[考研类试卷]考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷21.doc
[考研类试卷]考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷21
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 n阶方阵A有n个互不相同特征值是A与对角矩阵相似的
（A）充分必要条件．
（B）充分而非必要的条件．
（C）必要而非充分条件．
（D）既非充分也非必要条件．
2 设A、B都是n阶矩阵，则A与B相似的一个充分条件是
（A）r(A)=r(B)．
（B）｜A｜=｜B｜．
（C）A与B有相同的特征多项式．
（D）A、B有相同的特征值λ1，…，λn，且λ1，…，λn互不相同．
3 设n阶矩阵A与B相似，则
（A）λE-A=λE-B．
（B）A与B有相同的特征值和特征向量．
（C）A和B都相似于同一个对角矩阵．
（D）对任意常数t，tE-A与tE-B都相似．
4 与矩阵D=相似的矩阵是
二、填空题
5 设α1=(1，0，-2)T和α2=(2，3，8)T都是A的属于特征值2的特征向量，又向量β=(0，-3，-10)T，则Aβ=_______.
6 设4阶矩阵A与B相似，A的特征值为，则行列式｜B-1-E｜=
_______．
7 设向量α=(1，0，-1)T，矩阵A=ααT，a为常数，n为正整数，则行列式｜aE-A n｜=_______．
8 设可逆方阵A有一个特征值为2，则(A2)-1必有一个特征值为_______．
9 设可逆方阵A有特征值λ，则(A*)2+E必有一个特征值为_______．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10 设λ为可逆方阵A的特征值，且x为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)为
A-1的特征值，且x为对应的特征向量；(3)为A*的特征值，且x为对应的特征向量．
11 设3阶方阵A的特征值为2，-1，0，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，若
B=A3-2A2+4E，试求B-1的特征值与特征向量．
12 已知向量α=(1，k，1)T是A=的伴随矩阵A*的一个特征向量，试求k 的值及与α对应的特征值λ．
13 设3阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量依次为ξ1=，
ξ2，ξ3=，又向量β=(1)将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出；(2)求A nβ(n为正整数)．
14 设矩阵A=，｜A｜=-1，A的伴随矩阵A*有一个特征值为
λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(-1，-1，1)T．求a，b，c和λ0的值．
15 已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量．(1)试确定a，b的值及特征向量ξ所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵?说明理由．
16 设λ1，λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．
17 设A=有3个线性无关的特征向量，求x与y满足的关系．
18 设3阶矩阵A的特征值为-1，1，1，对应的特征向量分别为α1=(1，-1，1)T，α2=(1，0，-1)T，α3=(1，2，-4)T，求A100．
19 设3阶矩阵A与对角阵D=相似，证明：矩阵C=(A-λ1E)(A-λ2E)(A-λ3E)=O．
20 设矩阵A=相似．(1)求a，b的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=B．
21 设A=，问当k取何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP成为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．
22 已知矩阵A=有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的2重特征值．试求可逆矩阵P，使P-1AP成为对角矩阵．
23 下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什
么?
24 设n阶矩阵A≠0，存在某正整数m，使A m=O，证明：A必不相似于对角矩阵．
25 设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A2α线性无关，且满足3Aα-2A2α-
A3α=0，令矩阵P=[α，Aα，A2α]， (1)求矩阵B，使AP=PB； (2)证明A相似于对角矩阵．
26 设A为3阶矩阵，｜A｜=6，｜A+E｜=｜A-2E｜=｜A+3E｜=0，试判断矩阵(2A)*是否相似于对角矩阵，其中(2A)*是(2A)的伴随矩阵．
27 设A、B均为n阶矩阵，且AB=A-B，A有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，证明：(1)λi≠-1(i=1，2，…，n)； (2)AB=BA； (3)A的特征向量都是B的特征向量； (4)B可相似对角化．
28 设A=已知线性方程组Ax=β有解但解不唯一．试求：(1)a 的值；(2)正交矩阵Q．使Q T AQ为对角矩阵．
29 设矩阵A=，B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．
30 设矩阵A=的特征值之和为1，特征值之积为-12(b＞0)．(1)求a、b 的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．
31 设矩阵A=可逆，向量α=是矩阵A*的一个特征向量，λ是α对应的特征值．其中A*是A的伴随矩阵．试求a、b和λ的值．
