【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题30 不等式选讲课件
1 1 考例 2 (2015· 湖南理，16)设 a>0，b>0，且 a＋b＝a＋b. 证明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2 与 b2＋b<2 不可能同时成立．
[立意与点拨] 考查1.基本不等式；2.一元二次不等式；3.
反证法和转化化归思想、推理论证能力． (1)将已知条件中的式子可等价变形为 ab＝1，再由基本不 等式即可得证；(2)利用反证法，假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成 立，可求得0<a<1,0<b<1，从而与ab＝1矛盾，即可得证．
[ 易错分析 ]
(1) 不能正确去掉绝对值符号转化为分段函
数，再解不等式或讨论其他问题． (2)不能对“存在实数 n，使 f(n)≤m－f(－n)成立”进行等 价转化． (3) 弄不清 “ 存在 ”“ 恒成立 ”“ 有解 ”“ 无解 ” 等的含 义导致解题错误．
[解答] (1)当 a＝1 时，f(x)＝|2x－1|＋1， ∵f(x)≤6，∴|2x－1|≤5，∴－5≤2x－1≤5. ∴－2≤x≤3，∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)由(1)知 f(x)＝|2x－1|＋1， 令 φ(n)＝f(n)＋f(－n)， 则 φ(n)＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2 ≥|(2n－1)－(2n＋1)|＋2＝4， 1 1 当且仅当(2n－1)(2n＋1)≤0，即－2≤n≤2时取等号， ∴φ(n)的最小值为 4，故实数 m 的取值范围是[4，＋∞)．
[解析] (1)当 a＝1 时，不等式 f(x)＞1 化为|x＋1|－2|x－1|＞1，
x≤－1 等价于 －x－1＋2x－2＞1 －1＜x＜1 或 x＋1＋2x－2＞1 x≥1 或 x＋1－2x＋2＞1
2 ，解得3＜x＜2，
2 所以不等式 f(x)＞1 的解集为{x|3＜x＜2}．
走向高考 ·数学
高考二轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一部分
微专题强化练
第一部分 三 选考专项练 不等式选讲
30(文28)
1
考 向 分 析
3
强 化 训 练
2
考 题 引 路
4
易 错 防 范
考向分析
单独命制含绝对值不等式的解法或含参数的讨论问题及证 明不等式，其中恒成立问题和不等式有解的讨论是重点考查、
易错防范
案例
对不等式的条件不能正确转化致误
(2015· 海口调研)已知函数 f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≤6 的解集； (2)在(1)的条件下，若存在实数 n 使 f(n)≤m－f(－n)成立， 求实数 m 的取值范围； x (3)若 f(x)＋f(2)≥3 恒成立，求 a 的取值范围．
x (3)不等式 f(x)＋f(2)≥3 可化为|2x－a|＋|x－a|≥3－2a， 令 g(x)＝|2x－a|＋|x－a|， 则 g(x)≥3－2a 恒成立⇔g(x)min≥3 －2a. a 2a－3x， x<2， a ∵g(x)＝ x， 2≤x≤a， 3x－2a， x>a. 6 a a ∴g(x)min＝2.∴2≥3－2a，解之得，a≥5. 6 综上知 a 的取值范围是[5，＋∞)．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 a＋b [解析] 由 a＋b＝a＋b＝ ab ，a>0，b>0，得 ab＝1. (1)由基本不等式及 ab＝1， 有 a＋b≥2 ab＝2， 即 a＋b≥2； (2)假设 a2＋a<2 与 b2＋b<2 同时成立， 则由 a2＋a<2 及 a>0 得 0<a<1，同理 0<b<1，从而 ab<1，这与 ab＝1 矛盾，故 a2＋ a<2 与 b2＋b<2 不可能同时成立．
[警示]
对于不等式的问题，要注意是存在 x∈A时不等式
成立，还是对任意x∈A，不等式都成立？还是解不等式．含绝
对值的不等式要注意正确去掉绝对值符号转化为分段函数．
(2)由题设可得， x－1－2a，x＜－1 f(x)＝3x＋1－2a，－1≤x≤a －x＋1＋2a，x＞a ，
所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别 2a－1 为 A( 3 ，0)，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)， 2 所以△ABC 的面积为3(a＋1)2. 2 由题设得3(a＋1)2＞6，解得 a＞2. 所以 a 的取值范围为(2，＋∞)．
经常考查内容．
考题引路
考例1 a|，a>0.
(2015·新课标Ⅰ，24) 已知函数 f(x)＝ |x ＋ 1| －2|x －
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集； (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值
范围．
[立意与点拨 ] 考查含绝对值不等式解法；分段函数；一 元二次不等式解法和运算求解能力、分类讨论思想． (1)分类讨论去掉绝对值符号求解；(2)求出△ABC的三个顶 点的坐标，得出三角形的面积，再列不等式求解．
高三二轮复习选填满分“8+4+4”小题强化训练第5练(原卷及答案)(新高考专用)
高三二轮复习选填满分“8+4+4”小题强化训练(5)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R U =，已知两个非空集合M ，N 满足∅=⋂N C M U ，则（）A．RM N ⋂=B．M N⊆C．N M⊆D．RM N ⋃=2.已知,,R a b c ∈，那么下列命题中正确的是（）A．若a b >，则22ac bc >B．若a bc c>，则a b >C．若a b >且0ab <，则11a b>D．若22a b >，则11a b<3.函数2()()log xxf x e e x -=+的图象大致是（）A. B.C. D.4.欧拉公式i e cos isin (i x x x =+为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知i a e 为纯虚数，则复数sin211ia ++在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5.良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省立西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今3500年前后的殷商时期，2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裏泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%．已知经过x 年后，碳14的残余量(1)(,0,01;0)x y k p k k p x =-∈><<R ，碳14的半衰期为5730年，则以此推断此水坝大概的建成年代是（）．（参考数据：2log 0.5520.8573≈-）A．公元前2893年B．公元前2903年C．公元前2913年D．公元前2923年6.已知12,F F 为椭圆1C ：2222111x y a b +=(110>>a b )与双曲线2C ：2222221x y a b -=(220,0a b >>)的公共焦点，点M 是它们的一个公共点，且123F MF π∠=，12,e e 分别为1C ，2C 的离心率，则12e e 的最小值为（）A．2C．2D．37.三棱锥P ABC-的所有顶点都在球O 的球面上.棱锥P ABC-的各棱长为：2PA =，3,4,5,PB PC AB BC AC =====，则球O 的表面积为（）A.28πB.29πC.30πD.31π8.已知0.40.7e ,eln1.4,0.98ab c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A．a c b >>B．b a c>>C．b c a>>D．c a b>>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，随机观察了他所在地区的100天中的“日落云里走”的情况和后半夜天气情况，得到如下数据，后半夜天气情况“日落云里走”的情况下雨未下雨总计出现25530未出现254570总计5050100并计算得到219.05χ≈，则小波对该地区天气的判断正确的是（）A.后半夜下雨的概率约为12B.未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为59C.有99%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关D.若出现“日落云里走”，则后半夜有99%的可能会下雨10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（）A.535S =B.1n n na a +-=C.1(1)2n n n n S S -+-=，2n ≥ D.1231001111200101a a a a ++++= 11.已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有下列结论正确的有（）A．203f π⎛⎫=⎪⎝⎭B．若()56f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π；C．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解D．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤ ⎥⎝⎦12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点F 在正方形11CDD C 内，则（）A.若1C F ⊥平面1A CF ，则点F 的位置唯一B.若1//B F 平面1A BD ，则1B F 不可能垂直1CD C.若()112BF BC BD =+，则三棱锥11-F B CC 的外接球表面积为4πD.若点E 为BC 中点，则三棱锥11A AB E -的体积是三棱锥1-A FA B 体积的一半三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13.若随机变量1~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()*N E X ∈，写出一个符合条件的n =___________.14.九龙壁是中国古代建筑的特色，是帝王贵族出入的宫殿或者王府的正门对面，是权力的象征，做工十分精美，艺术和历史价值很高．九龙壁中九条蟠龙各居神态，正中间即第五条为正居之龙，两侧分别是降沉之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之龙位居阳位，即第1，3，7，9位，沉降之龙位居2，4，6，8位．某工匠自己雕刻一九龙壁模型，为了增加模型的种类但又不改变升腾之龙居阳位和沉降之龙的位置，只能调换四条升腾之龙的相对位置和四条沉降之龙的相对位置，则不同的雕刻模型有______种（用数字作答）．15.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()24f =，则不等式()2f x x>的解集为__________．16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，ADE V 的周长是13，则DE =_____．高三二轮复习选填满分“8+4+4”小题强化训练(5)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R U =，已知两个非空集合M ，N 满足∅=⋂N C M U ，则（）A．R M N ⋂=B．M N⊆C．N M ⊆D．RM N ⋃=【答案】B【解析】根据题意，作出如下图韦恩图：满足∅=⋂N C M U ，即M N ⊆.故选：B.2.已知,,R a b c ∈，那么下列命题中正确的是（）A．若a b >，则22ac bc >B．若a bc c>，则a b >C．若a b >且0ab <，则11a b>D．若22a b >，则11a b<【答案】C【解析】A ．若a b >，当0c =时，22ac bc =，所以选项A 不成立；B ．若a bc c>，当0c <时，则a b <，所以选项B 不成立；C ．因为0ab <，将a b >两边同除以ab ，则11a b>，所以选项C 成立；D ．如果2,1,a b ==-满足22a b >，但是11a b>，所以选项D 不成立．故选：C．3.函数2()()log xxf x e e x -=+的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】22()()log ()log ()xx x x f x ee x e e xf x ---=+-=+=,()f x 为偶函数，排除AD ，又01x <<时，()0f x <，排除B ．故选：C ．4.欧拉公式i e cos isin (i x x x =+为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知i a e 为纯虚数，则复数sin211ia ++在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为i e cos isin x x x =+，所以i e cos isin a a a =+，因为i a e 为纯虚数，所以cos 0a =，sin 0a ≠，故sin 22sin cos 0a a a ==，所以()()sin2111i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 222a +--====-+++-，则复数sin211i a ++在复平面内对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则其在第四象限，故选：D.5.良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省立西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今3500年前后的殷商时期，2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裏泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%．已知经过x 年后，碳14的残余量(1)(,0,01;0)x y k p k k p x =-∈><<R ，碳14的半衰期为5730年，则以此推断此水坝大概的建成年代是（）．（参考数据：2log 0.5520.8573≈-）A．公元前2893年B．公元前2903年C．公元前2913年D．公元前2923年【答案】B【解析】 碳14的半衰期为5730年，∴1573057305730111(1)(1)222x k k p p y k ⎛⎫⎛⎫=-⇒-=⇒= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当55.2%y k =时，5730155.2%2x k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1222log 0.552log 0.552,5730log 0.55249125730xx ∴==-=-≈， 2010年之前的4912年是公元前2902年，∴以此推断此水坝大概的建成年代是公元前2903年.故选：B.6.已知12,F F 为椭圆1C ：2222111x y a b +=(110>>a b )与双曲线2C ：2222221x y a b -=(220,0a b >>)的公共焦点，点M 是它们的一个公共点，且123F MF π∠=，12,e e 分别为1C ，2C 的离心率，则12e e 的最小值为（）A．2C．2D．3【答案】A【解析】设椭圆1C 、双曲线2C 的共同半焦距为c ，由椭圆、双曲线对称性不妨令点M 在第一象限，由椭圆、双曲线定义知：1212||||MF MF a +=，且212||||2MF MF a -=，则有112||MF a a =+，212||MF a a =-，在12F MF △中，由余弦定理得：22212121212||||||2||||cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠，即222121212124()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-，整理得：2221243c a a =+，于是得2212222212123134a a c c e e e e =+=+≥=，当且仅当221213e e =，即21e =时取“=”，从而有12≥e e ，所以12e e.故选：A7.三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上.棱锥P ABC -的各棱长为：2PA =，3,4,5,PB PC AB BC AC =====O 的表面积为（）A.28πB.29πC.30πD.31π【答案】B【解析】由题意知：222PB PC BC +=，222PA PC AC +=，222PA PB AB +=，∴,,PA PB PC 两两垂直，即P ABC -为直三棱锥，∴若Rt PBC △的外接圆半径为r ，则522BC r ==，又PA ⊥面PBC ，∴外接球心O 到PA 的距离为52r =，故外接球半径2R ==，∴外接球表面积2429S R ππ==.故选：B.8.已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A．a c b >>B．b a c >>C．b c a>>D．c a b>>【答案】A【解析】构造()1=ln e f x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x '>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当2x =时，等号成立，当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98e e<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，随机观察了他所在地区的100天中的“日落云里走”的情况和后半夜天气情况，得到如下数据，后半夜天气情况“日落云里走”的情况下雨未下雨总计出现25530未出现254570总计5050100并计算得到219.05χ≈，则小波对该地区天气的判断正确的是（）A.后半夜下雨的概率约为1 2B.未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为5 9C.有99%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关D.若出现“日落云里走”，则后半夜有99%的可能会下雨【答案】AC【解析】对A，把频率看作概率，可得后半夜下雨的概率约为5011002=，故A判断正确：对B，未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为255254514=+，故B判断错误；对C，由219.05 6.635χ≈>，知有99%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关，故C判断正确；易知D判断错误.故选：AC10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有n a个球，从上往下n层球的总数为n S，则（）A.535S =B.1n n na a +-=C.1(1)2n n n n S S -+-=，2n ≥ D.1231001111200101a a a a ++++= 【答案】ACD【解析】因为11a =，212a a -=，323a a -=，……，1n n a a n --=，以上n 个式子累加可得：(1)1232n n n a n +=++++=，所以512345136101535S a a a a a =++++=++++=，故选项A 正确；由递推关系可知：11n n a a n +-=+，故选项B 不正确；当2n ≥，1(1)2n n n n n S S a -+-==，故选项C 正确；因为12112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以12100111111112122223100101a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭120021101101⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选项D 正确；故选：ACD.11.