敦煌莫高窟数学建模论文 校竞赛一等奖

游客的环境容量为：
C2 A / a D
则合理载客量为：
max C w1C1 w2C2 , (w1 w2 1)
约束条件： 由 CO2 浓度公式得：
Q
103VmC1 VP0t V00
V0 VP 0 t i
1500
，
其中： 0
1.293 1.293 i ， 和保护
摘要 敦煌莫高窟是我国众多世界文化遗产地之一，是敦煌学研究的主要载体， 是 我国西北地区旅游的重要一站。 世界文化遗产地莫高窟的保护和利用一直受到高 度重视。 针对问题一： 本文运用旅游环境容量研究的相关理论，结合敦煌莫高窟旅游 环境的实际情况， 对旅游环境容量的部分量测值进行了初步分析，并就洞窟环境 条件下游客个人空间标准、 洞窟极限容量值作了初步探讨，并认为洞窟在物理环 境下的生态容量是决定莫高窟旅游环境容量的先决条件。 我们可建立空间交换模 型，依次考虑洞窟尺寸、温度、湿度、 CO2 浓度等因素对安全环境容量和游客空 间容量的影响而且赋予权重，并用 Lingo 软件求出单位时间内的合理游客承载 量。 针对问题二： 本文在莫高窟选择不同层位、 洞窟形制， 主室大小、 有无甬道、 甬道大小、有无游客参观等条件下的典型洞窟，使用六氟化硫（ SF6 ）进行洞窟 内外空气交换速率的实验计算， 旨在微莫高窟的保护与管理提供理论依据。我们 可利用多元非线性回归方程法建模，将各因素融入回归方程，通过 Matlab 求相 关系数找出各因素与洞窟内外空气交换率的关系为指数关系，最后通过 Matlab 进行假设检验，从而确定建模的合理性。 针对问题三； 我们利用建立的模型生成的理想旅游路线与现有的旅游路线对 比，分析优缺点，找出理想模型实施难点。
（2）游客流量密度分析: a.游客流量的动态趋势是按时段呈由低到高的一个曲线值， 高峰时段一般在 10-12 时，表现为波峰状，之后则过渡为较平稳的值域; b.批次是指有组织地将游客按组分批在窟内参观讲解， 批次人数取时段内总 人数的平均值。 每批次人数按总人数的变化而变化，但批次密度在各时段内变化 不很大; c.每批次游客在洞窟内的参观时问则随批次密度的增加而减少; （3）游客参观分析： a.了解游客的数量、背景、行为和参观模式； b.确定参观团队的最大人数和每个洞窟的实际容量或占用率； c.确定开放洞窟内二氧化碳的安全浓度和温度； d.评估分析现有的游客管理方法和对策。 （4）壁画病害分析： 以往研究证明，莫高窟许多洞窟内壁画病害并不稳定，含盐的壁画随着相对 湿度的反复变化而发生退化现象。通过实验分析调查，确定壁画所含可溶盐为氯 化钠和硫酸钠，引起盐分潮解的相对湿度的临界值为 62%。 （5）洞窟环境分析： a.进行窟外环境与开放洞窟窟内微环境的监测； b.模拟洞窟的环境状况； c.测量洞窟的空气交换率。 调查结果表明洞窟湿气主要来源于窟外潮湿空气，特别是下雨时的湿气（我 们研究时忽略天气的影响） ；模拟实验证明参观时间对二氧化碳浓度上升有很大 影响，规定浓度不超过 1500ppm.
3、问题分析
对于问题一，我们可选择空间交换模型，通过对洞窟空间容量的测量，游客 流量密度的统计， 人均空间密度的分析来解决游客的合理空间容量。然后再通过 模拟分析洞窟环境和壁画病害原因，检测 CO2 浓度 、湿度（RH）和温度计算安 全环境容量，利用 Lingo 编程求单位时间的环境承载量。 对于问题二，我们利用六氟化硫（ SF6 ）元素追踪法探究在各因素条件下洞 窟内外的空气交换率，分别对各变量进行统计列表，然后利用多元非线性回归方 程求解各影响因素与空气变化率的关系，建立模型，用 Matlab 编程求解，最后 检验模型的合理性。 对于问题三，我们首先调查现有旅游路线，并根据现有路线考虑其优缺点， 再就模型建立的理想实时生成旅客分组游览计划设计游览路线， 对比现有旅游路 线，分析其优缺点，并指出模型建立的理想路线实施的难点。
由湿度公式得：
RH
6.4 模型求解
180 PV 1 0 0 62 C2 rTi
由 CO2 浓度公式反解出 C 1 的范围为：
1.5 106 V0 VP 0 t 103 V p y0t V0 y0 i C1 ， Vm
0 1 TI 301 1 其中： i 1 T0 299
7.4 模型求解： 我们通过上文表格中各因素与空气交换率的数据关系， 利用多元非线性回归 方程如下：
yj e
0 1 x1 2 x 2 3 x 3
j
,
j (1, 2, 3, 4)
问题的关键：对此式左右进行同取对数的得到以下式子：
ln y j 0 1x1 2 x2 3x3 j
6.3 模型建立： 通过以上分析，游客进入洞穴呼吸产生的 CO2 浓度 、湿度（RH）、温度等 都会对洞穴壁画产生影响，另外洞内环境对自身也会产生影响。 为此，控制游客数量、每个洞穴参观时间，确保游客健康、安全和舒适的空 间大小， 可接收的二氧化碳浓度上限，以及对特殊洞窟的管理办法对保护莫高窟 壁画、和旅游效益至关重要。 由此我们可以建立空气交换模型，考虑洞窟尺寸，湿度，温度， CO2 浓度对 洞窟承载量的影响。（规定洞窟二氧化碳的浓度不超过 0.0015%，空气湿度不超 过 62% ）。现统计一年中各月份平均客流量数据如下图：
