初中数学八年级专题复习专题20 正方形
精品文档 用心整理 资料来源于网络 仅供免费交流使用 ABCD
EF
G
O
专题20 正方形 阅读与思考 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题． 正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．
例题与求解 【例l】 如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开
后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G.下列结论：①05.112AGD；②2AE
AD；③OGDAGDSS；④四边形AEFG是菱形；⑤OGBE2.
其中，正确结论的序号是______________． （重庆市中考试题） 解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．
【例2】如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上 )(BCCG，取线段AE的中点M.连MD，MF．
（1）探究线段MD，MF的关系，并加以证明． （2）将正方形CGEF绕点C旋转任意角后（如图2），其他条件不变． 探究线段MD，MF的关系，并加以证明． （大连市中考题改编） 解题思路：由M为AE中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．
图2图1
MFEG
M
F
GABDCECDBA 精品文档 用心整理
资料来源于网络 仅供免费交流使用 【例3】如图，正方形ABCD中，E，F是AB，BC边上两点，且FCAEEF，EFDG于G，求证：DADG. （重庆市竞赛试题） 解题思路：构造FCAE的线段是解本例的关键．
GFBC
AD
E
【例4】 如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定HAF的大小，并证明你的
结论． （北京市竞赛试题） 解题思路：先猜测HAF的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．
【例5】 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，满足DFBEEF， AFAE,分别与对角线BD交于点NM,．
求证：（1）045EAF； （2）222DNBMMN． （四川省竞赛试题） 解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．
MN
EBC
DA
F
ABCDEFGH
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资料来源于网络 仅供免费交流使用 【例6】已知 ：正方形ABCD中，045MAN，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点NM,．
当MAN绕点A旋转到DNBM时（如图1），易证MNDNBM． （1）当MAN绕点A旋转到DNBM时（如图2），线段DNBM,和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明； （2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段DNBM,和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． （黑龙江省中考试题） 解题思路：对于（2），构造BMDN是解题的关键．
能力训练 A级 1. 如图，若四边形ABCD是正方形，CDE是等边三角形，则EAB的度数为__________. （北京市竞赛试题） 2. 四边形ABCD的对角线BDAC、相交于点O，给出以下题设条件： ①DACDBCAB；
②BDACDOCOBOAO,；
③BDACDOBOCOAO,,； ④DACDBCAB,． 其中，能判定它是正方形的题设条件是______________. （把你认为正确的序号都填在横线上） （浙江省中考试题）
ABCDMN图3 CDMN图2 ABC
DMN
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资料来源于网络 仅供免费交流使用 3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转030，则这两个正方形重叠部分的面积是__________. （青岛市中考试题）
BCDA
E
第1题图 第3题图 第4题图 4.如图，P是正方形ABCD内一点，将ABP绕点B顺时针方向旋转至能与'CBP重合，若3PB，则'PP=__________. （河南省中考试题）
5.将n个边长都为cm1的正方形按如图所示摆放，点nAAA,,21分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( ) A .241cm B．24cmn C. 241cmn D. 2)41(cmn （晋江市中考试题）
A5
A3
A4
A2
A1
O
BFECA
第5题图 第6题图 6. 如图，以BCARt的斜边BC为一边在BCA的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果26,4AOAB，则AC的长为( )
A . 12 B．8 C.34 D. 28 （浙江省竞赛试题） 7．如图，正方形ABCD中，035,MCEMNCE，那么ANM是( )
A .045 B．055 C. 065 D. 075
ABCD
P
PA
BC
D
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资料来源于网络 仅供免费交流使用 8．如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，CEFRt的面积为200，则BE的值是( ) A．15 B．12 C．11 D．10
第8题图第7题图
ABMBC
DACDEFN
E 9．如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，BD与CE交于F点，求证：BEAF．
FE
BCDA
10. 如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD上的一点，且ADAF41 ． 求证：CE平分BCF．
BCAD
EF
11. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，FEBCPFDCPE,,,分别是垂足． 求证：EFAP． （扬州市中考试题）
FEBC
AD
P 精品文档 用心整理
资料来源于网络 仅供免费交流使用 12.（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形)(BCCGCGEF，GCB,,在同一条直线上，M为线段AE的中点．探究：线段MFMD,的关系． （2）如图2，若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转045，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （大连市中考试题）
图1 图2
B级 1. 如图，在四边形ABCD中，090,ABCADCDCAD，ABDE于E，若四边形ABCD的面积为8，则DE的长为__________.
2.如图，M是边长为1的正方形ABCD内一点，若02290,21CMDMBMA，则MCD __________. （北京市竞赛试题）
第3题图第1题图第2题图OCBEBCAEB
DADMF
AC
3.如图，在ABCRt中，3,900ACC，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且24OC，则BC的长为__________. （“希望杯”邀请赛试题）
ABC
DEF
GMA
BC
DEFGM精品文档 用心整理
资料来源于网络 仅供免费交流使用 4.如图：边长一定的正方形ABCD，Q是CD上一动点，AQ交BD于M，过M作AQMN交
BC于N点，作BDNP于点P，连接NQ，下列结论：①MNAM；②BDMP21；
③NQDQBN；④BMBNAB为定值，其中一定成立的是( ) A . ①②③ B．①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 5.如图，ABCD是正方形，ACBF//，AEFC是菱形，则ACF与F度数的比值是( ) A . 3 B．4 C. 5 D. 不是整数 6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是( )
A . 58 B．527 C. 8 D. 65 E.35 （美国高中考试题）
第7题图第5题图第4题图第6题图
QBCFABPNMBC
DACDDAQEP
7.如图，正方形ABCD中，8AB，Q是CD的中点，设DAQ，在CD上取一点P，使 2BAP
，则CP的长度等于 ( )
A . 1 B．2 C. 3 D. 3 （“希望杯”邀请赛试题） 8.已知正方形ABCD中，M是AB中点，E是AB延长线上一点，DMMN且交CBE平分线于N（如图1） （1）求证：MNMD； （2）若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）如图2，点M是AB的延长线上（除B点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （临汾市中考试题）
E图3图2图1
NNABNMABABDCCDEDC
EMM
`
初中数学复习几何模型专题讲解13--- 正方形与45°角的基本图
初中数学复习几何模型专题讲解专题13 正方形与45°角的基本图一、单选题1．如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE=EC ，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①AG+EC=GE ；②GDE 45∠=︒；③BGE △的周长是一个定值；④连结FC ，BFC △的面积等于12BF FC ．在以上4个结论中，正确的是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】 根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF ，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL ”判定Rt ADG Rt FDG ≌，再由GE GF EF AG CE =+=+，从而判断①，由对折可得：,CDE FDE ∠=∠ 由Rt ADG Rt FDG ≌，可得：,ADG FDG ∠=∠从而可判断②， 设,,AG a CE b == 则12,12,,,BG a BE b GF a EF b =-=-==利用三角形的周长公式可判断③，如图，连接CF ， 证明BCF △是直角三角形，从而可判断④，从而可得本题的结论．【详解】解：由正方形ABCD 与折叠可知，DF=DC=DA ，∠DFE=∠C=90°，,EC EF =∴∠DFG=∠A=90°，,DG DG =∴()Rt ADG Rt FDG HL ≌，,AG GF ∴=,AG EC GF FE GE ∴+=+=故①正确；由对折可得：,CDE FDE ∠=∠Rt ADG Rt FDG ≌，,ADG FDG ∴∠=∠1452ADG CDE GDF EDF ADC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒， 45GDE ∴∠=︒，故②正确；设,,AG a CE b ==则12,12,,,BG a BE b GF a EF b =-=-==121224,BGE C BG BE GE a b a b ∴=++=-+-++=所以：BGE △的周长是一个定值，故③正确，如图，连接CF ，由对折可得：,EF EC =,EFC ECF ∴∠=∠,BE CE =BE EF ∴=，,EBF EFB ∴∠=∠1180902BFC EFB EFC ∴∠=∠+∠=⨯︒=︒， 1.2BFC S BF FC ∴= 故④正确．综上：①②③④都正确．故选.D【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，直角三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．2．如图，正方形ABCO 和正方形DEFO 的顶点,,A E О在同一直线l 上，且3EF AB ==，给出下列结论：45COD ∠=︒①，5AE =②，CF BD COF ==③④△的面积3S COF =△，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解；④根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：①∵∠AOC=90°，∠DOE=45°，∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，故正确；②∵，∴OE=2．∵AO=AB=3，∴AE=AO+OE=2+3=5，故正确；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG=1，BH=3-1=2，DH=3+1=4，=④△COF的面积S△COF=12×3×1=32，故错误；故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度，正确作出辅助线是解题的关键．3．如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE 交DG的延长线于点H，连接BH，那么些的值为（）A．1 B．C D．2【答案】B【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE=HN，AD=EN，再说明△BNH 是等腰直角三角形，可得结论．【详解】如图，在线段AD上截取AM，使AM=AE，，∵AD=AB，∴DM=BE，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∠1=∠2，∴∠DFG=90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵DF DC DG DG⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴∠3=∠4，∵∠ADC=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG=45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH=90°，△DEH 是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH ，∴∠1=∠BEH ，在△DME 和△EBH 中，∵1DM BE BEH DE EH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DME ≌△EBH （SAS ），∴EM=BH ，Rt △AEM 中，∠A=90°，AM=AE ，∴EM =，∴BH =，即BH AE =故选：B.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．4．如图，在正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，过点A 作AH EF ⊥，垂足为点H ，将ADF 绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ，若4,6BE DF ==，则以下结论：①ADF AHF ≅△△，②AH EF =，③3AE AF =，④24CEF S =，正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】 利用正方形的性质与旋转的性质证明,GAE FAE ≌再证明,AFH AFD ≌判断①，利用全等三角形的性质与勾股定理先求解正方形的边长，再分别求解,EF AH ，判断②，再利用勾股定理计算,AE AF ，判断③，通过计算CEF S △，判断④．【详解】解：由旋转的性质可知：AF=AG ，∠DAF=∠BAG ．∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE ．在△GAE 和△FAE 中AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，,GAE FAE ∴≌,G AFE ∴∠=∠,G AFD ∠=∠,AFE AFD ∴∠=∠90,,AHF ADF AF AF ∠=∠=︒=,AFH AFD ∴≌故①正确，,AH AD ∴=,GAE FAE ≌,GE FE =4,6,,BE DF GB DF ===10,GE EF ∴==设正方形的边长为x ，则4,6,CE x CF x =-=-由勾股定理得：()()2224610,x x -+-=解得：1212,2x x ==-（舍去） 12,AH AD BC ∴===,AH EF ∴≠ 故②错误，,AFH AFD ≌6,4,FH FD EH EB ∴====,3AE AF ∴==== 故③正确， 48,66,CE x CF x =-==-=118624.22CEF S CE CF ∴=•=⨯⨯= 故④正确． 综上：①③④正确，故选C ．【点睛】本题考查的是旋转的性质，正方形的性质，三角形的全等的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．二、解答题5．已知：四边形ABCD 为正方形，AMN ∆是等腰Rt ∆，90AMN ∠=︒．（1）如图：当Rt AMN ∆绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 相交于点E 、F ，连接EF ，试证明：EF DF BE =+．（2）如图，当Rt AMN ∆绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 的延长线相交于点E 、F ，连接EF ．①试写出此时三线段EF 、DF 、BE 的数量关系并加以证明．②若6CE =，2DF =，求：正方形ABCD 的边长以及AEF ∆中AE 边上的高．【答案】（1）证明见解析；（2）①EF BE DF =-，证明见解析；②【分析】（1）延长CB 到G ，使BG=DF ，连接AG ，根据正方形性质得出AD=AB ，∠D=∠ABG ，根据全等三角形的判定推出即可；（2）①EF=BE-DF ，理由是：在BC 上取BG=DF ，连接AG ，证△ABG ≌△ADF ，△FAE ≌△EAG 即可；②过F 作FH ⊥AE 于H ，设正方形ABCD 的边长是x ，则BC=CD=x ，EF=GE=BC-BG+CE=x+4，在Rt △FCE 中，由勾股定理得出方程（x+4）2=（x+2）2+62，求出x 后再求出FH 即可．