高中数学选修4-1(人教A版)第二讲直线与圆的位置2.2关系知识点总结含同步练习题及答案
高中数学人教a版高二选修4-1_第二讲_直线与圆的位置关系_学业分层测评10_word版有答案
学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图2-5-17，⊙O 的两条弦AB 与CD 相交于点E ，EC ＝1，DE ＝4，AE ＝2，则BE ＝( )图2-5-17A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由相交弦定理得AE ·EB ＝DE ·EC ，即2EB ＝4×1，∴BE ＝2. 【答案】 B2．PT 切⊙O 于T ，割线P AB 经过点O 交⊙O 于A ，B ，若PT ＝4，P A ＝2，则cos ∠BPT ＝( )A.45 B.12 C.38D.34【解析】 如图所示，连接OT ，根据切割线定理，可得PT 2＝P A ·PB ，即42＝2×PB ，∴PB ＝8，∴AB ＝PB －P A ＝6， ∴OT ＝r ＝3，PO ＝P A ＋r ＝5， ∴cos ∠BPT ＝PT PO ＝45. 【答案】 A3．如图2-5-18，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于P 点，若AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，则⊙O 的半径为( )图2-5-18A ．5.5B ．5C ．6D ．6.5【解析】 由相交弦定理知AP ·BP ＝CP ·PD ， ∵AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3， ∴PD ＝AP ·BP CP ＝4×63＝8，∴CD ＝3＋8＝11，∴⊙O 的半径为5.5. 【答案】 A4．如图2-5-19，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3.以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AC ，AB 都相切，又⊙O 与BC 的另一个交点为D ，则线段BD 的长为( ) 【导学号：07370047】图2-5-19A ．1 B.12 C.13D.14【解析】 观察图形，AC 与⊙O 切于点C ，AB 与⊙O 切于点E ，则AB ＝AC 2＋BC 2＝5.如图，连接OE ，由切线长定理得AE ＝AC ＝4，故BE ＝AB －AE ＝5－4＝1. 根据切割线定理得BD ·BC ＝BE 2， 即3BD ＝1，故BD ＝13. 【答案】 C5.如图2-5-20，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G .给出下列三个结论：图2-5-20①AD＋AE＝AB＋BC＋AC；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③【解析】①项，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF ＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正确；②项，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF·AG＝AD·AE，故②正确；③项，延长AD于M，连接FD，∵AD与圆O切于点D，则∠GDM ＝∠GFD，∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，则△AFB与△ADG不相似，故③错误，故选A.【答案】 A二、填空题6．如图2-5-21，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线交于D，过点C作BD的平行线与圆交于点E，与AB交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝32，则CD＝________.图2-5-21【解析】因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，由CE∥BD，得AFAB＝CFBD，所以34＝2BD，即BD＝83.设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝649，所以x＝43.【答案】4 37．如图2-5-22，AB为圆O的直径，P A为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若P A＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.图2-5-22【解析】由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a. 根据切割线定理有P A2＝PD·P B.又P A＝3，PB＝25a，∴9＝9a·25a，∴a＝15，∴PD＝95，PB＝5.在Rt△P AB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4.【答案】95 48．如图2-5-23所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．图2-5-23【解析】设⊙O的半径为r(r>0)，∵P A＝1，AB＝2，∴PB＝P A＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，P A·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝ 6.【答案】 6三、解答题9．(2016·山西四校联考)如图2-5-24所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，P A＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.图2-5-24(1)求证：AB AC ＝P APC ； (2)求AD ·AE 的值．【解】 (1)证明：∵P A 为圆O 的切线，∴∠P AB ＝∠ACP .