直线和圆知识点总结
练习一（直线和圆部分）
知识梳理
1．直线的倾斜角的范围是；求直线斜率的两种方法：①定义： k(
2
) ；
②斜率公式：k y2y1(x1x2 ) ．答案0 ,180
x2x1
2．直线方程的几种形式：
①点斜式，适用范围：不含直线 x x0；
特例：斜截式，适用范围：不含垂直于 x 轴的直线；
②两点式，适用范围：不含直线 x x (x x ) 和直线 y y ( y y)；
112112特例：截距式，适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线；
③一般式，适用范围：平面直角坐标系内的直线都适用．
3．求过P(1x1, y1)，P2(x2, y2)的直线方程时：
（ 1）若x1x2，且 y1y2时，直线垂直于x 轴，方程为 x x1；
（ 2）若x1x2，且 y1y2时，直线垂直于y 轴，方程为 y y1；
（ 3）若x1x20 ，且 y1y2时，直线即为y 轴，方程为x0 ；
（ 4）若x1x2，且 y1y20 时，直线即为x 轴，方程为y0。
4．已知直线l1：y k1x b1，直线 l 2： y k2 x b2，则
① l1与 l 2相交；② l1与 l 2平行；
③
l1与 l 2重合；④ l1与 l 2垂直．
5．已知直线l1：A1x B1 y C10 ，直线 l2： A2x B2 y C20 ，则
① l1与 l 2相交；② l1与 l 2平行；
③ l1与 l 2重合；④ l1与 l 2垂直．
6．两点P(1x1, y1)，P2(x2, y2)之间的距离PP12=；
点 P( x , y ) 到直线l：Ax By C0 的距离 d；
两平行直线 l：Ax By C0 与 l：Ax By C
20 之间的距离d．
112
( x a) 2( y b)2r 2 (r0)
圆的一般方程为x2y2Dx Ey F0 表示圆的充要条件是D2E24F0 ，其中圆心为，半径为．
8．点与圆的位置关系
圆的标准方程为 ( x a)2( y b) 2r 2，点 M ( x , y) ，
00
（ 1）点在圆上：(x0a) 2( y0b)2r 2；
（ 2）点在圆外：(x0a) 2( y0b)2r 2；
（ 3）点在圆内：(x0a) 2( y0b)2r 2。
9．直线与圆的位置关系
判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法：
（ 1）代数法：直线方程和圆的方程联立方程组消去x 或 y 整理成一元二次方程后，
计算判别式①b24ac0；
②b24ac0；
③b24ac0。
（ 2）几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径的大小关系
① d r；② d r； d r。
10．圆的切线方程
①若圆的方程为 x2y2r 2，点 P( x0 , y0 ) 在圆上，则过P 点，且与圆 x2y2r 2相切的切线方程为xx0yy0r 2；
②经过圆 (x a)2( y b)2r 2上的 P(x0 , y0 ) 的切线方程为：
( x0 a)( x a) ( y0b)( y b)r 2。 y y0k ( x x0 )
点 P( x , y ) 在圆外，则可设切线方程为y y0k (x x
)
,利用直线与圆相切，利用
00
圆心到直线的距离等于半径，解出k。
11．计算直线被圆截得的弦长的两种方法：
（1）几何法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。
（2）代数法：利用韦达定理及弦长公式
AB 1 k 2 x A x B(1k 2 ) ( x A x B )24x A x B
12．设圆C1： (x x1) 2( y y1 )2r12，圆 C2： ( x x2 )2( y y2 )2r22，则有两圆
①相离C1C2；②外切C1C2；③内切C1C2；
④相交
C 1C 2
；⑤内含
C 1C 2
．
13．对称问题
①点关于点的对称：利用中点坐标公式。
②直线关于点对称：利用取特殊点法或转移法。 ③点关于直线对称：利用垂直和平分。
④直线关于直线对称：转化为点关于直线对称问题解决。如果是平行直线，还可以利用 平行直线之间距离。如果是相交直线，可以利用已知交点，夹角相等的方法。 常用的对称关系：点 (a,b)
点 (a,b) 关于原点的对称点
(-a,-b),
点 ( a,b) 关于点 (a 0 , b 0 ) 的对称点的坐标为
(2a 0 a,2b 0 a)
点 (a,b)关于 x 轴的对称点 (a,-b)，
点 (a,b)关于 y 轴的对称点为 (-a,b)，
点 (a,b)关于直线 y=x 的对称点为 (b,a)，
点(a,b)关于直线 y= -x 的对称点 (-b,-a) ，
点 (a,b)关于直线 y=x+m 的对称点为 (b-m,a+m), 点 (a,b)关于直线
y= -x+m 的对称点 (m-b,m-a).
