【四川成都树德中学高三三诊文数】2020年四川省成都树德中学高三高考三诊模拟考试文科数学试卷含答案
4. 已知直线 x 7 y 10 把圆 x2 y2 4 分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（ ）
A.
2
2
B.
3
C. D. 2
5. 若 x 的取值范围为[0,10] ，给出如图所示的程序框图，输入一个数 x ，则输出的
y 满足 y 5 的概率为（ ）
A..7
x 4y 3 0 6. 变量 x, y 满足 3x 5y 25 0 ，则 x2 y2 6x 4 y 14 的最大值为（ ）
x 1
A. 8
B. 9
C. 64
D. 65
7. 某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为
1，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）
2
A.
2
B. 1 2 2
C. 1 2 2
D. 2 2
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 双曲线 x2 y2 （ R 且 0 ）的离心率为
.
9 16
14. 复数 z 满足方程 z2 z 3 0 ， z 是 z 的共轭复数，则 z z .
15.
若
A. 3
B. 4
C. 7
D. 8
2．方程 x2 y2 1 表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） m2 m3
A. 3 m 0 B. 3 m 2 C. 3 m 4 D. 1 m 3 3. 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置 P(x, y) ，若初
存在两个定点 C, D ，使得当直线 l 运动时，| MC | | MD |为定值？若存在，求出点 C, D 的坐标和定
值；若不存在，请说明理由.
18.（12 分）如图，四面体 ABCD 中 ， O 、 E 分 别 是 BD 、 BC 的 中 点 ，
CA BC CD BD 2 . AB AD 2 .（1）求证： AO 平面 BCD .（2） 求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值. （3）求点 E 到平面 ACD 的距离.
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为 1 2
，且过点 P(1, 3) ，直线 l : 2
y
kx m
交椭圆 E 于不同的两点 A, B ，设线段 AB 的中点为 M . （1）求椭圆 E 的方程；
（2）当 AOB 的面积为 3 （其中 O 为坐标原点）且 4k2 4m2 3 0 时，试问：在坐标平面上是否 2
始位置为 P0 (
3 2
,
1 2
)
，当秒针从
P0
（此时
t
0 ）正常开始转动时，那么点 P 的
纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为（ A. y sin( t ) 30 6 C. y sin( t ) 60 6
）
B. y sin( t ) 30 6
D. y sin( t ) 30 3
树德中学高 2017 级三诊模拟数学（文科）试题
一、本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的.
1. 已知集合 A {x | x2 2x 3 0, x Z} ，集合 B {x | x 0}，则集合 Z A B 的真子集个数为
（）
17. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 Sm1 4 ，Sm 0 ，Sm2 14（ m 2 且 m N *）（12
分）
（1）求 m 的值；
（2）若数列
{bn}
满足
an 2
log2 bn (n N*) ，求数列{(an
6)bn}的前 n 项和.
20.
（12 分）已知椭圆 E
19. （12 分）2019 年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二 次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国会第二次会议，分别于 2019 年 3 月 5 日和 3 月 3 日在北京召开. 为了了解哪些人更关注“两会”，某机 构随机抽取了年龄在 15-75 岁之间的 200 人进行调查，并按年龄绘制出频 率分布直方图，如图.
）
x , x 0
A. (4,3)
B. (5,2)
C. (3,4) D. (, 3) (4, )
12. 已知点 M , N 是抛物线 y 4x2 上不同的两点， F 为抛物线的焦点，且满足 MFN 135 . 弦
MN 的中点 P 到直线 L : y 1 的距离为 d ，若 | MN |2 d 2 ，则 的最小值为（ ） 16
f
(
x)
1
2 2
x
1
1 4
x
，且
f [loga (
2 1)] 1，其中 a 1，则 f [loga (
2 1)]
.
16. 函数 f (x) x2 6x sin x 1( x R) 的零点个数有
个.
2
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三、解答题.（共 70 分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤。第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共 60 分）
A. 2 3 2 2
B. 7 3 2 22
C. 3 2 2 D. 2 2
8. 已知平面 及直线 a, b ，则下列说法错误的个数是（ ）
①若直线 a, b 与平面 所成角都是 30 ，则这两条直线平行；②若直线 a, b 与平面 所成角都是 30 ，
则这两条直线不可能垂直；③若直线 a, b 垂直，则这两条直线与平面 不可能都垂直；④若直线 a, b 平
10. ABC 的外接圆的圆心为O ，满足 CO mCA nCB 且 4m 3n 2 ，| CA | 4 3 ，| CB | 6 ，
则 CA CB （ ）
A. 36
B. 24
C. 24 3 D. 12 3
11.
设函数
f (x)
log2 ( x 1), x
0
，则满足
f (x 1) 2 的 x 的取值范围为（
行，则这两条直线中至少有一条与平面 平行.
A. 1
B. 2
C. 3
D.4
9.
已知函数
f (x)
ex ex
1 1
，
g(
x)
1
x
，若对
x1
R
，总存在
x2
[m,
n]
，使得
f (x1)
g(x2 ) 成
立，以下对 m 、 n 的取值范围判断正确的是（ ）
A. m 2 B. m 2
C. n 2 D. n 2
四川省成都市2020届高三三诊模拟文科数学试题有答案(精校版)
成都2020届第三次高考模拟文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一次硬币一次，设命题p 是“甲抛的硬币正面向上”，q 是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ⌝∨2.已知集合{}{}2|02,|10A x x B x x =<<=-<，则AB =（ ）A ． ()1,1-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()0,1 3.若1122aii i+=++，则a =（ ） A ．5i -- B ．5i -+ C ．5i - D ． 5i +4.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14-B ． 12- C. 14 D ．125.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+ C. 4012π+ D ．4016π+ 6.设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边的中点，则（ ） A ．3144BO AB AC =-+ B ． 1144BO AB AC =-+ C. 3144BO AB AC =- D ．1124BO AB AC =-- 7.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ． 2016B ．1024 C.12D ．-1 8. 函数()()2sin 4cos 1f x x x =-的最小正周期是（ ） A ．23π B ． 43π C. π D ．2π 9. 等差数列{}n a 中的24030a a 、是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点，则()22016log a =（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．510. 已知()00,P x y 是椭圆22:14x C y +=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF <，则0x 的取值范围是（ ） A ．2626⎛ ⎝⎭ B ．2323⎛ ⎝⎭ C. 33⎛ ⎝⎭ D ．66⎛ ⎝⎭ 11. 已知函数()221f x x ax =-+对任意(]0,2x ∈恒有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,1- C. (],1-∞ D ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12.设集合()()()()()()2222436,|34,,|3455A x y x y B x y x y ⎧⎫⎧⎫=-+-==-+-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，(){},|234C x y x y λ=-+-=，若()A B C φ≠，则实数λ的取值范围是（ ） A ．25652,65⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ B ．25⎤⎥⎣⎦ C. []2524,6⎤⎥⎣⎦D ．{}652,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13.已知向量1,2a b ==，且()21b a b +=，则向量,a b 的夹角的余弦值为 ．14.若,m n 满足101040m n a m n n -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2u m n =-的取值范围是 ．15.直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点()1,2A ，则b a -= .16.已知函数()11,112,1x x x f x x e x +⎧->⎪=-⎨⎪-≤⎩，若函数()()2h x f x mx =--有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知4B π=，cos cos20A A -=.（1）求角C ；（2）若222b c a bc +=-+，求ABC S ∆.18.某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家里和品种乙）进行田间实验.选取两大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙. （1）假设2n =，求第一大块地都种植品种甲的概率；（2）试验时每大块地分成8小块，即8n =，试验结束后得到的品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：2/kg hm ）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 19. 如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若011,60AC AB CBB ⊥∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．20.如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直径交椭圆于,A B 两点.当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角为60°.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆（O 为原点）的面积为2S ，求12S S 的取值范围． 21. 已知函数()1ln f x x ax a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（,0a R a ∈≠且）． （1）讨论()f x 的单调区间；（2）若直线y ax =的图象恒在函数()y f x =图象的上方，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，知圆:cos sin O ρθθ=+和直线)2:sin 0,0242l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭． （1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: ABDCC 6-10: ADAAA 11、12：CA二、填空题13. 4-14. 1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15. 5 16. (]{}{},0426m e ∈-∞--三、解答题17. 解：（1）因为cos cos20A A -=，所以22cos cos 10A A --=，解得1cos 2=-，cos 1A =（舍去）． 所以23A π=，又4B π=，所以12C π=． （2）因为23A π=，所以222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，又222b c a bc +=-+， 所以22a a =+，所以2a =，又因为sin sinsin 1234C πππ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，由sin sin c a C A =得3c =，所以1sin 123ABC S ac B ∆==-．18.解：（1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A = “第一大块地都种品种甲”．从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；()()()1,2,1,3,1,4，()2,3，()2,4，()3,4．而事件A 包含1个基本事件：()1,2．所以()16P A =； （2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14033973904043884004124064008x =+++++++=甲， ()()()()2222222213310412012657.258S =+-+-++-+++=甲， 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14194034124184084234004134128x =+++++++=乙， ()()()()22222222217906411121568S =+-+++-++-+=乙， 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．19.解：（1）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥． 又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，故1B C ⊥平面ABO ．由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥． （2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD ．作OH AD ⊥，垂足为H ．由于BC AO ⊥，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥．又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC ，因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得OD =．由于1AC AB ⊥，所以11122OA B C ==．由OH AD OD OA =，且4AD ==，得14OH =．又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 的距离为7故三棱柱111ABC A B C -的距离为7． 20.解：（1）由题意，当直线AB 经过椭圆的顶点()0,b 时，其倾斜角为60°．设(),0F c -，则0tan 60b c ==222a b c -=，所以2a c =．所以椭圆的离心率为12c e a ==． （2）由（1）知，椭圆的方程可表示为2222143x y c c+=．设()()1122,,,A x y B x y ．根据题意，设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其带入2223412x y c +=，整理得()2222224384120k x ck x k c c +++-=，则()21212122286,24343ck ckx x y y k x x c k k -+=+=++=++，22243,443ck ck G kk ⎛⎫- ⎪+⎝⎭． 因为GD AB ⊥，所以2223431443Dckk k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+．因为GFD OED ∆∆，所以2122299GD S S k OD ==+，由题意，()0,k ∈∞，∴()290,k ∈∞，所以12S S 的取值范围是()9,+∞． 21.解：（1）()f x 的定义域为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，且()2111a x f x a ax x a'=-=-++． ①当0a <时，∵1x a >-，∴1ax <-，∴()0f x '>，函数在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭是增函数； ②当0a >时，10ax +>，在区间1,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0f x '>；在区间()0,+∞上，()0f x '<． 所以()f x 在区间1,0a ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数；在区间()0,+∞上是减函数． （2）当0a <时，取1x e a=-，则1111201f e a e ae ae a e a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=->>-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不合题意．当0a >时，令()()h x ax f x =-，则()12ln h x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 问题转化为()0h x >恒成立时a 的取值范围．由于()1212211a x a h x a x x a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=-=++，所以在区间11,2a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，()0h x '<；在区间1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()0h x '>．所以()h x 的最小值为12h a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以只需102h a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1112ln 022aa a a ⎛⎫⎛⎫---+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1ln12a <-，所以2ea >． 22.解：（1）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sinρρθρθ=+，故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，直线:sin 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 1ρθρθ-=，则直线的直角坐标方程为：10x y -+=．（2）由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩解得01x y =⎧⎨=⎩．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为()0,1，转化为极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭． 23.解：（1）原不等式为：23215x x ++-≤， 当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<； 当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤． 所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．。
四川省成都市2020届高三下学期三诊模拟考试数学(文)试题Word版含答案