又∠P 为公共角， △P AB ∽△PCA ，∴AB AC ＝P A PC .(2)∵P A 为圆O 的切线，PC 是过点O 的割线， ∴P A 2＝PB ·PC ，∴PC ＝20，BC ＝15. 又∵∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225.又由(1)知AB AC ＝P A PC ＝12，∴AC ＝65，AB ＝35，连接EC ，则∠CAE ＝∠EAB ，∠AEC ＝∠ABD .∴△ACE ∽△ADB ，∴AB AE ＝ADAC . ∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90.10．如图2-5-25，已知P A ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，PO ＝4cm ，∠APB ＝60°，求阴影部分的周长．图2-5-25【解】 如图所示，连接OA ，O B.∵P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∴P A ＝PB ，∠P AO ＝∠PBO ＝π2， ∠APO ＝12∠APB ＝π6， 在Rt △P AO 中，AP ＝PO ·cos π6＝4×32＝2 3 (cm)， OA ＝12PO ＝2 (cm)，PB ＝2 3(cm)．∵∠APO ＝π6，∠P AO ＝∠PBO ＝π2，∴∠AOB ＝2π3， ∴lAB＝∠AOB ·R ＝2π3×2＝43π(cm)，∴阴影部分的周长为P A ＋PB ＋l AB ＝23＋23＋43π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4 3＋4π3(cm)．[能力提升]1．如图2-5-26，已知PT 切⊙O 于点T ，TC 是⊙O 的直径，割线PBA 交TC 于点D ，交⊙O 于B ，A (B 在PD 上)，DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2，则PB 等于( )【导学号：07370048】图2-5-26A ．20B ．10C ．5D ．8 5【解析】 ∵DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2， 由相交弦定理得DB ·DA ＝DC ·DT ， 即DT ＝DB ·DA DC ＝4×32＝6.因为TC 为⊙O 的直径，所以PT ⊥DT . 设PB ＝x ， 则在Rt △PDT 中，PT 2＝PD 2－DT 2＝(4＋x )2－36.由切割线定理得PT 2＝PB ·P A ＝x (x ＋7)，所以(4＋x )2－36＝x (x ＋7)， 解得x ＝20，即PB ＝20. 【答案】 A2．如图2-5-27，△ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 的直径CE 在BC 上，且与AB 相切于D 点，若CO ∶OB ＝1∶3，AD ＝2，则BE 等于( )图2-5-27A. 3 B ．2 2 C ．2D ．1【解析】 连接OD ， 则OD ⊥BD ，∴Rt △BOD ∽Rt △BAC ， ∴OD AC ＝BDBC . 设⊙O 的半径为a ，∵OC ∶OB ＝1∶3，OE ＝OC ， ∴BE ＝EC ＝2a .由题知AD ，AC 均为⊙O 的切线，AD ＝2， ∴AC ＝2.∴a 2＝BD4a ，∴BD ＝2a 2. 又BD 2＝BE ·BC ， ∴BD 2＝2a ·4a ＝8a 2， ∴4a 4＝8a 2，∴a ＝2， ∴BE ＝2a ＝2 2. 【答案】 B3．如图2-5-28，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若PF ＝12，PD ＝43，则圆O 的半径长为__________，∠EFD 的度数为__________．图2-5-28【解析】 由切割线定理得， PD 2＝PE ·PF ，∴PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4，EF ＝8，OD ＝4. ∵OD ⊥PD ，OD ＝12PO ， ∴∠P ＝30°，∠POD ＝60°， ∴∠EFD ＝30°. 【答案】 4 30°4．如图2-5-29，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E .图2-5-29(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小．【解】 (1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB.在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)设CE ＝1，AE ＝x .由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ，即x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0，解得x＝3，所以∠ACB＝60°.。
2021年高考数学一轮复习 第2讲 直线与圆的位置关系同步检测 文 新人教A版选修4-1
2021年高考数学一轮复习第2讲直线与圆的位置关系同步检测文新人教A版选修4-1一、填空题1．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，则BC＝________．解析延长BC交AD的延长线于P，∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠P＝30°，∠CDP＝∠B＝90°.在Rt△CDP中，CD＝1，∴PC＝2.在Rt△ABP中，BP＝3AB＝23，∴BC＝BP－PC＝23－2.答案 23－22．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________．解析由弦切角定理得∠PAB＝∠ACB，又因为∠BAC＝∠APB，所以△PAB∽△ACB，可得ABBC＝PBAB，将PB＝7，BC＝5代入得AB＝35.答案353. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝5－1，则AC＝________.