全国高考数学复习微专题： 函数零点的个数问题
函数零点的个数问题
一、知识点讲解与分析：
1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点
2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。 （1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号
3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x
4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系
设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若
()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。（详见方法技巧） 二、方法与技巧：
1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如：对于方程
ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ??
>< ???
即可判
定其零点必在1,12??
???
中
2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理
作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关 （2）方程的根： 工具：方程的等价变形
作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数
缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数
（3）两函数的交点： 工具：数形结合
作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现。通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围。
缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含x 的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡（作图问题详见：1.7 函数的图像）
3、在高中阶段主要考察三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理，（2）二次方程根分布问题，（3）数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中第（3）个类型常要用到函数零点，方程，与图像交点的转化，请通过例题体会如何利用方程构造出函数，进而通过图像解决问题的。 三、例题精析：
例1：直线y a =与函数3
3y x x =-的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围为 ( )． A ．()2,2- B ．[]2,2- C ．[)2,+∞ D ．(],2-∞-
思路：考虑数形结合，先做出3
3y x x =-的图像，
()()'233311y x x x =-=-+，令'0y >可解得：1x <-或
1x >，
故3
3y x x =-在()(),1,1,-∞-+∞单调递增，在()1,1-单调递减，函数的极大值为()12f -=，极小值为()12f =-，
做出草图。而y a =为一条水平线，通过图像可得，y a =介于极大值与极小值之间，则有在三个相异交点。可得：()2,2a ∈- 答案：A
小炼有话说：作图时可先作常系数函数图象，对于含有参数的函数，先分析参数所扮演的角色，然后数形结合，即可求出参数范围。
例2：设函数()()2
22ln 1f x x x x =+-+，若关于x 的方程()2
f x x x a =++在[]0,2上
恰有两个相异实根，则实数a 的取值范围是_________
思路：方程等价于：()()2
2
22ln 12ln 1x x x x x a a x x +-+=++?=-+，即函数y a
=与()()2ln 1g x x x =-+的图像恰有两个交点，分析
()g x 的单调性并作出草图：()'21
111
x g x x x -=-
=
++ ∴令()'0g x >解得：1x > ()g x ∴在()0,1单调递
减
，
在
()
1,2单调递增，
()()()112ln2,00,222ln3g g g =-==-，由图像可得，水平线y a =位于()()
1,2g g 之间时，恰好与()g x 有两个不同的交点。 ∴12ln222ln3a -<≤- 答案：12ln222ln3a -<≤-
小炼有话说：（1）本题中的方程为()2
2
22ln 1x x x x x a +-+=++，在构造函数时，进行
了x 与a 的分离，此法的好处在于一侧函数图像为一条曲线，而含参数的函数图像由于不含
x 所以为一条水平线，便于上下平移，进行数形结合。由此可得：若关于x 的函数易于作出
图像，则优先进行参变分离。所以在本题中将方程转变为()2ln 1a x x =-+，构造函数
()()2ln 1g x x x =-+并进行数形结合。
（2）在作出函数草图时要注意边界值是否能够取到，数形结合时也要注意a 能否取到边界值。
例3：已知函数()()2,0
ln ,0
kx x f x k R x x +≤?=∈?
>?，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数
k 的取值范围是（ ）
A. 2k ≤
B. 10k -<<
C. 21k -≤<-
D.2k ≤-
思路：函数()y f x k =+有三个零点，等价于方程()f x k =-有三个不同实数根，进而等价于()f x 与y k =-图像有三个不同交点，作出()f x 的图像，则k 的正负会导致()f x 图像不同，且会影响y k =-的位置，所以按0,0k k ><进行分类讨论，然后通过图像求出
k 的范围为2k ≤-。
答案：D
小炼有话说：（1）本题体现了三类问题之间的联系：即函数的零点?方程的根?函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则。
（2）本题所求k 在图像中扮演两个角色，一方面决定()f x 左侧图像直线的倾斜角，另一方面决定水平线的位置与x 轴的关系，所以在作图时要兼顾这两方面，进行数形结合。 例4：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)()1,3,ln x f x x ∈=，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．ln 31,3e ??
??? B. ln 31,93e ?? ??? C ．ln 31,92e ?? ??? D ．ln 3ln 3,93??
???
思路：()()()33x f x f x f x f ??=?=
???Q ，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ??
== ?
??
，所以()ln ,13
ln ,393
x x f x x x ≤
=?≤
=有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：
ln3193a e
<<
答案：B
小炼有话说：本题有以下两个亮点。 （1）如何利用 ()3x f x f ??
= ???
