2019年全国II卷文科数学高考真题(含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 (全国II卷) word版
17.如图，长方体 的底面 是正方形，点E在棱 上， .
（1）证明： 平面
（2）若 , ,求四棱锥 的体积.
18.已知 是各项均为正数的等比数列， .
(1)求 的通项公式：
(2)设 ，求数列 的前n项和.
19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 的频数分布表.
（2）如果存在点 ，使得 ，且 的面积等于 ，求 的值和 的取值范围.
21.已知函数 .证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
四、选做题（2选1）
22.在极坐标系中， 为极点，点 在曲线 上，直线 过点 且与 垂直，垂足为 .
（1）当 时，求 及 的极坐标方程；
有 .
7.答案：B
解析:
根据面面平行的判定定理易得答案.
8.答案：A
解答：
由题意可知 即 ,所以 .
9.答案：D
解析：
抛物线 的焦点是 ，椭圆 的焦点是 ，
∴ ，∴ .
10.答案：C
解析：
因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 .
11.答案：B
解答：
， ，
则 ，所以 ，
21.答案：
见解析
解答：
（1） ，设 ，
则 在 上递增， ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，所以 存在唯一的极值点.
（2）由（1）知存在唯一 ，使得 ，即 ，
，
， ，
所以函数 在 上， 上分别有一个零点.
2019年高考文科数学(2卷)答案详解
a 2 1
图 A16 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）（立体几何） 如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1．
D．
5
【解析】从这 5 只兔子中随机取出 3 只的所有情况数为 C53 ，恰有 2 只测量过该指标的所有情况数为 C31C21 .
所以所求的概率为 P
C31C21 C52
3 5
.
第 1 页 共 11 页
PS：可以用列举法进行求解. 设 5 只兔子的编号为 1、2、3、A、B，其中 1、2、3 为测量过某项指
以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，
它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1．则该半正多面体共有________个面，
其棱长为_________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．）
第 5 页 共 11 页
【解析】由题意可知，该半正多面体所有顶点都在同一个正方体的表面上，由 18 个正方形面和 8 个三角形 面构成，所有该半正多面体共有 26 个面. 并且图中的一个八边形与正方体一个面的关系如图 A16 所示. 设该半正多面体的棱长 a，则有
A． 2
B．2
C． 5 2
【解析】∵ a b (1,1) ，∴|a b| 2 .
D．50
【答案】A
4．（概率统计）生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，
2019年全国II卷(理科、文科)数学高考真题
2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2)C ．(-1，2)D ．∅2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．-1+2iC ．1-2iD ．-1-2i3．已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．504．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23 B ．35 C ．25D ．155．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x-，则当x <0时，f (x )= A ．e1x--B ．e1x-+ C ．e1x---D ．e1x--+7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．129．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．8 10．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=11．已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 12．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为ABC．2 D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案
2019普通高等学校招生全国统一考试II卷文科数学第_卷选择题：本大题共124、题，每4、题5分，在每4、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
⑴已知集合a=M t<x<2},B=H0<x<3},则AU3=A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)2+ai日.顽----—=3+z,贝!J q=(2)若a实数，且1+，A.-4B.-3C.3D.4(3)根据下面给出的2019年至2019年我国二氧化碳年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是C.2019年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2019年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。
(4)已知向量"=(O,T)E=(-1,2),则(2a+i)・a=A.-1B.0C.1D.2/[-\、S〃是等差数列}的前〃项和，—％+%+%=3,则S5=A.5B.7C.9D.11(6)—个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为J.£££A.8b.7 c.6 D.5⑺已知三点A(1,O),B(O,g),C(2,73),则AABC夕卜接圆的圆，《到原点的距>离为5恒2^54A.3b.3 C.3 D.3(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术，执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a为开始输入a,b{a“}丫两——=4(。
4—1),则。
2=(9)已知等比数列4C2_1A.2B.1C.2D.8(10)已知A,B是球0的球面上两点，ZAO3=90°,C为该球面上动点，若三棱锥0_ABC 体积的最大值为36,则球0的表面积为A.367tB.647tC.144冗D. 256兀(11)如图，长方形的边AB=2,BC=1,0是AB的中点，点P沿着边BC,CD,与DA运动，记ZBOP=x，将动点P到两点距离之和表示为函数/■"),贝昕⑴的图像大致为/(x)=ln(l+|x|)-—二，则使得f3)>y(2x-1)成立的x的范围是(12)设函数1+尤("I)(-8,；)U(l,+8)(—；，!)(—8,—：)U(：,+8) A.3 B.3 C.33d.33第二卷填室题：本大题共4个小题，每小题5分己知国数八工)=心'―2工的图像过点(-1,4)，贝此=%+y-5<0,<2x-y-l>0,贝!Jz=2尤+y的最大值为(14)若x,y满足约束条件—2'+1'°‘。