练习题（第一部分）
1．直线的倾斜角为
, 若 sin
3
，则此直线的斜率是（
）
5
A ．
3
B ．
4
C ．
3 D ．
4
4
3
2
x 垂直，则
4
3
2. 直线 过点（ -1 ， 2）且与直线 y
的方程是
3
A ． 3x 2 y 1 0
B. 3x 2y 7 0
C. 2x 3y 5 0
D.
2x 3y 8 0
3．已知两条直线 y
ax 2 和 y
(a
2) x 1互相垂直，则 a 等于（
） A ．2
B ． 1
C ． 0
D ． 1
解析：两条直线 y
ax 2 和 y
(a 2)x 1互相垂直，则 a(a 2)
1 ，∴ a=－ 1，选 D.
点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系， 同时兼顾到斜率为零和不存
在两种情况
4
A(2, 3) 、 B( 3, 2) ，直线 l 过 P(1,1) 且与线段 AB 有交点，设直线 l 的斜率为 k ， ．已知
则 k 的取值范围（ ）
3 或
． 3
或 k 4 ．
3 k
3
C ．
k
k
1 D ． 3
A k
B
4
4
4
k 4
4
4
解析：过点 B( 3, 2) 、 P(1,1)的直线斜为 k 1
1 (
2) 3
，过点 A(2, 3) 、 P(1,1)的直
1 (
3) 4
线斜率为 k 2
1 ( 3) 4 ，画图可看出过点
P(1,1)的直线与线段
AB 有公共点可
1 2
看作直线绕点 P(1,1)从 PB 旋转至 PA 的全过程。
5．直线 l 经过点 P(2,1) ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为
S ，如果符合条件的直线 l 能
作且只能作三条，则 S （
）
A ． 3
B ． 4
C ． 5
D ． 8
解析：设直线方程为
x y
2
1
2 1 2 ， a
b 1
，则有
1，当 a, b
0 时，
1 2
a
b
a
b
ab
得 ab 8 ，即 l 与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积的最小值为 4，显然与两坐标
轴围成的三角形在二、四象限时各有一个面积为 4，共可作且只可作三条符合条件的
直线 l 。
6．已知直线 l ： x
y 1 0 ， l 1 ： 2x y 2 0 ，若 直线 l 2 与 l 1 关于 l 对称，则 l 2 的方程
为（
）
A ． x 2 y 1 0
B ． x 2 y 1 0
C ． x y 1 0
D ． x 2 y 1 0
解析：在 l 1 上取两点 (0, 2),(1,0) ，则它关于直线 l 的对称点为 ( 1,
1),(1,0) ，所以 l 2 的方
程为 x 2 y
1 0 。
7．已知点 M (0, 1) ，点 N 在直线 x y
1 0 上，若直线 MN 垂直于直线 x
2y
3 0 ，
则点 N 的坐标是（ ）
A ．( 2, 1)
B ． (2,3)
C ． (2,1)
D ． ( 2,1)
二、填空题
8．过点（ 1， 2）且与直线 x 2y 1 0 平行的直线方程是 _ x 2y 5 0 _ .