，已知[)()1,3,x f x ∈的解析式求[)()3,9,x f x ∈的解析式。
（2）参数a 的作用为直线y ax =的斜率，故数形结合求出三个交点时a 的范围
例5：已知函数)(x f 是定义在()()+∞∞-,00,Y 上的偶函数，当0>x 时，
()?????>-≤<-=-2,22
120,12)(|1|x x f x x f x ，则函数1)(4)(-=x f x g 的零点个数为（ ）
A ． 4
B ．6
C ．8
D ．10
思路：由()f x 为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，再利用对称性作另一半图像即可，当(]0,2x ∈时，可以利用2x
y =利用图像变换作出图像，
2x >时，()()1
22
f x f x =
-，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出(]2,4，(]4,6，……的图像，()g x 的零点个数即为()14f x =
根的个数，即()f x 与14
y =的
交点个数，观察图像在0x >时，有5个交点，根据对称性可得0x <时，也有5个交点。共计10个交点 答案：D 小炼有话说： （1）()()1
22
f x f x =
-类似函数的周期性，但有一个倍数关系。依然可以考虑利用周期性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可 （2）周期性函数作图时，若函数图像不连续，则要注意每个周期的边界值是属于哪一段周期，在图像中要准确标出，便于数形结合。
（3）巧妙利用()f x 的奇偶性，可以简化解题步骤。例如本题中求交点个数时，只需分析正半轴的情况，而负半轴可用对称性解决
例6：对于函数()f x ，若在定义域内存在．．实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若()12423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）
A.11m ≤≤
B. 1m ≤≤
C. m -≤≤
D. 1m -≤≤ 思路：由“局部奇函数”可得： 2
242234
2230x
x
x
x m m m m ---?+-+-?+-=，整理
可得：()()
244222260x x x x m m --+-++-=，考虑到()2
44222x
x
x x --+=+-，从而
可将22x x
-+视为整体，方程转化为：(
)()2
222
222280x
x x x m m --+-++-=，利用换
元设22x
x
t -=+（2t ≥），则问题转化为只需让方程2
2
2280t mt m -+-=存在大于等于2的解即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设()2
2
2280g t t mt m =-+-=。
（1）若方程有一个解，则有相切（切点x m =大于等于2）或相交（其中交点在2x =两侧），即0
2m ?=??
≥?
或()20g ≤
，解得：m =
11m -≤（2）若方程有两解，则()0
202
g m ?>??
≥??>?，
解得：1112m m m m m ?-<??
，
综上所述：1m ≤≤答案：A
小炼有话说：本题借用“局部奇函数”概念，实质为方程的根的问题，在化简时将22x x -+视为整体，进而将原方程进行转化，转化为关于22x x -+的二次方程，将问题转化为二次方程根分布问题，进行求解。
例7：已知函数()y f x =的图像为R 上的一条连续不断的曲线，当0x ≠时，
()()'0f x f x x +
>，则关于x 的函数()()1
g x f x x
=+的零点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2
思路：()()()()()()'
''
000xf x f x xf x f x f x x x x
++>?>?>，结合()
g x 的零点个数即为方程()1
0f x x
+
=，结合条件中的不等式，可将方程化为()10xf x +=，可设()()1h x xf x =+，即只需求出()h x 的零点个数，当 0x >时，()'0h x >，即()h x 在
()0,+∞上单调递增；同理可得：()h x 在(),0-∞上单调递减，()()min 01h x h ∴==，故
()()010h x h ≥=>，所以不存在零点。
答案：A 小炼有话说：
（1）本题由于()f x 解析式未知，故无法利用图像解决，所以根据条件考虑构造函数，利用单调性与零点存在性定理进行解决。 （2）所给不等式()()
'
0f x f
x x
+
>呈现出()f x 轮流求导的特点，猜想可能是符合导数的乘法法则，变形后可得
()()'
0xf x x
>，而()g x 的零点问题可利用方程进行变形，从而与条
件中的()xf x 相联系，从而构造出()h x
例8：定义域为R 的偶函数()f x 满足对x R ?∈，有()()()21f x f x f +=-，且当
[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至少
有三个零点，则a 的取值范围是（ ） A. 20,
2??
??? B. 30,3?? ??? C. 50,5?? ??? D. 60,6?? ???
思路：()()()21f x f x f +=-体现的是间隔2个单位的自变量，其函数值差()1f ，联想到周期性，考虑先求出()1f 的值，由()f x 为偶函数，可令1x =-，得()()()111f f f =--
()10f = ()()2f x f x ∴+=， ()f x 为周期是2的周期函数。已知条件中函数
()()log 1a y f x x =-+有三个零点，
可将零点问题转化为方程()()log 10a f x x -+=即()()log 1a f x x =+至少有三个根，所以()f x 与()log 1a y x =+有三个交点。先利用
()f x 在[]2,3x ∈的函数解析式及周期性对称性作
图，通过图像可得：1a >时，不会有3个交点，考虑
01a <<的图像。设()log a g x x =，则()()log 11a y x g x =+=+，利用图像变换作图，通
过观察可得：只需当2x =时，()
log 1a y x =+的图像
在
()
f x 上方即可，即
()()2log 2122log 32log a a a f a -+>=-?>-= 所以
213
303
a a >?<< 答案：B
小炼有话说：本题有以下几个亮点：
（1）()f x 的周期性的判定： ()()()21f x f x f +=-可猜想与()f x 周期性有关，可带入特殊值，解出()1f ，进而判定周期，配合对称性作图
（2）在选择出交点的函数时，若要数形结合，则要选择能够做出图像的函数，例如在本题中，()f x 的图像可做，且()
log 1a y x =+可通过图像变换做出
例9：已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当(]1,3x ∈-时，
()(]()(]
21,1,112,1,3x x f x t x x ?-∈-?=?