32 设α=(a1，2，…，a n)T是R n中的非零向量，方阵A=ααT．(1)证明：对正整数m．存在常数t．使A m=t m-1A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．
33 设n阶矩阵(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．
34 设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，
0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是A的属于特征值6的特征向量． (1)求A 的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵A．
35 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足
Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，α3=2α2+3α3 (Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B； (Ⅱ)求矩阵A的特征值； (Ⅲ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．
36 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-
1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解，求出矩阵A及(A-E)6．。
考研数学二分类模拟题2019年(21)_真题无答案
考研数学二分类模拟题2019年(21)(总分95, 做题时间90分钟)一、填空题1.已知矩阵，则AB-BA=______．SSS_FILL2.SSS_FILL3.=______．SSS_FILL4.设A为n阶可逆矩阵，其每一行元素之和都等于a，则A-1每一行元素之和为______．SSS_FILL5.椭圆2x2+y2=3在点(1，-1)处的切线方程为______．SSS_FILL6.已知α是3维列向量，αT是α的转置，若矩阵ααT相似于，则αTα=______．SSS_FILL二、选择题1.设，其中f(x)为连续函数，则等于______ •**．•**(a)．•**．D.不存在．SSS_SIMPLE_SINA B C D2.设f(x)可导，则下列结论正确的是______.A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D3.设，则在x=a处______．•**(x)在x=a处可导且f'(a)≠0•**(a)为f(x)的极大值•**(a)不是f(x)的极值**(x)在x=a处不可导SSS_SIMPLE_SINA B C D4.下列结论正确的是•**=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续．•**=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在．•**=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续．**=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)该邻域内两个偏导数有界．SSS_SIMPLE_SINA B C D5.已知B是3阶非零矩阵，满足AB=0，则______•**=-1时，必有r(B)=1．•**=-1时，必有r(B)=2．•**=1时，必有r(B)=1．**=1时，必有r(B)=2．SSS_SIMPLE_SINA B C D6.微分方程y"-y'-6y=(2x+3)e-2x的特解为______• A.(ax+b)e-2x．•**．C.(ax2+bx)e-2x．**(ax+b)e-2x．SSS_SIMPLE_SINA B C D7.对二元函数z=f(x，y)，下列结论正确的是______.•**=f(x，y)可微的充分必要条件是z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若z=f(x，y)可微，则z=f(x，y)的偏导数连续• C.若z=f(x，y)偏导数连续，则z=f(x，y)一定可微• D.若z=f(x，y)的偏导数不连续，则z=f(x，y)一定不可微SSS_SIMPLE_SINA B C D8.设A=(α1，α2，α3，α4)，其中αi是n维列向量(i=1，2，3，4)．已知齐次线性方程组Ax=0的基础解系为ξ1=(-2，0，1，0)T，ξ2=(1，0，0，1)T，则______• A.α1，α2线性无关．• B.α1，α3线性无关．• C.α1，α4线性无关．• D.α3，α4线性无关．SSS_SIMPLE_SINA B C D三、解答题1.求极限．SSS_TEXT_QUSTI2.设D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，直线l：x+y=t(t≥0)，S(t)为正方形区域D位于l左下方的面积，求SSS_TEXT_QUSTI3.一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时?SSS_TEXT_QUSTI4.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且试证：(Ⅰ)存在，使f(η)=η；(Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．SSS_TEXT_QUSTI5.设f(x)二阶连续可导，且f(0)=f'(0)=0，f"(0)≠0，设u(x)为曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线在x轴上的截距，求SSS_TEXT_QUSTI6.设由sinxy+ln(y-x)=x确定函数y=y(x)，求y'(0)．SSS_TEXT_QUSTI)的主对角线元素之和，且设二次型，已知该二次型的矩阵A=(aijSSS_TEXT_QUSTI7.求a，b的值；SSS_TEXT_QUSTI8.求正交变换x=Qy将f化为标准形．9.设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解.SSS_TEXT_QUSTI1。