【详解】（1）证明：如图1，延长CB 到G ，使BG=DF ，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠ABC=∠DAB=∠ABG=90°，AD=AB ，在△ADF 和△ABG 中，AD AB D ABG DF BG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△ABG （SAS ），∴AG=AF ，∠DAF=∠BAG ，∵∠EAF=45°，∴∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠EAB+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠EAG ，∵AE=AE ，∴△EAF ≌△EAG ，∴EF=EG=EB+BG=EB+DF ．（2）①三线段EF 、DF 、BE 的数量关系是：EF BE DF =-，理由如下:如图2，在BC 上取一点G ，使BG DF =连接AG ，同(1)可证ABG ADF ∆∆≌，∴AG=AF ，∠DAF=∠BAG ，∵AMN ∆是等腰直角三角形，∴45MNA N ∠=∠=︒，∴45FAD DAE ∠+∠=︒，∴45DAE BAG ∠+∠=︒，∵90DAB ∠=︒，∴904545GAE FAE ∠=︒-︒=︒=∠，在FAE ∆和GAE ∆中，AF AG FAE GAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()FAE GAE SAS ∆∆≌，∴EF EG BE BG ==-，∵BG DF =，∴EF BE DF =-．②如图2，过F 作FH ⊥AE 于H ，设正方形ABCD 的边长是x ，则BC=CD=x ，∵CE=6，DF=BG=2，∴EF=GE=CG+CE=BC-BG+CE=x-2+6=x+4，在Rt △FCE 中，由勾股定理得：EF 2=FC 2+CE 2，∴（x+4）2=（x+2）2+62，解得：x=6，∴=∵∠FAM=45°，∴FH=2AF=2⨯，即△AEF 中AE 边上的高为【点睛】本题考查旋转综合题、正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．如图，AB AD BC DC ===，90C D ABE BAD ∠=∠=∠=∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，过点A 作GAB FAD ∠=∠，且点G 在CB 的延长线上．（1）GAB ∆与FAD ∆全等吗？为什么？（2）若2DF =，3BE =，求EF 的长．【答案】（1）△GAB ≌△F AD ，理由见解析；（2）EF =5【分析】（1）由题意可得∠ABG =∠D =90°，进一步即可根据ASA 证得△GAB ≌△F AD ； （2）由（1）的结论可得AG =AF ，GB =DF ，易得∠BAE +∠DAF =45°，进而可推出∠GAE =∠EAF ，然后利用SAS 即可证明△GAE ≌△F AE ，可得GE =EF ，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵90D ABE ∠=∠=︒，点G 在CB 的延长线上，∴∠ABG =∠D =90°，在△GAB 和△F AD 中，∵GAB FAD ∠=∠，AB =AD ，∠ABG =∠D ，∴△GAB ≌△F AD （ASA ）；（2）∵△GAB ≌△F AD ，∴AG =AF ，GB =DF ，∵90BAD ∠=︒，45EAF ∠=︒，∴∠BAE +∠DAF =45°，∴∠BAE +∠GAB =45°，即∠GAE =45°，∴∠GAE =∠EAF ，在△GAE 和△F AE 中，∵AG =AF ，∠GAE =∠EAF ，AE =AE ，∴△GAE ≌△F AE （SAS ），∴GE =EF ，∵GE =GB +BE =DF +BE =2+3=5，∴EF =5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．7．如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，EF AD ⊥于点F ，DG AE ⊥于点G ，DG 与EF 交于点O ．（1）求证：四边形ABEF是正方形；=；（2）若AD AE=，求证：AB AG（3）在（2）的条件下，已知1AB=，求OD的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2-【分析】（1）首先证明ABEF是矩形，然后找到一组邻边相等即可证明四边形ABEF是正方形；=，由（1）知，四边形ABEF是正方形，（2）主要证明AGD AFE≅，从而得出AG AF=；=，等量代换即可证明AB AGAB AF（3）已知1≅，求出AD的长度，DF=AD-AF，AB=，可知AE=又因为AGD AFE△为等腰直角三角形，OD DF即可求解．根据等式关系求出DF的长，最后证明ODF【详解】（1）在矩形ABCD中，90∠=∠=，BAF B⊥，EF AD∴90∠=，AFE∴90∠=∠=∠=，BAF B AFE∴四边形ABEF是矩形，又AE平分BAF∠，∴45∠=，BAE∴45AEB ∠=，∴AEB △为等腰直角三角形，∴BE =AB ，∴四边形ABEF 是正方形（邻边相等的矩形为正方形）；（2）DG AE ⊥，∴90AGD AFE ∠=∠=， 又DAG EAF ∠=∠，AD =AE ，∴AGD AFE ≅（AAS ），∴AG AF =，由（1）知，四边形ABEF 是正方形，∴AB AF =，∴AB AG =；（3）在正方形ABEF 中，45AEF ∠=，1AB AF ==，AE =由（2）知：AGD AFE ≅，∴AD =AE 45ADG AEF ∠=∠=，∴DF =AD -AF -1， 又EF AD ⊥，45ADG ∠=，∴ODF △为等腰直角三角形，∴OD DF【点睛】本题主要考查了矩形与正方形的判定与性质、证明三角形全等等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．8．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE 绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝CF+AE；（2）当AE＝2时，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）5，详见解析．【分析】（1）由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝CF+AE；（2）由（1）的全等得到AE＝CM＝2，正方形的边长为6，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝8﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．【详解】（1）证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴∠FCM ＝∠FCD+∠DCM ＝180°，AE ＝CM ，∴F 、C 、M 三点共线，∴DE ＝DM ，∠EDM ＝90°，∴∠EDF+∠FDM ＝90°，∵∠EDF ＝45°，∴∠FDM ＝∠EDF ＝45°，在△DEF 和△DMF 中，∵DE DM EDF MDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△DMF （SAS ），∴EF ＝MF ，∴EF ＝CF+AE ；（2）解：设EF ＝MF ＝x ，∵AE ＝CM ＝2，且BC ＝6，∴BM ＝BC+CM ＝6+2＝8，∴BF ＝BM ﹣MF ＝BM ﹣EF ＝8﹣x ，∵EB ＝AB ﹣AE ＝6﹣2＝4，在Rt △EBF 中，由勾股定理得222EB BF EF +=，即()22248x x +-=，解得：x ＝5，则EF ＝5．【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、三角形全等及勾股定理，关键是根据半角旋转得到三角形的全等，然后利用勾股定理求得线段的长．9．已知A（m，n），且满足|m﹣2|+（n﹣2）2=0，过A作AB⊥y轴，垂足为B．（1）求A点坐标．（2）如图1，分别以AB，AO为边作等边△ABC和△AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由．（3）如图2，过A作AE⊥x轴，垂足为E，点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点（不与端点重合），满足∠FBG=45°，设OF=a，AG=b，FG=c，试探究2ca b﹣a﹣b的值是否为定值？如果是求此定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）A（2，2）；（2）AC=CD，AC⊥CD.证明见解析；（3）0.【分析】（1）根据非负数的性质可得m、n的值；（2）连接OC，由AB=BO知∠BAO=∠BOA=45°，由△ABC，△OAD为等边三角形知∠BAC=∠OAD=∠AOD=60°、OA=OD，继而由∠BAC-∠OAC=∠OAD-∠OAC得∠DAC=∠BAO=45°，根据OB=CB=2、∠OBC=30°知∠BOC=75°，∠AOC=∠BAO-∠BOA=30°，∠DOC=∠AOC=30°，证△OAC≌△ODC 得AC=CD，再根据∠CAD=∠CDA=45°知∠ACD=90°，从而得AC⊥CD；（3）在x轴负半轴取点M，使得OM=AG=b，连接BG，先证△BAG≌△BOM得∠OBM=∠ABG、BM=BG，结合∠FBG=45°知∠ABG+∠OBF=45°，从而得∠OBM+∠OBF=45°，∠MBF=∠GBF，再证△MBF≌△GBF得MF=FG，即a+b=c，代入原式可得答案．【详解】（1）由题得m=2，n=2，∴A（2，2）；（2）如图1，连结OC，由（1）得AB=BO=2，∴△ABO为等腰直角三角形，∴∠BAO=∠BOA=45°，∵△ABC，△OAD为等边三角形，∴∠BAC=∠OAD=∠AOD=60°，OA=OD∴∠BAC-∠OAC=∠OAD-∠OAC即∠DAC=∠BAO=45°在△OBC中，OB=CB=2，∠OBC=30°，∴∠BOC=75°，∴∠AOC=∠BAO-∠BOA=30°，∴∠DOC=∠AOC=30°，在△OAC和△ODC中，∵OA ODAOC DOC OC OC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OAC≌△ODC，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA=45°，∴∠ACD=90°，∴AC⊥CD；（3）如图，在x轴负半轴取点M，使得OM=AG=b，连接BG，在△BAG和△BOM中，∵BA BOA BOM AG OM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BAG≌△BOM∴∠OBM=∠ABG，BM=BG 又∠FBG=45°∴∠ABG+∠OBF=45°∴∠OBM+∠OBF=45°∴∠MBF=∠GBF在△MBF和△GBF中，∵BM BGMBF ABF BF BF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△MBF≌△GBF∴MF=FG∴a+b=c代入原式=0．10．已知，如图1，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE=DF，连接EF．（1）求∠E的度数；（2）将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°＜α＜45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由．（3）若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，则点P的运动路径长为；线段PC的取值范围为．【答案】（1）∠E=45°；（2）FH2+GE2=HG2，理由见解析；（3）π，0≤PC．【分析】（1）先证明AE=AF，由等腰直角三角形的性质可求解；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明△AGH≌△AGK，得GH=GK，由△AFH≌△AEK，得∠AEK=∠AFH=45°，FH=EK，利用勾股定理得：KG2=EG2+EK2，根据相等关系线段等量代换可得结论：FH2+GE2=HG2；（3）如图3，先证明∠FPE=∠FAE=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径可得：点P 的运动路径是：以BD为直径的圆，如图4，可得PC的取值范围．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∵BE=DF，∴AD+DF=AB+BE，即AF=AE，又∵∠F AE=90°，∴∠E=∠F=45°；（2）FH2+GE2=HG2，理由是：如图2，过A作AK⊥AC，截取AK=AH，连接GK、EK，∵∠CAB =45°，∴∠CAB =∠KAB =45°，在△AGH 和△AGK 中，AG AGHAG KAG AH AK=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGH ≌△AGK （SAS ），∴GH =GK ，由旋转得：∠F AE =90°，AF =AE ，∵∠HAK =90°，∴∠F AH =∠KAE ，在△AFH 和△AEK 中，AF AEFAH KAE AH AK=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFH ≌△AEK （SAS ），∴∠AEK =∠AFH =45°，FH =EK ，∵∠AEH =45°，∴∠KEG =45°+45°=90°，Rt △GKE 中，KG 2=EG 2+EK 2，即：FH 2+GE 2=HG 2；（3）解：如图3，∵∠BAD =90°，∠F AE =90°，AF =AE ，∴∠DAF =∠BAE ，在△DAF 和△BAE 中，AD AB DAF BAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAF ≌△BAE （SAS ），∴∠DF A =∠BEA ，∵∠PNF =∠ANE ，∴∠FPE =∠F AE =90°，∴将△AEF 绕点A 旋转一周，总存在直线EB 与直线DF 垂直，∴点P 的运动路径是：以BD 为直径的圆，∵BD ==，∴点P 的运动路径长=d π=π；如图4，当P与C重合时，PC最小，PC=0，当P与A重合时，PC最大为∴线段PC的取值范围是：0≤PC≤故答案为：，0≤PC≤【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，点的运动路径的概念，通过作辅助线构建全等三角形得出边相等和角相等，因此本题辅助线的作法是关键；故在几何证明中，恰当的作辅助线可以把四边形的问题转化为三角形的问题，使问题得以解决．11．（1）如图1所示，已知正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，=；且DF BE=．求证：CF CE（2）如图2所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果45∠=，GCE=+．请利用（1）中的结论证明：GE BE GD【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据正方形的性质，可直接证明△CBE≌△CDF，从而得出CE=CF；（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD．【详解】解：（1）证明：如图1，在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF，∴CE=CF；（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG，∴GE=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，利用全等三角形的判定方法正确证明三角形全等是关键．12．（1）如图，在正方形ABCD 中，∠FAG=45°，请直接写出DG，BF 与FG 的数量关系，不需要证明．（2）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F 分别是BC 上两点，∠EAF=45°，①写出BE，CF，EF 之间的数量关系，并证明．②若将（2）中的△AEF 绕点A 旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？若不成立，直接写出新的结论，无需证明．S= ．（3）如图，△AEF 中∠EAF=45°，AG⊥EF 于G，且GF=2，GE=3，则AEF【答案】（1）FG=BF+DG；（2）①EF2=BE2+FC2，理由见解析；②仍然成立；（3）15 【分析】（1）把△AGD绕点A逆时针旋转90°至△ABP，可使AD与AB重合，再证明△AFG≌△AFP进而得到PF=FG，即可得FG=BF+DG；（2）①根据△AFC绕点A顺时针旋转90°得到△AGB，根据旋转的性质，可知△ACF≌△ABG得到BG=FC，AG=AF，∠C=∠ABG，∠FAC=∠GAB，根据Rt△ABC 中的AB=AC得到∠GBE=90°，所以GB2+BE2=GE2，证△AGE≌△AFE，利用EF=EG 得到EF2=BE2+FC2；②将△ABE绕点A逆时针旋转使得AB与AD重合，点E的对应点是G，同上的方法证得GC2+CF2=FG2，再设法利用SAS证得△AFG≌△AFE即可求解；（3）将△AEG沿AE对折成△AEB，将△AFG沿AF对折成△AFD，延长BE、DF相交于C，构成正方形ABCD，在Rt△EFC中，利用勾股定理求得正方形的边长，即可求得AG的长，从而求得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠ADC=∠ABC=90°，∴把△AGD 绕点A 逆时针旋转90°至△ABP ，使AD 与AB 重合，∴∠BAP=∠DAG ，AP= AG ，∵∠BAD=90°，∠FAG=45°，∴∠BAF+∠DAG=45°，∴∠PAF=∠FAG=45°，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠FBP=180°，点F 、B 、P 共线，在△AFG 和△AFP 中，AG APFAG FAP AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFG ≌△AFP （SAS ），∴PF=FG ，即：FG=BF+DG ；（2）①FC 2+BE 2=EF 2，证明如下：∵AB=AC ，∠BAC=90°，∴∠C=∠ABC=45°，将△AFC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AGB ，∴△ACF ≌△ABG ，∴BG=FC ，AG=AF ，∠C=∠ABG=45°，∠FAC=∠GAB，∴∠GBE=∠ABG +∠ABC =90°，∴GB 2+BE 2=GE 2，又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAC=45°，∴∠GAB+∠BAE=45°，即∠GAE=45°，在△AGE 和△AFE 中， GA FA EAG EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE ≌△AFE （SAS ），∴GE=EF ，∴FC 2+BE 2=EF 2；②仍然成立，理由如下：如图，将△ABE 绕点A 逆时针旋转使得AB 与AD 重合，点E 的对应点为点G ，∴△ACG ≌△ABE ，∴CG=BE ，AG=AE ，∠ACG=∠ABE=45°，∠BAE=∠CAG ，∴∠GCB=∠ACB +∠ACG =90°，即∠GCF=90°，∴GC 2+CF 2=FG 2，∵∠BAE+∠EAC=∠BAC=90°，∴∠CAG+∠EAC=90°，又∵∠EAF=45°，∴∠GAF=90°-∠EAF=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，在△AFG 和△AFE 中，GA EA GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFG ≌△AFE （SAS ），∴GF=EF ，∴FC 2+BE 2=EF 2；（3）将△AEG 沿AE 对折成△AEB ，将△AFG 沿AF 对折成△AFD ，延长BE 、DF 相交于C ，∴△AEG ≅△AEB ，△AFG ≅△AFD ，∴AB=AG=AD ，BE=EG=3，DF=FG=2，∠EAG=∠EAB ，∠FAG=∠FAD ，∠B=∠D=90°， ∵∠EAF=45°，∴∠EAB+∠FAD=∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，∴∠BAD=90°，∴四边形ABCD 为正方形，设AG =x ，则AB=BC=CD=x ，在Rt △EFC 中，EF=3+2=5，EC=BC-BE=3x -，FC=CD-DF= 2x -， ∴222FC EC EF +=，故()()222 2?35x x -+-=， 解得：11x =-（舍去），26x =，∴AG=6， ∴AEF 11561522S EF AG ==⨯⨯=． 