已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有下列结论正确的有（）A．203f π⎛⎫=⎪⎝⎭B．若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π；C．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解D．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦【答案】ABD【解析】A，∵7375,124126ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，又73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，∴203f π⎛⎫=⎪⎝⎭，故A 正确；B，区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点为2x π=，∵203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，f (x )在75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，∴根据正弦函数图像特征可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，∴512(62322T T ππππω-==⋅ 为()f x 的最小正周期)，即ω 3，又0ω>，∴03ω< .若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f x 的图象关于直线512x π=对称，结合203f π⎛⎫=⎪⎝⎭，得()252121312442k k T k ππππω++-===⋅∈Z ，即()42k k ω=+∈Z ，故k ＝0，2,T ωπ==，故B 正确.C，由03ω< ，得23T π，∴()f x 在区间[)0,2π上最多有3个完整的周期，而()1f x =在1个完整周期内只有1个解，故关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有3个不相等的实数解，故C 错误.D，由203f π⎛⎫=⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<- ，结合2T πω=，得81033ω< ，又03ω< ，∴ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦，故D 正确.故选：ABD.12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点F 在正方形11CDD C 内，则（）A.若1C F ⊥平面1A CF ，则点F 的位置唯一B.若1//B F 平面1A BD ，则1B F 不可能垂直1CD C.若()112BF BC BD =+，则三棱锥11-F B CC 的外接球表面积为4πD.若点E 为BC 中点，则三棱锥11A AB E -的体积是三棱锥1-A FA B 体积的一半【答案】AD【解析】如图，以D 为原点分别以DA 、DC 、1DD 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系：则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()12,0,2A ，()12,2,2B ，()10,2,2C ，()10,0,2D ，由于动点F 在正方形11CDD C 内，可设()0,,F m n ，其中02m <<，02n <<，选项A：若1C F ⊥平面1A CF ，则11C F A C ⊥ ，1C F CF ⊥．由于()10,2,2C F m n =-- ，()12,2,2A C =-- ，()0,2,CF m n =-，则()()()()222220220m n m n n ⎧⨯---=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：11m n =⎧⎨=⎩或22m n =⎧⎨=⎩（舍去），此时()0,1,1F ，即点F 的位置唯一，故选项A 正确；选项B：()10,2,2A B =- ，()2,2,0BD =--，设平面1A BD 的一个法向量为(),,n x y z =r．则220220y z x y -=⎧⎨--=⎩，令1y =，得1x =-，1z =，故()1,1,1n =-，而()12,2,2B F m n =--- ，若1B F ∥平面1A BD ，则10B F n ⋅=，则2220m n +-+-=，即2m n +=，所以()0,,2F m m -，此时()12,2,B F m m =---，而()10,2,2CD =- ，所以()112022244B F CD m m m ⋅=-⨯-⨯--⨯=-+，当1m =时，440m -+=，此时110B F CD ⋅= ，则11B F CD ⊥.故选项B 不正确；选项C：由于()112BF BC BD =+，则F 为1CD 的中点，此时()0,1,1F ，设三棱锥的11-F B CC 的外接球的球心为(),,O x y z ，则11OC OB OC OF OC OC⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即()()()()()()()()()()2222222222222222222222211222x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧+-+=-+-+-⎪⎪+-+=+-+-⎨⎪+-+=+-+-⎪⎩，解得：121x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()1,2,1O ，则三棱锥的11-F B CC的外接球的半径为R OC ==，所以三棱锥的11-F B CC 的外接球表面积为22448R πππ=⨯=，故选项C 不正确；选项D：点E 为BC 中点，由正方体可知BC ⊥平面11A ABB ，则11111111111222132323A AB E E AA B V V AA A B BE --==⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=111111111422232323A FAB F AA B V V AA A B BC --⋅==⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=则三棱锥11A AB E -的体积是三棱锥1-A FA B 体积的一半.故选项D 正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13.若随机变量1~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()*N E X ∈，写出一个符合条件的n =___________.【答案】3（答案不唯一）【解析】因为随机变量1~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()*1N 3E X n =∈，所以一个符合条件的3n =，故答案为：3（答案不唯一）14.九龙壁是中国古代建筑的特色，是帝王贵族出入的宫殿或者王府的正门对面，是权力的象征，做工十分精美，艺术和历史价值很高．九龙壁中九条蟠龙各居神态，正中间即第五条为正居之龙，两侧分别是降沉之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之龙位居阳位，即第1，3，7，9位，沉降之龙位居2，4，6，8位．某工匠自己雕刻一九龙壁模型，为了增加模型的种类但又不改变升腾之龙居阳位和沉降之龙的位置，只能调换四条升腾之龙的相对位置和四条沉降之龙的相对位置，则不同的雕刻模型有______种（用数字作答）．【答案】576【解析】分步完成：第一步调换四条升腾之龙的相对位置，第二步调换四条沉降之龙的相对位置，方法数为4444576A A =．故答案为：576.15.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()24f =，则不等式()2f x x>的解集为__________．【答案】()2,+∞【解析】令()()f xg x x=，因为对()120,x x ∀∈+∞、，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，不妨设120x x <<，则120x x -<，故()()21120x f x x f x -<，则()()1212f x f x x x <，即()()12g x g x <，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又因为()24f =，所以()()2222f g ==，故()2f x x>可化为()()2g x g >，所以由()g x 的单调性可得2x >，即不等式()2f x x>的解集为()2,+∞.故答案为：()2,+∞16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，ADE V 的周长是13，则DE =_____．【答案】6【解析】如图，连接122,,AF DF EF ，因为C 的离心率为12，所以12c a =，即2a c =，所以22223b a c c =-=，因为12122AF AF a c F F ====，所以12AF F △为等边三角形，又2DE AF ⊥，所以直线DE 为线段2AF 的垂直平分线，所以2AD DF =，2AE EF =，则ADE V 的周长为22||||||||AD AE DE DF EF DE ++=++2211DF EF DF EF =+++134134a a ==⇒=，138c ∴=，而1230EF F ︒∠=，所以直线DE 的方程为3)3y x c =+，代入椭圆C 的方程2222143x y c c +=，得22138320x cx c +-=，设()11,D x y ，()22,E x y ，则21212832,1313c c x x x x +=-=-，所以48613cDE==，故答案为：6.。
【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题23 选择题解题技能训练(含解析)
【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题23 选择题解题技能训练（含解析）一、选择题1．(文)已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A ． 3B ． 6C ．2D ．3[答案] B[解析] 由题意易知，抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1,0)，直线x ＝－1与双曲线的交点坐标为(－1，±1－a2a )，若△FAB 为直角三角形，则只能是∠AFB 为直角，△FAB 为等腰直角三角形，所以1－a2a＝2⇒a ＝55，从而可得c ＝305，所以双曲线的离心率e ＝ca＝6，选B ．(理)(2014²中原名校联考)已知双曲线x 2a 2＋y 2b2＝1，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1 2的两部分，则双曲线的离心率为( )A ． 3B ．233C ． 5D ．52[答案] B[解析] 由条件知∠OAB ＝120°，从而∠BOA ＝30°，∴b a ＝33，∴c 2－a 2a 2＝13，∴e 2＝43，∵e>1，∴e ＝233.[方法点拨] 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．直接法解答选择题是最基本的方法，用直接法解题的关键是掌握相关知识，熟练应用有关数学方法与技巧，准确把握题目的特点．平时应对基础知识、基本技能与方法强化记忆灵活应用．请练习下题：(2015²河南省高考适应性测试)已知椭圆C 1：x 217＋y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则双曲线C 2的离心率为( )A ．4B ．41313C ． 2D ．1＋52[答案] C[解析] 双曲线的一条渐近线方程为：y ＝b ax ，设它与椭圆C 1的交点为CD ，易得|CD |＝13|AB |＝2173， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 217＋y 2＝1.得：x 217＋b 2a2x 2＝1，x ＝±17a2a 2＋17b 2， ∴|CD |＝21＋b 2a2²17a2a 2＋17b 2＝217 a 2＋b 2a 2＋17b 2＝2173，整理得：a 2＝b 2，∴e ＝ 2.2．(2015²新课标Ⅱ文，9)已知等比数列{}a n 满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18[答案] C[解析] 由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)⇒a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1＝8⇒q ＝2，故a 2＝a 1q ＝12，选C ．3．(文)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3 1B ．2 1C ．4 1D ．3 1[答案] B[解析] 将P ，Q 置于特殊位置：使P 与A 1重合，Q 与B 重合，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC －AA 1B ＝VA 1－ABC ＝VABC －A 1B 1C 13，故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2 1.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C等于( )A ．35B ．45 C ．34 D ．43 [答案] B[解析] 解法一：取特殊值a ＝3，b ＝4，c ＝5，则cos A ＝45，cos C ＝0，cos A ＋cos C1＋cos A cos C ＝45， 解法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝60°，cos A ＝cos C ＝12，cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45.故选B ．[方法点拨] 特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数、特殊图形．其解题原理是某个结论若对某范围内的一切情形都成立，则对该范围内的某个特殊情形一定成立．请练习下题：已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0[答案] D[解析] A 选项中，当k ＝－1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等；B 选项中，当k ＝1时，两直线平行，两直线被椭圆截得的弦长相等；C 选项中，k ＝1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等，故选D ．[点评] 本题充分利用椭圆的对称性及“可能相等”用特例作出判断，方便的获解，如果盲目从直线与椭圆相交求弦长，则费神耗力无收获．4．(文)A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，且A <B <C (C ≠π2)，则下列结论中一定正确的是( )A ．sin A <sin CB ．cot A <cotC C ．tan A <tan CD ．cos A <cos C[答案] A[解析] 利用特殊情形，因为A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，因此，存在C 为钝角的可能，而A 必为锐角，此时结论仍然正确．而cos A 、tan A 、cot A 均为正数，cos C 、tan C 、cot C 均为负数，因此B 、C 、D 均可排除，故选A ．(理)若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．1或－3[答案] D[解析] 令x ＝0，∴a 0＝1；令x ＝1，故(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 1＋a 2＋…＋a 6，且因a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或－3.5．已知f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )，则f ′(x )的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x 为奇函数，排除B 、D ．又f ′(π6)＝12³π6－sin π6＝12³(π6－1)<0，排除C ，选A ．[方法点拨] 筛选法筛选法也叫排除法(淘汰法)，它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．6．(文)(2015²南昌市一模)给出下列命题：①若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝32 ②α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件 ③已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝79.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] 对于①，由(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5得a 1<0，a 2>0，a 3<0，a 4>0，a 5<0，取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(1＋1)5＝25，再取x ＝0得a 0＝(1－0)5＝1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝31，即①不正确；对于②，如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，但平面ABB 1A 1与平面ADD 1A 1不平行，所以②不正确；对于③，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2³⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，所以③正确．(理)在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )①平均数x ≤3；②标准差S ≤2；③平均数x ≤3且标准差S ≤2；④平均数x ≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1.A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤[答案] D[解析] 对于⑤，由于众数为1，所以1在数据中，又极差≤1，∴最大数≤2，符合要求⑤正确；对于④，由于x ≤3，∴必有数据x 0≤3，又极差小于或等于2，∴最大数不超过5，④正确；当数据为0,3,3,3,6,3,3时，x ＝3，S 2＝187，满足x ≤3且S ≤2，但不合要求，③错，∴选D ．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A ．[－12，1]B ．[－12，1)C ．(－14，0)D ．(－14，0][答案] C[解析] 由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m .作出函数y ＝f (x )的图象，当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，只需直线y＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个交点即可，如图只需－14<m <0.[方法点拨] 数形结合法将所研究的问题转化为函数的图象或借助代数式的几何意义，作出相应的几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合几何图形的直观特征得到正确选项的一种解题方法，其实质就是数形结合思想的运用．1．运用图解法解选择题是依靠图形的直观性进行分析的，因此要对有关的函数图象或几何图形较熟悉，作图尽可能准确才能作出正确的选择．2．讨论方程根的个数、函数的零点个数、函数图象交点个数，直线与圆锥曲线或圆锥曲线之间位置关系的题目，三角形解的讨论，立体几何中线面位置关系的判断，线性规划等等问题常借助图形处理．