9．已知两条直线 l 1 : ax 3 y 3 0,l 2 : 4x 6y 1 0. 若 l 1 // l 2 ，则 a ____. 解：两条直线 l 1 : ax
3y 3 0,l 2 : 4x 6 y
1 0. 若 l 1 // l
2 a 2
，则 a
2．
，
3
3
10．若过点 P(1
a,1 a) 和 Q (3,2a) 的直线的倾斜角为钝角，那么实数
a 的取值范围是
.
a
( 2,1)
11．如果 ab 0, 直线 ax
by c
0 的倾斜角为 , 且 sin
1
sin
1 sin , 则
__________ _ .
2
直线的斜率为
解析：由 sin
1 sin
1
sin
sin cos
sin
cos
，
因为 ab0, 直线 ax by c0 的倾斜角为, 所以tan a
，0，又0,
b
所以(,) ，
2(,)，所以 0cos sin，
24222
所以 sin(sin cos)(sin cos) 2cos，222222
所以 tan 2 ，k tan 2tan
2 4 。
21tan23
2
三、解答题
12. 已知直线l 经过直线3x4y20与直线2x y20 的交点P，且垂直于直线
x 2 y10.
（Ⅰ）求直线 l的方程；
（Ⅱ）求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .
解：（Ⅰ）由3x 4 y 2 0,
解得
x2, 2x y20.y 2.
由于点 P 的坐标是（2，2）.
则所求直线 l 与直线 x 2y10 垂直，
可设直线 l 的方程为2x y C0 .
把点 P 的坐标代入得222C0，即 C 2 .
所求直线 l 的方程为2x y20.
（Ⅱ）由直线 l的方程知它在x 轴、 y 轴上的截距分别是1、2 ，
所以直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积S 1
2 1 .
1
2
13.求经过直线 l1：3x 4 y 5 0与直线 l 2：2x 3y 8 0的交点M，且满足下列条件
①经过原点；②与直线l3：2x y 5 0 平行；③与直线l4：2x y 50 垂直的直
线方程。答案： x 2y 50
14. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为 2，宽为 1，AB 、AD 边分别在x 轴、 y 轴
的正半轴上， A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使 A 点落在线段 DC 上，若折痕所在
的直线的斜率为 k ，试写出折痕所在直线的方程。
y
解：（ 1）当k0 时，A、D重合，折痕所在直线方程为y 1 2
（ 2）当k0 时，设折叠后A 落在线段上的点为G(a,1) ，
所以 A 与G关于折痕所在直线对称。
k
AG k 1 ，可得a k ,
从而 G(k,1) ，线段 OG 之中点为 M (k
,
1
) ，22
折痕所在直线方程为y1k( x k
) ，化简得 y kx k 21。
2222练习题（第二部分）
1．直线y 3
x 与圆(x1)2y2 1 的位置关系是（）3
A ．相交但直线不过圆心 B. 相切
C. 相离 D . 相交且直线过圆心
．与圆
C : x 2
y
2
2x350
同圆心，且面积为圆 C 面积的一半的圆的方程为（）
2
A . (x 1)2y 218
B . (x 1)2y 29
C.(x1) 2y 26 D .(x1)2y 23
3．圆心为C
1 ,3 的圆与直线l : x
2 y
3 0交于P、Q两点，O为坐标原点，且满
2
足 OP OQ 0 ，则圆C的方程为（）
A ．( x1)2( y 3)25B．
22
C．( x1)2( y 3) 225D．24( x1)2( y3)25 22
( x1)2( y3)225 24
4．P( x, y)是曲线x 1 cos,
2)2( y4)2的最大值为（
y sin .上任意一点，则
(x）
A．36B．26C．25D．6
5．两个圆C1：x2y22x 2y 2 0 与 C2： x2y24x2y 1 0 的公切线有且仅有（）
A ．1条B．2条C．3条D．4条
解析：因为 r 1 r 2 0, r 1 r 2 4, O 1O 2
13 ，所以 r 1 r 2 O 1O 2 r 1 r 2 ，所以两圆相
交，故两圆公切线有
2 条。
6．从圆 x 2
2x
y 2 2 y 1 0外一点 P 3,2 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余