解析由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD ∽△ACB ， 又易知BD ＝AD ＝BC ，所以BC 2＝CD ·AC ＝(AC －BC )·AC ，解得AC ＝2.答案 24. 如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于D ，则BD DA＝________.解析 ∵∠C ＝90°，AC 为圆的直径，∴BC 为圆的切线，AB 为圆的割线，∴BC 2＝BD ·AB ，即16＝BD ·5，解得BD ＝165， ∴DA ＝BA －BD ＝5－165＝95，∴BD DA ＝169. 答案 169 5. 如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB PA ＝12，PC PD ＝13，则BC AD的值为________． 解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠PAD ，∴△PCB ∽△PAD ，∴PB PD ＝PC PA ＝BC DA， ∵PB PA ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66. 答案 666. 如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.解析 由题意知，AB ＝6，AE ＝1，∴BE ＝5.∴CE ·DE ＝DE 2＝AE ·BE ＝5.在Rt △DEB 中，∵EF⊥DB ，∴由射影定理得DF ·DB ＝DE 2＝5.答案 57．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD ＝110°，则∠BCD ＝______度．解析：∵∠BOD ＝110°，∠BAD ＝12∠BOD ， ∴∠BAD ＝55°.∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∴∠BCD ＝125°.答案：1258. 如图，⊙O 和⊙O ′相交于A 、B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D .若BC ＝2，BD ＝4，则AB 的长为________．解析 ∵AC 、AD 分别是两圆的切线，∴∠C ＝∠2，∠1＝∠D ，∴△ACB ∽△DAB .∴BC AB ＝AB BD ， ∴AB 2＝BC ·BD ＝2×4＝8.∴AB ＝8＝22(舍去负值)．答案 2 2二、解答题9．如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：(1)CD ＝BC ；(2)△BCD ∽△GBD .证明 (1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连结AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC .(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.10．如图，已知AB是半圆的直径，D是AB上的一点，CD⊥AB，CD交半圆于点E，CT是半圆的切线，T是切点，求证：BE2＋CT2＝BC2.证明：连接AE，AF，∵AB是直径，∴∠AEB＝∠AFB＝90°，又∠CDB＝90°，∠ABF＝∠DBC，∴△DBC∽△FBA，∴ABCB＝BFBD，即AB·BD＝BC·BF，∵∠AEB＝90°，CD⊥AB，∴BE2＝BD·AB(射影定理)．∵CT是切线，CB是割线，∴CT2＝CF·CB.∴BC2－CT2＝BC2－CF·CB＝BC(BC－CF)＝BC·BF，∴BE2＝BC2－CT2，即BE2＋CT2＝BC2.22441 57A9 垩M25928 6548 效20655 50AF 傯%•h39770 9B5A 魚=230031 754F 畏37984 9460 鑠V31009 7921 礡。
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解析： 由相交弦定理的 PD· PC＝PA· PB 得： PC＝4， 所以 CD ＝5， 所以圆心 O 到弦 CD 的距离为
3 答案： 2
CD 2 R － 2 ＝
2
25 3 7－ 4 ＝ 2 .
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2 2 1 解析：由 AB＝3AD，可得 AD＝3OA＝3OC.所以 OD＝3OA 1 OD 1 OD EO ＝3OC，即OC ＝3.又易证△CDO∽△DEO，所以 OC ＝OD，所以 1 CE EO＝9OC.故EO＝8.
半径 ．
推论 1：经过 圆心 且垂直于 切线 的直线必经过切点． 推论 2：经过 切点 且垂直于切线的直线必经过 圆心 ． (2)判定定理：经过半径的 外端 并且 垂直 于这条半径的 直线是圆的切线． (3)切线长定理 从 圆外 一点引圆的两条切线，它们的 切线长 相等，圆心 和这一点的连线 平分 两条切线的夹角．
答案：8
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第二节
直线与圆的位置关系
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高二数学人教A版选修4-1课件：第二讲 直线与圆的位置关系 整合
4.(2013·湖南高考,理 11)如图,在半径为 7的☉O 中,弦 AB,CD 相交于
点 P,PA=PB=2,PD=1,则圆心 O 到弦 CD 的距离为
.
解析:如图所示,取 CD 中点 E,连结 OE,OC.
由圆内相交弦定理知 PD·PC=PA·PB,
所以 PC=4,CD=5,则 CE=52,OC= 7.
1.(2013·课标全国高考Ⅰ卷,理 22)如图,直线 AB 为圆的切线,切点 为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交 圆于点 D.
(1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆 的半径.
所以 O 到 CD 距离为 OE=
(
7)2 -
5 2
2
=
23.