考研数学二(线性方程组、矩阵的特征值与特征向量)模拟试卷1(题
考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设n元齐次线性方程组Ax＝0的系数矩阵A的秩为r，则Ax＝0有非零解的充分必要条件是A．r＝n．B．r≥n．C．r＜n．D．r＞n．正确答案：C 涉及知识点：线性方程组2．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0仅有零解的充分条件是A．A的列向量线性无关．B．A的列向量线性相关．C．A的行向量线性无关．D．A的行向量线性相关．正确答案：A 涉及知识点：线性方程组3．设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(I)：Ax＝0和(Ⅱ)：ATAx＝0必有A．(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解．C．(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解．D．(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解．正确答案：A 涉及知识点：线性方程组4．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x＝0A．当n＞m时仅有零解．B．当n＞m时必有非零解．C．当m＞n时仅有零解．D．当m＞n时必有非零解．正确答案：D 涉及知识点：线性方程组5．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax＝b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax＝0的基础解系A．不存在．B．仅含一个非零解向量．C．含有两个线性无关的解向量．D．含有三个线性无关的解向量．正确答案：B 涉及知识点：线性方程组6．设A是m×n矩阵，Ax＝0是非齐次线性方程组Ax＝b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是A．若Ax＝0仅有零解，则Ax＝b有唯一解．B．若Ax＝0有非零解，则Ax＝b有无穷多解．C．若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0仅有零解．D．若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0有非零解．正确答案：D 涉及知识点：线性方程组7．非齐次线性方程组Ax＝b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则A．r＝m时，方程组Ax＝b有解．B．r＝n时，方程组Ax＝b有唯一解．C．m＝n时，方程组Ax＝b有唯一解．D．r＜n时，方程组Ax＝b有无穷多解．正确答案：A 涉及知识点：线性方程组8．设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax＝b的三个解向量，且r(A)＝3，α1＝(1，2，3，4)T，α2＋α3＝(0，1，2，3)T，C表示任意常数，则线性方程组Ax＝b的通解x为A．B．C．D．正确答案：C 涉及知识点：线性方程组9．设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是A．λ－1｜A｜n．B．λ－1｜A｜．C．λ｜A｜．D．λ｜A｜n．正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量10．设λ＝2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于A．．B．．C．．D．．正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量11．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P－1AP)T属于特征值λ的特征向量是A．P－1α．B．PTα．C．Pα．D．(P－1)Tα．正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量12．n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的A．充分必要条件．B．充分而非必要条件．C．必要而非充分条件．D．既非充分也非必要条件．正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量13．设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则A．λE－A＝λE－B．B．A与B有相同的特征值和特征向量．C．A与B都相似于一个对角矩阵．D．对任意常数t，tE－A与tE－B相似．正确答案：D 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量14．设矩阵．已知矩阵A相似于B，则r(A－2E)与r(A－E)之和等于A．2．B．3C．4D．5正确答案：C 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量填空题15．若线性方程组有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足条件________．正确答案：a1＋a2＋a3＋a4＝0；涉及知识点：线性方程组16．设其中ai≠aj(i≠j，i，j＝1，2，…，n)，则线性方程ATx＝B的解是________．正确答案：利用克莱姆法则，得唯一解(1，0，…，0)T；涉及知识点：线性方程组17．设A＝(aij)3×3是实正交矩阵，且a11＝1，b＝(1，0，0)T，则线性方程组Ax＝b的解是________．正确答案：(1，0，0)T；涉及知识点：线性方程组18．设方程有无穷多个解，则a＝________．