+⋅=+⋅=+⋅=∈Z 其中。
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三角函数的概念教案(一)
三角函数的概念教学教案
教学目标
通过本次课程的学习，学生将会掌握以下知识：
1.了解三角函数的概念和定义
2.掌握三角函数的基本性质和特点
3.能够在不同三角函数之间进行转化和变形
4.能够应用三角函数解决简单的实际问题
教学重点
•理解三角函数的三角形定义
•理解正弦、余弦、正切、余切的定义
•了解三角函数的图像及其周期性
教学难点
•通过三角函数图像，探究其性质和特点
•能够理解三角函数在不同象限的变化
教学过程
导入-启发式问题
•教师提问：“环球旅行家徐霞客曾在他的游记中提到：’在线段AC上取B点，将∠CAB顶点落在直线PQ上，则BC/AB
与PQ呈怎样的关系呢？”
•学生思考，回答问题。
教师引导学生，让学生通过作图和讨论来推导出正弦函数的定义。
基本概念的介绍
•介绍三角函数的定义和基本性质
•介绍正弦、余弦、正切、余切的定义
•介绍三角函数的图像及其周期性
三角函数的图像及性质
•将正弦、余弦、正切、余切的图像展示给学生
•引导学生通过观察图像，得出三角函数的一些特点，如周期、最大值、最小值等
•让学生通过绘制函数曲线，尝试构造更多的三角函数图像，并探究其性质和特点
•让学生通过比较三角函数的图像，了解另外三个基本三角函数的定义
三角函数的性质和变换
•引导学生探究三角函数在不同象限的变化
•教师讲解三角函数的一些常用变换，如平移、伸缩、反转等，让学生通过绘图来理解其作用和效果
•给学生一些简单的练习题，让他们尝试将不同的函数变形成指定的函数
三角函数的应用
•通过练习，让学生熟悉如何使用三角函数解决实际问题，如测量远距离的高度、计算三角形的边角等
•引导学生通过思考，定制问题，将三角函数的使用延伸至其他领域
总结
•教师对本节课中涉及的概念、知识点以及解题方法进行总结，巩固学生的学习成果
•对本节课学生表现出色的同学进行表扬，激励其学习积极性•指出学生在学习中存在的问题，为下节课的教学提出相应的建议
课后作业
•请学生完成课后作业，巩固本节课所学知识，拓展思维，达到应用的目的。
课堂练习
1.已知一直角三角形的斜边为10，另外两边分别为6和x，求x；
2.将函数y=Asin(ωx+φ)的振幅由3倍增至6，周期由2π/3
变为π/6，求其新表达式。
3.一段圆弧上，长为3米，半径为2米。
若用起点和终点之间的
圆心角所对的圆弧段的长取代原来的圆弧段，求圆弧段的长度。
课后拓展
1.研究三角函数的性质和变化，尝试构造新的三角函数，探究其性
质
2.将三角函数应用到不同领域，如音乐、光学等，了解其应用和意
义
3.研究三角函数的反函数及其应用，如反正弦、反余弦等
教学资源
•三角函数PPT
•三角函数课堂习题
•三角函数相关练习册和试题
•视频教材
教学总结
本节课主要讲解了三角函数的概念和定义，通过图像展示和变换，让学生更加深入的理解三角函数的性质和特点。
通过练习，让学生掌握了三角函数的应用，尝试将其应用于不同领域。
在教学过程中，教师注重启发式教学，带领学生自主思考和探究。
在教学过程的结尾，教师总结本节课所涉及的知识点，鼓励学生拓展思路，将所学知识运用到更加广泛的领域。