2020年上海市中考数学试卷(详细解析版)
第1页，共14页 2020年上海市中考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共6小题，共24.0分） 1. 下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是( ) A. √6 B. √9 C. √12 D. √18
2. 用换元法解方程𝑥+1𝑥2+𝑥2𝑥+1=2时，若设𝑥+1𝑥2=𝑦，则原方程可化为关于y的方程是( ) A. 𝑦
2−2𝑦+1=0 B. 𝑦2+2𝑦+1=0 C. 𝑦2+𝑦+2=0 D. 𝑦2+𝑦−2=0
3. 我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( ) A. 条形图 B. 扇形图
C. 折线图 D. 频数分布直方图
4. 已知反比例函数的图象经过点(2,−4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A. 𝑦=
2𝑥 B. 𝑦=−2𝑥 C. 𝑦=8𝑥 D. 𝑦=−8
𝑥
5. 下列命题中，真命题是( ) A. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D. 对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
6. 如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( ) A. 平行四边形 B. 等腰梯形 C. 正六边形 D. 圆
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分） 7. 计算：2𝑎⋅3𝑎𝑏=______．
8. 已知𝑓(𝑥)=2𝑥−1，那么𝑓(3)的值是______．
9. 已知正比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘是常数，𝑘≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而______.(填“增大”或“减小”) 10. 如果关于x的方程𝑥2−4𝑥+𝑚=0有两个相等的实数根，那么m的值是______． 11. 如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是______． 12. 如果将抛物线𝑦=𝑥2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是______．
13. 为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为______． 14. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得𝐴𝐵=1.6米，𝐵𝐷=1米，𝐵𝐸=0.2米，那么井深AC为______米． 第2页，共14页
15. 如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎⃗ ，𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑏
⃗
，
那么向量𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量𝑎⃗ 、𝑏⃗ 表示为______．
16. 小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程𝑠(米)与时间𝑡(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行______米．
17. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=7，∠𝐵=60°，点D在边BC上，𝐶𝐷=3，联结𝐴𝐷.如果将△𝐴𝐶𝐷沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为______． 18. 在矩形ABCD中，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是______． 三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19. 计算：2713+1√5+2−(12)−2+|3−√5|.
四、解答题（本大题共6小题，共68.0分） 20. 解不等式组：{10𝑥>7𝑥+6,𝑥−1<𝑥+73.
21. 如图，在直角梯形ABCD中，𝐴𝐵//𝐷𝐶，∠𝐷𝐴𝐵=90°，𝐴𝐵=8，𝐶𝐷=5，𝐵𝐶=3√5．
(1)求梯形ABCD的面积；
(2)联结BD，求∠𝐷𝐵𝐶的正切值． 第3页，共14页
22. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． (1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，
“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
23. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，𝐵𝐸=𝐷𝐹，CE的延长线交DA的延长线于点
G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
(1)求证：△𝐵𝐸𝐶∽△𝐵𝐶𝐻；
(2)如果𝐵𝐸2=𝐴𝐵⋅𝐴𝐸，求证：𝐴𝐺=𝐷𝐹．
24. 在平面直角坐标系xOy中，直线𝑦=−12𝑥+5与x轴、y轴分别交于点A、𝐵(如图).抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥(𝑎≠0)经过点A．
(1)求线段AB的长；
(2)如果抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥经过线段AB上的另一点C，且𝐵𝐶=√5，求这条抛物
线的表达式； (3)如果抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥的顶点D位于△𝐴𝑂𝐵内，求a的取值范围． 第4页，共14页
25. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，BO的延长交边AC于点D． (1)求证：∠𝐵𝐴𝐶=2∠𝐴𝐵𝐷；
(2)当△𝐵𝐶𝐷是等腰三角形时，求∠𝐵𝐶𝐷的大小；
(3)当𝐴𝐷=2，𝐶𝐷=3时，求边BC的长． 第5页，共14页 答案和解析 1.【答案】C
【解析】解：A．√6与√
3
的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B.√9=3，与√3
不是同类二次根式；
C.√12=2√3，与√3
被开方数相同，故是同类二次根式；
D.√18=3√2，与√3
被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C． 根据同类二次根式的定义，先化简，再判断． 此题主要考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 2.【答案】A
【解析】解：把𝑥+1𝑥2=𝑦代入原方程得：𝑦+1𝑦=2，转化为整式方程为𝑦2−2𝑦+1=0．
故选：A． 方程的两个分式具备倒数关系，设𝑥+1𝑥2=𝑦，则原方程化为𝑦+1𝑦=2，再转化为整式方程𝑦2−2𝑦+1=0即可求解．
考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 3.【答案】B
【解析】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图， 故选：B． 根据统计图的特点判定即可． 本题考查了统计图，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键． 4.【答案】D
【解析】解：设反比例函数解析式为𝑦=𝑘𝑥， 将(2,−4)代入，得：−4=𝑘2， 解得𝑘=−8， 所以这个反比例函数解析式为𝑦=−8𝑥， 故选：D． 已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式𝑦=𝑘𝑥，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案． 本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式𝑦=𝑘𝑥(𝑘为常数，𝑘≠0)；
(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)带入解析式，得到待定系数的方程；
(3)解方程，求出待定系数；
(4)写出解析式． 第6页，共14页
5.【答案】C
【解析】解：A、对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故错误； B、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误；
C、正确；
D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；
故选：C． 利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不大． 6.【答案】A
【解析】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．
∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，
∴平行四边形ABCD是平移重合图形，
故选：A． 证明平行四边形是平移重合图形即可． 本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7.【答案】6𝑎
2𝑏
【解析】解：2𝑎⋅3𝑎𝑏=6𝑎2𝑏.
故答案为：6𝑎2𝑏.
根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8.【答案】1
【解析】解：∵𝑓(𝑥)=2𝑥−1， ∴𝑓(3)=23−1=1，
故答案为：1． 根据𝑓(𝑥)=2𝑥−1，可以求得𝑓(3)的值，本题得以解决． 本题考查函数值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答． 9.【答案】减小
【解析】解：函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小， 故答案为：减小． 根据正比例函数的性质进行解答即可． 此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)的图象是一条经过原点的直线，当𝑘>0时，该直线经过第一、三象限，且
y
的值随x的值增大而增大；当𝑘<0时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增
上海市黄浦区2020年初三中考数学二模试卷(解析版)
2020年上海市黄浦区中考数学二模试卷答案解析版一、选择题（本题共6题）1.下列正整数中，属于素数的是（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】根据素数的定义，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数，进而得出答案．【详解】解：各选项中，只有2除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，故属于素数的是2．故选：A．【点睛】本题考查了素数的定义，熟练掌握素数的定义是解答本题的关键．2.下列方程没有实数根的是（）A. x2＝0B. x2+x＝0C. x2+x+1＝0D. x2+x﹣1＝0【答案】C【解析】【分析】分别计算出每个方程判别式的值，再进一步判断即可得出答案．【详解】解：A．此方程判别式∆＝02﹣4×1×0＝0，故方程有两个相等的实数根；B．此方程判别式∆＝12﹣4×1×0＝1＞0，故方程有两个不相等的实数根；C．此方程判别式∆＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，故方程没有实数根；D．此方程判别式∆＝02﹣4×1×(﹣1)＝5＞0，故方程有两个不相等的实数根；故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．3.一次函数y＝﹣2x+1的图象不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2，b＝1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，b＝1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象经过一、二、四象限．4.某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a千克，正确的平均数为b千克，那么（）A. a＜bB. a＝bC. a＞bD. 无法判断【答案】A【解析】【分析】根据中位数和平均数的定义分别判断出a、b与54的大小关系，据此可得答案．【详解】解：原数据中5在中位数54的左边，新数据中50＜54，所以中位数a＝54，新数据比原数据增加了45，而数据的个数没有变化，所以平均数b＞54，则b＞a，故选：A．【点睛】此题考查了中位数和平均数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．5.已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（）A. 内含B. 内切C. 相交D. 外切【答案】B【解析】【分析】先求出两圆的圆心距，再根据圆与圆的位置关系即可求出答案．【详解】解：由题意可知：r1＝2，r2＝4，圆心距d＝2，∴d＝r2﹣r1，∴两圆相内切，故选：B．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，解题的关键是正确运用圆心距与两圆半径的数量关系来判断，本题属于基础题型．6.在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC 与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（）A. （6，0）B. （4，0）C. （4．﹣2）D. （4，﹣3）【答案】D【解析】【分析】画出平面直角坐标系，利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案．【详解】解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：(4，﹣3)．故选：D．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质以及坐标与图形的性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：6a4÷2a2＝_____．【答案】3a2【解析】【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：6a4÷2a2＝3a2．故答案为：3a2．【点睛】本题考查了单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．8.分解因式：4x2–1=_______________．【答案】（2x+1）（2x–1）【解析】【分析】利用平方差公式进行因式分解．【详解】解：原式=（2x+1）（2x－1）．故答案为：（2x+1）（2x–1）．【点睛】本题考查因式分解．9.不等式组21020xx->⎧⎨-<⎩的整数解是_____．【答案】x＝1【解析】【分析】首先解不等式组中的每个不等式，两个不等式组的解集的公共部分就是不等式组的解集，进一步得到不等式组的整数解．【详解】解：21020xx->⎧⎨-<⎩①②，解不等式①得x ＞12， 解不等式②得x ＜2． ∴不等式组的解集为12＜x ＜2， ∵x 为整数，∴x ＝1．故答案为：x ＝1．【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．10.已知函数f （x ）＝221x +，那么f （﹣3）＝_____． 【答案】12 【解析】【分析】把x=﹣3代入函数关系式，计算求值即可．【详解】解：当x ＝﹣3时，f （﹣3）＝2(3)1-+＝231+＝24＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查函数值的计算，关键是掌握函数解析式的定义，属于基础题． 11.某校为了解学生收看“空中课堂”的方式，对该校500名学生进行了调查，并把结果绘制成如图所示的扇形图，那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是_____．【答案】25人【解析】【分析】先根据三部分对应的百分比之和为1求出通过手机收看“空中课堂”的学生人数所占百分比，再乘以总人数即可得．【详解】解：∵该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数所占百分比为1﹣（25%+70%）＝5%，∴该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是500×5%＝25（人），故答案为：25人．【点睛】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．12.木盒中有一个红球与一个黄球，这两个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是_____．【答案】1 4【解析】【分析】根据题意画出树状图，据此列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】解：画树状图如下：由树状图知，共有4种等可能结果，其中两次都摸到黄球的只有1种情况，所以两次都摸到黄球的概率为14，故答案为：14．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．13.如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是_____厘米．【答案】4【解析】【分析】设正方形的边长为x厘米，根据题意用x表示出矩形的两边，根据题意列出方程，解一元二次方程得到答案．【详解】解：设正方形的边长为x厘米，则矩形的一边长为2x厘米，另一边长为（x﹣1）厘米，由题意得，2x（x﹣1）﹣x2＝8，整理得，x2﹣2x﹣8＝0，解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，读懂题目的意思、根据题目给出的条件找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键．14.正五边形的每个内角为______度.【答案】108【解析】【分析】先求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．【详解】解：正五边形的内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，则每个内角是：540÷5＝108°．故答案为：108．【点睛】本题主要考查多边形内角和计算公式，以及正多边形的每个内角都相等等知识点．15.如果一个梯形的上底与下底之比等于1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比是_____．【答案】5：7【解析】分析】设梯形的上底为a，用a表示出下底，根据梯形中位线的概念用a表示出梯形中位线的长，根据梯形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：设梯形的上底为a，则下底为2a，∴梯形的中位线＝2 2 a a +＝32a，∵梯形的中位线把梯形分成的两个梯形的高h是相等的，∴这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比＝132213222a a ha a h⎛⎫⨯+⨯⎪⎝⎭⎛⎫⨯+⨯⎪⎝⎭＝57，故答案为：5：7．【点睛】本题考查的是梯形的中位线，掌握梯形中位线的概念、梯形的面积公式是解题的关键．16.如图，点M是△ABC的边AB上的中点，设AC＝a，AB＝b，那么CM用a，b表示为_____．【答案】﹣a+12b→【解析】【分析】利用三角形法则可知：CM CA AM→→→=+，只要求出AM→即可解决问题．【详解】解：∵M是AB的中点，∴AM＝12AB，∴1122AM AB b→→→==，∵CM CA AM→→→=+，∴12CM a b→→→=-+，故答案为：12a b→→-+．【点睛】本题考查平面向量，三角形法则等知识．解题的关键是熟练掌握向量运算的三角形法则．17.已知等边△ABC 的重心为G ，△DEF 与△ABC 关于点G 成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S 1，△ABC 的面积记作S 2，那么12S S 的值是_____ 【答案】23【解析】【分析】 如图，根据点G 是等边△ABC 的重心，得到AD 垂直平分BC ，AD 是∠BAC 的角平分线，根据中心对称的性质得到△DEF ≌△ABC ，AG ＝DG ，EF ∥BC ，推出△AQH 是等边三角形，得到AQ ＝HQ ＝AH ，求得它们重叠部分为边长＝QH 的正六边形，设AB ＝3a ，则QH ＝a ，根据等边三角形的面积即可得到结论．【详解】解：如图，∵点G 是等边△ABC 的重心，∴AD 垂直平分BC ，AD 是∠BAC 的角平分线，∴AG ＝2GN ，设AB ＝3a ，则AN 33a 33， ∵△DEF 与△ABC 关于点G 成中心对称，∴△DEF ≌△ABC ，AG ＝DG ，EF ∥BC ，∴∠AQH ＝∠ABC ＝∠AHQ ＝∠ACB ＝60°，∴△AQH 是等边三角形，∴AQ ＝HQ ＝AH ＝13AB ＝a ， ∴AP， ∴它们重叠部分为边长＝QH 的正六边形，∴S 1＝22162⋅=，S 2＝2132a ⋅= ， ∴12S S24＝23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了三角形的重心，等边三角形的性质，中心对称，等边三角形的面积的计算，正多边形面积的计算．能根据题意正确的作出图形是解题的关键．18.已知⊙O 的直径AB ＝4，⊙D 与半径为1的⊙C 外切，且⊙C 与⊙D 均与直径AB 相切、与⊙O 内切，那么⊙D 的半径是_____． 【答案】12或1 【解析】【分析】 分⊙D 与⊙C 在直径AB 的同侧、⊙D 与⊙C 在直径AB 的两侧两种情况，根据圆心距与两圆半径的数量关系、勾股定理列方程计算，得到答案．