2021新高考版数学二轮专题复习课件：7.1 函数的图象与性质
第3讲 大题专攻——三角函数与解三角形 2023高考数学二轮复习课件
22
∴ba＝ssiinn BA＝
3 3
＝2 3
6.
3
目录
解三角形中的证明问题
【例3】 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
解 证明：法一：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得，sin Csin Acos
目录
2．(2021·新高考全国Ⅱ卷)(正、余弦定理，三角形面积公式)在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积； 解：由2sin C＝3sin A及正弦定理可得2c＝3a. 结合b＝a＋1，c＝a＋2，解得a＝4，b＝5，c＝6. 在△ABC 中，由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝16＋2450－36＝18，所以 sin
C＝ 1－cos2C＝387， 所以 S△ABC＝12absin C＝12×4×5×387＝154 7.
目录
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；
若不存在，说明理由．
解：设存在正整数a满足条件，由已知c＞b＞a，所以C为钝角．
所以cos
C＝
Байду номын сангаас
a2＋b2－c2 2ab
＜0⇒a2＋b2＜c2⇒a2＋(a＋1)2＜(a＋2)2⇒(a＋1)(a
目录
三角形中基本量的求解
【例2】 (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1
第10讲 函数的图像(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
(2)因为 y＝log1[3(x＋2)]＝－log3[3(x＋2)]＝－log3(x＋2)－1.
3
所以可以先将函数 y＝log3x 的图象向左平移 2 个单位，可得 y＝log3(x＋2)的图象，再作图象关于 x 轴对称的
由
f (x) (1)x , g(x) 2(1)x
3
3
(1)x 3 1
2
(1)x
3
(
1
log
)
1 3
1 2
3
( 1 ) x log3 3
2
知，
f
(x)
向右移动
log3
2
个单位可得到
g
(x)
，故选项
D
正确；
故选： ABD ．
5、.已知函数
f(x)＝|log3x|，实数
m，n
满足
0<m<n，且
f(m)＝f(n)，若
3
m
ln x，x≥1， 6、(一题两空)(2019·吉林调研改编)设函数 f(x)＝ 1－x，x＜1，则 f(f(0))＝________，若 f(m)＞1，则实数 m
的取值范围是________．
【答案】0 (－∞，0)∪(e，＋∞)
ln x，x≥1， 【解析】f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得 f(x)＝ 1－x，x＜1的图象与直线 y＝1 的交点分别为(0，1)，
【答案】B
1－x2≥0， 【解析】(1)由 |x|≠0 且|x|≠1，得－1<x<0 或 0<x<1，
高考数学复习考点知识讲解课件22 三角函数的图象与性质
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[解析] 由 2x＋π6≠π2＋kπ(k∈Z)，得 x≠π6＋k2π(k∈Z)，故函数 f (x)的定义域为 x|x≠π6＋k2π，k∈Z.故选 D．
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2．(2022·东北师大附中月考)函数 f (x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为( B )
(2)∵f (x)为偶函数， ∴－π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，得 φ＝56π＋kπ，k∈Z. 又 φ∈(0，π)，∴φ＝56π. ∴f (x)＝3sin2x＋π2＝3cos2x. 由 2x＝π2＋kπ，k∈Z，得 x＝π4＋k2π，k∈Z， ∴f (x)图象的对称中心为π4＋k2π，0，k∈Z.
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(1)三角函数周期的一般求法 ①公式法． ②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期． (2)对于可化为 f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或 f (x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求 f (x)的对 称轴，只需令 ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)(或令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求 x 即可；如果求 f (x)的对 称中心的横坐标，只需令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)或令ωx＋φ＝π2＋kπk∈Z，求 x 即可．
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3．函数 f (x)＝cosx＋π6(x∈[0，π])的单调递增区间为( C ) A．0，56π B．0，23π C．56π，π D．23π，π
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[解析] 由 2kπ－π≤x＋π6≤2kπ，k∈Z，解得 2kπ－76π≤x≤2kπ－π6，k∈Z，∵x∈[0， π]，∴56π≤x≤π，∴函数 f (x)在[0，π]的单调递增区间为56π，π，故选 C．
2020-2021数学北师大版必修4课件：1-7-1、2 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
三角函数
§7 正切函数
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的图像与性质
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点一 任意角的正切函数及正切线
[填一填] 1．任意角的正切函数 (1)正切函数的定义
在直角坐标系中(如图)，如果角 α 满足：α∈R 且 α≠2π＋kπ(k
规律方法 求函数的单调区间时，要注意函数的周期，应在 求出一个周期长的区间内的单调增区间后，再加上周期的整数 倍，不要误认为函数的单调增区间是(－43π＋kπ，23π＋kπ)，k∈ Z.
求函数 y＝3tan(2x＋3π)的对称中心的坐标． 解析：我们知道 y＝tanx 是奇函数，它的对称中心有无穷多 个，即(k2π，0)，函数 y＝Atan(ωx＋φ)的图像可由 y＝tanx 经过图 像变换而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为 图像与 x 轴的交点． 于是由 2x＋3π＝k2π(k∈Z)得 x＝k4π－π6(k∈Z)． ∴对称中心坐标为(k4π－6π，0)(k∈Z)．
2．用三点两线法作正切函数图像 “三点”是指(－4π，－1)，(0,0)，(π4，1)； “两线”是指 x＝－2π与 x＝2π. 3．正切函数单调性的关注点 虽然正切函数有无数个单调区间，在(－2π，π2)，(π2，32π)，… 上都是增函数，但是不能说正切函数在(－2π，π2)∪(π2，32π)∪…上 是增函数．
－ 3<tanx<1， 即－3≤x≤3，
x≠kπ＋π2k∈Z，
由图像，得－ 3<tanx<1 的解为 kπ－3π<x<kπ＋π4(k∈Z)，∴
函数的定义域为[－3，－34π)∪(－3π，π4)∪(23π，3]．
新教材2021-2022版高中数学人教B版第三册课件：7.3.2 正弦型函数的性质与图象(一)
6
6
3
答案: 2
3Leabharlann 3.(教材二次开发:例题改编)函数y=-2sin (2x－) 的最小值为
,此
6
时,x=
.
【解析】最小值为-2,此时2x- +2kπ,k∈Z,解得x=kπ+ ,k∈Z.
62
3
答案:-2 kπ+ ,k∈Z
3
关键能力·合作学习
类型一 正弦型函数的图象变换(直观想象)
【题组训练】
3
变),可得y=sin ( x 的)图象;
23
再向右平移 个单位,得到的图象对应的解析式为y=sin ( x = )
3
263
sin ( x .)
