xx省xx市第一中学201X-201x学年高一数学上学期期中试题

徐州一中2017-2018学年度高一上学期期中考试

数学试卷

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相

应答题线上．）

1．已知集合{}=12A ，

,{}2,4B =,则A B = ▲ ．

2．已知(1)f x x -=，则(2)f = ▲ ．

3．函数0()(2)f x x =-的定义域为 ▲ ．

[1,2)(2,)-+∞

4．幂函数的图像经过点1(2,)4，则1()2f 的值为 ▲ ．

5．已知集合{}0,1,2M ?，且M 中含有两个元素，则符合条件的集合M 有 ▲ 个．

6．已知函数()3(,)b f x ax a b R x

=++∈，若(2)1f =，则(2)f -= ▲ ．

7．已知函数()f x R ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

8．若关于x 的不等式a x ≥-则实数a 的取值范围是 ▲ ．

9．设2336a b ==，则11a b

+= ▲ ． 10．4839(log 3log 3)(log 2log 8)+?+= ▲ ．

11．已知定义域为()

(),00,-∞+∞的偶函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(2)0f =， 则不等式(+1)0f x >的解集为 ▲ ．

12．已知()f x 是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，2()2f x x x =-+若函数()

f x 在区间[t ，2]上的值域为[﹣1，1]，则实数t 的取值范围是 ▲ ．

13. 已知定义在R 上的函数2

()23f x x x =--，设(),0()|()|,0f x x g x f x x ≤?=?>?

若函数()y g x t =-有且只有三个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ .

14． 已知函数()f x 满足()(),11+=+x f x f 当[]1,0∈x 时，()232f x x x =-

若对任意实数x ，都有()()f x t f x +<成立，则实数t 的取值范围 ▲ ．

二．计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15．（本题满分14分）

已知集合A ＝{}2|x y x x =

-，{}21,B y y x x x ==++∈R ． (1)求A ,B ；

(2)求A B ，B C A R ．

16. （本题满分14分）

试分别判断下列函数的奇偶性.

（1）2

1()x f x -=； （2）41()log (41)2x g x x =+-

. 17．（本题满分14分）

已知函数()2()2x x

f x m x R =+

∈为奇函数． (1)求m 的值； (2)求函数()()4,[0,1]4x x g x f x x -=-∈-的值域．

18．（本小题满分16分）

某投资公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投

资量x 成正比例，其关系如图1，B 产品的利润y 与投资量x 的算术平方根成正比例，其关

系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）

（1）分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；

（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投

资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

19．（本小题满分16分）

已知二次函数()f x 满足(1)(1)42f x f x x +--=-（x R ∈），且(0)1f =．

（1）求()f x 的解析式；

（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[]0,5上是单调函数，求实数t 的取值范围；

（3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有唯一实数根，求实数m 的取值范围

（注：相等的实数根算一个）．

20．已知函数2()()21

x

x f x x R =∈+. （1）试判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义给出证明；

（2）求函数()()f x x R ∈的值域；

(3) 是否存在正整数m ，n 使114(1)2()14(1)2n n m f m m +-

-<--成立？若存在，求出所有符合条件的有序数对(m ，n )；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.【答案】{}1,2,4

2.【答案】3

3.【答案】

4.【答案】4

5.【答案】3

6.【答案】5

7.【答案】[1,)+∞

8.【答案】[1,)+∞

9.【答案】12

10.【答案】2512

11.【答案】(,3)(1,)-∞-+∞

12.【答案】

[11]--

13.【答案】{}(0,3]4

14.【答案】2

(,)3

-∞-

15.解 (1)由x (x －1)≥0，解得0x ≤或1x ≥，所以(,0][1,)A =-∞+∞． 由y ＝x 2＋x ＋1＝? ????x ＋122＋34≥34，得B ＝????

??34，＋∞.……………………………7分 (2)因为?R B ＝?

