一维简谐振动方程
大物习题答案第4章机械振动
第4章 机械振动4.1基本要求1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点4.2基本概念1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。
简谐振动的运动方程 cos()x A t ωϕ=+2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。
3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。
4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1T ν=5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为22Tπωπν== 6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ωϕ+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位ϕ7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。
弹性势能222p 11cos ()22E kx kA t ωϕ==+ 动能[]22222k 111sin()sin ()222E m m A t m A t ωωϕωωϕ==-+=+v弹簧振子系统的机械能为222k p 1122E E E m A kA ω=+== 8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。
9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。
周期性外力称为驱动力。
10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。
4.3基本规律1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。
简谐振动的微分方程
dt m 2E
dx 1 kx2
2E
2E dt m
令： x 2E cos
k
则：dx 2E sin d
k
∴
dx
2E sin d
k
2E d
1 kx2
1 cos2
k
2E
∴
∴ 即 其中：
2E d
2E dt
k
m
d
k dt
m
d
k m
dt
k m
t
0
x
2E cos( k
k m
t
0
)
把 代入 x
l
kl
m
y
2mg
mg2l ky0l 0
y0 k
轻杆偏离 时，系统的转动方程为：
m(2l)2 mg 2l cos k( y0 y)l cos
当 角很小时，cos≈1 ，因此
4ml 2 mg 2l k( y0 y)l kyl kl l kl 2
∴ k 0 ∴该系统的运动是简谐运动。
A
x02
2 0
2
②确定初相: 先由 cos x0 确定φ的两个可能值；
A
再由 sin 0 的符号决定φ。 A
各种复杂的振动的振幅和初相位 都由初始条件决定。
[补充例题1] 如图所示，一弹簧振子放置在光滑的水平面上。已知弹簧
的劲度系数 k=1.60N/m，物体的质量m=0.40kg。
将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后并给
cos x0
A ∴
0.1 2 和 sin 0 0
0.1 2 2
A
x 0.1
2
cos(2t
π )(m)
简谐运动微分方程推导
简谐运动微分方程推导
简谐运动是物理学中非常重要的一个概念，它描述了一种周期性的运动，如振动和波动等。
在数学上，简谐运动可以用微分方程来描述。
本文将介绍简谐运动微分方程的推导过程。
首先，我们需要了解简谐运动的定义。
一个物体进行简谐运动时，它的位移x可以表示为：
x = A sin(ωt + φ)
其中，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位常数。
简谐运动的周期T等于2π/ω，频率f等于ω/2π。
我们现在要推导简谐运动的微分方程。
根据牛顿第二定律，物体的加速度a等于力F除以质量m：
a = F / m
对于简谐运动，力可以表示为弹性力和阻尼力的合力：
F = -kx - bv
其中，k是弹性系数，b是阻尼系数，v是速度。
我们可以通过对位移和速度的一阶导数进行求解，得到简谐运动的微分方程：
x'' + (k/m) x= 0
这个微分方程也可以表示为：
x'' + ωx = 0
其中，ω=k/m是简谐运动的角频率的平方。
这个微分方程描述了一个在没有外力作用下的简谐运动。
如果加入阻尼或强制外力，微分方程将会有所不同。
总之，简谐运动微分方程是描述简谐运动的重要数学工具。