26
3.将函数的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,可得y=sin (x 4的 图) 象,
3
再根据所得图象关于原点对称,可得 4+ φ=kπ,k∈Z,当φ取最小值时,得
3
4+φ=2π,φ= 2.
3
3
答案: 2
3
【解题策略】
关于正弦型函数图象的变换
(1)变换的要点:
①A(A>0):横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍; ②ω(ω>0):纵坐标不变,横坐标变为原来的 1 倍;
③φ:左右平移的单位是 | | .
(2)变换的方向:进行图象变换时还要注意变换的顺序,分清是由哪一个函数变
3
1 sin x的图象.
()
3
提示:(1)×.周期为2π.
(2)×.得到函数y=sin x1 的图象.
2
(3)√.由A对函数图象的影响可知正确.
2.函数f(x)=2sin ( 3x) 的最小正周期为
新高考数学一轮二轮复习专题-专题三 函数的概念、图象和性质(原卷版)-4月5月真题汇编
专题三 函数的概念、图像和性质一、单选题1．（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为,(4)R f x +是偶函数，(6)3f =，()f x 在(,4]-∞上单调递减，则不等式(24)3f x -<的解集为（ ）A ．(4,6)B ．(,4)(6,)-∞⋃+∞C ．(,3)(5,)-∞⋃+∞D ．(3,5)2．（2021·北京石景山区·高三一模）已知22,0()32,0x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，若()f x ax 在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．[0,1]C ．[1,0]-D ．(1,0)-3．（2021·天津南开区·高三一模）函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()21xf x x=-B ．()221xf x x =+C ．()221xf x x =-D ．()2211x f x x +=-4．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,63⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭5．（2020·上海高一专题练习）下列命题中正确的是（ ） A ．当m =0时，函数m y x =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C ．幂函数m y x =图象不可能在第四象限内D ．若幂函数m y x =为奇函数，则m y x =是定义域内的增函数6．（2021·浙江省宁海中学高三月考）已知函数()f x ，()g x 满足()()()()xx f x g x ef xg x e -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则()()()sin 2x h x f x g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．（2021·天津高三月考）函数241x y x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2020·上海高一专题练习）单调增函数()f x 对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+，若()()33920x x x f k f ⋅+--<恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．()1-B ．(),1-∞C ．(0,1⎤⎦D ．)1,⎡+∞⎣9．（2021·全国高三专题练习（理））已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫<⎪⎝⎭（ ）A ．()6063,e+∞B ．()20210,eC ．()2021,e+∞ D ．()60630,e10．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数()22cos sin e ex xx x f x --=+，则函数()f x 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））设函数()ln 31ln 31f x x x =++-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增B ．是奇函数，且在11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减C ．是偶函数，且在1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭单调递增D ．是奇函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减12．（2021·全国高三月考（理））已知函数()12cos 122x xf xx -=⋅+，则()f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2021·全国高三月考（文））已知奇函数()f x 的定义域为{},0x x R x ∈≠，且有()()33f x f x =，()11f =，当120x x >>时，()()()121233120f x f x x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，则不等式()29f x x x≥的解集为（ ） A ．(][),33,-∞-+∞ B ．[)(]3,00,3- C ．(][),11,-∞-+∞D ．[)(]1,00,1-14．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()11f =．若1x ∀，()2,x ∀∈-∞+∞，当12x x <时，()()122144f x x f x x ->-，则不等式()()4ln 455ln 45f x x ->--⎡⎤⎣⎦的解集为（ ）A ．5e ,4+⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．55e ,44+⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．55e ,44+⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．（2021·全国高三月考（文））若函数2()f x x =在区间[,]a b 上的值域为[,1]()t t t +∈R ，则b a -（ ）A ．有最大值，但无最小值B ．既有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值16．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞上单调递减，()20f =，则()()10+<f x f x 的解集为（ ） A ．()()2,10,1--⋃ B ．()()1,01,2- C ．()1,2- D ．()2,1-17．（2021·全国）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足：①对任意的1x ，()212[5,1]x x x ∈--≠，都有()()21210f x f x x x ->-；②(1)y f x =+是奇函数；③(1)=-y f x 为偶函数.则（ ）A ．(2021)(22)(3)f f f >>B ．(22)(3)(2021)f f f >>C ．(3)(22)(2021)f f f >>D ．(22)(2021)(3)f f f >>18．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()f x 定义域为R ，满足()()2f x f x =-，且对任意121x x ≤<均有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦成立，则满足()()2130f x f x ---≥的x 的取值范围是（ ）A ．(]2,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭C ．22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．（2021·全国高三专题练习（理））函数1010y =的图象可能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．20．（2021·山东青岛市·高三一模）已知()y f x =为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．221．（2021·全国高三专题练习（文））设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，又()40f -=，则不等式()()440f x f x x+--->的解集是（ ）A ．()0,4B ．()8,4--C ．()()4,00,4-D ．()()8,40,4--⋃22．（2021·全国高三专题练习（文））函数ln ||()||x f x x =的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．23．（2021·全国高三专题练习（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；③当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2二、多选题24．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452．4—1519．5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：()coshxf x a a=，其中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh x ＝e e 2x x -+，相应地双曲正弦函数的表达式为sinh x ＝e e 2x x--．若直线x ＝m 与双曲余弦函数C 1与双曲正弦函数C 2的图象分别相交于点A ，B ，曲线C 1在点A 处的切线l 1与曲线C 2在点B 处的切线l 2相交于点P ，则下列结论正确的为（ ）A ．cosh(x ﹣y )＝cosh x cosh y ﹣sinh x sinh yB ．y ＝sinh x cosh x 是偶函数C ．(cosh x )′＝sinh xD ．若△P AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，则实数m ＝025．（2021·全国高三专题练习）已知函数232(1)()1x x f x x ++=+，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象的对称中心是（0，1）B ．函数()f x 在R 上是增函数C ．函数()f x 是奇函数D ．方程(21)(2)2f x f x -+=的解为14x =26．（2021·全国高三专题练习）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet ），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：1,()0,c x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中Q 为有理数集，c Q 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为,(),c a x QD x b x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中a ，b R ∈且a b ），以下对()D x 说法正确的是（ ）A ．