2、问题重述
本文研究近年来敦煌莫高窟游客逐年增长，导致温度、湿度、CO2 浓度对壁 画和彩塑的影响，实现对莫高窟文物的保护。 对于问题一， 要求我们根据洞窟尺寸，环境变化等因素分析洞窟安全环境容 量和游客空间容量，确定单位时间游客承载量； 对于问题二，要求我们建立模型研究洞窟层位，形制，注释大小，有无甬道 及大小，有无游客等因素对空气交换律的影响； 对于问题三，要求我们比较理想的游客路线与现有的游客路线的优缺点， 并 指出生成理想旅游路线的难点。
4、模型假设
1、假设每个人呼出的二氧化碳量是相同的，不受个体差异的影响； 2、假设空气交换不受天气的影响； 3、假设壁画的病害不考虑人为因素；
5、符号说明
xi ：游览空间总面积 yi ：平均每位游客占用面积
C ：日环境承载量
A：可游览面积 a: 每位游客应占有的合理面积 D: 景点开放总时间/游完景点总的所需时间
图 2 莫高窟第 148 窟平剖面图
7.3 模型建立： 空气交换速率选择敦煌莫高窟 15 个典型洞窟用气体 SF6 进行洞窟内外空气 交换速率的实验测定。莫高窟石窟分为上中下三层，洞窟形制以覆斗形为主， 还 有拱形，人形披等。按照其洞窟层次、形制、大小、选择 15 个典型洞窟为实验 洞窟，经查阅资料得： 表 1 第一层空气交换速率影响速率统计 洞 窟 体 空气交换速率 主室高度 积 Y（有游 Y（无游 X1 X2 客） 客） 30 15 174.7 0.2 11 10 211.3 0.1 10.5 6.5 111.8 1.9 14 6 110.8 1.1 35 7 160 3.6 表 2 第二层空气交换速率影响速率统计 空气交换速率 洞窟体积 主室高度 Y（ 有游 客 Y （ 无 游 客 X1 X2 min） min） 35 15 102.8 6.2 17 14 241.9 4.3 5.5 4.5 93.5 5.6 8.5 16 95.3 6.3 15 12 200 4 表 3 第三层空气交换速率影响速率统计 空气交换速率 洞窟体积 主室高度 Y（ 有游 客 Y （ 无 游 客 X1 X2 min） min） 8.5 8 169.8 9.0 10 7.5 344.2 12.2 30 8.5 737.3 12.0 20 9 535.1 13.0 15 8.3 436 8.7
关键词：敦煌莫高窟，空气交换速率，非线性回归分析法，Lingo 和 Matlab
1、背景分析
石窟文物遗址是中国古代文物中的一朵奇葩，它是印度的一种佛教建筑形 式，在佛教发展中起到非常重要的作用。在中国，分布广泛，最为人们知晓的中 国四大石窟，包括:敦煌莫高窟、云冈石窟、龙门石窟、麦积山石窟。石窟文物 遗址由于其地理位置，建筑结构等的独有特点，保护工作也具有其独有的特色。 敦煌莫高窟，经历了几千年的自然侵蚀后，窟内的壁画、塑像都保存相对完好。 如今，有了很好的旅游发展，也为敦煌带来了繁荣景象。但是，敦煌石窟内的文 物保护工作也受到了前所未有的威胁和挑战。当大量的游客进洞参观时，人代谢 产生了大量的 CO2 和水汽，并且洞窟的结构特征导致了其与外界气体交换非常 小，使得洞窟长期处于高 CO2 浓度和湿度环境中，这是引起洞内壁画褪色、发生 甲龟裂甚至剥落的主要原因之一。此外，游客在高 CO2 浓度空间中会感觉不适， 甚至会出现缺氧晕厥的现象。 基于文物保护和游览品质两方面的考虑，我们需要 采取种种措施来实施最佳旅游模式。
6.1 总体思路： 想要确定单位时间内洞窟的合理游客承载量，我们需要考虑多方面问题， 现 将问题一分解为两个步骤： 首先我们根据洞窟的尺寸分析游客空间容量，再根据 环境变化分析洞窟的安全环境容量。 6.2 问题分析 （1）洞窟空间容量分析: a.洞窟内具有一定的空间容量，即可容纳游客的空间位置; b.洞窟内适合观赏的最佳或有效位置的空间容量小于洞窟实有空间容量;
变 序 号 量
甬道大小 X3 13.8 8.7 8.1 9.2 15
1 2 3 4 5
变 序 号 量
甬道大小 X3 28.8 23.4 5.5 10.9 19.6
6 7 8 9 10
变 序 号 量
甬道大小 X3 12.1 9 13 16.0 11
11 12 13 14 15
通过以上调查资料建立模型，用多元非线性回归方法求模型解。
max C w1C1 w2C2
得结果：
m ax C 3266
6.5 结果分析： 我们通过对模型的建立、分析与求解得出了洞窟尺寸、湿度，温度， CO2 浓 度对安全环境容量和游客空间容量的影响， 并求得安全环境容量和游客空间容量 的极限值。通过权重比例关系最终求得单位时间内的合理游客承载量为 3266。