【详解】解：当⊙D 与⊙C 在直径AB 的同侧时，作DH ⊥OC 于H ，DN ⊥OB 于N ，连接CD ，连接OD 并延长交⊙O 于G ，设⊙D 的半径为r ，则OD ＝2﹣r ，CD ＝1+r ，∵⊙O 的直径AB ＝4，⊙C 的半径为1，⊙C 与⊙O 内切，∴⊙C 与⊙O 内切于点O ，∴CO ⊥AB ，∵CO ⊥AB ，DH ⊥OC ，DN ⊥OB ，∴四边形HOND 为矩形，∴OH ＝DN ＝r ，DH ＝ON＝∴CH ＝1﹣r ，在Rt △CDH 中，CH 2+DH 2＝CD 2，即(1﹣r )2+(2﹣r )2﹣r 2＝(1+r )2， 解得，r ＝12， 当⊙D 与⊙C 在直径AB 的两侧时，⊙C 与⊙D 的半径相等，都是1， 故答案为：12或1．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，勾股定理，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是正确运用圆心距与两圆半径的数量关系来判断．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.12823321-． 【答案】－1 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式＝2322+13＝2322﹣13＝﹣1．【点睛】本题考查二次根式的性质，分数指数幂．能灵活运用二次根式的性质对二次根式化简是解题关键．20.解方程组：22335x y x xy y +=⎧⎨++=⎩． 【答案】1141x y =⎧⎨=-⎩，2214x y =-⎧⎨=⎩【分析】由①得：y ＝3﹣x ，代入②并整理得：x 2﹣3x ﹣4＝0，解这个一元二次方程并代入求值即可．【详解】解：22335x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①② 由①得：y ＝3﹣x ③，把③代入②得：x 2+3x （3﹣x ）+（3﹣x ）2＝5， 整理得：x 2﹣3x ﹣4＝0， 解这个方程得，x 1＝4，x 2＝﹣1，把x 的值分别代入③，得y 1＝﹣1，y 2＝4． ∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨=-⎩，2214x y =-⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查解二元二次方程组．理解“消元思想”和“降次思想”，能将二元方程化为一元方程和将二次方程化为一次方程是解题关键．21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 坐标（2，3），过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为点H ，AH 交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足ABBH＝2． （1）求该反比例函数的解析式；（2）点C 在x 正半轴上，点D 在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD 是平行四边形，求点D 坐标．【答案】（1）y ＝2x；（2）点D 坐标（1，2） 【解析】 【分析】（1）先求出点B 坐标，利用待定系数法可求反比例函数解析式；（2）利用平行四边形的性质可得AB ∥CD ，AB ＝CD ＝2，可求点D 坐标． 【详解】解：（1）∵点A 坐标（2，3），∵ABBH＝2，∴BH＝1，AB＝2，∴点B（2，1），设反比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），∵点B在反比例函数的图象上，∴k＝2×1＝2，∴反比例函数的解析式为y＝2x ；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝2，∵AB⊥x轴，∴CD⊥x轴，∴点D纵坐标2，∴点D坐标（1，2）．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．22.如图1，有一直径为100米的摩天轮，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮匀速转动（吊舱每分钟转过的角度相同）一周的时间为24分钟．（1）如图2，某游客所在吊舱从最低点P出发，3分钟后到达A处，此时该游客离地面高度约为多少米；（精确到整数）（2）该游客在摩天轮转动一周的过程中，有多少时间距离地面不低于85米？（参考数据：2≈1.41，3＝1.73）【答案】（1）15米；（2）8分【分析】（1）作AH⊥MN于H，求出吊舱每分钟转过的角度，得到∠AOH，根据余弦的定义计算，得到答案；（2）求出OE的长度，根据正弦的定义求出∠OCE＝30°，得到∠COD＝120°，根据题意计算即可．【详解】解：（1）如图2，作AH⊥MN于H，吊舱每分钟转过的角度＝36024＝15°，∴3分钟转过的角度为45°，在Rt△OAH中，OH＝OA•cos∠AOH＝50×2＝252，∴HM＝60﹣252≈25，答：该游客离地面高度约为25米；（2）如图2，线段CD距离地面85米，则OE＝85﹣60＝25，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，OE＝25，OC＝50，∴∠OCE＝30°，∴∠COE＝60°，∴∠COD＝120°，∴距离地面不低于85米的时间为：12015＝8（分）．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，正确求出吊舱每分钟转过的角度是解题的关键．23.已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC 是等腰三角形； （2）当OA ＝4，AB ＝6，求边BC 的长． 【答案】（1）见解析；（2）37 【解析】 【分析】（1）连接OB 、OC ，先证明∠OBA ＝∠OCA ＝∠BAO ＝∠CAO ，再证明△OAB ≌△OAC 得AB ＝AC ，问题得证；（2）延长AO 交BC 于点H ，先证明AH ⊥BC ，BH ＝CH ，设OH ＝b ，BH ＝CH ＝a ，根据OA ＝4，AB ＝6，由勾股定理列出a 、b 的方程组，解得a 、b ，便可得BC ． 【详解】解：（1）连接OB 、OC ， ∵OA ＝OB ＝OC ，OA 平分∠BAC ， ∴∠OBA ＝∠OCA ＝∠BAO ＝∠CAO ， 在△OAB 和△OAC 中，OAB OAC OBA OCA AO AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OAB ≌△OAC （AAS ）， ∴AB ＝AC即△ABC 是等腰三角形；（2）延长AO 交BC 于点H ， ∵AH 平分∠BAC ，AB ＝AC ，∴AH ⊥BC ，BH ＝CH ， 设OH ＝b ，BH ＝CH ＝a ，∵BH 2+OH 2＝OB 2， OA ＝4，AB ＝6， 则 2216a b += ①BH 2+AH 2＝AB 2，OA ＝4，AB ＝6， 则22(4)36a b ++= ② ②－①得：81620,b +=1,2b ∴=把12b =代入①得：,22a a ==-2.12a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴BC ＝2a ＝．【点睛】本题考查了三角形的全等，等腰三角形的性质，圆的基本性质，勾股定理，方程组的思想，掌握以上知识是解题的关键． 24.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝12x 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）和B （2，6），其顶点D ．（1）求此抛物线的表达式； （2）求△ABD 的面积；（3）设C 为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为点H ，如果△OCH 与△ABD 相似，求点C 的坐标．【答案】（1）y＝12x2+2x；（2）12；（3）点H的坐标为（﹣10，30）或（﹣143，149）【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）利用两点间的距离公式：得AB，AD，BD的值，从而得BD2＝AB2+AD2，则△ABD为直角三角形，△ABD的面积＝12AB×AD，即可求解；（3）由△OCH与△ABD相似，得tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH＝CHOH＝212123m mm+=-或3，进而即可求解．【详解】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：116-40214262b cb c⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩，解得：2bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为：y＝12x2+2x；（2）对于y＝12x2+2x，顶点D(﹣2，﹣2)，∴AD22(42)(02)22-+++=，同理：AB＝2，BD＝5∴BD2＝AB2+AD2，∴△ABD为直角三角形，∴△ABD的面积＝12AB×AD＝12×2×2＝12；（3）在△ABD中，tan∠ABD＝221362ADAB==，∵△OCH 与△ABD 相似，∴tan ∠COH ＝tan ∠ABD 或tan ∠COH ＝tan ∠ADB ， 即：tan ∠COH ＝13或3， 设点C(m ，12m 2+2m )，则tan ∠COH ＝CH OH＝212123m mm +=-或3， 解得：m ＝﹣10或﹣143（不合题意的值已舍去）， ∴点H 的坐标为(﹣10，30)或(﹣143，149)．【点睛】本题主要考查二次函数与相似三角形的综合，涉及二次函数的待定系数法，两点间距离公式，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质定理以及三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的性质定理以及三角函数的定义，是解题的关键．25.在边长为2的菱形ABCD 中，E 是边AD 的中点，点F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 上，且FG ⊥EF ，EH ⊥EF ．（1）如图1，当点F 是边AB 中点时，求证：四边形EFGH 是矩形； （2）如图2，当12BGGC时，求FG EH 值；（3）当5cos 13D，且四边形EFGH 是矩形时（点F 不与AB 中点重合），求AF 的长．【答案】（1）见解析；（2）23；（3）313或813【解析】 【分析】（1）连接AC 、BD ，由菱形的性质及三角形的中位线定理证得//GF EH ，GF EH =，从而可知四边形EFGH 是平行四边形，再由有一个角为直角的平行四边形是矩形得出结论；（2）连接EG ，由菱形的性质及//FG EH 可得BGFDEH ，及B D ∠=∠，从而判定BGF DEH ∽，结合12BG GC 及菱形的性质可得答案； （3）如图，过点G 作GM AB ⊥于点M ，过点E 作EN BA ⊥延长线于点N ，根据5cos 13D 及菱形的边长可求得513BM AN，1213MG NE．设AF x =，则2113MFx ，当四边形EFGH 是矩形时，90GFE ∠=︒，则GMF ∆与FNE ∆相似（三垂直模型），分两种情况列式计算即可：①GMF FNE ∽，②GMF ENF ∽． 【详解】解：（1）连接AC 、BD ，菱形ABCD 中，E 是边AD 的中点，点F 是边AB 中点，12AFAEAB ，//EF BD ， FGEF ，EH EF ⊥．////GF EH AC ， 12GFHEAC ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，FGEF ，90EFG ∴∠=︒，∴四边形EFGH 是矩形；（2）连接EG ，菱形ABCD 中，//AD BC ，BGEDEG ，//FG EH ， FGE HEG ， BGFDEH ，又菱形ABCD 中，B D ∠=∠，BGF DEH ∽，∴FG BGEH DE12BG GC ， 13BGBC ， 1122DE AD BC ==， ∴23FG BG EHDE； （3）如图，过点G 作GM AB ⊥于点M ，过点E 作EN BA ⊥延长线于点N ，四边形EFGH 是矩形， GFEH ，由（2）可知，BGF DEH ∽，∴此时BGF DEH ∆≅∆， 又菱形ABCD 边长为2，1BG DE ，1BG CG ∴==， 5cos cos cos 13BEAN D ， 513BM AN ， 1213MG NE ． 设AF x =，则52121313MFx x ， 当四边形EFGH 是矩形时，90GFE ∠=︒，则GMF ∆与FNE ∆相似（三垂直模型）． ①若GMF FNE ∽， 则MG MF NF EN ， ∴122113135121313x x ， 解得1313x ，21x =（点F 不与AB 中点重合，舍去）； ②若GMF ENF ∽，则MF GM NF EN， ∴21131513x x ，解得813x ． 综上，AF 的长为313或813． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定、菱形的性质、三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质等知识点，利用数形结合的思想，并明确相关性质及定理是解题的关键．。
上海市长宁区2020年初三中考数学二模试卷(解析版)
4.如图是关于某班同学一周体育锻炼情况的统计图，那么该班学生这一周参加体育锻炼时间
的众数、中位数分别是（ ）
A. 8 、 9
B. 8 、 8.5
C. 16 、 8.5
D. 16 、14
【答案】A
【解析】
【分析】
根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．
【详解】众数即出现次数最多的数据，由图中数据知道众数是 8，
由图中知道共有 40 个数据，中位数是从小到大排列，位于中间的两个数的平均数即为中位
数，由图中数据知道是 9；
Байду номын сангаас
故此题选：A．
【点睛】此题考查数据收集，主要是众数，中位数和条形统计图，难度一般．
5.如果两圆的半径长分别为 5 和 3 ，圆心距为 7 ，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A. 内切
B. 外离
∴ BP BO ， BQ BC
即 5 5 ， BQ 2 5
∴BQ=2， ∵BQ>BO， ∴此情况不符合题意，舍去；
2，如图，同理可得 OP= 2 5 ，
在△BOP 与△BQC 中，
OBP QBC OPB BQC ， ∴△BOP ~ △BQC， ∴ BP BO ，
BQ BC 即 5 5 ，
BQ 2 5
C. 相交
D. 外切
【答案】C
【解析】
【分析】
求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较大小，根据得出的数量关系判断位置关系．
【详解】由题意得：∵5-3=2，5+3=8，圆心距为 7，
∴2<7<8，
根据两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间得：两圆相交，
故此题选：C．
【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系，本题利用两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径
上海市金山区2020年初三中考数学二模试卷(解析版)
2020年上海市金山区中考数学二模试卷答案解析版一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.在下列各数中，无理数是（）A.207 B.3π C. D.0.101001【答案】B【解析】【分析】无限不循环小数是无理数，根据无理数定义解答.【详解】A.207是分数，是有理数，故不是无理数；B.3π是无理数；C.=2是整数，故不是无理数；D.0.101001是有理数，故不是无理数，故选：B.【点睛】此题考查无理数的定义，熟记定义是解题的关键.2.计算（a 3）2的结果是（）A.aB.a 5C.a 6D.a 9【答案】C【解析】（a 3）2=a 3×2=a 6．故选C ．3.一次函数23y x =-的图像在y 轴的截距是（）A.2B.-2C.3D.-3【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式得到b=-3，即可得到截距.【详解】∵23y x =-，即b=-3，∴图像与y 轴的截距为-3，故选：D.【点睛】此题考查一次函数的图象与坐标轴的截距，与y 轴的截距即为b 的值，注意有正负.4.某区对创建全国文明城区的满意程度进行随机调查，结果如图所示，据此可估计全区75万居民对创建全国文明城区工作不满意的居民人数为（）A.1.2万B.1.5万C.7.5万D.66万【答案】B【解析】【分析】用总人数75万乘以（1-10%-88%）即可得到答案.【详解】75万⨯（1-10%-88%）=1.5万，故选：B.【点睛】此题考查根据百分比求部分的数量.5.已知在△ABC 中，AD 是中线，设,AB m AD n == ，那么向量BC 用向量,m n 表示为（）A.22m n -B.22m n +C.22n m -D.n m- 【答案】C【解析】【分析】根据向量的三角形法则求出BD ，即可得到BC.【详解】∵,AB m AD n == ，∴ AD AB B n D m =-=- ，∵AD 是△ABC 中线，∴2 22BC BD n m =-=，故选：C.【点睛】此题考查平面向量，掌握三角形的向量法则是解题的关键.6.如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Θ相交，那么r 的取值范围是（）A.4<r <12B.2<r <12C.4<r <8D.r >4【答案】A【解析】【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【详解】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON=30°，∴OQ=2QA=8，∵OP平分∠MON，PQ∥ON，∴∠QOP=∠PON=∠QPO，∴PQ=OQ=8，Θ相外切时，r=8-4=4，当以Q为圆心半径为r的圆与PΘ相内切时，r=8+4=12，当以Q为圆心半径为r的圆与PΘ相交，4<r<12，∴以Q为圆心半径为r的圆与P故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）-▲．7.分解因式：2a4=a+2a2-．【答案】()()【解析】【分析】先把式子写成a2-22，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式．【详解】a2-4=a2-22=（a+2）（a-2）．a+2a2-.故答案为()()【点睛】此题考查的是利用公式法因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．8.某种冠状病毒的直径大约是0.00011毫米，数据0.00011用科学计数法表示为_________【答案】-41.110⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】0.00011=-41.110⨯，故答案为：-41.110⨯.【点睛】此题考察科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时n 是负整数，n 的绝对值等于原数的左边第一个非0的数前0的个数，按此方法即可正确求解.9.x =的解是_________【答案】1x =【解析】【分析】左右两边同时乘方得到22x x -=，解一元二次方程并验根即可.【详解】x =，22x x -=，220x x +-=，（x+2）（x-1）=0，解得：12x =-，21x =，∵20x -≥，∴2x ≤，∴x=1，故答案为：x=1.【点睛】此题考查解无理方程，需将方程两边同时平方，把它化为有理方程求出方程的解，注意验根.10.如果关于x 的方程220x mx -+=有两个相等的实数根，那么m 的值是_______【答案】±【解析】【分析】根据方程220x mx -+=有两个相等的实数根，列得280m -=，即可求出m.【详解】∵方程220x mx -+=有两个相等的实数根，∴∆=280m -=，解得m=±，故答案为：±.【点睛】此题考查一元二次方程的根的情况，熟记一元二次方程根的三种情况是解题的关键.11.函数13y x=-的定义域是_________【答案】3x ≠【解析】【分析】分式有意义即分母3-x 0≠，由此求出答案.【详解】由题意得3-x 0≠，∴3x ≠，故答案为：3x ≠.【点睛】此题考查函数的自变量的取值范围，正确理解分式有意义的条件的解题的关键.12.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是_____．【答案】310【解析】分析：让是3的倍数的数的个数除以数的总个数即为所求的概率．详解：：∵1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中，3的倍数的有3、6、9共3个数，∴取出的数是3的倍数的概率是：310．故答案为310.点睛：此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n．13.某学校九年级共有350名学生，在一次九年级全体学生参加的数学测试中，随机抽取50名学生的测试成绩进行抽样调查，绘制频率分布直方图如图所示，如果成绩不低于80分算优良，那么估计九年级全体学生在这次测试中成绩优良学生人数约是______【答案】161【解析】【分析】用50人中不低于80分的人数除以50再乘以350即可得到答案.【详解】∵成绩不低于80分的有15+8=23（人），∴在这次测试中成绩优良学生人数约是158********+⨯=（人），故答案为：161.【点睛】此题考查利用部分估计总体的方法，正确掌握计算方法是解题的关键.14.上海市居民用户燃气收费标准如下表：某居民用户用气量在第一档，那么该用户每年燃气费y （元）与年用气量x （立方米）的函数关系式是______________【答案】3(0310)y x x =≤<【解析】【分析】根据第一档的收费单价乘以用气量即可列出函数关系式.【详解】∵第一档每立方米3.00元，∴用气量在第一档，函数关系式是3(0310)y x x =≤<，故答案为：3(0310)y x x =≤<.