当a b >时，()D x 的值域为[],b a ；当a b <时，()D x 的值域为[],a bB ．任意非零有理数均是()D x 的周期，但任何无理数均不是()D x 的周期C ．()D x 为偶函数D ．()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性27．（2021·浙江高一开学考试）已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中正确的有（ ） A ．1yg f x 为偶函数B ．()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数C ．()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称D ．1yf g x 为偶函数28．（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中，()f x 与g()x 不表示同一函数．．．．．．．的是（ ） A ．()1f x x ，21()1x g x x -=+B ．()|1|f x x =+，1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C ．()1f x =，0()(1)g x x =+D ．()f x x =，2()g x =29．（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数()[1]f x x x =+-，下列说法中正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 的值域是[0,1]C ．()f x 在(0,1)上是减函数D ．x ∀∈R ，[()]0f x =第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题30．（2021·浙江高一期末）设,a b ∈R，已知函数3,1(),1x f x bx x x ≤=⎨+>⎪⎩，若()f x 是在R 上的增函数，则b 的取值范围是_________.31．（2021·陕西西安市·高三月考（理））已知可导函数()f x 的定义域为(0,)+∞，满足()2()0xf x f x '-<，且(2)4f =，则不等式()24x x f >的解集是________．32．（2021·安徽省泗县第一中学高二月考（文））已知()f x 是定义在R 上的函数，且()()12()12f x f x f x +-=--，若(1)2f =+，则(2025)f =______．33．（2021·全国高三专题练习）设f (x )是定义在R 上周期为2的函数，当x ∈(-1，1]时，22,10()1x x m x f x x ⎧++-<<⎪=≤≤，其中m ∈R .若f (116)=f (32)，则m 的值是___________.34．（2021·全国高三专题练习）已知奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(2020)(2021)f f +=__________． 35．（2020·上海高一专题练习）设R a ∈，若0x >时，均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值集合．．为_________. 36．（2021·上海高一）设函数()f x 对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，且()12(13)f x x x =--≤≤，则使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为____．四、解答题37．（2021·湖南高一月考）已知幂函数()()2144m f x m m x+=+-在区间0,上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减.38．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）设函数e ()e x x af x a+=-（e 为常数，e ＝2.718 28…，a ∈R ）.（1）若函数()f x 为奇函数，求实数a 的值； （2）若1a =-.①判断并证明函数f (x )的单调性；②若存在[]22x ∈-，，使得f (x 2＋2mx )+f (2－m )=0成立，求实数m 的取值范围. 39．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数()2af x x x=+． （1）判断()f x 的奇偶性，并给出理由； （2）当16a =时，①用定义证明函数()f x 在区间[)2,+∞上是单调增函数；②若存在()0,x ∈+∞，使得不等式()42f x m m <-成立，求实数m 的取值范围．40．（2020·上海高一专题练习）幂函数273235()(1)t t f x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.41．（2021·湖北高二月考）已知函数ln ()xf x x=． （1）判断()f x 的单调性，并比较20222021与20212022的大小； （2）若函数2()(1)(()1)2ag x x x f x =-+-，其中1a e ≤<，判断()g x 的零点的个数，并说明理由．42．（2021·浙江高一期末）设函数()()()212,xxk f x k x R k Z -=+-⋅∈∈（1）若()k f x 是偶函数，求k 的值（2）若存在]2[1x ∈，，使得()()014f x mf x +<成立，求实数m 的取值范围； （3）设函数()()()0224g x f x f x λ=-+若()g x 在[)1,x ∈+∞有零点，求实数λ的取值范围．43．（2021·安徽高一开学考试）已知函数()21,0,0x ax x f x e x -⎧+<=⎨≥⎩且()()013f f +-=.（1）求实数a 的值；（2）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()()()()2121bf b x b f x +-+≥恒成立，求正数b的取值范围.44．（2020·上海高一专题练习）求下列函数的值域（1）34x y x +=-； （2）25243y x x =-+；（3）y x =；（4）22436x x y x x ++=+-；（5）4y =；（6）y x =+（7）y =；（8）y =（9）312x y x +=-； （10）2211()212x x y x x -+=>-. 45．（2020·上海高一专题练习）根据下列条件，求函数()f x 的解析式；（1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+；（2）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭； （3）已知等式()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f =；（4）知函数()f x 满足条件()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对任意不为零的实数x 恒成立46．（2020·上海高一专题练习）()f x =为奇函数，则a 的取值范围 47．（2020·上海高一专题练习）已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,1,1a b ，0a b +≠，有()()0f a f b a b+>+成立； （1）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式11()21f x f x ⎛⎫+< ⎪-⎝⎭； 48．（2020·上海高一专题练习）已知二次函数2()(1)f x ax a x a =+-+.（1）函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）关于x 的不等式()2f x x≥在[]1,2x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）函数21(1)()()a x g x f x x--=+在(2,3)上是增函数，求实数a 的取值范围. 49．（2021·上海高一）设函数2()(3)3f x mx m x =+--（1）若对任意[]1,3x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数m 的取值范围 （2）若存在[]1,3x ∈，不等式()0f x >成立，求实数m 的取值范围50．（2021·山东德州市·高一期末）已知函数()y f x =的图象与()()log 0,1a g x x a a =>≠的图象关于x 轴对称，且()g x 的图象过点()4,2. （1）若()()315f x f x ->-+成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意[]1,4x ∈，不等式()204x f x g m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围. 51．（2021·四川高一开学考试）设函数()223,f x x ax a =-+∈R ．（1）当[]1,1x ∈-时，求函数()f x 的最小值()g a 的表达式；（2）求函数()g a 的最大值．五、双空题52．（2021·山东菏泽市·高三一模）已知()f x 是定义在R 上的偶函数且()01f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2021f =________．()411n i f i -==∑_____________．。
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题一三角函数和解三角形第1讲三角函数的图象和性质
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专题一 三角函数和解三角形
高考二轮总复习 • 数学
所以 ω＝－16＋23k，k∈Z， 所以 ω＝52，f(x)＝sin 52x＋π4＋2， 所以 fπ2＝sin 54π＋π4＋2＝1. 故选 A.
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专题一 三角函数和解三角形
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2．(2022·全国甲卷)设函数 f(x)＝sin ωx＋π3在区间(0，π)恰有三个极
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【解析】 f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，所以 f(x) 在区间0，π2和32π，2π上 f′(x)>0，即 f(x)单调递增；在区间π2，32π上 f′(x)<0， 即 f(x)单调递减，又 f(0)＝f(2π)＝2，fπ2＝π2＋2，f32π＝－32π＋1＋1＝－ 32π，所以 f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－32π，最大值为π2＋2.故选 D.
值点、两个零点，则 ω 的取值范围是
( C)
A．53，163
B．53，169
C．163，83
D．163，169
专题一 三角函数和解三角形
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【解析】 依题意可得 ω>0，因为 x∈(0，π)，所以 ωx＋π3∈π3，ωπ＋π3，
要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，
又 y＝sin x，x∈π3，3π的图象如下所示：
则52π<ωπ＋π3≤3π，解得163<ω≤83，即 ω∈163，83.故选 C.