故答案为：15．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，同时考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力，综合性较强，难度适中．13．正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数．【答案】45°【分析】延长EB 使得BG=DF ，易证△ABG ≌△ADF （SAS ）可得AF=AG ，进而求证△AEG ≌△AEF 可得∠EAG=∠EAF ，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．【详解】解：如图，延长EB 到点G ，使得BG DF =，连接AG ．在正方形ABCD 中，90D ABC ∠=∠=︒，AB AD =， 90ABG ADF ∴∠=∠=︒．在ABG 和ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABG ADF SAS ∴≌，DAF BAG ∴∠=∠，AF AG =．又EF DF BE BG BE EG =+=+=，∴在AEG △和AEF 中，AE AE GE FE AG AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()AEG AEF SSS ∴≌，EAG EAF ∴∠=∠．90DAF EAF BAE ∠+∠+∠=︒，90BAG EAF BAE ∴∠+∠+∠=︒，90EAG EAF ∴∠+∠=︒，45EAF ∴∠=︒．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解决此题的关键．14．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF ＝45°，连接EF ，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF 与△ABG 可以看作绕点A 旋转90°的关系．这可以证明结论“EF ＝BE ＋DF ”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．（1）延长CB 到点G ，使BG ＝ ，连接AG ；（2）证明：EF ＝BE ＋DF【答案】（1）DF ；（2）见解析【分析】（1）由于△ADF 与△ABG 可以看作绕点A 旋转90°的关系，根据旋转的性质知BG=DF ，从而得到辅助线的做法；（2）先证明△ADF ≌△ABG ，得到AG=AF ，∠GAB=∠DAF ，结合∠EAF ＝45°，易知∠GAE=45°，再证明△AGE ≌△AFE 即可得到EF ＝GE=BE+GB=BE ＋DF【详解】解：（1）根据旋转的性质知BG=DF ，从而得到辅助线的做法：延长CB 到点G ，使BG=DF ，连接AG ；（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，在△ADF 和△ABG 中AD AB ADF ABG DF BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABG （SAS ），∴AF=AG ，∠DAF=∠GAB ，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠GAB+∠EAB=45°，∴∠GAE=∠EAF =45°，在△AGE 和△AFE 中0AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABG （SAS ），∴GE=EF ，∴EF ＝GE=BE+GB=BE ＋DF【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转方法提示构造全等三角形，属于中考常考题型．15．已知在正方形ABCD 和正方形CEFG 中，直线BG ，DE 交于点H ．（1）如图1，当B ，C ，E 共线时，求证：BH ⊥DE ．（2）如图2，把正方形CEFG 绕C 点顺时针旋转α度（0＜α＜90），M ，N 分别为BG ，DE 的中点，探究HM ，HN ，CM 之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，∠PDG ＝45°，DH ⊥PG 于H ，PH ＝2，HG ＝4．直接写出DH 的长．【答案】（1）见解析；（2）MH2+HN2＝2CM2，理由见解析；（3）【分析】（1）根据正方形的性质得到BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，根据全等三角形的性质得到∠CBG＝∠CDE，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，由全等三角形的性质得到∠CBG＝∠CDE，BG＝DE，求得∠MHN＝90°，得到BM＝DN，根据全等三角形的性质得到CM＝CN，∠BCM＝∠DCN，根据勾股定理即可得到结论；（3）根据折叠的性质得到AD＝DH＝CD，∠A＝∠C＝∠DHP＝90°，∠ADP＝∠HDP，∠GDH＝∠GDC，AP＝PH＝2，CG＝HG＝4，根据正方形的性质得到∠B＝90°，设DH ＝AD＝AB＝BC＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：（1）证明：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG＝∠CDE，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝90°，∴BH⊥DE；（2）解：MH2+HN2＝2CM2，理由：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG＝∠CDE，BG＝DE，∵∠DPH＝∠CPM，∴∠DHP＝∠BCP＝90°，∴∠MHN＝90°，∵M，N分别为BG，DE的中点，∴BM＝12BG，DN＝12DE，∴BM＝DN，∵BC＝CD，∴△BCM≌△DCN（SAS），∴CM＝CN，∠BCM＝∠DCN，∴∠MCN＝∠BCP＝90°，∴MH2+HN2＝CM2+CN2＝2CM2；（3）解：∵DH⊥PG，∴∠DHP＝∠DHG＝90°，把△PDH沿着PD翻折得到△APD，把△GDH沿着DG翻折得到△DGC，∴AD＝DH＝CD，∠A＝∠C＝∠DHP＝90°，∠ADP＝∠HDP，∠GDH＝∠GDC，AP ＝PH＝2，CG＝HG＝4，∵∠PDG＝45°，∴∠ADC＝90°，延长AP，CG交于B，则四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，设DH＝AD＝AB＝BC＝x，∴PB＝x﹣2，BG＝x﹣4，∵PG2＝PB2+BG2，∴62＝（x﹣2）2+（x﹣4）2，解得：x＝3，∴DH＝3．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，综合性较强，熟知正方形性质，根据题意构造正方形是解题关键．对于此类分步骤的综合题，每一步解题都为后续解题提供了解题条件或解题思路，要深刻领会并善于运用这一点进行解题．16．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上．（1）若BE ＝DF ，①求证：∠BAE ＝∠DAF ；②联结AC 交EF 于点O ，过点F 作FM ∥AE ，交AC 的延长线于M ，联结EM ，求证：四边形AEMF 是菱形．（2）联结BD ，交AE 、AF 于点P 、Q ．若∠EAF ＝45°，AB ＝1，设BP x =，DQ y =，求y 关于x 的函数关系及定义城．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）y =02x ≤≤) 【分析】 （1）①证明△ABE ≌△ADF （SAS ），即可推出∠BAE=∠DAF ．②证明△FOM ≌△EOA （ASA ），推出AE=FM ，由FM ∥AE ，可得四边形AEMF 是平行四边形，再根据AE=AF 可得结论．（2）如图2中，将△ADQ 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABT ，连接PT ．证明△APQ ≌△APT（SAS ），推出PQ=PT ，由题意，推出x y -，在Rt △TBP 中，根据222PT BT PB =+，构建关系式即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AB=AD，∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE=∠DAF；②证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°，∵∠BAE=∠DAF，∴∠EAO=∠FAO，∵△BAE≌△DAF，∴AE=AF，∴AC⊥EF，OE=OF，∵FM∥AE，∴∠OFM=∠OEA，∵∠FOM=∠EOA，∴△FOM≌△EOA（ASA），∴AE=FM，∵FM∥AE，∴四边形AEMF是平行四边形，∵AE=AF，∴四边形AEMF是菱形；（2）解：如图2中，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，连接PT．∵△ADQ≌△ABT，∴AQ=AT，∠ADQ=∠ABT=45°，∠DAQ=∠BAT，∵∠ABD=45°，∴∠TBP=90°，∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴∠DAQ+∠BAP=∠BAT+∠BAP=45°，∴∠PAT=∠PAQ=45°，∵PA=PA，AT=AQ，∴△APQ≌△APT（SAS），∴PQ=PT，∵AB=AD=1，∠BAD=90°，∴BD=2222+=+=，112AB AD∴x y -，在Rt △TBP 中，∵222PT BT PB =+，∴)222x y y x -=+，∴y = ∵点E 、F 分别在边BC 和CD 上，∴122x BP BD ≤==，∴y =0x ≤≤)． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，旋转的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．如图，过线段AB 的端点B 作射线BG ⊥AB ，P 为射线BG 上一点，以AP 为边作正方形APCD ，且点C 、D 与点B 在AP 两侧，在线段DP 上取一点E ，使∠EAP ＝∠BAP ，直线CE 与线段AB 相交于点F （点F 与点A 、B 不重合）．（1）求证：AEP △≌CEP △；（2）判断CF 与AB 的位置关系，并说明理由；（3）试探究AE+EF+AF 与2AB 是否相等，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）CF⊥AB，见解析；（3）AE+EF+AF＝2AB，见解析【分析】（1）四边形APCD正方形，则DP平分∠APC，PC＝PA，∠APD＝∠CPD＝45°，即可求解；（2）△AEP≌△CEP，则∠EAP＝∠ECP，而∠EAP＝∠BAP，则∠BAP＝∠FCP，令CF与线段AP交于点M，则∠FCP+∠CMP＝90°，则∠AMF+∠PAB＝90°即可求解；（3）证明△PCN≌△APB（AAS），则CN＝PB＝BF，PN＝AB，即可求解．【详解】解：（1）证明：∵四边形APCD正方形，∴DP平分∠APC，PC＝PA，∴∠APD＝∠CPD＝45°，∵PE＝PE，∴△AEP≌△CEP（SAS）；（2）CF⊥AB，理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP＝∠ECP，∵∠EAP＝∠BAP，∴∠BAP＝∠FCP，令CF与线段AP交于点M，∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，∴∠AMF+∠PAB＝90°，∴∠AFM＝90°，∴CF⊥AB；（3）过点C作CN⊥PB．∵CF⊥AB，BG⊥AB，∴FC∥BN，∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，又AP＝CP，∴△PCN≌△APB（AAS），∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，∵△AEP≌△CEP，∴AE＝CE，∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝BN+AF＝PN+PB+AF＝AB+CN+AF＝AB+BF+AF＝2AB ，即AE+EF+AF ＝2AB ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定及其性质、平行线的性质、等量代换等知识点，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定方法及其性质．三、填空题18．如图，在正方形ABCD 中，点M 、N 为边BC 和CD 上的动点（不含端点），MAN 45∠=︒，下列三个结论：①当MN 时，则22.5BAM ∠=︒；②290AMN MNC ∠-∠=︒；③△MNC 的周长不变；④∠AMN －∠AMB ＝60°．其中正确结论的序号是________．【答案】①②③【分析】①先用勾股定理求得MC ＝NC ，则易得△ABM ≌△ADN （SAS ），再结合∠MAN ＝45°，可得答案；②将△ABM 绕点A 顺时针旋转90°得△ADE ，证明△EAN ≌△MAN （SAS ），再利用四边形内角和及邻补角关系，可证得结论；③由△EAN≌△MAN，可得MN＝BM＋DN，从而将△MNC的三边相加即可得答案；④将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，证明△MAF≌△MAN（SAS），再全等三角形的性质，可证得结论．【详解】①∵正方形ABCD中，∠C＝90°∴MN2＝MC2＋NC2当MN时，MN2＝2MC2∴MC2＝NC2∴MC＝NC∴BM＝DN易证△ABM≌△ADN（SAS）∴∠BAM＝∠DAN∵∠MAN＝45°∴∠BAM＝22.5°，故①正确；②如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，则∠EAN＝∠EAM−∠MAN＝90°−45°＝45°则在△EAN和△MAN中，AE＝AM，∠EAN＝∠MAN，AN＝AN，∴△EAN≌△MAN（SAS）∴∠AMN＝∠AED∴∠AED＋∠EAM＋∠ENM＋∠AMN＝360°∴2∠AMN＋90°＋（180°−∠MNC）＝360°∴2∠AMN−∠MNC＝90°故②正确；③∵△EAN≌△MAN∴MN＝EN＝DE＋DN＝BM＋DN∴△MNC的周长为：MC＋NC＋MN＝（MC＋BM）＋（NC＋DN）＝DC＋BC ∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变；④将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，则∠FAM＝∠FAN−∠MAN＝90°−45°＝45°则在△FAM和△MAN中，AF＝AN，∠FAM＝∠MAN，AM＝AM，∴△MAF≌△MAN（SAS），∴∠AMB＝∠AMN，故④错误；。
浙教版八年级数学下册第五章《5.3正方形(2)》课课件
∵ GE⊥CD, GF⊥BC ∴ ∠GFC= ∠GEC =90° 又∵ ∠BCD =90°
∴ 四边形FCEG是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
∴ EF=CG （矩形的两条对角线相等）
∴ AG=EF
例3、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB
且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
”卷
从书
古，
至行
今万
，里
学路
习。
和”
旅今
行人
都说
是：
相“
辅要
相么
You made my day!
成读 的书
两，
件要
事么
。旅
。行
，
身
体
和
灵
魂
总
要
我们，还在路上……
5.3 正方形(2)
—正方形的性质
知识回顾
一组邻边相等且一个角是直角
谈一谈
正方形具有什么性质? A
D
边: 对边平行
四边相等
O
角 ：四个角都是直角
B
C
对角线： 相等
ห้องสมุดไป่ตู้
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角。
正方形是轴对称图形,也是中心对称图形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形， 也是特殊的菱形。
A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
选择题
正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B ）
A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等.