【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解题意是解题的关键.15.四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相互垂直，AC =4，BD =6，顺次联结这个四边形中点所得的四边形的面积等于________【答案】6【解析】【分析】根据E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，得到EF ∥AC ，GH ∥AC ，EH ∥BD ，FG ∥BD ，EF=12AC=2，EH=12BD=3，证得四边形EFGH 是平行四边形，根据AC ⊥BD ，EF ∥AC ，EH ∥BD ，求出∠EMO=∠ENO=90°，证得四边形EMON 是矩形，得到∠MEN=90°，由此证得四边形EFGH 是矩形，再利用面积公式计算即可.【详解】如图：∵E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，EH ∥BD ，FG ∥BD ，EF=12AC=2，EH=12BD=3，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，EF ∥AC ，EH ∥BD ，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON 是矩形，∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH 是矩形，∴四边形EFGH 的面积=236⨯=，故答案为：6.【点睛】此题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，矩形的判定定理.16.我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为3的正多边形的边数为__________【答案】8【解析】【分析】设正多边形的边数为n，内角和为(2)180n-⨯ ，根据定义列方程求解.【详解】设正多边形的边数为n，∵内角和为(2)180n-⨯ ，外角和为360°，∴一个内角度数为(2)180nn-⨯ ，一个外角度数为360n，∴(2)180nn-⨯ =3603n⨯，解得n=8，经检验n=8是方程的解且符合题意，故答案为：8.【点睛】此题考查正多边形的内角和公式，外角和度数，正确理解题意列分式方程解决问题.17.如图，在坡度为1：2.4的斜坡上有一棵与水平面垂直的树BC，在斜坡底部A处测得树顶C的仰角为30°，AB的长为65米，那么树高BC等于________米（保留根号）【答案】203-25【解析】【分析】延长CB 交水平面于点D ，则∠D=90°，根据坡度设BD=x 米，则AD=2.4x 米，利用勾股定理求出x 得到BD=25米，AD=60米，根据∠CAD=30°，求出CD 即可求出BC.【详解】延长CB 交水平面于点D ，则∠D=90°，∵坡度为1：2.4，∴设BD=x 米，则AD=2.4x 米，在Rt △ABD 中，AB=65米，222AB AD BD =+，∴22265(2.4)x x =+，解得x=25（负值舍去），∴BD=25米，AD=60米，∵∠CAD=30°，∴tan 30CD AD =⋅o =203∴BC=CD-BD=203-25米，故答案为：203-25.【点睛】此题考查三角函数的实际应用，正确理解坡度的定义，将题中的已知条件转化为直角三角形的边或角利用锐角三角函数解题是关键.18.如图，在ABC ∆中，∠C =90°，AC =3，BC =4，把ABC ∆绕C 点旋转得到A B C '''∆，其中点A '在线段AB 上，那么A B B ''∠的正切值等于_________【答案】724【解析】【分析】根据题意画出图形，先根据勾股定理求出AB=5，利用旋转的性质得到AC A C '=，BC B C '=，A B AB ''==5，ACA B CB ''∠=∠，推出∠A BB ''=90°，过点C 作CE ⊥AB 于E ，根据△ACE ∽△ABC 解得95AE =，根据△ACA '∽△BCB '解得245BB '=，由此即可得到答案.【详解】∵∠C =90°，AC =3，BC =4，∴AB=5，由旋转得：AC A C '=，BC B C '=，A B AB ''==5，ACA B CB ''∠=∠,∴∠2=∠A ，∵∠A+∠1=90°，∴∠2+∠1=90°，即∠A BB ''=90°，过点C 作CE ⊥AB 于E ，∴△ACE ∽△ABC ，∴2AC AE AB =⋅，∴235AE =，解得95AE =，∴185AA '=，∴75A B AB AA ''=-=，∵AC A C '=，BC B C '=，ACA B CB ''∠=∠,∴△ACA '∽△BCB ',∴AC AA BC BB '=',∴18354BB ='，解得245BB '=，∴tan A B B ''∠=A B BB ''=724，故答案为：724.【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，旋转的性质，锐角三角函数.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.13-111)+cos308⎛⎫-- ⎪⎝⎭o ．【答案】【解析】【分析】根据算术平方根的性质，负整数指数幂的性质，立方根的性质，特殊角的三角函数值分别化简后再计算加减法.【详解】13-111)+cos308⎛⎫-- ⎪⎝⎭o 111)22=-+，=【点睛】此题考查计算能力，掌握算术平方根的性质，负整数指数幂的性质，立方根的性质，特殊角的三角函数值是解题的关键.20.解方程组：222; 1.x y x xy y -=⎧⎨--=⎩【答案】121251,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩【解析】【分析】用代入法解方程.【详解】，由①得x=2+y ③，将③代入②得22(2(2))1y y y y -+-=+，解得13y =，21y =-，将13y =、21y =-分别代入③，得15=x ，21x =，∴原方程组的解是121251,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩.【点睛】此题考查解二元二次方程组，根据方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键.21.在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知函数2y x =的图像和反比例函数的在第一象限交于A 点，其中点A 的横坐标是1．（1）求反比例函数的解析式；（2）把直线2y x =平移后与y 轴相交于点B ，且AB OB =，求平移后直线的解析式．【答案】（1）2y x =；（2）524y x =+【解析】【分析】（1）将点A 的横坐标代入y=2x 中，得到点A 的纵坐标，设反比例函数解析式为k y x =，再将点A 的坐标代入解答；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于C ，则AC=1，OC=2，根据AB=OB ，得到直线y=2x 向上平移，设平移后的直线解析式为2y x =+b ，则OB=b ，根据勾股定理得到2221(2)b b +-=，求出54b =，即可得到函数解析式.【详解】（1）将点A 的横坐标1代入y=2x 中，得y=2，∴点A 的坐标为（1,2），设反比例函数解析式为k y x =，将点A 的坐标代入，得到k=2，∴反比例函数解析式为2y x=；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于C ，则AC=1，OC=2，∵AB=OB ，∴直线y=2x 向上平移，设平移后的直线解析式为2y x =+b ，则OB=b ，∵222AC BC AB +=，∴2221(2)b b +-=，解得54b =，∴平移后的解析式为：524y x =+.【点睛】此题考查一次函数的性质，点坐标与直线解析式，直线平移的性质.22.如图，已知在四边形ABCD 中∠A=∠ABC=90°，点E 是CD 的中点，△ABD 与△EBD关于直线BD 对称，1AD =，AB =（1）求点A 和点E 之间的距离；（2）联结AC 交BE 于点F ，求AF AC 的值．【答案】（1）AE ；（2）35AF AC =【解析】【分析】（1）连接AE 交BD 于H ，根据△ABD 与△EBD 关于直线BD 对称，得AE ⊥BD ，AH=HE ，利用勾股定理求出BD=2，利用1122ABD S AB AD BD AH =⋅=⋅ 求出2AH =即可得到答案；（2）根据∠A=90°，1AD=，BD=2求出∠ABD=30°，由△ABD与△EBD关于直线BD 对称，得到∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，由点E是CD的中点，求出BC=BD=2，∠CBE=∠DBE=30°，求出∠M=30°，AM=3，利用AM∥BC，3 2AF AMCF BC==，即可求出35 AFAC=.【详解】（1）连接AE交BD于H，∵△ABD与△EBD关于直线BD对称，∴AE⊥BD，AH=HE，∵∠A=90°，1AD=，AB=，∴BD=2，∵1122ABDS AB AD BD AH =⋅=⋅,∴AB AD BD AH⋅=⋅，∴2AH=，∴AE=2AH=；（2）延长AD、BE交于点M，∵∠A=90°，1AD=，BD=2，∴sin∠ABD=12 ADBD=，∴∠ABD=30°，∵△ABD与△EBD关于直线BD对称，∴∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，∵点E是CD的中点，∴BE垂直平分CD，∴BC=BD=2，∴∠CBE=∠DBE=30°，∵∠A=∠ABC=90°，∴AD ∥BC ，∴∠M=∠CBE=30°，∴AM=3tan 30AB =，∵AM ∥BC ，∴32AF AM CF BC ==，∴35AF AC =.【点睛】此题考查轴对称的性质，锐角三角函数，勾股定理，平行线的性质，线段垂直平分线的判定及性质.23.如图，已知C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作正方形ACDE 和正方形CBGF ，点F 在CD 上，联结AF 、BD ，BD 与FG 交于点M ，点N 是边AC 上的一点，联结EN 交AF 与点H ．（1）求证：AF=BD ；（2）如果AN GM AC GF=，求证：AF EN ⊥．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据SAS 证明△ACF ≌△DCB 即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到AE=AC ，GF=GB ，由AN GM AC GF=证得AN GM AE GB =得到△EAN ∽△BGM ，再证明△MBG ∽△BDC ，由△BDC ≌△FAC ，得到△EAN ∽△ACF ，推出∠CAF+∠ANE=90°，即可得到结论.【详解】（1）在正方形ACDE 和正方形CBGF 中，AC=CD ，CF=CB ，∠ACD=∠BCD=90°，∴△ACF ≌△DCB ，∴AF=BD ；（2）在正方形ACDE 和正方形CBGF 中，AE=AC ，GF=GB ，∵AN GM AC GF=，∴AN GM AE GB =，∵∠EAN=∠G=90°，∴△EAN ∽△BGM ，∵CD ∥BG ，∴∠CDB=∠MBG ，∵∠DCB=∠G=90°，∴△MBG ∽△BDC ，∵△BDC ≌△FAC ，∴△EAN ∽△ACF ，∴∠AEN=∠CAF ，∵∠AEN+∠ANE=90°，∴∠CAF+∠ANE=90°，∴∠AHN=90°，∴AF EN ⊥.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质.24.在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c =-++经过点3,0A （）和()0,3B ，其顶点为C ．（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）我们把坐标为（n ，m ）的点叫做坐标为（m ，n ）的点的反射点，已知点M 在这条抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点M 的坐标；（3）点P 是抛物线在第一象限部分上的一点，如果∠POA=∠ACB ，求点P 的坐标．【答案】（1）2y x 2x 3=-++，顶点C 的坐标为：（1,4）；（2）点M 的坐标为（13+1）或（131）；（3）点P 的坐标为（51336+，513318+）.【解析】【分析】（1）将点3,0A （）和()0,3B 代入2y x bx c =-++即可求出；（2）设点M 的坐标为（n ，m ），则其反射点的坐标为（m ，n ），根据点M 的反射点在抛物线的对称轴上得到m=1，即M(n ，1)，将点M 坐标代入解析式求出n 即可得到坐标；（3）根据点3,0A （）和()0,3B 求出AB=32C 作CM ⊥y 轴与M ，根据C(1，4)，求出CM=BM=1，推出∠ABC=90°，2BC =，设点P 的坐标为（x ，223x x -++），过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则∠OFP=∠ABC=90°，证明△POF ∽△CAB ，列关系式求出x 即可得到点P 的坐标.【详解】（1）将点3,0A （）和()0,3B 代入2y x bx c =-++得9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴2y x 2x 3=-++=2(1)4x --+，∴顶点C 的坐标为：（1,4）；（2）设点M 的坐标为（n ，m ），则其反射点的坐标为（m ，n ），∵点M 的反射点在抛物线的对称轴上，∴m=1，即M(n ，1)，代入2y x 2x 3=-++中，得2231n n -++=，∴1n =±，∴点M 的坐标为（11）或（11）；（3）∵点3,0A （）和()0,3B ，∴OA=OB=3，∴AB=∴∠ABO=∠BAO=45°，过点C 作CM ⊥y 轴与M ，∵C(1，4)，∴CM=BM=1，∴∠CBM=∠BCM=45°，∴∠ABC=90°，∴BC =设点P 的坐标为（x ，223x x -++），过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则∠OFP=∠ABC=90°，∵∠POA=∠ACB ，∴△POF ∽△CAB ，∴OF AB PF BC=,2=解得x=56或x=56（不合题意，舍去），∴223x x -++=518+，∴点P 的坐标为（51336+，513318+）.【点睛】此题考查待定系数法，求函数的顶点坐标，根据解析式求出点的坐标，相似三角形的性质及判定，勾股定理，是一道二次函数的综合题.25.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC =6，BC =8，P 是线段BC 上任意一点，以点P 为圆心PB 为半径的圆与线段AB 相交于点Q （点Q 与点A 、B 不重合），∠CPQ 的角平分线与AC 相交于点D ．（1）如果DQ =PB ，求证：四边形BQDP 是平行四边形；（2）设PB =x ，△DPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）如果△ADQ 是以DQ 为腰的等腰三角形，求PB 的长．【答案】（1）见解析；（2）23253(0)84y x x x =-+<<；（3）4或40089或20047【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠CPD=∠QPD ，由DQ=PB=PQ 得到∠QDP=∠QPD 推出DQ ∥BP ，再根据DQ=BP 推出四边形BQDP 是平行四边形；（2）先根据勾股定理求出AB=10，过点P 作PH ⊥AB 于H ，证明△BHP ∽△BCA ，求出BH=45x ，HP=35x ，根据同位角相等证明PD ∥AB 得到CD=3(8)4x -，过点Q 作QE ⊥AC 于E ，利用三角函数求出QE=4832(10)85525x x -=-，再根据ABC ADQ PCD BPD y S S S S =--- 即可求出函数解析式，根据图形中各边都大于0得到不等式组求出x 的取值范围；（3）设PB=a ，过点P 作PH ⊥AB ，由（2）可知BQ=85a ，则AQ=10-85a ，分三种情况：①当AD=DQ 时，②当AQ=DQ 时，③当AD=AQ=10-85a 时，分别求出a 即可.【详解】（1）∵∠CPQ 的角平分线与AC 相交于点D ，∴∠CPD=∠QPD ，∵DQ=PB=PQ ，∴∠QDP=∠QPD ，∴∠QDP=∠CPD ，∴DQ ∥BP ，∵DQ=BP ，∴四边形BQDP 是平行四边形；（2）∵∠C=90°，AC =6，BC =8，∴AB=10，过点P 作PH ⊥AB 于H ，∴∠BHP=∠C=90°，∵∠B=∠B ，∴△BHP ∽△BCA ，∴BP BH HP AB BC AC ==，∴1086x BH HP ==，∴BH=45x ，HP=35x ，∴BQ=2BH=85x ，∵PB=PQ ，∴∠B=∠BQP ，∵∠CPQ=2∠CPD=∠B+∠BQP ，∴∠CPQ=∠B ，∴PD ∥AB ，∴PC CD BC CA =，∴886x CD -=，∴CD=3(8)4x -，∴336(8)44AD x x =--=，过点Q 作QE ⊥AC 于E ，∵AQ=10-85x ，∴QE=4832(10)85525x x -=-，∴ABC ADQ PCD BPDy S S S S =--- =113321318368(8)(8)(8)2242524255x x x x x x ⨯⨯-⨯---⨯--⨯⨯=2338x x -+∵3(8)043280250x x x ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪>⎪⎪⎩，解得2504x <<，∴23253(0)84y x x x =-+<<；（3）设PB=a ，过点P 作PH ⊥AB ，由（2）可知BQ=85a ，∴AQ=10-85a ，①当AD=DQ 时，如图，过点D 作DF ⊥AB 于F ，则AF=15245AQ a =-，∴5(54254)5333a AD a =--=，∴CD=254476()3333a a --=-，∵PD ∥AB ，∴PC CD BC CA =,∴4783386a a --=，解得a=4，②当AQ=DQ 时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，∴AM=35AQ =3(10)585a -=24625a -，∴AD=2AM=481225a -，∴CD=6-AD=48625a -,∵PD ∥AB ，∴PC CD BC CA =,∴48682586a a --=,解得a=40089；③当AD=AQ=10-85a 时，则CD=6-AD=85a -4，∵PD ∥AB ，∴PC CD BC CA =,∴848586a a --=，解得a=20047.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定定理，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，是一道较难的综合题，解题中注意分类讨论的解题方法的运用.。
上海市普陀区2020年初三中考数学二模试卷(解析版)
题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，
∴， AB BC ， CD BC ，，
∴ AC ＝2 CD ，故①正确；
AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误；
OC⊥BD，故③正确；
∠AOD＝3∠BOC，故④正确；
故选：C．
【点睛】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利
故答案为：2 2 ．
【点晴】考查了正多边形的和圆的知识，解题关键是了解正多边形的半径、边心距及边长的 一半构成特殊的直角三角形． 15.今年 3 月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育锻炼，已知某班学 生一周内在家锻炼时间的频数分布直方图如图所示．如果锻炼时间在 0﹣2 小时的学生的频 率是 20%，那么锻炼时间在 4﹣6 小时的学生的频率是__．
沿着 PC 翻折得到△B′PC，B′C 与边 AB 的交于点 D，如果△B′PD 恰好为直角三角形，那么 BP＝__．
2
k 10 ， 这个正比例函数的解析式是 y 10x ， 故答案为： y 10x ．
【点睛】此题考查了一次函数，用到的知识点是正比例函数、一次函数的图象与性质，关键 是求出与坐标轴的交点坐标，注意分两种情况讨论．
18.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，cotB＝ 4 ，点 P 为边 AB 上一点，将△BPC 3
【详解】解：∵关于 x的方程（x﹣2）2＝m﹣1 没有实数根， ∴m﹣1＜0， 解得 m＜1， 所以 m 的取值范围是 m＜1． 故答案为：m＜1． 【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法． 14.已知正方形的半径是 4，那么这个正方形的边心距是__．
上海市崇明区2020年初三中考数学二模试卷(解析版)