请练习下题：(2014²长春市三调)已知实数x 、y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0x <2x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z的取值范围是( )A ．[53，5]B ．[0,5]C ． [0,5)D ． [53，5)[答案] C[解析] 画出x ，y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u ＋12，先画出直线y ＝x ，再平移直线y ＝x ，当经过点A (2，－1)，B (13，23)时，可知－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0,5)，故选C ．8．(2015²辽宁葫芦岛市一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 作出可行域如图平移直线2x ＋y ＝0知，当z ＝2x ＋y 经过点A (－1，－1)时取得最小值，经过点B (2，－1)时取得最大值，∴m ＝2³2－1＝3，n ＝2³(－1)－1＝－3， ∴m －n ＝3－(－3)＝6.9．(2015²安徽文，10)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <0[答案] A[解析] 令x ＝0⇒d >0，又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由函数f (x )的图象可知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两根，由图可知x 1>0，x 2>0，x 1<x 2，f ′(x )＝3a (x －x 1)(x －x 2)＝3ax 2－3a (x 1＋x 2)x ＋3ax 1x 2，当x ∈(－∞，x 1)时，f (x )单调递增，f ′(x )>0，∴a >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b3a >0，x 1x 2＝c3a >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b <0，c >0.故A 正确．10．(文)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2＝( ) A ．m －39－mB ．m －3|9－m |C ．－15D ．5[答案] D[解析] 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 为一确定的值，因此tan θ2也为一确定的值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1，因此排除A 、B 、C ，选D ．(理)图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )[答案] B[解析] 由图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B ．[方法点拨] 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解答比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化，几何体的表面积、体积等问题，常用此种方法确定选项．11．(文)(2014²石家庄市质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点O 为坐标原点，点P 在双曲线右支上，△PF 1F 2内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则|OA |与|OB |的长度依次为( )A ．a ，aB ．a ，a 2＋b 2C ．a 2，3a 2D ． a2，a[答案] A[解析] 如图，由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝|PC |＋|CF 1|，|PF 2|＝|PD |＋|DF 2|，又|CF 1|＝|F 1A |，|DF 2|＝|F 2A |，∴|PF 1|－|PF 2|＝|F 1A |－|F 2A |＝|OF 1|＋|OA |－(|OF 2|－|OA |)＝2|OA |＝2a ，∴|OA |＝a ，同理可求得|OB |＝a .(理)若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在[0，π2]上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是( )A ．0≤a <1B ．－3≤a <1C ．a <1D ．0<a <1[答案] A[解析] cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)＝a ＋1，可设f (x )＝2sin(2x ＋π6)，g (x )＝a＋1，利用数形结合，如图所示，有1≤a ＋1<2，即0≤a <1，即可得出正确答案．故选A ．12．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( )A ．169πB ．83πC ．4πD ．649π[答案] D[解析] ∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝163π>5π.13．(文)各项均为正数的数列{a n }，{b n }满足：a n ＋2＝2a n ＋1＋a n ，b n ＋2＝b n ＋1＋2b n (n ∈N *)，那么( )A ．∀n ∈N *，a n >b n ⇒a n ＋1>b n ＋1 B ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n >b n C ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n ＝b n D ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n <b n [答案] B[解析] 特值排除法：取a 1＝1，a 2＝2；b 1＝12，b 2＝3，显然a 1>b 1但a 2<b 2，排除A ；当a 1＝1，a 2＝2，b 1＝1，b 2＝2时，a 3＝5，b 3＝4，a 4＝12，b 4＝8，排除C 、D ，故选B ．(理)已知0<a <b <c 且a 、b 、c 成等比数列，n 为大于1的整数，那么log a n ，log b n ，log c n 是( )A ．成等比数列B ．成等差数列C ．即是等差数列又是等比数列D ．即不是等差数列又不是等比数列 [答案] D[解析] 方法1：可用特殊值法．令a ＝2，b ＝4，c ＝8，n ＝2，即可得出答案D 正确． 方法2：∵a 、b 、c 成等比数列， ∴可设b ＝aq ，c ＝aq 2.(q >1，a >0)则：log b n ＝log (aq )n ＝log a n 1＋log a q ，log c n ＝log (aq 2)n ＝log a n 1＋2log a q，可验证，log a n ，log b n ，log c n 既不是等差数列又不是等比数列．故选D ．14．(文)某兴趣小组野外露营，计划搭建一简易帐篷，关于帐篷的形状，有三人提出了三种方案，甲建议搭建如图①所示的帐篷；乙建议搭建如②所示的帐篷；丙建议搭建如③所示的帐篷．设帐篷顶的斜面与水平面所成的角都是α，则用料最省的一种建法是( )(四根立柱围成的面积相同)A ．①B ．②C ．③D ．都一样[答案] D[解析] 由于帐篷顶与水平面所成的角都是α，则不论哪种建法，顶部在地面的射影面积都相等，由S ＝S 射cos α得，不论哪种建法，所用料的面积都相等．(理)若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )A ．P ＝SMB ．P >S MC ．P 2＝(S M)nD ．P 2>(S M)n[答案] C[解析] 取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >S M和P 2>(S M)n不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n ，M ＝n 2，这时有P 2＝(S M )n ，且P ≠SM，所以选项A 不正确．15．(文)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )[答案] C[解析] 由函数f (x )为奇函数，排除B ；当0≤x <π时，f (x )≥0，排除A ；又f ′(x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1，f ′(0)＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12，结合x ∈[－π，π]，求得f (x )在(0，π]上的极大值点为2π3，靠近π，排除D ．(理)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )[答案] D[解析] 由函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B ；当x ＝π时，y ＝－π，排除A ；当x ＝π2时，y ＝1，排除C ．16．(文)(2014²浙江理，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )[答案] D[解析] 本题考查幂函数和对数函数图象．选项A 没有幂函数图象．选项B 中y ＝x a(a ≥0)中a >1.y ＝log a x (x >0)中0<a <1.不符合．选项C 中y ＝x a(x ≥0)中0<a <1，y ＝log a x (x >0)中a >1.不符合．选项D 中y ＝x a (x ≥a )中0<a <1，y ＝log a x (x >0)中0<a <1，符合，选D ．(理)如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] A[解析] 由y ＝f (x )的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y ＝f ′(x )的函数值依次为正负正负，由此可排除B 、C 、D ．[方法点拨] 解答选择题的常用方法主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答．因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧，以节省解题时间．解答选择题的总体策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．17．(2015²四川文，5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x[答案] B[解析] A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π，但A 中，y ＝cos 2x 是偶函数，C 中y ＝2sin (2x ＋π4)是非奇非偶函数．故正确答案为B ．。
【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强
【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强专题14 直线与圆一、选择题1．(文)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )A.2B.823833C.3 [答案] BD.[解析] 由l1∥l2知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)，2a≠18，求得a＝－1，2∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y0，两条平行直线l1与l2间的距离为d＝2231＋－1 82＝.故选B.3(理)已知直线l过圆x＋(y－3)＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A．x＋y－2＝0 C．x＋y－3＝0 [答案] D[解析] 圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，∴直线方程为x －y＋3＝0. [方法点拨] 1.两直线的位置关系B．x－y＋2＝0 D．x－y＋3＝02222|6－312.与直线y＝kx＋b平行的直线设为y＝kx＋b1，垂直的直线设为y＝－＋m(k≠0)；k与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线设为Ax＋By＋C1＝0，垂直的直线设为Bx－Ay＋C1＝0.求两平行直线之间的距离可直接代入距离公式，也可在其中一条直线上取一点，求其到另一条直线的距离．2．(文)(2022年安徽文，8)直线3x＋4y＝b与圆x＋y－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A．－2或12 C．－2或－12 [答案] D[解析] 考查1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式．∵直线3x＋4y＝b与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b|＝1 b＝2或12，故选D. 3＋4B．2或－12 D．2或1222(理)(2022年辽宁葫芦岛市一模)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( ) A．(x＋1)＋(y－1)＝2 B．(x－1)＋(y＋1)＝2 C．(x－1)＋(y－1)＝2 D．(x＋1)＋(y＋1)＝2 [答案] B[解析] 由题意知，圆心C既在与两直线x－y＝0与x－y－4＝0平行且距离相等的直|2a||2a－4|线上，又在直线x＋y＝0上，设圆心C(a，－a)，半径为r，则由已知得22得a＝1，∴r＝2，故选B.[方法点拨] 1.点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：dr 点在圆外，d＝r 点在圆上；dr 点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r(或0)作比较，大于r(或0)时，点在圆外；等于r(或0)时，点在圆上；小于r(或0)时，点在圆内．2．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)与圆：(x－a)＋(y－b)＝r(r0)的位置关系如下表.2222222222222222关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．3．(文)(2022年安徽文，6)过点P(3，－1)的直线l与圆x＋y ＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )πA. (0，]6πC. [0，]6[答案] D[解析] 由题意可画出示意图：易知过点P的圆的两切线为PA与PM.PA处倾斜角为0，ππ在Rt△POM中易知PO＝2，OM＝1，∴∠OPM＝，∠OPA66πB．(0，]3πD．[0，]322∴∠MPA＝，∵直线l倾斜角的范围是[0．33[方法点拨] 本题还可以设出直线l的方程y＝kx＋b，将P点代入得出k与b的关系，消去未知数b，再将直线代入圆方程，利用Δ0求出k的范围，再求倾斜角的范围．1．求直线的方程常用待定系数法．2．两条直线平行与垂直的判定可用一般式进行判定，也可以用斜率判定．(理)(2022年山东理，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x＋3)＋(y－2)＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )53A3532B．－或－232254C45[答案] DD．－或－34[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则其直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，∵光线与圆(x＋|－3k－2－2k－3|42223)＋(y－2)＝1相切，∴1，∴12k＋25k＋12＝0，解得kk＝3k2＋13－故选D. 44．(文)(2022年湖南文，6)若圆C1：x＋y＝1与圆C2：x＋y －6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 C．9 [答案] C[解析] 本题考查了两圆的位置关系．由条件知C1：x＋y＝1，C2：(x－3)＋(y－4)＝25－m，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，2222222B．19 D．－11r1＝1，r225－m，由两圆外切的性质知，5＝1＋25－m，∴m ＝9.[方法点拨] 圆与圆的位置关系2(理)一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线y＝x上，且恒与定直线l相切，则直线l的4方程为( )A．x＝1 1C．y＝－32[答案] D[解析] ∵A(0,1)是抛物线x＝4y的焦点，又抛物线的准线为y ＝－1，∴动圆过点A，圆心C在抛物线上，由抛物线的定义知|CA|等于C到准线的距离，等于⊙C的半径，∴⊙C21B．x＝32D．y＝－1与定直线l：y＝－1总相切．5．(文)(2022年哈三中一模)直线x＋y2＝0截圆x＋y＝4所得劣弧所对圆心角为( )A.C.π 62π3B.D.π35π622[答案] D|2|[解析] 弦心距d＝1，半径r＝2，22π∴劣弧所对的圆心角为3(理)(2022年福建理，6)直线l：y＝kx＋1与圆O：x＋y＝1相交于A，B两点，则“k1＝1”是“△OAB的面积为”的( )2A．充分而不必要条件C．充分必要条件[答案] A[解析] 圆心O(0,0)到直线l：kx－y＋10＝0的距离d＝＝2|k|1＋k，11＋k222B．必要而不充分条件D．既不充分又不必要条件弦长为|AB|＝1－d21|k|1∴S△OAB＝|AB|d＝2，∴k＝±1，2k＋121因此当“k＝1”时，“S△OAB”，故充分性成立．21“S△OAB＝”时，k也有可能为－1，2∴必要性不成立，故选A.[方法点拨] 1.直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解．2．直线与圆相切时，一般用几何法体现，即使用d＝r，而不使用Δ＝0.6．(2022年太原市一模)已知在圆x＋y－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．5 C．15 [答案] DB．65 D．21522[解析] 圆的方程为(x－2)＋(y＋1)＝5，圆的最长弦AC为直径25；设圆心M(2，－1)，圆的最短弦BD⊥ME，∵ME＝2－1 ＋－1－0 ＝2，∴BD＝R－ME＝3，11故S四边形ABCD＝ACBD＝53＝215.227．(2022年重庆理，8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )A．2 C．6 [答案] C[解析] 易知圆的标准方程C：(x－2)＋(y－1)＝4，圆心O(2,1)，又因为直线l：x＋ay－1＝0是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知a＝－1，A(－4，－1)，又因为直线AB与圆相切，则△OAB为直角三角形，|OA|＝2＋4 ＋1＋1 ＝210，|OB|＝2，|AB|＝OA－OB＝6.8．过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有( ) A．1条C．3条[答案] D[解析] 过P(－2,3)与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条．9．(文)(2022年江西理，9)在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )4A.π 5C．(6－25)π [答案] A[解析] 本题考查直线与圆的位置关系、抛物线的定义及数形结合求最值的数学思想．依题意，∠AOB＝90°，∴原点O在⊙C 上，又∵⊙C与直线2x＋y－4＝0相切，设切点为D，则|OC|＝|CD|，∴圆C的圆心C的轨迹是抛物线，其中焦点为原点O，准线为直线2x＋y－4＝0.要使圆C的面积有最小值，当且仅当O、C、D三点共线，即圆C的直径等于O点到直线的距离，∴2R＝4242R＝S＝πR＝π.选A.5553B. 45D. 4B．2条D．4条222222222222B．42 D．210(理)两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a＋1＝0和圆：x＋y＋2x－4＝0相切，则222a的取值范围是( )A．a7或a－3 B．a6或a－6C．