判断题
正方形的两条对角线把正方形
分成四个全等的等腰直角三角形。（√）
浙教版初中数学八年级上册专题50题(含答案)
浙教版初中数学八年级上册专题50题含答案一、单选题1．下列是我省几家著名煤炭企业的徽标，其中轴对称图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2．若66x y >-，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．0x y +>B ．0x y ->C ．0x y +<D ．0x y -< 3．如图，已知，AB AD =，ACB AED ∠=∠，DAB EAC ∠=∠，则下列结论错误．．的是（ ）A ．B ADE ∠=∠B ．BC AE = C ．ACE AEC∠=∠ D ．CDE BAD ∠=∠ 4．如图所示的容器内装满水，打开排水管，容器内的水匀速流出，则容器内液面的高度h 随时间x 变化的函数图象最接近实际情况的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列图象中，表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在平面直角坐标系中，将点(2，3)向上平移1个单位，再向左平移2个单位，所得到的点的坐标是（ ）A ．(-2，3)B ．(-1，2)C ．(0，4)D ．(4，4) 7．下列四组数，是勾股数的是（ ）A ．1，2，3B ．2，3，4C ．1，3D ．5，12，13 8．在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是（ ）A ．ABC ∠∠=∠+B ．222a c b =-C ．23a =，24b =，25c =D ．5a =，12b =，13c =9．在平面直角坐标系中，若点()2P x -，在第二象限，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．正数或0D ．任意数 10．如图是由圆和正方形组成的轴对称图形，对称轴的条数有 （ ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条 11．点A 的位置如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．点A 在点O 的30°方向，距点O 10.5km 处B ．点A 在点O 北偏东30°方向，距点O 10.5km 处C ．点O 在点A 北偏东60°方向，距点A 10.5km 处D ．点A 在点O 北偏东60°方向，距点O 10.5km 处12．如图，已知A 1（1，0），A 2（1，1），A 3（-1，1），A 4（-1，-1），A 5（2，-1），…，则A 2017的坐标为（ ）A ．（505，504）B ．（505，-504）C ．（-504，504）D ．（-504，-504）13．已知4＜m ≤5，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解的个数共有（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．514．若x y <，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．22x y -<-B ．22x y -<-C ．nx my >D ．22x y > 15．如图，OA 和BA 分别表示甲乙两名学生练习跑步的一次函数的图象，图中S 和t 分别表示路程(米)和时间(秒)，根据图象判定跑210米时，快者比慢者少用( )秒.A ．4秒B ．3.5秒C ．5秒D ．3秒 16．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于D ，且AD BC =，以AB 为底边作等腰直角三角形ABE ，连接ED 、EC ，延长CE 交AD 于点F ，下列结论：①ADE BCE △△≌；①BD DF AD +=；①CE DE ⊥；①BDE ACE S S =△△，其中正确的有（ ）．A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①① 17．如图，在△ABC 中，①A =80°，①C =60°，则外角①ABD 的度数是（ ）A ．100°B ．120°C ．140°D ．160° 18．如图，一个长方体的长宽高分别是6米、3米、2米，一只蚂蚁沿长方体的表面从点A 到点C '所经过的最短路线长为( ）A B C D ．以上都不对 19．如图，BAC ∠的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，ED AB ⊥于点E ，11AB =，5AC =，则BE 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题20．若关于x 的方程7x 62a 5x +-=的解是负数，则a 的取值范围是__________． 21．如图，在ABC 和△FED 中，BD EC =，AB FE =，当添加条件______时，就可得到ABC EDF △≌△．（只需填写一个即可）22．点P(在第________象限． 23．若一次函数26y x =-的图像过点(),a b ，则21b a -+=______．24．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦如图1所示，数学家刘徽（约公元225年~公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图2所示的长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若4a =，6b =，则长方形的面积为______．25．将直线21y x =-向上平移4个单位长度，平移后直线的函数解析式为 _____． 26．小明某天离家，先在A 处办事后，再到B 处购物，购物后回家．下图描述了他离家的距离s （米）与离家后的时间t （分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1）A 处与小明家的距离是_________米，小明在从家到A 处过程中的速度是________米/分；（2）小明在B 处购物所用的时间是_______分钟，他从B 处回家过程中的速度是________米/分；（3）如果小明家、A 处和B 处在一条直线上，那么小明从离家到回家这一过程的平均速度是_________米/分．27．关于x 的解集3x a -<<有五个整数解，则a 的取值范围为______．28．如图：已知，平行四边形ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足，如果A 120︒∠=，则BCE ∠的度数是______________.29．若关于x 的方程3(4)25x a +=+的解大于关于x 的方程(41)(34)43a x a x +-=的解，则a 的取值范围为________． 30．若等腰三角形的一个内角为50，则它的底角的度数为______．31．随着各行各业有序复工复产，企业提倡员工实行“两点一线”上下班模式，减少不必要的聚集．小华爸爸早上开车以60/km h 的平均速度行驶20min 到达单位，下班按原路返回，若返回时平均速度为v ，则路上所用时间t （单位：h ）与速度v （单位：/km h ）之间的关系可表示为________．32．规定：经过三角形的一个顶点且将三角形的周长分成相等的两部分的直线叫做该角形的“等周线”，“等周线”被这个三角形截得的线段叫做该三角形的“等周径”．例如等腰三角形底边上的中线即为它的“等周径”Rt △ABC 中，①C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，若直线l 为△ABC 的“等周线”，则△ABC 的所有“等周径”长为________．33．如图,已知EA=CE,①B=①D=①AEC=90°,AB=3 cm,CD=2 cm,则①CDE 和①EBA 的面积之和是____.34．（1）点(2,36)P a a -+到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标为__________； （2）正方形的两边与x ，y 轴的负方向重合，其中正方形的一个顶点坐标为(2,23)C a a --，则点C 的坐标为_______．35．已知长方形的两邻边的差为2，对角线长为4，则长方形的面积是________． 36．如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_______m （容器厚度忽略不计）．37．已知关于x 的不等式组1x x m>-⎧⎨<⎩的整数解共有2个，则m 的取值范围是___________38．如图，在①ABC 中，3∠=∠ABC C ，12∠=∠，BE AE ⊥，5AB =，3BE =，则AC =_____39．在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点1A ，按如图方式作正方形111A B C O 、2221A B C C 、3332A B C C 、…，点1A 、2A 、3A 、…在直线1y x =+上，点1C 、2C 、3C 、…，在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为1S 、2S 、3S 、…n S ，则1S =_______，=n S ________.（用含n 的代数式表示，n 为正整数）三、解答题40．如图，①MOP =60°，OM =5，动点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线OP 运动．设点N 的运动时间为t 秒，当△MON 是锐角三角形时，求t 满足的条件．41．如图所示，AE AC =，AB AD =，EAB CAD ∠=∠．求证：B D ∠=∠．42．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵10元，用350元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元?（2）计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过3200元，那么最多购买多少件甲种商品43．给出如下规定：两个图形1G 和2G ，点P 为1G 上任一点，点Q 为2G 上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形1G 和2G 之间的距离．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．(1)点A 的坐标为()10A ，，则点()2,3B 和射线OA 之间的距离为 ，点(3,4)C -和射线OA 之间的距离为 ．(2)点E 的坐标为(1,1)，将射线OE 绕原点O 逆时针旋转90︒，得到射线OF ，在坐标平面内所有和射线OE OF ，之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ．①在坐标系中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）①将抛物线22y x ＝﹣与图形M 的公共部分记为图形N ，射线OE ，OF 组成的图形记为图形W ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．44．某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过15吨，按每吨2元收费．如果超过15吨，未超过的部分仍按每吨2元收费，超过部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x 吨，应收水费为y 元．（1）分别写出当每月用水量未超过15吨和超过15吨时，y 与x 之间的函数表达式； （2）若该城市某用户5月份和6月份共用水50吨，且5月份的用水量不足15吨，两个月一共交水费120元，求该用户5月份和6月份分别用水多少吨？45．有一块木板(图中阴影部分)，测得4AB =，3BC =，12DC =，13AD =，90ABC ∠=︒．求阴影部分面积．46．ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点111,,A B C 的坐标；(2)在x 轴上取一点P ，使1PB PC +的值最小，在图上标出点P 的位置，（保留作图痕迹）；(3)在y 轴上求作一点Q ，使QA QB =．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）47．已知方程组31313x y m x y m +=-+⎧⎨-=+⎩的解满足x 为非正数，y 为负数． (1)求m 的取值范围；(2)化简：324m m -++．48．在①ABC 中，CD 是AB 边上的高，AC ＝4，BC ＝3，DB ＝1.8． （1）求CD 的长；（2）求AB 的长；（3）①ABC 是直角三角形吗？请说明理由．49．如图，ABC 中，=45ABC ∠︒，D 为BC 上一点，60ADC ∠=︒，AE BC ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ，AE 、CF 相交于点G ，15CAE ∠=︒(1)求ACF∠的度数；(2)求证：12DF AG=．参考答案：1．C【分析】根据轴对称图形的定义分析判断即可知道正确答案．【详解】A 、不是轴对称图形，选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，选项不符合题意；C 、是轴对称图形，选项符合题意；D 、不是轴对称图形，选项不符合题意．故选：C【点睛】本题考查轴对称图形的识别，牢记相关定义是解题关键．2．A【分析】根据不等式的性质可判断不等式的变形是否正确．【详解】① 66x y >-，① 6+60x y >，① +0x y >．故A 正确，B ，C ，D 错误．故选：A ．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练运用不等式的性质是解题的关键．3．B【分析】先根据三角形全等的判定定理证得ABC ADE ∆≅∆，再根据三角形全等的性质、等腰三角形的性质可判断A 、C 选项，又由等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可判断出D 选项，从而可得出答案．【详解】DAB EAC ∠=∠DAB CAD EAC CAD ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠在ABC ∆和ADE ∆中，BAC DAE ACB AED AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC ADE AAS ∴∆≅∆,,B ADE AC AE BC DE ∴∠=∠==，则A 选项正确ACE AEC ∴∠=∠（等边对等角），则C 选项正确AB AD =B ADB ∴∠=∠180B A B DB AD ∠+︒=∠+∠2180BA B D ∴∠=∠+︒，即1802B BAD ∠=︒∠-又180ADB A E DE CD ∠+∠+∠=︒180CDE B B ∠=∴∠+∠+︒，即1802B CDE ∠=︒∠-CDE BAD ∴∠=∠，则D 选项正确虽然,AC AE BC DE ==，但不能推出BC AE =，则B 选项错误故选：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，根据已知条件，证出ABC ADE ∆≅∆是解题关键．4．A【分析】根据容器内的水匀速流出，可得相同时间内流出的水相同，根据圆柱的直径越长，等体积的圆柱的高就越低，可得答案．【详解】解：最上面圆柱的直径较长，水流下降较慢；中间圆柱的直径最长，水流下降最慢；下面圆柱的直径最短，水流下降最快．故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象，利用了圆柱的直径越长，等体积的圆柱的高就越低． 5．A【分析】根据函数的定义，对任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应可求.【详解】解：根据函数的定义，对任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应，而B 、C 、D 都是一对多，只有A 是对任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应．故选：A【点睛】本题主要考查了函数定义与函数对应的应用，要注意构成函数的要素之一：必须形成一一对应，但是不能一对多，属于基础试题．6．C【详解】由平移规律可知：点(2，3)平移后的横坐标为2-2=0；纵坐标为3+1=4； ①平移后点的坐标为(0，4)．选C ．【点睛】本题考查了平移变换，根据左右平移，横坐标变化，纵坐标不变，上下平移，横坐标不变，纵坐标变化，熟记“左减右加，下减上加”是解题关键．7．D【分析】先求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．【详解】解：A 、①12＋22≠32，①1，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意；B 、①32＋22≠42，①4，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意；C 、①22213+≠，①13不是勾股数，故本选项不符合题意；D 、①52＋122＝132，①5，12，13是勾股数，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了勾股数和算术平方根，能熟记勾股数的意义是解此题的关键． 8．C【分析】根据三角形内角和定理求出最大内角，即可判断选项A 和选项B ，根据勾股定理的逆定理即可判断选项C 和选项D ．【详解】解：A 、①A B C ∠∠=∠+，180A B C ∠+∠+∠=︒，①2180C ∠=︒，①90C ∠=︒，①ABC 是直角三角形，故本选项不符合题意；B 、①222a c b =-，①222+=a b c ，①以a ，b ，c 为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C 、①23a =，24b =，25c =，2275a b +=≠，①222a b c +≠，①以a ，b ，c 为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；D 、①2251225144169+=+=，213169=，①22251213+=，①以a ，b ，c 为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．理解和掌握勾股定理的逆定理是解题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．9．A-，进行判断即可．【分析】根据第二象限，点的符号特征(),+-，【详解】解：①第二象限，点的符号特征是(),+①0x>，是正数；故选A．【点睛】本题考查坐标系下象限内点的符号特征．熟练掌握象限内点的符号特征，是解题的关键．10．C【详解】因为过圆心的直线都是圆的对称轴，所以这个图形的对称轴的条数即是正方形的对称轴的条数，而正方形有4条对称轴.故选C.11．D【分析】根据方向角的定义，即可解答．【详解】解：由题意得：90°-30°=60°，2.1×5=10.5（km），①点A在点O北偏东60°方向，距点O10.5km处，故选：D．【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．12．B【分析】根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上（A1和第四象限内的点除外），逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点A2017的坐标．【详解】通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限，数字是4的倍数余1的点在第四象限，数字是4的倍数余2的点在第一象限，数字是4的倍数的点在第二象限，且各个点分别位于象限的角平分线上（A1和第四象限内的点除外），①2017÷4＝504…1，①点A 2017在第四象限，点A 2016在第三象限， ①20164=504， ①A 2016是第三象限的第504个点，①A 2016的坐标为（−504，−504），①点A 2017的坐标为 （505，-504）．