2019全国II卷文科数学高考真题【高考真题】
2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页。
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2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2)C ．(-1，2)D ．∅2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．-1+2iC ．1-2iD ．-1-2i3．已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．504．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A ．23 B ．35C ．25D ．155．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x-，则当x <0时，f (x )= A ．e1x--B ．e1x-+ C ．e 1x---D ．e 1x--+7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面8．若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．129．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 10．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=11．已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 12．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
完整word版,2019年全国II卷文科数学高考真题
2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证兮码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5亳米烹色字迹的签字笔书写，字体工幣、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图口J•先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x\x>-l}t B = {x\x<2},则ADB=A. (T, +8)E・(-8, 2)C. (-1, 2)D. 02.设Li(2+i),则Z・A. l+2iB. -l+2iC. 1-21D. -l-2i3.已知向量a=(2, 3), H3, 2),则\a-b\=A. 72 E. 2C. 5^2D. 504.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为2 3A. -B.-3 5・M 55.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.T：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ・甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙6. 设几丫）为奇函数，且当心）时，爪）=己一1,则当XV ）时，爪）=A. e'1 -1D ・-e-= + l7. 设a, 0为两个平面，则a//p 的充要条件是A. a 内有无数条直线与戶平行 B ・a 内有两条相交直线与0平行 C. g 0平行于同一条直线 D. a, 0垂直于同一平面8. 若xi=—, 乂2=包是函数y （x ）= sin cox （（0 >0）两个相邻的极值点，则力=4 43 A ・2 B ・— 2 1C ・ 1 D. 一2 9. 若抛物线尸=2px （p>0）的焦点是椭K| —+ 21 =1的一个焦点，则卫=3卩P A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 10. 曲线）-2suu+cosx 在点（兀，-1 ）处的切线方程为A. x-y 一兀一 1 = 0B. 2x-y 一2兀一 1 = 011・己知 aW (0, — ) > 2sin2a-cos2a+lt 贝ij sinaC. 2"『一2兀+1 = 0D. x+ y-n+l = 0A.丄5 c.週312.设尸为双曲线C ：=1 (6T>Of b>0)的右焦点，O 为坐标原点, 以OF 为直径的圆与圆.r+vWB.5 5A. 41B.二、填空题本题共4小題，每小题5分，共20分。
2019年高考数学试题全国二卷2文科数学
2019·全国卷Ⅱ(文科数学)1.A1[2019·全国卷Ⅱ]已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=()A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.⌀1.C[解析] 由题意可得A∩B=(-1,2),故选C.2.L4[2019·全国卷Ⅱ]设z=i(2+i),则=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i2.D[解析] 由已知得z=-1+2i,则=-1-2i,故选D.3.F2[2019·全国卷Ⅱ]已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.B.2 C.5D.503.A[解析] a-b=(-1,1),则|a-b|=-=.故选A.4.K2[2019·全国卷Ⅱ]生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为()A.B.C.D.4.B[解析] 5只兔子分别记为A1,A2,A3,B1,B2,其中A1,A2,A3为测量过该项指标的兔子.从这5只兔子中随机取3只,取法有(A1,A2,A3),(A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A3,B1),(A1,A3,B2),(A1,B1,B2),(A2,A3,B1),(A2,A3,B2),(A2,B1,B2),(A3,B1,B2),共10种,其中恰有2只测量过该项指标的取法有(A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A3,B1),(A1,A3,B2),(A2,A3,B1),(A2,A3,B2),共6种.故所求概率P==.5.M1[2019·全国卷Ⅱ]在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙5.A[解析] 若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲的成绩比乙的成绩高,丙的成绩比乙的成绩低,故三人的成绩由高到低依次为甲、乙、丙,符合题意;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,则丙的成绩比乙的成绩高,乙的成绩比甲的成绩高,即丙的成绩比甲的成绩和乙的成绩都高,即乙预测正确,不符合题意.