－3≤a66≤a≤7 D．a≥7或a椋3 [答案] C[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，|2 －1 ＋a|5 5由|2 －1 ＋a＋1|525得－6a6，两条直线都和圆相离时，|2 －1 ＋a|5 5由|2 －1 ＋a＋1|52得a－3，或a7，所以两条直线和圆“相切”时a5的取值范围－3≤a≤－6或6≤a≤7，故选C.[方法点拨] 与圆有关的最值问题主要题型有：1．圆的半径最小时，圆面积最小．2．圆上点到定点距离最大(小)值问题，点在圆外时，最大值d＋r，最小值d－r(d是圆心到定点距离)；点在圆内时，最大值d＋r，最小值r－d.3．圆上点到定直线距离最值，设圆心到直线距离为d，直线与圆相离，则最大值d＋r，最小值d－r；直线与圆相交，则最大值d＋r，最小值0.4．P(x，y)为⊙O上一动点，求x、y的表达式(如x＋2y，x ＋y等)的取值范围，一段利用表达式的几何意义转化．二、填空题10．(文)设直线mx－y＋3＝0与圆(x－1)＋(y－2)＝4相交于A、B两点，且弦长为3，则m＝________.[答案] 02222[解析] 圆的半径为2，弦长为23，∴弦心距为1，即得d|m ＋1|m＋1＝1，解得m＝0.1222(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinA ＋sinB＝sinC，则直线2ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为________．[答案] 271222[解析] 由正弦定理得a＋b＝c，2∴圆心到直线距离d＝|c|a＋b22＝c2，12c2∴弦长l＝r－d＝29－2＝7.11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x＋y＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题．要使圆x＋y＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．222即|c|12＋522，解|c|13，∴－13c13.12．已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C：x＋y＋2ax＋ay＋2a＋a－1＝0相切，则实数a＝________.[答案] －1[解析] 由条件知点P在⊙C上，∴4＋1＋4a＋a＋2a＋a－1＝0，∴a＝－1或－2. 当a＝－1时，x＋y－2x－y＝0表示圆，当a＝－2时，x＋y－4x－2y＋5＝0不表示圆，∴a＝－1.三、解答题13．(2022年福建文，19)已知点F为抛物线E：y＝2px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3. 22222222(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．[分析] 考查：1.抛物线标准方程；2.直线和圆的位置关系．(1)利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化；(2)欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等(此时需确定两条直线方程)；也可以证明∠AGF＝∠BGF，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．[解析] 法一：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.2因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y＝4x.2(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y＝4x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由2p2y＝22 x－1 ，y2＝4x，得2x－5x＋2＝0，211解得x＝2或x＝，从而B(2)．22又G(－1,0)，2－022－2－022所以kGA＝kGB＝＝－，2－－1 313－－1 2所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．法二：(1)同法一．(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E：y＝4x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由y＝22 x－1 ，y2＝4x，得2x－5x＋2＝0.21 1 解得x＝2或x＝，从而B2 . 2 2又G(－1,0)，故直线GA的方程为2x－3y＋22＝0，|22＋22|42从而r＝ .8＋917又直线GB的方程为2x＋3y＋22＝0，2＋2|2所以点F到直线GB的距离d＝＝r.8＋917这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．14．(文)已知圆C：x＋y＝r(r0)经过点(13)．(1)求圆C的方程；→(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l，它与圆C相交于A、B两个不同点，且满足关系OM1→3→＝＋(O为坐标原点)的点M也在圆C上，如果存在，求出直线l的方程；如果不存22在，请说明理由．[解析] (1)由圆C：x＋y＝r，再由点(13)在圆C上，得r＝1＋(3)＝4，所以圆C的方程为x＋y＝4.(2)假设直线l存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，y＝k x＋1 ＋1，联立22x＋y－4＝0.22222222222222消去y得，(1＋k)x＋2k(k＋1)x＋k＋2k－3＝0，2k k＋1 2－2k由韦达定理得x1＋x2＝－＝－2＋221＋k1＋kk2＋2k－32k－4x1x2＝＝1＋221＋k1＋ky1y2＝k2x1x2＋k(k＋1)(x1＋x2)＋(k＋1)2＝因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆C上，因此，得x1＋y1＝4，x2＋y2＝4，3x1＋3x2y1＋3y2→1由OM＝＋得，x0＝，y0＝，222222222k＋42－3，1＋k由于点M也在圆C上，则(整理得2x21＋y1x1＋3x222y1＋3y22＝4，242x22＋y2433x1x2y1y2＝4，222k－42k＋4即x1x2＋y1y2＝0，所以1＋(3)＝0，1＋k1＋k从而得，k－2k＋1＝0，即k＝1，因此，直线l的方程为2y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.②若直线l的斜率不存在，－1－33－3则A(－1，3)，B(－1，－3)，M()－1323－32)＋)＝4－3≠4，22故点M不在圆上与题设矛盾，综上所知：k＝1，直线方程为x－y＋2＝0.(理)已知圆O：x＋y＝2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为2222椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x＝－2于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．[解析] (1)因为a2，e＝2c＝1，2则b＝1，即椭圆C＋y＝1.21(2)因为P(1,1)，F(－1,0)，所以kPF＝2∴kOQ＝－2，所以直线OQ的方程为y＝－2x. 又Q在直线x＝－2上，所以点Q(－2,4)．x22∴kPQ＝－1，kOP＝1，∴kOPkPQ＝－1，即OP⊥PQ，故直线PQ与圆O相切．(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0≠±2)，则y0＝2－x0，kPF＝22x0＋1kOQ＝－，x0＋1y0x0＋1x，y0y0∴直线OQ的方程为y＝－2x0＋2∴点Q(－2)，y0y0－∴kPQ＝22x0＋2y0x0＋2y20－2x0＋2x0＋2 y0－x0－2x0x0y0＝，又kOP＝x0＋2 y0y0x0∴kOPkPQ＝－1，即OP⊥PQ(P不与A、B重合)，直线PQ 始终与圆O相切．15．(文)(2022年石家庄市质检)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C方程；(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C 的切线，切点分别为P、Q，求△APQ面积的最小值及此时点A 的坐标．[解析] (1)设动圆圆心坐标为C(x，y)，根据题意得x2＋y－2 2＝y2＋4，化简得x＝4y.(2)解法一：设直线PQ的方程为y＝kx＋b，y＝kx＋b22消去y得x－4kx－4b＝0.2x1＋x2＝4k设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2＝－4b，且Δ＝16k＋16b211以点P为切点的切线的斜率为y′11，其切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，__即y＝1x－x1.24112同理过点Q的切线的方程为y＝x2x2.24两条切线的交点A(xA，yB)在直线x－y－2＝0上，x＋xx＝2k 2解得__12A12A2，即A(2k，－b)．则：2k＋b－2＝0，即b＝2－2k，代入Δ＝16k＋16b＝16k＋32－32k＝16(k－1)＋160，|PQ|1＋k|x1－x2|＝1＋k2222k2＋b，2|2k＋2b|A(2k，－b)到直线PQ的距离为d＝k2＋1S△APQ＝PD|d＝4|k2＋b|k2＋b＝4(k2＋b)3322＝4(k－2k＋2)＝4[(k－1)＋1].当k＝1时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．解法二：设A(x0，y0)在直线x－y－2＝0上，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线x＝4y11上，则以点P为切点的切线的斜率为y11，其切线方程为y －y1＝x1(x－x1)，221即y＝1x－y1，21同理以点Q为切点的方程为y＝x2x－y2.21y＝__－y，2设两条切线均过点A(x，y)，则1y＝2__－y.1012021232点P，Q的坐标均满足方程y0＝__0－y，即直线PQ的方程为：y＝0x－y0，代入抛物线方程x＝4y消去y可得：21212x2－2x0x＋4y0＝0|PQ|＝1210|x1－x2| 41221＋x04x0－16y0 412|x0－2y0|2A(x0，y0)到直线PQ的距离为d＝12x0＋14S△APQ＝PQ|d＝x20－4y0x0－4y01212312＝(x0－4y0) 2 2331212＝(x0－4x0＋8) 2 ＝[(x0－2)＋4] 2 22当x0＝2时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．3(理)已知点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA与直线PB斜率之积为－，记点P的轨迹为曲4线C.(1)求曲线C的方程；→→→→(2)设M、N是曲线C上任意两点，且|OM－ON|＝|OM＋ON|，是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设P(x，y)，3则由直线PA与直线PB斜率之积为－得，4y3x≠±2)，x＋2x－24整理得曲线C＋＝1(x≠±2)．43→→→→→→(2)若|OM－ON|＝|OM＋ON|，则OM⊥ON. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)．若直线MN斜率不存在，则y2＝－y1，N(x1，－y1)．yx2y2x1y1→→y1－y1由OM⊥ON得＝－1，又＋1.x1x143解得直线MN方程为x＝±12.原点O到直线MN的距离d＝712. 722若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx＋m.y＝kx＋m 22由xy＋＝1 43得(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0.222－8km4m－12∴x1＋x2＝2，x1x2＝2(*)4k＋34k＋3→→y1y222由OM⊥ON得＝－1，整理得(k＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m ＝0.2x1x2代入(*)式解得7m＝12(k＋1)．此时(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0中Δ0. 此时原点O到直线MN的距离22222。
(完整版)2016版《步步高》高考数学大二轮总复习
【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题16 不等式与线性规划(含解析)
【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题16 不等式与线性规划（含解析）一、选择题1．(文)(2015²唐山市一模)已知全集U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，则∁U A ＝( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)[答案] C[解析] ∵U ＝{x |x 2>1}＝{x |x >1或x <－1}，A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，∴∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}．(理)(2014²唐山市一模)己知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则( )A ．A ∩B ＝∅ B ．B ⊆AC ．A ∩(∁R B )＝RD ．A ⊆B[答案] A[解析] A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，B ＝{x |log 4x >12}＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝∅.[方法点拨] 解不等式或由不等式恒成立求参数的取值范围是高考常见题型． 1．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．2．解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．3．解不等式与集合结合命题时，先解不等式确定集合，再按集合的关系与运算求解． 4．分段函数与解不等式结合命题，应注意分段求解．2．(文)(2014²天津理，7)设a 、b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] (1)若a >b ，则①a >b ≥0，此时a |a |>b |b |；②a >0>b ，显然有a |a |>b |b |；③0≥a >b ，此时0<|a |<|b |，∴a |a |>a |b |>b |b |，综上a >b 时，有a |a |>b |b |成立．(2)若a |a |>b |b |，①b ＝0时，有a >0，∴a >b ；②b >0时，显然有a >0，∴a 2>b 2，∴a >b ；③b <0时，若a ≥0时，a >b ；若a <0，则－a 2>－b 2，∴a 2<b 2，∴(a ＋b )(a －b )<0，∴a >b ，综上当a |a |>b |b |时有a >b 成立，故选C ．(理)(2014²四川文，5)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．a d >b c B ．a d <b c C ．a c >b dD ．a c <b d[答案] B[解析] ∵c <d <0，∴1d <1c <0，∴－1d >－1c>0，又∵a >b >0，∴－a d >－b c>0，即a d <b c.选B ．[方法点拨] 不等式的性质经常与集合、充要条件、命题的真假判断、函数等知识结合在一起考查，解题时，关键是熟记不等式的各项性质，特别是各不等式成立的条件，然后结合函数的单调性求解．3．(文)若直线2ax ＋by －2＝0(a 、b ∈R )平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2[答案] D[解析] 直线平分圆，则必过圆心． 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝11.∴圆心C (1,2)在直线上⇒2a ＋2b －2＝0⇒a ＋b ＝1.∴2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(a ＋b )＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋ab≥3＋22，故选D ．(理)(2015²湖南文，7)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4[答案] C[解析] 考查基本不等式．根据1a ＋2b ＝ab ，可得a >0，b >0，然后利用基本不等式1a ＋2b ≥21a ³2b求解ab 的最小值即可；∵1a ＋2b ＝ab ，∴a ＞0，b ＞0，∵ab ＝1a ＋2b≥21a ³2b ＝22ab，∴ab ≥22，(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为22，故选C ．[方法点拨] 1.用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立，要注意“代入消元”、“拆、拼、凑”、“1的代换”等技巧的应用．2．不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为函数最值求解或用赋值法讨论求解．4．(文)(2015²天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．14[答案] C[解析] z ＝3x ＋y ＝52(x －2)＋12(x ＋2y －8)＋9≤9，当x ＝2，y ＝3时取得最大值9，故选C ．此题也可画出可行域如图，借助图象求解．(理)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2[答案] A[解析] 由x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，画出可行域如图，容易求出A (2,0)，B (5,3)，C (1,3)，由图可知当直线z ＝y －2x 过点B (5,3)时，z 最小值为3－2³5＝－7.5．(2015²四川文，4)设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考查命题及其关系．a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之也正确．选A ．6．(文)(2015²福建文，5)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] C[解析] 考查基本不等式．由已知得，1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，则a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ²ab＝4，当b a ＝a b，即a ＝b ＝2时取等号．(理)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．14 B ．4 C ．12 D ．2[答案] C[解析] ∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab ， ∴ab ≤2，∴1ab ≥12，等号在a ＝1，b ＝2时成立．7．设z ＝2x ＋y ，其中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥m.若z 的最小值为3，则m的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25，表示的平面区域，由于z ＝2x ＋y 的最小值为3，作直线l 0：x ＝m 平移l 0可知m ＝1符合题意．[方法点拨] 1.线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数中参数的取值范围．2．解决线性规划问题首先要画出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题可通过验证解决．3．确定二元一次不等式组表示的平面区域：①画线，②定侧，③确定公共部分；解线性规划问题的步骤：①作图，②平移目标函数线，③解有关方程组求值，确定最优解(或最值等)．