《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计

《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计
昌黎汇文二中 李小庆
一、教学目的：
1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法；
2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。
二、教学重点和难点：
1. 直线与双曲线的交点个数的讨论；
2. 数形结合思想方法在解题中的应用
三、教学过程：
1、复习提问：双曲线的方程和性质

双曲线的标准方程 顶点 渐近线

焦点在x轴上
22
22
1(0,0)xyabab
12

(,0),(,0)AaAa

b
yxa

焦点在y轴上
22
22
1(0,0)yxabab
12

(,0),(,0)BaBa

a
yxb

思考问题：求双曲线122yx与下列直线的交点的个数：
①y=x+1 ②y= -x+1 ③12xy ④12xy ⑤y=1.2x+1
⑥y= -1.2x+1 ⑦y=1 ⑧y=2x+1 ⑨y= -2x+1

老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。
① 与②的答案：1 直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。
③与④的答案：1 直线与双曲线相切。
⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。
⑦的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。
⑧与⑨的答案：0 直线与双曲线相离。
（以上内容都有多媒体演示）

总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。
例1：论直线y=kx+1与双曲线C:122yx公共点的个数。
分析：直线y=kx+1过定点（0，1），解决这个问题的关键在于找什么？就是找与双曲线有一个交点的直线。
通过多媒体演示得到答案
解：⑴k=±1或k=±2时L与C有一个公共点；

⑵有两个交点：在左支上时1＜k＜2
在右支上时 –2＜k＜-1
在两支上时 -1＜k＜1
所以k∈(–2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2)时L与C有两个公共点。

⑶k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时L与C没有公共点。
例2：讨论过（1，1）点的直线与双曲线122yx公共点的个数。
解：⑴直线x=1和直线y=-x+2 与双曲线有一个交点;
⑵k∈(-∞,-1) 时有两个交点在右支上;
k∈(-1,1) 时有两个交点在两支上;

⑶k∈(1,+∞) 时没有公共点。
例3：讨论直线y=kx与双曲线122yx公共点的个数。
解：⑴没有和双曲线只有一个交点的直线；
⑵k∈(-1,1) 时直线与双曲线有两个交点在两支上
;

⑶k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时直线与双曲线没有公共点。
例4：讨论过（1，0）点的直线与双曲线122yx公共点的个数。
解：⑴直线x=1和直线y=x-1和直线y=-x+1与双曲线有一个公共点;

⑵两个交点
在右下支上k＜-1 在两支上-1＜k＜1 在右上支上k＞1
所以k∈(–∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)时有两个公共点。

(3)(,1)k时，没有公共点。
例5：已知双曲线12222byax的右焦点为F，过点F倾斜角为060的直线与双曲线的右支只有一个交点，
则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A.2,1 B.2,1 C.,2 D,2 答案：C
例7：已知10aa且试求使方程)(log)(log222axakxaa有解的k的取值范围。

解：)(log)(log222axakxaa有解等价于
函数y=x-ak＞0与y=22ax＞0图象有交点
所以k≤-1或 0＜k＜1
四、总结：过一点和双曲线只有一个交点的直线的条数
过中心 0
过渐近线上一点且不是中心 2
过双曲线外一点且不在渐近线上 4
过双曲线上一点 3
过双曲线内一点 2

四、作业：过P（1，0）的直线与双曲线15422yx有且只有一个公共点，则斜率k的取值范围。

答案：25或315
拓展：（1）的取值范围则斜率个公共点，有且只有的直线与双曲线，过kyxP21540122
答案：25,315315kk且
（2）的取值范围则斜率没有公共点，的直线与双曲线，过kyxP1540122
答案：315315〉或kk
（3）的取值范围则斜率交点，的左、右分支各有一个的直线与双曲线，过kyxP1540122
小结：消元转化为讨论某个一元二次方程解的个数问题。但要注意二次项系数分a=0与a≠0两种情
形的讨论,只有当a≠0时才可以用Δ来确定解的个数。但有时利用数形结合可以简化运算。