故选：B ．【点睛】此题主要考查了点的坐标，属于规律型题目，解答此类题目一定要先注意观察，本题第三象限的点的坐标特点比较好判断，我们可以利用这一点达到简化步骤的效果． 13．B【分析】可先将不等式组求出解集，再通过m 的取值范围确定不等式组的解集中的整数解的个数即可.【详解】解：不等式组整理得：2x m x <⎧⎨≥⎩，解集为2x m ≤＜， ①m 54＜≤，①整数解为2，3，4，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查含参数的不等式，解题的关键是根据参数的范围来确定不等式组的解集. 14．B【分析】根据不等式的性质，依次分析各个选项，选出不等式的变形正确的选项即可．【详解】解：A 、①x y <，①22x y ->-，故该选项错误，不符合题意；B 、①x y <，①22x y -<-，故该选项正确，符合题意；C 、①x y <，①当0m n ＞＞时，nx my <，故该选项错误，不符合题意；D 、①x y <，①22x y <，故该选项错误，不符合题意． 故选：B【点睛】本题考查了不等式的性质，能灵活运用不等式的性质进行变形是解本题的关键．不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．15．C【分析】利用图象分别得出快、慢者行驶的路程和时间，进而求出速度，再求出时间差．【详解】解：如图所示：快者的速度为：60÷10=6（米/秒），慢者的速度为：（60-10）÷10=5（米/秒），快者跑210米所用的时间为210÷6=35（秒），慢者跑210米所用的时间为(210-10)÷5=40（秒），①快者比慢者少用的时间为40-35=5（秒）．故选：C ．【点睛】此题主要考查了函数的图象，利用图象得出正确信息是解题关键．16．D【分析】①易证①CBE=①DAE ，用SAS 即可求证：①ADE①①BCE ；①根据①结论可得①AEC=①DEB ，即可求得①AED=①BEG ，即可解题；①证明①AEF①①BED 即可；①易证①FDC 是等腰直角三角形，则CE=EF ，S △AEF =S △ACE ，由①AEF①①BED ，可知S △BDE =S △ACE ，所以S △BDE =S △ACE ．【详解】解：①AD 为①ABC 的高线①①CBE+①ABE+①BAD=90°，①Rt①ABE 是等腰直角三角形，①①ABE=①BAE=①BAD+①DAE=45°，AE=BE ，①①CBE+①BAD=45°，①①DAE=①CBE ，在①DAE 和①CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝ ①①ADE①①BCE （SAS ）；故①正确；①①ADE①①BCE ，①①EDA=①ECB ，AD=BC ，DE=EC ，①①ADE+①EDC=90°，①①EDC+①ECB=90°，①①DEC=90°，①CE①DE，①DEC是等腰直角三角形，易证①DFC是等腰直角三角形，故①正确，①DF=DC，①BC=BD+DC=BD+DF=AD，故①正确；①AD=BC，BD=AF，①CD=DF，①AD①BC，①①FDC是等腰直角三角形，①DE①CE，①EF=CE，①S△AEF=S△ACE，①①AEF①①BED，①S△AEF=S△BED，①S△BDE=S△ACE．故①正确；故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质等知识，考查了全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．17．C【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】由三角形的外角性质得，①ABD=①A+①C=80°+60°=140°．故选C．【点睛】考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．18．C【分析】蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．【详解】解：如图所示，此时：AC；'此时，'AC此时，'AC>故选：C．【点睛】此题考查平面的最短路径问题，关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．19．A【分析】连接CD ，BD ，由①BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE①AB ，DF①AC ，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD ，DF=DE ，继而可得AF=AE ，易证得Rt △CDF①Rt △BDE ，则可得BE=CF ，继而求得答案．【详解】如图，连接CD ，BD ，①AD 是①BAC 的平分线，DE①AB ，DF①AC ，①DF=DE ，①F=①DEB=90°，①ADF=①ADE ，①AE=AF ，①DG 是BC 的垂直平分线，①CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中，CD BD DF DE ⎧⎨⎩＝＝， ①Rt △CDF①Rt △BDE （HL ），①BE=CF ，①AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，①AB=11，AC=5， ①BE=12×（11-5）=3．故选：A ．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题20．a ＜3【详解】7x 62a 5x +-=7x-5x=2a-62x=2a-6x=a-3因为关于x 的方程7x 62a 5x +-=的解是负数，所以a-3<0,所以a<3.故答案是:a<3.21．答案不唯一（如B E ∠=∠或AC FD =）【分析】根据题意可知BC=ED ，再结合三角形全等的判定定理“边角边”和“边边边”即可得出答案．【详解】①BD=EC ，①BC=ED ，由SSS 可知当AC=FD 时，①ABC①①EDF ；由SAS 可知当①B=①E 时，①ABC①①EDF ；故答案为：AC=FD 或①B=①E ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．22．三【分析】根据直角坐标系的象限特点即可判断.【详解】①点P 00，则点P 在第三象限． 【点睛】此题主要考查直角坐标系的象限分类，解题的关键是熟知各象限的坐标特点. 23．5-【分析】先把点(),a b 代入一次函数26y x =-，得到26b a =-，再代入代数式计算即可．【详解】①一次函数26y x =-的图像过点(),a b ，①26b a =-，①2126215b a a a -+=--+=-，故答案为：5-【点睛】此题主要考查了一次函数图像上点的坐标特点以及代数式求值的问题，关键是掌握凡是函数图像经过的点必能满足解析式．24．48【分析】设小正方形的边长为x ，在直角三角形ACB 中，利用勾股定理可建立关于x 的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该长方形的面积．【详解】解：设小正方形的边长为x ，①46a b ==，，①4610AB =+=，在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，即()()2224610x x +++=，整理得，210240x x +-=，即21024x x +=，而长方形面积为()()2461024242448x x x x ++=++=+=， 即该长方形的面积为48，故答案为：48．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理得到21024x x +=再整体代入计算是解题的关键．25．23y x =+【分析】利用将直线y kx b =+向上或平移n 个单位，再向左或向右平移m 个单位，平移后的函数解析式y k x m n ，据此可得到平移后的函数解析式．【详解】①将直线21y x =-向上平移4个单位长度，①平移后直线的函数的解析式21423y x x =-+=+．故答案为：23y x =+．【点睛】本题考查了直线的平移给函数解析式的影响，掌握一次函数图象的平移规律是解本题的关键．26． 200 40 5 160 64【分析】根据图象可得：5-10分钟小明在A 处办事，15-20分钟小明在B 处购物，20-25分钟为小明返回家途中，即可求解．【详解】解：（1）由图可知，x =5时小明到达A 处，A 处离家距离为200米；小明在从家到A 处过程中的速度是200÷5=40（米/分）；（2）小明在B 处购物所用的时间是20-15=5（分）；他从B 处回家过程中的速度是800÷（25-20）=160（米/分），（3）小明往返所走路程为800×2=1600（米），往返所用时间为25分，所以小明从离家到回家这一过程的平均速度是1600÷25=64（米/分）．故答案为：（1）200，40；（2）5，160；（3）64．【点睛】本题考查函数与图象的结合，根据图象，解决实际问题，准确获取信息，找到题中各个点所对应坐标的实际意义是解题的关键．27．23a <≤【分析】根据不等式的正整数解为210,1,2--，，，即可确定出正整数a 的取值范围． 【详解】①不等式3x a -<<有5个正整数解，①这5个整数解为210,1,2--，，， 则23a <≤，故答案为23a <≤．【点睛】本题主要考查不等式组的整数解，解题的关键是掌握据得到的条件进而求得不等式组的整数解．28．30°【详解】试题分析：先根据平行四边形的性质求得①B 的度数，再由根据三角形的内角和定理求解即可.解：①平行四边形， ①①B=60°①①=180°-90°-60°=30°. 考点：平行四边形的性质，三角形的内角和定理点评：平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.29．718a > 【分析】先求出两个方程的解，然后解关于a 的一元一次不等式，即可得到答案.【详解】解：解方程3(4)25x a +=+， 得：273a x -=， 解方程(41)(34)43a x a x +-=， 得：163x a =-． 由题意得：271633a a ->-． 解得：718a >． 故答案为：718a >. 【点睛】本题考查的是解一元一次方程和解一元一次不等式，根据题意列出关于x 的不等式是解答此题的关键．30．65°或50°．【分析】由等腰三角形的一个内角为50°，可分别从50°的角为底角与50°的角为顶角去分析求解，即可求得答案．【详解】①等腰三角形的一个内角为50°，若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣50°）÷2=65°，若这个角为底角，则另一个底角也为50°，①其一个底角的度数是65°或50°．故答案为65°或50°．31．20t v= 【分析】根据路程＝速度×时间，可计算出家与单位之间的总路程，再根据速度v ＝路程÷时间，即可得出答案．【详解】解：①20602060⨯=(km) ①小华爸爸下班时路上所用时间t （单位h ）与速度v （单位：/km h ）之间的关系可表示为：20t v=． 故答案为：20t v =．【点睛】本题考查的知识点是用关系式表示变量之间的关系，读懂题意，比较容易解答．32【分析】分三种情况：①当“等周线”经过点C时，直线l交AB于点E；①当“等周线”经过点A时，直线l交BC于点E，①当“等周线”经过点B时，直线l交AC于点E．画图并运用勾股定理计算．【详解】①Rt①ABC中，①C＝90°，AC＝4，BC＝3，①AB＝5①如图，当“等周线”经过点C时，直线l交AB于点E，设BE＝x，则AE＝5-x，作CH①AB于H．由题意得：3+x＝4+5-x解得：x＝3①CH＝125 BC ACAB⋅=①BH9 5 =①EH＝395-＝65在Rt①ECH中，CE=①“等周径”①如图，当“等周线”经过点A时，直线l交BC于点E，设BE＝x，则CE＝3-x由题意得：4+3-x＝5+x解得：x＝1①EC＝2在Rt①ACE中，AE①“等周径”长为①如图，当“等周线”经过点B时，直线l交AC于点E，设AE＝x，则CE＝4-x由题意得：3+4-x＝5+x解得：x＝1①CE＝3在Rt①BCE中，BE①“等周径”长为综上所述，满足条件的“等周径”【点睛】本题考查“新定义”问题，分类讨论并准确画图，灵活运用勾股定理是解题关键．33．62cm【分析】只要证明△ECD①①AEB，再根据三角形面积公式计算即可.【详解】如图，①①B=①D=①AEC=90°，①①1+①2=90°，①2+①a=90°，①①1=①A ，①EC=AE ，①①ECD①①AEB ，①CD=EB=2cm ，DE=AB=3cm ，①①CDE 和△ABE 的面积之和为2×12×2×3=6cm 2，故答案为62 c m ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件．34． (3,3),(6,-6) 1-0(1,1)2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 【分析】（1）根据点(2,36)P a a -+到两坐标轴的距离相等，可得2=36a a -+，当点P 在第一或第三象限时2=36a a -+或当点P 在第二或第四象限时2+360a a -+=，解方程即可；（2）由正方形的两边与x ，y 轴的负方向重合，当点C 在第三象限时，当点C 在x 轴上，与y 轴上分类列方程与解方程即可．【详解】解：（1）①点(2,36)P a a -+到两坐标轴的距离相等， ①2=36a a -+，当点P 在第一或第三象限时2=36a a -+解得1a =-，当1a =-时，2213,36363a a -=+=+=-+=，①点(3,3)P ，当点P 在第二或第四象限时2+360a a -+=解得4a =-当4a =-时，22+46,361266a a -==+=-+=-，①点(6,-6)P ，故答案为（3，3），（6，-6）；（2）①正方形的两边与x ，y 轴的负方向重合，当点C 在第三象限时，(2,23)C a a --，①2=23a a --，解得=1a ，当=1a 时，2121,23231a a -=-=--=-=-，点(1,1)C --．当点C 在x 轴上时，①23=0a - 解得32a =当32a =时，312222a -=-=- 点1,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当点C 在y 轴上时，2=0a -，解得=2a当=2a 时，23=4-3=10a -＞不合题意舍去 故答案为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭， （-1，-1）． 【点睛】本题考查点到两坐标轴的距离问题，根据坐标的符号分类构建方程是解题关键． 35．6【详解】试题解析：设长方形短边为x ，则长边为x+2，根据勾股定理得：x 2+（x+2）2=42，整理得：x 2+2x-6=0，解得：±①长方形宽为则面积为6．36．1.3．【详解】因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF 上找一点P ，使PA+PB 最短，过A 作EF 的对称点A'，连接A'B ，则A'B 与EF 的交点就是所求的点P ．过B 作BM AA'⊥于点M ，在Rt A'MB ∆中，A'M 1.2=，BM 0.5=，①A'B 1.3==．①A'B AP PB =+，①壁虎捉蚊子的最短距离为1.3m ．37．12m <≤【分析】首先确定不等式组的整数解，即可确定m 的范围．【详解】解：关于x 的不等式组1x x m＞＜-⎧⎨⎩的解集是：﹣1＜x ＜m ， ①不等式组的整数解有2个①这2个整数解是：0，1，①12m <≤故答案为：12m <≤．【点睛】本题考查了不等式组的整数解，正确理解m 与1和2的大小关系是关键． 38．11【分析】如图，延长BE 交AC 于M ，利用三角形内角和定理，得出①3=①4，AB=AM=5，BM=2BE=6，再利用①4是①BCM 的外角，利用等腰三角形判定得到CM=BM ，利用等量代换即可求证．【详解】证明：如图，延长BE 交AC 于M①BE AE ⊥①①AEB=①AEM=90°①①3=90°-①1，①4=90°-①2①①1=①2①①3=①4①AB=AM=5①BE AE ⊥①BM=2BE=6①①4是①BCM 的外角①①4=①5+①C①3∠=∠ABC C①①ABC=①3+①5=①4+①5①3①C=①4+①5=2①5+①C①①5=①C①CM=BM=6①AC=AM+CM=AB+2BE=11．【点睛】本题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，本题的关键是作好辅助线，延长BE 交AC 于M ，利用三角形内角和定理、三角形外角的性质，考查的知识点较多，综合性较强．39． 12 232n -【分析】（1）如图所示，设直线与x 轴的交点为D. 计算直线与x 轴y 轴的交点坐标，从而求出正方形111A B C O 边长，然后计算12B A 即可解决问题.（2）分别计算2S 和3S 的面积，然后研究它们面积之间存在的数量关系即可解决n S .。
初中数学专题复习网格问题
网 格 问 题1. 已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位. （1）将图1中的格点△ABC ，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A 1B 1C 1，请你在图1中画出△A 1B 1C 1.（2）在图2中画出一个与格点△DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形.2. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”．（1）求图（一）中四边形ABCD 的面积；（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形．DCBA图（一） 图（二）3. 如图，在55 的正方形网格中，每个小正 方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画 出图形．（1）从点A 出发的一条线段AB ，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上， 且长度为22；（2）以（1）中的AB 为边的一个等腰三角形ABC ，使点C 在格点上，且另两边的长 都是无理数；（3）以（1）中的AB 为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都 在格点上，各边长都是无理数．图2 F E A B C 图1 （第3题图）4. 下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1．（1）“小猪”所占的面积为多少？（2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE 对称的图案（只画图，不写作法）；（3）以G 为原点，GE 所在直线为x 轴，GB 所在直线为y 轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点A 的坐标是（_______，_______）．5. 图(1)是一个10×10格点正方形组成的网格. △ABC 是格点三角形(顶点在网格交点处),请你完成下面两个问题:(1) 在图(1)中画出与△ABC 相似的格点△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2, 且△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比是2, △A 2B 2C 2与△ABC 的相似比是22.(2) 在图(2)中用与△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2全等的格点三角形(每个三角形至少使用一次), 拼出一个你熟悉的图案,并为你设计的图案配一句贴切的解说词.【解说词】6. 如图，有一条小船，（1） 若把小船平移，使点A 平移到点B ，请你在图中画出平移后的小船；（5分） （2） 若该小船先从点A 航行到达岸边L 的点P 处补给后，再航行到点B ，但要求航程最短，EC D GB FA试在图中画出点P 的位置（3分）7. ⑴如图6，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A 得到图形B ，再由图形B 得到图形C （对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；⑵如图6，如果点P 、P 3的坐标分别为（0，0）、（2，1），写出点P 2的坐标； ⑶图7是某设计师设计图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图形绕点O 顺时针依次旋转90°、180°、270°，依次画出旋转后所得到的图形，你会得到一个美丽的图案，但涂阴影时不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度.图7图68. 在如图10所示的平面直角坐标系中，已知△ABC 。