正确答案：-2 涉及知识点：线性方程组19．矩阵的非零特征值是_______．正确答案：4；涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量20．矩阵的非零特征值是_______．正确答案：4．涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷20(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷20(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )．A．矩阵A与单位矩阵E合同B．矩阵A的特征值都是实数C．存在可逆矩阵P，使PAP-1为对角阵D．存在正交阵Q，使QTAQ为对角阵正确答案：A解析：根据实对称矩阵的性质，显然B、C、D都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选A．知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则( )．A．A的n个特征值都是单值B．A是可逆矩阵C．A存在n个线性无关的特征向量D．A一定为n阶实对称矩阵正确答案：C解析：矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有竹个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选C．知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A＝αβT，则A的线性无关特征向量个数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：因为α，β为非零向量，所以A＝αβT≠O，则r(A)≥1，又因为r(A)＝r(αβT)≤r(α)＝1，所以r(A)＝1．令AX＝λX，由A2X＝αβT.αβTX＝O＝λ2X得λ＝0，因为r(0E－A)＝r(A)＝1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，应选C．知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )．A．CTACB．A-1＋B-1C．A*＋B*D．A－B正确答案：D解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为A，B正定，所以A-1，B-1及A*，B*都是正定的，对任意X≠0，XT(CTAC)X＝(CX)TA(CX)＞0(因为C可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是CTAC为正定矩阵，同样用定义法可证A-1＋B-1与A*＋B*都是正定矩阵，选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题5．设A～B，其中，则χ＝_______，y＝_______．正确答案：3；1．解析：因为A～B，所以解得χ＝3，y＝1．知识模块：矩阵的特征值和特征向量6．设A是三阶实对称矩阵，其特征值为λ1＝3，λ2＝λ3＝5，且λ1＝3对应的线性无关的特征向量为α1＝，则λ2＝λ3＝5对应的线性无关的特征向量为_______．正确答案：解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令λ2＝λ3＝5对应的特征向量为，由α1T＝0得λ2＝λ3＝5对应的线性无关的特征向量为α2＝，α3＝．知识模块：矩阵的特征值和特征向量7．设α，β为三维非零列向量，(α，β)＝3，A＝αβT，则A的特征值为_______．正确答案：0或者3解析：因为A2＝3A，令AX＝λX，因为A2X＝λ2X，所以有(λ2－3A)X ＝0，而X≠0，故A的特征值为0或者3，因为λ1＋λ2＋λ3＝tr(A)＝(α，β)，所以λ1＝，λ2＝λ3＝0．知识模块：矩阵的特征值和特征向量8．设α＝)是矩阵A＝的特征向量，则a＝_______，b＝_______．正确答案：2；3．解析：由Aα＝λα得解得λ＝5，a＝2，b＝3．知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(矩阵)模拟试卷21(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵）模拟试卷21(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A和B都是n阶矩阵，则必有( )A．｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。
B．AB=BA。
C．｜AB｜=｜BA｜。
D．(A+B)－1=A－1+B－1。
正确答案：C解析：因为｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜A｜=｜BA｜，所以C正确。
取B=一A，则｜A+B｜=O，而｜A｜+｜B｜不一定为零，故A错误。
由矩阵乘法不满足交换律知，B不正确。
因(A+B)(A－1+B－1)≠E，故D也不正确。
所以应选C。
知识模块：矩阵2．设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式中必定成立的是( )A．(A+B)(A—B)=A2一B2。
B．(A+B)－1=A－1+B－1。
C．｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。
D．(AB)*=B*A*。
正确答案：D解析：根据伴随矩阵的定义可知(AB)*=｜AB｜(AB)－1=｜A｜｜B｜B－1A －1=B*A*，故选D。
知识模块：矩阵3．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。
若A3=O，则( )A．E—A不可逆，E+A不可逆。
B．E—A不可逆，E+A可逆。
C．E一A可逆，E+A可逆。
D．E—A可逆，E+A不可逆。
正确答案：C解析：已知(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E。