2020年上海市崇明区中考数学二模试卷答案解析版一、选择题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列二次根式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A 、被开方数含分母，故A 不符合题意；B 、被开方数30.310=，含分母，故B 不符合题意；C 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C 不符合题意；D 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D 符合题意.故选：D ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2.如果a b >，那么下列结论中一定成立的是（）A.22a b->- B.22a b +>+ C.2ab b > D.22a b >【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【详解】A 、∵a ＞b ，∴2-a ＜2-b ，故本选项错误，不符合题意；B 、∵a ＞b ，∴2+a ＞2+b ，故本选项正确，符合题意；C 、∵a ＞b ，∴当b ＞0时，ab ＞b 2，当b ＜0时，ab ＜b 2，不能判断ab 和b 2的大小，故本选项错误，不符合题意；D 、∵a ＞b ，不能判断a 2和b 2的大小，故本选项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，能熟记不等式的性质是解此题的关键．3.已知一次函数(3)62y m x m =-++，如果y 随自变量x 的增大而减小，那么m 的取值范围为（）A.3m < B.3m > C.3m <- D.3m >-【答案】A【解析】【分析】根据一次函数的性质得到关于m 的不等式，求解集即可．【详解】根据题意，得：m-3＜0，解得：m ＜3，故选：A ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，解决此类问题的关键是灵活运用一次函数的图象与k 的关系是解题的关键．4.下列说法正确的是（）A.了解我区居民知晓“创建文明城区”的情况，适合全面调查；B.甲乙两人跳高成绩的方差分别为2234S S ==甲乙，，说明乙的距离成绩比甲稳定；C.一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5；D.可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生．【答案】C【解析】【分析】直接利用方差的意义以及概率的意义、全面调查和抽样调查分别分析得出答案．【详解】A 、了解我区居民知晓“创建文明城区”的情况，适合抽样调查，故错误；B 、甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S 甲2=3，S 乙2=4，说明甲的跳高成绩比乙稳定，故错误；C、一组数据2、2、3、4的众数是2，中位数是2.5，正确；D、可能性是1%的事件在一次试验中也有可能发生，故原说法错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了方差的意义以及概率的意义、全面调查和抽样调查，正确掌握相关定义是解题关键．5.如果一个正多边形的外角为锐角，且它的余弦值是32，那么它是（）A.等边三角形B.正六边形C.正八边形D.正十二边形【答案】D【解析】【分析】先根据一个外角的余弦值是2，求出一个外角的度数，再利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【详解】∵一个外角为锐角，且其余弦值为3 2，∴这个一个外角=30°，∴360÷30=12．故它是正十二边形．故选：D．【点睛】此题主要考查了多边形的外角和及特殊角的三角函数值，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．6.下列命题是真命题的是（）A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】C【解析】【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定定理进行判断即可.【详解】A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以“对角线相等的四边形是平行四边形”是假命题；B.对角线相等的平行四边形是矩形，所以“对角线相等的四边形是矩形”是假命题；C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题；D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以“对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”是假命题.故选C.【点睛】本题考查了平行四边形和特殊平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.第Ⅱ卷（共126分）二、填空题（每题4分，满分48分，将答案填在答题纸上）7.计算：()233x =____________.【答案】69x 【解析】【分析】根据积的乘方公式和幂的乘方公式计算即可【详解】()23266=339x x x =；故答案为69x .【点睛】本题考查了积的乘方公式和幂的乘方公式，解题的关键是理解积的乘方公式和幂的乘方公式.8.因式分解：39a a -=______.【答案】a(a+3)(a-3)【解析】【分析】先提取公因式a ，再用平方差公式分解即可.【详解】原式=a(a 2-9)=a(a+3)(a-3).故答案为a(a+3)(a-3).【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.9.x =的解为__________．【答案】2x =【解析】【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x+2=x 2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【详解】原方程变形为：x+2=x 2即x 2-x-2=0∴（x-2）（x+1）=0∴x=2或x=-1∵x=-1时不满足题意．∴x=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．10.如果方程260x x m -+=没有实数根，那么m 的取值范围是__________．【答案】9m >【解析】【分析】利用判别式的意义得到△=（-6）2-4m ＜0，然后解不等式即可．【详解】根据题意得△=（-6）2-4m ＜0，解得m ＞9；故答案为：9m >.【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．11.分别写有数字1103π-、、、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是_______．【答案】25【解析】【分析】直接利用概率公式计算可得．【详解】：∵1103π-、、、π这2个，∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是25，故答案为：25．【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．12.将抛物线22y x =+向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，那么所得新抛物线的解析式为_________．【答案】2(3)4y x =-+【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】抛物线y=x 2+2向右平移3个单位后的解析式为：y=（x-3）2+2．再向上平移2个单位后所得抛物线的解析式为：y=（x-3）2+2+2，即2(3)4y x =-+．故答案是：2(3)4y x =-+．【点睛】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．13.已知点G 是ABC ∆的重心，如果,AB a AC b == ，那么向量AG 用向量、a b表示为_____．【答案】1133a b + 【解析】【分析】如图，延长AE 到H ，使得EH=AE ，连接BH ，CH ．求出AH ，证明13AG AH =即可解决问题．【详解】如图，延长AE 到H ，使得EH=AE ，连接BH ，CH ．∵AE=EH ，BE=EC ，∴四边形ABHC 是平行四边形，∴AC=BH ，AC ∥BH ，∵AH AB BH a b =+=+ ，∵G 是重心，∴23AG AE =，∵AE=EH ，∴13AG AH =，∴1133a AG b += .【点睛】本题考查三角形的重心，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14.为了解某九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A B C D 、、、四个等级，绘制成如下不完整的统计图表，根据图表信息，那么扇形图中表示C 的圆心角的度数为____度．【答案】36【解析】【分析】先由B等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据各等级人数之和等于总人数求出C等级人数x，最后用360°乘以C等级人数所占比例即可得．【详解】∵被调查的总人数为10÷25%=40（人），∴C等级人数x=40-（24+10+2）=4（人），则扇形图中表示C的圆心角的度数为4 3603640︒⨯=︒，故答案为：36．【点睛】本题主要考查扇形统计图，解题的关键是结合扇形统计图与频数分布表得出被调查的总人数．15.某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.【答案】2000，【解析】【分析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可.【详解】设这种商品的进价是x元，由题意得，(1+40%)x×0.8＝2240，解得：x＝2000，故答案为2000.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用——销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、实际售价间的关系是解题的关键.16.如图，在ABC ∆中，,30AB AC A =∠=︒，直线//a b ，点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果1145∠=︒，那么2∠的度数是_____．【答案】40°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB=75°，由三角形外角的性质可得∠AED 的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．【详解】∵AB=AC ，且∠A=30°，∴∠ACB=75°，在△ADE 中，∵∠1=∠A+∠AED=145°，∴∠AED=145°-30°=115°，∵a ∥b ，∴∠AED=∠2+∠ACB ，∴∠2=115°-75°=40°．故答案为：40°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．17.如图，将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到'''A B C ∆的位置，已知ABC ∆的面积为16，阴影部分三角形的面积为9，如果'1AA =，那么'A D 的长为_____．【答案】3【解析】【分析】先证明△DA′E ∽△DAB ，再利用相似三角形的性质求得A'D 便可．【详解】如图，∵S △ABC =16、S △A′EF =9，且AD 为BC 边的中线，∴1 4.52A DE A EF S S ''== ，182ABD ABC S S == ，∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A'B'C'，∴A′E ∥AB ，∴△DA′E ∽△DAB ，则2A DE ADB S A D AD S '⎛⎫ ⎝⎭'⎪ ＝，2 4.518A D A D '⎛⎫ ⎪'+⎝⎭＝解得A′D=3或37A D ¢=-（舍），故答案为3．【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．18.如图，平面直角坐标系中，(8,0),(8,4),(0,4)A B C ，反比例函数k y x=在第一象限内的图象分别与线段AB BC 、交于点F E 、，连接EF ，如果点B 关于EF 的对称点恰好落在OA 边上，那么k 的值为______．【答案】12【解析】【分析】根据A（8，0），B（8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点F的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点F的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AD的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【详解】过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于EF的对称点为D，连接DF、ED、BD，如图所示：则△BEF≌△DEF，∴BD=DF，BE=DE，∠FDE=∠FBE=90°，∴∠EDG+∠ADF=∠ADF+∠AFD，∴∠EDG=∠AFD，∵∠EGD=∠DAF，∴△ADF∽△GED，∴AD DF EG DE，∴AD：EG=BD：BE，∵A（8，0），B（8，4），C（0，4），∴AB=OC=EG=4，OA=BC=8，∵E 、F 在反比例函数k y x=的图象上，∴4848k k E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、，，∴4k OG EC ==，8k AF =，∴4884k k BF BE =-=-，，∴418284k DF AD k BF BE DE EG -====-，∴122AD EG ==，在Rt △ADF 中，由勾股定理：AD 2+AF 2=DF 2即：2222488k k ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：k=12，故答案为12．【点睛】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD 与BE 的比是1：2是解题的关键．三、解答题：共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.计算：12012()122tan 601)3π-+--+︒-（【答案】【解析】【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，分数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】原式)1=2121-+-3=-3=-=4【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，分数指数幂以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+=的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=．原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．21.如图，已知⊙O 经过A B 、两点，6AB =，点C 是弧AB 的中点，连接OC 交弦AB 于点D ，1CD =．（1）求⊙O 的半径；（2）过点B O 、分别作AO AB 、的平行线，交于点,G E 是⊙O 上一点，连接EG 交⊙O 于点F ，且EF AB =时，求sin OGE ∠的值．【答案】（1）⊙O 的半径为5；（2）2sin 3OGH ∠=【解析】【分析】（1）根据题意和垂径定理，可知∠ODA=90°，AD=3，设OA=x ，则OD=x-1，然后根据勾股定理即可得到x 的长；（2）根据AB=EF ，可知OD=OH ，然后平行四边形的判定和性质，可以得到OG 的长，从而可以求得sin ∠OGE 的值．【详解】（1）∵在⊙O 中，6AB =，点C 是弧AB 的中点，1CD =，OC AB ∴⊥且OC 平分AB ，∴AD=3，∠ODA=90°，设⊙O 的半径为x ，1CD = ，1OA x OD x ∴==-，，90ODA ∴∠=︒，222OD AD OA ∴+=，22(1)8x x ∴-+=，解得5x =，∴⊙O 的半径为5．（2）过点O 作OH EF ⊥于点H ，∵AB=EF ，OD=r-1=4，∴OH=OD=4，∠OHG=90°，∵//,//BG OA OG AB ，∴四边形OABG 是平行四边形．6OG AB ∴==，∵在⊙O 中，,OH EF OD AB ⊥⊥，OH OD ∴、分别是弦EF AB 、的弦心距，EF AB = ，4OH OD ∴==，90OHG ∠=︒ ，42sin 63OH OGH OG ∴∠===．【点睛】本题考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.如图，是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y （千瓦时）关于已行驶路程x （千米）的函数图象．（1）根据函数图象，蓄电池剩余电量为35千瓦时汽车已经行驶的路程为____千米．当0150x ≤≤时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为_____千米．（2）当15020x ≤≤时，求y 关于x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．【答案】（1）150，6；（2）11102y x =-+，30【解析】【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；（2）运用待定系数法求出y 关于x 的函数表达式，再把x=160代入即可求出当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．【详解】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：15060635=-（千米），故答案为：150；6．（2）设当150200x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式为：(0)y kx b k =+≠，由图可知，函数图象过点()()1503520010，，，，得3503520010k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，12110k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，11102y x ∴=-+，当160x =进，8011030y =-+=【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）找出剩余油量相同时行驶的距离．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．23.如图，已知四边形ABCD 菱形，对角线AC BD 、相交于点O ，DH AB ⊥，垂足为点H ，交AC 于点E ，连接HO 并延长交CD 于点G ．（1）求证：12DHO BCD ∠=∠；（2）求证：2HG AE DE CG = ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】【分析】（1）（1）先根据菱形的性质得OD=OB ，AB ∥CD ，BD ⊥AC ，则利用DH ⊥AB 得到DH ⊥CD ，∠DHB=90°，所以OH 为Rt △DHB 的斜边DB 上的中线，得到OH=OD=OB ，利用等腰三角形的性质得∠1=∠DHO ，然后利用等角的余角相等证明结论；（2）根据//AB CD ，推出12OH OG HG ==，再证AED CGO ∆∆∽，即可推出••OG AE CG DE =，即可证出结论.【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，//,,,AB CD AB CD AC BD DO BO ∴=⊥=，12ACD BCD ∠=∠，DH AB ⊥ ，90DHA DHB ∴∠=∠=︒，//AB CD ，90DHA HDC ∴∠=∠=︒，90BDH BDC ∴∠+∠=︒，90COD ∠=︒ ，90ACD BDC ∴∠+∠=︒，90,DHB DO BO ∴∠=︒=，OD OH ∴=，BDH DHO ∴∠=∠，12DHO BCD ∴∠=∠．（2）//AB CD ，1HO OB OG OD ∴==，12OH OG HG ∴==， AD CD =，DCA DAC ∴∠=∠，,AED HDC DCA HGC HDC DHG ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，又DHO DCA ∠=∠ ，AED HGC ∴∠=∠，AED ∴∆∽CGO ∆，OG CG DE AE∴=，••OG AE CG DE ∴=，1••2HG AE DE CG ∴=，∴2HG AE DE CG = ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟记个性质定理是解题的关键．24.已知抛物线24y ax bx =+-经过点(1,0),(4,0)A B -，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接AC BC CD BD 、、、．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；（2）当4BCD AOC S S ∆∆=时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点E 是x 轴上一点，点F 是抛物线上一点，当以点A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E 的坐标．【答案】（1）234y x x =--，对称轴为直线32x =；（2）(2,6)D -；（3）点E 的坐标为(2,0)-或00（，）或(1,0)或(8,0)．【解析】【分析】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，即可写出对称轴；（2）连接OD ，求出C 点坐标，根据A 、B 、C 点坐标求出8BCD S ∆=，设2(,34)D x x x --，根据=16OCD OBD OBC BCD OCDB S S S S S ∆∆∆∆=++=四边形，列出关于x 的方程，解方程即可求出D 点坐标；（3）分两种情形：如图2中，当AE 为平行四边形的边时，根据DF=AE=1，求解即可．如图3中，当AE ，DF 是平行四边形的对角线时，根据点F 的纵坐标为6，求出点F 的坐标，再根据中点坐标公式求解即可．【详解】（1）∵24y ax bx =+-经过点(1,0),(4,0)A B -，4016440a b a b --=⎧∴⎨+-=⎩，13a b =⎧∴⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为234y x x =--，对称轴为直线32x =．（2）连接OD ，∵抛物线234y x x =--经过点C ，(0,4)C ∴-，(10),(4,0)A B - ，，1,4OA OB OC ∴===，又90AOC BOC ∠=∠=︒ ，11142,44822AOC BOC S S ∆∆∴=⨯⨯==⨯⨯=，4BCD AOC S S ∆∆= ，8BCD S ∆∴=，设2(,34)D x x x --，∵点D 在第四象限，20340x x x ∴>--<，，OCD OBD OCDB S S S ∆∆∴=+四边形=21144(34)22x x x ⨯+⨯-++=2288x x -++，88=16OBC BCD OCDB S S S ∆∆=+=+ 四边形，228816x x ∴-++=，122x x ∴==，(2,6)∴-．