2024届江苏扬州中学高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

9 y
的最小值为
4.
故选：C 5、A
【解题分析】根据向量的减法运算可化简已知等式为 CB AB AC 0 ，从而得到三角形的中线和底边垂直，从而得
到三角形形状.
详解】 OB OC OB OC 2OA CB AB AC 0 CB AB AC
三角形的中线和底边垂直 ∴ABC 是等腰三角形
A. m n p
B. n m p
C. n p m
D. p n m
9．设 0 x 2 ，且 1 sin 2x sin x cos x ，则（）
A. 0 x
C.
x
5
4
4
Hale Waihona Puke B.x74
4
D.
x
3
2
2
10．已知函数
f
(x)
lfo(gx2
x, x 0 4), x
，则
0
f
(2018)
0 x 2 x 5
44
故选：C
【题目点拨】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据 sin x, cos x 的关系即可求解，属于简单题目.
10、B
【解题分析】 x 0, f (x) f (x 4) f (2018) f (2) f (2) log2 2 1 ,选 B.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 11、1 【解题分析】根据函数解析式，从里到外计算即可得解.
【本题正确选项：A 【题目点拨】本题考查求解三角形形状的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到数量积关系，根据数量积为零求 得垂直关系. 6、B 【解题分析】先求出集合 B，再求 A∪B.
【题目详解】因为 A {1,2,3}, B {0,1,2}，所以 A B {0,1, 2,3} .
故选：B 7、A
【解题分析】将等式变形后，利用二次根式的性质判断出 sin x cos x ，即可求出 x 的范围. 【题目详解】 1sin 2x sin2 x cos2 x 2sin xcos x (sin x cos x)2 | sin x cos x | sin x cos x sin x cos x 0, 即 sin x cos x
16．已知函数 f (x) 是奇函数，当 x (, 0) 时， f ( x) x2 mx ，若 f (2) 3，则 m 的值为______.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．函数 y Asin x (A 0, 0, 0 π) ，在 0, 7π 内只取到一个最大值和一个最小值，且当 x π 时，
对
C，因为
a
1 b
b
1 a
a
b
ab ab
a
b 1
1 ab
，而
a
b
0
，则
a
b
0,1
1 ab
0
，所以
a
1 b
b
1 a
0
，即
a
1 b
b
1 a
.C
正确；
对 D，令 a b 1，则 a b 1 ab 1.D不正确. 2
故选：C.
4、C
【解题分析】根据条件
x
y
4
,变形
1 x
9 y
1 4
【解题分析】先利用三角恒等变化公式将函数化成 y Asin x 形式，然后直接得出最值.
【题目详解】
f
x
1 3
sin
x
6
cos
x
3
1 2
sinxcos
6
cosxsin
6
cosxcos
3
sinxsin
3
整理得
f
x
23 3
sinx
2 3
cosx
，利用辅助角公式得
f
x
4 3
4
，则
1 x
9 y
的最小值为（）
A.2
B.3
C.4
D.8
5．若 O 为 ABC 所在平面内一点， OB OC OB OC 2OA 0 ，则 ABC 形状是
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.正三角形
D.以上答案均错
6．已知集合 A={1，2，3}，B={x∈N|x≤2}，则 A∪B=（ ）
填写在答题纸指定位置)
已知二次函数 f (x) ax2 bx c ，且满足________(填所选条件的序号).
（1）求函数 f x 的解析式；
（2）设 g(x) f (x) mx ，若函数 g x 在区间1, 2 上的最小值为 3，求实数 m 的值.
19．已知 tan 1 ，计算下列各式的值. 3
2
ymax 3 ；当 x 6π 时， ymin 3
（1）求此函数的解析式； （2）求此函数的单调递增区间
18．现有三个条件：①对任意的 x R 都有 f (x 1) f (x) 2x 2 ；②不等式 f x 0 的解集为 x∣1 x 2 ；③
函数 y f x 的图象过点 3, 2.请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解(请将所选条件的序号
【题目详解】
f
1 2
e
1 2
1
1
e2 ，所以
f
f
1 2
1
ln e2
1 2
11 22
1.
故答案为：1
12、 [ 2k , 5 2k ] ， k Z
6
6
【解题分析】根据题意由于 y 2 sin x 1 有意义，则可知 2sin x 1 0sin x 1 ，结合正弦函数的性质可知，函 2
（1） sin 2cos ； 5cos sin
（2）
2sin2
1 3cos2
.
20．已知函数
f
x
2
sin
2x
6
.
（1）求函数 f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若当
x
0,
2
时，求
f
x 的最大值和最小值及相应的
x
取值.
21．已知函数
f
(x)
x2
a
1 a
x
1.
(1)解关于 x 不等式 f (x) 0(a 0) ； (2)若对于任意 x (1,3) ， f (x) 1 x 3 恒成立，求 a 的取值范围.
14．在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于 P ，Q 两点，P ，
Q 的纵坐标分别为 3 ， 4 .则 的终边与单位圆交点的纵坐标为_____________. 55
15．设向量 a (1，3) ， b (1， 2) ，则 a 2b __________
A.{2，3}
B.{0，1，2，3}
C.{1，2}
D.{1，2，3}
7．函数 f（x）= 1 sin（x+ ）+cos（x- ）的最大值是（ ）
3
6
3
A. 4
B. 2
3
3
C.1
D. 1
3
8．已知指数函数 y ax 是减函数，若 m a2 ， n 2a ， p loga 2 ，则 m，n，p 的大小关系是（）
A.0
B.1
C. log2 3
D.2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11．若
，则
___________；
12．函数 y 2 sin x 1 的定义域是________________.
13．已知函数 f x 2cos x 3sin x 对于任意 x R ，都有 f x f x0 成立，则 cos x0 ___________
a
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C
【解题分析】由题意得，函数
f
(x)
lg
2 1
x
a
是奇函数，则
f
0
0 ，即
f
(0)
lg
2 1
a
lg(2
a)
0
，解得
a
1
，故选
C.
考点：函数的奇偶性的应用. 2、C
sin
x
6
，所以函数
f
x 的最大值为
4 3
，故选
A.
【题目点拨】三角函数求最值或者求值域一定要先将函数化成 y Asin x 的形函数.
8、B
【解题分析】由已知可知 0 a 1 ，再利用指对幂函数的性质，比较 m，n，p 与 0，1 的大小，即可得解.
【题目详解】由指数函数 y ax 是减函数，可知 0 a 1 ， 结合幂函数 y x2 的性质可知 0 a2 1，即 0 m 1 结合指数函数 y 2x 的性质可知1 2a 2 ，即1 n 2
【解题分析】根据任意角三角函数的定义可得 sin 3 ，cos 4 ，sin 4 ，cos 3 ，再由 sin 展开
5
5
5
5
求解即可.
【题目详解】以 Ox 轴为始边作两个锐角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于 P ，Q 两点， P ，Q 的纵坐标分别
为3，4 55
所以 sin 3 ， 是锐角，可得 cos 4 ，
数定义域[ 2k , 5 2k ]，， k Z ，故可知答案为[ 2k , 5 2k ]，， k Z ，
6
6
6
6
考点：三角函数 性质
点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题
的 13、2 13## 13
2 13