成都七中 2018届高三三诊模拟试题(文科)数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.1 .已知会合Ax3x2，Bxy1x，则AB为（）A．0,3B．1,3C．0,1D．2.已知复数z知足1+z1z(i为虚数单位)，则z的虚部为（）iA．i B ．-1C．1D．i3.把0,1内的平均随机数x分别转变为0,4和4,1内的平均随机数y1，y2，需实行的变换分别为A．y14x,y25x4B．y14x4,y24x3 C．y14x,y25x4D．y14x,y24x34.已知命题p:x R,x20，命题q:xR，xx，则以下说法中正确的选项是（）A．命题p q是假命题B．命题p q是真命题C.命题p(q)真命题D．命题p(q)是假命题《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如下图，则该“堑堵”的表面积为（）A．4B．642C.4+42D．26.已知O为ABC内一点，且AO1OC)，AD tAC，若B,O,D三点共线，(OB2则t 的值为（ ）A ．1B．1C.1 D ．24323x y 47. 在拘束条件2x y 2下，目标函数 zx2y 的最大值为（）y x4A ． 26 B．24C.22 D．208. 运转以下框图输出的结果为 43，则判断框应填入的条件是（ ）A ．z42B．z 45 C. z 50D ．z 529.已知函数x 2 x,x2))的值为（）f(x)是奇函数，则g(f(g(x),xA ．0B．D．-410.将函数f(x)sinx 图象上每一点的缩短为本来的一半(纵坐标不变)，再向右平移个单6位长度获得 yg(x)的图象，则函数yg(x)的单一递加区间为（）A ．2k,2k 5 zk12 12C.k,k 5zk1212B．2k ,2k 5 kz66D．k,k 5 kz6611.已知双曲线x 24y 21(a0)的右极点到其一条渐近线的距离等于 3，抛物线C:a 24E:y 2 2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线 l 1:4x3y60和l 2:x1距离之和的最小值为（）A ．1B．2D．448x 3,1x2, 212.定义函数f(x),则函数g(x)xf(x)在区间1x),x2f(221,2(nN)内的全部零点的和为（）A．n B．2n3(21)D3 C.．(21)42第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.log318log32e ln1．14.在平面直角坐标系中，三点O(0,0),A(2,4)，B(6,2)，则三角形OAB的外接圆方程是．15.在锐角ABC中，角A 、、C所对的边分别为a,b,c，且、、C成等差数列，b3，B AB则ABC面积的取值范围是．16.四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S ABCD的体积取值范围为43,8，则该四棱锥外接球表面积33的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知公差不为零的等差数列a n中，a37，且a1，a4，a13成等比数列.（1）求数列a n的通项公式；（2）记数列a n2n的前n项和S n，求S n.18.某县共有90间乡村淘宝服务站，随机抽取5间，统计元旦时期的网购金额(单位：万元)的茎叶图如下图，此中茎为十位数，叶为个位数.（1）依据茎叶图计算样本均值；（2）若网购金额(单位：万元)不小于18的服务站定义为优异服务站，其他为非优异服务站.依据茎叶图推测90间服务站中有几间优异服务站？（3）从随机抽取的5间服务站中再任取2间作网购商品的检查，求恰有1间是优异服务站的概率.19.在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，四边形 ADEF 是正方形，AB//DC ， CD AD ，面ABCD 面ADEF ，AB AD1.CD2 .（1）求证：平面EBC平面EBD ；（2）设M 为线段EC 上一点，3EM EC ，试问在线段BC 上能否存在一点 T ，使得MT//平面BDE ，若存在，试指出点 T 的地点；若不存在，说明原因?（3）在（2）的条件下，求点A 到平面MBC 的距离.20.设F 1、F 2分别是椭圆E:x 2y 21的左、右焦点 .若P 是该椭圆上的一个动点，4b 2PF 1 PF 2的最大值为1.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l:xky1与椭圆交于不一样的两点 A 、B ，且AOB 为锐角(此中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围.21.已知函数1 alnx ，此中aR ；f(x)x（Ⅰ）若函数f(x)在x1处获得极值，务实数 a 的值，（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若对于x 的不等式f(xx 2 (t2)xt21) x 2 3x(tN)，当x12时恒建立，求 t 的值.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x25cos,(为参数).在以坐标原点为y2sin,极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系屮，曲线C2:24cos2sin40.（Ⅰ）写出曲线C1，C2的一般方程；（Ⅱ）过曲线C1的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线C2于A,B两点，求AB.423.选修4-5：不等式选讲已知x R，使不等式x1x2t建立.（1）求知足条件的实数t的会合T；.（2）若m1，n1，对t T，不等式log3mlog3n t恒建立，求m2n2的最小值试卷答案一、选择题1-5:CCCCB6-10:BAACC 11、12：BD二、填空题13.314.x2y26x2y015.3,332416.S28,203三、解答题17.（1）∴a n2n1（2）2(12n)2n118.解:（1）样本均值X 46121820512（2）样本中优异服务站为2间，频次为2，由此预计90间服务站中有90236间优异服55务站；（3）因为样本中优异服务站为2间，记为a1,a2，非优异服务站为3间，记为b1,b2,b3，从随机抽取的5间服务站中任取2间的可能性有(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共10种状况，此中恰有1间是优异服务站的状况为3(a1,a1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3)6种状况，故所求概率为p.519.解:（1）因为面ABCD面ADEF，面ABCD面ADEF AD，ED AD，因此ED面ABCD，ED BC.在梯形ABCD中，过点作B作BH CD于H，故四边形ABHD是正方形，因此ADB45.在BCH中，BH CH1，∴BCH45.BC2，∴BDC45，∴DBC90∴BC BD.因为BD ED D，BD平面EBD，ED平面EBD. BC平面EBD,BC平面EBC，∴平面EBC平面EBD.（2）在线段BC上存在点T，使得MT//平面BDE在线段BC上取点T，使得3BT BE，连结MT.在EBC中，因为BTEM1，因此CMT与CEB相像，因此MT//EB BC EC3又MT平面BDE，EB平面BDE，因此MT//平面BDE.（3）6620.解:（1）易知a2，c4b，b24因此F14b,0，F24b,0，设P x,y，则PF1PF24b x,y，4bx,y x2y24bx2b2b2x24b(1b2)x2b2b4 44因为x2,2，故当x2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1PF2有最大值1，即1(1b2)4b2b4，解得b14故所求的椭圆方程为x2y214（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，由x ky1得x2y214(k24)y22ky30，故y y2k，y y3.12k2412k24(2k)212(4k2)16k2480又AOB为锐角cos AOB0OAOB0，∴OAOBx1x2y1y20又x1x2(ky11)(ky21)k2y1y2k(y1y2)1∴x1x2y1y21k2y1y2k(y1y2)1(1k2)432k21 k24k233k22k24k214k20，4k24k2∴k21，解得1k1∴k的取值范围是(1,1). 4222221.解:（Ⅰ）f(x)1a ax1 x2x x2当x1时，f(x)0，解得a1经考证a1知足条件，（Ⅱ）当a1时，f(x1)x2(t2)x t2x t1 x23x2x2x1整理得t(x2)ln(x1)x 令h(x)(x2)ln(x1)x，则h(x)x21)11ln(x1)0，(x1) xln(xx11因此h(x)min3ln21，即t3ln21(0,2)∴t122.解:（Ⅰ）x25cos(x)2(y)2cos2sin21y2sin252即曲线C1的一般方程为x2y21 204∵2x2y2，x cos，y sin曲线C2的方程可化为x2y24x2y40即C2:(x2)2(y1)21.（Ⅱ）曲线C1左焦点为(4,0)直线l，sin 2的倾斜角为4cos2x24t因此直线l的参数方程为2（t参数）将其代入曲线C2整理可得2t2t232t40，设A,B对应的参数分别为t1,t2则因此t1t232，t1t24.因此AB t1t2(t1t2)24t1t2(32)2442.1,x123.解：（1）令f(x)x1x22x3,1x2，则1f(x)1，1,x 2因为x R使不等式x 1 x 2 t建立，有t T tt 1.四川省成都市2020届高三下学期三诊模拟考试数学(文)试题Word版含答案（2）由（1）知，log3m log3n1，依据基本不等式log3mlog3n2log3mlog3n2，进而mn32，当且仅当m n3时取等号，再依据基本不等式m n2mn6，当且仅当m n3时取等号.因此mn的最小值为18.四川省成都市2020届高三下学期三诊模拟考试数学(文)试题Word版含答案11 / 1211四川省成都市2020届高三下学期三诊模拟考试数学(文)试题Word版含答案12 / 1212。
2020届四川省成都市高中毕业班第三次诊断性检测数学(文)试题(解析版)
2020届四川省成都市高中毕业班第三次诊断性检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}0,A x =，{}0,2,4B =.若A B ⊆，则实数x 的值为（ ） A ．0或2 B ．0或4C ．2或4D ．0或2或4【答案】C【解析】利用子集的概念即可求解. 【详解】集合{}0,A x =，{}0,2,4B =若A B ⊆，则集合A 中的元素在集合B 中均存在， 则0,2x =或4，由集合元素的互异性可知2x =或4， 故选：C 【点睛】本题考查了子集的概念，理解子集的概念是解题的关键，属于基础题.2．若复数z 满足25zi i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面上对应的点的坐标为（ ） A ．()2,5 B ．()2,5-C ．()5,2-D ．()5,2-【答案】D【解析】根据题意两边同时除以i 可求出复数z ，然后即可求出z 在复平面上对应的点的坐标. 【详解】解：因为25zi i =+，所以2552iz i i+==-，故z 在复平面上对应的点的坐标为()5,2-.故选：D. 【点睛】本题考查复数与复平面上点的坐标一一对应的关系，考查复数除法的四则运算，属于基础题.3．命题“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，20010x x -+> B ．x R ∀∈，210x x -+≤ C ．0x R ∃∈，20010x x -+≥D ．x R ∀∈，210x x -+>【答案】D【解析】含有全称量词和特称量词的否定是：否量词，否结论，不否范围. 【详解】解：命题“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定是x R ∀∈，210x x -+>.故选：D. 【点睛】本题考查含有全称量词和特称量词的命题的否定，熟练掌握否定的规则是解题的关键，本题属于基础题.4．如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】直接利用三视图和直观图的转换的应用求出结果. 【详解】解：根据几何体的三视图可知该几何体为三棱柱，当选A 时，正视的中间的竖线应为虚线，选项BCD 均可能， 故选：A 【点睛】此题考查三视图与几何体之间的转换，考查学生的转换能力和空间想象能力，属于基础题.5．已知函数()22x x f x -=-，则()2log 3f =（ ） A ．2B ．83C ．3D ．103【答案】B【解析】根据函数解析式及指数对数恒等式计算可得； 【详解】解：因为()22x x f x -=- 所以()22log 3log 3218log 322333f -=-=-=故选：B 【点睛】本题考查函数值的计算，对数恒等式的应用，属于基础题.6．已知实数,x y 满足102050x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数2z x y =+对应的直线进行平移，可得当3x =，2y =时，2z x y =+取得最大值8．【详解】作出实数x ，y 满足10,20,50x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩表示的平面区域，得到如图的ABC 及其内部，其中(3,2)A ，(1,2)B ，(1,4)C设(,)2z F x y x y ==+，将直线:2l z x y =+进行平移， 当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值()3,22328max z F ∴==⨯+=．故选：C ． 【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数2z x y =+的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为202m 的半圆形空地O 的内部修建一矩形观赛场地ABCD ，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（ ）A ．4002mB ． 24002mC ．6002mD ．8002m【答案】D【解析】连接OD ，设COD θ∠=，则sin CD OD θ=，cos OC OD θ=，2ABCD S OC CD =⋅根据三角函数的性质求出面积最值；【详解】如图连接OD ，设COD θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin 202sin CD OD θθ==，cos 202OC OD θθ==所以22202202800sin 2ABCD S OC CD θθθ=⋅=⨯⨯=因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,θπ∈，所以(]sin 20,1θ∈，所以(]0,800ABCD S ∈，当4πθ∈时()max 800ABCD S =故选：D 【点睛】本题考查三角函数的应用，属于基础题.8．在等比数列{}n a 中，已知19nn n a a +=，则该数列的公比是（ ）A ．－3B ．3C ．3±D ．9【答案】B【解析】由已知结合等比数列的性质即可求解公比. 【详解】解：因为190nn n a a +=>，所以11111999nn n n n n n n a a a a a a ++---===， 所以29q =，所以3q =或3q =-，当3q =-时，109nn n a a +=<不合题意，故选：B 【点睛】此题考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题.9．已知函数()33f x x x =-，则“1a >”是“()()1f a f >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对函数()33f x x x =-进行求导可得到：()()()2()31311f x x x x '=-=-+从而可得出函数()33f x x x =-在(),1x ∈-∞-上递增，在()1,1x ∈-递减，在()1,x ∈+∞递增，根据函数的单调性可知：当1a >时，有()()1f a f >成立，即充分性成立；当()()1f a f >时，a 的范围不一定是1a >，可能11a -<<，即必要性不成立，所以“1a >”是“()()1f a f >”的充分不必要条件. 【详解】由题意可得：()()()2()31311f x x x x '=-=-+，令()0f x '>解得1x >或1x <-，即函数()33f x x x =-在(),1x ∈-∞-上递增，在()1,1x ∈-递减，在()1,x ∈+∞递增，根据函数的单调性：当1a >时，有()()1f a f >成立，即充分性成立；当()()1f a f >时，a 的范围不一定是1a >，可能11a -<<，即必要性不成立， 所以“1a >”是“()()1f a f >”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了函数的单调性及充分条件，必要条件的判断，属于一般题.10．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y ab a b-=>>的左，右焦点，经过点2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且1264F AF ππ≤∠≤.则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．5,7⎡⎤⎣⎦B ．5,13⎡⎤⎣⎦C ．3,13⎡⎤⎣⎦D ．7,3⎡⎤⎣⎦【答案】B【解析】由题意画出图形，求得122tan a F AF b ∠=，再由1264F AF ππ∠求得b a的范围，结合双曲线的离心率公式得答案． 【详解】 如图，由题意，(,)bcA c a，12||2F F c =， 则12122||22tan ||F F c aF AF bc AF b a∠===．由1264F AF ππ∠，得321ab， 即223ba． 21()[5,13]c be a a∴=+． 故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等； ②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为23π；④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE + 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．①②④D ．①③④【答案】C 【解析】根据三角形全等判断①，根据sin PAB ∠的值和三角形的内角和得出PAB ∠的范围，计算外接球半径判断③，将棱锥侧面展开计算最短距离判断④． 【详解】解：如图1，AB BC ⊥，D 是AC 的中点，DA DB DC ∴==，又PD ⊥平面ABC ，Rt PDA RtPDB RTPDC ∴∆≅≅，PA PB PC ∴==，故①正确；PA PB =，PAB PBA ∴∠=∠，又PAB PBA APB π∠+∠+∠=，2PAB π∴∠<，过P 作PM AB ⊥，M 为垂足，如图2，则1PM PD >=，又PA sin2PM PAB PA ∴∠=>=，4PAB π∴∠>，故②正确；AB BC ⊥，D ∴为平面ABC 截三棱锥外接球的截面圆心，设外接球球心为O ，则O 在直线DP 上，如图3，设DO h =，则(1)h ±=0h =，故D 为外接球的球心．∴外接球的体积为344133ππ⨯⨯=，故③错误．若AB BC =，则2BC =，又2PB PC ==，故PBC ∆是等边三角形，将平面PCD 沿PC 翻折到平面PBC 上，如图4，图5. 则DE BE +的最短距离为线段BD 的长．6045105BCD ∠=︒+︒=︒，2BC =1CD =，6221221cos10523BD +∴=+-⨯⨯⨯︒=+④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．12．已知函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合.若对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立，则实数t 的最大值是（ ）A ．34π B ．23π C ．712π D ．2π 【答案】A【解析】将点20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭代入解析式，求出A ，然后再利用三角函数的平移变换求出ω，再由()()12min max 2f x f x ≥，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得sin142A π-=，解得1A =+ 函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个长度单位可得()(1sin 314g x x πωπω⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据两函数的图象重合，可知32,k k Z πωπ=∈， 解得2,3kk Z ω=∈， 又因为01ω<<，所以23ω=， 对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立， 则()()12min max 2f x f x ≥， 由[]12,0,x x t ∈，则12222,,3434434x x t ππππ⎡⎤++∈+⎢⎥⎣⎦， 若要实数t 取最大值，由()()2max1min2f x f x ≥，只需()min 1122f x ≥=， 所以23344t ππ+≤，解得34t π≤， 所以实数t 的最大值是34π. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换求解析式、三角不等式恒成立问题、正弦函数的性质，属于中档题.二、填空题13．已知向量()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥，则实数λ的值为______. 【答案】23-【解析】由a b ⊥，故1230a b λ=⨯+=，即可解得；【详解】解：因为()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥， 所以1230a b λ=⨯+=，解得23λ=- 故答案为：23- 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.14．某实验室对小白鼠体内x ，y 两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表：已知y 与x 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为y bx a =+.