D（3）如图2中，当AE为平行四边形的边时，∵DF∥AE，D（2，-6）∴F（1，-6），∴DF=1，∴AE=1，∴E（0，0），或E′（-2，0）．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，∵点D与点F到x轴的距离相等，∴点F的纵坐标为6，当y=6时，6=x 2-3x-4，解得x=-2或5，∴F （-2，6）或（5，6），设E （n ，0），则有12222n -+-+=或21522n -++=，解得n=1或8，∴E （1，0）或（8，0），综上所述，满足条件的点E 的坐标为（0，0）或（1，0）或（8，0）或（-2，0）．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．25.如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）y x=（04x <<）；（3）当AEG ∆是等腰三角形时，2BF =或43【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====，根据勾股定理得到OF ===段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，,OA OD AC BD ∴=⊥，90AOD ∴∠=︒，∵四边形OEGH 是正方形，,90OE OH EOH ∴=∠=︒，AOD EOH ∴∠=∠，AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠，即HOD EOA ∠=∠，HDO EAO ∴∆≅∆．（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，则122AN BN ON AB ====，∵BF=x ，∴AF=4-x ，∴FN=2-x ，∴OF ===，∴EF y =-，∵AM ⊥AC ，∴AE ∥OB ，∴BF OF AF EF，∴4x x =-，∴()04y x x≤＝＜；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，则AE=OE ，∵∠EAO=90°，∴这种情况不存在；②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ，则AP ∥OE ，∴∠PAE=∠AEO ，∴△APE ∽△EAO ，∴PE AE OA OE =，∵AE=AG ，∴212x PE y ==，)4x AE x-==，)24448448x x x x-=，解得：x=2，②当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q，∴∠GQE=∠EAO=90°，∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，∴∠EGQ=∠AEO ，∵GE=OE ，∴△EGQ ≌△OEA （AAS ），∴EQ AO ==，∴42)x AE E xQ -===，∴43x =，∴BF=2或43．【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。
上海市杨浦区2020年初三中考数学二模试卷(逐题详解版)
2020年上海市杨浦区中考数学二模试卷2020.05一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．2020的相反数是（A ）2020；（B ）2020-；（C ）12020； （D ）12020-． 2．下列计算中，正确的是（A ）248a a a ⋅=； （B ）347=a a （）；（C ）44=ab ab （）； （D ）633=a a a ÷.3．如果将一张长方形纸片折成如图的形状，那么图中∠1与∠2的数量关系是（A ）∠1=2∠2； （B ）∠1=3∠2；（C ）∠1＋∠2=180°；（D ）∠1＋2∠2=180°．4．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是（A ）03d <<；（B ）07d <<； （C ）37d <<；（D ）03d <≤．5．如果正十边形的边长为a ，那么它的半径是（A ）sin36a︒； （B ）cos36a︒；（C ）2sin18a︒；（D ）2cos18a︒．6．已知在四边形ABCD 中，AB//CD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是 （A ）AD =BC ，AC=BD ； （B ）AC=BD ，∠BAD =∠BCD ； （C ）AO=CO ，AB=BC ； （D ）AO=OB ，AC=BD ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．分解因式：2mx －6my ＝ ▲ ． 8．函数y中，自变量x 的取值范围是 ▲ ．9．从1，2，3，4，5，6，7，这七个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概率是 ▲ ． 10．一组数据：2，2，5，5，6，那么这组数据的方差是 ▲ ．第3题图1211．不等式组21021x x -+<⎧⎨-⎩≤的解集是 ▲ ． 12x =的解是 ▲ ．13．已知关于x 的一元二次方程2210mx x -+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是 ▲ ．14．在ABC △中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE BC ∥，DE 经过ABC △的重心，如果AB m =，AC n =，那么DE = ▲ ．（用m 、n 表示） 15．如图，已知在5×5的正方形网格中，点A 、B 、C 在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C 到线段AB 所在直线的距离是 ▲ ．16．如图，已知在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限内，反比例函数xky =的图像经过OAB △的顶点B 和边AB 的中点C ，如果OAB △的面积为6，那么k 的值是 ▲ ．17．定义：对于函数y=f （x ），如果当a ≤x ≤b 时，m ≤y ≤n ，且满足n -m ＝k （b -a ）（k 是常数），那么称此函数为“k 级函数”．如：正比例函数y ＝-3x ，当1≤x ≤3时，-9≤y ≤-3，则-3-（-9）＝k （3-1），求得k ＝3，所以函数y ＝-3x 为“3级函数”．如果一次函数y ＝2x -1（1≤x ≤5）为“k 级函数”，那么k 的值是 ▲ ． 18．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝15，tan ∠A ＝43，点P 是边AD 上一点，联结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90︒得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是 ▲ ．三、 解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）先化简，再求值：21232++22+2a a a a a+÷-（），其中15+=a ． ABC D第18题图第15题图ABC第16题图①②20．（本题满分10分）解方程组：22+2123+20.x y x xy y =⎧⎨-=⎩，21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB （弧所对的弦的长）为8米，拱高CD （弧的中点到弦的距离）为2米．（1）求桥拱所在圆的半径长；（2）如果水面AB 上升到EF 时，从点E 测得桥顶D 的仰角为α，且3cot =α，求水面上升的高度．22．（本题满分10分）某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从该社区抽取40名居民的答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下：收集数据85 65 95 100 90 95 85 65 75 85 100 90 70 90 100 80 80 100 95 75 80 100 80 95 65 100 90 95 85 80 100 75 60 90 70 80 95第21题图ABCDFE75 100 90整理数据（每组数据可含最低值，不含最高值）分析数据（1）填空：a = ▲ ，b = ▲ ，c = ▲ ，d = ▲ ； （2）补全频率分布直方图；（3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在 ▲ （分）范围内的人数最多；（4）如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为 ▲ 人．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，已知在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M 在线段OD 上，联结AM 并延长交边DC 于点E ，点N 在线段OC 上，且ON=OM ，联结DN 与线段AE 交于点H ，联结EN 、MN .（1）如果EN //BD ，求证：四边形DMNE 是菱形； （2）如果EN ⊥DC ，求证：2AN NC AC =⋅.（分） 100频率第22题图第22题表第23题图ADCH MONE B24．（本题满分12分，每小题4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（-3，0）和点B （3，2），与y轴相交于点C.（1）求这条抛物线的表达式；（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D 恰好落在x轴上，求直线AP的截距；（3）在第（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝8，点P 是射线AC 上一点（不与点A 、C 重合），过P 作PM AB ，垂足为点M ，以M 为圆心，MA 长为半径的⊙M 与边AB 相交的另一个交点为点N ，点Q 是边BC 上一点，且CQ = 2CP ，联结NQ .（1）如果⊙M 与直线BC 相切，求⊙M 的半径长；（2）如果点P 在线段AC 上，设线段AP =x ，线段NQ =y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）如果以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的公共弦所在直线恰好经过点P ，求线段AP 的长.备用图ACB第25题图QP A C MBN2020年上海市杨浦区中考数学二模试卷答案解析版一．选择题（共6小题）1.2020的相反数是（）A. 2020B. ﹣2020C.12020D.12020【答案】B【解析】【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【详解】解：2020的相反数是：﹣2020．故选：B．【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.下列计算中，正确的是（）A. a2•a4＝a8B. （a3）4＝a7C. （ab）4＝ab4D. a6÷a3＝a3【答案】D【解析】【分析】直接利用积的乘方、幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【详解】A．a2•a4＝a2+4=a6，故此选项计算错误，B．（a3）4＝a3×4=a12，故此选项计算错误，C．（ab）4＝a4b4，故此选项计算错误，D．a6÷a3＝a6-3=a3，故此选项计算正确．故选D．【点睛】此题主要考查了积的乘方、幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中∠1与∠2的数量关系是（）A. ∠1＝2∠2B. ∠1＝3∠2C. ∠1+∠2＝180°D. ∠1+2∠2＝180°【答案】A【解析】【分析】由折叠可得，∠2=∠ABC，再根据平行线的性质，即可得出∠1=∠ABD=2∠2．【详解】解：如图，由折叠可得，∠2=∠ABC，又∠2+∠ABC=∠ABD，即：∠ABD=2∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠ABD（两直线平行，内错角相等），∴∠1=∠ABD=2∠2故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．4.已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是（）A. 0＜d＜3B. 0＜d＜7C. 3＜d＜7D. 0≤d＜3【答案】D【解析】【分析】本题直接告诉了两圆的半径及两圆的位置的关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【详解】解：由题意知，两圆内含，则0≤d＜5-2（当两圆圆心重合时圆心距为0），即如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是0≤d ＜3， 故选：D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，①外离，则d ＞R+r ；②外切，则d=R+r ；③相交，则R-r ＜d ＜R+r ；④内切，则d=R-r ；⑤内含，则d ＜R-r ． 5.如果正十边形的边长为a ，那么它的半径是（ ）A.sin 36a︒B.cos36a︒C.2sin18a︒D.2cos18a︒【答案】C 【解析】 【分析】如图，画出图形，在直角三角形OAM 中，直接利用三角函数即可得到OA. 【详解】如图，正十边形的中心角∠AOB=360°÷10=36°，AB=a ∴∠AOM=∠BOM=18°，AM=MB=12a ； ∴OA=AM sin OAM ∠=218asin ︒故选C.【点睛】本题考查三角函数，能够画出图形，找到正确的三角函数关系是解题关键. 6.已知在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是（ ）A. AD ＝BC ，AC ＝BDB. AC ＝BD ，∠BAD ＝∠BCDC. AO ＝CO ，AB ＝BCD. AO ＝OB ，AC ＝BD【答案】B 【解析】【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．【详解】解：A、AB∥DC，AD＝BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B、∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ABC＝∠ADC＋∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC＝∠ADC，∴得出四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；C、∵AO＝CO，AB＝BC，∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；D、AO＝OB，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误；故选：B．【点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．二．填空题（共12小题）7.分解因式：2mx－6my＝__________．【答案】2m(x－3y)【解析】试题分析：对于因式分解的题目．如果有公因式，我们首先都需要提取公因式，然后利用公式法或十字相乘法进行因式分解.原式=2m（x－3y）.考点：因式分解.8.函数x的取值范围是____________________．【答案】x＞1【解析】【分析】根据被开方数不能为负数，以及分母不能为零，列出不等式解不等式即可.【详解】根据题意得：x-1≥0，且x-1≠0解得x＞1故填x＞1【点睛】本题考查自变量的取值范围，正确列出不等式是解题关键.9.从1，2，3，4，5，6，7，这七个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概率是_____．【答案】4 7【解析】【分析】根据素数定义，先找到素数的个数，让素数的个数除以数的总数即为所求的概率．【详解】解：∵1，2，3，4，5，6，7这7个数有4个素数是2，3，5，7；∴抽到素数的概率是47．故答案为：47．【点睛】本题考查的是概率公式．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝mn；找到素数的个数为易错点．10.一组数据：2，2，5，5，6，那么这组数据的方差是_____．【答案】14 5【解析】【分析】根据题意先求出这组数的平均数是4，再根据方差公式求解即可【详解】解：∵x＝15（2+2+5+5+6）＝4，∴S2＝1n[（x1−x）2＋（x2−x）2＋…＋（x n−x）2]=15[（4﹣2）2+（4﹣2）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣6）2]＝145，故答案为：145．【点睛】本题考查了方差：一般地设n个数据，x1，x2，…，x n的平均数为x，则方差S2＝1n[（x1−x）2＋（x2−x）2＋…＋（x n−x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．11.不等式组21021xx-+<⎧⎨-⎩的解集是_____．【答案】132x <【解析】【分析】先求出各个不等式的解集，再求它们的公共解集即为不等式组得解集．【详解】解：21021xx-+<⎧⎨-⎩①②，解不等式①，得12 x>；解不等式②，得x≤3；所以原不等式组的解集为：13 2x<≤，故答案为：132x <． 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式（组），关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 12.x =的根是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】本题可先对方程两边平方，得到x+2=x 2，再对方程进行因式分解即可解出本题． 【详解】原方程变形为：x+2=x 2即x 2−x−2=0 ∴(x−2)(x+1)=0 ∴x=2或x=−1 ∵x=−1时不满足题意. ∴x=2. 故答案为2.【点睛】此题考查解无理方程，解题关键在于掌握方程解法.13.已知关于x 的一元二次方程 2210mx x -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是___．【答案】1m <且0m ≠ 【解析】 【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，∴()20240m m ≠⎧⎪⎨--⎪⎩＝＞， 解得：m ＜1且m≠0． 故答案为1m <且0m ≠．【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解一元一次不等式组，根据二次项系数非零结合根的判别式△＞0列出关于m 的一元一次不等式组是解题的关键．14.在△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，DE 经过△ABC 的重心，如果AB ＝π，AC n =，那么DE ＝_____．（用π、n 表示） 【答案】2233n π-【解析】 【分析】由DE ∥BC 推出AD ：AB ＝AG ：AF ＝DE ：BC ＝2：3，推出DE ＝23BC ，求出 BC 即可解决问题．【详解】解：如图设G 是重心，作中线AF ．∵DE ∥BC ，∴AD ：AB ＝AG ：AF ＝DE ：BC ＝2：3， ∴DE ＝23BC ， ∵BC BA AC =+ ∴BC n π=-， ∴()222333DE n n ππ=-=- 故答案为：2233n π-． 【点睛】本题考查三角形的重心、平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.如图，已知在5×5的正方形网格中，点A 、B 、C 在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C 到线段AB 所在直线的距离是_____．【答案】355【解析】 【分析】根据题意，连接AD 、AC ，作CE ⊥AD 于点E ，由每个小正方形的边长为1，利用勾股定理，可以得到AC 、CD 、AD 的长，然后即可得到△ACD 的形状，再利用等积法，即可求得CE 的长．【详解】解：连接AD 、AC ，作CE ⊥AD 于点E ，∵小正方形的边长都为1， ∵AD=224225+=,AC=223332+=,CD=22112+=∵()()()22225322=+，即AD 2=AC 2+CD 2∴△ACD 是直角三角形，∠ACD ＝90°， ∴22AC CD AD CE⋅⋅=， 即32225=22CE⨯⨯， 解得，CE ＝35， 即点C 到线段AB 所在直线的距离是35， 故答案为：355．【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16.如图，已知在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限内，反比例函数y ＝kx的图象经过△OAB 的顶点B 和边AB 的中点C ，如果△OAB 的面积为6，那么k 的值是_____．【答案】4【解析】【分析】过B作BD⊥OA于点D，设点B（m，n），根据△OAB的面积为6，可以求得A点坐标，而点C是AB的中点，即可表示出C点坐标，再将点B、C坐标同时代入反比例函数解析式，即可求解．【详解】解：过B作BD⊥OA于D，∵点B在反比例函数kyx=的图象上，∴设B（m，n），∵△OAB的面积为6，∴12 OAn=，∴A（12n，0），∵点C是AB的中点，∴C（122mnn+，2n），∵点C在反比例函数kyx=的图象上，∴12=22mn nmnn+⋅，∴4mn=，∴4k=．故答案为4．【点睛】本题目考查反比例函数，难度一般，正确作出辅助线，设出点B的坐标，是顺利解题的关键．17.