8．(文)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A ．52 B ．72 C ．154D ．152[答案] A[解析] ∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0化为 (x ＋2a )(x －4a )<0，∴－2a <x <4a ， ∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，∴a ＝52.(理)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(0，12]C ．[12，2]D ．(0,2][答案] C[解析] 因为log 12a ＝－log 2a ，所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )，原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，故选C ．9．(文)(2014²新课标Ⅰ文，11)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( ) A ．－5 B ．3 C ．－5或3 D ．5或－3[答案] B[解析] 当a ＝－5时，作出可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－5，x －y ＝－1，得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取最大值，z max ＝7，不合题意，排除A 、C ；当a ＝3时，同理可得目标函数z ＝x ＋3y 过B (1,2)时，z min ＝7符合题意，故选B ．(理)(2014²北京理，6)若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12 D ．－12[答案] D[解析] 本题考查了线性规划的应用． 若k ≥0，z ＝y －x 没有最小值，不合题意． 若k <0，则不等式组所表示的平面区域如图所示． 由图可知，z ＝y －x 在点(－2k，0)处取最小值－4，故0－(－2k )＝－4，解得k ＝－12，即选项D 正确．10．(2015²江西质量监测)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于5，则a 的值为( )A ．－11B ．3C ．9D ．9或－11[答案] C[解析] 由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC ，其中A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )且a >－1，因为S △ABC ＝5，所以12³(1＋a )³1＝5，解得a ＝9.11．(2015²南昌市一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0x ＋y －4≤0y ≥m，若目标函数z ＝2x ＋y的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－12[答案] C[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0x ＋y －4≤0y ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至过点A ，B 时，z ＝2x ＋y 分别取得最小值与最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ＝0y ＝m 得A (m －1，m )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0y ＝m 得B (4－m ，m )，所以z min ＝2(m －1)＋m＝3m －2，z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ，所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝10－4m ＝2，解得m ＝2.12．(2015²洛阳市期末)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．对∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A ．6＋2B ．6－2C ．22＋2D ．22－2[答案] B[解析] 由已知得：f ′(x )＝2ax ＋b ，f (x )≥f ′(x )恒成立即ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，∴b 2≤－4a 2＋4ac ，∴b 2a 2＋2c 2≤－4a 2＋4ac a 2＋2c 2＝－4＋4c a 1＋2²⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2，设ca ＝t ，令g (t )＝4 t －1 1＋2t 2，令t －1＝m ，则g (t )＝4m 1＋2 m ＋1 2＝4m2m 2＋4m ＋3＝42m ＋3m＋4≤426＋4＝6－2，当且仅当2m ＝3m ，即m ＝32时等号成立，故选B ． 二、填空题13．(文)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y －2－1≤0，x －ky ＋k ≥0表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k ＝________.[答案] ±1[解析] 本题可以通过画图解决，如图直线l ：x －ky ＋k＝0过定点(0,1)．当k ＝±1时，所围成的图形是轴对称图形．(理)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最大值为________．[答案] 41[解析] 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，画出可行域如图，易知x ＝4，y ＝5时，z 有最大值，z ＝42＋52＝41.14．(文)(2015²天津文，12)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ²log 2(2b )取得最大值．[答案] 4[解析] log 2a ²log 2(2b )≤⎝⎛⎭⎪⎫log 2a ＋log 2 2b 22＝14[log 2(2ab )]2＝14(log 216)2＝4， 当a ＝2b 时取等号，结合a >0，b >0，ab ＝8，可得a ＝4，b ＝2.(理)(2015²重庆文，14)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． [答案] 3 2[解析] 考查基本不等式．由2ab ≤a 2＋b 2两边同时加上a 2＋b 2，得(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)两边同时开方即得：a ＋b ≤2 a 2＋b 2 (a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取“＝”)；从而有a ＋1＋b ＋3≤2 a ＋1＋b ＋3 ＝2³9＝32(当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时，“＝”成立)故填：3 2.15．(2014²邯郸市一模)已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数且f (1)＝2，当x 1、x 2∈[－1,1]，且x 1＋x 2≠0时，有f x 1 ＋f x 2 x 1＋x 2>0，若f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1，1]、a ∈[－1,1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．[答案] [－1,1][解析] ∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数， ∴当x 1、x 2∈[－1,1]且x 1＋x 2≠0时，f x 1 ＋f x 2 x 1＋x 2>0等价于f x 1 －f －x 2x 1－ －x 2>0，∴f (x )在[－1,1]上单调递增．∵f (1)＝2，∴f (x )min ＝f (－1)＝－f (1)＝－2.要使f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1，1]恒成立，即－2≥m 2－2am －5对所有a ∈[－1,1]恒成立， ∴m 2－2am －3≤0，设g (a )＝m 2－2am －3，则⎩⎪⎨⎪⎧g －1 ≤0，g 1 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1，－1≤m ≤3.∴－1≤m ≤1.∴实数m 的取值范围是[－1,1]． 三、解答题16．(文)(2015²湖北文，21)设函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，f (x )＋g (x )＝e x ，其中e 为自然对数的底数．(1)求f (x )，g (x )的解析式，并证明：当x >0时，f (x )>0，g (x )>1； (2)设a ≤0，b ≥1，证明：当x >0时，ag (x )＋(1－a )＜f xx＜bg (x )＋(1－b )． [分析] 考查1.导数在研究函数的单调性与极值中的应用；2.函数的基本性质． (1)将等式f (x )＋g (x )＝e x中x 用－x 来替换，并结合已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，构造方程组即可求出f (x )，g (x )的表达式；当x >0时，由指数与指数函数的性质知e x>1,0<e －x<1，进而可得到f (x )>0.然后再由基本不等式即可得出g (x )>1.(2)要证明ag (x )＋(1－a )<f xx<bg (x )＋(1－b )，即证f (x )>axg (x )＋(1－a )x 和f (x )<bxg (x )＋(1－b )x .于是构造函数h (x )＝f (x )－cxg (x )－(1－c )x ，利用导数在函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立．[解析] (1)由 f (x )，g (x )的奇偶性及f (x )＋g (x )＝e x， ① 得：－f (x )＋g (x )＝e －x.②联立①②解得f (x )＝12(e x －e －x )，g (x )＝12(e x ＋e －x)．当x >0时，e x>1,0<e －x<1，故 f (x )>0.③ 又由基本不等式，有g (x )＝12(e x ＋e －x )>e x e －x＝1，即g (x )>1.④ (2)由(1)得f ′(x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ′＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋e xe 2x ＝12(e x ＋e －x)＝g (x ),⑤ g ′(x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ′＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －e xe 2x ＝12(e x －e －x )＝f (x )，⑥ 当x >0时，f xx>ag (x )＋(1－a )等价于f (x )>axg (x )＋(1－a )x ， ⑦ f xx<bg (x )＋(1－b )等价于f (x )<bxg (x )＋(1－b )x . ⑧设函数h (x )＝f (x )－cxg (x )－(1－c )x ，由⑤⑥，有h ′(x )＝g (x )－cg (x )－cxf (x )－(1－c )＝(1－c )[g (x )－1] －cxf (x ). 当x >0时，1°若c ≤0，由③④，得h ′(x )>0，故h (x )在[0，＋∞) 上为增函数，从而h (x )>h (0)＝0，即f (x )>cxg (x )＋(1－c )x ，故⑦成立．2°若c ≥1，由③④，得h ′(x )<0，故h (x )在[0，＋∞)上为减函数，从而h (x )<h (0)＝0，即f (x )<cxg (x )＋(1－c )x ，故⑧成立．综合⑦⑧，得ag (x )＋(1－a )<f x x<bg (x )＋(1－b )． (理)(2015²福建文，22)已知函数f (x )＝ln x － x －1 22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x >1时，f (x )<x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )>k (x －1)．[分析] 考查导数的综合应用．(1)求导函数f ′(x )，解不等式f ′(x )>0并与定义域求交集，得函数f (x )的单调递增区间；(2)构造函数F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(1，＋∞)．欲证明f (x )<x －1，只需证明F (x )的最大值小于0即可；(3)当k ≥1时，易知不存在x 0>1满足题意；当k <1时，构造函数G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，利用导数研究函数G (x )的单调性，讨论得出结论．[解析] (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )>0得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，－x 2＋x ＋1>0.解得0<x <1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x. 当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.(3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0>1满足题意．当k >1时，对于x >1，有f (x )<x －1<k (x －1)，则f (x )<k (x －1)，从而不存在x 0>1满足题意．当k <1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋ 1－k x ＋1x. 由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k － 1－k 2＋42<0， x 2＝1－k ＋ 1－k 2＋42>1. 当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )>0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增．从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )>G (1)＝0，即f (x )>k (x －1)，综上，k 的取值范围是(－∞，1)．17．(文)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝－a x (a >0)．(1)当a ＝1时，若曲线y ＝f (x )在点M (x 0，f (x 0))处的切线与曲线y ＝g (x )在点P (x 0，g (x 0))处的切线平行，求实数x 0的值；(2)若∀x ∈(0，e]，都有f (x )≥g (x )＋32，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f ′(x )＝1x ，g ′(x )＝1x2. 因为函数f (x )在点M (x 0，f (x 0))处的切线与函数g (x )在点P (x 0，g (x 0))处的切线平行，所以1x 0＝1x 20，解得x 0＝1. (2)若∀x ∈(0，e]，都有f (x )≥g (x )＋32. 记F (x )＝f (x )－g (x )－32＝ln x ＋a x －32， 只要F (x )在(0，e]上的最小值大于等于0，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x2， 则F ′(x )、F (x )随x 的变化情况如下表：当a ≥e 所以F (e)＝1＋a e －32≥0，得a ≥e 2，所以a ≥e. 当a <e 时，函数F (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，e)上单调递增，F (a )为最小值，所以F (a )＝ln a ＋a a －32≥0，得a ≥e ， 所以e ≤a <e ，综上a ≥ e.(理)设函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1. (1)当a ＝1时，求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)当a ＝13时，设函数g (x )＝x 2－2bx －512，若对于∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[0,1]，使f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数b 的取值范围．[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x －a －1－a x 2， (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x －1，∴f (1)＝－2，f ′(x )＝1x－1，∴f ′(1)＝0 ∴f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－2(2)f ′(x )＝1x －a －1－ax 2＝－ax 2＋x － 1－a x 2＝－ x －1 [ax － 1－a ]x 2，f (x )的定义域为(0，＋∞)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x 2，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1) 当a ≠0时，1－a a >1，即0<a <12时，f (x )的增区间为(1，1－a a )，减区间为(0,1)，(1－a a，＋∞)1－a a ＝1，即a ＝12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减 1－a a <1，即a >12或a <0，当a >12时，f (x )的增区间为(1－a a ，1)，减区间为(0，1－a a )，(1，＋∞)当a <0时，f (x )的增区间为(0，1－a a )，(1＋∞)；减区间为(1－a a，1)． (3)当a ＝13时，由(Ⅱ)知函数f (x )在区间(1,2)上为增函数， 所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝－23对于∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[0,1]，使f (x 1)≥g (x 2)成立⇔g (x )在[0,1]上的最小值不大于f (x )在[1,2]上的最小值－23(*)又g (x )＝x 2－2bx －512＝(x －b )2－b 2－512，x ∈[0,1]①当b <0时，g (x )在[0,1]上为增函数， g (x )min ＝g (0)＝－512>－23与(*)矛盾②当0≤b ≤1时，g (x )min ＝g (b )＝－b 2－512，由－b 2－512≤－23及0≤b ≤1得，12≤b ≤1③当b >1时，g (x )在[0,1]上为减函数， g (x )min ＝g (1)＝712－2b ≤－23， 此时b >1 综上所述，b 的取值范围是[12，＋∞)．[方法点拨] 注意区分几类问题的解法． ①对任意x ∈A ，f (x )>M (或f (x )<M )恒成立． ②存在x ∈A ，使f (x )>M (或f (x )<M )成立．。
【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题27 转化与化归思想、数形结合思想课件
可得 a＝ 5c，b＝2c，又因为 B(0，b)，F(－c,0) b－0 b 故直线 BF 的斜率 k＝ ＝c ＝2. 0－－c
(2)设点 P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)． x2 y 2 (i)由(1)可得椭圆方程为5c2＋4c2＝1， 直线 BF 的方程为 y＝2x＋2c， 两方程联立消去 y，得 3x2＋5cx＝0， 5c 解得 xP＝－ 3 .