若下一次实验中170x =，利用该回归直线方程预测得117y =，则b 的值为______. 【答案】0.54【解析】由已知表格中的数据，求得x 和y ，代入回归方程，再把点()170,117代入y bx a =+，联立方程组即可求解b 的值.【详解】解：由已知表格中的数据，求得：1201101251301151205x ++++==，9283909689905y ++++==，则12090b a +=，①又因为下一次实验中170x =，利用该回归直线方程预测得117y =， 则170117b a +=，② 联立①②，解得：0.54b =. 故答案为：0.54. 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本中心点是关键，属于基础题.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15a =，510S =，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.则12310a a a a ++++的值为______.【答案】792【解析】首先求出n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可得到232344n S n n =-+，再利用作差法求出31322n a n =-+，最后利用分组求和计算可得； 【详解】解：因为15a =，510S =，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，设公差为d ，所以15S =，525S =，所以513544S S d -==-， 所以32344n S n n =-+，所以232344n S n n =-+①； 当2n ≥时，()()213231144n S n n -=--+-②；①减②得31322n a n =-+，显然15a =符号故31322n a n =-+，当14n ≤≤时0n a ≥，5n ≥时0n a <所以12310a a a a ++++41102356789a a a a a a a a a a -----+-=++()4104S S S --=4102S S =-2232332344101044442⨯+⨯-⎪=⨯⨯⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭+357911222⎛=⎫⨯--= ⎪⎝⎭故答案为：792【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题.16．已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过点F 且倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A ，B 点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点M .则4pFM的值为______. 【答案】2【解析】先写出过点F 且倾斜角为4π的直线方程，然后与抛物线方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系得到线段AB 的中点坐标，从而可得到线段AB 的垂直平分线方程，进而可求出点M 的坐标，于是就得到FM 的值，即可得结果. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点(,0)2pF ，则经过点F 且倾斜角为4π的直线为2py x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 为00(,)N x y ， 由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22304p x px -+=，所以12003,22x x px y p +===， 所以线段AB 的垂直平分线方程为3()2py p x -=--， 令0y =，得52p x =，所以5(,0)2pM ， 所以5222p p FM p =-=，所以4422p p FM p ==， 故答案为：2 【点睛】此题考查抛物线方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，运用了根与系的关系，考查化简运算能力，属于中档题.三、解答题17．某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额（单位：万元）分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.（Ⅰ）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励.试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；（Ⅱ）从该销售小组月均销售额超过3.60万元的销售员中随机抽取2名组员，求选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率. 【答案】（Ⅰ）不需要对该销售小组发放奖励；（Ⅱ）710. 【解析】（Ⅰ）求出月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例，与65%比较判断即可；（Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为1A ，2A ，其余的记为1a ，2a ，3a ，利用列举法，列举出5名销售员中随机抽取2名的所有结果和至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果，最后根据古典概型求概率，即可得出结果. 【详解】解：（Ⅰ）该小组共有11名销售员2019年度月均销售额超过3.52万元， 分别是：3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70， ∴月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为1155%20=， ∵55%65%<，故不需要对该销售小组发放奖励.（Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为1A ，2A ，其余的记为1a ，2a ，3a ， 从上述5名销售员中随机抽取2名的所有结果为：()12,A A ，()11,A a ，()12,A a ，()13,A a ，()21,A a ，()22,A a ，()23,A a ，()12,a a ，()13,a a ，()23,a a ，共有10种，其中至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果为：()12,A A ，()11,A a ，()12,A a ，()13,A a ，()21,A a ，()22,A a ，()23,A a ，共有7种， 故选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率为710P =. 【点睛】本题考查利用列举法写出基本事件和古典概率求概率，以及利用概率对实际问题进行评估，属于基础题.18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()sin()()(sin sin )a c A B a b A B -+=-+.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4b =，求a c +的最大值. 【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）8.【解析】（Ⅰ）利用三角形的内角和定理可得()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+，再根据正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2216a c ac +-=，再利用基本不等式即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）在ABC 中，∵sin()sin()sin A B C C π+=-=， ∴()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+. 由正弦定理，得()()()a c c a b a b -=-+. 整理，得222c a b ac +-=.∴222122c a b ac +-=.∴1cos 2B =. 又0B π<<，∴3B π=.（Ⅱ）∵4b =，∴2216a c ac +-=， 即2()163a c ac +-=，∵22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22()1632a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭. ∴21()164a c ≤+. ∴8a c +≤，当且仅当a c =时等号成立. ∴a c +的最大值为8. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，需熟记定理的内容，属于基础题. 19．如图，在多面体ABCDEF 中，ADEF 为矩形，ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，2BC =，4=AD ，且AB BD ⊥，平面ADEF ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为EF ，CD 的中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面ACF ；（Ⅱ）若2DE =，求多面体ABCDEF 的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；103. 【解析】（Ⅰ）取AD 的中点O .连接OM ，ON ，可证//OM AF ，//ON AC ，然后利用平面//MON 平面ACF ，可证//MN 平面ACF .（Ⅱ）将多面体分为四棱锥B ADEF -和三棱锥B CDE -两部分，将B CDE V -转化为V E BCD -，然后利用四棱锥和三棱锥的体积公式分别求出然后求和即可. 【详解】解：（Ⅰ）如图，取AD 的中点O .连接OM ，ON .在矩形ADEF 中，∵O ，M 分别为线段AD ，EF 的中点， ∴//OM AF .又OM ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ， ∴//OM 平面ACF .在ACD 中，∵O ，N 分别为线段AD ，CD 的中点， ∴//ON AC .又ON ⊄平面ACF ，AC ⊂平面ACF ， ∴//ON 平面ACF . 又OMON O =，,OM ON ⊂平面MON ，∴平面//MON 平面ACF又MN ⊂平面MON ，∴//MN 平面ACF . （Ⅱ）如图，过点C 作CH AD ⊥于H . ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，CH ⊂平面ABCD ，∴CH ⊥平面ADEF .同理DE ⊥平面ABCD .连接OB ，OC .在ABD △中，∵AB BD ⊥，4=AD ， ∴122OB AD ==. 同理2OC=.∵2BC =，∴等边OBC 的高为3，即3CH =. 连接BE .∴ABCDEF B ADEF B CDE B ADEF E BCD V V V V V ----=+=+1111124323233332ADEF BCD S CH S DE =⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯△ 103=.【点睛】本题考查利用线线平行，线面平行和面面平行的判定定理和性质定理，考查分割法求多面体的体积，考查四棱锥和三棱锥的体积公式，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题.20．已知函数()ln xm e f x x e=-，其中m R ∈.（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当2m =时，证明：()0f x >.【答案】（Ⅰ）单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）利用导数求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）先证明存在唯一的()01,2x ∈，使得()0'0f x =，再利用导数求出()000201ln 2x e x x f x x e =-=+-最小值，再利用基本不等式证明不等式. 【详解】解：（Ⅰ）当1m =时，()ln x e f x x e =-.则()1'x e f x e x=-.∵()'f x 在0,上单调递增（增函数+增函数=增函数），且()'10f =，∴当()0,1x ∈时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. ∴()f x 的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,.（Ⅱ）当2m =时，()2ln x e f x x e =-.则()21'x e f x e x=-.∵()'f x 在0,上单调递增，且()1'110f e =-<，()1'2102f =->， ∴存在唯一的()01,2x ∈，使得()0'0f x =.∴当()00,x x ∈时，()'0f x <，即()f x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()'0f x >，即()f x 在()0,x +∞上单调递增， ∴()()0002ln x e f x ef x x ==-最小值.又0201x e e x =，即0201ln ln x ex -=.化简，得002ln x x -=-. ∴()000201ln 2x e x x f x x e =-=+-最小值. ∵()01,2x ∈，∴()001220x x f x =+->=最小值. ∴当2m =时，()0f x >. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点()1F，点2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）经过圆O ：225x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点.（i ）当直线PA ，PB 的斜率都存在时，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .求证：121k k =-；（ii ）求ABMN的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）（i ）证明见解析；（ii ）14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（Ⅰ）把点Q ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程，结合222a b c =+，c =，即可求得椭圆的标准方程.（Ⅱ）（i ）设点()00,P x y ,写出切线方程()00y k x x y =-+，联立方程组()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，再由0∆=，结合韦达定理，写出12k k 的表达式，化简得出结果; （ii ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，进而求得直线PA 和PB 的直线方程，结合两条直线的形式，可写出直线AB 的方程，运用弦长公式求得ABMN，结合0y 的范围，可求得ABMN的取值范围. 【详解】（Ⅰ）∵椭圆C 的左焦点()1F ，∴c =将Q ⎛ ⎝⎭代入22221x y a b +=，得221314a b +=. 又223a b -=，∴24a =，21b =.∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）（i ）设点()00,P x y ，设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为()00y k x x y =-+. 由()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ，得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=.()()()222200006444144k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--⎣⎦.令0∆=，整理得()22200004210x k x y k y -++-=.由已知，则212214y k k x -=-. 又22005x y +=，∴()220012220154144x x k k x x ---===---. （ii ）设点()11,A x y ，()22,B x y .当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为()111y k x x y =-+.由()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ，得()()()22211111111148440k xk y k x x y k x ++-+--=.()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦.令0∆=，整理得()2221111114210x k x y k y -++-=. 则11111122111444x y x y x k x y y =-=-=--. ∴直线PA 的方程为()11114x y x x y y =--+. 化简，可得22111144x x y y y x +=+，即1114x xy y +=. 经验证，当直线PA 的斜率不存在时，直线PA 的方程为2x =或2x =-，也满足1114x xy y +=. 同理，可得直线PB 的方程为2214x xy y +=. ∵()00,P x y 在直线PA ，PB 上，∴101014x x y y +=，202014x xy y +=.∴直线AB 的方程为0014x xy y +=.由00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得()22200035816160y x x x y +-+-=.∴01220835x x x y +=+，21220161635y x x y -=+.∴12x AB =-=)20203135y y +==+. 又由（i ）可知当直线PA ，PB 的斜率都存在时，PM PN ⊥；易知当直线PA 或PB 斜率不存在时，也有PM PN ⊥.∴MN 为圆O 的直径，即MN =∴)2022022003131413535y y y y ABMN++===-++. 又[]200,5y ∈，∴204141,3555y ⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦. ∴AB MN 的取值范围为14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查直线与椭圆相交时的有关知识,考查学生分析问题解决问题的能力.采用了设而不求的方法，运用韦达定理和弦长公式求得AB MN，结合椭圆纵坐标的有界性可求得范围，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为832432x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos a ρρθ+=，其中0a >.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点.若点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点，求a 的值.【答案】（Ⅰ）40x y -+=；2260x y x a ++-=；（Ⅱ）4a =.【解析】（Ⅰ）利用消参法消去参数t ，即可将直线l 的参数方程转化为普通方程，利用互化公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得出关于t 的一元二次方程，根据韦达定理得出12t t +和12t t ，再利用直线参数方程中的参数t 的几何意义，即可求出a 的值.【详解】解：（Ⅰ）由于直线l的参数方程为83243x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为40x y -+=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x a ++-=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并整理，得26409t a +--=，(*) 设1t ，2t 是方程(*)的两个根，则有>0∆，得12t t +=，12649t t a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由于点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点， 所以不妨设122t t =-， ∴223250929a t =+=， 解得：4a =，符合条件0a >和>0∆，.∴a 的值为4.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程转化为普通方程，以及利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用直线参数方程中的参数t 的几何意义求参数值，考查化简运算能力.23．已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）求不等式()f x x <的解集；（Ⅱ）记函数()f x 的最大值为M .若正实数a ，b ，c 满足1493a b c M ++=，求193c a c ab ac--+的最小值. 【答案】（Ⅰ）1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）36. 【解析】（Ⅰ）根据零点分段去掉绝对值，分别求出x 的取值范围，可得不等式的解集； （Ⅱ）由绝对值三角不等式求出()f x 的最大值为M ，将其代入化简，根据柯西不等式求出最值，并写出取等条件．【详解】解：（Ⅰ）不等式()f x x <即12x x x --+<.①当1x ≥时，化简得3x -<.解得1x ≥；②当21x -<<时，化简得21x x --<.解得113-<<x ； ③当2x -≤时，化简得3x <.此时无解. 综上，所求不等式的解集为1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）∵()()12123x x x x --+≤--+=，当且仅当2x -≤时等号成立. ∴3M =，即491a b c ++=. ∵193413111c a c a b ab ac ab c a a b c--++=+-=++， 又,,0a b c >， ∴111111(49)a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭2≥ ()212336=++=. 当且仅当11149a b c a b c==,即16a =，112b =，118c =时取等号， ∴193c a c ab ac--+的最小值为36. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式在求最值中的应用，属于中档题．。