--∈??，其中0t >，若方程()3f x x =恰有三个不同的实数根，
则实数t 的取值范围是（ ）
A. 40,3?? ??
? B. 2,23
?? ???
C. 4,33
?? ???
D. 2,3??+∞ ???
思
路
：
由
()()
2f x f x +=-可得
()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为4，所
解方程可视为()y f x =与()3
x
g x =
的交点，而t 的作用为影响()
12y t x =--图像直线的斜率，也绝对此段的最值（max y t =），先做出3
x
y =
的图像，再根据三个交点的条件作出()f x 的图像（如图），可发现只要在2x =处，()f x 的图像高于()g x 图像且在
6
x =处
()
f x 的图像低于
()
g x 图像即可。所以有
()()()()
6622f g f g ??(6)(2)2
2(2)3f f t f t ==
?
=>??
，即223t << 答案：B
例10：（2014甘肃天水一中五月考）已知函数()()sin 1,0
2log 0,1,0a
x x f x x a a x π???
-≠>? 的图像
上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） A. 50,
5?? ??? B. 5,15?? ??? C. 3,13?? ??? D. 30,3??
???
思路：考虑设对称点为00,x x -，其中00x >，则问题转化为方程()()00f x f x =-至少有三个解。即
sin 1log 2
a x x π??
--= ???
有三个根，所以问题转化为()sin 12
g x x π
??=-
- ???与()log a h x x =有三个交点，先做出sin 12
y x π??
=-- ???
的图像，通过观察可知若log a y x =与其有三个交点，则01a <<，进一步观察图像可得：只要
()()55g h <，则满足题意，所以
22
511sin 1log 52log 5log log 552
a a a a a a π??
-- ???
，所以5a < 答案：A
三、近年模拟题题目精选：
1、已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈
时，()f x =
，那么在区间(1,3)-内，
关于x 的方程()()f x kx k k R =+∈有4个根，则k 的取值范围是( )．
A ．104k <≤
或k =．1
04
k <≤
C ．104k <<
或k =．1
04
k <<
2、（2014吉林九校联考二模，16）若直角坐标平面内A,B 两点满足条件：①点,A B 都在函数()f x 的图像上；点,A B 关于原点对称，则称(),A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对”
（(),A B 与(),B A 可看作同一点对），已知()22,0
2,0x x x x f x x e
?+
=?≥??，则()f x 的“姊妹点
对”有______个
3、（2015，天津）已知函数()()2
2,2,
2,2,x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）
A. 7,4??
+∞
??? B. 7,4?
?-∞ ??? C.
70,4??
??? D. 7,24?? ???
4、（2015，湖南）已知()32,,x x x a
f x x a
?≤?=?>??，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两
个零点，则a 的取值范围是______
5、（2014，新课标全国卷I ）已知函数()3
2
31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点
0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）
A. ()2,+∞
B. ()1,+∞
C. (),2-∞-
D. (),1-∞- 6、（2014，山东）已知函数()()21,f x x g x kx =-+=，若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）
A. 10,2?
? ??
? B. 1,12?? ???
C. ()1,2
D. ()2,+∞ 7、（2014，天津）已知函数()23,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是_________
8、（2015，江苏）已知函数()()20,01
ln ,42,1x f x x g x x x <≤??==?-->??
，则方程
()()1f x g x +=实根的个数为__________
9、已知函数()32
31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x > ，则a 的取值
范围是（ ）
A. ()2,+∞
B. ()1,+∞
C. (),2-∞-
D. (),1-∞- 10、对于函数()(),f x g x ，设(){}(){}
|0,|0m x f x n x g x ∈=∈=，若存在,m n 使得
1m n -≤，
则称()f x 与()g x 互为“零点关联函数”，若函数()()12log 1x
f x x e -=+-与()23
g x x ax a =--+互为“零点关联函数”
，则实数a 的取值范围是（ ） A. 72,3?????? B. 7,33??
???? C. []2,3 D. []2,4
11、已知偶函数()f x 满足对任意x R ∈，均有(1)(3)f x f x +=-且
2(1),[0,1]
()1,(1,2]
m x x f x x x ?-∈=?
-∈?，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则实数m 的取值范围是 .
12、（2016，河南中原第一次联考）已知函数()cos2sin f x x a x =+在区间()()
0,n n N π*∈内恰有9个零点，则实数a 的值为________
13、（2014，四川）已知函数()2
1,,, 2.71828x
f x e ax bx a b R e =---∈=L 为自然对数
的底数
（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[]0,1上的最小值 （2）若()10f =，函数()f x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围
习题答案： 1、答案：B
解析：根据周期性和对称性可作出()f x 的图像，直线()()f x kx k k R =+∈过定点()1,0- 结合图像可得：若(1,3)-内有四个根，可知10,4
k ??∈ ??
?
。若直线与()f x 在()2,3相切，联
立方程：230y ky y k y kx k
?=??-+=?
=+??，令0?=
可得：6k =
，当6k =时，解得()52,3x =?，综上所述：10,4k ??
∈ ???
2、答案：2
解析：关于原点对称的两个点为(),x y 和(),x y --，不妨设0x >，则有()222x y e y x x ?=???-=--?