弦值为（
）
1
B ．
3
C ．
3
D ． 0
A ．
5
2
2
解析：圆 x 2 2x y 2 2 y 1
0 的圆心为 M(1 ， 1)，半径为 1，从外一点 P(3, 2) 向这个
圆作两条切线，则点
P 到圆心 M 的距离等于 5
，每条切线与 PM 的夹角的正切值
1
2 1
4
3
等于
，所以两切线夹角的正切值为
tan
2 ，该角的余弦值等于 。
2
1 1
3 5
4
7．若圆 x 2 y 2
4x 4 y 10 0 上至少有三个不同点到直线
l : ax
by 0的距离为 2 2 ,
则直线 l 的斜率的取值范围是 (
)
A ．[ 2
3, 2 ]
B ．[ 2
3,2
3 ]
C ． [ 3 ,
3]
D ． [0,
]
2
3
解析：圆 x 2 y 2 4x
4 y 10
0 整理为 ( x 2) 2 ( y 2) 2 (3 2)2，
∴圆心坐标为 (2，2) ，半径为 3 2 ，
要求圆上至少有三个不同的点到直线 l : ax by
0 的距离为 2 2 ，
则圆心到直线的距离应小于等于 2 ，
∴ | 2a 2b |
2 ，∴ (
a
)2
4( a
) 1
0 ，
a 2
b 2
b
b
∴ 2
3 ( a
)2
3 ， k
( a
) ，∴ 2 3 k 2
3，选 B.
b
b
8．若直线 2x
y c 0 按向量 a = 1,-1 平移后与圆 x 2
y 2 5相切，则 c 的值为（
）
A ．8或 2
B ．6或 4
C ．4或 6
D ．2或 8
解：将直线 2x
y c
0 按向量 a = 1,-1 平移得 2( x 1) ( y
1) c 0 ，
即 2x y 3
c 0 ，因为 2x
y 3
c 0 与圆 x 2
y 2 5相切，所以，
c 3 5 ，
5
c 3 5c8 或c2。
二、填空题
9.圆 x2y2ax 2y10关于直线 x y 1对称的圆的方程是x2y2 1 0 ，则实
数 a 的值是2．
10．若半径为 1 的圆分别与y轴的正半轴和射线y
3
相切，则这个圆的方程x(x ≥ 0)
3
为．
解析：若半径为 1 的圆分别与y轴的正半轴和射线y
3
x( x 0)相切，3
则圆心在直线 y3x 上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为 3 ，
这个圆的方程为(x 1)2( y3) 21 。
11．已知圆M：( x cos )2( y sin ) 21，直线l：y kx，下面四个命题：
①对任意实数 k 与，直线 l 和圆M相切；
②对任意实数 k 与，直线 l 和圆M有公共点；
③对任意实数，必存在实数k ，使得直线 l 与和圆
④对任意实数k ，必存在实数，使得直线l与和圆M
M
相切
相切．
其中真命题的序号是______________（写出所有真命题的序号）解：②④，圆心坐标为( cos ,sin) ，
d －－
sin|＝ 1
＋2（＋）
| k cos k|sin| =|sin（＋）| 1。
1＋ k 21＋ k 2
12．函数f ( x)x24x13x212x37 的最小值为． 42 13．从原点向圆x2y 212 y 270 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为
．
解析：利用数形结合解此题有优势。
因为 x2y2 12y270 ，所以 x2( y6)29 ，圆心在(0,6) ，半径为3，
设圆心为 M ，切点为N，则在Rt OMN 中， OM 6,MN3，所以MON,
2，故劣弧的弧长为l
2
6
所以两切线的夹角为，劣弧所对的圆心角为l 2 。
3333
三、解答题
14．求过直线 2x
y 4 0 和圆 x 2 y 2 2x 4 y 1 0 的交点，且满足下列条件之一的
圆的方程．（ 1）过原点；（ 2）有最小面积．
15．如果实数
x, y 满足 x 2 y 2
4x 1 0 ，求① x
的最大值；② y x 的最小值；
y
③ x 2
y 2 的最值．
分析： x 2
y 2
4x 1 0 表示以 (2,0)
点为圆心， 半径为
3 的圆， x
为圆上的点 M 与原
y
点连线的斜率；设
y
x b ，则 y
x b ，可知 b 是斜率为 1 的直线在 y 轴上的截距，于
是问题①实质上是求圆上的点与原点连线的斜率的最大值；
②实质上是求斜率为 1 的直线与
已知圆有公共点时直线的纵截距的最小值； ③实质上是求圆上一点到原点距离平方的最大值
与最小值。
16. 已知点 P(2,0) 及圆 C ： x 2
y 2 6x 4 y 4 0 .