2020届成都树德实验中学高三语文三模试卷及答案解析
2020届成都树德实验中学高三语文三模试卷及答案解析一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面的文字，完成下面小题。
材料一：在李子柒的身上，我们看到了一个由东方、田园、美食、女性、自然风光等诸多复杂符号组成的综合体。
我们当然可以将李子柒的视频看作是对某种意义上的传统美学的回应，她令网民想起中国传统文化中的特定景观，一种带有浪漫精神的、山水田园诗那样的自然，这让我们想起陶渊明或者王维这样的诗人。
这种自然的观念背后暗示了一个无法令人满足的世间，正因为人世间存有缺憾，因而古人开始歌颂自然。
然而李子柒重现了这个结构，却改变了结构的内核，将传统自然观念中暗含的道德批判转换成了对现代技术的批判。
譬如她所展示的家庭土窑、手工造纸、阿胶制作等，都指向前现代的技术工艺，而不是当代社会的工业化。
哪怕观念充满单纯的猎奇心，也足够让人们在这个瞬间来想象一种“去现代性”的生活，也就是脱离现代大工业系统之下的生活可能。
在节奏非常迅捷的时代里，人们更愿意视李子柒视频为一种都市里的童话世界，温柔，并且充满视觉上的诱惑感。
可以说，把后现代的文化以一种虚构的古典叙事来进行重新包装，看上去，这一切是反对都市的，但是却恰恰迎合了都市的口味。
看上去，她提出了一种对于现代时间的反对，但那些视频里的时间观念，恰恰又是迎合着现代时间的基本口味。
（摘编自尤雾《李子柒：直播时代的“田园诗”》，有删改）材料二：人类生存与发展除了要满足最基本的生理需求外，还需要获得心理的归属感，而社群文化为个体寻求心理归属提供了可能。
当前网络直播能够形成全民直播的现象，一个重要原因是个体能够在直播平台上找到与自己志同道合的群体。
当前我国一直处于人口高度流动的状态，这打破了原本以血缘和地缘构建的社群关系，人与人之间更加疏离。
城市的外来人口往往会有剥离感，无法真正融入到城市生活中。
为了寻求心理归属感，人们需要重建主体性，获得身份认同，而网络直播门槛较低，且不受职业、收入、性别、阶层、种族等因素的束缚，它将具有相同兴趣的人们聚合起来，建立起社群。
2020年四川省成都市树德中学高考数学三诊试卷(文科)(Word 含解析)
2020年高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B＝{x|x＞0}，则集合∁Z A∩B的真子集个数为（）A．3B．4C．7D．82．方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜0B．﹣3＜m＜2C．﹣3＜m＜4D．﹣1＜m＜33．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（√32，12），当秒针从P0（注此时t＝0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A．y＝sin（π30t+π6）B．y=sin(−π60t−π6)C．y＝sin（−π30t+π6）D．y＝sin（−π30t−π3）4．已知直线x+7y＝10把圆x2+y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）A．π2B．2π3C．πD．2π5．若x的取值范围为[0，10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x，则输出y满足y ＜5的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.76．变量x，y满足{x−4y+3≤03x+5y−25≤0x≥1，则x2+y2+6x﹣4y+14的最大值为（）A．8B．9C．64D．657．某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A．2+3√22B．72+3√22C．3+2√2D．2+√28．已知平面α及直线a，b，则下列说法错误的个数是（）①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行；②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直；③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直；④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行．A．1B．2C．3D．49．已知函数f(x)=e x−1e x+1，g（x）＝1﹣x，若对∀x1∈R，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）＞g（x2）成立，以下对m、n的取值范围判断正确的是（）A．m≥2B．m＞2C．n≥2D．n＞210．已知△ABC的外接圆的圆心为O，满足：CO→=m CA→+n CB→，4m+3n＝2，且|CA→|＝4√3，|CB→|＝6，则CA→•CB→=（）A．36B．24C．24√3D．12√311．设函数f(x)={log2(x+1)，x≥0√−x，x＜0，则满足f（x+1）＜2的x的取值范围为（）A．（﹣4，3）B．（﹣5，2）C ．（﹣3，4）D ．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）12．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y =−116的距离为d ，若|MN |2＝λ•d 2，则λ的最小值为（ ） A ．√22B ．1−√22C ．1+√22D ．2+√2二、填空题 13．双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为 ．14．复数z 满足方程z 2+z +3＝0，z 是z 的共轭复数，则z +z = ． 15．若f(x)=21+2x +11+4x ，且f[log a (√2+1)]=1，其中a ＞1，则f[log a (√2−1)]= ．16．函数f(x)=x 2−6x ⋅sin πx2+1(x ∈R)的零点个数有 个．三、解答题：解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题 17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1＝﹣4，S m ＝0，S m +2＝14．（m ≥2，且m ∈N*） （1）求m 的值； （2）若数列{b n }满足a n 2=log 2b n （n ∈N*），求数列{（a n +6）•b n }的前n 项和．18．四面体A ﹣BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AC ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD =√2（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点C 到平面AED 的距离．19．2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制出频率分布直方图，如图．若把年龄在区间[15，35），[35，75]内的人分别称为“青少年”“中老年”．经统计“青少年”和“中老年”的人数之比为19：21．其中“青少年”中有40人关注“两会”，“中老年”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比为2：1． （1）求图中a +b 的值．（2）现采用分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取8人作为代表，从8人中任选2人，求2人都是“中老年”的概率．（3）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．关注 不关注总计 “青少年” “中老年” 总计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≤k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为12，且过点P(1，32)，直线l ：y ＝kx +m交椭圆E 于不同的两点A ，B ，设线段AB 的中点为M ． （1）求椭圆E 的方程；（2）当△AOB 的面积为32（其中O 为坐标原点）且4k 2﹣4m 2+3≠0时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点C ，D ，使得当直线l 运动时，|MC |+|MD |为定值？若存在，求出点C ，D 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝（a +1a ）lnx +1x −x （a ＞1）．（l ）试讨论f （x ）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a ∈[3，+∞）时，曲线y ＝f （x ）上总存在相异两点P （x 1，f （x 1）），Q （x 2，f （x 2 ）），使得曲线y ＝f （x ）在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：x 1+x 2＞65． 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{ x =−2tanθ√2tan θ+1y =√2tan θ+1（θ为参数，0≤θ≤π，θ≠π2），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρcos （θ−π4）=√2． （1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 1上，点Q 在曲线C 2上，求|PQ |的最小值． 23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m 的解集非空，求m 的取值范围．参考答案一、在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B＝{x|x＞0}，则集合∁Z A∩B的真子集个数为（）A．3B．4C．7D．8【分析】可以求出集合A，然后进行补集、交集的运算求出∁Z A∩B，从而可得出∁Z A∩B 的真子集的个数．解：∵A＝{x|x＜﹣1或x＞3，x∈Z}，B＝{x|x＞0}，∴∁Z A＝{﹣1，0，1，2，3}，∴∁Z A∩B＝{1，2，3}，∴∁Z A∩B的真子集个数为23﹣1＝7．故选：C．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，描述法、列举法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜0B．﹣3＜m＜2C．﹣3＜m＜4D．﹣1＜m＜3【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线时m的取值范围，进而由充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线，则有（m﹣2）（m+3）＜0，解可得﹣3＜m＜2，要求方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件，即要求的是{m|﹣3＜m＜2}的真子集；依次分析选项：A符合条件，故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及充分必要条件的判定，关键是掌握二元二次方程表示双曲线的条件．3．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（√32，12），当秒针从P0（注此时t＝0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A．y＝sin（π30t+π6）B．y=sin(−π60t−π6)C．y＝sin（−π30t+π6）D．y＝sin（−π30t−π3）【分析】先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而可求函数的解析式．解：由题意，函数的周期为T＝60，∴ω=2π60=π30设函数解析式为y＝sin（−π30t+φ）（因为秒针是顺时针走动）∵初始位置为P0（√32，12），∴t＝0时，y=1 2∴sinφ=1 2∴φ可取π6∴函数解析式为y＝sin（−π30t+π6）故选：C．【点评】本题考查三角函数解析式的确定，考查学生的阅读能力，解题的关键是确定函数的周期，正确运用初始点的位置．4．已知直线x+7y＝10把圆x2+y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）A．π2B．2π3C．πD．2π【分析】根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得．解：圆的圆心为（0，0）到直线x+7y＝10的距离为√1+49=√2∴弦长为2×√4−2=2√2根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，较短弧长为14×2π×2＝π，较长的弧长为4π﹣π＝3π∴两段弧长之差的绝对值等于2π故选：D．【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质．一般采用数形结合的方法，在弦与半径构成的三角形中，通过解三角形求得问题的答案．5．若x的取值范围为[0，10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x，则输出y满足y ＜5的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.7【分析】由程序框图得出输出变量y的解析式，求出输出的y满足y＜5时x的取值范围，代入几何概型概率计算公式，可得答案；解：由题意知，程序框图所表示的函数解析式为y={x+1，x≤7 x−1，x＞7；当y＜5时，若输出y＝x+1（0≤x≤7），此时输出的结果满足x+1＜5，解得0≤x＜4；若输出y＝x﹣1（7＜x≤10），此时输出的结果满足x﹣1＜5，解得0≤x＜6（不合题意），所以输出的y ＜5时，x 的取值范围是0≤x ＜4； 所以使得输出的y 满足y ＜5的概率为P =4−010−0=25=0.4． 故选：B ．【点评】本题考查了程序框图、分段函数与几何概型的概率计算问题，是综合题． 6．变量x ，y 满足{x −4y +3≤03x +5y −25≤0x ≥1，则x 2+y 2+6x ﹣4y +14的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．64D ．65【分析】画出约束条件表示的可行域，利用表达式的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方平方再加1．求解即可．解：由变量x ，y 满足{x −4y +3≤03x +5y −25≤0x ≥1，作出（x ，y ）的可行域如图所示．z ＝x 2+y 2+6x ﹣4y +14＝（x +3）2+（y ﹣2）2+1的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方再加1．结合图形可知，{x −4y +3=03x +5y −25=0解得B （5，2），可行域上的点到（﹣3，2）的距离中，d min ＝1﹣（﹣3）＝4，d max ＝8． ∴17≤z ≤65．则x 2+y 2+6x ﹣4y +14的最大值为65． 故选：D ．【点评】本题考查简单线性规划的应用，注意目标函数的几何意义是解题的关键，常考题型．7．某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）A．2+3√22B．72+3√22C．3+2√2D．2+√2【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图：左侧是放倒的三棱柱，右侧是三棱锥，俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为：1×√2+2×12×1×1+1×1+12×1×1+12×1×√2+12×1×√2+12×1×1=3+2√2．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，考查计算能力．8．已知平面α及直线a，b，则下列说法错误的个数是（）①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行；②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直；③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直；④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行．A．1B．2C．3D．4【分析】作图说明①②错误；由直线与平面垂直的性质说明③正确；举例说明④错误．解：①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行，错误，如图：在直线a上取一点A，作AA1⊥α，在直线b上取一点B，作BB1⊥α．可以使∠AOA1＝∠BOB1＝30°，但a与b不平行；②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直，错误，上图中在∠AOA1＝∠BOB1＝30°时，可以使∠AOB＝90°，即a⊥b；③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直，正确．原因是若a与b与平面α都垂直，则a∥b，a与b不垂直；④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行，错误，如a，b都垂直平面α．∴说法错误的个数是3个．故选：C．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9．已知函数f(x)=e x−1e x+1，g（x）＝1﹣x，若对∀x1∈R，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）＞g（x2）成立，以下对m、n的取值范围判断正确的是（）A．m≥2B．m＞2C．n≥2D．n＞2【分析】由指数函数的值域和不等式的性质，求得f（x）的值域；由一次函数的单调性可得g（x）的值域，由题意可得n的不等式，解不等式可得所求范围．解：函数f(x)=e x−1e x+1，即f（x）＝1−21+e x，由e x＞0，可得1+e x＞1，即有0＜21+e x＜2，则﹣1＜1−21+e x＜1，即有f（x）的值域为（﹣1，1）；g（x）＝1﹣x在[m，n]递减，可得g（x）的值域为[1﹣n，1﹣m]，对∀x1∈R，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）＞g（x2）成立，可得﹣1≥1﹣n，即有n≥2，故选：C．【点评】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想，以及函数的单调性求值域，考查运算能力和推理能力，属于中档题．10．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，满足：CO →=m CA →+n CB →，4m +3n ＝2，且|CA →|＝4√3，|CB →|＝6，则CA →•CB →=（ ） A ．36B ．24C ．24√3D ．12√3【分析】根据已知条件，在CO →=mCA →+nCB →两边分别乘以向量CA →，CB →便可得到，{24=48m +nCA →⋅CB →①18=36n +mCA →⋅CB →②，所以根据4m +3n ＝2，①+②，和①×3+②×4得{(m +n)CA →⋅CB →=1872(m +n)+CA →⋅CB →=72，所以由这两式即可求出CA →⋅CB →． 解：如图，根据已知条件：{CO →⋅CA →=mCA →2+nCA →⋅CB →CO →⋅CB →=mCA →⋅CB →+nCB →2； ∴{2√3⋅4√3=48m +nCA →⋅CB →3⋅6=36n +mCA →⋅CB →； ∴{24=48m +nCA →⋅CB →①18=36n +mCA →⋅CB →②； ∴①+②得，42＝12（4m +3n ）+（m +n ）CA →⋅CB →=24+(m +n)CA →⋅CB →； ∴(m +n)CA →⋅CB →=18③；①×3+②×4得，144＝144（m +n ）+（4m +3n ）CA →⋅CB →=144（m +n ）+2CA →⋅CB →； ∴72(m +n)+CA →⋅CB →=72④； ∴联立③④可CA →⋅CB →=36． 故选：A ．【点评】考查向量数量积的计算公式，三角形外心的概念，直角三角形的边角关系，以及对条件4m+3n＝2的灵活运用．11．设函数f(x)={log2(x+1)，x≥0√−x，x＜0，则满足f（x+1）＜2的x的取值范围为（）A．（﹣4，3）B．（﹣5，2）C．（﹣3，4）D．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）【分析】作出函数f（x）的图象，结合图象可知，不等式可转化为0≤x+1＜3或﹣4＜x+1≤0，分别解出后取并集即可．解：作出函数f（x）的图象如图所示，令f（x）＝2，解得x＝﹣4或x＝3，由图象可知，f（x+1）＜2等价为0≤x+1＜3或﹣4＜x+1≤0，解得﹣1≤x＜2或﹣5＜x≤﹣1，∴所求不等式的解集为（﹣5，2）．