故选A.6.B4[2019·全国卷Ⅱ]设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x-1,则当x<0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+16.D[解析] 当x<0时,-x>0,则f(-x)=e-x-1=-f(x),所以当x<0时,f(x)=-e-x+1.故选D.7.G4,A2[2019·全国卷Ⅱ]设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面7.B[解析] 由两个平面平行的判定定理可知B正确.8.C3[2019·全国卷Ⅱ]若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=()A.2B.C.1D.8.A[解析] 设T为f(x)的最小正周期,则由题意知=-=,则T=π,又T=,所以ω=2.故选A.9.H10[2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.89.D[解析] 由已知得抛物线的焦点坐标为.在椭圆中,半焦距c=-=-=,则=,解得p=0(舍去)或p=8.故选D.10.B11[2019·全国卷Ⅱ]曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为()A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=010.C[解析] y'=2cos x-sin x,则所求切线的斜率k=2cos π-sin π=-2,所以所求切线方程为y-(-1)=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0.故选C.11.C6,C2[2019·全国卷Ⅱ]已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=()A.B.C.D.11.B[解析] 由2sin 2α=cos 2α+1得2×2sin αcos α=2cos2α-1+1,即2sin αcos α=cos2α,因为α∈0,,所以cos α≠0,则2sin α=cos α,与sin2α+cos2α=1联立,解得sin α=或sin α=-,又因为α∈0,,所以sin α=.故选B. 12.H6[2019·全国卷Ⅱ]设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.B.C.2 D.12.A[解析] 如图所示,设PQ与x轴交于点D.因为|OF|=|PQ|=c,所以PQ也是以OF为直径的圆的直径,则D为圆心,所以|OD|=|DP|=|OF|=,|OP|=|OD|=a,则a=×,所以C的离心率e==.故选A.13.E5[2019·全国卷Ⅱ]若变量x,y满足约束条件---则z=3x-y的最大值是.13.9[解析] 在平面直角坐标系中作出可行域,如图中阴影部分所示,由图知当直线y=3x-z过点(3,0)时,z最大,则z max=3×3-0=9.14.I2[2019·全国卷Ⅱ]我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.14.0.98[解析] 题中40个车次的正点率的平均值为=0.98,所以所求估计值为0.98.15.C8[2019·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin A+a cos B=0,则B= .15.135°[解析] 由正弦定理得sin B sin A+sin A cos B=0,因为sin A≠0,所以sin B+cos B=0,即tan B=-1,又因为0°<B<180°,所以B=135°.16.G2[2019·全国卷Ⅱ]中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1-1①).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图1-1②是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为.①②图1-116.26-1[解析] 由题图②可知该半正多面体共有1+8+8+8+1=26(个)面.设其棱长为a,过该几何体的中心,且与平面MNPQ平行的截面如图(2)所示,将其补全为一个正方形.易知AB=BD=DE=a,BC=CD=-,则有-+-=a2,解得a=-1.(1)(2)17.G5,G7[2019·全国卷Ⅱ]如图1-2,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.图1-2(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.17.解:(1)证明:由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE,又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1=90°,由题知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=∠A1EB1=45°,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EF⊥BB1,垂足为F,则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3,所以四棱锥E-BB1C1C的体积V=×3×6×3=18.18.D3,D4[2019·全国卷Ⅱ]已知{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a n,求数列{b n}的前n项和.18.解:(1)设{a n}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4,因此{a n}的通项公式为a n=2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{b n}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.19.I2,I2[2019·全国卷Ⅱ]某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例和产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附:≈8.602.19.解:(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为=0.21, 产值负增长的企业频率为=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)=×(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,s2=n i(y i-)2=×[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6,s==0.02×≈0.17.所以这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.20.H5,H10[2019·全国卷Ⅱ]已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.20.解:(1)连接PF1,由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,故C的离心率e==-1.=-1,+=1,(2)设点P的坐标为(x,y),由题意可知,|y|·2c=16,·-即c|y|=16,①x2+y2=c2,②+=1.