，从而2
22x x x e -=-
，所以“姊妹点对”的个数为方程2
22x
x x e -=-的个数，即曲线22y x x =-与2
x y e
=-的交点个数，作出图像即可得有两个交点
3、答案：D
解析：由()()22,2,
2,2,x x f x x x -≤??=?->??得2
22,0(2),0x x f x x x --≥??-=?
2,0
()(2)42,
0222(2),2
x x x y f x f x x x x x x x ?-+
=+-=---≤≤??--+->?， 即222,0()(2)2,
0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+
=+-=≤≤??-+>?
()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象
的4个公共点，由图象可知
7
24
b <<. 4、答案：()(),01,a ∈-∞+∞U
解析：()()g x f x b =-由两个零点，即方程()f x b =有两个根，从而()y f x =与y b = 有两个交点。可在同一直角坐标系下作出3
2
,y x y x ==，观察图像可得：0a <时，水平线与2
y x =有两个交点，故符合题意；当01a ≤≤时，()f x 为增函数，所以最多只有一
个零点，不符题意；当1a >时，存在水平线与32
,y x y x ==分别有一个交点，共两个符合题意。综上所述：()(),01,a ∈-∞+∞U 5、答案：C
解析：3
2
331310ax x a x x -+=?=-，令1
t x
=，依题意可知y a =与33y t t =-应在有唯一交点且位于
0t >的区域。设()33g t t t =-，所以
()()()'233311g t t t t =-=-+，则()g t 在()()1,0,0,1-单增，在()(),1,1,-∞-+∞单
减，()()12,12g g =-=-，作出图像可知只有当2a <-时，y a =与3
3y t t =-有唯一
交点，且在0t >的区域。 6、答案：B
解析：方法一：方程()()f x g x =有两个不等实根可转化为函数()y f x =与()y g x =的图像有两个不同交点，其中k 为直线的斜率。通过数形结合即可得到1,12k ??
∈ ???
方法二：本题还可以先对方程进行变形，再进行数形结合，21x kx -+=中0x =显然不
是方程的解，当0x ≠时，21x k x -+=，设()1
1,2
2131,2x x x
h x x x x
?-≥?-+?==??-
转化为y k =与()y h x =交点为2个。作出图像后即可观察到k 的范围 7、答案：()()0,19,+∞U
解析：方程为：2
31x x a x +=-，1x =显然不是方程的解，所以1x ≠
时，
231
x x
a x +=
-，即4151a x x =-++-，令1t x =-，则y a =与45y t t =++有4个交点即可，作出图像数形结合即可得到()()0,19,a ∈+∞U 8、答案：4
解析：方程等价于()()1f x g x +=±，即()()1f x g x =-+或()()1f x g x =--共多少
个根，()2
21,01
11,127,2x y g x x x x x <≤??=-=-<
点；()2
21,0113,125,2x y g x x x x x -<≤??=--=-<
，同理可得()f x 与()1y g x =--有两个交点，所
以共计4个 9、答案：C
解析：3
3
2
13310ax x a x x
??-+=?=-+ ???，令1t x =，依题意可知3
3a t t =-+只有一个
零点0t 且00t >，即y a =与()3
3g t t t =-+只有一个在横轴正半轴的交点。
()233g t t -=-+可知()g t 在()(),1,1,-∞-+∞减，在()1,1-增，()12g -=- 作出图像
可得只有2a <-时，y a =与()3
3g t t t =-+只有一个在横轴正半轴的交点。
10、答案：C
解析：先从()()12log 1x
f x x e
-=+-入手，可知()f x 为单增函数，且()10f =，所以()
f x 有唯一零点1x =，即1m =；所以1102n n -≤?≤≤，即()2
3g x x ax a =--+在
[]0,2有零点。
考虑方程22
34
301211
x x ax a a x x x +--+=?==++-++，即y a = 与4
121
y x x =++
-+在[]0,2有公共点即可，数形结合可得：[]2,3a ∈ 11
、答案：8448((6666
++++-
-U 解析：当0m >时，方程恰有5个解?方程2
3[1(4)]m x x --=有两个解且方程
23[1(8)]m x x --=无解，考虑这两个方程的判别式可得
154837
66
m ++<<；由对称性，当0m <时，方程恰有5个解的范围是83715466
m ++-
<<-；所以m 的取值范围是837415415837
(,)(,)6666
++++-
-U 12、答案：1a =±
解析：由()0f x =，得cos2sin 0x a x +=，即2
2sin sin 1=0x a x --．设
2()2sin sin 1
g x x a x =--，令
sin t x
=，则
2()21g x t at =--．考察(0,2)x π∈的函数()g x 的零点个
数，即如下图所示为sin t x =，(0,2)x π∈的图象，易知：（1）方程2
210t at --=的一个根为1，另一个根为(1,0)-时，()g x 在(0,2)π内有三个零点，
此时
2
211102(1)(1)10
a a ?-?-=???--?-->?，解得1a =；（1）方程2
210t at --=的一个根为－1，另一个根为(0,1)时，()g x 在(0,2)π内有三个零点，此时22(1)(1)10
21110
a a ??--?--=??-?->?，解得
1a =-．综上可知当1a =±时，()cos 2sin f x x a x =+在(0,2)π内有3个解．再由9
3
3
=可知，236n =?=．综上可知1a =±，6n =． 13、解析：（1）()()'
2x g x f
x e ax b ==--
()'2x g x e a ∴=-
当[]0,1x ∈时，()[]'
12,2g x a e a ∈--
∴当11202
a a -≥?≤
时，()'
0g x ≥ ()g x ∴单调递增 ()()min 0g x g b ∴==-
当1120222
e a e a a -<<-?