专题一 三角函数和解三角形
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3．(2022·全国甲卷)将函数 f(x)＝sin ωx＋π3(ω>0)的图象向左平移π2个 单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是 ( C )
2021届高考数学二轮复习专题五三角函数与解三角形梳理纠错预测学案文
三角函数与解三角形1．三角函数（1)以正弦函数、余弦函数、正切函数为载体，考查函数的定义域、最值、单调性、对称性、周期性．（2）考查三角函数式的化简，三角函数的图象的性质以及平移和伸缩变换． 2．解三角形（1)利用正余弦定理进行三角形边和角的计算，三角形形状的判断、面积的计算，以及有关的参数的范围．（2）考查运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、三角函数 1．公式（1）诱导公式：(2）同角三角函数关系式：22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=（3）两角和与差的三角函数：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+（4)二倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan ααα=- （5)降幂公式：21cos2sin2αα-=，21cos2cos2αα+=2．三角函数性质3．函数y=A sin(ωx+φ)的图象及变换（1）φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响（2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响（3）A(A>0)对y=A sin(ωx+φ)的图象的影响4．函数y =A sin(ωx +φ)的性质（1）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)中参数的物理意义(2）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)的有关性质二、解三角形 1．正余弦定理（为外接圆半径）； ；，，；，，；；;；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1)已知两角一边,用正弦定理，只有一解．（2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在ABC△中,已知，和角A时，解得情况如下：上表中A为锐角时，，无解．A为钝角或直角时，，均无解．（3）已知三边,用余弦定理，有解时，只有一解．(4）已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解．3．三角形中常用的面积公式（1）（表示边上的高)；(2）；（3）(为三角形的内切圆半径）．4．解三角形应用题的一般步骤一、选择题．1．若1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（)A ．79-B ．23C ．23-D ．79【答案】A【解析】1sin cos cos 32363ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 2217cos 2cos 22cos 12136639πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A ．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想， 属于基础题．2．函数()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（）A．1BC． D ．3【答案】B【解析】因为()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()2sin sin 22sin 2sin cos 44444f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令4x πθ=+，则()2sin 2sin cos 2sin sin 2f θθθθθθ=+=+,则()()222cos 2cos 222cos 12cos 4cos 2cos 2f θθθθθθθ'=+=-+=+-，令f ′(θ)=0,得cos 1θ=-或1cos 2θ=,经典训练题（70分钟）当11cos 2θ-<<时，f ′(θ)<0；1cos 12θ<<时，f ′(θ)>0，所以当1cos 2θ=时，f (θ)取得最大值,此时sin 2θ=，所以()max2f x =，故选B ．【点评】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值． 3．已知锐角ϕ满足cos 1ϕϕ-=．若要得到函数()()21sin 2f x x ϕ=-+的图象,则可以将函数1sin 22y x =的图象（） A ．向左平移7π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移7π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度【答案】A 【解析】由cos 1ϕϕ-=,知2sin()16πϕ-=，即1sin()62πϕ-=， ∴锐角3πϕ=，故()()221112sin sin cos(2)22323f x x x x ππϕ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭，又12117cos(2)sin(2)sin(2)232626x x x πππ+=-+=+, ∴()17sin(2)26f x x π=+，故f(x)是将1sin 22y x =向左平移7π12个单位长度得到，故选A ．【点评】由辅助角公式化简已知条件求锐角ϕ，根据f(x)的函数式，应用二倍角、诱导公式将f(x)化为正弦型函数，即可判断图象的平移方式．4．已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)，(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，f (x )的图象过,14A π⎛⎫ ⎪⎝⎭,5,14B π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到g (x )的图象，则函数g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()A ．−√2B ．√2C ．−√3D ．−1【答案】A【解析】由图象知，5244T πππ=-=，∴T =2π,则1ω=, ∴f (x )=2sin (x +φ)，将点,14A π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入得，2sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，∴12πϕ=-,则()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 将f (x )的图象向左平移712π个单位得到函数()72sin 2sin 2cos 12122g x x x xπππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32cos 4π=,故选A ．【点评】本题主要考查三角函数图象，需要利用三角函数的周期性以及对称性进行处理,再结合图象的平移,三角函数的单调性进行解题,本题属于中档题．5．已知函数f (x )=sin ωx −√3cos ωx （0ω>，x ∈R ）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移3π个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g (x )的图象，则下列关于函数g (x )的命题中正确的是（） A ．函数g (x )是奇函数B ．g (x )的图象关于直线6x π=对称C ．g (x )在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．当,66ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数g (x )的值域是[0,2］ 【答案】B【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由题意知函数周期为π，则2T ππω==，2ω=，从而()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移3π个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数()2sin π3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，g (x )不是奇函数，A 错；g (x )在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是单调递增，C 错;,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数g (x )的值域是[1，2］,D 错；g (x )的图象关于直线π6x =对称，B 对，只有选项B 正确，故选B ．【点评】本题考查三角函数,图象的变换，以及图象的性质，属于中档题．6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ,b ,c ,若3A π=，b =4，△ABC的面积为3√3,则sin B =（）A BC ．13D 【答案】A【解析】1sin 2S bc A ===c =3，由余弦定理可得2222cos 13ab c bc A =+-=,得a =√13，又由正弦定理可得sin sin a b A B=，所以sin sin 13b A B a ==,故选A ．【点评】本题主要考了三角形的面积公式以及余弦定理公式的运用，属于基础题型．7．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ΔABC 的形状为（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 【答案】A【解析】因为在三角形中,sin cos sin CA B<变形为sin sin cos C B A <， 由内角和定理可得sin()cos sin A B A B +<，化简可得sin cos 0A B <，cos 0B ∴<，所以2B π>,所以三角形为钝角三角形，故选A ．【点评】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题．二、填空题．8．已知(0,π)α∈，且有1−2sin 2α=cos 2α，则cos α=_________．【答案】5【解析】2212sin 2cos 214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,π)α∈，所以sin 0α≠， 因此由2πsin 2sin cos sin 2cos tan 20,2ααααααα⎛⎫=⇒=⇒=⇒∈ ⎪⎝⎭，而()22sincos 11αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=2π0,α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此cos 5α=，故答案为5．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题．9．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴,终边经过点P (3，4)，则tan π2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________．【答案】34-【解析】由三角函数的定义可得4sin 5α==，3cos 5α==,因此,3sin cos 325tan 42sin 4cos 52παπααπαα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+====- ⎪-⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭， 故答案为34-．【点评】本题考查任意角的三角函数的应用，诱导公式的应用，是基本知识的考查．三、解答题．10．已知函数2()cos 222x x xf x =+．(1)求函数f(x)在区间[0，π]上的值域；（2）若方程f(ωx)=√3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围． 【答案】（1）2⎡⎤⎣⎦；（2)5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】（1）()2πcos 2sin()2224x x x f x x x x =+-=+=+，令4U x π=+，[]0,x π∈，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，由y =sin U 的图象知,sin U ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即sin 4πx ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 2π4x ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭,所以函数f(x)的值域为2⎡⎤⎣⎦．