③由②③及a2=b2+c2得y2=,又由①知y2=,故b=4.由②③得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P,所以b=4,a的取值范围为[4,+∞).21.B10,B12[2019·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明:(1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.21.证明:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-+ln x-1=ln x-.因为y=ln x单调递增,y=单调递减,所以f'(x)单调递增,又f'(1)=-1<0,f'(2)=ln 2-=->0,故存在唯一的x0∈(1,2),使得f'(x0)=0.当0<x<x0时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>x0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,因此,f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知f(x0)<f(1)=-2,又f(e2)=e2-3>0,所以f(x)=0在(x0,+∞)内存在唯一根x=α.由α>x0>1得<1<x0.又f=-ln --1==0,故是f(x)=0在(0,x0)内的唯一根.综上,f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.22.N3[2019·全国卷Ⅱ] [选修4-4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当θ0=时,求ρ0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.22.解:(1)因为点M(ρ0,θ0)在曲线C上,所以当θ0=时,ρ0=4sin=2.由已知得|OP|=|OA|cos=2,设Q(ρ,θ)为l上除点P外的任意一点.在Rt△OPQ中,ρcosθ-=|OP|=2.经检验,点P2,在曲线ρcosθ-=2上,所以l的极坐标方程为ρcosθ-=2.(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ.因为P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是.所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈.23.N[2019·全国卷Ⅱ] [选修4-5:不等式选讲]已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.23.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1),当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;当x≥1时,f(x)≥0.所以不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1.当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.所以a的取值范围是[1,+∞).。
2019年文科数学 (全国II卷) word版
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷） 文科数学1.设集合{}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，则=⋂B A ( ) A. ),1(+∞- B. )2,(-∞ C. )2,1(- D. φ2. 设(2)z i i =+，则z = ( ) A. 12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3. 已知向量(2,3)=a ， (3,2)=b ，则-=a b （ ）B. 2C. D. 504. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）A.23 B. 35C. 25D. 155. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高. 乙：丙的成绩比我和甲的都高. 丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6. 设()f x 为奇函数，且当0≥x 时，()1=-xf x e ，则当0<x 时，()=f x （ ） A. 1--x e B. 1-+x e C. 1---x e D . 1--+x e7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面8. 若123,44x x ππ==是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则ω=A ．2B. 32C. 1D.129.若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ） A.2 B.3 C.4 D.810. 曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( ) A. 10x y π---= B. 2210x y π---= C. 2210x y π+-+= D. 10x y π+-+=11. 已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（ ）A.15D.512.设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，0为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若PQ OF =,则C 的离心率为:A.2B.3C.2D.5 二、填空题13. 若变量,x y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则3z x y =-的最大值是 .14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .15. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sin cos 0b A a B +=，则B = . 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)三、解答题17.如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥. （1）证明：BE ⊥平面11EB C（2）若1AE AE =,3AB =,求四棱锥11E BB C C -的体积.18.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，162,2231+==a a a . (1)求{}n a 的通项公式：(2)设n n a b 2log =，求数列{}n b 的前n 项和.19. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[)0.20,0-[)0,0.20[)0.20,0.40 [)0.40,0.60 [)0.60,0.80企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01） 748.602≈.20. 