故E —A，E+A均可逆。
故应选C。
知识模块：矩阵4．设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则①若A可逆，则B可逆；②若B可逆，则A+B可逆；③若A+B可逆，则AB可逆；④A一E恒可逆。
上述命题中，正确的个数为( )A．1。
B．2。
C．3。
D．4。
正确答案：D解析：由AB=A+B，有(A—E)B=A。
若A可逆，则｜(A—E)B｜=｜A—E｜×｜B｜= ｜A｜≠0，所以｜B｜≠0，即矩阵B可逆，从而命题①正确。
同命题①类似，由B可逆可得出A可逆，从而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故命题②正确。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
考研数学二(填空题)模拟试卷10(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设f’(a)=b,f(a)=1．则正确答案：eh 涉及知识点：一元函数微分学2．若A=，则｜A｜=________．正确答案：0解析：利用公式“r(AB)≤r(B)及A≠0，则r(A)≥1”，易见本题中r(A)=1，所以｜A｜=0．或作矩阵乘法，由A中两行元素成比例而知｜A｜=0．知识模块：行列式3．函数f(χ)＝，的连续区间是_______．正确答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法4．=_________。
正确答案：1解析：利用等价无穷小量替换将极限式进行化简，即=1。
知识模块：函数、极限、连续5．1+x2-ex2当x→0时是x的________阶无穷小(填数字)．正确答案：4解析：由于因此当x→0时1+x2-ex2是x的4阶无穷小．知识模块：极限、连续与求极限的方法6．设f(x)在x=1处一阶连续可导，且f’(1)=-2，则=______.正确答案：1解析：由得知识模块：高等数学7．＝_______．正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续8．曲线的凹区间是________．正确答案：(0，+∞)解析：当x＞0时，y”＞0，曲线是凹的；当x＜0时，y”＜0，曲线是凸的．知识模块：一元函数微分学9．设A为n阶实对称矩阵，且A2=A，R(A)=r，则A的全部特征值为_______，行列式｜2E—3A｜=_______。
正确答案：λ1=λ2= …=λr=1，λr+1=λr+2= …=λn=0；(—1)r2n—r 解析：设λ是矩阵A的任意一个特征值，α是属于λ的特征向量，即Aα=λα。
在等式A2=A两边右乘α，得A2α=Aα，也就是λ2α=λα，即(λ2—λ)α=0。
因α≠0，故有λ2—λ=0，可得A的特征值λ=0或1。
又已知A为实对称矩阵，则必可相似对角化，而A的秩R(A)=r，因此A的特征值为λ1=λ2= …=λr=1，λr+1=λr+2= …=λn=0，进而可知矩阵2E—3A的特征值为μ1= …=μr=2—3×1= —1，μr+1= …=μn=2—3×0=2，故｜2E—3A｜=(—1)r2n —r。
考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷22(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设三阶矩阵A的特征值是0，1，一1，则下列选项中不正确的是( ) A．矩阵A—E是不可逆矩阵。
B．矩阵A+E和对角矩阵相似。
C．矩阵A属于1与一1的特征向量相互正交。
D．方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成。
正确答案：C解析：因为矩阵A的特征值是0，1，一1，所以矩阵A一E的特征值是一1，0，一2。
由于λ=0是矩阵A—E的特征值，所以A—E不可逆。
因为矩阵A+E的特征值是1，2，0，矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似对角化(或由A～Λ=> A+E～Λ+E而知A+E可相似对角化)。
由矩阵A有一个特征值等于0可知r(A)=2，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n—r(A)=3—2=1个解向量构成。
选项C的错误在于，若A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不一定正交。
故选C。
知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有特征值( )A．B．C．D．正确答案：B解析：因为A为A的非零特征值，所以λ2为A2的特征值，为(A2)—1的特征值。
因此的特征值为。
故选B。
知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )A．λ1≠0。
B．λ2≠0。
C．λ1=0。
D．λ2=0。
正确答案：B解析：令k1α1+k2A(α1+α1)=0，则(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。
因为α1，α2线性无关，所以k1+k2λ1=0，且k2λ1=0。
当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关)。
21年数二考研真题第九题
21年数二考研真题第九题21年数二考研真题第九题是一道关于线性代数的题目，涉及到矩阵的特征值和特征向量的计算。
这是一个相对较难的题目，需要对线性代数的基本概念和计算方法有一定的了解。
首先，我们来看一下题目的具体内容。
题目给出了一个3阶方阵A，要求计算其特征值和对应的特征向量。
根据线性代数的知识，特征值和特征向量是矩阵A的重要性质，可以帮助我们理解矩阵的性质和变换。
为了解决这道题目，我们需要先计算矩阵A的特征值。
特征值是一个数，表示矩阵A在某个方向上的拉伸或压缩的程度。
要计算特征值，我们需要求解一个特征方程。
特征方程的形式是|A-λI|=0，其中A是矩阵A，λ是特征值，I是单位矩阵。