初中数学全等专题截长补短法(含答案)
初中数学全等专题截长补短法(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中数学全等专题截长补短法一、单选题(共5道，每道20分)1.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，则∠EAF的度数为( )A.30°B.37.5°C.45°D.60°答案：C解题思路：延长EB至点G，使得BG=DF，连接AG，可证明：△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE∴△AEG≌△AEF（SSS）∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°，∴∠EAF=45°。
2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，是DE=AD，则∠ECA 的度数为（）A.30°B.35°C.40°D.45°答案：C解题思路：在BC上截取BF=AB，连DF，则有△ABD≌△FBD，∴DF=DA=DE，又∵∠ACB=∠ABC=40°，∠DFC=180°-∠A=80°，∴∠FDC=60°，∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°，∴△DCE≌△DCF，故∠ECA=∠DCB=40°.故选C.3.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，则下列说法正确的是（）A.CD=AD+BEB.AE=CE+BEC.AE=AD+BED.AC=AD+BE 答案：C解题思路：在AB上截取AF，使得AF=AD，连接CF，则可先证△ADC≌△AFC，再证明△CEF≌△CEB，就可以得到AE=AD+BE，所以C选项正确。
初中数学八年级下期末知识点复习(含答案解析)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：10229]如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，点A 的坐标为(1，√3)，则点C 的坐标为( )A ．(－√3，1)B ．(－1，√3)C ．(√3，1)D ．(－√3，－1)2．(0分)[ID ：10227]若63n 是整数，则正整数n 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．(0分)[ID ：10222]一次函数y kx b =+的图象如图所示，点()3,4P 在函数的图象上.则关于x 的不等式4kx b +≤的解集是( )A ．3x ≤B ．3x ≥C ．4x ≤D ．4x ≥4．(0分)[ID ：10218]某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：鞋的尺码/cm 2323.5 24 24.5 25 销售量/双 1 3 3 6 2 则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）A ．24.5，24.5B ．24.5，24C ．24，24D ．23.5，245．(0分)[ID ：10211]一次函数111y k x b =+的图象1l 如图所示，将直线1l 向下平移若干个单位后得直线2l ，2l 的函数表达式为222y k x b =+．下列说法中错误的是（ ）A ．12k k =B ．12b b <C ．12b b >D ．当5x =时，12y y >6．(0分)[ID ：10209]估计()-⋅1230246的值应在（ ） A ．1和2之间 B ．2和3之间 C ．3和4之间 D ．4和5之间7．(0分)[ID ：10147]正比例函数(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y x k =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．(0分)[ID ：10191]在体育课上，甲，乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ）A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．方差9．(0分)[ID ：10186]如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 边的中点，AH ⊥BC 于H ，FD ＝8，则HE 等于（ ）A．20B．16C．12D．810．(0分)[ID：10181]若一个直角三角形的两边长为12、13，则第三边长为（）A．5B．17C．5或17D．5或√313 11．(0分)[ID：10175]函数y=x√x+3的自变量取值范围是( )A．x≠0B．x＞﹣3C．x≥﹣3且x≠0D．x＞﹣3且x≠0 12．(0分)[ID：10173]如图，长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AB边上，将纸片沿CE折叠，点B落在点F处，EF，CF分别交AD于点G，H，且EG＝GH，则AE的长为( )A．23B．1C．32D．213．(0分)[ID：10172]如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）A．-2B．﹣1+2C．﹣1-2D．1-214．(0分)[ID：10170]如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法不一定成立的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD15．(0分)[ID：10159]将根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是( )A ．h 17cm ≤B ．h 8cm ≥C ．7cm h 16cm ≤≤D ．15cm h 16cm ≤≤二、填空题16．(0分)[ID ：10325]将一次函数y=3x ﹣1的图象沿y 轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为__．17．(0分)[ID ：10321]如图，在▱ABCD 中，∠D ＝120°，∠DAB 的平分线AE 交DC 于点E ，连接BE.若AE ＝AB ，则∠EBC 的度数为_______.18．(0分)[ID ：10316]45与最简二次根式321a -是同类二次根式，则a ＝_____．19．(0分)[ID ：10311]若2(3)x -=3-x ，则x 的取值范围是__________．20．(0分)[ID ：10299]已知y 关于x 的函数图象如图所示，则当y ＜0时，自变量x 的取值范围是______.21．(0分)[ID ：10286]一次函数y 1=kx+b 与y 2=x+a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③关于x 的方程kx ﹣x=a ﹣b 的解是x=3；④当x ＞3时，y 1＜y 2中．则正确的序号有____________．22．(0分)[ID ：10268]在三角形ABC 中，点,,D E F 分别是,,BC AB AC 的中点，AH BC ⊥于点H ，若50DEF ∠=，则CFH ∠=________.23．(0分)[ID ：10256]已知一次函数y=kx+b 的图象如图，则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集是______.24．(0分)[ID ：10249]如图，矩形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是-1，以A 点为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴于点E ，则这个点E 表示的实数是_______25．(0分)[ID ：10247]已知数据：﹣1，4，2，﹣2，x 的众数是2，那么这组数据的平均数为_____．三、解答题26．(0分)[ID ：10408]如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-+过点(6,m)A 且与y 轴交于点B ，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C ．过点C 且与3y x =平行的直线交y 轴于点D ．（1）求直线CD 的解析式；（2）直线AB 与CD 交于点E ，将直线CD 沿EB 方向平移，平移到经过点B 的位置结束，求直线CD 在平移过程中与x 轴交点的横坐标的取值范围．27．(0分)[ID ：10383]已知正方形 ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O ．（1）如图 1，E ，G 分别是 OB ，OC 上的点，CE 与 DG 的延长线相交于点 F ． 若 DF ⊥CE ，求证：OE ＝OG ；（2）如图 2，H 是 BC 上的点，过点 H 作 EH ⊥BC ，交线段 OB 于点 E ，连结DH 交 CE 于点 F ，交 OC 于点 G ．若 OE ＝OG ，①求证：∠ODG ＝∠OCE ；②当 AB ＝1 时，求 HC 的长．28．(0分)[ID：10342]已知：如图，在▱ABCD中，设BA＝a，BC＝b．（1）填空：CA＝（用a、b的式子表示）（2）在图中求作a+b．（不要求写出作法，只需写出结论即可）29．(0分)[ID：10339]如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．∆中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过30．(0分)[ID：10335]如图所示，ABC=，连接BF．点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF BD（1）求证：D是BC的中点；=，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．（2）若AB AC【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．D3．A4．A5．B6．B7．B8．D9．D10．D11．B12．B13．D14．D15．C二、填空题16．y=3x+2【解析】【详解】将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向上平移3个单位后可得y=3x﹣1+3=3x+2故答案为y=3x+217．45°【解析】【分析】由平行四边形的性质得出∠ABC＝∠D＝108°AB∥CD得出∠BAD ＝180°﹣∠D＝60°由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABE＝75°即可得出∠EBC的度数【详解18．3【解析】【分析】先将化成最简二次根式然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于的方程解出即可【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式∴解得：故答案为：【点睛】本题考查了最简二次根式的化简以及19．【解析】试题解析：∵=3﹣x∴x-3≤0解得：x≤320．﹣1＜x＜1或x＞2【解析】【分析】观察图象和数据即可求出答案【详解】y＜0时即x轴下方的部分∴自变量x的取值范围分两个部分是−1＜x＜1或x＞2【点睛】本题考查的是函数图像熟练掌握图像是解题的关键21．①③④【解析】【分析】根据y1=kx+b和y2=x+a的图象可知：k＜0a＜0所以当x＞3时相应的x的值y1图象均低于y2的图象【详解】根据图示及数据可知：①k＜0正确；②a＜0原来的说法错误；③方22．80°【解析】【分析】先由中位线定理推出再由平行线的性质推出然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到HF=CF最后由三角形内角和定理求出【详解】∵点分别是的中点∴（中位线的性质）又∵∴（两直23．【解析】【分析】直接利用一次函数图象结合式kx+b＞0时则y的值＞0时对应x的取值范围进而得出答案【详解】如图所示：关于x的不等式kx+b＞0的解集是：x＜2故答案为：x＜2【点睛】此题主要考查了一24．—1【解析】【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长进而得到AE的长再根据A点表示-1可得E点表示的数【详解】∵AD长为2AB长为1∴AC=∵A点表示-1∴E点表示的数为：-1故答案为-1【点睛】本题25．【解析】试题分析：数据：﹣142﹣2x的众数是2即的2次数最多；即x=2则其平均数为：（﹣1+4+2﹣2+2）÷5=1故答案为1考点：1众数；2算术平均数三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A【解析】试题分析：作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．如图：过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE ，再利用“角角边”证明△AOD 和△OCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD ，CE=OD ，然后根据点C 在第二象限写出坐标即可．∴点C 的坐标为（-，1）故选A ．考点：1、全等三角形的判定和性质；2、坐标和图形性质；3、正方形的性质． 2．D解析：D【解析】【分析】 63n 63n 273n ⨯7n 7n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为7．【详解】 63n 273n ⨯7n 7n∴7n 7n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为7．故选：D ．【点睛】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件.二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.a b ab =b b a a=.解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式. 3．A解析：A【解析】【分析】观察函数图象结合点P 的坐标，即可得出不等式的解集．【详解】解：观察函数图象，可知：当3x ≤时，4kx b +≤．故选：A ．【点睛】考查了一次函数与一元一次不等式以及一次函数的图象，观察函数图象，找出不等式4kx b +≤的解集是解题的关键．4．A解析：A【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可得．【详解】这组数据中，24.5出现了6次，出现的次数最多，所以众数为24.5，这组数据一共有15个数，按从小到大排序后第8个数是24.5，所以中位数为24.5， 故选A ．【点睛】本题考查了众数、中位数，熟练掌握中位数、众数的定义以及求解方法是解题的关键.5．B解析：B【解析】【分析】根据两函数图象平行k 相同，以及平移规律“左加右减，上加下减”即可判断【详解】∵将直线1l 向下平移若干个单位后得直线2l ，∴直线1l ∥直线2l ，∴12k k =，∵直线1l 向下平移若干个单位后得直线2l ，∴12b b >，∴当x 5=时，12y y >故选B ．【点睛】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．6．B解析：B【解析】【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.【详解】(==2，而，所以2<2<3，所以估计(2和3之间，故选B.【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.7．B解析：B【解析】【分析】=的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数先根据正比例函数y kx的性质进行解答即可．【详解】解：正比例函数y kx=的函数值y随x的增大而增大，＞，＜，∴-k k00=-的图象经过一、三、四象限．∴一次函数y x k故选B．【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与正比例函数的性质，解题关键是先根据正比例函数的性质判断出k的取值范围．8．D解析：D【解析】【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好。
湘教版数学八年级下册专题复习卷(含答案)
初中数学试卷湘教版八年级数学（下）专题复习卷（含答案）-------《与四边形有关的问题》一、选择题（每小题3分，共30分）1，设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a祝与b的关系是（）A．a>b； B. a=b； C. a<b； D. b=a+180°；2．矩形的面积为120 cm2，周长为46 cm，则它的对角线长为（）A.15 cmB.16 cmC.17 cmD.18 cm3．要从一张长40 cm，宽20 cm的矩形纸片中剪出长为18 cm，宽为12 cm 的矩形纸片则最多能剪出（）A.l张B.2张C.3张D.4张4．如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB=6，BC=4，则AE：EF：FB为（）A．1：2：3；B．2：1：3；C.3：2：1；D．3：1：2；5.下列命题中错误的是（）·A BC DE F第4题A.平行四边形的对角线互相平分； B ．菱形的对角线互相垂直； C ．同旁内角互补； D ．矩形的对角线相等；6．点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB ∥CD ；②AB= CD ；③BC ∥AD ； ④BC =AD 四个条件中任意选两个，不能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）A ．①②；B ．②③；C ．①③； D．③④； 7．如图，矩形ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落 在BC 边上的F 点处，如果∠BAF=60°， 则∠FAE 等于（ ）A. 15°；B. 30°；C. 45°；D. 60°； 8．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ） A.6； B. 7； C. 8； D. 9；9．菱形的周长为8 cm ，高为1 cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ） A ．3：1； B ．4：1； C.5：1； D ．6：1； 10.如图所示，已知某菱形花坛ABCD 的周长是24 m ， ∠BAD=120°，则花坛对角线AC 的长是（ ）m ； B. 6 m ； m ； D. 3 m ； 二、填空题（每小题3分，共 24分）11.如图所示，在Y ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线 AC 于点E ，若∠1-= 20°，则∠2的度数为 ． 12.如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC ＝8，若将A BCD E 第7题A B C D第10题ABC D1 2第11题 E矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 的长为 . 13.已知Y ABCD 中，∠B =4∠A ，则∠C= .14.如图，在矩形 ABCD 中，已知AE 平分∠BAD ，∠1=15°，则∠2＝ .15.如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD ⊥DB ，∠BDE ＝70°，则∠CAD= ， 16.如图所示，在矩形ABCD 中，AB=3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为 。