(2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>, ∵f(ωx)=√3，2sin()4x πω∴+=,即sin()42x πω+=，∵x ∈[0，π]，,444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，且()243x k k ππωπ+=+∈Z 或()2243x k k ππωπ+=+∈Z ， 由于方程f(ωx)=√3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解,所以243ππωπ+≥，解得512ω≥， 所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点评】考查三角函数的值域时，常用的方法:（1）将函数化简整理为f(x)=A sin (ωx +φ),再利用三角函数性质求值域；（2)利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值．11．已知函数()2sin 2cos 232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数f (x )在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2)若0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1123f πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos 26πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1)递增区间为,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)3-．【解析】（1）由题意得()21sin 2cos 2cos 2sin 2sin 23222f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 2sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 因为5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]20,23x ππ+∈， 令0232x ππ≤+≤，解得,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 令32232x πππ≤+≤，解得7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；令32223x πππ≤+≤，得75,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 所以函数f (x )在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(2）由（1）知1sin 21263f ππββ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为2π0,β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7π2,66ππ6β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 又因为1π1sin 2632β⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以2,π62ππβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2π6β⎛⎫+== ⎪⎝⎭．【点评】三角函数的化简求值的规律总结:1．给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题； 2．给值求值:即给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系； 3．给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）． 12．在四边形ABCD 中,AB //CD ，AD =CD =BD =1． （1）若32AB =，求BC ；(2）若AB =2BC ，求cos BDC ∠．【答案】（1）2BC =；（2）cos 1BDC ∠=．【解析】（1）在△ABD 中，由余弦定理可得2223cos 24AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，∵CD //AB，∴∠BDC =∠ABD ，在△BCD 中,由余弦定理可得22212cos 2BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=,2BC =．（2)设BC =x ，则AB =2x ，在△ABD 中，22224cos 24AB BD AD x ABD x AB BD x +-∠===⋅， 在△BCD 中,22222cos 22BD CD BC x BDC BD CD +--∠==⋅，由（1）可知,∠BDC =∠ABD ，所以，cos ∠BDC =cos ∠ABD ,即222x x -=，整理可得x2+2x −2=0,因为x >0，解得x =√3−1， 因此，cos cos 1BDC ABD x ∠=∠==．【点评】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角"或“角化边",变换原则如下:（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角"； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4）代数式变形或者三角恒等变换前置；(5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解;（6)同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(2b −c )cos A =acosC．(1）求角A ；（2)若a =√13，b +c =5，求△ABC 的面积． 【答案】（1）π3A =；（2）√3．【解析】（1）在三角形ABC 中，∵(2b −c )cos A =acos C , 由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，化为：()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C C A C A C B =+=+=, 三角形中sin 0B ≠，解得1cos 2A =，A ∈(0，π)，∴π3A =．（2）由余弦定理得2222cos ab c bc A =+-，∵a =√13，b +c =5，∴13=(b +c )2−3cb =52−3bc，化为bc =4，所以三角形ABC 的面积11sin 4222S bc A ==⨯⨯=【点评】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的综合运用,涉及三角函数恒等变换，属基础题．熟练掌握利用正弦定理边化角，并结合三角函数两角和差公式化简，注意余弦定理与三角形面积公式的综合运用．14．已知△ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin (A +B −C )=c sin (B +C )．（1)求角C 的大小；（2）若2a +b =8，且△ABC 的面积为2√3，求△ABC 的周长．【答案】（1）π3C =；(2)6+2√3．【解析】（1）∵a sin(A +B −C)=c sin(B +C)，sin sin(π2)sin sin A C C A ∴-=，2sin sin cos sin sin A C C C A ∴=， sin sin 0A C ≠,1cos 2C ∴=，0πC <<,π3C ∴=． (2）由题意可得12=∴ab =8，∵2a +b =8联立可得，a =2，b =4，由余弦定理可得c2=12，c =2√3，此时周长为6+2√3．【点评】本题主要考查了三角形的内角及诱导公式在三角形化简中的应用,还考查了三角形的面积公式及余弦定理,属于基础题．15．在△ABC 中，内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2c sin B =3a sin C ，1cos 3C =． （1）求证：△ABC 为等腰三角形;(2）若△ABC 面积为2√2，D 为AB 中点，求线段CD 的长． 【答案】（1）证明见解析;（2）．【解析】(1）由2c sin B =3a sin C ,根据正弦定理可得2cb =3ac ，所以2b =3a ,则32b a =， 又1cos 3C =，根据余弦定理可得222222222913144cos 332322a a c a c abc C ab a a a +--+-====⋅，则222134aa c =-,所以32c a b ==, 因此△ABC 为等腰三角形．（2）因为角C是三角形内角，所以sin C>0，则sin C==因为△ABC面积为2√2，所以113sin222ab C a a==⋅a=2，所以b=c=3，又D为AB中点，所以cos cosADC BDC∠=-∠，则222222333222332222CD CDCD CD⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯⨯⨯⨯，整理得2174CD=,所以CD=．【点评】本题主要考查正余弦定理、三角形的面积公式的综合运用,利用正弦定理进行边角转换等，属于中档题型．16．△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b,c．已知sin cos2Aa C c=．（1)求A；（2)已知b=1，c=3，且边BC上有一点D满足3ABD ADCS S=△△，求AD．【答案】（1）π3A=；(2）4AD=．【解析】（1）因为sin cos2Aa C c=，由正弦定理得sin sin sin cos2AA C C=，因为sin C≠0，所以sin cos2AA=，所以2sin cos cos222A A A=,因为0π22A<<，所以cos02A≠，所以1sin22A=，即π26A=，所以π3A=．(2)设△ABD的AB边上的高为ℎ1，△ADC的AC边上的高为ℎ2,因为3ABD ADCS S=△△，c=3，b=1，所以1211322c h b h⋅=⨯⋅,所以ℎ1=ℎ2，AD 是△ABC 角A 的内角平分线，所以π6BAD ∠=，因为S△ABD=3S △ADC,可知34ABDABC SS =△△， 所以131sin sin 26423ππAB AD AB AC ⨯⨯=⨯⨯⨯，所以4AD =．【点评】关键点点睛:本题考查了正弦定理的边角互化、三角形的面积公式，解题的关键是确定AD 是△ABC 角A 的内角平分线，考查了运算能力．一、选择题．1．已知函数()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象，则g (x )的解析式为(）A ．221124x y +=B ．πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2sin 4π3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移π12个单位得2sin 22sin 21πππ263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到()2in 4πs 3y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,高频易错题故选C ．【点评】在三角函数平移变换中，y =sin ωx 向左平移ϕ个单位得到的函数解析式为y =sin [ω(x +φ)]=sin (ωx +ωφ)，而不是y =sin (ωx +ϕ),考查运算求解能力，是基础题．二、填空题．2．设锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =2，B =2A ，则b 的取值范围为___________． 【答案】(2√2，2√3)【解析】由sin2sin b aA A=，得b =4cos A ,由0290045A A ︒<<︒⇒︒<<︒, 01803903060A A ︒<︒-<︒⇒︒<<︒，故3045cos 2A A ︒<<︒⇒<<,cos A <<b =4cos A ∈(2√2，2√3)．【点评】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目．一、选择题．1．如图,角α，β的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(）A ．cos(α−β)B ．cos(α+β)C ．sin(α−β)D ．sin(α+β)精准预测题【答案】A【解析】由图可知()cos ,sin A αα,()cos ,sin B ββ， 所以cos cos sin sin cos()OA OB αβαβαβ⋅=+=-,故选A ．【点评】本题考查运用向量进行余弦定理的证明，属于基础题型．2．已知()cos 2c 2πos παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则tan π4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（)A ．4-B ．4C ．13-D ．