同济大学《高等数学》2.4节隐函数的导数参数方程的导数相关变化率

2.4隐函数求导法

h tan 500
两边对 t 求导

500
h
得： sec2 d 1 d h d t 500 d t
h = 500m 时, tan 1 , sec2 1 tan 2 2
d 1 1 140 d t 2 500
( rad/ min )
上顶直径8米的圆锥形容器中， 12. 水注入深8米，
解
两边取对数，化为隐式 1 ( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
方程两边对x求导得
1 1 1 1 1 y 2 1 y x 1 3 x 1 x4
y x x x
解
x
xx
y ( x ) ( x ) ( x
d y
d x 2 dx x dx
2
y y
dy x y dx x y

(1 y )( x y ) ( x y )(1 y ) ( x y )2 2 xy 2 y ( x y)
2

2
x ( x y ) y( x y ) ( x y )3
解
方程两边对x求导得
1 y 1 y 2 x x

1 x y
2 2
( x 2 y 2 )

x
2
2
x y
2
yx y
x
2

1 x y
2 2

2 x 2 y y
2 x2 y2
yx y x yy dy x y dx x y

( t )
( t )
( t ) d x 1 dx d x d t ( t ) dy d t dy d t dy dt

隐函数参数方程的导数

f (x)
u( x)

f ( x)
f ( x)[v( x) ln u( x) 1 u( x) v( x)] u( x)
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
对幂指函数 y uv 还可用化指数函数求导
第四节隐函数的导数由参数方程确定的隐函数的导数相关变化率*
一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程确定的函数的导数
四、相关变化率* 五、小结思考与练习六、作业
一、隐函数的导数
若由方程 F(x, y) 0 可确定 y 是 x的函数，则称此函数为隐函数.
若函数关系显示为 y f ( x) 形式，称为显函数.
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx

dy dt

dt dx
dy dt来自1 dxy的导数 dy , dy dx dx
. x0
解方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
dx
dx
解得
dy e x y dx x e y ,
由原方程知 x 0, y 0,
dy dx
x0

ex y xey
x0 y0
1.
例2 求由方程x y 1 sin y 0所确定的隐函数 2
注意
y evlnu
y evlnu (v ln u uv )
u
y uv ( vln u uv ) u
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式按幂函数求导公式
三、由参数方程所确定的函数的导数

二章第四节隐函数-26页PPT资料

第
eyyyxy0
①
四再求导, 得
节
ey y2 (ey x)y2y0
②
当 x0时, y 1, 故由 ① 得
高等
数再代入 ② 得
学
y(0) 1
e
y(0)

1 e2
22 /25
第
作业
二
章 P110 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ;
章
第四
利用新的参数方程
dy (t) ,可得 dx (t)
节
d2 y d x2

d (dy) dx dx
d (dy) dt dx
dx dt
(t)(t)(t)(t)

2 (t)
(t)
高
等数学
(t)(t)3 ( t)(t)(t)
高
等数
故
学
dy dx

dy dt
dx dt

t
(t1)(1coys)
14 /25
三、相关变化率
为两可导函数
第
二
章
之间有联系
之间也有联系
第
四节
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
高
等
数
学
求出未知的相关变化率
15 /25
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
10 /25
注意 : 已知
?
第
二
章例4. 设
第
y x tff((tt))f(t), 且
f(t)0,求

高等数学第2章第六节隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

0
解得:
t
t0
2v0
sin
g
,
射程:
x(t0
)
v
2 0
g
s in 2
12
参数方程高阶求导法举例
补充例题：
由
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
(t 2n , n Z ),
求d2y. dx 2
d 2 y dy' dy' dx y't
dx2 dx dt dt
x
' t
cot t 2t
x
7
3.隐函数的高阶导数举例
补充例题：方程 y tan( x y) 确定函数 y f ( x), 求 y.
解：先求 y :
y tan(x y)
方程两边分别对x 求导数
y ' sec2 ( x y) (1 y ') (1 y 2 )(1 y ')
解得: y' 1 y 2 y 2 1 ( y 0) y2
3
2
2
两边对x求导得：
1 y 5 1 3 1 1 1 1 y 3 3x 1 2 x 1 2 x 2
则
y
y 53
1 3 3x 1
1 2
1 x 1
1 2
x
1 2
5
(3x 1) 3
x x
1 2
3
5 x
1
1
2x
1
1
2x
2
5
解（二）：
由对数求导法
y'
y ln (3 x
5
1) 3
代入上式得d 140 0.14(rad / min)

2(4)隐函数求导

作业
习题2-4 (111页)
1.(3) 2. 3.(3) 4.(2) 5.(2) 7.(2) 8.(1) (4) 10.
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx

dt dx

3a sin2 t cos t 3a cos2 t( sin t)

tan
t
dt
d2 y dx 2

d dx
( dy dx
)

d dt
(dy ) dx

dt dx

d dt
(dy ) dx
dx dt

( (a
tan t ) cos3 t )
dt
500时,
500 tan
dt 1,sec2

2
d
dt

1 2
1 140 500
0.14(弧度/ 分)
仰角增加率
练习 ( P112页11题）
注水入深8cm上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为 4m3 / min .当水深为5m时，其表面上升的速率为多少？
2、作业集第37页第1、3、4（2）、7
对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍
对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.
对数求导法
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
求导法求出导数.
例设 y xsinx ( x 0), 求y.
解等式两边取对数得 ln y sin x ln x 上式两边对x求导得
其速率为140米 / 分.当气球高度为500米时,观察
员视线的仰角增加率是多少?