需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原
料的可用限额如表所示．如果生产 1吨甲、乙产品可获利润分
别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
A(吨) B(吨) A．12万元 C．17万元 3 1
乙
2 2
原料限额
12 8
B．16万元 D．18万元
[立意与点拨 ]
考查线性规划与数形结合思想的应用．解
3 1 3 (2)∵f(1)＝2，∴a－a＝2，即 2a2－3a－2＝0， 1 ∴a＝2 或 a＝－2(舍去)， 则 y＝g(x)＝22x＋2－2x－2(2x－2－x)，x∈[－1,1]， 令 t＝2x－2－x，x∈[－1,1]， 由(1)可知该函数在区间[－1,1]上为增函数，
3 3 则 t∈[－2，2]， 3 3 则 y＝h(t)＝t －2t＋2，t∈[－2，2]，
走向高考 ·数学
高考二轮总复习
专题强化练
第一部分 二 增分指导练
27(文25) 转化与化归思想、 数形结合思想
1
考 向 分 析
3
强 化 训 练
2
考 题 引 路
4
易 错 防 范
考向分析
1．数形结合思想的应用：集合及其运算中数轴与 Venn图
的运用；函数图象在函数、方程、不等式中的应用；向量的应
【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题11 空间几何体课件
易错防范
案例 三视图识读不准致误
一 个 几 何体 的 三 视图 如 图 所示 ， 则 该几 何 体 的体 积 是 ( )
A．112
B．80
C．72
D．64
[易错分析]
ห้องสมุดไป่ตู้
本题易错之处是由正、侧视图误以为几何体
上部为三棱锥或整个几何体为四棱锥． 由俯视图知，棱锥顶点在底面射影为正方体底面一条棱的
中点，故棱锥有一个侧面与底面垂直，它应该为四棱锥，而非
积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化 思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能 力及空间想象能力，难度中等． 3．几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合.
考题引路
考例1
A．8 cm3
(文)(2015·浙江理，2)某几何体的三视图如图所示 )
B．12 cm3
(单位：cm)，则该几何体的体积是(
考例2
(2015·新课标Ⅰ理，11)圆柱被一个平面截去一部
分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正
视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r
＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
[立意与点拨 ]
考查简单几何体的三视图；球的表面积公
式；圆柱的侧面积公式．本题观察视图的关键是圆柱截割后余
三棱锥．
[解答]
由三视图知，该几何体为组合体，下部是棱长为 4
的正方体，上部为四棱锥，四棱锥的底面与正方体底面重合，顶 点在底面射影为正方体棱的中点，其直观图如图，故该几何体的 1 体积 V＝4×4×4＋3×4×4×3＝80，故选 B.
[警示]
识读三视图时，一要按正投影原理找到各点的射
(全国通用)高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题30 不等式选讲(含解析)-人教版高三全册
【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题30 不等式选讲（含解析）一、填空题1．(2014·某某理，15A)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．[答案] 5[解析] 解法1：在平面直角坐标系aob 中，由条件知直线ma ＋nb ＝5与圆a 2＋b 2＝5有公共点，∴5m 2＋n2≤5，∴m 2＋n 2≥5，∴m 2＋n 2的最小值为 5.解法2：由柯西不等式：a 2＋b 2·m 2＋n 2≥ma ＋nb ， ∴m 2＋n 2≥55＝ 5.2．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值X 围是________． [答案] (－∞，8][解析]∵|x －5|＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴|x －5|＋|x ＋3|的最小值为8， 要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解， 应有a ≤8.3．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值X 围是________．[答案] {a ∈R |a <0或a ＝2}[解析] 因为|x ＋1|＋|x －3|≥4，所以由题意可得a ＋4a≤4恒成立，因a <0时显然恒成立；当a >0时，由基本不等式可知a ＋4a≥4，所以只有a ＝2时成立，所以实数a 的取值X围为{a ∈R |a <0或a ＝2}．[方法点拨] 注意区分a <f (x )有(无)解与a <f (x )恒成立，设m ≤f (x )≤M ，则a <f (x )有解⇒a <M ，a <f (x )恒成立⇒a <m .a <f (x )无解⇒a ≥M .4．(2014·某某市十二区县重点中学联考)对于任意x ∈R ，满足(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立的所有实数a 构成集合A ，使不等式|x －4|＋|x －3|<a 的解集为空集的所有实数a 构成集合B ，则A ∩(∁R B )＝________.[答案] (1,2][解析] 求出集合A 、B 后利用集合运算的定义求解．对于任意x ∈R ，不等式(a －2)x2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a <2，Δ＝4a －22＋16a －2<0，解得－2<a ≤2，所以集合A ＝(－2,2]．当不等式|x －4|＋|x －3|<a 有解时，a >(|x －4|＋|x －3|)min ＝1，所以解集为空集的所有实数a 构成集合B ＝(－∞，1]，则∁R B ＝(1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(－2,2]∩(1，＋∞)＝(1,2]． 二、解答题5．(文)(2015·某某省某某中学一模)设关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)>a . (1)当a ＝1时，解这个不等式；(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R .[解析] (1)当a ＝1时，原不等式变为|x ＋3|＋|x －7|>10， 当x ≥7时，x ＋3＋x －7>10得x >7， 当－3<x <7时，x ＋3－x ＋7>10不成立． 当x ≤－3时－x －3－x ＋7>10得：x <－3 所以不等式的解集为{x |x <－3或x >7}．(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立． ∴lg(|x ＋3|＋|x －7|)≥lg10＝1对任何x ∈R 都成立， 即lg(|x ＋3|＋|x －7|)>a .当且仅当a <1时，对任何x ∈R 都成立．(理)(2015·某某市质检)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －1|－a . (1)若a ＝1，求不等式f (x )>x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤a (x ＋2)的解集为非空集合，求a 的取值X 围．[解析] (1)当a ＝1，不等式为|x ＋1|＋2|x －1|－1>x ＋2，即|x ＋1|＋2|x －1|>x ＋3，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，1－3x >x ＋3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，3－x >x ＋3，或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x －1>x ＋3，解得x <－1，或－1≤x <0，或x >2，∴x <0或x >2 所求不等式的解集为{x |x <0，或x >2}．(2)由f (x )≤a (x ＋2)得，|x ＋1|＋2|x －1|－a ≤a (x ＋2)， 即|x ＋1|＋2|x －1|≤a (x ＋3)，设g (x )＝|x ＋1|＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ， x <－13－x ， －1≤x ≤13x －1， x >1如图，k PA ＝12，k PD ＝k BC ＝－3，故依题意知，a <－3，或a ≥12.即a 的取值X 围为(－∞，－3)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [方法点拨] 解含绝对值符号的不等式一般用分段讨论法：令各绝对值号内表达式为零，解出各分界点，按分界点将实数集分段．6．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R . (1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0，求a 的取值X 围．[解析] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x >2，5－3x ，32≤x ≤2，x －1，x <32.当x >2时，1－x >0，即x <1，此时无解； 当32≤x ≤2时，5－3x >0，即x <53，解得32≤x <53； 当x <32时，x －1>0，即x >1，解得1<x <32.∴不等式解集为{x |1<x <53}．(2)2－x －|2x －a |<0⇒2－x <|2x －a |⇒x <a －2或x >a ＋23恒成立．∵x ∈(－∞，2)，∴a －2≥2，∴a ≥4.7．(文)(1)若|a |<1，|b |<1，比较|a ＋b |＋|a －b |与2的大小，并说明理由； (2)设m 是|a |、|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时，求证：|a x ＋bx2|<2. [解析] (1)|a ＋b |＋|a －b |<2. ∵|a |<1，|b |<1，∴当a ＋b ≥0，a －b ≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )＋(a －b )＝2a ≤2|a |<2， 当a ＋b ≥0，a －b <0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )＋(b －a )＝2b ≤2|b |<2， 当a ＋b <0，a －b ≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(－a －b )＋(a －b )＝－2b ≤2|b |<2， 当a ＋b <0，a －b <0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(－a －b )＋(b －a )＝－2a ≤2|a |<2， 综上知，|a ＋b |＋|a －b |<2.(2)∵m 是|a |，|b |与1中最大的一个，∴m ≥1， 又∵|x |>m ，∴|x |>1，∴|x |>m ≥|a |，|x 2|>1≥|b |，∴|a ||x |<1，|b ||x 2|<1，∴|a x ＋b x 2|≤|a ||x |＋|b ||x 2|<1＋1＝2， ∴原不等式成立．(理)已知a 和b 是任意非零实数． (1)求证：|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥4；(2)若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|2－x |)恒成立，某某数x 的取值X 围． [分析] (1)含两个绝对值号，可利用|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )±(a －b )|放缩． (2)变形后为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )，运用(1)的方法可得|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值m ，则问题转化为解不等式f (x )≤m .[解析] (1)|2a ＋b |＋|2a －b ||a |＝|2a ＋b a |＋|2a －ba |＝|2＋ba |＋|2－b a |≥|(2＋b a )＋(2－b a)|＝4(2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2则有2≥f (x )解不等式2≥|x －1|＋|x －2|得12≤x ≤52.8．(文)(2015·某某市二模)已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0,4]． (1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值． [解析] (1)不等式m －|x －2|≥1可化为|x －2|≤m －1， ∴1－m ≤x －2≤m －1，即3－m ≤x ≤m ＋1，∵其解集为[0,4]，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＝0m ＋1＝4，∴m ＝3.(2)由(1)知a ＋b ＝3， (方法一：利用基本不等式)∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)＝2(a 2＋b 2)， ∴a 2＋b 2≥92，∴当且仅当a ＝b ＝32时，a 2＋b 2取最小值为92.(方法二：利用柯西不等式)∵(a 2＋b 2)·(12＋12)≥(a ×1＋b ×1)2＝(a ＋b )2＝9， ∴a 2＋b 2≥92，∴当且仅当a ＝b ＝32时，a 2＋b 2取最小值为92.(方法三：消元法求二次函数的最值) ∵a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋92≥92， ∴当且仅当a ＝b ＝32时，a 2＋b 2取最小值为92.(理)(2015·某某市二模)设f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝m ，求ab ＋bc 的最大值． [解析] (1)当x ≤－1时，f (x )＝3＋x ≤2；当－1＜x ＜1时，f (x )＝－1－3x ＜2； 当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4. 故当x ＝－1时，f (x )取得最大值m ＝2.(2)∵a 2＋2b 2＋c 2＝2，∴ab ＋bc ≤12[(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)]＝1，当且仅当a ＝b ＝c ＝22时，等号成立．所以ab ＋bc 的最大值为1. 9．(文)已知a ，b 是不相等的正实数． 求证：(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2. [解析] 因为a ，b 是正实数， 所以a 2b ＋a ＋b 2≥33a 2b ·a ·b 2＝3ab >0(当且仅当a 2b ＝a ＝b 2，即a ＝b ＝1时，等号成立)， 同理，ab 2＋a 2＋b ≥33ab 2·a 2·b ＝3ab >0(当且仅当ab 2＝a 2＝b ，即a ＝b ＝1时，等号成立)， 所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )≥9a 2b 2(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)．因为a ≠b ，所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2.