13【答案】C【解析】因为()cos 2c 2πos παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,利用诱导公式可得()sin 2cos αα-=⨯-，即tan 2α=，所以tantan 1214tan 41231tan 4πta πn πααα--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+⋅,故选C ．【点评】本题主要考查诱导公式，正切的两角和差公式的应用，属于基础题．二、解答题． 3．已知函数()22cos 12xf x x =-+． （1）若()π6f αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求tan α的值；（2)若函数f(x)图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍得函数g(x)的图象，求函数g(x)在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦得的值域．【答案】(1）；（2）[−1，2]．【解析】（1）()22cos 1cos π2sin 26x f x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，因为()π6f αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以πsin 6αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1cos 22ααα-=，所以−3√3sin α=cos α,所以tan 9α=-．(2)f(x)图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数g(x)的图象,所以g(x)的解析式为()()π22sin 26g x f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x -≤-≤，则1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以−1≤g(x)≤2，故g(x)在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[−1，2]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，函数y =A sin (ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域,属于中档题． 4．设函数()212coscos 5f x x x x =--．（1)求f(x)的最小正周期和值域;（2）在锐角△ABC 中，角A ､B ､C 的对边长分别为a ､b ､c ．若f(A)=−5，a =√3,求△ABC 周长的取值范围．【答案】（1）π,[−4√3+1，4√3+1](2）(3+√3，3√3]． 【解析】（1）()2212coscos 512cos 25f x x x x x x =--=--6cos 221π216x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，πT ∴=，值域为[−4√3+1，4√3+1]．（2）由f(A)=−5，可得212coscos A A A=，因为三角形为锐角△ABC ，sin A A=，即tan A =π3A =，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin b B =，2π2sin 2sin()3c C B ==-，所以2π12sin sin()2(sin sin )322a b c B B B B B ⎡⎤++=+-=++⎢⎥⎣⎦32(sin cos ))22π6B B B =++=++．因为△ABC 为锐角三角形，所以π02B <<,π02C <<， 即022π3π02πB B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得π6π2B <<， 所以ππ2π363B <+<sin()16πB <+≤，即3)6πB ++≤，所以周长的取值范围为区间(3+√3，3√3]．【点评】在解三角形的周长范围时,将a +b +c 转化为含一个角的三角函数问题，利用三角函数的值域, 求周长的取值范围，是常用解法．。
专题7.1不等关系与不等式的性质及一元二次不等式(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式一、题型全归纳题型一 不等式性质的应用命题角度一 判断不等式是否成立【题型要点】判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 【例1】(2020·石家庄质量检测)已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2<－ab B ．|a |<|b | C.1a >1bD ．(12)a >(12)b【解析】：通解：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a |＝|b |，⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b，所以A ，B ，D 不一定成立，因为a >0>b ，所以b －a <0，ab <0，所以1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b 一定成立，故选C.优解：因为a >0>b ，所以1a >0>1b ，所以1a >1b一定成立．故选C.【例2】若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；①|a |＋b >0；①a －1a >b －1b ；①ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【解析】因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a >－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b<0<1ab ，综上知，①①正确，①①错误．命题角度二 比较两个数(式)大小的两种方法【题型要点】比较两个数(式)大小的3种方法【例1】若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【解析】：法一：易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1.所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1.所以b >c .即c <b <a .法二：对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .【例2】已知a ，b 是实数，且e<a <b ，其中e 是自然对数的底数，则a b 与b a 的大小关系是 ．【解析】：令f (x )＝ln xx ，x >0，则f ′(x )＝1－ln x x 2，当x >e 时，f ′(x )<0，即函数f (x )在x >e 时是减函数． 因为e<a <b ，所以ln a a >ln bb，即b ln a >a ln b ，所以ln a b >ln b a ，则a b >b a .命题角度三 求代数式的取值范围【题型要点】求代数式取值范围的方法利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 【例1】(2020·长春市质量检测(一))已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是 ．【解析】：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.【例2】已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．【解析】因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.题型二一元二次不等式的解法【题型要点】一元二次不等式的解法(1)对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况单一．(2)含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．①若二次项系数为常数，需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；①若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否能为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；①对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．【易错提醒】当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．命题角度一不含参数的一元二次不等式解一元二次不等式的四个步骤【例1】不等式0<x2－x－2≤4的解集为．【答案】：[－2，－1)①(2，3]【解析】：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．命题角度二 含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式的一般步骤【例2】解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【解析】 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0无解；①当a >1时，1a <1，解⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0，得1a <x <1；①当0<a <1时，1a >1，解⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0，得1<x <1a .综上所述，当a <0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><11x a x x 或； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 11； 当a ＝1时，解集为①；当a >1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<11x a x.命题角度三 已知一元二次不等式的解集求参数【例3】已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<31-21-x x ，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．【解析】 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝ba ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.即不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.【例4】(2020·黄冈模拟)关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A ．(－∞，1)①(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，－1)①(2，＋∞)【解析】因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，所以a >0，且－ba＝1，所以关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎪⎭⎫⎝⎛+a b x (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0，所以不等式的解集为{x |1<x <2}． 命题角度四 分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)f (x )g (x )>0(<0)①f (x )·g (x )>0(<0)；(2)f (x )g (x )≥0(≤0)①⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0.【例5】不等式1－x 2＋x≥1的解集为( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,2 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛21-2-，C ．(－∞，－2)①⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21- D ．(－∞，－2]①⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21- 【解析】：1－x 2＋x ≥1①1－x 2＋x －1≥0①1－x －2－x 2＋x ≥0①－2x －12＋x ≥0①2x ＋1x ＋2≤0①⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋1）（x ＋2）≤0x ＋2≠0①－2<x ≤－12.故选B.【例6】不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．【解析】：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧（3x －4）（x －5）≥0，x －5≠0，解得x >5或x ≤43.