2.4隐函数的导数与由参数方程确定的函数的导数答案详解

2x x2
2)

六、设 xy yx x2 ，求 dy ． dx
解： eyln x exln y x2 eyln x ( y ln x y ) exln y (ln y x y) 2x
x
y

dy

y
exln y
ln
y 2x e yln x
解：方程两边同时对 x 求导有， cos(x y) (1 y) 2yycos x y2 sin x
y cos(x y) y2 sin x 2y cos x cos(x y)
3． ln(x2 y2 ) arctan y x
解：方程两边同时对
x
求导有，
3
dt
(1 t 2 )2
故切线方程为 y 12 a 4 (x 6 a) ，法线方程为 y 12 a 3 (x 6 a)
5
35
545
九、设
x

y

ln(1 t) arctan t
，求
d2 y dx2
t0
．
1
解： dy dx

1 t2 1

1 t 1 t2
二、设函数 y y(x) 由方程 exy sin(x2 y) y 所确定，试求 y(0) ．
解：方程两边同时对 x 求导有， exy ( y xy) cos(x2 y) (2xy x2 y) y
当 x 0 时， y 1，代入上式得 y(0) 1
注：由于是求隐函数在某点的导数，可不必写出导函数的表达式，直接代入即可

f (t) tf (t) f (t)

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

2019年3月8日星期五
5
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说明: 1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
2019年3月8日星期五
7
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( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
两边取对数
u ( ln u ) u
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
dh(t ) 由已知， h(t ) 12 cm 时，， 1 （cm /s） dt 代入上式得
dH (t ) 16 122 (cm / s) (1) dt 25 9 25
因此，当漏斗中水深为 12cm，水面下降速度为 1cm /s 16 时，桶中水面上升的速度为 cm /s． 25
dy yt (b sin t ) b b cos t 解： cot t dx xt (a cos t ) a( sin t ) a (t 0, π, 2π)
d 2 y d dy d b dt b 2 1 cot t csc t 2 dx dx dx dt a dx dx a dt b 2 1 b csc t 2 (t 0, π, 2π). 3 a a sin t a sin t
2019年3月8日星期五 19

2.4隐函数及由参数方程确定的函数的导数

x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
练习题
一、填空题：
1、设 x 3 2 x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0确定了 y 是 x 的函
数，则 dy =________， d 2 y ________.
22
y x2 y2 x
( 3,3 ) 1. 22
所求切线方程为
y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
例4
设
y 2 x ( x y) ln( x
y) ，
求
d2y dx 2
解
两边求导：
y'2 (1 y') ln( x y) ( x
dx 2
对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1
,
y x sin x .
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导
方法求出导数. --------对数求导法
适用范围:
(1)幂指函数y u( x)v( x)的情形.
(2)多个函数相乘: y f1( x) f2 ( x) fn ( x)的情形.
dx
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知
x
0,
y
0,
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例2
设 arctan y ln

隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率(2)

导数与微分
26
思考题
设
x y
(t (t
) )
，由
y
x
(t) (t)
可知
yx
(t ) ，对吗？ (t )
( (t ) 0)
导数与微分
27
思考题解答
不对． yx
d dx
yx
dyx dt
dt dx
(t) (t) t
1
(t )
导数与微分
28
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
导数与微分
8
例5
设 y xsinx ( x 0), 求y.
解等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dt
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
( tan t) (a cos3 t )
sec2 t 3a cos2 t sin t
sec4 t 3a sin t
导数与微分
3h dh dt
dV 28800米3 / 小时, 当h 20米时,
dt
dh 0.104米 / 小时 dt
导数与微分
水面上升之速率
25
五、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;

高等数学课件24隐函数精品文档

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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
两边取对数
lny x ln a a[ln bln x] b[ln xln a] b
arctanv2

o
x
v1
达到最高点的时刻 t

v2 g
, 高度 y
t

v2
g
1 2
v22 g
落地时刻 t

2v2 g
,
抛射最远距离 x
t

2v2 g
2v1v2 g
2019/10/7
高等数学
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例6. 设由方程 tx2 t2 y 2tsiyn1(01)
2019/10/7
高等数学
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二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程

x y
(t) (t)
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系, (t),(t)可导, 且 [(t)]2 [(t)]20,则
(t)0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: F(x,y)0
2019/10/7
两边对 x 求导
d F(x, y) 0 (含导数 y 的方程)
dx
高等数学
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例1. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
确定函数 yy(x),求 d y . dx