(理)(2014·某某市二模、某某省三诊)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ＋，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a 、b 、c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.[解析] (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |， 所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)解法一：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(1a ＋12b ＋13c )≥(a ·1a＋2b ·12b ＋3c ·13c)2＝9.∴a ＋2b ＋3c ≥9.解法2：由(1)知，1a ＋12b ＋13c ＝1，a 、b 、c ∈R ＋，∴a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )·1 ＝(a ＋2b ＋3c )(1a ＋12b ＋13c )＝3＋2b a ＋3c a ＋a 2b ＋3c 2b ＋a 3c ＋2b 3c＝3＋(2b a ＋a 2b )＋(3c a ＋a 3c )＋(3c 2b ＋2b 3c)≥3＋2＋2＋2＝9，等号在a ＝2b ＝3c ＝13时成立．10．(文)(2015·某某市模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a (a >0)．(1)当a ＝2时，求不等式f (x )>3的解集；(2)证明：f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ≥4.[解析] (1)当a ＝2时，f (x )＝|x ＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－x －2－x －12>3，或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤－12，x ＋2－x －12>3，或⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，x ＋2＋x ＋12>3，∴x <－114或∅或x >14，∴不等式的解集为{x |x <－114或x >14}．(2)证明：f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m＝|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋1a＝⎝⎛⎭⎪⎫|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋1a ≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|m |＋1|m |≥4⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1，a ＝1时等号成立.(理)(2015·某某统考)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|2－x |≤a ≤|x ＋1|＋|2－x |都成立．(1)求a 的值；(2)设m >n >0，求证：2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .[解析] (1)设f (x )＝|x ＋1|－|2－x |，则 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x ≤2.3，x >2，∴f (x )的最大值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|－|2－x |≤a 都成立，即f (x )≤a ， ∴a ≥3.设h (x )＝|x ＋1|＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x ≤2，2x －1，x ≥2，∴h (x )的最小值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|＋|2－x |≥a 都成立，即h (x )≥a ， ∴a ≤3，∴a ＝3. (2)证明：由(1)知a ＝3， ∵2m ＋1m 2－2mn ＋n 2－2n ＝(m －n )＋(m －n )＋1m －n2，又∵m >n >0， ∴(m －n )＋(m －n )＋1m －n2≥33m －n m －n1m －n2＝3，∴2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .。
【走向高考】2015高考数学(通用版)二轮复习课件 专题1 第5讲 导数及其应用
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
专题一 第五讲
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专题一
集合与常用逻辑用语、函数与导数
专题一
集合与常用逻辑用语、函数与导数
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专题一
这是高考的重点必考内容，一般命制一个大题或一大一 小两个题． (1) 导数的几何意义是高考考查的重点内容，常与解析几
何的知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式考查，有时
也会出现在解答题中的关键一步． (2) 利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生 活中的优化问题，已成为近几年高考的主要考点．
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4．函数的性质与导数 在区间(a，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b) 上单调递增．如果f ′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递
减．
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5．( 理) 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画 出图形；②确定被积函数；③求出交点坐标，确定积分的 上、下限；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图 形的面积．特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能
第五讲 导数及其应用
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集合与常用逻辑用语、函数与导数
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命题角度聚焦
核心知识整合
学科素能培养 方法警示探究
命题热点突破
课后强化作业
专题一 第五讲
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高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题6三角变换、三角函数的图象与性质(含解析)
【走向高考】（全国通用） 2016 高考数学二轮复习 第一部分 微专题加强练 专题 6 三角变换、三角函数的图象与性质一、选择题1． (2015 河·南八市质检 )已知 sin α＋π－ cos α＝1，则 2sin αcos α＋π＝ ()6 3 65 5 A ．－ 18B.187 7 C ．－ 9D.9 [答案 ]Bπ ＝ 2sin α 31[分析 ]2sin αcos α＋6 2 cos α－ 2sin α31－ cos 2α π 1＝ 2 sin 2α－2 ＝ sin 2α＋ 6 －2，π3 1又因为 sin α＋ 6 － cos α＝ 2 sin α＋ 2cos α－ cos α3 1 cos α＝sin α－ π 1 ，＝ sin α－ 6 ＝2 2 3π π π π又 sin 2α＋ 6 ＝ cos 2－2α＋6 ＝ cos 3－2α＝ 1－ 2sin 2α－ π＝ 1－ 2＝ 7，69 9π7 1 5所以 2sin αcos α＋ 6 ＝ 9－ 2＝ 18.[方法点拨 ] 1.已知条件为角α的终边过某点时，直接运用三角函数定义求解；已知条件为角 α的终边在某条直线上，在直线取一点后用定义求解；已知sin α、cos α、tan α中的一 个值求其余值时，直接运用同角关系公式求解，能用引诱公式化简的先化简．2．已知 tan α求 sin α与 cos α的齐次式的值时，将分子分母同除以 cos n α化 “切 ”代入，所 求式为整式时，视分母为1，用 1＝ sin 2α＋ cos 2α代换．3．sin θ＋ cos θ，sin θ－ cos θ，sin θcos θ知一求其余值时， 利用关系 (sin θ±cos θ)2＝1±2cos θcos θ. 要特别注意利用平方关系巧解题． 已知某三角函数式的值， 求另一三角函数式的值时， 重点是剖析找出两三角函数式的联系适合化简变形，再代入计算．2．(文 )(2015洛·阳市期末)已知角 α的终边经过点A(－ 3，a) ，若点A 在抛物线1y ＝－ 4x 2 的准线上，则sin α＝()33 A ．－ 2B. 21 1 C ．－ 2D.2[答案 ]D1[分析 ] 由已知得抛物线的准线方程为y ＝ 1，故 A( － 3， 1) ，所以 sin α＝ 2.(理 )(2015π的图象，只需将函数y ＝ sin 4x 的图象山·东理， 3) 要获得函数 y ＝ sin 4x －3()πB ．向右平移 πA ．向左平移 12个单位12个单位πD ．向右平移π个单位个单位C ．向左平移 3 3[答案 ] Bπππ[分析 ]因为 y ＝ sin(4x － 3)＝ sin[4( x － 12)] 所以要获得 y ＝ sin[4( x － 12)] 的图象，只需将函数 y ＝ sin 4x 的图象向右平移π个单位．应选 B.12π3．函数 f(x)＝ Asin( ωx＋ φ)(此中 A>0，ω>0，|φ|<2) 的图象如下图， 为了获得g(x)＝ sin3x的图象，则只需将f(x)的图象 ( )πA ．向右平移 4个单位长度πB ．向右平移 12个单位长度πC ．向左平移 4个单位长度πD ．向左平移 12个单位长度[答案]B[分析 ]由题知，函数 f(x)的周期5π π 2π T ＝4(－ )＝，12 4 32π 2π所以 3 ＝ ω，解得 ω＝3，易知 A ＝ 1，所以 f(x)＝ sin(3x ＋ φ)．又 f(x) ＝sin(3x ＋ φ)过点 (5π，－ 1)，12 5π所以 sin(3 × ＋φ)＝－ 1，125π 3所以 3× ＋ φ＝2k π＋2π， k ∈Z ，12ππ所以 φ＝ 2k π＋4， k ∈ Z ，又 |φ|<2，π所以 φ＝ ，4ππ所以 f(x)＝ sin(3x ＋ )＝ sin[3( x ＋12)] ，4所以将函数f(x)的图象向右平移π个单位长度能够获得函数g( x)＝ sin3x 的图象，应选12B.[方法点拨 ]1.已知正弦型 (或余弦型 )函数的图象求其分析式时， 用待定系数法求解． 由图中的最大值或最小值确立A ，再由周期确立 ω，由图象上特别点的坐标来确立φ，只有限定 φ的取值范围，才能得出独一解，不然φ的值不确立，分析式也就不独一．将点的坐标代入分析式时，要注意选择的点属于“五点法 ”中的哪一个点．“第一点 ”(即图象上涨时与 x 轴的交点 )为 ωx＋0 φ＝ 0＋ 2k π(k ∈ Z ) ，其余挨次类推即可．2．解答相关平移伸缩变换的题目时，向左(或右 )平移 m 个单位时，用 x ＋ m(或 x － m)取代 x ，向下 (或上 )平移 n 个单位时，用y ＋ n(或 y － n)取代 y ，横 (或纵 )坐标伸长或缩短到原来的 k 倍，用 x 取代 x(或 y取代 y)，即可获解．kk10，则 tan2α＝ () 4． (文 )已知 α∈ R ， sin α＋ 2cos α＝ 24 3A. 3B.434C ．－ 4D ．－ 3[答案] C[分析 ]此题考察三角函数同角间的基本关系．将 sin α＋ 2cos α＝10两边平方可得，22 2α＝ 5 ， sinα＋ 4sin αcos α＋4cos223∴ 4sin αcos α＋ 3cos α＝2.将左侧分子分母同除以cos 2α得，3＋ 4tanα 3，解得 tanα＝3 或 tanα＝－1，2＝3 1＋ tanα2∴ tan2α＝2tanα32＝－. 1－ tan α4(理 )(2015唐·山市一模 )已知 2sin2α＝ 1＋ cos2α，则 tan2α＝()4 4A．－3 B.3C．－4或0 D.4或 0 33[答案 ]Dsin2α＝4[分析 ]2sin2α＝1＋ cos2αsin2α＝ 05∵sin22α＋ cos22α＝ 1，∴或3cos2α＝－ 1，cos2α＝54∴ tan2α＝ 0 或 tan2α＝ .35． (2015 安·徽理， 10)已知函数f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数 )的最小正周2π)期为π，当 x＝时，函数 f(x)获得最小值，则以下结论正确的选项是(3A． f(2)＜ f(－ 2)＜ f(0)B．f(0)＜f(2) ＜f(－2)C．f(－ 2)＜ f(0)＜ f(2)D． f(2)＜ f(0)＜ f(－ 2)[答案]A[分析 ]考察三角函数的图象与应用及函数值的大小比较．2π 2π解法 1：由题意，f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ>0) ，T＝＝＝π，所以ω＝2，|ω|ω则 f(x)＝ Asin(2x＋φ)，而当x＝2π2π3ππ时， 2×＋φ＝＋ 2kπ， k∈Z，解得φ＝＋ 2kπ， k∈Z，3326ππ ππ所以 f(x)＝ Asin(2x＋ )(A>0) ，则当2x＋＝＋ 2nπ， n∈Z，即 x＝＋ nπ，时， n∈Z， f( x)取6626得最大值．要比较 f(2)，f(－ 2)，f(0)的大小，只需判断 2，－ 2,0与近来的最高点处对称轴的π5π距离大小，距离越大，值越小，易知0,2 与6比较近，－ 2 与－6比较近，所以，当k＝0 时，πππ时， x＝－5π(－5πx＝，此时|0－ |＝ 0.52，|2－ |＝ 1.47，当 k＝－ 1，此时 |－ 2－6)|＝0.6，所6666以 f(2)< f( －2)<f(0)，应选 A.解法 2：∵ f(x) 的最小正周期为2π2π π ππ，且在 x＝时 f(x)取最小值，∴在 x＝－＝时取到3326π 2π最大值 f(－ 2)＝ f(－2＋ π)，∵ f(x)在 [ ， ]上单一递减，∴ f( π－ 2)> f(2)，即 f(－ 2)> f(2)，又 π 63π π ， f(x)图象的一条对称轴方程为π ，即 f(－ 2)< f(0)，－2－> －0x ＝ ，∴ f( π－ 2)< f(0)6 66∴ f(2)< f(－ 2)< f(0) ．π π6． (文 )函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)( A>0， ω>0，|φ|<2)的图象对于直线 对称，它的最小x ＝ 3正周期为 π，则函数 f(x)图象的一个对称中心是 ( )ππA ．( ， 1)B ． (， 0)312 5ππ， 0)D ． (－ ，0)C ．( 12 12[答案 ] B[分析 ]由题意知 T ＝π，∴ ω＝ 2，π π π π 由函数图象对于直线 x ＝ 对称，得2× ＋ φ＝ ＋ k π(k ∈ Z )，即 φ＝－ ＋ k π(k ∈ Z )．3326π π又 |φ|< ，∴ φ＝－ ，26π∴ f(x)＝Asin(2 x －)，6π π令 2x － ＝ k π(k ∈ Z )，则 x ＝ ＋ kπ(k ∈ Z )．6122∴一个对称中心为( π， 0)，应选 B.122(理 )已知函数 f(x)＝ cosxsin x ，以下结论中错误的选项是 ( )B ．f(x)最大值是 1πC ．