已知12,F F 是椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点.（1）若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF ∆的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.21. 已知函数()(1)ln 1=---f x x x x .证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()0=f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 四、选做题（2选1）22.在极坐标系中，O 为极点，点00(,)M ρθ0(0)ρ>在曲线:=4sin C ρθ上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知 ()|||2|()f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集： （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 得取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷 ）文科数学答 案1. 答案：C 解析：{}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，∴）（2,1-=⋂B A .2. 答案：D 解析：因为(2)12z i i i =+=-+，所以12z i =--. 3. 答案：A 解答：由题意知(1,1)-=-a b ，所以2-=a b .4. 答案：B 解答：计测量过的3只兔子为1、2、3，设测量过的2只兔子为A 、B 则3只兔子的种类有(1,2,3)(1,2,)A (1,2,)B (1,3,)A (1,3,)B (1,,)A B ()()()()2,3,2,3,2,,3,,A B A B A B ,则恰好有两只测量过的有6种，所以其概率为35.5.答案：A 解答：根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果. 6. 答案：D 解答：当0<x 时，0->x ，()1--=-xf x e ，又()f x 为奇函数，有()()1-=--=-+xf x f x e .7. 答案：B解析:根据面面平行的判定定理易得答案. 8.答案：A 解答：由题意可知32442T πππ=-=即T=π,所以=2ω. 9.答案：D 解析：抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±， ∴p p22=，∴8=p . 10. 答案：C 解析：因为2cos sin y x x '=-，所以曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线斜率为2-， 故曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为2210x y π+-+=. 11. 答案：B 解答：(0,)2πα∈，22sin 2cos 214sin cos 2cos ααααα=+⇒=，则12sin cos tan 2ααα=⇒=，所以cos α==，所以sin α==. 12. 答案：A解析：设F 点坐标为)0,2c （，则以OF 为直径的圆的方程为2222)2⎪⎭⎫⎝⎛=+-c y c x （-----①，圆的方程222a y x =+-----②，则①-②，化简得到c a x 2=，代入②式，求得caby ±=，则设P 点坐标为),2c ab c a （，Q 点坐标为),2c ab c a -（，故cab PQ 2=，又OF PQ =,则,2c cab=化简得到2222b a c ab +==，b a =∴，故2222==+==aaa b a a c e .故选A. 二、填空题 13. 答案：9 解答：根据不等式组约束条件可知目标函数3z x y =-在()3,0处取得最大值为9. 14.答案：0.98 解答：平均正点率的估计值0.97100.98200.99100.9840⨯+⨯+⨯==.15.答案：34π 解析：根据正弦定理可得sin sin sin cos 0B A A B +=,即()sin sin cos 0A B B +=，显然sin 0A ≠，所以sin cos 0B B +=，故34B π=.16.答案：1 解析：由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解. 三、解答题 17.答案： （1）看解析 （2）看解析 解答：（1）证明：因为11B C C ⊥面11A B BA ，BE ⊥面11A B BA∴11B C BE ⊥ 又1111C E B C C ⋂=，∴BE ⊥平面11EB C ；（2）设12AA a =则 229BE a =+，22118+a C E =，22194C B a =+ 因为22211=C B BE C E + ∴3a =，∴11111h 3E BB C C BB C C V S -=1363=183=⨯⨯⨯ 18.答案： （1）122-=n n a ； （2）2n解答：(1)已知162,2231+==a a a ，故162121+=q a q a ，求得4=q 或2-=q ，又0>q ，故4=q ，则12111242---=⋅==n n n n q a a .(2)把n a 代入n b ，求得12-=n b n ，故数列{}n b 的前n 项和为22)]12(1[n nn =-+.19. 答案： 详见解析 解答:（1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是14721100100+=， 这类企业中产值负增长的企业比例是2100. （2）这类企业产值增长率的平均数是()0.1020.10240.30530.50140.7071000.30-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=⎡⎤⎣⎦这类企业产值增长率的方差是()()()()()222220.100.3020.100.30240.300.30530.500.30140.700.3071000.0296⎡⎤--⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯÷=⎣⎦所以这类企业产值增长率的标准差是28.6020.172040.17100==⨯=≈. 20. 答案： 详见解析 解答:（1）若2POF ∆为等边三角形，则P 的坐标为,22c ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，代入方程22221x y a b +=，可得22223144c c a b+=，解得24e =±1e =. （2）由题意可得122PF PF a +=，因为12PF PF ⊥，所以222124PF PF c +=， 所以()22121224PF PF PF PF c +-⋅=，所以222122444PF PF a c b ⋅=-=，所以2122PF PF b ⋅=，所以122121162PF F S PF PF b ∆=⋅==，解得4b =. 因为()212124PF PF PF PF +≥⋅，即()21224a PF PF ≥⋅，即212a PF PF ≥⋅，所以232a ≥，所以a ≥21. 