所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><534x x x 或. 题型三 一元二次不等式恒成立问题类型一 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围【题型要点】一元二次不等式在R 上恒成立的条件【例1】若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ①R 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ①R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2－2<a <2，解得－2<a <2，a 的取值范围是(－2，2]．类型二 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围【题型要点】形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ①R )恒成立问题的求解思路(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围； (2)数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．【例2】(2020·江苏海安高级中学调研)已知对于任意的x ①(－∞，1)①(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是 ．【解析】 设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a .因为对于任意的x ①(－∞，1)①(5，＋∞)，都有f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a >0， 所以Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，1≤a －2≤5，f （1）≥0，f （5）≥0，解得1<a <4或4≤a ≤5，即1<a ≤5.类型三 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围【题型要点】形如f (x )>0或f (x )<0(参数m ①[a ，b ])的不等式确定x 的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．【例3】求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 【解析】 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，则－1≤a ≤1.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4. 则实数x 的取值范围为(－∞，2)①(4，＋∞)．题型四 转化与化归思想在不等式中的应用【题型要点】(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c >0的x 的值构成的；图象在 x 轴下方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c <0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【例1】(2020·内蒙古包头)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，结合选项可知选C.【例2】a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个实根，则(a －1)2＋(b －1)2的最小值是( ) A ．－494B ．18C ．8D ．－6【解析】：因为关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个根为a ，b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2m ，ab ＝m ＋6，且Δ＝4(m 2－m －6)≥0，解得m ≥3或m ≤－2.所以y ＝(a －1)2＋(b －1)2＝(a ＋b )2－2ab －2(a ＋b )＋2＝4m 2－6m －10＝4⎝⎛⎭⎫m －342－494. 由二次函数的性质知，当m ＝3时，函数y ＝4m 2－6m －10取得最小值，最小值为8.故选C.二、高效训练突破 一、选择题1．(2020·潍坊模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2] C ．[－1,1]D ．[1,2]【解析】A ＝{x |x 2－2x －3≥0}＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥3}，又B ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}．2．若正实数a ，b 满足a >b ，且ln a ·ln b >0，则( )A.1a >1bB ．a 2<b 2C ．ab ＋1>a ＋bD ．lg a ＋lg b >0【解析】由已知得a >b >1或0<b <a <1，因此必有1a <1b，a 2>b 2，所以A ，B 错误；又ab >1或0<ab <1，因此lg a ＋lg b ＝lg (ab )>0或lg (ab )<0，所以D 错误；而ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0，即ab ＋1>a ＋b ，所以C 正确．3．已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2<－ab B ．|a |<|b | C.1a >1bD ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121【解析】：法一：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a |＝|b |，ba⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，所以A ，B ，D 不一定成立．因为a >0>b ，所以b －a <0，ab <0，所以1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b 一定成立，故选C.法二：因为a >0>b ，所以1a >0>1b ，所以1a >1b一定成立，故选C.4.(2020·安徽淮北一中（文）模拟)若(x －1)(x －2)<2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．[－4，－3) C ．[－4，0) D ．(－3，4]【解析】：由(x －1)(x －2)<2解得0<x <3，函数y ＝(x ＋1)(x －3)的图象的对称轴是直线x ＝1，故函数在(0，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，在x ＝1处取得最小值，最小值为－4，在x ＝3处取值为0，在x ＝0处取值为－3，故(x ＋1)(x －3)的取值范围为[－4，0)．5．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]①[5，＋∞)C ．(－∞，－1]①[4，＋∞)D ．[－2，5] 【解析】：.x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.6．(2020·湖南益阳4月模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，则不等式(x －2)f (x )<0的解集为( ) A ．(－2，2)①(2，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)【解析】：因为函数f (x )＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，所以a ＋2＝0，得a ＝－2，所以f (x )＝－2x 2＋4，所以不等式(x －2)f (x )<0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，f （x ）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－2x 2＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－2x 2＋4<0，解得－2<x <2或x >2.故原不等式的解集为(－2，2)①(2，＋∞)．故选A. 7.(2020·广东清远一中月考)关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式 (ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)①(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)①(3，＋∞)【解析】关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，①a ＝b ＜0，①不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3，①所求解集是(－1,3)．故选C. 8.设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是( ) A ．x >2且y >2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2D ．x >2且0<y <2【解析】：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2.9.(2020·天津市新华中学模拟)已知命题p ：1a >14，命题q ：①x ①R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】求解不等式1a >14可得0<a <4，对于命题q ，当a ＝0时，命题明显成立；当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，10.设a ，b ①R ，定义运算“①”和“①”如下：a ①b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ①b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ①n ≥2，p ①q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4【解析】：.结合定义及m ①n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4； 结合定义及p ①q ≤2，可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4. 11．(2020·安徽蒙城五校联考)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，5) B ．(－2，4) C ．[－3，5]D ．[－2，4]【解析】：因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }；当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是a ①[－2，4]，故选D. 12．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ①R ，b ①R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ①[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－1，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)①(2，＋∞)D ．不能确定【解析】：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ①[－1，1]时，f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立解得b ＜－1或b ＞2.二、填空题1.设a >b ，有下列不等式①a c 2>b c 2；①1a <1b ；①|a |>|b |；①a |c |≥b |c |，则一定成立的有________．(填正确的序号)【解析】：对于①，1c 2>0，故①成立；对于①，a >0，b <0时不成立；对于①，取a ＝1，b ＝－2时不成立；对于①，|c |≥0，故①成立．2．已知实数a ①(1，3)，b ①⎪⎭⎫⎝⎛4181，，则a b的取值范围是________．【解析】：依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab <24，故答案为(4，24)．3．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．【解析】：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.4．(2020·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是 ． 【解析】：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)， 因为a 1<a 2，b 1<b 2，所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.6.