f(x)的图象对于点 (， 0)对称2D ． f(x)的图象对于直线 x ＝ π对称 [答案 ] B[分析 ]f( － x)＝ cos(－ x)sin 2 (－ x)＝ cosxsin 2x ＝ f(x)，∴ f(x)为偶函数． f(x ＋ 2π)＝cos(x ＋222 32π )sin(x ＋ 2π)＝cosxsin x ，∴ 2π是 f(x)一个周期，故 A 选项正确． f( x)＝cosxsin x ＝－ cos x＋ c osx ，令 t ＝ cosx 则 t ∈ [－ 1,1] ，g(t)＝－ t 3＋ t ， g ′(t)＝－ 3t 2＋ 1令 g ′(t)＝ 0，则 t ＝± 3，易知 f(x)在区间 [ － 1，－3)上单一递减，在 (－ 3， 3 )上单一33 33 递加，在 (3， 1]上单一递减， g( － 1)＝ 0， g( 3 )＝ 2 3，∴ g(t)max ＝2 3≠1，故 B 项错误．3 3 997． (文 )给出以下四个命题：π k π 3π ① f(x)＝sin(2 x － )的对称轴为x ＝2 ＋ ， k ∈ Z ；48 ②函数 f(x)＝ sinx ＋ 3cosx 最大值为2；③函数 f(x)＝ sinxcosx － 1 的周期为 2π；π π π④函数 f(x)＝ sin(x ＋)在 [－， ] 上是增函数．422此中正确命题的个数是 ( )A ． 1B ． 2C ．3D ． 4[答案 ] B[分析 ]π π①由 2x － ＝ k π＋ ， k ∈ Z ，4 2得 x ＝ k π 3π2＋8 (k ∈ Z )，π k π 3π即 f(x) ＝sin(2x － )的对称轴为 x ＝＋， k ∈ Z ，正确；42 8π②由 f(x)＝ sinx ＋ 3cosx ＝2sin( x ＋3)知， 函数的最大值为 2，正确；1③ f(x)＝sinxcosx － 1＝2sin2x － 1，函数的周期为 π，故③错误；ππ④函数 f(x)＝ sin(x ＋)的图象是由 f(x)＝ sinx 的图象向左平移4 个单位获得的， 故④错误．4π π π (理 )若 f( x)＝ 2sin(ωx＋ φ)＋ m ，对随意实数 t 都有 f( ＋ t)＝ f( － t)，且 f()＝－ 3，则实数888m 的值等于 ()A ．－ 1B ． ±5C ．－5或－1D ．5或1[答案 ]Cππ[分析 ] 依题意得，函数 对称，于是x ＝ 时，函数 f(x)获得最f(x) 的图象对于直线 x ＝88值，所以有 ±2＋ m ＝－ 3，∴ m ＝－ 5 或 m ＝－ 1，选 C.8． (文 )在△ ABC 中，若 tanAtanB ＝ tanA ＋ tanB ＋ 1，则 cosC 的值是 ()22 A ．－ 3B. 21 1C.2D ．－ 2[答案 ]B[分析 ]由 tanA ·tanB ＝tanA ＋ tanB ＋ 1，可得 tanA ＋ tanB ＝－ 1，即 tan(A ＋ B)＝－ 1，所1－ tanA ·tanB以 A ＋B ＝3π π 2，应选 B.4，则 C ＝ ， cosC ＝24π π 1＋ sin β(理 )(2014 新·课标Ⅰ理， 8)设 α∈ (0，2) ，β∈ (0， 2)，且 tan α＝ cos β ，则 ()π π A ． 3α－ β＝ 2B ． 3α＋ β＝2ππ C ．2α－β＝ 2 D ． 2α＋ β＝2[答案 ]C[分析 ]此题考察了引诱公式以及三角恒等变换．运用考证法．π π解法 1：当 2α－ β＝2时， β＝2α－2，1＋ πα－2 1－ cos2α 2·sin 2α 所以π ＝ sin2α ＝ sin2α＝ tan α.α－ 2sin α 1＋ sin β 解法 2：∵ tan α＝＝，cos αcos βπ ∴ sin(α－ β)＝cos α＝ sin( － α)，2∵ α、 β∈ππ π π π ππ (0， )，∴ α－ β∈ (－ ， )， － α∈ (0， 2 )，∴ α－β＝ － α，∴ 2 α－ β＝ .2 2 2 2 22 9． (2015 石·家庄市二模 )在平面直角坐标系中，角 α的极点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点πππ＝ ()P sin ，cos，则 sin 2α－128833A. 2B ．－ 21 1C.2D ．－ 2[答案 ] A[分析 ]因为角 α的终边经过点ππ3π 3πP(sin， cos )，即P(cos ， sin)，88883π∴ α＝ 2k π＋ 8 ， k ∈ Z .∴ sin(2α－ π3π π－12)＝ sin(4 k π＋ 4 12)2π3，应选 A.＝ sin ＝2310． (文 )(2015 河·南六市联考 ) 函数 y ＝ cos(ωx＋ φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如下图， A 、 B 分别为最高点与最低点，而且两点间的距离为2 2，则该函数图象的一条对称轴为 ()2πA ． x ＝ πB ． x ＝ 2C ．x ＝ 1D ． x ＝ 2[答案] C[分析 ]∵ y ＝ cos(ωx＋φ)为奇函数，∴其图象过原点，∴ cos φ＝0，π ∵ 0<φ<π，∴ φ＝ ，2πT 2 ＋[1 －( －1)] 2 ＝ (2 2)2， ∴ y ＝ cos(ωx＋ )＝－ sin ωx，设周期为T ，则由条件知 ( )22∴ T ＝4.∴ ω＝2π πT＝ ，2π∴函数为 y ＝－ sin(x)．2π π令 x ＝ k π＋ (k ∈ Z )得 x ＝ 2k ＋ 1，∴ x ＝ 1 为其一条对称轴．22(理 )(2015 陕·西理， 3) 如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似知足函数y ＝π3sin 6x ＋ φ＋ k.据此函数可知，这段时间水深(单位： m)的最大值为 ()A ． 5C ．8B ． 6D ． 10[答案 ]C[分析 ]由图象知，最小值为2，∴－ 3＋k ＝ 2，∴ k ＝ 5，∴最大值为3＋ k ＝ 8.应选 C.二、填空题11． (2015·芦岛市一模葫)已知函数πf( x)＝ cosx ·sin x ＋ 3 －3cos 2x ＋3， x ∈R4则f(x)在π π闭区间 － 4， 4 上的最大值和最小值分别为________．[答案 ]1、－ 142[分析 ]f(x) ＝1sinxcosx＋3c os2x－3cos2x＋3＝1s in2x －3(cos2x ＋ 1) ＋3＝1 2244442sin 2x－π，当 x∈π ππ5π π3－，时， 2x－∈ －，，44366π1∴ sin2x－3∈－1，2 .11∴ f(x)∈ －，.π12． (文 )(2014 陕·西文， 13)设 0<θ<2，向量a＝(sin2θ，cosθ)， b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则 tanθ＝________.[答案 ]1 2[分析 ]此题考察向量垂直、向量坐标运算等．∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ＝0，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0.π又 0<θ<2，∴ cosθ≠0，1∴ 2sinθ＝ cosθ，∴ tanθ＝2.(理 )假如两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出以下四个函数：①f(x)＝sinx＋ cosx；②f(x)＝ 2(sinx＋ cosx)；③ f(x)＝sinx；④f(x)＝ 2sinx＋ 2.此中为“互为生成”函数的是________( 填序号)．[答案 ]①④[分析 ]第一化简题中的四个分析式可得：①f( x)＝π2sin(x＋ 4)，②πf( x)＝ 2sin(x＋ 4)，③f(x)＝ sinx，④ f(x)＝2sinx＋2，可知③ f( x)＝ sinx 的图象要与其余的函数图象重合，纯真经过平移不可以达成，一定经过伸缩变换才能实现，所以③f(x)＝ sinx 不可以与其余函数成为“互为ππ生成”函数，同理① f(x)＝ 2sin(x＋ )的图象与② f(x)＝ 2sin(x＋ )的图象也一定经过伸缩变换44才能重合，而④ f(x)＝ 2sinx＋ 2的图象向左平移π2个单位即可获得个单位，再向下平移4π①f(x)＝2sin(x＋4)的图象，所以①④为“互为生成”函数．三、解答题2ωx13． (文 )(2014 甘·肃三诊 )已知 f(x)＝ 3sin ωx－ 2sin2 (ω>0) 的最小正周期为 3π.π 3π(1)当 x ∈ [ ，4] 时，求函数 f(x)的最小值；2(2)在△ ABC 中，若 f(C)＝ 1，且 2sin2B ＝cosB ＋ cos(A － C)，求 sinA 的值．1－ c ωx[分析 ] ∵ f(x)＝ 3sin( ωx )－ 2·2π＝ 3sin(ωx )＋ cos(ωx )－ 1＝ 2sin(ωx＋ 6)－ 1，由2π22 πω ＝ 3π得 ω＝ ，∴ f(x)＝ 2sin( x ＋)－ 1.336π3π π 2π 2π(1)由 ≤x ≤ 得 ≤≤ ，242 3x ＋ 6 32 π3 时， f(x) min ＝2× 3－ 1. ∴当 sin( x ＋6 )＝2 －1＝3 322 π(2)由 f(C)＝2sin( 3C ＋ 6)－ 1 及 f(C)＝ 1，得sin(2 π C ＋ )＝ 1，3 6而 π 2 π 5π 2 π π π≤ C ＋ ≤ ，所以C ＋ ＝ ，解得 C ＝ .6 36 6 3 6 2 2π 在 Rt △ABC 中，∵ A ＋ B ＝ 2， 2sin 2 B ＝ cosB ＋cos(A － C)， ∴ 2cos 2A －sinA － sinA ＝ 0，－1± 5∴ sin 2A ＋ sinA － 1＝ 0，解得 sinA ＝ .2∵ 0<sinA<1，∴ sinA ＝5－1.221(理 )已知函数 f(x)＝ (2cos x － 1)sin2x ＋ 2cos 4x. (1)求 f(x)的最小正周期及最大值；π2，求 α的值．(2)若 α∈ ， π，且 f(α)＝22[分析 ](1)因为21f(x)＝(2cos x －1)sin2 x ＋ 2cos4x＝ cos2xsin2x ＋ 1cos4x21＝ 2(sin4x ＋ cos4x)2π＝ 2 sin(4x ＋4)所以 f(x)的最小正周期为π2，最大值为2.2(2)因为 f(α)＝ 2 ，所以 sin(4 π2 α＋ )＝ 1.4π因为 α∈ ( ，π)，2π9π 17π所以 4α＋4∈ ( 4 ，4 )，π 5π9π所以 4α＋ ＝，故 α＝4216.5π5π 25π14．已知函数 f(x)＝ 2sin( x ＋ 24)cos(x ＋ 24)－2cos (x ＋24)＋ 1. (1)求 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)的单一递加区间．5π5π 25π[分析 ] (1)∵ f(x)＝ 2sin(x ＋ 24)cos(x ＋ 24)－ 2cos (x ＋ 24)＋ 1＝ sin(2x ＋5π5π 12)－ cos(2x ＋ 12)＝ 2[sin(2 x ＋5π π 5π π) ·cos － cos(2x ＋12 ) ·sin ]12445π π＝2sin[(2 x ＋ 12)－4]π＝ 2sin(2x ＋6)．2π ∴ f(x)的最小正周期T ＝＝ π.2π(2)由 (1) 可知 f( x)＝ 2sin(2x ＋ 6)．ππ π当－ ＋ 2k π≤2x ＋≤ ＋ 2k π(k ∈ Z )，26 2 π π即 k π－ ≤x ≤k π＋ (k ∈ Z )时，36函数 f(x)＝π2sin(2 x ＋)是增函数，3∴函数 f(x)的单一递加区间是π π[k π－ ， k π＋ ]( k ∈ Z )．36[方法点拨 ]1.解答三角函数性质 ( 单一性、周期性、最值等 )问题时，往常是利用三角函数的相关公式，经过将三角函数化为只含一个函数名称且角度独一，最高次数为一次 (一角一函 )的形式，再依正 ( 余)弦型函数挨次对所求问题作出解答．2．求三角函数的最值的方法：(1)化为正弦 (余弦 ) 型函数y ＝ asin ωx＋ bcos ωx 型引入协助角化为一角一函．(2)化为对于 sinx(或 cosx)的二次函数．15．设函数 f(x)＝2cos 2 x ＋2 3sinxcosx ＋m(x ∈ R ) ．(1)化简函数 f(x)的表达式，并求函数f( x)的最小正周期；πm ，使函数 f(x)的值域恰为 [ 1，7]？若存在，恳求出 m 的(2)若 x ∈ [0，]，能否存在实数22 2值；若不存在，请说明原因．[ 分析 ] (1) ∵ f(x)＝ 2cos 2x ＋ 2π3sinxcosx ＋ m ＝ 1＋ cos2x ＋ 3sin2x ＋ m ＝ 2sin(2x ＋ 6)＋ m＋1，∴函数 f(x)的最小正周期T ＝ π.(2)假定存在实数 m ，切合题意．πππ 7π∵ x ∈ [0，2]，∴ 6≤2x ＋6≤6 ，π1 则 sin(2x ＋ 6)∈ [－ 2， 1]，π∴ f(x)＝2sin(2 x ＋ 6)＋m ＋ 1∈[m,3＋m]．1 ， 71又∵ f(x)的值域为 [2 ]，解得 m ＝ .22∴存在实数 m ＝ 1，使函数 f(x) 的值域恰为 [ 1，7]．22 2[方法点拨 ] 1.求值题一般先将三角函数式化简，再求值．2．议论三角函数的性质 (求单一区间、求最值、求周期等)的题目，一般先运用三角公式化简函数表达式，再依照正弦型或余弦型函数的性质进行议论．3．三角变换的基本策略：(1)1 的变换； (2) 切化弦； (3)起落次； (4)引入协助角； (5) 角的变换与项的分拆．16． (文 )(2015 广·东文， 16)已知 tan α＝ 2.(1)求 tan α＋π的值；42 sin 2α的值．(2)求 sin α＋ sin αcos α－ cos 2α－ 1[剖析 ] 考察： 1.两角和的正切公式； 2.特别角的三角函数值； 3.二倍角的正、 余弦公式；4.同角三角函数的基本关系．π(1)由两角和的正切公式睁开，代入数值， 即可得 tan α＋ 4 的值； (2) 先利用二倍角的正、余弦公式变形，而后化切求解．π[分析 ](1) tan α＋π＝ tan α＋ tan 44π1－ tan αtan 4＝tan α＋ 1＝ 2＋1＝－ 3，1－ tan α 1－2sin 2α(2)sin 2α＋ sin αcos α－ cos 2α－1＝ 2 sin αcos α22sin α＋ sin αcos α－α－－ 1＝ 2sin αcos αsin 2α＋ sin αcos α－2cos 2α＝ 2tan αtan 2α＋tan α－ 2＝ 2×222 ＋2－2 ＝ 1.x x2x.(理 )(2015 福·建文， 21)已知函数 f(x)＝ 10 3sin cos2 ＋ 10cos22(1)求函数 f(x)的最小正周期；π(2)将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后获得函数g(x)的图象，且函数 g(x)的最大值为 2.(ⅰ )求函数 g(x)的分析式；(ⅱ )证明：存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 g( x 0)>0.[分析 ]x x ＋ 10cos 2x (1)因为 f(x)＝10 3sin cos222 ＝ 5 3sin x ＋ 5cos x ＋ 5π＝ 10sin x ＋6 ＋ 5.所以函数 f(x)的最小正周期 T ＝ 2π.π (2)(i) 将 f(x)的图象向右平移个单位长度后获得 y ＝ 10sin x ＋ 5 的图象，再向下平移 a(a>0)6个单位长度后获得g(x)＝ 10sin x ＋ 5－ a 的图象．又已知函数 g(x)的最大值为 2，所以 10＋5－ a ＝ 2，解得 a ＝ 13.所以 g(x)＝ 10sin x － 8.(ii) 要证明存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 g(x 0)>0 ，就是要证明存在无量多个4互不同样的正整数x 0，使得 10sin x 0－ 8>0 ，即 sin x 0>5.由430<απα＝4 5<知，存在，使得 sin5.20<30由正弦函数的性质可知，当x∈ (α，π－α400)时，均有sin x>5.因为 y＝sin x 的周期为2π，所以当 x∈ (2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z )时，均有因为对随意的整数k， (2kπ＋π－απ0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0>3>1，4 sin x>5.所以对随意的正整数 k，都存在正整数4 x k∈ (2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，使得 sin x k> .5即，存在无量多个互不同样的正整数x0，使得 g(x0)>0.。