故选：B．【点评】本题考查不等式的解法，考查数形结合思想，属于基础题．12．已知点M，N是抛物线y＝4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足∠MFN＝135°，弦MN的中点P到直线l：y=−116的距离为d，若|MN|2＝λ•d2，则λ的最小值为（）A．√22B．1−√22C．1+√22D．2+√2【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设|MF|＝a，|NF|＝b，由∠MFN＝135°，运用余弦定理可得|MN |，运用抛物线的定义和中位线定理可得d =12（|MF |+|NF |）=12（a +b ），运用基本不等式计算即可得到所求最小值． 解：抛物线y ＝4x 2的焦点F （0，116），准线为y =−116， 设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，可得|MN |2＝|MF |2+|NF |2﹣2|MF |•|NF |•cos ∠MFN ＝a 2+b 2+√2ab ， 由抛物线的定义可得M 到准线的距离为|MF |，N 到准线的距离为|NF |， 由梯形的中位线定理可得d =12（|MF |+|NF |）=12（a +b ）， 由|MN |2＝λ•d 2，可得14λ=a 2+b 2+√2ab (a+b)2=1−(2−√2)ab (a+b)2≥1√2)ab (2√ab)2=1−2−√24=2+√24，可得λ≥2+√2，当且仅当a ＝b 时，取得最小值2+√2． 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查余弦定理和基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 二、填空题 13．双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为53或54．【分析】利用双曲线方程，转化求解离心率即可． 解：当λ＞0时，双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为：e =√c 2a2=√9λ+16λ9λ=53． 当λ＜0时，双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为：e =√c 2a2=√−9λ−16λ−16λ=54． 故答案为：53或54．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用、分类讨论方法，是基本知识的考查，基础题．14．复数z 满足方程z 2+z +3＝0，z 是z 的共轭复数，则z +z = ﹣1 ． 【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理得答案． 解：∵方程z 2+z +3＝0的判别式小于0， ∴z 为方程z 2+z +3＝0的虚根，由实系数一元二次方程虚根成对原理，可得z +z =−1． 故答案为：﹣1．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，是基础题． 15．若f(x)=21+2x +11+4x ，且f[log a (√2+1)]=1，其中a ＞1，则f[log a (√2−1)]= 2 ． 【分析】直接利用函数的关系式的运算的应用和对数的关系式的运算的应用求出结果．解：由于f(x)=21+2x +11+4x ，所以f(−x)=21+2−x +11+4−x =2×2x 1+2x +4x1+4x ， 所以f （x ）+f （﹣x ）=21+2x +11+4x +2×2x1+2x +4x 1+4x =3． 由于：log a (√2+1)=−log a (√2−1)， 所以f[log a (√2−1)]+f[log a (√2−1)]=3， 整理得f[log a (√2−1)]=2． 故答案为：2【点评】本题考查的知识要点：函数的、关系式的运算，对数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16．函数f(x)=x 2−6x ⋅sin πx2+1(x ∈R)的零点个数有 8 个．【分析】显然0不是函数f(x)=x 2−6x ⋅sin πx2+1(x ∈R)的零点，故化为函数y ＝6sin π2x 与y ＝x +1x的图象的交点的个数，作函数图象求解即可．解：显然0不是函数f （x ）＝x 2﹣6x sin π2x +1的零点，故f （x ）＝x 2﹣6x sin π2x +1＝0可化为6sin π2x ＝x +1x，故可化为函数y ＝6sin π2x 与y ＝x +1x的图象的交点的个数，作函数y ＝6sin π2x 与y ＝x +1x的图象如图：由图象可知，有8个交点．故答案为：8．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根及函数的图象的交点的关系应用，同时考查了学生作图与用图的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣4，S m＝0，S m+2＝14．（m≥2，且m∈N*）（1）求m的值；（2）若数列{b n}满足a n2=log2b n（n∈N*），求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．【分析】（1）利用a m＝S m﹣S m﹣1，转化求出数列的公差，然后利用已知条件求解m．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和求解即可．解：（1）∵S m﹣1＝﹣4，S m＝0，S m+2＝14，∴a m＝S m﹣S m﹣1＝4，a m+1+a m+2＝S m+2﹣S m＝14．设{a n}的公差为d，则2a m+3d＝14，∴d＝2．∵S m =a 1+a m2=0，∴a 1＝﹣a m ＝﹣4． ∴a m ＝a 1+（m ﹣1）d ＝﹣4+2（m ﹣1）＝4， ∴m ＝5．（2）由（1）可得a n ＝﹣4+2（n ﹣1）＝2n ﹣6． ∵a n 2=log 2b n ，即n ﹣3＝log 2b n ，∴b n ＝2n ﹣3，∴（a n +6）•b n ＝2n •2n ﹣3＝n •2n ﹣2，设数列{（a n +6）•b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝1•2﹣1+2•20+3•21+4•22+…+n •2n ﹣2，① ∴2T n ＝1•20+2•21+3•22+4•23+…+n •2n ﹣1，② ①﹣②得： ﹣T n =12+1+21+22+23+…+2n ﹣2﹣n •2n ﹣1=12+1−2n−11−2−n •2n ﹣1=−12−（n ﹣1）2n ﹣1， T n =12+（n ﹣1）2n ﹣1． 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力．18．四面体A ﹣BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AC ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD =√2（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点C 到平面AED 的距离．【分析】（1）连接OC ，运用勾股定理的逆定理，证得AO ⊥OC ，再由线面垂直的判定定理，即可得证；（2）取AC 中点M ，连接OM ，ME ，OE ，又E 为BC 中点，则ME ∥AB ，OE ∥CD ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成角，运用解直角三角形，即可得到；（3）设点C 到平面AED 的距离为h ，由V C ﹣AED ＝V A ﹣CDE ，由三棱锥的体积公式，结合余弦定理和面积公式，即可得到点C 到平面AED 的距离． 【解答】（1）证明：连接OC ，已知O 为BD 中点， AB ＝AD =√2，AC ＝BC ＝CD ＝BD ＝2， 故AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，所以OA =√AB 2−BO 2=1，OC =√3，在△AOC 中， OA 2+OC 2＝4＝AC 2，所以∠AOC ＝90°，则AO ⊥OC ， 又AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ，故AO ⊥平面BCD ．（2）解：取AC 中点M ，连接OM ，ME ，OE ，又E 为BC 中点，则ME ∥AB ，OE ∥CD ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成角，在△OME 中，EM =12AB =√22，OE =12CD =1，又OM 为Rt △AOC 的斜边AC 上的中线，故OM ＝1，所以cos ∠OEM =√24，即异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为√24．（3）解：（体积法）设点C 到平面AED 的距离为h ，因为V C ﹣AED ＝V A ﹣CDE ， 即有13hS △AED =13AO •S △CDE ，又CA ＝BC ＝2，AB =√2，设AE ＝x ，则由余弦定理有cos ∠ABC =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =AB 2+BE 2−AE 22AB⋅BE，即有AE =√2，△AED 为等腰三角形，而DE =√3，等腰三角形△AED 底边上的高为√52，故△AED 的面积为S △AED =12⋅DE ⋅√52=√154．则而AO ＝1，S △CDE =12×√34×4=√32，故h =2√55，点E 到平面ACD 的距离为2√55．【点评】本题考查线面垂直的判定和性质及运用，考查异面直线所成的角的求法，考查点到平面的距离的求法：体积法，考查运算能力，属于中档题．19．2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制出频率分布直方图，如图．若把年龄在区间[15，35），[35，75]内的人分别称为“青少年”“中老年”．经统计“青少年”和“中老年”的人数之比为19：21．其中“青少年”中有40人关注“两会”，“中老年”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比为2：1． （1）求图中a +b 的值．（2）现采用分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取8人作为代表，从8人中任选2人，求2人都是“中老年”的概率．（3）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．关注 不关注总计 “青少年” “中老年” 总计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≤k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和已知可求得a +b 的值． （2）利用列举法和古典概型的定义可求2人都是“中老年”的概率．（3）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．可判断能否有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．解：（1）由题意得{(b +0.030)×10=1919+21(a +0.010+0.005×2)×10=2119+21， 解得{b =0.0175a =0.0325，所以a +b ＝0.0325+0.0175＝0.05． （2）由题意得，在[25，35）中抽取8×0.0300.030+0.010=6（人），分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，在[45，55）中抽取8﹣6＝2（人），分别记为a ，b ．则从8人中任选2人的全部基本事件有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，BE ，BF ，Ba ，Bb ，CD ，CE ，CF ，Ca ，Cb ，DE ，DF ，Da ，Db ，EF ，Ea ，Eb ，Fa ，Fb ，ab ，共28种，其中所选的2人都是“中老年”的事件只有ab 这1种， 故2人都是“中老年”的概率p =128． （3）2×2列联表如下：关注 不关注 总计 “青少年” 40 55 95 “中老年”70 35 105 总计11090200所以K 2=200×(40×35−55×70)295×105×110×90≈12.157＞10.828，故有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，结合古典概型，也考查了计算能力的应用问题，是中档题目． 20．已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为12，且过点P(1，32)，直线l ：y ＝kx +m交椭圆E 于不同的两点A ，B ，设线段AB 的中点为M ． （1）求椭圆E 的方程；（2）当△AOB 的面积为32（其中O 为坐标原点）且4k 2﹣4m 2+3≠0时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点C ，D ，使得当直线l 运动时，|MC |+|MD |为定值？若存在，求出点C ，D 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的离心率为12，则a 2：b 2：c 2＝4：3：1，设出椭圆E ：x 24+y 23=λ(λ＞0)又椭圆过点P(1，32)，然后求解椭圆方程．（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx +m ，并设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程{y =kx +mx 24+y 23=1，利用韦达定理以及判别式，弦长公式点到直线的距离公式表示三角形的面积，结合mk 的关系，求解|MC |+|MD |为定值2√3． 解：（1）由于椭圆的离心率为12，则a 2：b 2：c 2＝4：3：1，故椭圆E ：x 24+y 23=λ(λ＞0)又椭圆过点P(1，32)，从而λ=14+34=1，从而椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx +m ，并设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立方程{y =kx +mx 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，则{△=48(4k 2−m 2+3)＞0x 1+x 2=−8km 4k 2+3x 1x 2=4m 2−124k 2+3从而y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m4k 2+3，从而点M 的坐标为(−4km 4k 2+3，3m 4k 2+3)由于|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√48(4k 2−m 2+3)4k 2+3，点O 到直线l 的距离为d =|m|√1+k，则△AOB 的面积S △AOB=12|AB|⋅d =2√3⋅√m 2(4k 2−m 2+3)4k 2+3， 由题得：S △AOB =2√3⋅√m 2(4k 2−m 2+3)4k 2+3=32，从而化简得：3（4k 2+3）2﹣16m 2（4k 2+3）+16m 4＝0，故[（4k 2+3）﹣4m 2][3（4k 2+3）﹣4m 2]＝0，即m 2=4k 2+34或m 2=3(4k 2+3)4，又由于4k 2﹣4m 2+3≠0，从而m 2=3(4k 2+3)4．当m 2=3(4k 2+3)4时，由于x M =−4km4k 2+3，y M =3m 4k 2+3，从而(x M 2)2+(M 3)2=(−2km 4k 2+3)2+(√3m 4k 2+3)2=m 2(4k 2+3)(4k 2+3)2=34， 即点M 在椭圆x 23+y 294=1上．由椭圆的定义得，存在点C(−√32，0)，D(√32，0)或D(−√32，0)，C(√32，0)，使得|MC |+|MD |为定值2√3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查设而不求的方法的应用，考查转化思想以及计算能力． 21．已知函数f （x ）＝（a +1a ）lnx +1x −x （a ＞1）． （l ）试讨论f （x ）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a ∈[3，+∞）时，曲线y ＝f （x ）上总存在相异两点P （x 1，f （x 1）），Q （x 2，f （x 2 ）），使得曲线y ＝f （x ）在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：x 1+x 2＞65． 【分析】（1）求出f ′（x ），当x ∈（0，1）时，解不等式f ′（x ）＞0，f ′（x ）＜0即可．（2）由题意可得，当a ∈[3，+∞）时，f ′（x 1）＝f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），由此可得a +1a =x 1+x 2x 1x 2＞4x 1+x2，从而x 1+x 2＞4a+1a，只要求出4a+1a在[3，+∞）的最大值即可．解：（1）由已知，得x ＞0，f′(x)=a+1a x −1x 2−1=−x 2−(a+1a )x+1x 2=−(x−a)(x−1a )x 2． 由f ′（x ）＝0，得x 1=1a ，x 2=a ．因为a ＞1，所以0＜1a ＜1，且a ＞1a．所以在区间（0，1a）上，f ′（x ）＜0；在区间（1a，1）上，f ′（x ）＞0．故f （x ）在（0，1a）上单调递减，在（1a，1）上单调递增．证明：（2）由题意可得，当a ∈[3，+∞）时，f ′（x 1）＝f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2）． 即a+1ax 1−1x 12−1=a+1ax 2−1x 22−1，所以a +1a =1x 1+1x 2=x 1+x2x 1x 2，a ∈[3，+∞）．因为x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2，所以x 1x 2＜(x 1+x 22)2恒成立， 所以1x 1x 2＞4(x 1+x 2)2，又x 1+x 2＞0，所以a +1a =x 1+x2x 1x 2＞4x 1+x 2，整理得x 1+x 2＞4a+1a ， 令g （a ）=4a+1a ，因为a ∈[3，+∞），所以a +1a单调递增，g （a ）单调递减， 所以g （a ）在[3，+∞）上的最大值为g （3）=65， 所以x 1+x 2＞65．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题、求最值问题，运用所学知识解决问题的能力． 一、选择题22．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{ x =−2tanθ√2tan θ+1y =√2tan θ+1（θ为参数，0≤θ≤π，θ≠π2），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρcos （θ−π4）=√2． （1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 1上，点Q 在曲线C 2上，求|PQ |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）由已知可得{x 2=4tan 2θ2tan 2θ+1y 2=12tan 2θ+1，所以x 2+2y 2＝2，又0≤θ≤π且θ≠π2． 所以y =1√2tan θ+1∈(0，1]，故C 1普通方程为x 22+y 2=1（0＜y ≤1），曲线C 2：ρcos （θ−π4）=√2．整理得√22ρcosθ+√22ρsinθ−√2=0，转换为直角坐标方程为：x +y ﹣2＝0．（2）设P(√2φ，cosφ)，（0＜φ＜π）． 则点P 到直线x +y ﹣2＝0的距离d =|√2cosφ+sinφ−2|√2=|√3sin(φ+α)−2|√2=2−√3sin(φ+α)√2，当sin （φ+α）＝1时，d min =√32=√2−√62．所以|PQ |的最小值为√2−√62．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m 的解集非空，求m 的取值范围．【分析】（1）由于f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x ≤2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；（2）依题意可得m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ，分x ≤1、﹣1＜x ＜2、x ≥2三类讨论，可求得g （x ）max =54，从而可得m 的取值范围．解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，f （x ）≥1，∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）={−x 2+x −3，x ≤−1−x 2+3x −1，−1＜x ＜2−x 2+x +3，x ≥2，当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x =12＞−1，∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x =32∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）=−94+92−1=54；当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x =12＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1；综上，g （x ）max =54，∴m 的取值范围为（﹣∞，54]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．。
2020年成都市树德中学国际部高三语文三模试题及答案