<<时
()g x 在()()0,ln 2a 单调递减，在()()ln 2,1a 单调递增 ()()()()min ln 222ln 2g x g a a a a b ∴==--
当202
e
e a a -≤?≥
时，()'0g x ≤ ()g x ∴单调递减
()()min 12g x g e a b ∴==--
综上所述：1
2
a ≤
时，()()min 0g x g b ==- 122
e
a <<时，()()()()min ln 222ln 2g x g a a a a
b ==-- 2
e
a ≥时，()()min 12g x g e a
b ==--
（2）()()10,00f f ==Q 且()f x 在区间()0,1内有零点 .()f x ∴在()0,1不单调，且至少有两个极值点
()()'g x f x ∴=在()0,1至少有两个零点
由（1）可得：若12a ≤
或2
e
a ≥，则()g x 在()0,1单调，至多一个零点，均不符题意 122
e
a ∴<< ()g x ∴在()()0,ln 2a 单调递减，在()()ln 2,1a 单调递增 ()()()()ln 2022ln 2000102010g a a a a
b g b e a b g ?->????-->>??
由()10f =可得：101e a b b e a ---=?=--，代入到不等式组可得：
()()()22ln 21021101210
a a a a e a e e a a e a e a -++--??--->???
---->? 由()()110
21210e a a e a e a e a --->?>-?????<---->???
下面判断：()2,1a e ∈-时，()22ln 210a a a a e -++-<是否恒成立 设()()()22ln 2132ln 21h a a a a a e a a a e =-++-=-+-
()()()'1
322ln 212ln 2h a a a a a
∴=-?
-=-
令()'0h a >解得：a <
()h a ∴在2,2e ?- ??单调递增，在2??
???
单调递减
()
max 311022h a h e e ?∴==?--=-< ??
()()22ln 210h a a a a a e ∴=-++-<在()2,1a e ∈-时恒成立 ()2,1a e ∴∈-
【高考数学专题】函数的零点练习题
函数的零点 班级 ___________ 姓名 __________ 知识必备 1、函数零点定义. 对于函数()D x x f y ∈=,，把使()0=x f 成立的实数x 叫作函数()D x x f y ∈=,的零点。 2、函数的零点与相应方程的根，函数的图像与x 轴交点之间的关系. 方程()0=x f 有实根?函数()x f y =的图像与x 轴交点?函数()x f y =有零点. 3、函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图像是一条连续曲线，并且有()()0+-≤-+=0 ,ln 20 ,322x x x x x x f 的零点个数为____________. 5、函数()()2,1≥∈-+=+n N n x x x f n n 在区间?? ? ??121，内的零点个数为______. 6、已知0x 是函数()x x f x -+ =11 2的一个零点，若()()+∞∈∈,,10201x x x x ，则（ ） ()()0,0.21< 专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 变式：函数b x a x f x -+=)(的零点))(1,(0Z n n n x ∈+∈，其中常数b a ,满足 23,32==b a ， 则=n （ ） A. 0 B.1 C.2- D.1- 2.已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()44f x x x = ++-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5.若存在区间[,]a b ,使函数[]()2(,)f x k x x a b =+ +∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围 是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. 7.（选作思考）函数f （x ）=234 20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ?? ? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为_________. （三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 8.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的 零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 变式一：设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 变式三：已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B. b >-2且c <0 C. b <-2且c =0 D. b 2c=0≥-且 导函数零点问题 一．方法综述 导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略 类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+， 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-， 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数. 导数压轴题之隐零点问题 导数压轴题之隐零点问题(共13题) 1．已知函数f（x）=（ae x﹣a﹣x）e x（a≥0，e=2.718…，e为自然对数的底数），若f（x）≥0对于x∈R恒成立． （1）求实数a的值； （2）证明：f（x）存在唯一极大值点x0，且． 【解答】（1）解：f（x）=e x（ae x﹣a﹣x）≥0，因为e x＞0，所以ae x﹣a﹣x≥0恒成立， 即a（e x﹣1）≥x恒成立， x=0时，显然成立， x＞0时，e x﹣1＞0， 故只需a≥在（0，+∞）恒成立， 令h（x）=，（x＞0）， h′（x）=＜0， 故h（x）在（0，+∞）递减， 而==1， 故a≥1， x＜0时，e x﹣1＜0， 故只需a≤在（﹣∞，0）恒成立， 令g（x）=，（x＜0）， g′（x）=＞0， 故h（x）在（﹣∞，0）递增， 而==1， 故a≤1， 综上：a=1； （2）证明：由（1）f（x）=e x（e x﹣x﹣1）， 故f'（x）=e x（2e x﹣x﹣2），令h（x）=2e x﹣x﹣2，h'（x）=2e x﹣1， 所以h（x）在（﹣∞，ln）单调递减，在（ln，+∞）单调递增， h（0）=0，h（ln）=2eln﹣ln﹣2=ln2﹣1＜0，h（﹣2）=2e﹣2﹣（﹣2）﹣2=＞0， ∵h（﹣2）h（ln）＜0由零点存在定理及h（x）的单调性知， 方程h（x）=0在（﹣2，ln）有唯一根， 设为x0且2e x0﹣x0﹣2=0，从而h（x）有两个零点x0和0， 所以f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，在（x0，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增， 从而f（x）存在唯一的极大值点x0即证， 由2e x0﹣x0﹣2=0得e x0=，x0≠﹣1， ∴f（x0）=e x0（e x0﹣x0﹣1）=（﹣x0﹣1）=（﹣x0）（2+x0）≤（） 2=， 取等不成立，所以f（x0）＜得证， 又∵﹣2＜x0＜ln，f（x）在（﹣∞，x0）单调递增 所以f（x0）＞f（﹣2）=e﹣2[e﹣2﹣（﹣2）﹣1]=e﹣4+e﹣2＞e﹣2＞0得证， 从而0＜f（x0）＜成立． 2．