在这道题目中，我们可以写出特征方程为：|A-λI|=|2-λ 1 0||1 2-λ 1||0 1 2-λ|=0接下来，我们需要解这个特征方程。
为了简化计算，我们可以先将矩阵A进行对角化。
对角化是将矩阵A变换成对角矩阵的过程，对角矩阵的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
对于这道题目中的矩阵A，我们可以先计算出它的特征值。
通过解特征方程，我们可以得到λ1=1，λ2=2，λ3=3。
这样，我们就得到了矩阵A的特征值。
接下来，我们需要计算矩阵A对应的特征向量。
特征向量是与特征值对应的向量，它表示了在特征值对应的方向上的变换。
特征向量可以通过解齐次线性方程组(A-λI)x=0得到。
对于这道题目中的矩阵A，我们可以分别求解三个特征值对应的特征向量。
通过解齐次线性方程组，我们可以得到特征值λ1=1对应的特征向量x1=(1, -1, 1)，特征值λ2=2对应的特征向量x2=(1, 0, -1)，特征值λ3=3对应的特征向量x3=(1, 1, 1)。
至此，我们已经完成了这道题目的求解过程。
通过计算，我们得到了矩阵A的特征值和对应的特征向量。
特征值和特征向量是矩阵A的重要性质，它们可以帮助我们理解矩阵的变换和性质。
通过解这道题目，我们不仅复习了线性代数的基本概念和计算方法，还加深了对特征值和特征向量的理解。
考研数学二(特征向量与特征值,相似,对角化)模拟试卷1(题后含
考研数学二（特征向量与特征值，相似，对角化）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是n阶非零矩阵，E是n阶单位矩阵，若A3=0，则( )．A．E-A不可逆，E+A不可逆．B．E-A不可逆，E+A可逆．C．E-A可逆，E+A可逆．D．E-A可逆，E+A不可逆．正确答案：C解析：因为A3=0，所以A的特征值满足λ3=0．则A的特征值都是0．1和-1都不是A的特征值，因此E-A和E+A都可逆．知识模块：特征向量与特征值，相似，对角化填空题2．已知A=，｜A｜=-1，(-1，-1，1)T是A*的特征向量，特征值为λ．a=_____，b=_______，c=_____，λ=________．正确答案：2；-3；-2；1 涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化3．设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．如果｜2A｜=-48，则λ=______．正确答案：-1 涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化4．A是3阶矩阵，特征值为1，2，2．则｜4A-1-E｜=______．正确答案：3解析：A-1的特征值为1，1／2，1／2．4A-1-E的特征值为3，1，1，｜4A-1-E｜=3. 知识模块：特征向量与特征值，相似，对角化5．计算行列式=____.正确答案：x3(4+x) 涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化6．计算=______.正确答案：x1x2x3x4+a1b1x2x3x4+a2b2x1x3x4+a3b3x1x2x4+a4b4x1x2x3 涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化7．计算行列式=_______.正确答案：4+4a+2b-4c-2d 涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8．如果n阶矩阵A的秩r(A)≤1，(n＞1)，则A的特征值为0，0， 0tr(A)．正确答案：因为r(A)＜n，所以0是A的特征值，特征值O的重数≥n-r(A)≥n-1．即A的特征值中至少有n-1个是0．另外一个特征值为tr(A)．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化9．设α，β都是n维列向量时，证明①αβT的特征值为0，0，…，0，βTα．②如果α不是零向量，则α是αβT的特征向量，特征值为βT α．正确答案：①方法一用上例的结论．r(αβT)≤1，因此αβT的特征值为0，0，…，0，tr(αβT)．设α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T，则αβT的对角线元素为a1b1，a2b2，…，anbn，于是tr(αβT)=a1b1+a2b2+…+anbn=βTα．方法二记A=αβT，则A2=αβTαβT=(βTα)A，于是根据定理5．2的推论，A的特征值都满足等式λ2=(βTα)A，即只可能是0和βTα．如果βTα=0，则A的特征值都是0．如果βTα≠0，则根据定理5．3的②，A的所有特征值之和为tr(A)=βTα，它们一定是n-1个为0，一个为βTα．②仍记A=αβT，则Aα=αβTα=(βTα)α，因此则α是A的特征向量，特征值为βTα．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化10．如果两个n阶矩阵A，B中有一个可逆，则AB和BA相似．正确答案：不妨设A可逆，则A-1(AB)A=BA，因此AB和BA相似．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化11．已知α=(1，1，-1)T是A=的特征向量，求a，b和α的特征值λ．正确答案：由Aα=λα，得于是-1=λ，2+a=λ，1+b=-λ，解出λ=-1，a=-3，b=0．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化12．已知α=是可逆矩阵A=的伴随矩阵A*的特征向量，特征值λ．求a，b，λ．正确答案：由A可逆知α也是A的特征向量有Aλ=λ0α．于是可如同上题，求出a，b和λ0．而λ=｜A｜／λ0．于是3+b=λ0，2+2b=λ0b，1+a+b=λ0，第1，3两式相减a=2，从而求出｜A｜=4．由第1，2两式得2+2b=(3+b)b，即b2+b-2=0．解得b=1或-2．当b=1时，λ0=4，λ=1，当b=-2时，λ0=I，λ=4．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化13．