（Ⅰ）若直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为
1，求直线 l 的方程；
（Ⅱ）设过点 P 的直线 l 1 与圆 C 交于 M 、 N 两点，当 MN 4 时，求以线段 MN 为直
径的圆 Q 的方程；
（Ⅲ） 设直线 ax y 1
0 与圆 C 交于 A ， B 两点，是否存在实数 a ，使得过点 P(2,0)
的直线 l 2 垂直平分弦 AB ？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）设直线
l 的斜率为 k （ k 存在）则方程为 y 0 k(x
2) .
又圆 C 的圆心为 (3, 2) ，半径 r
3 ，
3k
2 2k 1 ，
解得 k
3
. 由
k
2
1 4
所以直线方程为
y
3
(x 2) ， 即 3x 4 y
6 0 .
4
当 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x 2 ，经验证 x
2 也满足条件 .
（Ⅱ）由于 CP
5 ，而弦心距 d
r 2
(
MN
)2 5 ，
2
所以 d CP 5，所以 P 为 MN 的中点 .
故以 MN 为直径的圆Q的方程为
( x2)2y2 4 .
（Ⅲ）把直线 ax y10 即 y ax 1 ．代入圆 C 的方程，消去 y ，整理得 (a21)x26(a1)x90 ．
由于直线 ax y10交圆 C于A, B 两点，
故
36(a1)236(a21) 0，即2a0 ，解得 a0 ．则实数 a 的取值范围是(,0) ．
设符合条件的实数 a 存在，
由于 l 2垂直平分弦 AB ，故圆心 C (3,2) 必在l2上．
所以 l 2的斜率 k PC 2 ，而k AB a
1
，所以 a
1
k PC
．
2
圆的知识点总结
圆的知识的归纳总结与复习 【知识与方法归纳】 1. 圆的特征：圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2. 圆规画圆的方法：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；（2）把有针尖的一只脚固定在一点上；（3）把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周，就可以画出一个圆。 3. 圆各部分的名称：圆心用O表示；半径通常用字母r表示；直径通常用字母d表示。 4. 圆有无数条直径，无数条半径；同（或等）圆内的直径都相等，半径都相等。 5. 圆心和半径的作用：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 6. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 7. 同一圆内半径与直径的关系：在同一圆内，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r 或r= 。 8. 圆的周长：圆的周长是指围成圆的曲线的长。直径的长短决定圆周长的大小。 9. 圆周率：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，计算时通常取3.14. 10. 圆的周长的计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C=2πr。 11. 圆的周长计算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr。 （2）已知圆的直径，求圆的周长：C=πd。 （3）已知圆的周长，求圆的半径：r=C π 2. （4）已知圆的周长，求圆的直径：d=C π。 12. 圆的面积的含义：圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。 13. 圆的面积计算公式：如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式是：S= 。 14. 圆的面积计算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的面积：S= 。 （2）已知圆的直径，求圆的面积：r= ，S= 或。 （3）已知圆的周长，求圆的面积：r=C 2 π，S= 或。 【经典例题】
圆的知识点总结
圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 ２. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 ３. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （１）平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论１可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个:①过圆心；②垂直于弦;③平分弦（不是直径); ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或 两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 ６. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※８. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1)平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心,定长为半径的圆； （2)平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 [例题分析］ 例1. 已知:如图１，在⊙O中，半径OＭ⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB＝，ＯN=1，求MN的长; ②若半径ＯＭ=R，∠ＡOB=120°,求ＭＮ的长。 解:①∵ＡB＝,半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝ ∵ON=1,由勾股定理得OＡ=2 ∴MN=OＭ－ON=OA-ON=１ ②∵半径OＭ⊥AB，且∠AOＢ=1２0°∴∠AOＭ＝6０°
圆的知识点总结史上最全的
A 图4 图5 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d 第一讲圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解， 因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是： （1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0. 高中圆的知识点总结 椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。下面是圆的知识点总结。 一、教学内容： 椭圆的方程 高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质. 重点：椭圆的方程与几何性质. 难点：椭圆的方程与几何性质. 二、知识点： 1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质 定义第一定义：平面内与两个定点 )的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距第二定义： 平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.(0 标 准 方 程焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形焦点在x轴上 焦点在y轴上 性质焦点在x轴上 范围： 对称性：轴、轴、原点. 顶点：， . 