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R） （1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围； （2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立， 高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1= 高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： 备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第六篇函数与导数 专题04 函数的零点 【典例1】【辽宁省丹东市2020届模拟】已知设函数()ln(2)(1)ax f x x x e =+-+. （1）若0a =，求()f x 极值； （2）证明：当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在(1,)-+∞上存在零点. 【思路引导】 （1）通过求导得到()f x '，求出()0f x '=的根，列表求出()f x 的单调区间和极值. （2）对a 进行分类，当1a >时，通过对()f x '求导，得到()f x '在()1,-+∞单调递减，找到其零点，进而得到()f x 的单调性，找到()0>0f x ，()00f <，可证()f x 在()1,-+∞上存在零点. 当01a <<时，根据（1）得到的结论，对()f x 进行放缩，得到1e 0a f -??> ??? ，再由()00f <，可证() f x 在()1,-+∞上存在零点. 【详解】 （1）当0a =时，()()()ln 21f x x x =+-+，定义域为()2,-+∞，由()1 02 x f x x +'=- =+得1x =-． 当x 变化时，() f x '，()f x 的变化情况如下表： 故当1x =-时，()f x 取得极大值()()()1ln 21110f -=---+=，无极小值． （2）()()1 e 112 ax f x a x x ??= -++?+'?，2x >-． 当0a >时，因为1x >-，所以()() ()2 1 e 1202ax f x a a x x ??=- -++?+''，()1 002 f b -'=-<， 所以有且仅有一个()11,0x ∈-，使()10g x '=， 当11x x -<<时，()0f x '>，当1x x >时，()0f x '<， 所以()f x 在()11,x -单调递增，在()1,x +∞单调递减． 所以()()010f x f >-=，而()0ln210f =-<， 所以()f x 在()1,-+∞存在零点． 当10a -<<时，由（1）得()()ln 21x x +≤+， 于是e 1x x ≥+，所以()e 11ax ax a x -≥-+>-+． 所以()()()()()) e e ln 21e 1ln 21]ax ax ax f x x x x a x -???=+-+>-+++??? ． 于是11111 11e e e 1ln e 21]e e 1ln e 1]0a a a a a f a a -------??????????????>+-+->+--=???? ? ? ? ? ???????????????? ???． 因为()0ln210f =-<，所以所以()f x 在1e ,a -?? +∞ ??? 存在零点． 综上，当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在()1,-+∞上存在零点． 【典例2】【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】已知函数()2 23x f x e x x =+-. （1）求函数()f x '在区间[]0,1上零点个数；（其中()f x '为()f x 的导数） （2）若关于x 的不等式()()2 5312 f x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立，试求实数a 的取值范围. 【思路引导】 复合函数零点问题专题训练 1．定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中： (1)方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；(2)方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3)方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；(4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。 那么，其中正确命题的个数是 () A ．1 B.2 C.3 D.4(第1 题图) 解：选B.（1）方程f[g （x ）]=0有且仅有三个解；g （x ）有三个不同值，由于y=g （x ）是减函数，所以有三个解，正确； （2）方程g[f （x ）]=0有且仅有三个解；从图中可知，f （x ）∈（0，a ）可能有1，2，3个解，不正确； （3）方程f[f （x ）]=0有且仅有九个解；类似（2）不正确； （4）方程g[g （x ）]=0有且仅有一个解．结合图象，y=g （x ）是减函数，故正确．2.已知函数1)(+=x xe x f ， 若函数2)()(2 ++=x bf x f y 恰有四个不同的零点，则实数b 的取值范围是 （ ） A.) 22,(--∞ B.) 2,3(-- C.) 3,(--∞ D.(] 2 2,3--解：用求导方法得，f(x)在x =－1取得最大值1，在x=0取得最小值0，故0 高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 专题三“用好零点”，证明函数不等式 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中已知零点（零点个数），证明函数不等式问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一设而不求，应用函数零点存在定理 例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围； （2）求证：时，． 类型二设而不求，应用不等式性质 例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，） （1）讨论的单调性； （2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：． 类型三代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系 例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个相异零点，求证：. 类型四利用零点性质，构造函数证明参数范围 例4．【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数． (1)判断的单调性； (2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1． 【规律与方法】 应用函数的零点证明不等式问题，从已知条件来看，有两类，一类是题目中并未提及函数零点，二一 类是题目中明确函数零点或零点个数；从要求证明的不等式看，也有两种类型，一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围，二一类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系. 1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系，所以，通过设出函数的零点，利用函数零点存在定理，可建立不等关系，向目标不等式靠近，如上述类型一；也可以利用不等式的性质，向目标不等式靠近，如上述类型二，这两类问题突出的一点是“设而不求”． 2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时，则注意将零点代入函数式，构建方程（组），进一步确定零点之间的关系，然后在通过求导、分离参数、构造函数等手段. 【提升训练】 1．