设3阶矩阵A有3个特征向量η1=(1，2，2)T，η2=(2，-2，1)T，η3=(-2，-1，2)T，它们的特征值依次为1，2，3，求A．正确答案：建立矩阵方程A(η1，η2，7／3)=(η1，2η2，3η3)，用初等变换法求解：((η1，η2，η3)T}(η1，η2，η3)T)得涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化14．设3阶矩阵A有3个特征向量η1=(1，1，1)T，η2=(1，2，4)T，η3=(1，3，9)T，它们的特征值依次为1，2，3．又设α=(1，1，3)T，求Anα．正确答案：把α表示为η1，η2，η3线性组合，即解方程x1η1+x2η2+x3η3=α，得到α=2η1-2η2+η3线，于是Anα=An(2η1-2η2+η3)=2Anη1-2An η2+Anη3=2η1-2n+1η2+3nη3=(2-2n+1+3n，2-2n+2+3n+1，2-2n+3+3n+2)T．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化15．求A=的特征值和特征向量．正确答案：(1)特征值的计算可按常规方法计算特征值：求出A的特征多项式，求其根得特征值……．但本题可利用特征值的性质很容易求出特征值．r(A)=1，tr(A)=4．利用特征值的性质直接可得到A的特征值为0，0，0，4．(不用性质，也可这样计算：r(A)=1，即r(A-0E)=1，于是0是A的特征值，并且其重数k≥4-r(A)=3．即A的4个特征值中至少有3个为0．于是第4个特征值为tr(A)=4．)(2)求特征向量属于0的特征向量是AX=0的非零解．AX=0和x1+x2+x3+x4=0同解．得AX=0的一个基础解系η1=(1，-1，0，0)T，η2=(1，0，-1，0)T，η3=(1，0，0，-1)T．属于0的特征向量的一般形式为c1η1+c2η2+c3η3，c1，c2，c3不全为0．属于4的特征向量是(A-4E)X=0的非零解．得(A-4E)X=0的同解方程组得(A-4E)X=0的基础解系η=(1，1，1，1)T．属于4的特征向量的一般形式为cη，c≠0．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化16．求A的特征值．正确答案：A+3E就是一个秩为1的矩阵了，于是A=A+3E-3E，用定理5．5的①，就容易求特征值了．A=-3E．的秩为1，因此特征值为0，0，6．A的特征值为-3，-3．3．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化17．设求A和A-1+E的特征值．正确答案：A的特征多项式=(λ-1)(λ2+4λ-5)=(λ-1)2(λ+5)．得到A的特征值为1(二重)和-5．A-1的特征值为1(二重)和-1／5．A-1+E的特征值为2(二重)和4／5．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化18．A是2阶矩阵，2维列向量α1，α2线性无关，Aα1=α1+α2，Aα2=4α1+α2．求A的特征值和｜A｜．正确答案：方法一先找A的特征向量．由于α1，α2线性无关，每个2维向量都可以用它们线性表示．于是A的特征向量应是α1，α2的非零线性组合c1α1+c2α2，由于从条件看出α1不是特征向量，c2不能为0，不妨将其定为1，即设η=cα1+α2是A的特征向量，特征值为λ，则Aη=λη，Aη=A(c α1+α2)=c(α1+α2)+4α1+α2=(c+4)α1+(c+1)α2，则(c+4)α1+(c+1)α2=λ(cα1+α)，得c+4=λc，c+1=λ．解得c=2或-2，对应的特征值λ分别为3，-1．｜A｜=-3．方法二A(α1，α)=(α1+α2，4α1+α2)，用矩阵分解法，得(α1+α2，4α1+α2)=(α1，α2)记B=，则A(α1，α2)=(α1，α2) B．由于α1，α2线性无关，(α1，α2)是可逆矩阵，于是A相似于B．A和B的特征值一样．｜λE-B｜==(λ+1)(λ-3)．得A的特征值为-1，3．｜A｜=-3．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化19．设3阶矩阵A的各行元素之和都为2，又α1=(1，2，2)T和α2=(0，2，1)T分别是(A-E)X=0的(A+E)X=0的解．(1)求A的特征值与特征向量．(2)求矩阵A．正确答案：(1)α1=(1，2，2)T是(A-E)X=0的解，即Aα1=α1，于是α1是A的特征向量，特征值为1．同理得α2是A的特征向量，特征值为-1．记α3=(1，1，1)T，由于A的各行元素之和都为2，Aα3=(2，2，2)T=2α3，即α3也是A 的特征向量，特征值为2．于是A的特征值为1，-1，2．属于1的特征向量为c α1，c≠0．属于-1的特征向量为cα2，c≠0．属于2的特征向量为cα3，c≠0．(2)建立矩阵方程A(α1，α2，α3)=(α1，-α2，2α3)，用初等变换法解得涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化20．A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且(1)求A的特征值与特征向量．(2)求矩阵A．正确答案：(1)由条件得A(1，2，-1)T=(-3，-6，3)，A(1，0，1)T=(3，0，3)，说明(1，2，-1)T和(1，0，1)T都是A的特征向量，特征值分别为-3和3．A的秩为2＜维数3，于是0也是A的特征值．A的特征值为-3，3，0．属于-3的特征向量为c(1，2，-1)T，c≠0．属于3的特征向量为c(1，0，1)T，c≠0．属于0的特征向量和(1，2，-1)T，(1，0，1)T都正交，即是方程组的非零解，解出属于0的特征向量为：c(-1，1，1)T，c≠0．(2)利用A的3个特征向量，建立矩阵方程求A．用初等变换法解得涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化21．设4阶矩阵A满足A3=A．(1)证明A的特征值不能为0，1，和-1以外的数．(2)如果A还满足｜A+2E｜=8，确定A的特征值．