答案:
3 2
5.(2013·广东高考,理 15)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上.延长
BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6,ED=2,
则 BC=
.
解析:连接 OC.∵AB 为圆 O 的直径,∴AC⊥BC.
专题一 与圆有关的角的计算与证明
圆中的角有四类:圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角,与圆 有关的角的计算与证明通常涉及这四类角,因此圆周角定理、圆心角 定理和弦切角定理是解决此类问题的知识基础,通常利用圆周角、弦 切角、圆心角与弧的关系来转化,并借助于圆内接四边形的对角互补 和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决.
3.(2013·天津高考,文 13)如图,在圆内接梯形 ABCD 中,AB∥DC.过点
高中数学人教A(课件)选修4-1 第二讲 直线与圆的位置关系 第2讲 3
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段
段
一
三
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
切点的半径
垂直于切线的直线 垂直于切线的直线
外端
垂直于
(1)求证：OC∥AD； (2)若 AD＝2，AC＝ 5，求 AB 的长．
1．如图 2-3-8，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于 D，AB ＝6，BC＝8，则 BD 等于( )
A．4 C．5.2
图 2-3-8 B．4.8 D．6
【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，∴BD⊥AC. ∵BC 是⊙O 的切线，∴AB⊥BC. ∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.
∴BD＝ABA·CBC＝4.8. 【答案】 B
2.如图 2-3-9 所示，直线 l 与⊙O 相切，P 是 l 上任一点，当 OP⊥l 时，则
( ) 【导学号：07370039】
A．P 不在⊙O 上
B．P 在⊙O 上
C．P 不可能是切点 D．OP 大于⊙O 的半径
图 2-3-9
【解析】 由切线性质定理的推论 1，经过圆心 O 垂直于切线 l 的直线必过
切点，故 P 为切点，应选 B.
【答案】 B
3．如图 2-3-10，AP 为圆 O 的切线，P 为切点，OA 交圆 O 于点 B，若∠A ＝40°，则∠APB 等于( )
图 2-3-11
因为 AB＝OA，OA＝OP，所以 OB＝2OP， 又因为∠OPB＝90°，所以∠B＝30°，所以∠O＝60°. 因为 OA＝3 cm， 所以 ＝60×18π0×3＝π，圆的周长为 6π，所以点 P 运动的距离为 π 或 6π－ π＝5π. 所以当 t＝1 s 或 5 s 时，BP 与⊙O 相切． 【答案】 1 或 5
最新整理高中数学人教A版选修4-1 第二讲 直线与圆的位置关系 学业分层测评9 Word版含答案.doc
学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图2-4-12所示，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC ＝12BC ，则sin ∠MCA ＝( )图2-4-12A.12 B.22 C.32D.55【解析】 由弦切角定理，得∠MCA ＝∠ABC . ∵sin ∠ABC ＝ACAB ＝AC AC 2＋BC 2＝AC 5AC ＝55，故选D.【答案】 D2．如图2-4-13，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，EF 切⊙O 于C 点，那么图中与∠DCF 相等的角的个数是( )图2-4-13A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 ∠DCF ＝∠DAC ，∠DCF ＝∠BAC ，∠DCF ＝∠BCE ， ∠DCF ＝∠BDC ，∠DCF ＝∠DBC .【答案】 B3.如图2-4-14所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD ＝2，AB＝6，则AC的长为()图2-4-14A．2 B．3C．2 3 D．4【解析】连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，由弦切角定理可知，∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴ACAD＝ABAC，∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，∴AC＝23，故选C.【答案】 C4．如图2-4-15，PC与⊙O相切于C点，割线P AB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于()【导学号：07370043】图2-4-15A．20°B．25°C．30°D．40°【解析】如图，连接OC，BC，∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°. ∵OC＝OB，∴∠B＝12∠POC＝25°，∴∠ACP＝∠B＝25°.【答案】 B5．如图2-4-16所示，已知AB，AC与⊙O相切于B，C，∠A＝50°，点P是⊙O上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是()图2-4-16A．65°B．115°C．65°或115°D．130°或50°【解析】当点P在优弧上时，由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°.∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠BPC＝65°.当P点在劣弧上时，∠BPC＝115°.故选C.【答案】 C二、填空题6.如图2-4-17所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.图2-4-17 【解析】∵PB切⊙O于点B，∴∠PBA＝∠ACB.又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，∴△ABD∽△ACB.∴ABAC＝ADAB，∴AB2＝AD·AC＝mn，∴AB＝mn.【答案】mn7．如图2-4-18，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上．AD是⊙O的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________．图2-4-18【解析】连接OA，则∠COA＝2∠CBA＝60°，且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，所以OD＝2OA＝4.【答案】 48.如图2-4-19，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O 于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.