【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数， （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个零点、，求证：． 2．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点． 求实数a的取值范围； 若函数的两个零点分别为，，求证：． 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）． 4．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：． 5. 已知函数f（x）=3e x+x2，g（x）=9x﹣1． （1）求函数φ（x）=xe x+4x﹣f（x）的单调区间； （2）比较f（x）与g（x）的大小，并加以证明． 6. 已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax?e x﹣4x，其中a为大于零的常数． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）． 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数，其导函数的最大值 §2.8 函数与方程 函数零点问题 学习目标;(1)理解函数零点定义，会应用函数零点存在性定理 (2)体会函数与方程的转化思想 一 知识导练 1. (必修1 P43练习3改编) 函数32()2f x x x x =-+的零点是____________． 解析：解方程x3－2x2＋x ＝0得x ＝0或x ＝1，所以函数的零点是0或1. 导航：函数零点的求解 2．(必修1 P111复习13改编)已知函数()23x f x x =-，则函数f(x)的零点个数是____． 解析：解法1：令f(x)＝0，则2x ＝3x ，在同一坐标系中分别作出y ＝2x 和y ＝3x 的图象，由图知函数y ＝2x 和y ＝3x 的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2. 解法2：由f(0)>0，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内． 导航：函数零点个数的判定 3.给出以下三个结论：（1）0一定是奇函数的一个零点； （2）单调函数有且仅有一个零点； （3）周期函数一定有无穷多个零点. 其中正确的结论共有_____个。 4．(必修1 P97习题8)若关于x 的方程27(13)20x m x m -+--=的一个根在区间(0，1)上，另一个在区间(1，2)上，则实数m 的取值范围为_____________． 解析：设f(x)＝7x2－(m ＋13)x －m －2，则???? ?f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0，解得－4 高中数学专题--- 隐零点及卡根思想 基本方法： 导数解决函数综合性问题最终都回归于函数单调性的判断，而函数的单调性与其导数的零点有着紧密的联系，可以说导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计成为导数综合应用中最为核心的问题. 导函数的零点，根据其数值上的差异，我们可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，我们不妨称为“显零点”；另一类是能判断其存在但数值上无法精确求解的，我们不妨称为“隐零点”. （1）函数“隐零点”的存在性判断 对于函数“隐零点”的存在性判断，常采用下列两种方法求解：①若连续函数()f x 在(,)a b 上单调，且()()0f a f b ?，则()f x 在(,)a b 上存在唯一零点；②借助图像分析，即将函数()f x 的零点问题转化为方程()0f x =的解的判断，并通过合理的变形将方程转化为合适的形式在处理. （2）函数“隐零点”的虚设和代换 对于函数“隐零点”，由于无法求出其显性表达式，这给我们求解问题带来一定困难. 处理这类问题的基本方法为“虚设及代换”：在确定零点存在的条件下虚设零点0x ，再借助零点的表达式 进行合理的代换进而求解. （3）函数“隐零点”的数值估计-卡根思想 函数“隐零点”尽管无法求解，但是我们可以进行数值估计，最简单的方法即为判断其存在性的前提下利用二分法进行估计，估值范围越精确越容易解决问题. 对于“隐零点”的代数估计，可以通过单调函数构造函数不等式进行估计. 一、典型例题 1. 已知函数()22e x f x x x =+-，记0x 为函数()f x 极大值点，求证：()0124f x <<. 2. 已知函数()4ln (1)x f x x x += >. 若*k N ∈，且()1k f x x <+恒成立. 求k 的最大值. 二、课堂练习 1. 已知函数()2ln f x x x x x =--，证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<. 2. 已知函数ln 1()x f x ax x -= -. 若12a <<，求证：()1f x <-. 三、课后作业 1. 已知函数()ln f x x =，若关于x 的方程()()1f x m x =+，()m Z ∈有实数解，求整数m 的最大值. 2. 已知函数()22ln f x x =+，令()() 2xf x g x x =-在()2,+∞上的最小值为m ，求证：()67f m <<. 专题2.函数的零点 高考解读 求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力． 知识梳理 1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f (x )，g (x )，即把方程写成f (x )＝g (x )的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系. 高频考点突破 考点一 函数的零点判断 例1、【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．1 2 - B ．13 C ．12 D ．1 【变式探究】(1)函数f (x )＝e x ＋1 2 x －2的零点所在的区间是( ) A. )2 1 ,0( B.)1,2 1( C ．(1,2) D ．(2,3) (2)已知偶函数y ＝f (x )，x ∈R 满足：f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝????? log 2x ，x >0，－1x ，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 【方法技巧】函数零点的求法 (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且 专题五挖掘“隐零点”，破解导数压轴题 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”，破解导数压轴问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一挖掘“隐零点”，求参数的最值或取值范围 例1.【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】设函数,曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=3x平行. (1)判断函数f(x)在区间和上的单调性，并说明理由; (2)当时,恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）区间单调递增；（2） 【解析】 （1）.∵f'(1)=1+b=3,∴b=2,则f'(x)=ln x+4x-1. 因为在单调递增，所以当时 即函数f(x)在区间单调递减；当时 即函数f(x)在区间单调递增； （2）因为，而在（0，1）上递增 存在使得 ，当 时单调递减； 当时 单调递增 所以 又因为时则 所以则 类型二 挖掘“隐零点”，证明不等式 例2. 设函数2()ln x f x e a x =-，设()2 0,2a e ∈求证：当(]0,1x ∈时，2()2ln f x a a a ≥+ 【答案】见解析 【解析】()f x 的定义域为(]0,1，222'()2x x a xe a f x e x x -=-= 设2()2x x xe a ?