定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a）（k是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，那么k的值是_____．【答案】2【解析】【分析】先根据一次函数的性质求出对应的y的取值范围，再根据k级函数的定义解答即可．【详解】解：∵一次函数y＝2x﹣1，1≤x≤5，∴1≤y≤9，∵一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，∴9－1=k（5－1），解得：k＝2；故答案为：2．【点睛】本题是新定义试题，主要考查了对“k级函数”的理解和一次函数的性质，正确理解“k级函数”的概念、熟练掌握一次函数的性质是解题关键．18.如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝43，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是_____．【答案】6或10【解析】【分析】分情况解答：当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x，通过证明△PBE≌△QPF，得出PE＝QF＝x，DF＝x﹣1，由tan∠FDQ＝tan A＝4 3＝FQDF，即可得出AP的值；当点Q落在AD上时，得出∠APB＝∠BPQ＝90°，由tan A＝43，即可得出AP的值；当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．由tan A＝BEAE＝43，可得出△BPQ是等腰直角三角形，此时求出BQ不满足题意，舍去.【详解】解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．在Rt△AEB中，∵tan A＝BEAE＝43，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°，∴∠EBP＝∠FPQ，∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°，∴△PBE≌△QPF（AAS），∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，∵CD∥AB，∴∠FDQ＝∠A，∴tan ∠FDQ ＝tan A ＝43＝FQ DF， ∴1xx ＝43， ∴x ＝4， ∴PE ＝4， ∴AP ＝6+4＝10；如图2，当点Q 落在AD 上时，∵将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ， ∴∠BPQ ＝90°， ∴∠APB ＝∠BPQ ＝90°， 在Rt △APB 中，∵tan A ＝AP BP ＝43，AB ＝10， ∴AP ＝6；如图3中，当点Q 落在直线BC 上时，作BE ⊥AD 于E ，PF ⊥BC 于F ．则四边形BEPF 是矩形．在Rt △AEB 中，∵tan A ＝BE AE ＝43，AB ＝10， ∴BE ＝8，AE ＝6， ∴PF ＝BE ＝8，∵△BPQ 是等腰直角三角形，PF ⊥BQ ， ∴PF ＝BF ＝FQ ＝8，∴PB ＝PQ ＝2，BQ 2＝16＞15（不合题意舍去），综上所述，AP 的值是6或10， 故答案为：6或10．【点睛】本题主要考查旋转的性质，由正切求边长，正确画出图形，分情况解答是解题的关键.三．解答题（共7小题） 19.先化简，再求值：（1222a a ++-）÷2322a a a++，其中a． 【答案】2a a -【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再把a 的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：原式＝()()()()22232222a a a a a a a -+++÷+-+ ＝()()()2322232a a a a a a ++⨯+-+＝2aa -． 当a【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的除法运算，属于基本题型，熟练掌握分式的混合运算法则和分母有理化方法是解题关键． 20.解方程组: 22212320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 【答案】1144x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩ 【解析】 【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．【详解】解：由（2）得（x−y ）（x−2y ）＝0．∴x−y＝0或x−2y＝0，原方程组可化为212x yx y+=⎧⎨-=⎩，21220x yx y+=⎧⎨-=⎩，解这两个方程组，得原方程组的解为：114 4x y =⎧⎨=⎩，2263xy=⎧⎨=⎩.【点睛】本题主要考查了高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．21.如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．（1）求桥拱所在圆的半径长；（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且cotα＝3，求水面上升的高度．【答案】（1）桥拱所在圆的半径长为5米；（2）水面上升的高度为1米【解析】【分析】（1）根据点D是AB中点，DC AB⊥知C为AB中点，联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，在Rt△ACO中，由勾股定理求出半径．（2）设OD与EF相交于点G，联结OE，由EF∥AB，OD⊥AB，得到OD⊥EF，进而找出EG＝3DG，设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，在Rt△EGO中根据勾股定理求出x即可．【详解】解：（1）∵点D是AB中点，DC AB⊥，∴AC＝BC，DC经过圆心，设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，∵AB＝8，∴AC＝BC＝4，联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，∵OD ⊥AB ， ∴∠ACO ＝90°，在Rt △ACO 中，∵OA 2＝AC 2+OC 2， ∴R 2＝（R ﹣2）2+42， 解之得R ＝5．答：桥拱所在圆的半径长为5米． （2）设OD 与EF 相交于点G ，联结OE ， ∵EF ∥AB ，OD ⊥AB ， ∴OD ⊥EF ，∴∠EGD ＝∠EGO ＝90°， 在Rt △EGD 中，cot 3EGDGα== ， ∴EG ＝3DG ，设水面上升的高度为x 米，即CG ＝x ，则DG ＝2﹣x ， ∴EG ＝6﹣3x ，在Rt △EGO 中，∵EG 2+OG 2＝OE 2， ∴（6﹣3x ）2+（3+x ）2＝52，化简得 x 2﹣3x +2＝0，解得 x 1＝2（舍去），x 2＝1， 答：水面上升的高度为1米．【点睛】此题是关于圆的综合性试题，包含的知识点有解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等，有一定难度．22.某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从该社区抽取40名居民的答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下： 收集数据85 65 95 100 90 95 85 65 75 85 100 90 70 90 100 80 80 100 95 75 80 100 80 95 65 100 90 95 8580 100 75 60 90 70 80 95 75 100 90整理数据（每组数据可含最低值，不含最高值）分组（分）频数频率60～70 4 0.170～80 a b80～90 10 0.2590～100 c d100～110 8 0.2分析数据（1）填空：a＝，b＝，c＝，d＝；（2）补全频率分布直方图；（3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在（分）范围内的人数最多；（4）如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为人．【答案】（1）6，0.15，12，0.3；（2）见解析；（3）：90～100；（4）400【解析】【分析】（1）根据数据找出a，c再求出相应的b，d．（2）根据（1）画图即可．（3）从直方图中直接找出频率最高者即为所求．（4）总数乘以频率即可．【详解】解：（1）由题意可知：第二组的频数a＝6，第四组的频数c＝12，∴第二组的频率为：6÷40＝0.15，第四组的频率为：12÷40＝0.3．故答案为：6，0.15，12，0.3；（2）如下图即为补全的频率分布直方图；（3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在90～100（分）范围内的人数最多．故答案为：90～100；（4）800×（0.3+0.2）＝400（人）．答：如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为400人．故答案为：400．【点睛】此题考查数据的收集，包含频率的计算，画直方图等，难度一般．23.如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．（1）如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；（2）如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据正方形性质及ON＝OM，求出MN∥CD，进而得出四边形DMNE是平行四边形，在证明出△AOM≌△DON即可得到平行四边形DMNE是菱形；（2）根据MN∥CD得到AN AMNC ME=，再由EN⊥DC得到EN∥AD，AC DCAN DE=，再由AB∥DC，得到AM ABME DE=，即可得到AN ACNC AN=，即为所求．【详解】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∵ON＝OM，∴ON OM OC OD=，∴MN∥CD，又∵EN∥BD，∴四边形DMNE是平行四边形，在△AOM和△DON中，∵∠AOM＝∠DON＝90°，OA＝OD，OM＝ON，∴△AOM≌△DON（SAS），∴∠OMA＝∠OND，∵∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OAM+∠OND＝90°∴∠AHN＝90°．∴DN⊥ME，∴平行四边形DMNE是菱形；（2）如图2，∵MN∥CD，∴AN AM NC ME=，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，∴AD⊥DC，又∵EN⊥DC，∴EN∥AD，∴AC DC AN DE=，∵AB∥DC，∴AM AB ME DE=，∴AN AC NC AN=，∴AN2＝NC•AC．【点睛】此题考查正方形相关知识，主要是利用平行线分线段成比例求解，难度较大．24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0）和点B （3，2），与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x 轴上，求直线AP 的截距；（3）在（2）小题的条件下，如果点E 是y 轴正半轴上一点，点F 是直线AP 上一点．当△EAO 与△EAF 全等时，求点E 的纵坐标．【答案】（1）211433y x x =-++；（2）32；（3）3352+或5﹣6【解析】 【分析】（1）把(3,0)A -和点(3,2)B 代入抛物线的解析式，列方程组，可得结论；（2）如图1，根据对称的性质得5AD AC ==，可得2OD =，设OH a =，则4HC HD a ==-，在Rt HOD ∆中，根据勾股定理得222HD OH OD =+，列方程可得结论；（3）分两种情况：先说明AOE ∆是直角三角形，所以EAF ∆也是直角三角形，根据90EFA ∠=︒，画图，由勾股定理列方程可解答．【详解】解：（1）抛物线24y ax bx =++过点(3,0)A -和点(3,2)B ，∴93409342a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴211433y x x =-++；（2）如图1，连接AC ，DH ， 点C 关于直线AP 的对称点D ，AD AC =∴，211433y x x =-++与y 轴交于点(0,4)C ，与x 轴交于点(3,0)A -，5AC ∴=， 5AD ∴=，∴点(2,0)D ，设直线AP 与y 轴交于点H ，则HC HD =，设OH a =，则4HC HD a ==-， 在Rt HOD ∆中，222HD OH OD =+，222(4)2a a ∴-=+，∴32a =， ∴直线AP 的截距为32； （3）点E 是y 轴正半轴上一点，AOE ∴∆是直角三角形，且90AOE ∠=︒当EAO ∆与EAF ∆全等时，存在两种情况：①如图2，当90EFA AOE ∠=∠=︒，EFA AOE ∆≅∆，EF OA ∴=，AHO EHF ∠=∠，90AOH EFH ∠=∠=︒，()AOH EFH AAS ∴∆≅∆，AH EH ∴=，由（2）知：32OH =， 32EH AH OE ∴==-， Rt AHO ∆中，222AH AO OH =+，22233()3()22OE ∴-=+，解得：335OE +=或335-（舍)， ∴点E 的纵坐标是3352+；②如图3，当90EFA AOE ∠=∠=︒，EFA EOA ∆≅∆，3AF AO ∴==，EF OE =，Rt AHO ∆中，223353()2AH =+=，353FH ∴=-，32EH OE =-，Rt EFH ∆中，由勾股定理得：222EH FH EF =+，222335()(3)2OE OE ∴-=-+， 解得：356OE =-，∴点E 的纵坐标是356-；综上，点E 的纵坐标是335+或356-． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是掌握二次函数的性质，对称的性质：对称轴是对称点连接的垂直平分线，三角形全等的性质和判定，当三角形全等不确定边的对应关系时，先确定三角形的特殊性，如直角三角形或等腰三角形等条件，再进一步分情况讨论．25.如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝8，点P 是射线AC 上一点（不与点A 、C 重合），过P 作PM ⊥AB ，垂足为点M ，以M 为圆心，MA 长为半径的⊙M 与边AB 相交的另一个交点为点N ，点Q 是边BC 上一点，且CQ ＝2CP ，联结NQ ． （1）如果⊙M 与直线BC 相切，求⊙M 的半径长；（2）如果点P 在线段AC 上，设线段AP ＝x ，线段NQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）如果以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的公共弦所在直线恰好经过点P ，求线段AP 的长．【答案】（1）55-；（2）2221220y x x =-+（0＜x ＜4）；（3）52或112． 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求得45AB =，设⊙M 的半径长为R ，则45BM R =-，过M 作MH ⊥BC ，垂足为点H ，根据相似三角形的对应边成比例得到MB MH AB AC =，最后根据⊙M 与直线BC 相切，即MA ＝MH ，即可求解；（2）设AP ＝x ，得到CP ＝4﹣x ，CQ ＝8﹣2x ，BQ ＝2x ，过Q 作QG ⊥AB ，垂足为点G ，根据三角函数可得4525BG QG x x ==，，根据PM ⊥AB ，5cosA AM AC AP AB ===，得到52565MA AN NG 45x x x ===-，，，最后在Rt △QNG 中，根据勾股定理即可求解；（3）当点P 在线段AC 上，设以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的另一个交点为点E ，连接EN ，MO ，则MO ⊥EN ，根据以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的公共弦所在直线恰好经过点P ，PM ⊥AB ，MA ＝MN ，得到PN ＝P A ，∠P AN ＝∠ANE ，再根据∠ACB ＝90°，得到∠P AN +∠B ＝90°，∠NMO ＝∠B ，连接AQ ，根据 M 、O 分别是线段AN 、NQ 的中点，得到MO ∥AQ ，∠NMO ＝∠BAQ ，∠BAQ ＝∠B ， QA ＝QB ，在Rt △QAC 中，根据勾股定理得，QA 2＝AC 2+QC 2即可求解；当点P 在线段AC 的延长112上，即11x 2=． 【详解】（1）解：如图1，在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝8，∴22AB 4845=+=设⊙M 半径长为R ，则BM 45R =过M 作MH ⊥BC ，垂足为点H ，∴MH ∥AC ，∴△BHM ∽△BCA ， ∴MB MH AB AC = ∵⊙M 与直线BC 相切，∴MA ＝MH ，∴45445R R -= ∴R 55=-，即M 的半径长为55-；（2）如图2，∵AP ＝x ，∴CP ＝4﹣x ，∵CQ ＝2CP ，∴CQ ＝8﹣2x ，∴BQ ＝BC ﹣CQ ＝8﹣（8﹣2x ）＝2x ，过Q 作QG ⊥AB ，垂足为点G ，∵cos BG BC B BQ AB==， ∴245BG x =， ∴5BG 5x =同理：25 QG x =∴∠AMP ＝90°，∴cosA AM AC AP AB ===∵AP ＝x ，∴MA AN x x ==，∴NG 5x = 在Rt △QNG 中，根据勾股定理得，QN 2＝NG 2+QG 2，∴222y ⎛⎫⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎭∴y =0＜x ＜4）；（3）当点P 在线段AC 上，如图3，设以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的另一个交点为点E ，连接EN ，MO ，则MO ⊥EN ，∴∠NMO +∠ANE ＝90°，∵以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的公共弦所在直线恰好经过点P ，即P 、E 、N 在同一直线上，又∵PM ⊥AB ，MA ＝MN ，∴PN ＝P A ，∴∠P AN ＝∠ANE ，∵∠ACB ＝90°，∴∠P AN +∠B ＝90°，∴∠NMO ＝∠B ，连接AQ ，∵M 、O 分别是线段AN 、NQ 的中点，∴MO ∥AQ ，∴∠NMO ＝∠BAQ ，∴∠BAQ ＝∠B ，在Rt△QAC中，根据勾股定理得，QA2＝AC2+QC2，∴（2x）2＝42+（8﹣2x）2，∴5 x2 =同理：当点P在线段AC的延长112上，11x2=即线段AP的长为52或112．【点睛】此题考查圆的综合题，涉及到相似三角形的判定和性质、解直角三角形，还涉及到了分类讨论的思想，熟练掌握各知识点的融会贯通是解题关键．。
上海市青浦区2020年初三中考数学二模试卷(解析版)
3.如果反比例函数 y＝ k 的图象在二、四象限，那么 k 的取值范围是（ ） x
A. k＞0
B. k＜0
C. k≥0
D. k≤0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象的性质：当 k＜0 时，反比例函数图象位于第二、四象限．
【详解】解：∵图象在二、四象限，
∴k＜0．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的性质，利用数形结合思想解
∴ BG ＝ BC ， DH DF
已知 DF＝8，设 AG＝x，则 BG＝5﹣x，
∴5 x＝4 ， DH 8
∴DH＝10﹣2x， ∵△BCG∽△DFH， ∴∠B＝∠FDH，∠BGC＝∠CHF， ∴∠AGC＝∠DHE， ∵∠A+∠B＝90°，∠EDH+∠FDH＝90°， ∴∠A＝∠EDH， ∴△AGC∽△DHE，
∴ DE AD AE 1 ， BC AB AC 2
∴ LADE ＝ DE AD AE ＝ 1 LABC BC AB AC 2
故答案为：1：2． 【点睛】本题考查中位线，解题的关键是熟练运用中位线的性质定理，本题属于基础题型． 14.已知点 C 在线段 AB 上，且 0＜AC＜ 1 AB．如果⊙C 经过点 A，那么点 B 与⊙C 的位
的相似分割线，CG、DH 分别与斜边 AB、EF 交于点 G、H，如果△BCG 与△DFH 相似， AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么 AG＝_____．
【答案】3 【解析】 【分析】 先由勾股定理得出 BC 的值，再由△BCG∽△DFH 列出比例式，设 AG＝x，用含 x 的式子 表示出 DH；按照相似分割线可知，△AGC∽△DHE，但要先得出两个相似三角形的边或 角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得 x 值即可． 【详解】解：∵Rt△ABC，AC＝3，AB＝5， ∴由勾股定理得：BC＝4， ∵△BCG∽b 表示为（ ）
2020年上海市长宁区中考数学二模试卷 (解析版)