通过推导，我们可以更好地理解简谐运动的本质。
一维谐振子的本征值问题
摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrödinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。
在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrödinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光5[-。
学等领域]13一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
简谐波质点的振动方程公式
简谐波质点的振动方程公式在学习物理的旅程中，简谐波质点的振动方程公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开理解波动现象的大门。
先来说说简谐波质点的振动方程公式到底长啥样。
它一般可以写成y = A sin(ωt + φ) 或者y = A cos(ωt + φ) 。
这里的 A 表示振幅，就是质点振动的最大位移；ω 是角频率，和周期、频率有关系；t 是时间；φ是初相位，决定了振动的初始状态。
就拿咱们生活中的例子来说吧，想象一下你在湖边看到水波荡漾。
那些水粒子就像是一个个简谐波中的质点，它们上下振动着。
假如我们仔细观察其中一个质点的运动，就可以用这个振动方程公式来描述它的位置随时间的变化。
还记得有一次我在课堂上给学生们讲解这个公式的时候，有个调皮的小家伙举手问我：“老师，这公式有啥用啊，感觉好复杂！”我笑了笑，从讲台上拿起一根绳子，一端系在桌子腿上，另一端握在手里上下抖动。
“同学们，看这根绳子上的波动，每个点的运动是不是有规律的？”大家都睁大眼睛看着。
我接着说：“这就像简谐波呀，我们用这个公式就能算出每个点在不同时刻的位置。
”然后我又在黑板上画出了几个不同参数下的振动图像，让大家对比着看。
“你们看，当振幅 A 变大时，振动的幅度就更大；角频率ω 变大，振动就变得更急促。
” 同学们开始交头接耳，讨论着这些变化。
在解题的时候，这个公式也是大有用处。
比如已知一个质点的振幅是 5 厘米，角频率是2π 弧度每秒，初相位是π/4 ，要我们求在 t = 2 秒时质点的位置。
这时候，我们把数值代入公式：y = 5 sin(2π×2 + π/4) ，经过计算就能得出答案。
其实，不仅仅是水波，声音的传播也可以用简谐波质点的振动方程公式来描述。
当我们听到美妙的音乐时，声音的波动也是符合这个规律的。
还有地震波，虽然它带来的可能是灾难，但从物理的角度看，也是可以用这个公式来分析的。
总之，简谐波质点的振动方程公式虽然看起来有点复杂，但它就像是一个隐藏在物理世界中的密码，只要我们掌握了它，就能揭开很多波动现象的神秘面纱，更好地理解这个奇妙的世界。
一维谐振子波函数
一维谐振子波函数摘要：一、一维谐振子的基本概念二、一维谐振子的波函数1.波函数的实值与复值2.波函数的时间依赖性三、一维谐振子的能量本征函数四、应用与结论正文：一、一维谐振子的基本概念一维谐振子是一种物理模型，用于描述在一维空间中运动的粒子受到弹性势能的影响而发生振动的现象。
在这个模型中，粒子被限制在一个有限的空间范围内，如一个线性的势阱。
一维谐振子的研究有助于理解简谐振动在其他领域的应用，如机械振动、电磁波等。
二、一维谐振子的波函数1.波函数的实值与复值在研究一维谐振子时，我们需要关心波函数。
波函数是描述粒子在空间中位置的函数，通常表示为Ψ(x)。
在一维谐振子问题中，波函数可以分为实部和虚部，即Ψ(x) = A * cos(kx - ωt) + Bi * sin(kx - ωt)，其中A和B为实数，k 为波数，ω为角频率，t为时间。
2.波函数的时间依赖性由于波函数中含有时间变量t，因此我们需要了解波函数随时间的变化规律。
从薛定谔方程可以看出，波函数的时间偏导数含有虚数单位i，所以一般情况下波函数为复值函数。
而波函数的模平方不随时间变化，表示粒子在某一位置的概率密度。
三、一维谐振子的能量本征函数在一维谐振子问题中，能量本征函数是描述粒子能量的函数。
对于简谐振子，能量本征函数可以表示为Ψ(x) = C * exp(-x/2) * Hermite polynomials(x)，其中C为归一化常数，Hermite polynomials(x)为赫尔墨特多项式。
这些本征函数满足薛定谔方程，并具有归一化和正交性质。
四、应用与结论一维谐振子的研究在物理学、力学等领域具有广泛的应用。
通过对一维谐振子的研究，我们可以更好地理解简谐振动的特点，为实际问题的解决提供理论依据。
在实际应用中，一维谐振子模型可以扩展到更高维度的谐振子模型，从而为多维系统的分析提供方法。
普通物理学 §10-1 简谐振动
是代数值，有正负。 注意: φ有二个解。
如φ=α是解
φ=π+α也是解.