答案：见解析解答：（1）1()ln (0)'=->f x x x x ，设1()ln =-g x x x ，211()0'=+>g x x x则()g x 在(0,)+∞上递增，(1)10=-<g ，11(2)ln 2ln 022=->=g ， 所以存在唯一0(1,2)∈x ，使得00()()0'==f x g x ，当00<<x x 时，0()()0<=g x g x ，当0>x x 时，0()()0>=g x g x ，所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,)+∞x 上递增，所以()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知存在唯一0(1,2)∈x ，使得0()0'=f x ，即001ln =x x ， 00000000011()(1)ln 1(1)1()0=---=---=-+<f x x x x x x x x x ， 22221113()(1)(2)110=----=->f e e e e，2222()2(1)130=---=->f e e e e ， 所以函数()f x 在0(0,)x 上，0(,)+∞x 上分别有一个零点.设12()()0==f x f x ，(1)20=-<f ，则1021<<<x x x ，有1111111(1)ln 10ln 1+---=⇒=-x x x x x x ， 2222221(1)ln 10ln 1+---=⇒=-x x x x x x ， 设1()ln 1+=--x h x x x ，当0,1<≠x x 时，恒有1()()0+=h x h x， 则12()()0+=h x h x 时，有121=x x .22.答案：（1）0ρ=l 的极坐标方程：sin()26πρθ+=；（2）P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 解析：（1）当03πθ=时，00=4sin 4sin 3πρθ==以O 为原点，极轴为x轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有M ，(4,0)A，OM k =，则直线l的斜率3k =-，由点斜式可得直线l：(4)3y x =--，化成极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）∵l OM ⊥∴2OPA π∠=，则P 点的轨迹为以OA 为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，化成极坐标方程为=4cos ρθ，又P 在线段OM 上，由4sin 4cos ρθρθ=⎧⎨=⎩可得4πθ=，∴P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 23.答案（1）看解析（2）看解析解答：（1）当1a =时，22242(2),()12(1)22(12),242(1).x x x f x x x x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+--=-<<⎨⎪-+-≤⎩所以不等式()0f x <等价于224202x x x ⎧-+<⎨≥⎩或22012x x -<⎧⎨<<⎩或224201x x x ⎧-+-<⎨≤⎩解得不等式的解集为{}2x x <。
2019年全国Ⅱ卷文科数学高考真题.docx
2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=A．（-1，+∞）B．（-∞，2）C．（-1，2）D．2.设z=i（2+i），则=A．1+2iB．-1+2iC．1-2iD．-1-2i3.已知向量a=（2，3），b=（3，2），则|a-b|=AB．2C．D．504.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。
若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A．2 3B．3 5C．2 5D．1 55.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。
乙：丙的成绩比我和甲的都高。
丙：我的成绩比乙高。
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6.设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）= -1，则当x<0时，f（x）= A．-1B．+1C．- -1D．- +17．设α，β为两个平面，则α //β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面8.若，是函数f（x）= sinωx（ω>0）两个相邻的极值点，则ωA．2B．32C．1D．129.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则p= A．2B．3C．4D．810.曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1）处的切线方程为A．x-y-π-1=0B．2x-y-2π-1=0C．2x+y-2π+1=0D．x+y-π+1=011.已知，2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．15B5C3D512.设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆交于P，Q两点。
2019全国Ⅱ卷文科数学高考真题(真题)
2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=A．（-1，+∞）B．（ -∞，2）C．（ -1，2）D．2.设z=i（2+i），则=A．1+2iB．-1+2iC．1-2iD．-1-2i3.已知向量a=（2，3），b=（3，2），则|a-b|=AB．2C．D．504.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。
若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A．2 3B．3 5C．2 5D．1 55.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。
乙：丙的成绩比我和甲的都高。
丙：我的成绩比乙高。
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6.设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）= -1，则当x<0时，f（x）= A．-1B．+1C．- -1D． - +17．设α，β为两个平面，则α//β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面8.若，是函数f（x）= sinωx（ω>0）两个相邻的极值点，则ωA．2B．32C．1D．129.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则p= A．2B．3C．4D．810.曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1）处的切线方程为A．x-y-π-1=0B．2x-y-2π-1=0C．2x+y-2π+1=0D．x+y-π+1=011.已知，2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．15B5C3D512.设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆交于P，Q两点。