2020年中考数学二模试卷一、选择题（共6个小题）1．下列实数中，无理数是（）A．0B．C．﹣3D．2．下列单项式中，与xy2是同类项的是（）A．x2y B．x2y2C．2xy2D．3xy3．关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．它的图象关于原点中心对称D．y的值随着x的值的增大而减小4．如图是关于某班同学一周体育锻炼情况的统计图，那么该班学生这一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．8、9B．8、8.5C．16、8.5D．16、145．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切6．▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 二、填空题7．计算：（x3）2÷（﹣x）2＝．8．方程＝2的根是．9．不等式组的解集是．10．已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为．11．如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是．12．如果关于x的多项式x2﹣2x+k在实数范围内能分解因式，那么k的取值范围是．13．从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是．14．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文是“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”大致意思是：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问人数、物品的价格各是多少？”如果设共有x人，物品的价格为y元，那么根据题意可列出方程组为．15．甲乙两位运动员在一次射击训练中各打五发，成绩的平均环数相同，甲的方差为1.6；乙的成绩（环）为：7，8，10，6，9，那么这两位运动员中的成绩较稳定．16．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，AD＝2DC，＝，＝，那么＝．（用含向量，的式子表示）17．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是．18．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连结BE，那么线段BE的长为．三、解答题19.计算：20.解方程：19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，∠BAC＝45°，cos∠ACB＝（1）求线段AC的长；（2）联结BD，交对角线AC于点O，求∠ADO的余切值．20．如图，反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A地到B地进行训练时行驶路程y （千米）和行驶时间x（小时）之间关系的部分图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式；（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B地，求A、B两地之间的距离．21．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连结BD，交EF于点Q，求证：DQ⋅BC＝CE⋅DF．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n经过点A（2，﹣2），对称轴是直线x＝1，顶点为点B，抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x轴正半轴交于点D，求△BCD的面积；（3）如果点P在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP交线段OA于点Q，＝，求点P的坐标．23．已知AB是⊙O的一条弦，点C在⊙O上，联结CO并延长，交弦AB于点D，且CD ＝CB．（1）如图1，如果BO平分∠ABC，求证：AB＝BC；（2）如图2，如果AO⊥OB，求AD：DB的值；（3）延长线段AO交弦BC于点E，如果△EOB是等腰三角形，且⊙O的半径长等于2，求弦BC的长．参考答案一、选择题1．下列实数中，无理数是（）A．0B．C．﹣3D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：A．0是整数，属于有理数；B.是无理数；C．﹣3是整数，属于有理数；D.，是整数，属于有理数．故选：B．2．下列单项式中，与xy2是同类项的是（）A．x2y B．x2y2C．2xy2D．3xy【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．解：A．x2y与xy2所含字母的指数不同，所以不是同类项；B．x2y2与xy2所含字母的指数不尽相同，所以不是同类项；C.2xy2与xy2所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项；D.3xy与xy2所含字母的指数不尽相同，所以不是同类项．故选：C．3．关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．它的图象关于原点中心对称D．y的值随着x的值的增大而减小【分析】根据反比例函数y＝和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵反比例函数y＝，∴当x＝﹣2时，y＝﹣1，即点（﹣2，﹣1）在它的图象上，故选项A正确；它的图象在第一、三象限，故选项B正确；它的图象关于原点中心对称，故选项C正确；在每个象限内，y的值随着x的值的增大而减小，故选项D不正确；故选：D．4．如图是关于某班同学一周体育锻炼情况的统计图，那么该班学生这一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．8、9B．8、8.5C．16、8.5D．16、14【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；故选：A．5．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【分析】求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较大小，确定两圆位置关系．根据两圆的位置关系得到其数量关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．解：设圆心距为d，因为5﹣3＝2，3+5＝8，圆心距为7cm，所以，2＜d＜8，根据两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间，所以两圆相交．故选：C．6．▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．解：如图，连接AC与BD相交于O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OF，故本选项符合题意；C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意；故选：B．二、填空题7．计算：（x3）2÷（﹣x）2＝x4．【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算得出答案．解：（x3）2÷（﹣x）2＝x6÷x2＝x4．故答案为：x4．8．方程＝2的根是x＝﹣1．【分析】此题需把方程两边平方去根号后求解，然后把求得的值进行检验即可．解：两边平方得：3﹣x＝4，x＝﹣1．检验：当x＝﹣1时，原方程的左边＝2，右边＝2，∴x＝﹣1是原方程的根．故答案为：x＝﹣1．9．不等式组的解集是﹣≤x≤6．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式3x+4≥0，得：x≥﹣，解不等式x﹣2≤1，得：x≤6，则不等式组的解集为﹣≤x≤6，故答案为：﹣≤x≤6．10．已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为2．【分析】根据题意，画出图形作AD⊥BC，BE⊥AC于点D和E，点O即为△ABC的外心，根据特殊角30度即可求出BD的值，进而可得三角形的边长．解：根据题意，画出图形，∵△ABC是正三角形，作AD⊥BC，BE⊥AC于点D和E，∴点O即为△ABC的外心，∴OD＝1，∠DBO＝30°，∴BD＝，∴BC＝2BD＝2．故答案为：2．11．如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是a ＜1．【分析】根据抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围．解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，且该抛物线与y轴交于负半轴，∴a﹣1＜0，解得：a＜1．故答案为：a＜1．12．如果关于x的多项式x2﹣2x+k在实数范围内能分解因式，那么k的取值范围是k≤1．【分析】本题实际上求一元二次方程x2﹣2x+k在实数范围内有实数根时，k的取值范围．所以根据一元二次方程的根的判别式解答即可．解：∵二次三项式x2﹣2x+k在实数范围内能分解因式，∴一元二次方程x2﹣2x+k在实数范围内有实数根，∴△＝4﹣4k≥0，解得，k≤1．故答案为：k≤1．13．从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是．【分析】列举出所有情况，看和为偶数的情况数占总情况数的多少即可．解：共12种情况，和为偶数的情况数有4种，所以概率为．故答案为．14．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文是“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”大致意思是：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问人数、物品的价格各是多少？”如果设共有x人，物品的价格为y元，那么根据题意可列出方程组为．【分析】根据“8×人数﹣多出的钱数＝物品的价格和7×人数+差的钱数＝物品的价格”列方程即可得．解：设共有x人，物品的价格为y元，根据题意，可列方程组为，故答案为：．15．甲乙两位运动员在一次射击训练中各打五发，成绩的平均环数相同，甲的方差为1.6；乙的成绩（环）为：7，8，10，6，9，那么这两位运动员中甲的成绩较稳定．【分析】利用方差的公式求得乙的方差，与甲的方差比较，方差较小的成绩稳定．解：乙的平均成绩为（7+8+10+6+9）÷5＝8，方差为：[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2]＝2，∵甲的方差为1.6，∴甲的方差较小，∴成绩较稳定的是甲，故答案为：甲．16．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，AD＝2DC，＝，＝，那么＝﹣+．（用含向量，的式子表示）【分析】利用三角形法则可知：＝+，求出即可解决问题．解：∵AD＝2DC，∴AD＝AC，∴＝＝，∴＝+，∴＝﹣+，故答案为﹣+．17．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是1．【分析】先根据题意画出图形，连接BD、OD，设AM＝x，根据AD2﹣AM2＝OD2﹣OM2，列出方程，求出x，再根据OC＝OA﹣AM﹣CM计算即可．解：根据题意画图如下：连接BD，与AC交与点M，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AMD＝∠DMC＝90°，∠ACD＝∠ACB，CD＝CD，AM＝CM，∴DM2＝AD2﹣AM2，设AM＝x，则DM2＝（2）2﹣x2，连接OD、OB，在△OCD和△OCB中，，∴△OCD≌OCB（SSS），∴∠OCD＝∠OCB，∴∠ACD+∠OCD＝∠ACB+∠OCB＝180°，∴OC与AC在一条直线上，∴△OMD是一个直角三角形，OM＝OA﹣AM＝5﹣x，∴DM2＝OD2﹣OM2，＝52﹣（5﹣x）2，∴（2）2﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，x＝2，∴AM＝CM＝2，∴OC＝OA﹣AM﹣CM＝5﹣2﹣2＝1．故答案为：1．18．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连结BE，那么线段BE的长为．【分析】证△ABC∽△DAC，得出AC2＝BC×CD＝2，AC＝，由勾股定理得出AD ＝，由折叠的性质得ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，得出BD＝ED，作DF⊥BE于F，则BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，证△BDF∽△DAC，求出BF＝，即可得出答案．解：如图所示：∵BC＝2，点D是边BC的中点，∴BD＝CD＝1，∵∠ABC＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，∴AC：CD＝BC：AC，∴AC2＝BC×CD＝2×1＝2，∴AC＝，∴AD＝＝＝，由折叠的性质得：ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，∴BD＝ED，作DF⊥BE于F，则BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，∴∠BDF+∠ADC＝×180°＝90°，∵∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BDF＝∠DAC，又∵∠DFB＝∠C＝90°，∴△BDF∽△DAC，∴＝，即＝，∴BF＝，∴BE＝2BF＝；故答案为：．三、解答题19.计算：20.解方程：19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，∠BAC＝45°，cos∠ACB＝（1）求线段AC的长；（2）联结BD，交对角线AC于点O，求∠ADO的余切值．【分析】（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，根据已知条件和cos∠ACB＝可得，CE＝3，AE＝BE＝4，进而可求AC的长；（2）结合（1）和AD∥BC，可得＝，得AO和OC的长，从而可求OE的长，进而得∠ADO的余切值即为∠BOE的余切值．解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，∴∠AEB＝90°，∵∠BAC＝45°，∴AE＝BE，∵cos∠ACB＝，即＝，∵BC＝5，∴CE＝3，∴BE＝＝4，∴AE＝BE＝4，∴AC＝AE+EC＝4+3＝7．答：线段AC的长为7；（2）∵AD∥BC，∴＝，∴＝，解得AO＝2，∴OC＝5，∴OE＝OC﹣CE＝5﹣3＝2，∴＝＝，∵∠ADO＝∠BOE，∴cot∠ADO＝cot∠BOE＝．∴∠ADO的余切值即为∠BOE的余切值为．20．如图，反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A地到B地进行训练时行驶路程y （千米）和行驶时间x（小时）之间关系的部分图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式；（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B地，求A、B两地之间的距离．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x ≤3）之间的函数解析式；（2）根据函数图象中的数据，可以分别求得甲的速度和乙开始的速度，然后设出A、B 两地之间的距离，再根据甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B地，可以列出相应的方程，从而可以得到A、B两地之间的距离．解：（1）设乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式为y＝kx+b，，解得，，即乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式是y＝10x+20；（2）设A、B两地之间的距离为S千米，甲的速度为60÷3＝20（千米/时），乙开始的速度为30÷1＝30（千米/时），，解得，S＝80，答：A、B两地之间的距离是80千米．21．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连结BD，交EF于点Q，求证：DQ⋅BC＝CE⋅DF．【分析】（1）作EM⊥BC于点M，可证EM∥AB，可得∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，由角的数量关系可得∠CEM＝45°＝∠BAC，可证AB＝BC，可得结论；（2）通过证明△BCE∽△FDQ，可得，可得结论．【解答】证明：（1）如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形；（2）如图，∵∠BEF+∠BCF+∠EFC+∠EBC＝360°，∴∠EBC+∠EFC＝180°，且∠EFC+∠QFD＝180°，∴∠DFQ＝∠EBC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BDC＝45°，∴△BCE∽△FDQ，∴，∴BC•DQ＝CE•DF．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n经过点A（2，﹣2），对称轴是直线x＝1，顶点为点B，抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x轴正半轴交于点D，求△BCD的面积；（3）如果点P在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP交线段OA于点Q，＝，求点P的坐标．【分析】（1）先根据对称轴求出m，再将点A坐标代入抛物线解析式中求出能，得出抛物线解析式，最后配成顶点式，即可得出结论；（2）先求出点D坐标，进而求出直线CD解析式，得出点E坐标，再用面积公式求解即可得出结论；（3）设出点P坐标，构造出△PMQ∽△PNB，得出＝，表示出QM＝（a2﹣2a+1），PM＝（a﹣1），进而表示出Q（a+，a2﹣a﹣），代入直线OA 中，即可得出结论．解：（1）∵抛物线y＝x2+mx+n的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴m＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+n，∵抛物线过点（2，﹣2），∴4﹣2×2+n＝﹣2，∴n＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，∴顶点B的坐标为（1，﹣3）；（2）如图1，由平移知，平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∵点D在x正半轴上，∴D（3，0），针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∴直线CD的解析式为y＝x﹣2，记直线CD与直线x＝1的交点为E，则E（1，﹣），∴S△BCD＝BE•|x D﹣x C|＝×|﹣﹣（﹣3）|×3＝；（3）如图2，设P（a，a2﹣2a﹣2），过点P作PN垂直于直线x＝1于点N过点Q作QM⊥PN于M，∴QM∥NN，∴△PMQ∽△PNB，∴＝，∵，∴＝，∵PN＝a﹣1，BN＝a2﹣2a﹣2+3＝a2﹣2a+1，∴，∴QM＝（a2﹣2a+1），PM＝（a﹣1），∴MN＝PN﹣PM＝（a﹣1），点Q与点B的纵坐标之差的绝对值为（a2﹣2a+1），∴Q（a+，a2﹣a﹣），∵A（2，﹣2），∴直线OA的解析式为y＝﹣x，∵点Q在线段OA上，∴a++a2﹣a﹣＝0，∴a＝﹣3（舍）或a＝4，∴P（4，6）．23．已知AB是⊙O的一条弦，点C在⊙O上，联结CO并延长，交弦AB于点D，且CD ＝CB．（1）如图1，如果BO平分∠ABC，求证：AB＝BC；（2）如图2，如果AO⊥OB，求AD：DB的值；（3）延长线段AO交弦BC于点E，如果△EOB是等腰三角形，且⊙O的半径长等于2，求弦BC的长．【分析】（1）证明△OBA≌△OBC即可解决问题．（2）如图2中，作DM⊥OB于M，DN⊥OA于N，设OM＝a．首先证明∠CDB＝∠CBD＝75°，解直角三角形求出AD，BD（用a表示）即可解决问题．（3）因为∠OEB＝∠C+∠COE＞∠OBE，推出OE≠OB，分两种情形：如图3﹣1中，当BO＝BE时，如图3﹣2中，当EO＝EB时，分别求解即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵OB＝OA＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠C＝∠OBC，∴∠A＝∠C，∵OB＝OB，∴△OBA≌△OBC（AAS），∴AB＝BC．（2）解：如图2中，作DM⊥OB于M，DN⊥OA于N，设OM＝a．∵OA⊥OB，∴∠MON＝∠DMO＝∠DNO＝90°，∴四边形DMON是矩形，∴DN＝OM＝a，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠ABO＝45°，∵OC＝OB，CD＝CB，∴∠C＝∠OBC，∠CDB＝∠CBD，∵∠C+∠CDB+∠CBD＝180°，∴∠C＝30°，∴∠CDB＝∠CBD＝75°，∵∠DMB＝90°，∴∠MDB＝∠DBM＝45°，∴DM＝BM，∠ODM＝30°，∴DM＝OM＝a，DN＝DM＝a，AD＝DN＝a，∴＝＝．（3）解：如图3﹣1中，当BO＝BE时，∵CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD，∴∠A+∠AOD＝∠OBA+∠OBC，∵∠A＝∠ABO，∴∠AOD＝∠OBC＝∠C，∵AOD＝∠COE，∴∠C＝∠COE＝∠CBO，∵∠C＝∠C，∴△OCE∽△BCO，∴＝，∴＝，解得EC＝﹣1+或﹣1﹣（舍弃），∴BC＝+1．如图3﹣2中，当EO＝EB时，同法可证△OEB是等腰直角三角形，∴EO＝EB＝EC＝OB＝，∴BC＝2，∵∠OEB＝∠C+∠COE＞∠OBE，∴OE≠OB，综上所述，BC的值为+1或2．。
2020年上海市松江区中考数学二模试卷(解析版)