2020年成都市树德中学国际部高三语文三模试题及答案一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面文章，完成下面题目。
材料一：端午节，吃粽子只是其中内容之一，它更是除秽驱病的卫生节，也是诗人节、运动节、女儿节，除了吃粽子，还要挂菖蒲、赛龙舟、祭屈原。
传统中，在端午这天女儿回娘家探亲，家人喝雄黄酒，备艾叶、菖蒲和大蒜，比武、击球、荡秋千，给小孩涂雄黄、戴香囊……祛病消灾、祭祀祈福、回家团圆、强身健体，千百年来，我们的祖先从这些美好的生活愿望出发，为端午节创造出许多美丽动人的习俗，这是应该继承的文化财富。
“节分端午自谁言，万古传闻为屈原。
”端午节民俗起源说法众多，但屈原无疑是端午节最醒目的文化符号。
他的爱国情怀、高洁志向、执着刚毅仍然在现代人心中激起巨大回响。
文化是端午节的灵魂，在这一天，正可以重温历史的厚重、文化的韵味，筑牢民族精神与家国情怀。
节日的真意，常常需要依托于生活的体验来领悟。
“虎符缠臂，佳节又端午。
门前艾蒲青翠，天淡纸鸢舞”，“粽包分两髻，艾束著危冠”，这些细节，让日常生活有了更多仪式感，也因此让端午节增添了更多雅趣，让人体会到其中天人和谐的态度与美感。
从历史深处深情回望，端午节的文化内涵一直都在不断丰富和发展。
这本身也是传统文化随着时间在不断生长，并在现代社会获得了“新生”。
不论过节方式怎么变化，只要传统文化的根和魂还在，我们的传统节日就会不断接续传承，联通一代代人的心，为人们提供心灵的滋养和精神的慰藉。
(改编自李思辉《在端午品味文化的芳香》)材料二：20 世纪，整个人类进入了由农耕文明向工业文明的过渡，农耕时代形成的文化传统开始瓦解。
尤其是我国，在近百年由封闭走向开放的过程中，节日文化——特别是城市的节日文化受到现代文明与外来文化的冲击。
人们深切地感受到传统节日渐行渐远，日趋淡薄，并为此产生忧虑。
……千百年来，我们的祖先从生活愿望出发，为每一个节日创造出许多动人的习俗。
2020年四川省成都市高考数学三诊试卷(一)(有答案解析)
2020年四川省成都市高考数学三诊试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={x∈Z|（x+l）（x-3）≤0}，集合A={0，1，2}，则∁U A=（）A. {-1，3}B. {-1，0}C. {0，3}D. {-1，0，3}2.复数i（3-i）的共轭复数是（）A. 1+3iB. 1-3iC. -1+3iD. -1-3i3.已知函数f（x）=x3+3x．若f（-a）=2，则f（a）的值为（）A. 2B. -2C. 1D. -14.函数f（x）=sin x+cos x的最小正周期是（）A. 2πB.C. πD.5.如图，在正方体ABCD﹣A1B l C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1．则下列直线与平面A1BD平行的是（）A. CEB. CFC. CGD. CC16.已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.若非零实数a，b满足2a=3b，则下列式子一定正确的是（）A. b＞aB. b＜aC. |b|＜|a|D. |b|＞|a|8.设数列{}的前n项和为S n，则S10=（）A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410.“幻方’’最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的-个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如表所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）816357492A. 75B. 65C. 55D. 4511.已知双曲线C=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线C有相同的焦点．设P为抛物线与双曲线C的一个交点，cos∠PF1F2=，则双曲线C的离心率为（）A. 或B. 或3C. 2或D. 2或312.三棱柱ABC-A1B1C1中，棱AB，AC，AA1两两垂直，AB=AC，且三棱柱的侧面积为+1，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O表面积的最小值为（）A. πB.C. 2πD. 4π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某单位有男女职工共600人，现用分层抽样的方法，从所有职工中抽取容量为50的样本，已知从女职工中抽取的人数为15，那么该单位的女职工人数为______14.若cos（+α）=，则cos2α的值等于______．15.已知公差大于零的等差数列{a n}中，a2，a6，a12依次成等比数列，则的值是______16.在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），直线l：y=k（x-1）+2，设点A关于直线l的对称点为B，则•的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a cos B=b+c．（I）求角A的大小；（Ⅱ）记△ABC的外接圆半径为R，求的值．18.某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示．年龄（单位：[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]岁）保费（单位：306090120150元）（Ⅰ）求频率分布直方图中实数a的值，并求出该样本年龄的中位数；（Ⅱ）现分别在年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]中各选出1人共5人进行回访，若从这5人中随机选出2人，求这2人所交保费之和大于200元的概率．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PEF；（Ⅱ）若M是棱PB上一点，三棱锥M-PAD与三棱锥P-DEF的体积相等，求的值．20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2．P是椭圆C上任意一点，满足|PF1|+|PF2|=2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且|AB|=2，M为线段AB的中点，求|OM|的最大值．21.已知函数f（x）=x lnx-2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin （θ+）=．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M（0，1）．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23.已知函数f（x）=x2-a|x-1|-1，a∈R．（Ⅰ）当a=4时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）∃x0∈[0，2]，f（x0）≥a|x0+1|，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：全集U={x∈Z|（x+l）（x-3）≤0）={x∈Z|-1≤x≤3）}={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，则∁U A={-1，3}，故选：A．求出集合的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义进行求解是解决本题的关键．2.答案：B解析：解：∵i（3-i）=3i-i2=1+3i，∴复数i（3-i）的共轭复数是1-3i．故选：B．直接由复数代数形式的乘法运算化简，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：∵f（x）是奇函数，且f（-a）=2；∴f（-a）=-f（a）=2；∴f（a）=-2．故选：B．容易看出f（x）是奇函数，从而根据f（-a）=2即可求出f（a）=-2．看出奇函数的定义及判断方法．4.答案：A解析：解：∵f（x）=sin x+cos x=（=，∴T=2π，故选：A．把三角函数式整理变形，变为f（x）=A sin（ωx+φ）的形式，再用周期公式求出周期，变形时先提出，式子中就出现两角和的正弦公式，公式逆用，得到结论．本题关键是逆用公式，抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．5.答案：B解析：解：如图，连接AC，使AC交BD与点O，连接A1O，CF，在正方体ABCD-A1B l C1D1中，由于A1F AC，又OC=AC，可得：A1F OC，即四边形A1OCF为平行四边形，可得：A1O∥CF，又A1O⊂平面ABD，CF⊄平面ABD，可得CF∥平面ABD．故选：B．连接AC，使AC交BD与点O，连接A1O，CF，由A1F AC，又OC=AC，可证四边形A1OCF为平行四边形，可得A1O∥CF，利用线面平行的判定定理即可得解．本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义．作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大，结合图象即可求解z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足表示的平面区域，如图所示：由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大，作直线2x+y=0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过B时，z最大，由，可得B（2，0），此时z=4．故选：D．7.答案：C解析：解：令2a=3b=t，则t＞0，t≠1，∴a=log2t=，b=log3t=，∴|a|-|b|=-=|lg t|•＞0，∴|a|＞|b|．故选：C．令2a=3b=t，则t＞0，t≠1，将指数式化成对数式得a，b后，然后取绝对值作差比较可得．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．8.答案：A解析：解：=，所以：，=，=，所以：．故选：A．首先把数列的通项公式进行转换，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9.答案：B解析：解：根据程序框图：执行循环前：a=0，b=0，n=0，执行第一次循环时：，a=1，b=2，所以：92+82≤40不成立．继续进行循环，…，当a=4，b=8时，62+22=40，所以：n=1，由于a≥5不成立，执行下一次循环，当a=5时，输出结果n=2故选：B．直接利用程序框图的循环结构和条件结构的应用求出结果．本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10.答案：B解析：解：由1，2，3，4…24，25的和为=325，又由“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”的定义可得：“5阶幻方”的幻和为=65，故选：B．先理解“n阶幻方”的定义，再结合等差数列求和公式求解即可．本题考查了对“即时定义”的理解及进行简单的合情推理，属中档题．11.答案：D解析：【分析】设PF1=m，PF2=n，根据cos∠PF1F2=和抛物线性质得出PF2=m，再根据双曲线性质得出m=7a，n=5a，最后根据余弦定理列方程得出a，c间的关系，从而可得出离心率．本题考查了双曲线和抛物线的简单性质，属于中档题．【解答】解：过P分别向x轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，不妨设PF1=m，PF2=n，则F1M=PN=PF2=PF1cos∠PF1F2=，∵P为双曲线上的点，则PF1-PF2=2a，即m-=2a，故m=7a，n=5a．又F1F2=2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得=，化简可得c2-5ac+6a2=0，即e2-5e+6=0，解得e=2或e=3．故选：D．12.答案：C解析：【分析】由题意画出图形，设AB=AC=x，AA1=y，由三棱柱的侧面积可得．利用分割补形法结合基本不等式求三棱柱外接球半径的最小值，则答案可求．本题考查多面体外接球表面积最值的求法，考查分割补形法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．【解答】解：如图，设AB=AC=x，AA1=y，则三棱柱的侧面积为，得．把三棱柱补形为长方体，则其对角线长为．当且仅当，即x=，y=1时上式取“=”．∴三棱柱外接球半径的最小值为，表面积的最小值为．故选：C．13.答案：180解析：【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．【解答】解：由分层抽样的定义得=，得n=12×15=180，即该单位的女职工人数为180，故答案为180.14.答案：解析：解：∵cos（+α）=-sinα=，∴sinα=-，∴cos2α=1-2sin2α=1-2×（-）2=．故答案为：．由已知利用诱导公式可求sinα的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．15.答案：解析：解：公差大于零的等差数列{a n}中，a2，a6，a12依次成等比数列，可得：，可得（a2+4d）2=a2（a2+10d），可得8d=a2则===．故答案为：．利用等差数列以及等比数列的通项公式，化简求出公差与a2的关系，然后转化求解的值．本题考查数列的应用，等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．16.答案：[-1，3]解析：解：根据题意，设B的坐标为（m，n），又由AB关于直线y=k（x-1）+2对称，则有，解可得：，则B的坐标为（1-，），则=（1-，），=（1，0），则•=1-，当k=0时，•=1，当k＞0时，•=1-，此时k+≥2=2，-1≤•≤1，当k＜0时，•=1-，此时k+=-[（-k）+]≤-2，此时有1＜•≤3；综合可得：-1≤•≤3，故答案为：[-1，3]．根据题意，设B的坐标为（m，n），分析可得，解可得m、n的值，即可得B的坐标，则有=（1-，），=（1，0），由数量积的计算公式可得•=1-，分类讨论k的值，求出•的取值范围，综合即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及关于直线对称的点的坐标，关键是求出B的坐标，属于基础题．17.答案：解：（I）由正弦定理得sin A cos B=sin A+sin C又sin C=sin（A+B）．∴sin A cos B=sin A+sin A cos B+cos A sin B．即cos A sin B+sin B=0，∴cos A=-，∵0＜A＜π，∴A=（II）由余弦定理得b2+c2-a2=2bc cos A=-bc．∴==sin2A，∵：A=，∴sin2A=，即=sin2A=．解析：（Ⅰ）由正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简即可（Ⅱ）利用余弦定理以及正弦定理进行转化求解即可本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键．18.答案：解：（Ⅰ）∵（0.007+0.018+a+0.025+0.020）×10=1，解得a=0.030，设该样本年龄的中位数为x0，则40＜x0＜50，∴（x0-40）×0.030+0.018+0.07=0.5，解得．（Ⅱ）回访的这5人分别记为a20，a60，a90，a120，a150，从5人中任选2人的基本事件有：（a20，a60），（a20，a90），（a20，a120），（a20，a150），（a60，a90），（a60，a120），（a60，a150），（a90，a120），（a90，a150），（a120，a150），共10种，事件“两人保费之和大于200元”包含的基本事件有：（a60，a150），（a90，a120），（a90，a150），（a120，a150），共4种，∴这2人所交保费之和大于200元的概率p=．解析：（Ⅰ）利用频率分布直方图的性质能求出a的值和该样本年龄的中位数．（Ⅱ）回访的这5人分别记为a20，a60，a90，a120，a150，从5人中任选2人，利用列举法能求出这2人所交保费之和大于200元的概率．本题考查频率、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：（本题满分为12分）解：（Ⅰ）证明：连接AC，∵PA=PD，且E是AD的中点，∴PE⊥AD，…1分又∵面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD，…2分∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PE，…3分又四边形ABCD为菱形，且E，F为棱的中点，∴EF∥AC，BD⊥AC，∴BD⊥EF，…4分又BD⊥PE，PE∩EF=E，∴BD⊥平面PEF；…6分（Ⅱ）如图，连接MA，MD，设=λ，则=，∴V M-PAD=V B-PAD=V P-ABD，…8分又V P-DEF=V P-ACD=V P-ABD，…10分∵V M-PAD=V P-DEF，∴=，解得：λ=，即=．…12分解析：（Ⅰ）连接AC，可得PE⊥AD，利用面面垂直的性质可证PE⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可证BD⊥PE，由EF∥AC，BD⊥AC，可证BD⊥EF，BD⊥PE，PE∩EF=E，利用线面垂直的判定定理即可证明BD⊥平面PEF；（Ⅱ）连接MA，MD，设=λ，则=，利用V M-PAD=V P-DEF，可得=，进而解得λ的值，即可得解的值．本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的性质，线面垂直的判定以及三棱锥体积的求法，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由椭圆定义可知2a=2∴a=，由|F1F2|=2可得c=1∴b2=a2-c2=1椭圆方程为（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）联立可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0∴x1+x2=，x1x2=，=16k2-8m2+8＞0∴M（），OM2=，|AB|==2化简可得，，∴=令4k2+1=t≥1，则OM2===4-2当且仅当t=时取等号∴|OM|=即|OM|的最大值解析：本题主要考查了利用椭圆定义及性质求解椭圆方程及直线与椭圆位置关系的应用，试题具有一定的综合性 .（Ⅰ）由椭圆定义可求a，结合已知可求c，再由b2=a2-c2可求b，即可求解（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，可求x1+x2，x1x2，进而可求M，OM2，结合已知|AB|=2及弦长公式可得，代入后利用基本不等式可求.21.答案：解：（I）f′（x）=ln x-4ax+2，若f（x）在（0，+∞）内单调递减，则f′（x）≤0恒成立，即4a≥在（0，+∞）上恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴g（x）的最大值为g（）=e，∴4a≥e，即a≥．∴a的取值范围是[，+∞）．（II）∵f（x）有两个极值点，∴f′（x）=0在（0，+∞）上有两解，即4a=有两解，由（1）可知0＜a＜．由ln x1-4ax1+2=0，ln x2-4ax2+2=0，可得ln x1-ln x2=4a（x1-x2），不妨设0＜x1＜x2，要证明x1+x2＞，只需证明＜，即证明＞ln x1-ln x2，只需证明＞ln，令h（x）=-ln x（0＜x＜1），则h′（x）=＜0，故h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）=0，即＞ln x在（0，1）上恒成立，∴不等式＞ln恒成立，综上，x1+x2＞．解析：本题考查了函数单调性的判断，函数最值的计算，考查导数与函数单调性的关系，属于中档题．（I）令f′（x）≤0恒成立，分离参数得出4a≥，利用函数单调性求出函数g（x）=的最大值即可得出a的范围；（II）令=x，根据分析法构造关于x的不等式，再利用函数单调性证明不等式恒成立即可．22.答案：解：（Ⅰ）由，得（x-2）2+y2=4，由ρsin（θ+）=，得ρsinθ+ρcosθ=1，∴直线l的直角坐标方程为x +y=1．（Ⅱ）设直线l的参数方程为（t为参数），代入（x-2）2+y2=1得t2+3+1=0，设A，B对应的参数为t1，t2，∴t1+t2=-3＜0，t1t2=1＞0，t1＜0，t2＜0，∴|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=3解析：（Ⅰ）由，得（x-2）2+y2=4，由ρsin（θ+）=，得ρsinθ+ρcosθ=1，∴直线l的直角坐标方程为x +y=1（Ⅱ）根据参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=x2-4|x-1|-1=，当x≥1时，f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1≥-1，即此时f（x）≥-1，当x＜1时，f（x）=x2+4x-5=（x+2）2-9≥-9，即此时f（x）≥-9，综上f（x）≥-9，即函数f（x）的值域为[-9，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≥a|x+1|等价为x2-a|x-1|-1≥a|x+1|，即a（|x+1|+|x-1|）≤x2-1，即a≤在区间[0，2]内有解，当0≤x≤1时，a≤==，当0≤x≤1时，-≤≤0．此时a≤0，当1＜x≤2时，a≤===（x-），当1＜x≤2时，0＜（x-）≤，此时a≤，综上a≤，即实数a的取值范围是（-∞，]．解析：（Ⅰ）当a=4时，结合绝对值的应用，将函数转化为二次函数，利用二次函数的最值性质进行求解．（Ⅱ）（Ⅱ）∃x0∈[0，2]，f（x0）≥a|x0+1|，等价为a≤在区间[0，2]内有解，利用不等式的性质求出的最大值即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二次函数的性质是解决本题的关键．。
2020届成都市树德中学国际部高三语文三模试卷及答案
