2019年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
2019年全国高中数学联赛一试A卷(word版)
--
， 2019 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分.
1. 已知正实数 满足 ，则 的值为 .
2. 若实数集 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则 的值为 .
3. 平面直角坐标系中， 是单位向量，向量 满足 ，且 对任意
实数 成立，则 的取值范围是 .
4. 设 为椭圆 的长轴顶点， 为 的两个焦点， ，
为 上一点，满足 ，则 的面积为 .
5. 在 中随机选出一个数 ，在 中随机选出一个数
，则 被 整除的概率为 .
6. 对任意闭区间 ，用 表示函数 在 上的最大值. 若正数 满足
， 则 的 值为 .
7. 如图，正方体 的一个截面经过顶点
及棱 上一点 ，且将正方体分成体积比为 的两部分，
则 的值为 .
8. 将 个数 按任意次序排成一行，拼成一个 位数（首位不为 ），则产生的不同的 位数的个数为 .
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9. 在 中， ， ， .若 是 与 的等比中项，且 是
与 的等差中项，求 的值.
10. 在平面直角坐标系 中，圆 与抛物线 恰有一个公共点，且圆 与 轴相切于 的焦点 .求圆 的半径. --
11. 称一个复数数列 为“ 有趣的” ，
若
，
且对任意正整数
，均有
.求最大的常数 ，使得对一切有趣的数列 及任意正
整数 ，均有
2019年第10届陈省身杯全国高中数学奥林匹克试题及答案
2019年陈省身高中数学夏令营
2019陈省身高中数学夏令营测试评析
乙一
本文所有题II和答案出自Q群网友的回忆和他们与我的讨论.
题1.在等腰 MBC中.AB = AC. ^ABC内切惋I为©7. bBIC外按関为0O. D为优弧BC上的•点.E为也上的-•点.
证明：若过E所做的HI）平行线可「3相切.那么过E所做的CD rn线 也可于0/ +HW.
答案1・显然由1.BCD人:恻我们冇EBDI = 180 - IBID - JBD = 180。-
£BID-"BJCBD= 180 -z5/D-z//?C-zC/D = z/Ca M理 zCD/ = "BC. ill f- AB = AC 我们易得到 LBDI = dCB = dBC = zCD/.即 DI 是 1BDC 的角平分线. A
在E点做Ol的两条切线EF. EG.山題II知.EF // BD. iGEl = LFEI = LtiDl = ZCW.则 EG // CD.
评析1.这个题11应该参加夏令营的所冇人都做出來了吧?似乎没什么特别 好评论的.
题2.〃是•个大f 1的iE幣数.例・他・・..・心为n个两两互异的正整数.记 M
= 3・©)皿©] I !
答案2.对任何仃限iF•整数集A.我们=伽・©).[%如| a,丰a, G川.即 题II中的M是弧的简写.
固定•个大F I的正整数a,取①=川.则M =⑷ ......... ©}•此时M的
兀索个数为n.下证M的元素卜数不可能小「〃•
若“ =2.若|M| < 2,那么\M\只能=1.也就是说(«|.«2)=⑷・“2】・即 fl| = “2, Li
""2不相等矛氏若/! = 2.…・R - 1时都成立,在〃 =A•时，考股任总al（i2…心中的素因 数
p.令 s = nuxhsS）｝,并且定义 S =沏 I vP（at） = y|. F = M\S, f*是可以 分两种情况: ［；了， .〕「
2019年重庆市学考选考浙江省高中数学竞赛预赛试题与解答
- 1 - 2019年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛
暨全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案
一、填空题(每小题8分，共64分)
1.设A为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合{|,,}BxyxyAxy，若222{log6,log10,log15}B，则集合A________.
答案：22{1,log3,log5}
提示：设222{log,log,log}Aabc，其中0.abc
则6,10,15.abbcad解得2,3,5abc，从而22{1,log3,log5}A。
2.函数 的最小值为 ，最大值为 ，则
________.
答案：
提示：设 ,则 且 ，∴ .
，令
， .
令 得 ， ， ，
∴ ， ，∴
.
3. ________.
答案：
提示：
.
4.已知向量 ， ， 满足 ，且 ，若 为 ， 的夹角，则 ________.
答案：
提示：∵ ∴
∴
∵ ∴
- 2 - 又∵ ∴ ∴
.