2.简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(1)振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
2 A x0 ( v0 ) 2
由初始条件确定
(2)周期和频率 周期：物体作一次完整振动所经历的时间。
x A cos(t 0 ) A cos[ (T t ) 0 ]
1 E kA2 2 1 2 Ep k A cos2 t 2
o
T
4
T
2
3T
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 E kA2 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
B
Ek
Ep
O
x
A
x
能量守恒
推导
简谐运动方程
1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2
第一次回到平衡位置所需时间：
△t = （ π/3 + π/2） /ω = (5π/6) /π = 5/6 秒 =0.83s
B’ O 0.06
●
ω
φ B C
x (m
A(t=0)
例2一谐振动的振动曲线如图所示。 φ 求：ω 、 以及振动方程。 x x A
A 2
A
A x0 = 2 t = 0时 { ...φ = π 3 v0 ＞0 A x1 = 0 2π ..Φ 1= π . t =1时 { dx 2 v1 = x dt ＜ 0 π =π ..ω = 5 π . Φ1 =ω t 1+ φ =ω × 1
M P
A
简谐振动中动能的标准方程
简谐振动中动能的标准方程
简谐振动是物理学中的一个重要概念，它描述了一种周期性的运动，
例如弹簧振子和摆钟。
在简谐振动中，物体沿着一个固定轨道来回运动，其运动速度和加速度都是正弦函数。
因此，在简谐振动中，动能
的标准方程可以表示为：
K = (1/2)mv² = (1/2)kA²sin²(ωt + φ)
其中，K表示物体的动能，m表示物体的质量，v表示物体的速度，k 表示弹性系数（也称为劲度系数），A表示振幅（即最大偏离距离），ω表示角频率（即单位时间内的往复次数），t表示时间，而φ则是
相位常数。
从上述方程可以看出，在简谐振动中，物体的动能与其位置有关，并
且随着时间而变化。
当物体通过平衡位置时，它具有最大的速度和最
小的势能。
在这个点上，它具有最小的位移和最大的动能。
此外，在简谐振动中还存在一个重要概念——机械能守恒定律。
机械
能守恒定律指出，在没有外力作用下（例如阻力等），系统总机械能
保持不变。
因此，在简谐振动中，动能和势能之间存在着一种平衡关系，它们的总和始终保持不变。
总之，简谐振动是物理学中一个重要而有趣的概念。
通过对其动能的标准方程的分析，我们可以更好地理解这种运动形式，并且深入了解其机制和特性。
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一维简谐振动方程
x = A cos(ωt + φ)
其中，x表示质点的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
在这个方程中，振幅A表示质点离开平衡位置的最大位移量。
角频率
ω表示单位时间内振动的次数，单位为弧度/秒。
初相位φ表示在t=0
时刻的初始相位。
一维简谐振动的运动方程可以通过引入受力分析得到。
假设质点的质
量为m，弹簧的劲度系数为k，那么质点在弹簧的作用下受到恢复力的作用。
根据胡克定律，恢复力与质点的位移成正比，方向与位移方向相反。
恢复力的大小可以表示为F = -kx。
根据牛顿第二定律，质点的加速度a与受力F成正比，且方向与受力
方向相同。
根据定义，加速度a等于位移x对时间t的二阶导数。
所以，
如果我们用F = -kx和F = ma结合，可以得到以下方程：
m(d^2x/dt^2) = -kx
这就是简谐振动的运动方程。
为了求解这个微分方程，我们可以假设
解为x = Acos(ωt + φ)，然后将它代入方程中验证。
根据两边的积分
运算得到：
-mω^2Acos(ωt + φ) = -kAcos(ωt + φ)
根据三角函数性质，如果两个角度相等，则它们的余弦值也相等。
所以，我们可以得到两个方程：
-mω^2A=-kA
ω^2=k/m
从第一个方程我们可以看出，质点振动的角频率与质点的质量和劲度系数成正比。
从第二个方程我们可以看出，角频率的平方等于弹簧劲度系数与质点的质量比值。
根据以上的分析，我们可以得到简谐振动的一维运动方程：
x = Acos(ωt + φ)
其中，振幅A和初始相位φ可以由初始条件确定。
角频率ω可以根据弹簧劲度系数k和质点质量m计算得到。
简谐振动方程的求解可以帮助我们理解振动的特性，如振动频率、振动周期等。
它也为我们的工程应用提供了理论基础，如在建筑结构设计中用于减震、在机械工程中用于设计自由摆、在电子工程中用于设计电路等等。
总之，一维简谐振动方程是一种重要的物理方程，在物理学和工程学中有着广泛的应用。
通过理解和掌握这个方程，我们能够深入了解振动的本质，提高我们对各种振动现象的理解和应用能力。