2020届成都市树德中学国际部高三语文三模试卷及答案一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面的文字，完成各题。
王麻子膏药阿成聊一个小人物。
这个小人物在哈尔滨道外区。
道外区是这座洋气十足的城市中最中国化、最传统化的一个区(其他几个区，譬如道里区、南岗区，都有较明显的殖民地化倾向)。
一句话，这座城市颇有一点儿杂家的风度，亦称流亡者的城市。
所谓流亡者的城市就是背井离乡之人的城市之意。
离乡便思乡，思乡之极，难免会做出些不讲道理的事。
对方一个不足道的动作，一个平平常常的眼神儿，都可能导致头破血流、筋骨折断。
即为流亡者之乡也得有点儿一不怕苦、二不怕死的精神才行，也只有这样才能在这里站住脚跟。
北京城的满族青年王树森，经过对以上情况与精神状态的认真论证、综合分析后，才决定闯关东到东北来的。
王树森的父亲原是清宫护卫营的卫士。
文史资料介绍说：“卫士们在操练武艺中，难免有跌打损伤之苦，于是就互相推揉搓，或者互赠些自己配用的药膏。
”并说，“当时最受欢迎的是“狗皮膏”“小灵丹’和王树森家的“王大膏药’。
”王树森就是从小从当护卫的父亲那里学会了熬膏药的本领的。
19世纪末，王树森家道败落，于是他怀着一腔悲怆来到东北。
在庙头一带熬膏药，专治跌打损伤。
哪个被思乡之苦或酒火持有者打折了腿，贏家便义气地冲着倒地上哎哟不止者扔下几文钱说：“去王麻子那儿买几帖膏药贴上吧。
”如此下来，王树森就了不得了，他熬的膏药名声大震。
王树森的专治腰腿疼以及各种寒症的膏药，深受苦寒之地老百姓的欢迎和信赖。
王树森人长得不错，有点儿华佗遗风，也有点儿扁鹊的做派，不幸的是，自己有一脸天然的白麻子。
王树森将计就计，不计鄙陋，将自己熬的膏药称“王麻子膏药”。
这在文学上叫“反讽”，在欧洲叫“黑色幽默”，在这里，却显得通俗易懂、幽默亲切，还明显地透着某种自信。
20世纪的20年代，王树森在哈尔滨开了一家“王麻子膏药店”，落脚在太古南六道街的“兄弟堂”，并在院内行医。
5四川省成都市树德中学2020届高三三诊模拟考试 数学(文科)(解析版)
2020年高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B＝{x|x＞0}，则集合∁Z A∩B的真子集个数为（）A．3B．4C．7D．82．方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜0B．﹣3＜m＜2C．﹣3＜m＜4D．﹣1＜m＜33．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（√32，12），当秒针从P0（注此时t＝0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A．y＝sin（π30t+π6）B．y=sin(−π60t−π6)C．y＝sin（−π30t+π6）D．y＝sin（−π30t−π3）4．已知直线x+7y＝10把圆x2+y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）A．π2B．2π3C．πD．2π5．若x的取值范围为[0，10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x，则输出y满足y ＜5的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.76．变量x，y满足{x−4y+3≤03x+5y−25≤0x≥1，则x2+y2+6x﹣4y+14的最大值为（）A．8B．9C．64D．657．某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A．2+3√22B．72+3√22C．3+2√2D．2+√28．已知平面α及直线a，b，则下列说法错误的个数是（）①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行；②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直；③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直；④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行．A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数f(x)=e x −1e x +1，g （x ）＝1﹣x ，若对∀x 1∈R ，总存在x 2∈[m ，n ]，使得f （x 1）＞g （x 2）成立，以下对m 、n 的取值范围判断正确的是（ ） A ．m ≥2B ．m ＞2C ．n ≥2D ．n ＞210．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，满足：CO →=m CA →+n CB →，4m +3n ＝2，且|CA →|＝4√3，|CB →|＝6，则CA →•CB →=（ ） A ．36B ．24C ．24√3D ．12√311．设函数f(x)={log 2(x +1)，x ≥0√−x ，x ＜0，则满足f （x +1）＜2的x 的取值范围为（ ）A ．（﹣4，3）B ．（﹣5，2）C ．（﹣3，4）D ．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）12．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y =−116的距离为d ，若|MN |2＝λ•d 2，则λ的最小值为（ ） A ．√22B ．1−√22C ．1+√22D ．2+√2二、填空题13．双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为 ．14．复数z 满足方程z 2+z +3＝0，z 是z 的共轭复数，则z +z = ． 15．若f(x)=21+2x +11+4x ，且f[log a (√2+1)]=1，其中a ＞1，则f[log a (√2−1)]= ．16．函数f(x)=x 2−6x ⋅sin πx2+1(x ∈R)的零点个数有 个．三、解答题：解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣4，S m＝0，S m+2＝14．（m≥2，且m∈N*）（1）求m的值；（2）若数列{b n}满足a n2=log2b n（n∈N*），求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．18．四面体A﹣BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AC＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD=√2（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点C到平面AED的距离．19．2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制出频率分布直方图，如图．若把年龄在区间[15，35），[35，75]内的人分别称为“青少年”“中老年”．经统计“青少年”和“中老年”的人数之比为19：21．其中“青少年”中有40人关注“两会”，“中老年”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比为2：1．（1）求图中a+b的值．（2）现采用分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取8人作为代表，从8人中任选2人，求2人都是“中老年”的概率．（3）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．关注 不关注总计 “青少年” “中老年” 总计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≤k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为12，且过点P(1，32)，直线l ：y ＝kx +m交椭圆E 于不同的两点A ，B ，设线段AB 的中点为M ． （1）求椭圆E 的方程；（2）当△AOB 的面积为32（其中O 为坐标原点）且4k 2﹣4m 2+3≠0时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点C ，D ，使得当直线l 运动时，|MC |+|MD |为定值？若存在，求出点C ，D 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝（a +1a ）lnx +1x−x （a ＞1）． （l ）试讨论f （x ）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a ∈[3，+∞）时，曲线y ＝f （x ）上总存在相异两点P （x 1，f （x 1）），Q （x 2，f （x 2 ）），使得曲线y ＝f （x ）在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：x 1+x 2＞65． 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{ x =−2tanθ√2tan θ+1y =√2tan θ+1（θ为参数，0≤θ≤π，θ≠π2），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρcos （θ−π4）=√2． （1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 1上，点Q 在曲线C 2上，求|PQ |的最小值． 23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m的解集非空，求m 的取值范围．参考答案一、在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B＝{x|x＞0}，则集合∁Z A∩B的真子集个数为（）A．3B．4C．7D．8【分析】可以求出集合A，然后进行补集、交集的运算求出∁Z A∩B，从而可得出∁Z A∩B 的真子集的个数．解：∵A＝{x|x＜﹣1或x＞3，x∈Z}，B＝{x|x＞0}，∴∁Z A＝{﹣1，0，1，2，3}，∴∁Z A∩B＝{1，2，3}，∴∁Z A∩B的真子集个数为23﹣1＝7．故选：C．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，描述法、列举法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜0B．﹣3＜m＜2C．﹣3＜m＜4D．﹣1＜m＜3【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线时m的取值范围，进而由充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线，则有（m﹣2）（m+3）＜0，解可得﹣3＜m＜2，要求方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件，即要求的是{m|﹣3＜m＜2}的真子集；依次分析选项：A符合条件，故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及充分必要条件的判定，关键是掌握二元二次方程表示双曲线的条件．3．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（√32，12），当秒针从P0（注此时t＝0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A．y＝sin（π30t+π6）B．y=sin(−π60t−π6)C．y＝sin（−π30t+π6）D．y＝sin（−π30t−π3）【分析】先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而可求函数的解析式．解：由题意，函数的周期为T＝60，∴ω=2π60=π30设函数解析式为y＝sin（−π30t+φ）（因为秒针是顺时针走动）∵初始位置为P0（√32，12），∴t＝0时，y=1 2∴sinφ=1 2∴φ可取π6∴函数解析式为y＝sin（−π30t+π6）故选：C．【点评】本题考查三角函数解析式的确定，考查学生的阅读能力，解题的关键是确定函数的周期，正确运用初始点的位置．4．已知直线x+7y＝10把圆x2+y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）A．π2B．2π3C．πD．2π【分析】根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得．解：圆的圆心为（0，0）到直线x+7y＝10的距离为√1+49=√2∴弦长为2×√4−2=2√2根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，较短弧长为14×2π×2＝π，较长的弧长为4π﹣π＝3π∴两段弧长之差的绝对值等于2π故选：D．【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质．一般采用数形结合的方法，在弦与半径构成的三角形中，通过解三角形求得问题的答案．5．若x的取值范围为[0，10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x，则输出y满足y ＜5的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.7【分析】由程序框图得出输出变量y的解析式，求出输出的y满足y＜5时x的取值范围，代入几何概型概率计算公式，可得答案；解：由题意知，程序框图所表示的函数解析式为y={x+1，x≤7 x−1，x＞7；当y＜5时，若输出y＝x+1（0≤x≤7），此时输出的结果满足x+1＜5，解得0≤x＜4；若输出y＝x﹣1（7＜x≤10），此时输出的结果满足x﹣1＜5，解得0≤x＜6（不合题意），所以输出的y＜5时，x的取值范围是0≤x＜4；所以使得输出的y满足y＜5的概率为P=4−010−0=25=0.4．故选：B ．【点评】本题考查了程序框图、分段函数与几何概型的概率计算问题，是综合题． 6．变量x ，y 满足{x −4y +3≤03x +5y −25≤0x ≥1，则x 2+y 2+6x ﹣4y +14的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．64D ．65【分析】画出约束条件表示的可行域，利用表达式的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方平方再加1．求解即可．解：由变量x ，y 满足{x −4y +3≤03x +5y −25≤0x ≥1，作出（x ，y ）的可行域如图所示．z ＝x 2+y 2+6x ﹣4y +14＝（x +3）2+（y ﹣2）2+1的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方再加1．结合图形可知，{x −4y +3=03x +5y −25=0解得B （5，2），可行域上的点到（﹣3，2）的距离中，d min ＝1﹣（﹣3）＝4，d max ＝8． ∴17≤z ≤65．则x 2+y 2+6x ﹣4y +14的最大值为65． 故选：D ．【点评】本题考查简单线性规划的应用，注意目标函数的几何意义是解题的关键，常考题型．7．某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）A．2+3√22B．72+3√22C．3+2√2D．2+√2【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图：左侧是放倒的三棱柱，右侧是三棱锥，俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为：1×√2+2×12×1×1+1×1+12×1×1+12×1×√2+12×1×√2+12×1×1=3+2√2．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，考查计算能力．8．已知平面α及直线a，b，则下列说法错误的个数是（）①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行；②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直；③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直；④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行．A．1B．2C．3D．4【分析】作图说明①②错误；由直线与平面垂直的性质说明③正确；举例说明④错误．解：①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行，错误，如图：在直线a上取一点A，作AA1⊥α，在直线b上取一点B，作BB1⊥α．可以使∠AOA1＝∠BOB1＝30°，但a与b不平行；②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直，错误，上图中在∠AOA1＝∠BOB1＝30°时，可以使∠AOB＝90°，即a⊥b；③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直，正确．原因是若a与b与平面α都垂直，则a∥b，a与b不垂直；④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行，错误，如a，b都垂直平面α．∴说法错误的个数是3个．故选：C．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9．已知函数f(x)=e x−1e x+1，g（x）＝1﹣x，若对∀x1∈R，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）＞g （x 2）成立，以下对m 、n 的取值范围判断正确的是（ ） A ．m ≥2B ．m ＞2C ．n ≥2D ．n ＞2【分析】由指数函数的值域和不等式的性质，求得f （x ）的值域；由一次函数的单调性可得g （x ）的值域，由题意可得n 的不等式，解不等式可得所求范围． 解：函数f(x)=e x −1e x +1，即f （x ）＝1−21+e x ，由e x ＞0，可得1+e x ＞1，即有0＜21+e x ＜2，则﹣1＜1−21+e x＜1，即有f （x ）的值域为（﹣1，1）；g （x ）＝1﹣x 在[m ，n ]递减，可得g （x ）的值域为[1﹣n ，1﹣m ]， 对∀x 1∈R ，总存在x 2∈[m ，n ]，使得f （x 1）＞g （x 2）成立， 可得﹣1≥1﹣n ，即有n ≥2， 故选：C ．【点评】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想，以及函数的单调性求值域，考查运算能力和推理能力，属于中档题．10．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，满足：CO →=m CA →+n CB →，4m +3n ＝2，且|CA →|＝4√3，|CB →|＝6，则CA →•CB →=（ ） A ．36B ．24C ．24√3D ．12√3【分析】根据已知条件，在CO →=mCA →+nCB →两边分别乘以向量CA →，CB →便可得到，{24=48m +nCA →⋅CB →①18=36n +mCA →⋅CB →②，所以根据4m +3n ＝2，①+②，和①×3+②×4得{(m +n)CA →⋅CB →=1872(m +n)+CA →⋅CB →=72，所以由这两式即可求出CA →⋅CB →． 解：如图，根据已知条件：{CO →⋅CA →=mCA →2+nCA →⋅CB →CO →⋅CB →=mCA →⋅CB →+nCB →2； ∴{2√3⋅4√3=48m +nCA →⋅CB →3⋅6=36n +mCA →⋅CB →； ∴{24=48m +nCA →⋅CB →①18=36n +mCA →⋅CB →②； ∴①+②得，42＝12（4m +3n ）+（m +n ）CA →⋅CB →=24+(m +n)CA →⋅CB →； ∴(m +n)CA →⋅CB →=18③；①×3+②×4得，144＝144（m +n ）+（4m +3n ）CA →⋅CB →=144（m +n ）+2CA →⋅CB →； ∴72(m +n)+CA →⋅CB →=72④；∴联立③④可CA →⋅CB →=36． 故选：A ．【点评】考查向量数量积的计算公式，三角形外心的概念，直角三角形的边角关系，以及对条件4m +3n ＝2的灵活运用．11．设函数f(x)={log 2(x +1)，x ≥0√−x ，x ＜0，则满足f （x +1）＜2的x 的取值范围为（ ）A．（﹣4，3）B．（﹣5，2）C．（﹣3，4）D．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）【分析】作出函数f（x）的图象，结合图象可知，不等式可转化为0≤x+1＜3或﹣4＜x+1≤0，分别解出后取并集即可．解：作出函数f（x）的图象如图所示，令f（x）＝2，解得x＝﹣4或x＝3，由图象可知，f（x+1）＜2等价为0≤x+1＜3或﹣4＜x+1≤0，解得﹣1≤x＜2或﹣5＜x≤﹣1，∴所求不等式的解集为（﹣5，2）．故选：B．【点评】本题考查不等式的解法，考查数形结合思想，属于基础题．12．已知点M，N是抛物线y＝4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足∠MFN＝135°，弦MN的中点P到直线l：y=−116的距离为d，若|MN|2＝λ•d2，则λ的最小值为（）A．√22B．1−√22C．1+√22D．2+√2【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设|MF|＝a，|NF|＝b，由∠MFN＝135°，运用余弦定理可得|MN|，运用抛物线的定义和中位线定理可得d=12（|MF|+|NF|）=12（a+b），运用基本不等式计算即可得到所求最小值．解：抛物线y ＝4x 2的焦点F （0，116），准线为y =−116， 设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，可得|MN |2＝|MF |2+|NF |2﹣2|MF |•|NF |•cos ∠MFN ＝a 2+b 2+√2ab ， 由抛物线的定义可得M 到准线的距离为|MF |，N 到准线的距离为|NF |，由梯形的中位线定理可得d =12（|MF |+|NF |）=12（a +b ），由|MN |2＝λ•d 2，可得14λ=a 2+b 2+√2ab (a+b)2=1−(2−√2)ab (a+b)2≥1√2)ab (2ab)2=1−2−√24=2+√24，可得λ≥2+√2，当且仅当a ＝b 时，取得最小值2+√2． 