????－∞，34， 所以A ∪B ＝(,0][,)34

-∞+∞，A ∩(?R B )＝(,0]A =-∞.………14分 16.解（1）由210|2|20

x x ?-≥?+-≠?可得函数()f x 的定义域为[1,0)(0,1]-，………2分

所以()f x ==，

所以()f x x

-==-，………4分 所以()()f x f x -=-

所以函数()f x 为奇函数.………7分

（2）因为x R ∈，

又41()log (41)()2

x g x x --=+--，

所以4444411()()log (41)log (41)22(41)(41)4log log log 40(41)(14)

x x x x x x x x g x g x x x x x x x x ----=+--+-++?=-=-=-=-=++………12分 所以()()g x g x -=，

所以函数()g x 为偶函数.…………14分

17.解（1）因为函数()2()2

x x f x m x R =+∈为奇函数 ， 所以()()0f x f x +-=恒成立．………2分

又11()()22(1)(2)222x x x x x x m f x f x m m +-=+

++?=++ 因为1202

x x +>， 所以10m +=，1m =-．………4分

(2)由（1）知函数()22x x

f x -=-， 所以函数()22x x

f x -=-在[0,1]x ∈上为增函数， 所以可得()3[0,]2f x ∈．………6分

令()t f x =，则3[0,]2t ∈且244

2x x t -+=+，………10分 所以22217(2)2()24y t t t t t =-+=-+-=---

因为217()2

4y t =---在1[0,]2t ∈上单调递增，在13[,]22

t ∈上单调递减， 所以当12t =时，217()24y t =---的最大值为74

-， 当32t =时，217()24y t =---的最小值为114

-，………12分 所以可得()[,]11744g x ∈--．………14分 18.解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为f （x ）万元，B 产品的利润为g （x ）万元． 由题意设f （x ）=k 1x ，

．由图知，∴

又g （4）=1.6，∴．

从而

，………4分 ………8分

（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10﹣x 万元，设企业利润为y 万元．

（0≤x≤10） 令，则=………12分

当t=2时，，此时x=10﹣4=6………14分 答：当A 产品投入6万元，则B 产品投入4万元时，

该企业获得最大利润，利润为2.8万元． ………16分

19．解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，代入(1)(1)42f x f x x +--=-， 得4242ax b x +=-，对于x R ∈恒成立，故44,22

a b =??=-?，……………………………3分 又由(0)1f =，得1c =，解得1,1,1a b c ==-=，

∴2

()1f x x x =-+．……………………………………………………………………5分 （2）因为2

()()2(21)1g x f x tx x t x =-=-++2

221(21)()124t t x ++=-+-， 又函数()g x 在[]0,5上是单调函数，故

2102t +≤或2152t +≥，…………………8分 截得12t ≤-或92

t ≥． 故实数t 的取值范围是19(,][,)22-∞-+∞．…………………………………………10分

（3）由方程()f x x m =+得2

210x x m -+-=， 令2

()21h x x x m =-+-，(1,2)x ∈-，

即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点，……………………………………………11分 ①(1)0h -=，则4m =，代入原方程得1x =-或3，不合题意；……………………12分

②若(2)0h =，则1m =，代入原方程得0x =或2，满足题意，故1m =成立；……13分 ③若△0=，则0m =，代入原方程得1x =，满足题意，故0m =成立；…………14分 ④若4m ≠且1m ≠且0m ≠时，由(1)40,(2)10,h m h m -=->??

=-

[)01,4．……………………………………………16分

20.解：（1）函数()f x 在R 上为增函数. ……………1分

下面用定义给出证明： 设12x x <，则121211()1,()12121

x x f x f x =-

=-++， 可得1221121111()()(1)(1)21212121

x x x x f x f x -=---=-++++ =121222(21)(21)x x x x -++ 因为12x x <，所以12

22x x <，所以1212220(21)(21)x x x x -<++，……………3分 所以12()()f x f x <，

所以函数()f x 在R 上为增函数. ……………4分

（2）因为20x

>，所以211x +>， 所以10121

x <

<+，……………6分 所以11021

x -<-

<+ 所以101121x <-<+， 所以()(0,1)f x ∈.……………8分

（3）因为2()()21

x

x f x x R =∈+ 所以由114(1)2()14(1)2

n n m f m m +--<--可得 ，

即，

即，

因为，

所以，

所以m<4，………10分

且

因为，

所以m=1或2或3，………12分

当m=1时，由（*）得，，所以n=1；

当m=2时，由（*）得，，所以n=1或2；

当m=3时，由（*）得，，所以n=2或3或4，

综上可知，存在符合条件的所有有序实数对为：．………16分

如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！

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