正确答案：(1)由于A3=A，A的特征值λ满足λ3=A，从而λ只能为0，1或-1(但并非0，1，-1都一定是A的特征值!)．(2)由A的特征值不是0，1，-1外的数，得知A+2E的特征值不是2，3，1之外的数．又由于｜A+2E｜=8，必有A+2E的特征值为2，2，2，1，从而A的特征值为0，0，0，-1．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化22．已知3阶矩阵A满足｜A+E｜=｜A-E｜=｜4E-2A｜=0，求｜A3-5A2｜．正确答案：条件说明-1，1，2是A的特征值．得出A3-5A2的3个特征值：记f(x)=x3-5x2，则A3-5A2的3个特征值为f(-1)=-6，f(1)=-4，f(2)=-12．｜A3-5A2｜=(-4)×(-6)×(-12)=-288．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化23．设α=(1，2，-1)2，β=(-2，1，-2)2，A=E-αβT．求｜A2-2A+2E｜．正确答案：用特征值计算．βTα=2，于是αβT的特征值为0，0，2，从而A的特征值为1，1，=1，A2-2A+2E的特征值为1，1，5．于是｜A22A+2E｜=1×1×5=5．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化24．设α=(1，0，-1)T，A=ααT，求｜aE-An｜．正确答案：利用A容易计算其方幂，求出矩阵aE-An后再计算行列式．An=(ααT)n=(αTα)n-1A=2n-1aE-An=｜aE-An｜=a[(a-2n-1)2-(2n-1)2]=a2(a-2n)．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化25．计算正确答案：记矩阵则所求为｜A｜．A=B+cE，而B=(b1，b2，b3，b4)．于是B的特征值为0，0，0，a1b1+a2b2+a3b3+a4b4从而A的特征值为c，c，c，a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c．则｜A｜=c3(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c). 涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化26．已知n阶矩阵A满足A3=E．(1)证明A2-2A-3E可逆．(2)证明A2+A+2E可逆．正确答案：通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是0不是它的特征值．由于A3=E，A的特征值都满足λ3=1．(1)A2-2A-3E=(A-3E)(A+E)，3和-1都不满足λ3=1，因此都不是A的特征值．于是(A-3E)和(A+E)都可逆，从而A2-2A-3E可逆．(2)设A的全体特征值为λ1，λ2，…，λn，则A2+A+2E 的特征值λi2+λi+2，i=1，2，…，n．由于λi3=1，λi或者为1，或者满足λi2+λi+1=0．于是λi2+λi+2或者为4，或者为1，总之都不是0．因此A2+A+2E可逆．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化。
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[考研类试卷]考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(1/3 A2 )-1有一个特征值等于（A）4/3（B）3/4（C）1/2（D）1/42 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值A的特征向量，则矩阵(P-1 AP)T属于特征值A的特征向量是（A）P-1α．（B）P Tα．（C）Pα．（D）(P-1 )Tα．二、填空题3 矩阵的非零正值是________.4 设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是________.5 设A为2阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A 的非零特征值为________.6 设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，b n)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．求：A2．7 设α，β为3维列向量，βT为β的转置．若矩阵αβT相似于，则βTα=________.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8 设矩阵是矩阵A*的一个特征向量，A是α对应的特征值，其中A*是矩阵A的伴随矩阵．试求a，b和λ的值．9 若矩阵相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P-1 AP=A．10 设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．1011 试确定参数a，b及特征向量ξ所对应的特征值；12 问A能否相似于对角阵?说明理由．12 设矩阵A与B相似，且13 求a，b的值；14 求可逆矩阵P，使P-1AP=B．15 设矩阵，问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．16 设矩阵，已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P-1 AP为对角形矩阵．16 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3；是线性无关的三维列向量，且满足 Aα1=α1，α2，α3；， Aα2=2α2+α3， Aα3=2α2+3α3．17 求矩阵B，使得A(α1，α2，α3；)=(α1，α2，α3)B；18 求矩阵A的特征值；19 求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．。