2020年上海市松江区中考数学二模试卷一．选择题（共6小题）1．下列实数中，有理数是（）A．B．C．πD．3.142．如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝x2+1D．y＝x2+33．不等式组的解集是（）A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜24．某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑，它们预赛的成绩各不相同，取前6名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）A．方差B．极差C．中位数D．平均数5．如果一个多边形的每一个内角都是135°，那么这个多边形的边数是（）A．5B．6C．8D．106．如图，已知△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝4，点G是△ABC的重心．将△ABC平移，使得顶点A与点G重合．那么平移后的三角形与原三角形重叠部分的周长为（）A．2B．3C．4D．4.5二．填空题（共12小题）7．化简：＝．8．方程组的解是．9．函数y＝的定义域是．10．若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是．11．有一枚材质均匀的正方体骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，掷一次该骰子，向上的一面出现的点数大于2的概率是．12．已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数y＝﹣x2+c的图象上，那么y1与y2的大小关系是．13．空气质量检测标准规定：当空气质量指数W≤50时，空气质量为优；当50＜W≤100时，空气质量为良，当100＜Q≤150时，空气质量为轻微污染．已知某城市4月份30天的空气质量状况，统计如表：空气质量指数（W）406090110120140天数3510741这个月中，空气质量为良的天数的频率为．14．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC＝3AD，如果＝，＝，那么（用，表示）．15．某市出租车计费办法如图所示，如果小张在该市乘坐出租车行驶了10千米，那么小张需要支付的车费为元．16．已知⊙O1和⊙O2相交，圆心距d＝5，⊙O1的半径为3，那么⊙O2的半径r的取值范围是．17．如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于度．18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D 的对应点分别为A′、D′，如果直线A′D′与⊙O相切，那么的值为．三．解答题（共7小题）19．计算：（）﹣1+﹣+|1﹣|．20．解方程：﹣＝2．21．如图，在平面直角坐标系内xOy中，某一次函数的图象与反比例函数的y＝的图象交于A（1，m）、B（n，﹣1）两点，与y轴交于C点．（1）求该一次函数的解析式；（2）求的值．22．如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．23．如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC 上，满足AM＝CN．（1）求证：AB＝AC；（2）联结OM、ON、MN，求证：＝．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，联结AB、AM．（1）求这条抛物线的表达式和点M的坐标；（2）求sin∠BAM的值；（3）如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标．25．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＜BC，AB＝BC＝1，E是边AB上一点，联结CE．（1）如果CE＝CD，求证：AD＝AE；（2）联结DE，如果存在点E，使得△ADE、△BCE和△CDE两两相似，求AD的长；（3）设点E关于直线CD的对称点为M，点D关于直线CE的对称点为N，如果AD＝，且M在直线AD上时，求的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列实数中，有理数是（）A．B．C．πD．3.14【分析】直接利用有理数和无理数的定义得出答案．【解答】解：A、是无理数，不合题意；B、是无理数，不合题意；C、π是无理数，不合题意；D、3.14是有理数，符合题意．故选：D．2．如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝x2+1D．y＝x2+3【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线y＝x2+2的顶点坐标为（0，2），再根据点平移的规律得到点（0，2）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y＝x2+2的顶点坐标为（0，2），点（0，2）向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为（﹣1，2），所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x+1）2+2，故选：B．3．不等式组的解集是（）A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜2【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，解不等式6﹣2x＜2，得：x＞2，则不等式组的解集为x＞2，故选：C．4．某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑，它们预赛的成绩各不相同，取前6名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）A．方差B．极差C．中位数D．平均数【分析】由于比赛取前6名参加决赛，共有13名选手参加，根据中位数的意义分析即可．【解答】解：13个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有7个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．故选：C．5．如果一个多边形的每一个内角都是135°，那么这个多边形的边数是（）A．5B．6C．8D．10【分析】已知每一个内角都等于135°，就可以知道每个外角是45度，根据多边形的外角和是360度就可以求出多边形的边数．【解答】解：多边形的边数是：n＝＝8，即该多边形是八边形．故选：C．6．如图，已知△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝4，点G是△ABC的重心．将△ABC平移，使得顶点A与点G重合．那么平移后的三角形与原三角形重叠部分的周长为（）A．2B．3C．4D．4.5【分析】先根据平移和平行线的性质得到∠GMN＝∠B，∠GNM＝∠C，则可判断△GMN ∽△ABC，根据相似三角形的性质得到＝，接着利用三角形重心性质得AG＝2GD，然后根据三角形周长定义计算即可．【解答】解：∵将△ABC平移得到△GEF，∴GE∥AB，GF∥AC，∴∠GMN＝∠B，∠GNM＝∠C，∴△GMN∽△ABC，∴＝，∵点G是△ABC的重心，∴＝，∴△GMN的周长＝×（2+3+4）＝3．故选：B．二．填空题（共12小题）7．化简：＝．【分析】利用二次根式的性质＝|a|进行计算即可．【解答】解：原式＝＝a，故答案为：a．8．方程组的解是或．【分析】根据代入消元法解方程组即可得到结论．【解答】解：方程组，由①得，y＝2﹣x③，把③代入②得，x（2﹣x）＝﹣3，解得：x1＝3，x2＝﹣1，把x1＝3，x2＝﹣1分别代入③得，y1＝﹣1，y2＝3，∴原方程组的解为：或．故答案为：或．9．函数y＝的定义域是x≠﹣2．【分析】根据函数y＝，可知x+2≠0，从而可以求得x的取值范围．【解答】解：∵函数y＝，解得，x≠2，故答案为：x≠﹣2．10．若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是m≥﹣．【分析】根据一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根得到△≥0，即△＝1﹣4（﹣m）≥0，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，∴△≥0，∴△＝1﹣4（﹣m）≥0，即m≥﹣，故答案为：m≥﹣．11．有一枚材质均匀的正方体骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，掷一次该骰子，向上的一面出现的点数大于2的概率是．【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数大于2的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：抛掷此正方体骰子共有6种等可能结果，其中向上的一面出现的点数大于2的有3、4、5、6这4种结果，所以向上的一面出现的点数大于2的概率为＝，故答案为：．12．已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数y＝﹣x2+c的图象上，那么y1与y2的大小关系是y1＜y2．【分析】根据函数解析式求出对称轴，然后根据二次函数的增减性进行判断即可．【解答】解：二次函数y＝﹣x2+c的开口向下，对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣1，∴y1＜y2．故答案为：y1＜y2．13．空气质量检测标准规定：当空气质量指数W≤50时，空气质量为优；当50＜W≤100时，空气质量为良，当100＜Q≤150时，空气质量为轻微污染．已知某城市4月份30天的空气质量状况，统计如表：空气质量指数（W）406090110120140天数3510741这个月中，空气质量为良的天数的频率为0.5．【分析】用空气质量为良的天数除以30即可得．【解答】解：这个月中，空气质量为良的天数的频率为＝0.5，故答案为：0.5．14．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC＝3AD，如果＝，＝，那么2+（用，表示）．【分析】根据＝++，只要求出即可解决问题．【解答】解：∵AD∥BC，BC＝3AD，∴＝3＝3，∵＝++，∴＝﹣++3＝2+，故答案为2+．15．某市出租车计费办法如图所示，如果小张在该市乘坐出租车行驶了10千米，那么小张需要支付的车费为30.8元．【分析】设超过3千米的函数解析式为y＝kx+b，根据题意列出方程组，利用待定系数法求得解析式，然后把x＝10代入即可求得．【解答】解：由图象可知，出租车的起步价是14元，在3千米内只收起步价，设超过3千米的函数解析式为y＝kx+b，则，解得，∴超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y＝2.4x+6.8，∴出租车行驶了10千米则y＝2.4×10+6.8＝30.8（元），故答案为30.8．16．已知⊙O1和⊙O2相交，圆心距d＝5，⊙O1的半径为3，那么⊙O2的半径r的取值范围是2＜r＜8．【分析】根据圆与圆的位置关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：|3﹣r|＜5＜3+r，解得：2＜r＜8，故答案为：2＜r＜8．17．如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于22.5度．【分析】设直角三角形的最小内角为x，另一个内角为y，根据三角形的内角和列方程组即可得到结论．【解答】解：设直角三角形的最小内角为x，另一个内角为y，由题意得，，解得：，答：该三角形的最小内角等于22.5°，故答案为：22.5．18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D 的对应点分别为A′、D′，如果直线A′D′与⊙O相切，那么的值为．【分析】设直线A′D′与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E，根据折叠的性质得到AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B，过O作OH⊥CD，根据垂径定理得到CH＝CD，根据切线的性质得到OG⊥A′D′，设AB＝CD＝CD′＝A′B＝x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：设直线A′D′与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E，∵将矩形ABCD沿着直线BC翻折，∴AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B，过O作OH⊥CD，∴CH＝CD，∵直线A′D′与⊙O相切，∴OG⊥A′D′，∵BC∥A′D′，∴OG⊥BC，∴则四边形OECH是矩形，CE＝BE＝BC，∴CH＝OE，设AB＝CD＝CD′＝A′B＝x，∴OE＝x，∴OC＝OG＝x，∴CE＝＝＝x，∴BC＝2CE＝2x，∴＝＝，故答案为：．三．解答题（共7小题）19．计算：（）﹣1+﹣+|1﹣|．【分析】直接利用二次根式的性质和绝对值的性质、分数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝＝2+3+3﹣2+﹣1＝．20．解方程：﹣＝2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x（x+1）﹣6＝2x2+8x+6，移项得：x2+x﹣6﹣2x2﹣8x﹣6＝0，整理得：x2+7x+12＝0，即（x+3）（x+4）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣4，经检验，x1＝﹣3是增根，舍去，∴原方程的根是x＝﹣4．21．如图，在平面直角坐标系内xOy中，某一次函数的图象与反比例函数的y＝的图象交于A（1，m）、B（n，﹣1）两点，与y轴交于C点．（1）求该一次函数的解析式；（2）求的值．【分析】（1）根据图象上点的坐标特征求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）过点A、B分别作y轴垂线，垂足为分别D、E，得出AD∥BE，根据平行线分线段成比例定理即可求得结论．【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），又∵A（1，m）、B（n，﹣1）在反比例函数的图象上∴，，∴m＝3，n＝﹣3，∴A（1，3）、B（﹣3，﹣1），一次函数y＝kx+b的图象过A（1，3）、B（﹣3，﹣1），∴，∴，∴所求一次函数的解析式是y＝x+2；（2）过点A、B分别作y轴垂线，垂足为分别D、E，则AD∥BE，∴，∴．22．如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．【分析】延长CD交AB于E，根据坡度和坡角可得CE＝3，DE＝2.6，过点D作DH⊥AB于H，根据锐角三角函数即可求出DH的长．【解答】解：如图，延长CD交AB于E，∵i＝1：2.4，∴，∴，∵AC＝7.2，∴CE＝3，∵CD＝0.4，∴DE＝2.6，过点D作DH⊥AB于H，∴∠EDH＝∠CAB，∵，∴，，答：该车库入口的限高数值为2.4米．23．如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC 上，满足AM＝CN．（1）求证：AB＝AC；（2）联结OM、ON、MN，求证：＝．【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则根据垂径定理可得答案；（2）联结OB，OM，ON，MN，先判定△BOM≌△AON（SAS），再证明△NOM∽△BOA，然后根据相似三角形的性质可得答案．【解答】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：∵AO平分∠BAC．∴OD＝OE，∴AB＝AC；（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，∵AM＝CN，AB＝AC∴BM＝AN，∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO，∵∠BAO＝∠OAN，∴∠B＝∠OAN，∴△BOM≌△AON（SAS），∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，∴∠AOB＝∠MON，∴△NOM∽△BOA，∴．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，联结AB、AM．（1）求这条抛物线的表达式和点M的坐标；（2）求sin∠BAM的值；（3）如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标．【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，令x＝0得y＝3，求出B（0，3），而AO＝BO求出A（3，0），进而求解；（2）证明∠MBC＝90°，则；（3）证明∠BAM＝∠OAQ，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，令x＝0得y＝3，∴B（0，3），∵AO＝BO，∴A（3，0），把A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，解得b＝2，∴这条抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+3，顶点M（1，4）；（2）∵A（3，0），B（0，3）M（1，4），∴BM2＝2，AB2＝18，AM2＝20，∴∠MBC＝90°，∴；（3）∵OA＝OB，∴∠OAB＝45°∵∠MAQ＝45°，∴∠BAM＝∠OAQ，由（2）得，∴，∴，∴，∴OQ＝1，∴Q（0，1）．25．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＜BC，AB＝BC＝1，E是边AB上一点，联结CE．（1）如果CE＝CD，求证：AD＝AE；（2）联结DE，如果存在点E，使得△ADE、△BCE和△CDE两两相似，求AD的长；（3）设点E关于直线CD的对称点为M，点D关于直线CE的对称点为N，如果AD＝，且M在直线AD上时，求的值．【分析】（1）过C点作CF⊥AD，交AD的延长线于F，可证四边形ABCF是正方形，可得AB＝BC＝CF＝F A，由“HL”可证Rt△CBE≌Rt△CFD，可得BE＝FD，可得结论；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和直角三角形的性质可求解；（3）连接EM交CD于Q，连接DN交CE于P，连接ED，CM，作CF⊥AD于F，由轴对称的性质可得∠CPD＝∠CQE＝90°，DC垂直平分EM，由HL可证Rt△CBE≌Rt △CFM，可得BE＝FM，由勾股定理可求BE的长，CE的长，通过证明△CDP∽△CEQ，可得，即可求解．【解答】证明：（1）如图，过C点作CF⊥AD，交AD的延长线于F，∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC，∴四边形ABCF是正方形，∴AB＝BC＝CF＝F A，又∵CE＝CD，∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），∴BE＝FD，∴AD＝AE；（2）①若∠EDC＝90°时，若△ADE、△BCE和△CDE两两相似，那么∠A＝∠B＝∠EDC＝90°，∠ADE＝∠BCE＝∠DCE＝30°，在△CBE中，∵BC＝1，∴，，∵AB＝1，∴，∴，此时≠，∴△CDE与△ADE、△BCE不相似；②如图，若∠DEC＝90°时，∵∠ADE+∠A＝∠BEC+∠DEC，∠DEC＝∠A＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，且∠A＝∠B＝90°，∴△ADE∽△BEC，∴∠AED＝∠BCE，若△CDE与△ADE相似，∵AB与CD不平行，∴∠AED与∠EDC不相等，∴∠AED＝∠BCE＝∠DCE，∴若△CDE与△ADE、△BCE相似，∴，∴AE＝BE，∵AB＝1，∴AE＝BE＝，∴AD＝；（3）连接EM交CD于Q，连接DN交CE于P，连接ED，CM，作CF⊥AD于F，∵E关于直线CD的对称点为M，点D关于直线CE的对称点为N，∴∠CPD＝∠CQE＝90°，DC垂直平分EM，∠PCD＝∠QCE，∴△CDP∽△CEQ，∴，∵AD∥BC，AB⊥BC，，AB＝BC＝1，∴，∵CD垂直平分EM，∴DE＝DM，CE＝CM，在Rt△CBE和Rt△CFM中，CB＝CF，EC＝CM，∴Rt△CBE≌Rt△CFM（HL）∴BE＝FM，设BE＝x，则FM＝x，∵ED＝DM，且AE2+AD2＝DE2，∴，∴，∴，∴，∵DN＝2DP，EM＝2EQ，∴．。
上海市2020年(春秋版)中考数学试卷(I)卷
上海市2020年（春秋版）中考数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题(本大题共12小题.每小题3分.共36分) (共12题；共36分)1. （3分）如果零上2°C记作＋2°C，那么零下3°C记作（）A . －3°CB . －2°CC . ＋3°CD . ＋2°C2. （3分）(2017·沭阳模拟) 将如图所示的Rt△ABC绕直角边AB旋转一周，则所得几何体的主视图为（）A .B .C .D .3. （3分）(2020·永嘉模拟) 在一个不透明的袋中，装有1个白球、2个红球、2个黄球、3个黑球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球，可能性最大的是（）A . 白球B . 红球C . 黄球D . 黑球4. （3分） 2015年安徽省政府工作报告指出，今年拟安排财政赤字460亿元，460亿元用科学记数法可表示为（）A . 4.6×1010元B . 0.46×1011元C . 46×109元D . 4.6×109元5. （3分）如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=（）A . 70°B . 80°C . 90°D . 100°6. （3分） x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值为（）A . -5B . 7C . -1D . 7或-17. （3分）如图,在直角三角形ABC中,CD是斜边AB上的中线 ,若∠A=20°,则∠BDC=（）A . 30°B . 40°C . 45°D . 60°8. （3分）在一个不透明的盒子里有3个分别标有数字5，6，7的小球，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为（）.A .B .C .D .9. （3分）反比例函数（）的图象在（）A . 一、三象限；B . 二、四象限；C . 第四象限；D . 第一象限．10. （3分） (2019九上·遵义月考) 在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（）A .B .C .D .11. （3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）A . 2B .C .D . 112. （3分） (2019九上·诸暨月考) 在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（）A . 1B .C . 2D .二、填空墨(本大题共6小题，每小题3分.共18分) (共6题；共18分)13. （3分）(2019·北部湾模拟) 若式子有意义，那么x的取值范围是________ 。