5.已知复数 ， ， 使得
为纯虚数， ， ，则 的最小值是________.
2019年高考全国Ⅰ卷文科数学真题(含答案)
1 绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz，则z=
A．2 B．3 C．2 D．1
2．已知集合1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UAB，，，则
A．1,6 B．1,7 C．6,7 D．1,6,7
3．已知0.20.32log0.2,2,0.2abc，则
A． B． C． D．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（512≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 abcacbcabbca
2
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
5．函数f(x)=2sincosxxxx在[-π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
7．tan255°=
2019年全国II卷文科数学高考真题及参考答案.docx
1 【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合={|1}Axx，{|2}Bxx，则A∩B=
A．(-1，+∞) B．(-∞，2)
C．(-1，2) D．
2．设z=i(2+i)，则z=
A．1+2i B．-1+2i
C．1-2i D．-1-2i
3．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=
A．2 B．2
C．52 D．50
4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A．23 B．35
C．25 D．15 2 5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e1x，则当x<0时，f(x)=
A．e1x B．e1x
2019年全国高中数学联赛A卷
2019年全国高中数学联赛A卷
一试部分
一、填空题（本大题共8小题，每题8分，共64分）
1.已知正实数a满足8(9)aaaa,则log(3)
aa的值为
2.若实数集合{1,2,3,x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为
3.平面直角坐标系中,e
是单位向量,向量a
满足2ae
,且2||5||aate
对任意实数t成立,则||a的取值范围是
4.设A,B为椭圆Γ的长轴顶点,E,F为Γ的两个焦点,|AB|=4,|AF|=23,P为Γ上一点,满足|PE|·|PF|=2,则△PEF的面积为
5.在1,2,3,……,10中随机选出一个数a,在-1,-2,-3,……,-10中随机选出一个数b,则2ab被3整除的概率为
6.对任意闭区间I,用MI表示函数y=sinx在I上的最大值,若正数a满足M
[0,a]=2M
[a,2a],则a的值为
7.如图,正方体ABCD-EFGH的一个截面经过点A,C及棱EF上一点K,且将正方体分成体积比为3:1的两部分,则EK
FK的值为
8.将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0),则产生的不同的8位数的个数为
二解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
9(本题分16分)在△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,若b是a与c的等比中项,且sinA是sin(B-A)与sinC的等差中项,求cosB
的值
10.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy中，圆Ω与抛物线Γ:y2=4x恰有一个公共点，且圆Ω与x轴相切于Γ的焦
点F，求圆Ω的半径
11（本题满分20分）称一个复数数列{zn}为“有趣的”,若|z
1|=1且对任意正整数n,均有22
11420
nnnnzzzz
,求最大
的常数C，使得对一切有趣的数列{zn}及任意正整数m,均有123||
mzzzzC
2019年全国高中数学联赛A卷
2019年全国高中数学联赛浙江省预赛及解析
2019年全国高中数学联赛浙江省预赛
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人 得分
一、填空题
1.如图所示，将长度为1的线段分为x、y两段，再将长度为x的线段弯成半圆周ACB，将长度为y的线段折成矩形ABDE的三条边(BD、DE、EA)，构成闭“曲边形”ACBDEA，则该曲边形面积的最大值为____________.
2.已知集合A={k+1，k+2，…，k+n}，k、n为正整数，若集合A中所有元素之和为2019，则当n取最大值时，集合A=________.
3.设(0,)2，则2sincos(sin1)(cos1)的最大值为_____
4.设三条不同的直线：1:23(1)0laxbyab，2:2(1)30lbxabya，3:(1)230labxayb，则它们相交于一点的充分必要条件为____________.
5.如图，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC=2.在AC边上取一点D(不含A、C)，将△ABD沿线段BD折起，得到△PBD.当平面PBD垂直平面ABC时，则P到平面ABC距离的最大值为____________.
6.如图，在ABC中，,,DEF分别为,,BCCAAB上的点，且35CDBC，12ECAC，13AFAB.设P为四边形AEDF内一点（P点不在边界上），若13DPDCDE，则实数的取值范围为______
7.设10101009()10091010xfxx，定义(1)()()fxfx，1,2,3,iifxffxi，则nfx____________.
8.设12,zz为复数，且满足1125,2zziz(其中i为虚数单位)，则12zz取值为____________.