图2-4-19 【解析】连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵PB＝OB＝2，OC＝2，∴PC＝23，∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝2×234＝ 3.【答案】 3三、解答题9．如图2-4-20所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT，AT于C，D.图2-4-20求证：△CTD为等腰三角形．【证明】∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT.又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A.又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形．10．如图2-4-21，AB是⊙O的弦，M是上任一点，过点M的切线与分别以A，B为垂足的直线AD，BC交于D，C两点，过M点作NM⊥CD交AB于点N，求证：MN2＝AD·BC.图2-4-21 【证明】连接AM，MB，因为DA⊥AB，MN⊥CD，所以∠MDA＋∠MNA＝180°.又因为∠MNA＋∠MNB＝180°，所以∠MDA＝∠MNB，又因为CD为⊙O的切线，所以∠1＝∠2，所以△ADM∽△MNB，所以ADMN＝AMBM，同理MNBC＝AMBM，所以ADMN＝MNBC，即有MN2＝AD·BC.[能力提升]1．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB ＝30°，AP＝3，则CP＝() 【导学号：07370044】A.3B．2 3C．23－1 D．23＋1【解析】如图，连接OP，则OP⊥P A，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，在Rt△OP A中，由AP＝3，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝ 3.【答案】 A2．如图2-4-22，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为()图2-4-22A．1 B．2C．3 D．4【解析】连接BC.∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P，∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP，得PC2＝PB·P A，即AC2＝PB·P A.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O半径为r，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.【答案】 A3．如图2-4-23，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB ＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝__________.图2-4-23【解析】由P A为⊙O的切线，BA为弦，得∠P AB＝∠BCA.又∠BAC＝∠APB，于是△APB∽△CAB，所以PBAB＝ABBC.而PB＝7，BC＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝35.【答案】354．如图2-4-24，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD 于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.图2-4-24证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.【证明】(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2.又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2.从而∠FEB＝∠EAB，故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt △BFE，所以BC＝BF.类似可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.。
人教版高中数学选修4-1课件 第二讲-直线与圆的位置关系4
B︵C
︵ ，弦切角∠ACE所夹的弧是ABC.
(2)弦切角定理的证明过程是按照“问题——探究——解
答——结论”的模式进行的，其中体现了分类思想、运动变化
思想和化归思想．
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3．与弦切角定理有关的结论 (1)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． (2)弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一 半． (3)如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也 相等．
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(2)∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴在大圆中，OD平分AB，OE 平分AC.
∴在△ABC中，DE是中位线． ∴DE＝12BC.
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【例2】 如图，一圆过直角三角形ABC的直角顶点C，且
与斜边AB相切于D点，AD＝DB，G为C︵D 的中点，F为C︵E 上任
意一点，求证：∠CFG＝∠EFD.
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【分析】 AB为圆的切线，D为切点，连接CD，可得弦 切角，由弦切角定理知，∠CDB＝∠CFD＝2∠CFG.又由直角 △ABC中，D为斜边的中点，从而得∠A＝∠ACD，由三角形 外角定理知∠CDB＝2∠ACD＝2∠EFD，获证．
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如图所示，因为∠BDE与∠BED所夹的弧是同一段弧，所 以∠BDE＝∠BED；
如果E︵M＝D︵M，也可以得出∠CEM＝∠ADM.
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4．弦切角定理的运用 在运用弦切角定理时，首先应根据弦切角的概念准确地找 出弦切角，然后运用弦切角定理进行相关的计算、论证．弦切 角定理的运用主要体现在以下几个方面：
第二讲 直线与圆的位置关系
1
四 弦切角的性质
课前预习目标
课堂互动探究
2
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
3
学习目标 1.理解弦切角的概念．会判断弦切角． 2．掌握弦切角定理的内容，并能利用它解决相关的几何 问题.