=-，()22()242x x x xe x e ?'==+， 当(]0,1x ∈，()0x ?'>，即()x ?在区间(]0,1为增函数， (2(),2x a e a ??∈--? 又因为( )2 0,2a e ∈，所以2 (0)0,(1)20a e a ??=-<=-> 由零点存在定理可知'()f x 在(]0,1的唯一零点为0x 当0(0,)x x ∈时，'()0f x <，当(]0,1x x ∈，'()0f x > 故()f x 在0(0,)x 单调递减，在(]0,1x 单调递增， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0200()ln x f x e a x =-， 由0 2020x x e a -=，即0 202x a e x = ，两边去对数得00ln ln 22 a x x =- 由于，所以00000222()2ln 22ln 2ln 22a a f x ax a ax a a a x a x a a = ++≥?=+ 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌 握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和 所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理 问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题2:函数2 ()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 解法二:几何解法 (1). ()e 2 x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 导数与函数的零点专题 研究方程根或函数的零点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 例题精讲 例1、已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． 解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2，由题设得－2 a ＝－2，所以a ＝1. (2)证明 由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2，设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0. 当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根． 当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )． h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0. 所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根． 综上，g (x )＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． 例2、已知函数 . (I)讨论的单调性；(II)若 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a '=-+-=-+． （ i ）当0a ≥时，则当1x >时，()0f x '>；当1x <时，()0f x '< 故函数()f x 在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增． （ ii ）当0a <时，由()0f x '=，解得：1x =或ln(2)x a =- ①若ln(2)1a -=，即2 e a =-，则x R ?∈，()(1)()0x f x x e e '=-+≥ 故()f x 在(,)-∞+∞单调递增． 函数零点问题专题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 2.已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间 []11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()4f x x =+-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5. 若存在区间[,]a b ,使函数[]()(,)f x k x a b =∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. （三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 7：设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 8：已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ?≥=?- 高考数学专题复习函数隐性零点的处理技巧 近些年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的， 不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。 本专题通过几个具体的例题来体会隐性零点的处理步骤和思想方法。 一、隐性零点问题示例及简要分析： 1.求参数的最值或取值范围 例1（2012年全国I 卷）设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2． （1）求f （x ）的单调区间； （2）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0，求k 的最大值． 解析：（1）（略解）若a≤0，则f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增； 若a ＞0，则f （x ）的单调减区间是（﹣∞，lna ），增区间是（lna ，+∞）． （2）由于a=1，所以（x ﹣k ）f′（x ）+x+1=（x ﹣k ）（e x ﹣1）+x+1． 故当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0等价于k ＜ 1 1 -+x e x +x （x ＞0）（*）， 令g （x ）=1 1 -+x e x +x ，则g′（x ）=2)1()2(---x x x e x e e ， 而函数f （x ）=e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上单调递增，①f （1）＜0，f （2）＞0， 所以f （x ）在（0，+∞）存在唯一的零点．故g ′（x ）在（0，+∞）存在唯一的零点． 设此零点为a ，则a ∈（1，2）．当x ∈（0，a ）时，g ′（x ）＜0；当x ∈（a ，+∞）时，g ′（x ）＞0．所以g （x ）在（0，+∞）的最小值为g （a ）．专题复习之--函数零点问题
导数与函数零点问题解题方法归纳
导数压轴题之隐零点问题专辑含答案纯word版
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高考数学专题04 函数的零点(第六篇)(解析版)
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专题03 “用好零点”,证明函数不等式-2020年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)
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高考数学函数零点专题
专题05 挖掘“隐零点”,破解导数压轴题-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)
函数零点问题(讲解)
2018届高三数学基础专题练习：导数与零点(答案版)
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高考数学专题复习函数隐性零点的处理技巧