2019年全国高中数学联赛试题及答案
说明：
1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．
2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分40分）如图，在锐角ABCD中，M是BC边的中点．点P在
ABCD内，使得AP平分BAC．直线MP与,ABPACPDD的外接圆分别相交于
不同于点P的两点,DE．证明：若DEMP=，则2BCBP=．
证明：延长PM到点F，使得MFME=．连接,,BFBDCE．
由条件可知BDPBAPCAPCEPCEM=
===． ………………10分
因为BMCM=且EMFM=，所以BFCE=且//BFCE．
于是FCEMBDP==，进而BDBF=． ………………20分
又DEMP=，故DPEMFM==．
于是在等腰BDFD中，由对称性得BPBM=．从而22BCBMBP==．
………………40分
二、（本题满分40分）设整数
122019,,,aaa满足
122019199aaa=£££=．
记222
12201913243520172019()()faaaaaaaaaaa=+++-++++．
求f的最小值
0f．并确定使
0ff=成立的数组
122019(,,,)aaa的个数．
解：由条件知
201722222
12201820192
12()
ii
ifaaaaaa
+
==++++-å． ①
由于
12,aa及
2(1,2,,2016)
iiaai
+-=均为非负整数，故有22
1122,aaaa³³，
且2
22()(1,2,,2016)
iiiiaaaai
++-³-=．于是
20162016222
12212220172018
11()()
iiii
iiaaaaaaaaaa
++
==++-³++-=+åå． ②
………………10分 FED
MBCA
P参考答案及评分标准 2019年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）由①、②得
2019年全国高中数学联赛试题及答案 2
2019年全国高中数学联赛试题及答案
2019年全国高中数学联赛
一、填空题（每小题8分，共64分，）
1. 函数xxxf3245)(的值域是 .
2. 双曲线122yx的右半支与直线100x围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .
3. 已知}{na是公差不为0的等差数列，}{nb是等比数列，其中3522113,,1,3bababa，且存有常数,使得对每一个正整数n都有nnbalog，则 .
4. 函数)1,0(23)(2aaaaxfxx 在区间]1,1[x上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .
5. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
6. 正三棱柱111CBAABC的9条棱长都相等，P是1CC的中点，二面角11BPAB,则sin .
7. 方程2010zyx满足zyx的正整数解（x,y,z）的个数是 .
二、解答题（本题满分56分）
9. （16分）已知函数)0()(23adcxbxaxxf，当10x时，1)(xf，试求a的最大值.
10.（20分）已知抛物线xy62上的两个动点1122(,)(,)AxyBxy和，其中21xx且421xx.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求ABC面积的最大值.
11.（20分）证明：方程02523xx恰有一个实数根r，且存有唯一的严格递增正整数数列}{na，使得 32152aaarrr.
解 答
2019年全国高中数学联赛试题及答案
1. ]3,3[ 提示：易知)(xf的定义域是8,5，且)(xf在8,5上是增函数，从而可知)(xf的值域为]3,3[.
2019年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题Word版含答案
2019年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题
一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）
1.若数列na满足Nnaaaannn,232,2111，则2017a的值为 ．
2.若函数baxxxxf221对于任意Rx都满足xfxf4，则xf的最小值是 ．
3.在正三棱柱111CBAABC中，ED,分别是侧棱11,CCBB上的点，BDBCEC2，则截面ADE与底面ABC所成的二面角的大小是 ．
4.若13cos2coscos3sin2sinsinxxxxxx，则x ．
5. 设yx,是实数，则9422244yxyx的最大值是 ．
6. 设,3,2,1,,,2121maaaSNnnammn,则201721,,,SSS中能被2整除但不能被4整除的数的个数是 ．
7. 在直角平面坐标系xOy中，21,FF分别是双曲线01222bbyx的左、右焦点，过点1F作圆122yx的切线，与双曲线左、右两支分别交于点BA,，若ABBF2，则b的值是 ．
8. 从正1680边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形，其中正多边形的个数为 ．
二、解答题 9.已知Ryx,，且yxyx,222，求2211yxyx的最小值.
10.在平面直角坐标系xOy中，椭圆13:22yxC的上顶点为A，不经过点A的直线l与椭圆C交于QP,两点，且.0AQAP
（1）直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
（2）过QP,两点分别作椭圆的切线，两条切线交于点B，求BPQ面积的取值范围.
11.设函数.!1!2112nnxnxxxf