初中数学专题复习网格型问题(含答案)
专题训练22 网格型问题一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列图形中只能用其中一部分平移可以得到的是 （ ）2．如图，方格纸上一圆经过（2 , 5）、（2 , -3）两点，且此两点为圆与方格纸横线的切点，则该圆圆心的坐标为（ ）A ．（2, -1）B ．（2, 2）C ．（2, 1）D ．（3, 1）3．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是（ ）A.5B.4C.3D.24.如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是（ ）A.3：4B.5：8C.9：16D.1：25.如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为()a b ，,那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（ ）Ａ.(2)a b --， Ｂ.(2)a b --， C.(22)a b --， Ｄ.(22)b a --， 6. 下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转或平移得到的是 （ ）ABCD（第2题）（第3题）DACB(第4题)（第5题）x (小时)(千米)y 012345153045甲乙（第14题）7．已知：如图ABC △的顶点坐标分别为(43)A --，，(03)B -，，(21)C -，，如将B 点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达1B 点，若设ABC △的面积为1S ，1AB C △的面积为2S ，则12S S ，的大小关系为（ ）A ．12S S >B ．12S S =C ．12S S <D ．不能确定8. 如图，是一次函数y=kx+b 与反比例函数y=2x的图像，则关于x 的方程kx+b=2x的解为( ) A.x l =1，x 2=2 B.x l = -2，x 2= -1 C.x l =1，x 2= -2 D.x l =2，x 2= -1 二、填空题（每小题3分，共18分） 9.如图，∠1的正切值等于__________．10. 线段AB 、CD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，O 为坐标原点。
人教数学八年级下册专题复习：几何图形“翻折”和“重叠”例谈
初中数学试卷八年级数学下册专题复习：几何图形“翻折”和“重叠”例谈编写： 赵化中学 郑宗平八年级数学下册中几何图形的“翻折”和“重叠”题型主要集中在《勾股定理》、《平行四边形》两个章节，部分图形的翻折也常出现在平面直角坐标系中与《一次函数》一章知识串联；当然这里要说明的是翻折也蕴含图形自身的某部分的重叠.一个图形自身某部分的“翻折”和几个图形某部分“重叠”题型一直统考和中考的热点题型；下面我精选了一部分这方面典型题进行分析、解答、点评并精选较多的练习题（练习相当于平时两套题的容量）供同学们选练，希望同学们能在训练中从中悟出一些道理，总结破题的思路，同时感受到这两类题型所蕴含的数学魅力.一、几何图形的“翻折”例析通常是把某个图形按照给定的条件的沿某一直线翻折，也可以叫折叠；常通过折叠前后图形变换的相互关系来设计命题.折叠的规律是：折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全等.折叠图形中在八年级的数学中，以四边形特别是特殊四边形为基础居多，但常用勾股定理来计算，有时也与一次函数的知识相串联构成有一定难度综合题.例1. （2014中考.邵阳），准备一张矩形纸片ABCD ，按如图操作：将ABE V 沿BE 翻折，使A 落在对角线BD 上的M 点；将CDF V 沿DF 翻折, 使C 落在对角线BD 上的N 点.⑴.求证：四边形BFDE 是平行四边形；⑵.若四边形BFDE 是菱形，AB 2=,求菱形BFDE 的面积.分析：⑴.根据四边形ABCD 是矩形和折叠的性质可以得出EB ∥DF ,DE ∥BF ,根据平行四边形的判定推出.⑵.求出ABE 30∠=o ,根据直角三角形性质求出AE BE 、，并根据菱形的面积计算即可求出答案.⑴.略证:∵四边形ABCD 是矩形∴,A C 90AB CD AB CD ∠=∠==o P ， ∴ABD CDB ∠=∠∴1EBD ABD FDB 2∠=∠=∠∴EB ∥DF ∵DE ∥BF∴四边形BFDE 是平行四边形 ⑵.略解：∵四边形BFDE 是菱形 ∴,BE ED EBD FBD ABE =∠=∠=∠ ∵四边形ABCD 是矩形∴,AD BC ABC 90=∠=o ∴ABE 30∠=o∴A 90AB 2∠==，o∴2343AE BF BE 2AE 3=====， ∴故菱形BFDE 的面积为：4383BF AB 2⋅=⨯=点评：本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及折叠的相关性质，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.在本题翻折的性质的运用是本题的一个切入点和突破口，正因为“折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全等”才有1EBD ABD FDB 2∠=∠=∠，从而得出⑴问中的EB ∥DF 、DE ∥BF 以及⑵问中ABE 30∠=o 这两个关键步骤.例2.如图，已知矩形纸片ABCD 中,AB 6AD 10==，；点E 在边CD 上，沿AE 折叠后点D 恰好落在BC 边上. ⑴.求EC 的长？⑵.求折痕AE 的长？ 分析： ⑴. 要求EC 的长我们可以化在Rt FCE V 中利用勾股定理来求出，根据题中折叠可知DE FE =,所以CE FE CE DE 6+=+=,而CF BC BF =-,BF 放在Rt ABF V 利用勾股定理求出，这个需要题中折叠所得到的AF AD 10==来帮忙.⑵.求折痕AE 的长在Rt ADE V 或Rt AFE V 利用勾股定理求出. 略解：⑴.∵四边形ABCD 是矩形∴DC AB 6BC AD 10====，B DC 90∠=∠=∠=o∵矩形纸片ABCD 沿AE 折叠后点D 恰好落在BC 边上 ∴AF AD 10==DE FE =∴CE FE CE DE CD 6+=+==在Rt ABF V 中根据勾股定理可知：222AB BF AF += ∴2222BF AF AB 1068=-=-= ∴CF BC BF 1082=-=-=在Rt FCE V 中根据勾股定理可知：222CE CF EF +=；若设CE x =，则EF 6x =-∴()222x 26x +=- 解得：8x 3= 即=8EC 3⑵.∵=8EC 3 DC 6= ∴10DE 3=在Rt ADE V 中根据勾股定理可知: 222DE AD AE +=∴222210100010AE DE AD 1010393⎛⎫=+=+== ⎪⎝⎭点评：本题考查了矩形的性质以及折叠的相关性质，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.在本题翻折的性质的运用是本题的一个切入点和突破口，正因为“折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全等”才有AF AD 10==和DE FE =两个关键结论.从而为 在Rt FCE V 中利用勾股定理来求出CE 打下基础.例3.如图，准备一张矩形纸片ABCD 按如图方式折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF . ⑴.连接EB ,求证：四边形EBFD 是菱形；⑵.若AB 3BC 9==，,求重叠部分的三角形面积.分析：⑴.利用翻折变换的性质可以得出,,23BE DE BF DF ∠=∠==,进而利用等腰三角形的性质得出三条边相等即可；⑵.利用勾股定理得出AE 的长，再利用三角形面积公式求出即可.⑴. 略证：连接EB∵四边形ABCD 是矩形 ∴AD BC P ∴12∠=∠∵将一张矩形纸片ABCD 按如图方式折叠，使顶点B 和D 重合 ∴,,23BE DE BF DF ∠=∠== ∴13∠=∠ ∴ED DF =∴ED DF BE BF === ∴四边形EBFD 是菱形.⑵.略解：设AE x =，则DE BE 9x ==-.∵在Rt ABE V 中，222AE AB BE +=∴()222x 39x +=- 解得：x 4= ∴DE 945=-=∴叠部分的三角形DEF V 面积为：SDEF V .135752=⨯⨯=.点评：本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质以及勾股定理的知识.根据翻折变换的性质得出 BE DE =是本题的一个关键.例4.如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，.AD BC 1AB CD 5====.在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ,在CD 上取一点N ,将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ,得到MNK V ⑴.若170∠o=，求MKN ∠的度数； ⑵.MNK V 的面积能否小于12？若能，求出1∠的度数；若不能，请说明理由.⑶.如何折叠能够使MNK V 的面积最大？请你在备用图探究可能出现的情况，并求最大值.分析：⑴. 求MKN ∠的度数有两条途径：一是放在在MKN V 中利用三角形的内角和定理求出；一是根据形的对边平行得到NKM AMK ∠=∠或NKM KMB 180∠+∠=o 求出；这两条途径均要抓住纸片沿MN 折叠这个重要条件来下得出∠KNM=∠KMN=70°.⑵.本问既然涉及到“MNK V 的面积能否小于12？”，所以首先想到从三角形的面积作为本题的切入点；如图在MNK V 中过M 点作AE ⊥DN ，垂足为点E,此时由“平行线间的距离处处相等”可以得到ME=AD=1，由⑴问可以得出MNK V 是一个等腰三角形，其MK=NK ，由于直角斜边大于直角边，即MK>ME,但特殊情况下K 点和E 点可能重合，即MK=ME ，所以MK=NK ≥ME ，再由三角形的面积公式得出本问的答案.⑶.本题又是涉及“MNK V 的面积”，我们还是要从三角形的面积切入；要使MNK V 的面积最大关键是使使底边NK 最大.由于第⑵问得出MK=NK ，所以要使NK 最大，就是要使MK 最大；MK 什么时候最大由呢？通过图形条件可知当交点K 与'B 不重合时，'MK MB <,只有K 与'B 重合，即'=MK MB 时，此时'B 就落到了DC 边上，'B 越向左，则MK 就越大，即NK 就越大；只有当'B 运动到与D 重合时，MK 就最大，此时MNK V 的底边NK 就最大；根据题中折叠可知=MK MB ，所以在MAK V 中的边AM AB MB AB MK 5MK =-=-=-,利用勾股定理建立方程可求出MAK V 的边MK（此时MK 的值为什么最大呢？这是因为若取大于MK 的值会进步推导出MA+MB>5，这里不再细说），也就求出了MNK V 的底边NK ，面积便可以求出；还有一种情况就是N 与C 重合，M 与A 重合，即沿矩形ABCD 的对角线AC 折叠；在MDK V 同样利用勾股定理可以求出M(A)K 的最大值，从而得出NK 的的最大值.（巡河车腾讯微博本问视频解析链接：/boke/page/p/j/i/p0415ebmdji.html ）1K C'B'CB DA N CB D AC BD A 备用图C B DA略解： ⑴.∵四边形ABCD 是矩形∴AM ∥DN ， ∴∠KNM=∠1 ∵∠KMN=∠1 ∴∠KNM=∠KMN ∵∠1=70°∴∠KNM=∠KMN=70° ∴∠MKN=40°⑵.不能.理由如下： 过M 点作AE ⊥DN ，垂足为点E 则ME=AD=1由⑴知：∠KNM=∠KMN ，∴MK=NK 又∵，ME=AD=1 ∴MK ≥1又∵11MNK NK ME 22S =⋅≥V即△MNK 面积的最小值为12，也就是不可能小于12；⑶.分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B 与点D 重合，此时点K 与点D 也重合. 设NK=MK=MD=x ，则AM=5-x.根据勾股定理，得：()22215x x +-=解得：x=2.6，则MD=NK=2.6 ∴..126MNK MND 132S S ⨯===V V 情况二：将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为AC. 设MK=AK=CK=x ，则DK=5-x ，同理可得，MK=AK=CK=2.6. ..126MNK ACK 132S S ⨯===V V因此，△MNK 的面积的最大值为1.3.点评：本题考查了矩形的性质、勾股定理以及折叠的相关性质.在本题的三个问中均要用到“折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全等”来进行转换，特别是⑵⑶问要根据折叠的各种情况分析并得出“MNK V 的面积能否小于12？”以及“折叠能够使MNK V 的面积最大”的各种情况，是有一定难度的，要综合矩形的性质和折叠的性质；但我们若把M 、N 看成是运动的，再从折叠的规律入手分析其折叠的“临界点“或者“极端情况”，问题就不那么复杂了，这是一道充分体现“折叠魅力”的题.例5、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OC=4，点E 为BC 的中点，点N 的坐标为（3，0），过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M.现将纸片折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为EF ，点F 为折痕与y 轴的交点. ⑴.求点G 的坐标；⑵.求折痕EF 所在直线的解析式；⑶.设点P 为直线EF 上的点，是否存在这样的点P ，使得以P 、F 、G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.分析： ⑴.本题要求G 点的坐标关键是求出G 点到x 轴的垂直距离GN 的长度.由于 GN MN MG 4MG =-=-,所以问题就转换到在Rt EMG V 来了，根据折叠 性质可以得出EG=EC=2，而EM MC EC 321=-=-=,利用勾股定理便可求 出MG 的长度.⑵.求折痕EF 所在直线的解析式关键抓住求出点E 、F 的坐标，根据⑴问E 点的坐标容易得出，关键是求出F 点的坐标，这是本问的一个难点，但由于F 点在y 轴上，所以求出FO 的长度就行了；而FO CO CF 4CF =-=-所以问题又转换到Rt ECF V 中利用勾股定理解决问题.由⑴问的ME 1EG 2==，可以得出在Rt EMG V 的特殊角度MGE 30∠=o ，从而得出MEG 60∠=o ，再加上折叠后()1CEF FEG 180602∠=∠=-o o60=o .在Rt ECF V 中利用勾股定理求出CF 便不算难事了.⑶.本问按理要分别以PF 、FG 、PG 为腰进行讨论，但由于F 、G 是定点，而P 点是直线EF 的动点，所以以FG 进行讨论就行了；以FG 为腰有三种情况，以FG 为底有一种情况，一共四种情况，根据⑴⑵问提供的结论和一次函数、正方形以及勾股定理可求出.略解：⑴.∵四边形ABCO 是正方形 ∴BC=OA=4 ∠BCO=∠B=90° ∵E 为CB 中点 ∴EB=2∵MN ∥y 轴，N （3，0）∴MN ⊥EB 且MB=NA=1∴EM 1=根据折叠的性质可知：∠EGF =∠BCO=90° EG=EC=2 ∵直线MN ∥y 轴 ∴∠EMG=∠B=90°在Rt EMG V 中根据勾股定理有：222ME MG EG += ∴2222MG EG ME 213=-=-= ∴GN MN GM 43=-=- ∴G （3，4﹣）⑵.∵∠EMG=∠B=90°，ME 1EG 2==，(B)()M N C D 情况一(M )(N )K(B )C D 情况二x yFG M N E C AB O 1K C'B'C DA N E 1KC'B'C DA N∴∠EGM=30° （提示：教材习题有个拓展性的知识点，即“在直角三角形中，若一直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°”，到初三可以用三角函数求出.） ∴∠MEG=∠FEG=∠CEF=60° ∴∠CFE=30° ∴EF=4在Rt ECF V 中根据勾股定理有：222CE CF EF +=∴CF ===∴OF CO CF 4=-=-∴((),F 04E 24-，，设直线EF 的解析式：y=kx+b （k ≠0）∴2k b 4b 4+=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得：k b 4⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴折痕EF所在直线解析式：y 4=+-⑶.(((,,,1234P 1P 14P 7P 34---+，，点评：本题是一道综合性较强的解答题，考查了正方形的性质、折叠的规律、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、直角三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、动点问题等，折叠的性质在其中起到牵线搭桥甚至是关键性的作用.在⑴问中正因为是折叠，才把问题转化到了Rt EMG V 中利用勾股定理来获得解决；在⑵问中正是由于折叠才有()1CEF FEG 180602∠=∠=-o o 60=o 这个重要结论.在Rt ECF V中有了特殊角，再利用勾股定理求出CF 就是水到渠成的事了.二、几何图形的“重叠”例析前面所说的翻折也蕴含图形自身的某部分的“重叠”，所以通常是把某个图形按照给定的条件的沿某一直线翻折，也可以叫折叠；还有一种“重叠”是指几个“相对独立”图形主要是两个图形通过一定方式，如：交叉叠放、平移、旋转等使两个图形全部或部分重合；实际上这两类重叠没有严格的界线.几个图形的重叠抓住重合部分的图形特征为突破口，下面我就后一类重叠举例加以说明：例1.将两张长均为8cm ，宽均为2cm 的矩形纸条按如图交叉叠放. ⑴.重叠部分是一个什么样的四边形？ ⑵.求重叠部分周长和面积最小值和最大值分别是多少？ 分析：⑴.按交叉叠放方式其重叠部分首先可确定是一个平行四边形，利用面积公式或全等三角形可以推出其一组邻边相等，所以重叠部分是一个菱形.（巡河车腾讯微博本问视频解析链接：/boke/page/z/7/3/z0415wr8a73.html ）⑵.根据“垂线段最短”，当两张矩形纸条垂直时，其交叉重叠部分的部分边长最短（实际上是个正方形），此时的重叠部分周长和面积有最小值；当两张矩形纸条交叉叠放使其对角线“换位”重合时（见示意图），因为此时重叠部分的对角线最长，其重合部分的边长也就最长，当然此时的重叠部分周长和面积有最大值.略解:⑴.如图，过H 点分别作,HM EF HNFG ⊥⊥,垂足分别是M N 、根据矩形纸条按交叉叠放的方式易证四边形EFGH 是平行四边形 ∵EFGH HM EF HN FG S =⋅=⋅Y 又矩形纸片的宽度都是2cm,即HM HN 2cm == ∴EF GF =∴重叠部分的四边形EFGH 是菱形 ⑵. 第一种情况：根据“垂线段最短”，当两张矩形纸条垂直时，其交叉重叠 部分四边形EFGH 的菱形是正方形EFGH .∵矩形纸条宽均为2cm 即EF FG GH HE 2cm ==== ∴重叠部分EFGH 的周长为：()428cm ⨯= 重叠部分EFGH 的面积为：()=22416cm第二种情况： 当两张矩形纸条交叉叠放使其对角线“换位”重合时（见示意图），因为此时重叠部分的对角线最长，其重合部分的边长也就最长，当然此时的重叠部分周长和面积有最大值. 