离心率：e 概念：椭圆焦距与长轴长之比 定义式： 范围： 2、椭圆中a，b，c，e的关系是：(1)定义：r1+r2=2a (2)余弦定理： + -2r1r2cos(3)面积： = r1r2 sin ?2c| y0 |(其中P( ) 三、基础训练： 1、椭圆的标准方程为 焦点坐标是，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆的值是__3或5__; 3、两个焦点的坐标分别为 ___; 4、已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是7，则点P 到另一个焦点 5、设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴，，则椭圆的离心率为 6、方程 =10，化简的结果是 ; 满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成 一个正方形，则椭圆的离心率为 8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系顶点，顶点在椭圆上，则10、已知点F是椭圆的右焦点，点A(4，1)是椭圆内的一点，点P(x，y)(x0)是椭圆上的一个动点，则的最大值是 8 . 【典型例题】 例1、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程. (2)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程. 解：设方程为 . 所求方程为(3)已知三点P，(5，2)，F1 (-6，0)，F2 (6，0).设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为，求以为焦点且过点的椭圆方程 . 解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为(4)求经过点M( ， 1)的椭圆的标准方程. 解：设方程为 例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心) 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km). 圆 知识点一、圆的定义及有关概念 1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。 ' 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。 例 P 为⊙O 内一点，OP =3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；? 最长弦长为_______． 解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP 垂直的弦，答案：10 cm ，8 cm. 知识点二、平面内点和圆的位置关系 平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内 。 当点在圆外时，d ＞r ；反过来，当d ＞r 时，点在圆外。 当点在圆上时，d ＝r ；反过来，当d ＝r 时，点在圆上。 当点在圆内时，d ＜r ；反过来，当d ＜r 时，点在圆内。 例 如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________． 解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部 % 练习：在直角坐标平面内，圆O 的半径为5，圆心O 的坐标为(14)--，．试判断点(31)P -，与圆O 的位置关系． 答案：点P 在圆O 上． 知识点三、圆的基本性质 1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 1 推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB ＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB ＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN ＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60° 2 圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－ r 2＝0，取D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. （2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2＋E 2－4F >0 时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的 圆； ②当 D 2＋ E 2－4 F ＝0 时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2 ，－ E 2 )；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为1 ，没有xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (三)直线与圆的位置关系 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4切 5含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是： （1）B ＝0； （2）A ＝C ≠0； （3）D 2＋E 2－4AF ＞0. 2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （2）圆心在任一弦的中垂线上． （3）两圆切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝ 122x x + ，y ＝12 2 y y + . 考点一：有关圆的标准方程的求法 ()()()2 2 20x a y b m m +++=≠的圆心是 ，半径是 . 【例2】 点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4，则实数a 的取值围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) r B 一、知识回顾 第四章：《圆》 圆的周长 ： C=2πr 或 C=πd 、圆的面积 ： S=πr 2 圆环面积计算方法： S=πR2- πr 2或 S=π（ R2-r 2） (R 是大圆半径， r 是小圆半径） 二、知识要点一、圆的概念 集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是： 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 d r 点C 在圆内； A d 2、点在圆上 d r 点B 在圆上； O d 3、点在圆外 d r 点 A 在圆外； C 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点； 3、直线与圆相交 d r 有两个交点； r d d=r r d C D 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1） 无交点 d R r ； 外切（图 2） 有一个交点 d R r ； 相交（图 3） 有两个交点 R r d R r ； 内切（图 4） 有一个交点 d R r ； 内含（图 5） 无交点 d R r ； d d d R r R r R r 图 1 图2 图 3 d d r R r R 图4 图 5 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其 它 3 个结论，即： ① AB 是直径 ② AB CD ③ CE DE ④ 弧 BC 弧 BD ⑤ 弧 AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 A 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 C D 即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD O O ∴弧 AC 弧BD A B E B 六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定 圆的知识点归纳总结大全 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 （1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三 个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。 