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查余弦定理和基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 二、填空题13．双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为53或54．【分析】利用双曲线方程，转化求解离心率即可．解：当λ＞0时，双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为：e =√c 2a2=√9λ+16λ9λ=53． 当λ＜0时，双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为：e =√c 2a2=√−9λ−16λ−16λ=54． 故答案为：53或54．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用、分类讨论方法，是基本知识的考查，基础题．14．复数z 满足方程z 2+z +3＝0，z 是z 的共轭复数，则z +z = ﹣1 ．【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理得答案． 解：∵方程z 2+z +3＝0的判别式小于0， ∴z 为方程z 2+z +3＝0的虚根，由实系数一元二次方程虚根成对原理，可得z +z =−1． 故答案为：﹣1．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，是基础题．15．若f(x)=2x +1x ，且f[log a (√2+1)]=1，其中a ＞1，则f[log a (√2−1)]= 2 ． 【分析】直接利用函数的关系式的运算的应用和对数的关系式的运算的应用求出结果．解：由于f(x)=21+2x +11+4x ，所以f(−x)=21+2−x +11+4−x =2×2x 1+2x +4x1+4x ， 所以f （x ）+f （﹣x ）=21+2x +11+4x +2×2x1+2x +4x 1+4x =3． 由于：log a (√2+1)=−log a (√2−1)， 所以f[log a (√2−1)]+f[log a (√2−1)]=3， 整理得f[log a (√2−1)]=2． 故答案为：2【点评】本题考查的知识要点：函数的、关系式的运算，对数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16．函数f(x)=x 2−6x ⋅sin πx2+1(x ∈R)的零点个数有 8 个．【分析】显然0不是函数f(x)=x 2−6x ⋅sin πx2+1(x ∈R)的零点，故化为函数y ＝6sin π2x 与y ＝x +1x的图象的交点的个数，作函数图象求解即可．解：显然0不是函数f （x ）＝x 2﹣6x sin π2x +1的零点，故f （x ）＝x 2﹣6x sin π2x +1＝0可化为6sin π2x ＝x +1x，故可化为函数y ＝6sin π2x 与y ＝x +1x的图象的交点的个数，作函数y ＝6sin π2x 与y ＝x +1x的图象如图：由图象可知，有8个交点． 故答案为：8．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根及函数的图象的交点的关系应用，同时考查了学生作图与用图的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题 17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1＝﹣4，S m ＝0，S m +2＝14．（m ≥2，且m ∈N*） （1）求m 的值；（2）若数列{b n }满足a n 2=log 2b n （n ∈N*），求数列{（a n +6）•b n }的前n 项和．【分析】（1）利用a m ＝S m ﹣S m ﹣1，转化求出数列的公差，然后利用已知条件求解m ． （2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和求解即可． 解：（1）∵S m ﹣1＝﹣4，S m ＝0，S m +2＝14， ∴a m ＝S m ﹣S m ﹣1＝4，a m +1+a m +2＝S m +2﹣S m ＝14． 设{a n }的公差为d ，则2a m +3d ＝14， ∴d ＝2．∵S m =a 1+a m2=0，∴a 1＝﹣a m ＝﹣4． ∴a m ＝a 1+（m ﹣1）d ＝﹣4+2（m ﹣1）＝4， ∴m ＝5．（2）由（1）可得a n ＝﹣4+2（n ﹣1）＝2n ﹣6． ∵a n 2=log 2b n ，即n ﹣3＝log 2b n ，∴b n ＝2n ﹣3，∴（a n +6）•b n ＝2n •2n ﹣3＝n •2n ﹣2， 设数列{（a n +6）•b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝1•2﹣1+2•20+3•21+4•22+…+n •2n ﹣2，① ∴2T n ＝1•20+2•21+3•22+4•23+…+n •2n ﹣1，② ①﹣②得： ﹣T n =12+1+21+22+23+…+2n ﹣2﹣n •2n ﹣1=12+1−2n−11−2−n •2n ﹣1=−12−（n ﹣1）2n ﹣1， T n =12+（n ﹣1）2n ﹣1．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力．18．四面体A﹣BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AC＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD=√2（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点C到平面AED的距离．【分析】（1）连接OC，运用勾股定理的逆定理，证得AO⊥OC，再由线面垂直的判定定理，即可得证；（2）取AC中点M，连接OM，ME，OE，又E为BC中点，则ME∥AB，OE∥CD，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成角，运用解直角三角形，即可得到；（3）设点C到平面AED的距离为h，由V C﹣AED＝V A﹣CDE，由三棱锥的体积公式，结合余弦定理和面积公式，即可得到点C到平面AED的距离．【解答】（1）证明：连接OC，已知O为BD中点，AB＝AD=√2，AC＝BC＝CD＝BD＝2，故AO⊥BD，CO⊥BD，所以OA=√AB2−BO2=1，OC=√3，在△AOC中，OA2+OC2＝4＝AC2，所以∠AOC＝90°，则AO⊥OC，又AO⊥BD，BD∩OC＝O，故AO⊥平面BCD．（2）解：取AC 中点M ，连接OM ，ME ，OE ，又E 为BC 中点，则ME ∥AB ，OE ∥CD ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成角，在△OME 中，EM =12AB =√22，OE =12CD =1，又OM 为Rt △AOC 的斜边AC 上的中线，故OM ＝1，所以cos ∠OEM =√24，即异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为√24．（3）解：（体积法）设点C 到平面AED 的距离为h ，因为V C ﹣AED ＝V A ﹣CDE ， 即有13hS △AED =13AO •S △CDE ，又CA ＝BC ＝2，AB =√2，设AE ＝x ，则由余弦定理有cos ∠ABC =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =AB 2+BE 2−AE 22AB⋅BE，即有AE =√2，△AED 为等腰三角形，而DE =√3，等腰三角形△AED 底边上的高为√52， 故△AED 的面积为S △AED =12⋅DE ⋅√52=√154．则而AO ＝1，S △CDE =12×√34×4=√32，故h =2√55，点E 到平面ACD 的距离为2√55．【点评】本题考查线面垂直的判定和性质及运用，考查异面直线所成的角的求法，考查点到平面的距离的求法：体积法，考查运算能力，属于中档题．19．2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制出频率分布直方图，如图．若把年龄在区间[15，35），[35，75]内的人分别称为“青少年”“中老年”．经统计“青少年”和“中老年”的人数之比为19：21．其中“青少年”中有40人关注“两会”，“中老年”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比为2：1． （1）求图中a +b 的值．（2）现采用分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取8人作为代表，从8人中任选2人，求2人都是“中老年”的概率．（3）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．关注 不关注总计 “青少年” “中老年” 总计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≤k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和已知可求得a +b 的值． （2）利用列举法和古典概型的定义可求2人都是“中老年”的概率．（3）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．可判断能否有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．解：（1）由题意得{(b +0.030)×10=1919+21(a +0.010+0.005×2)×10=2119+21， 解得{b =0.0175a =0.0325，所以a +b ＝0.0325+0.0175＝0.05．（2）由题意得，在[25，35）中抽取8×0.0300.030+0.010=6（人），分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，在[45，55）中抽取8﹣6＝2（人），分别记为a ，b ．则从8人中任选2人的全部基本事件有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，BE ，BF ，Ba ，Bb ，CD ，CE ，CF ，Ca ，Cb ，DE ，DF ，Da ，Db ，EF ，Ea ，Eb ，Fa ，Fb ，ab ，共28种，其中所选的2人都是“中老年”的事件只有ab 这1种，故2人都是“中老年”的概率p =128． （3）2×2列联表如下：关注 不关注 总计 “青少年” 40 55 95 “中老年”70 35 105 总计11090200所以K 2=200×(40×35−55×70)295×105×110×90≈12.157＞10.828，故有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，结合古典概型，也考查了计算能力的应用问题，是中档题目．20．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为12，且过点P(1，32)，直线l ：y ＝kx +m交椭圆E 于不同的两点A ，B ，设线段AB 的中点为M ． （1）求椭圆E 的方程；（2）当△AOB 的面积为32（其中O 为坐标原点）且4k 2﹣4m 2+3≠0时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点C ，D ，使得当直线l 运动时，|MC |+|MD |为定值？若存在，求出点C ，D 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的离心率为12，则a 2：b 2：c 2＝4：3：1，设出椭圆E ：x 24+y 23=λ(λ＞0)又椭圆过点P(1，32)，然后求解椭圆方程．（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx +m ，并设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程{y =kx +mx 24+y 23=1，利用韦达定理以及判别式，弦长公式点到直线的距离公式表示三角形的面积，结合mk 的关系，求解|MC |+|MD |为定值2√3． 解：（1）由于椭圆的离心率为12，则a 2：b 2：c 2＝4：3：1，故椭圆E ：x 24+y 23=λ(λ＞0)又椭圆过点P(1，32)，从而λ=14+34=1， 从而椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx +m ，并设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立方程{y =kx +mx 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，则{△=48(4k 2−m 2+3)＞0x 1+x 2=−8km 4k 2+3x 1x 2=4m 2−124k 2+3从而y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m4k 2+3，从而点M 的坐标为(−4km 4k 2+3，3m 4k 2+3)由于|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√48(4k 2−m 2+3)4k 2+3，点O 到直线l 的距离为d =|m|√1+k ，则△AOB 的面积S △AOB=12|AB|⋅d =2√3⋅√m 2(4k 2−m 2+3)4k 2+3， 由题得：S △AOB =2√3⋅√m 2(4k 2−m 2+3)4k 2+3=32，从而化简得：3（4k 2+3）2﹣16m 2（4k 2+3）+16m 4＝0，故[（4k 2+3）﹣4m 2][3（4k 2+3）﹣4m 2]＝0，即m 2=4k 2+34或m 2=3(4k 2+3)4，又由于4k 2﹣4m 2+3≠0，从而m 2=3(4k 2+3)4．当m 2=3(4k 2+3)4时，由于x M =−4km4k 2+3，y M =3m 4k 2+3，从而(x M 2)2+(M 3)2=(−2km 4k 2+3)2+(√3m 4k 2+3)2=m 2(4k 2+3)(4k 2+3)2=34， 即点M 在椭圆x 23+y 294=1上．由椭圆的定义得，存在点C(−√32，0)，D(√32，0)或D(−√32，0)，C(√32，0)，使得|MC |+|MD |为定值2√3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查设而不求的方法的应用，考查转化思想以及计算能力． 21．已知函数f （x ）＝（a +1a ）lnx +1x −x （a ＞1）． （l ）试讨论f （x ）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a ∈[3，+∞）时，曲线y ＝f （x ）上总存在相异两点P （x 1，f （x 1）），Q （x 2，f （x 2 ）），使得曲线y ＝f （x ）在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：x 1+x 2＞65． 【分析】（1）求出f ′（x ），当x ∈（0，1）时，解不等式f ′（x ）＞0，f ′（x ）＜0即可．（2）由题意可得，当a ∈[3，+∞）时，f ′（x 1）＝f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），由此可得a +1a =x 1+x 2x 1x 2＞4x 1+x2，从而x 1+x 2＞4a+1a，只要求出4a+1a在[3，+∞）的最大值即可．解：（1）由已知，得x ＞0，f′(x)=a+1a x −1x 2−1=−x 2−(a+1a )x+1x 2=−(x−a)(x−1a )x 2． 由f ′（x ）＝0，得x 1=1a ，x 2=a ．因为a ＞1，所以0＜1a ＜1，且a ＞1a ．所以在区间（0，1a）上，f ′（x ）＜0；在区间（1a，1）上，f ′（x ）＞0．故f （x ）在（0，1a）上单调递减，在（1a，1）上单调递增．证明：（2）由题意可得，当a ∈[3，+∞）时，f ′（x 1）＝f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2）．即a+1ax 1−1x 12−1=a+1ax 2−1x 22−1，所以a +1a =1x 1+1x 2=x 1+x2x 1x 2，a ∈[3，+∞）．因为x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2，所以x 1x 2＜(x 1+x 22)2恒成立， 所以1x 1x 2＞4(x 1+x 2)，又x 1+x 2＞0，所以a +1a =x 1+x2x 1x 2＞4x 1+x 2，整理得x 1+x 2＞4a+1a ， 令g （a ）=4a+1a ，因为a ∈[3，+∞），所以a +1a单调递增，g （a ）单调递减， 所以g （a ）在[3，+∞）上的最大值为g （3）=65，所以x 1+x 2＞65．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题、求最值问题，运用所学知识解决问题的能力． 一、选择题22．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{ x =√2tan θ+1y =1√2tan θ+1（θ为参数，0≤θ≤π，θ≠π2），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρcos （θ−π4）=√2． （1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 1上，点Q 在曲线C 2上，求|PQ |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）由已知可得{x 2=4tan 2θ2tan 2θ+1y 2=12tan 2θ+1，所以x 2+2y 2＝2，又0≤θ≤π且θ≠π2． 所以y =√2tan θ+1∈(0，1]，故C 1普通方程为x 22+y 2=1（0＜y ≤1），曲线C 2：ρcos （θ−π4）=√2．整理得√22ρcosθ+√22ρsinθ−√2=0，转换为直角坐标方程为：x +y ﹣2＝0．（2）设P(√2φ，cosφ)，（0＜φ＜π）． 则点P 到直线x +y ﹣2＝0的距离d =√2cosφ+sinφ−2|2=√3sin(φ+α)−2|2=√3sin(φ+α)2，当sin （φ+α）＝1时，d min =2−√3√2=√2−√62．所以|PQ |的最小值为√2−√62．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m 的解集非空，求m 的取值范围．【分析】（1）由于f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x ≤2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；（2）依题意可得m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ，分x ≤1、﹣1＜x ＜2、x ≥2三类讨论，可求得g （x ）max =54，从而可得m 的取值范围．解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，f （x ）≥1，∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）={−x 2+x −3，x ≤−1−x 2+3x −1，−1＜x ＜2−x 2+x +3，x ≥2，当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x =12＞−1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x =32∈（﹣1，2），∴g （x ）≤g （32）=−94+92−1=54；当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x =12＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1；综上，g （x ）max =54，∴m 的取值范围为（﹣∞，54]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．。
四川省成都市2020届高中毕业班高三数学第三次诊断性测试(文,word版)
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17．解：（I）
4分
又 2分
（II）
2分
1分
3分
18．（I）证明：由题意可知CD、CB、CE两两垂直。
可建立如图所示的空间直角坐标系
则 2分
由 1分
又 平面BDF，
平面BDF。2分
（Ⅱ）解：设异面直线CM与FD所成角的大小为
。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么球的表积公式：
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径
P（A·B）=P（A）·P（B）球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，
（II）求异面直线CM与FD所成角的大小；
（III）求二面角A—DF—B的大小。
19．（本小题满分12分）
某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试。在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为
即异面直线CM与FD所成角的大小为 3分
（III）解： 平面ADF，
平面ADF的法向量为 1分
设平面BDF的法向量为
由
1分
1分
由图可知二面角A—DF—B的大小为 1分
19．解：（I）设该小组中有n个女生，根据题意，得
解得n=6,n=4（舍去）
该小组中有6个女生。6分
（Ⅱ）由题意，甲、乙、丙3人中通过测试的人数不少于2人，