过N 作NG DM ⊥,垂足为G ,则NG 2cm = ∵四边形ABCD 是矩形∴C 90∠=o在Rt MCD V 中根据勾股定理有：222CM CD DM +=∵四边形BMDN 是菱形∴MB MD = 设MD x =，则MC BC MB 8x =-=-∴()2228x 2x -+= 解得：17x 4= 即17MD 4=∴重叠部分BMDN 的周长为：()17417cm 4⨯=重叠部分BMDN 的面积为：()21717DM NG 2cm 42⋅=⨯=例2.如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形'''AB C D ，图中的阴影部分的面积为（ ）P CC C( C ' )B ( C CA.1C.1D.12分析：本题关键抓住重叠部分'AB HD 是一个轴对称图形，由于正方形ABCD 绕点A 逆时针 30°到正方形'''AB C D ，所以'DAD 30∠=o ,则'DAB 60∠=o ,连接'AB HD 的对角线后易证旋转'AB H V ≌ADH V ,所以''11DB H DAH DAB 603022∠=∠=∠=⨯=o o ;在Rt ADH V 的另一条直角边DH 的长度，进一步求出Rt ADH V 的面积，则重叠部分'AB HD 可求出，再由正方 形面积减去叠部分'AB HD 即可得到图中的阴影部分的面积.（巡河车腾讯微博本例视频解析链接：/boke/page/u/8/m/u0415t5rb8m.html ）略解: ∵边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形'''AB C D ∴'''D B D AB 90∠=∠=∠=o 'AD AB 1== 'DAD 30∠=o ∴'DAB 60∠=o∵在Rt 'AB H V 和Rt ADH V 中有'D B 90∠=∠=∠o ',AD AB AH AH ==∴Rt 'AB H V ≌Rt ADH V (HL )∴''11DB H DAH DAB 603022∠=∠=∠=⨯=o o∴1DH AH 2=在Rt ADH V 中根据勾股定理有：222DH AD AH += 即()222DH 12DH +=解得：DH =∴11ADH AD DH 122S =⋅=⨯=V ∴重叠部分'AB HD面积为：ADH 22S ==V ∴图中的阴影部分的面积为：S 正方形ABCD-2ADH 112S ==V 故选A点评：本题的阴影部分是个不规则的图形，直接求比较困难，所以采用S 正方形ABCD -重叠部分'AB HD 面积，所以求重叠部分的面积成了本题的关键；重叠部分'AB HD 是由正方形旋转30°形成的，它恰好是一个轴对称图形，当我们连结对角线AH 把AB HD '分成全等的两个含30°锐角的直角三角形后，把问题转化到其中一个直角三角形中问题便解决了.例3. 已知正方形ABCD 和正方形EFGH 的边长均为6，若把正方形EFGH 的一个顶点E 放置在正方形ABCD 的中心旋转任意角度，则两个正方形形成一个重叠部分.试求重叠部分四边形OMCN 的面积？分析：本题重叠部分四边形OMCN 是任意旋转形成的，所以不存在是一个特殊的四边形，但我们可以把它转化为特殊的图形；由于本题是一个 正方形的顶点放置在另一个正方形的中心进行的旋转重合，所以应从正方形的中心入手破题.连接正方形ABCD 的对角线AC BD 、，其交点O 恰好是正方形的中心; 这时四边形OMCN 被其中的一对角线AC 分成了两部分，而其中的△是四边形OMCN 和△OBC 的公共部分，而四边形OMCN 和△OBC 余下的部分根据正方形性质提供性质可以证明是全等的，也就是重叠部分四边形OMCN 的面积可以转化在等腰直角三角形来求.略解：连接接正方形ABCD 的对角线AC BD 、，根据正方形的性质可知其交点为O .根据正方形的性质容易证明△AOB 、△BOC 、△COD 、△AOD是全等的等腰直角三角形.∴S △BOC =14S 正方形ABCD ===211636944⨯⨯∵四边形EFGH 正方形∴FEH 90∠=o 即3490∠+∠=o由于△AOB 、△BOC 、△COD 、△AOD 是全等的等腰直角三角形.∴,,OB OC 12BOC 90=∠=∠∠=o ∴3590∠+∠=o∴45∠=∠∴△OBM ≌△OCN (ASA )∴S △OMC +S △OBM =S △OMC +S △OCN 即S 四边形OMCN =S △BOC = 9.故重叠部分四边形OMCN 的面积为9.点评：本题重点考查了正方形的性质以及旋转变换的规律.本题的叠部分四边形OMCN 虽然不是一个特殊的四边形，但利用正方形的性质以及旋转变换的规律，并通过全等三角形转换到特殊的等腰直角三角形中.课堂选练：一、选择题部分：C1、已知，如图长方形ABCD 中，,AB 3cm AD 9cm ==，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为 （ ）A.6cm 2B.8cm 2C.10cm 2D.12cm 22、将一张矩形纸片ABCD 那样折起，使顶点C 落在'C 处，其中AB=4，若'C ED 30∠=o ,则折痕ED 的长为 （ ）A ．4B ．43C ．53D ．83、矩形纸片ABCD 中，,==AB 3AD 4,折叠纸片使CD 与对角线BD 重合，折痕为DG ，则DG 长为 （ ）A.1B.43C.32D.2 4、（2015.自贡中考）如图，在矩形ABCD 中，AB 4AD 6==，,E 是AB 边的中点，F 是线段BC边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△'EB F ,连接'B D ‘,则'B D ‘的最小值是（ ） A. 2102- B.6 C.2132- D.4 5、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ，若AB=3，则BC 的长为（ ）A.1B.2C.2D.36、如图把一个长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ′、C ′位置，若∠EFB = 60°，则∠AED ′= （ ）A.50°B.55°C.60°D.65°7、将一张矩形纸片ABCD 那样折起，使顶点C 落在'C 处，其中AB=4，若'C ED 30∠=o ,则折痕ED 的长为 （ ）A ．4B ．43C ．53D ．88、如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在 点C ′处，折痕为EF ，若∠EFC ′=125°，那么∠ABE 的度数为（ ） A.15° B.20° C.25° D.30° 9、如图所示，把一长方形纸片沿MN 折叠后，点D C 、分别落在''D C 、 的位置．若∠AMD ′=36°，则∠NFD ′等于 （ ） A.144° B.126° C.108° D.72° 10、如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ， 再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为 （ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 11、如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点 3=， A ．3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， B ．332⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， D ．1322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 12、如图，将正方形ABCD 的一角折叠，折痕为AE ，BAD ∠比BAE ∠大︒48. 设BAE ∠和BAD ∠的度数分别为x ,y ，那么x ,y 所适合的一个方程组 是 （ ） A ．⎩⎨⎧=+=-9048x y x y B ．⎩⎨⎧==-x y x y 248 C ．⎩⎨⎧=+=-90248x y x y D ．⎩⎨⎧=+=-90248x y y x 13、在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是 （ ）14、如图．矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线 AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3．则AB 的长为 （ ）A.3B.4C.5D.6F D C A B E C'ED B C A A BC D GB 'ED A B C F 60°C 'D 'E D B CA F x yA'C B O A ED C B AA B D C C'A15、如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA 在x 轴上，边0C 在y 轴 上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的 位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点D 的坐标为 （ ）A. -41255⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. -21355⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.-11325⎛⎫ ⎪⎝⎭，D. -31255⎛⎫ ⎪⎝⎭，16、如图，在正方形纸片ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，沿过 点B 的直线折叠，使点C 落在EF 上，落点为N ，折痕交CD 边于点M ， BM 与EF 交于点P ，再展开．则下列结论中：①.CM=DM ；②.∠ABN=30°；③A.B 2=3CM 2；④.△PMN 是等边三角形． 正确的有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个17、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则 CD 等于 （ ）A.2㎝B.3㎝C.4㎝ D 、5㎝18、如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 平移，使A 点至AC 的中点A ˋ处，得到正方形A ‵B ‵C ‵D ‵，新的正方形与原正方形的重叠部分（图中 的阴影部分）的面积是 （ ）A. 2B.12C.1D. 1419、将n 个边长都为4cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点,,,12n A A A L 风别是正方形对角线的交点，则n 个正方形重叠部分的面积的和为 （ ）A.21cm 4B.2n 1cm 4-C.()24n 1cm -D.n21cm 4⎛⎫ ⎪⎝⎭20、把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点 B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB=3cm ，BC=5cm ，则重叠部分 △DEF 的面积是 （ ）A ．7.5cm 2 B.5.1cm 2 C ．5.2cm 2 D.7.2cm 221、如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm ，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C ′处，折痕为BD ，如图②，再将②沿DE 折叠，使点A 落在DC ′的延长线上的点A ′处，如图③，则折痕DE 的长为 （ ） A ．cm B ．2cmC ．2cmD ．3cm22、如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且1AE AB 3=,将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF=2BE ；②PF=2PE ；③FQ=4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④二、填空题部分：1、如图所示，AD 为△ABC 的中线，BC=2，∠ADC=45°，如果将△ADC 沿 AD 折叠，使点C 落在C ‵处，则B C ‵的长度为 .2、如图，在矩形纸片ABCD 中，,AB 12BC 5==,点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的'A 处，则AE 的长为 .3、如图，ABC 的中位线DE 5cm =，把ABC 沿DE 折叠，使点 A 落在边BC 上的点F 处，若A F 、两点之间的距离是8cm ，则ABC 的面积为 .4、如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ，若菱形ABCD 的边长为2cm A 120∠=o，,则 EF = .5、在正方形ABCD 中,AB 6=,点E 在边CD 上，且CD 3DE =,将ADE V 沿AE 对折至AEF V ,延长EF 交边BC 于点G ,连结AG CF 、，下列结论： ①.ABG V ≌AFG V ；②.BG GC =；③.AG CF P ；④.GCF V 是等边 三角形.其中正确的有 .（填写序号）F E D B C A C'D B C AA'E C B DA A 4A 3A 2A 1LEDB C AF E CAO B DGFE D ABC6、如图，矩形纸片ABCD ，AB=2，∠ADB=30°，沿对角线BD 折叠 （使△ABD 和△EBD•落在同一平面内），则A 、E 两点间的距离为 ________ ．7、如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD=2AB ，若沿过点D 的折痕DE 将A 角翻折，使点A 落在BC 上的'A 处，则'EA B ∠= _________度．8、把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM 、FM 为折痕， 折叠后的C 点落在'BM 或'BM 的延长线上，那么∠EMF 的度数是 .9、如图，一张长方形纸片ABCD ，其长AD a =，宽()AB b a b =>， 在BC 边上选取一点M ，将ABM 沿AM 翻折后B 至B ′的位置，若B ′为长方形纸片ABCD 的对称中心，则ba的值是 .10、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，75,ABC ︒∠=将梯形沿 直线EF 翻折，使B 点落在线段AD 上记作'B 点，连结'B B 、交EF 于点O ，若'90B FC ︒∠=，则:EO FO = .11、将矩形ABCD 纸对折，设折痕为EF ，再把B 点折到折痕线EF 上 （见图点B ′），若AB=3 ，则EB ′=_______ ．12、如图，边长为3的正方形ABCD 绕点按顺时针方向旋转30°后 得到的正方形EFCG 交AD 于点H ，S 四边形HFCD = .13．小强尝试着将矩形纸片ABCD （如图①，AD>CD ） 沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F 处，折痕为AE （如图②）；再沿过D 点的直线折叠， 使得C 点落在DA 边上的点N 处，E 点落在AE 边上 的点M 处，折痕为DG （如图③）．如果第二次折叠 后，M 点正好在∠NDG 的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为 ．14、矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的'B 处，折痕为AE ．在折痕AE 上存在一点P 到边CD 的距离与到点B 的 距离相等，则此相等距离为 ________ ．15、把如图所示的矩形纸片ABCD 折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边上的点P 处，已知∠MPN=900，PM=6cm ，PN=8cm ，那么矩形纸片ABCD 的面积为 ________ cm 2.16、如图，在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点A 的坐标是 （4，0），点P 为边AB 上一点，沿CP 折叠正方形，折叠后点 B 落在平面内点B ′处，已知CB ′的解析式为y 3x b =+，则 B ′点的坐标为 ．17、如图，在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （3，0），连 接AB ，将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点 A ′处，折痕所在的直线交y 轴正半轴于点C ，则直线BC 的解 析式为 .18、如图，直线3y x 23=-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两 点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到'AO B V ,则点O ′的坐标 是 ________ ．19、如图，在△ABC 中，∠C=90°，将△ABC 沿直线MN 翻折 后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC=6，NC=，那么四边形MABN 的面积是 ．20、如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ，若CF=1，FD=2，则BC 的长为 ．21、如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则DE 的长为 ．三、解答题部分：1、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．算一算，此时EC 有多长？•HGEF DABCEOFB'BCA DD 'D FC 'B'BCAE MxyCA'BAOxyO 'BOA2、如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B ′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB ′与AD 的交点C ′处．则BC ：AB 的值为多少？3、如图，在梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，AD>CD 。
新课标人教版初中数学八年级下册第十九章19.2特殊的平行四边形--正方形的判定-精品课件
练习1：判断 （1）四个角都相等的四边形是正方形 （2）四条边都相等的四边形是正方形 （3）对角线相等的菱形正方形 （4）对角线互相垂直的矩形是正方形 （5）对角线垂直且相等的四边形是正方形 （6）四边相等，有一角是直角的四边形是 正方形
例2 已知：在正方形ABCD中，A′、B ′、C ′、 D ′分别从顶点A、B、C、D沿AB、BC、CD、 DA方向同时以同样速度向B、C、D、A移动。
D
M
A
E
F
C
N
B
练习2（2019年山东省济南市中考试题）如图，是 一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由5种颜色 不同的正方形组成。设中间最小的一个正方形边 长为1，则这个矩形的面积是
练习4 （2019年陕西省中考题）如图，在矩形 ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，BF平行 于DE。若AD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5： 2，求阴影部分的面积。
例题3：已知正方形ABCD中，Q在CD上，且 DQ=QC,P在BC上，AP=CD+CP; 求证：AQ 平分∠DAP.
证明：延长AQ交BC延长线与E,
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD,AD∥CD;
A
D
∴∠D=∠QCE,∠DAQ=∠E, 又∵DQ=CQ,
Q
∴⊿ADQ≌⊿ECQ (AAS).
∴∴ACDD==CCEE,,又∴AADP==CCDD,+CP=CE+CP=EPB.
①AE与BF相等吗？为什么？
②AE与BF是否垂直？说明你的理由。
A
D
F G
BE
C
练习7：如图，已知正方形ABCD中，
E、F分别为BC和DC上的点，且