则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定。 （1）d=r 时，直线是圆的切线。 d = r 直线与圆相切。 d < r （r > d ） 直线与圆相交。 d > r （r 圆知识点总结及归纳 一、知识清单一级标题宋体四号加粗 （一）圆的定义及方程二级标题宋体小四加粗定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)正文宋体五号标准方程(x －a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：，半径： 1、圆的标准方程与一般方程的互化三级标题宋体五号加粗（1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0、（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：(x＋)2＋(y＋)2＝①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－，－)为圆心，为半径的圆；②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，即只表示一个点(－，－)；③当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形、 2、圆的一般方程的特征是：x2和 y2项的系数都为1 ，没有 xy 的二次项、3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了、 （二）点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r 2、（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r 2、（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2 1．圆的有关概念： (1)圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。 ①表示方法：⊙O ，读作“圆O ” ②确定一个圆的条件：?? ?半径 —定长圆心—定点 （2）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（两个全等的圆） （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做 圆心角 ． （4）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做 圆周角 ． （5）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为 优弧 ，小于半圆的弧称为 劣弧 ． （6）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。 （7）弦：连接圆上任意两点的线段叫做 弦 ，经过圆心的弦叫做直径． （8）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。 ( 9 ) 圆是 轴 对称图形，任何一条 直径所在的直线都是它的 对称轴 ；圆又是 中心 对称图形， 圆心 是它的对称中心。 知识点2 垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ； 要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 知识点3 圆周角定理 圆周角定理: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并且等于所对圆心角的一半 推论1:直径（或半圆）所对的圆周角为90°，90°圆周角所对的弦是直径。 总结：同圆或等圆中，① 弧相等——弦相等，圆心角相等，所对圆周角相等; ② 圆心角相等——弧相等，弦相等，所对圆周角相等； ③ 弦相等——弧相等，圆心角相等，同弧或等弧所对的圆周角相等; （注意：弦所对的圆周角有两种） 知识点4 外接圆与内切圆相关概念 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （5）圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角 知识点5 点与圆的位置 点与圆的位置关系共有三种： 1．圆的有关概念： (1)圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。 ①表示方法：⊙O ，读作“圆O ” ②确定一个圆的条件：???半径—定长圆心 —定点 （2）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（两个全等的圆） （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做 圆心角 ． （4）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做 圆周角 ． （5）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为 优弧 ，小于半圆的弧称为 劣弧 ． （6）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。 （7）弦：连接圆上任意两点的线段叫做 弦 ，经过圆心的弦叫做直径． （8）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。 ( 9 ) 圆是 轴 对称图形，任何一条 直径所在的直线都是它的 对称轴 ；圆又是 中心 对称图形， 圆心 是它的对称中心。 知识点2 垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ； 要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 知识点3 圆周角定理 圆周角定理: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并且等于所对圆心角的一半 推论1:直径（或半圆）所对的圆周角为90°，90°圆周角所对的弦是直径。 总结：同圆或等圆中，① 弧相等——弦相等，圆心角相等，所对圆周角相等; ② 圆心角相等——弧相等，弦相等，所对圆周角相等； ③ 弦相等——弧相等，圆心角相等，同弧或等弧所对的圆周角相等; （注意：弦所对的圆周角有两种） 知识点4 外接圆与内切圆相关概念 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （5）圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角 知识点5 点与圆的位置 点与圆的位置关系共有三种： 九年级总复习知识点总结-------圆 几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角. 二 定理： 1．不在一直线上的三个点确定一个圆. 2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三 公式： 1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180 R n π；（3）圆的面积S=πR 2 . （4）扇形面积S 扇形 = LR 2 1360 R n 2 = π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如 图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图： （1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高) （2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 = LR 21. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径） 四 常识： 1． 圆是轴对称和中心对称图形. 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3． 三角形的外心 ? 两边中垂线的交点 ? 三角形的外接圆的圆心； 三角形的内心 ? 两内角平分线的交点 ? 三角形的内切圆的圆心. 4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径） 直线与圆相交 ? d ＜r ； 直线与圆相切 ? d=r ； 直线与圆相离 ? d ＞r. 5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径 且R ≥r ） 两圆外离 ? d ＞R+r ； 两圆外切 ? d=R+r ； 两圆相交 ? R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 ? d=R-r ； 两圆内含 ? d ＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线. 《圆的基本性质》知识点总结 1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，以点O 为圆心的圆，记作☉O ，读作“圆O ” 2、与圆有关的概念 （1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC 叫做弦，经过圆心的弦AB 叫做直径） （2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条 弧，每一条弧都叫做半圆） （3）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆） 3、点和圆的位置关系： 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则： （1）d A 图1 图2 图4 图5 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d 圆的知识点归纳总结 大全 圆的知识点归纳总结大全 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。（2）推论： ? 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ? 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 （1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三 个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 d = r d < r （r > d d > r （r < d d = r O 上 d < r （r > d P 在⊙O 内 d > r （r 初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合； 圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任 意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心， 在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐 角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示． (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是 到对边中点距离的2倍，通常用G表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质： (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径． ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心． (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长． 《圆》题型分类资料 一．圆的有关概念： 1.下列说法：①直径是弦②弦是直径③半圆是弧，但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧，正确的命题有（） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．下列命题是假命题的是（） A．直径是圆最长的弦B．长度相等的弧是等弧 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等 D．如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3.下列命题正确的是（） A．三点确定一个圆B．长度相等的两条弧是等弧 C．一个三角形有且只有一个外接圆D.一个圆只有一个外接三角形 4.下列说法正确的是( ) A．相等的圆周角所对的弧相等B．圆周角等于圆心角的一半 C．长度相等的弧所对的圆周角相等D．直径所对的圆周角等于90° 5.下面四个图中的角，为圆心角的是( ) A．B．C．D． 二．和圆有关的角： 1. 如图1，点O是△ABC的内心，∠A=50 ，则∠BOC=_________ 图1 图2 2.如图2，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为( ) A.116° B.64° C. 58° D.32° 3. 如图3，点O为优弧AB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC，则∠D的度数为 A 图3 图4 4. 如图4，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝_________度． 5. 如图5，在⊙O中，BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°，则∠AOD＝． A 图5 图6 6. 如图6，A，B，C，是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝°． 7.圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：7，则∠D的度数为。 8. 若⊙O的弦AB所对的劣弧是优弧的 1 3 ，则∠AOB＝ . 9.如图7，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=________ A 图7 图8 10.如图8，△ABC是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设OABα ∠=，Cβ ∠=（1）当35 α=时，求β的度数； （2）猜想α与β之间的关系为 11.已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E，求证：∠A+∠B C D=180°，∠DCE=∠A； 如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧，试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；圆知识点总结及归纳
高中圆的知识点总结
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圆的知识点总结及典型例题.
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