已知①ABC 的三边长分别为a ，b ，c 且满足b ＋c ≤3a ，则ca的取值范围为________．【解析】：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >ba ，所以⎩⎨⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －b a <1，两式相加得，0<2×c a <4，所以ca的取值范围为(0，2)．7．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；①a ＋x >b ＋y ；①ax >by ；①x －b >y －a ；①a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．【解析】：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2.符合题设条件x >y ，a >b .因为a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5.所以a －x ＝b －y ，因此①不成立．因为ax ＝－6，by ＝－6，所以ax ＝by ，因此①不成立．因为a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，所以a y ＝bx，因此①不成立．由不等式的性质可推出①①成立．8.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，若对任意x ①[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】对任意x ①[1，＋∞)，f (x )>0恒成立．等价于x 2＋2x ＋a >0，即a >－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝－(x ＋1)2＋1，则g (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，所以a >－3.9.(2020·江西临川一中高考模拟)已知函数f (x )＝x ln (3－x )，则不等式f (lg x )>0的解集为________．【解析】因为f (x )＝x ln (3－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3－x >0，解得0≤x <3，所以定义域为[0,3)，因为f (x )＝x ln (3－x )>0等价于⎩⎨⎧x >0，ln (3－x )>0，解得0<x <2，因为f (lg x )>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤lg x <3，0<lg x <2，x >0，解得1<x <100，所以解集为(1,100)．10.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ①R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．【解析】：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x ＋b －a 24，f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24.所以f (x )＝(x ＋a 2)2.又f (x )<c ，所以(x ＋a 2)2<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .所以⎩⎨⎧－a2－c ＝m ①，－a2＋c ＝m ＋6 ①.①－①，得2c ＝6，所以c ＝9.三 解答题1.求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 【解析】：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4则实数x 的取值范围为(－∞，2)①(4，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 【解析】：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝（2a ）2－4a ≤0，解得0<a ≤1， 综上可知，a 的取值范围是[0，1]．(2)因为f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a （x ＋1）2＋1－a ，因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32，所以不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛2321-，.3已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ①(－∞，－3)①(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ①(－3，2)时，f (x )>0. (1)求f (x )在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．【解析】：(1)因为当x ①(－∞，－3)①(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ①(－3，2)时，f (x )>0. 所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两个根，所以⎩⎨⎧－3＋2＝8－ba，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5.所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f (x )在[0，1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝18， f (x )min ＝f (1)＝12，故f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞1225--， 4．(2020·湖北孝感3月模拟)设关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2.(1)求(1＋x 1)(1＋x 2)的值；(2)求证：x 1<－1且x 2<－1；(3)如果x 1x 2①⎥⎦⎤⎢⎣⎡10101，，试求a 的取值范围． 【解析】：(1)因为关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2. 所以x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a ，则(1＋x 1)(1＋x 2)＝1＋x 1＋x 2＋x 1·x 2＝1－1a ＋1a ＝1.(2)证明：由Δ≥0，得0<a ≤14.设f (x )＝ax 2＋x ＋1，则f (x )的对称轴与x 轴交点横坐标x ＝－12a ≤－2，又由于f (－1)＝a >0，所以f (x )的图象与x 轴的交点均位于点(－1，0)的左侧，故x 1<－1且x 2<－1. (3)由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－1a ，x 1·x 2＝1a①（x 1＋x 2）2x 1·x 2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝1a .因为x 1x 2①⎣⎡⎦⎤110，10，所以1a ＝x 1x 2＋x 2x 1＋2①⎣⎡⎦⎤4，12110①a ①⎣⎡⎦⎤10121，14.又⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a ≥0①0<a ≤14， 所以a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤10121，14.。
2021届新高考步步高大二轮数学专题复习：思想方法 第1讲 函数与方程思想
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．第1讲 函数与方程思想 思想概述 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决． 方法一 运用函数相关概念的本质解题在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．例1 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B.⎣⎡⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫13，1D.⎝⎛⎭⎫0，13 思路分析 先求出f (x )＝a x 是减函数时a 的范围→满足－0＋3a ≥a 0时a 的范围→取交集 答案 B解析 ∵函数f (x )是R 上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，解得13≤a <1. ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，1.故选B.批注 在函数的第一段中，虽然没有x ＝0，但当x ＝0时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值f (0)，这是解题的一个易忽视点．究其原因，就是未把分段函数看成是一个函数，一个整体．解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视．方法二 利用函数性质求解方程问题函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题． 例2 (1)(2020·全国Ⅰ)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则( )A ．a >2bB ．a <2bC ．a >b 2D ．a <b 2答案 B解析 由指数和对数的运算性质可得2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b .令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又∵22b ＋log 2b <22b ＋log 2b ＋1＝22b ＋log 22b ，∴2a ＋log 2a <22b ＋log 22b ，即f (a )<f (2b )，∴a <2b .(2)设x ，y 为实数，满足(x －1)3＋2 020(x －1)＝－1，(y －1)3＋2 020(y －1)＝1，则x ＋y ＝________.思路分析 观察两方程形式特征→借助函数f (t )＝t 3＋2 020t 的单调性、奇偶性→f (x －1)＝f (1－y )→求出x ＋y答案 2解析 令f (t )＝t 3＋2 020t ，则f (t )为奇函数且在R 上是增函数．由f (x －1)＝－1＝－f (y －1)＝f (1－y )，可得x －1＝1－y ，∴x ＋y ＝2.批注 通过方程的特征构造函数，利用函数性质寻求变量间的关系．函数与方程的相互转化：对于方程f (x )＝0，可利用函数y ＝f (x )的图象和性质求解问题. 方法三 构造函数解决一些数学问题在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果.例3 求使不等式2x －1>m (x 2－1)对于|m |≤2的一切实数m 都成立的x 的取值范围． 思路分析 恒成立问题→函数最值问题→构造关于m 的一次函数解 构造函数f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，m ∈[－2,2]，f (m )<0在m ∈[－2,2]上恒成立⇔⎩⎨⎧ f (－2)<0，f (2)<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －2(x 2－1)－(2x －1)<0，2(x 2－1)－(2x －1)<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0 ⇔7－12<x <3＋12. 所以x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12. 例4 如图，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，P A ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ，AP ＝AB ＝2，∠AEF ＝θ，当θ变化时，求三棱锥P －AEF 体积的最大值．思路分析 求V P －AEF 的最值→用θ表示V P －AEF ，构造函数→求函数的最值解 因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BC ，又BC ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC ，而AF ⊂平面P AC ，所以BC ⊥AF .又因为AF ⊥PC ，PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂平面PBC ，所以AF ⊥平面PBC ，而EF ⊂平面PBC ，所以AF ⊥EF .所以EF 是AE 在平面PBC 内的射影．因为AE ⊥PB ，所以EF ⊥PB ，又AE ∩EF ＝E ，AE ，EF ⊂平面AEF ，所以PB ⊥平面AEF ，所以PE ⊥平面AEF .在Rt △P AB 中，因为AP ＝AB ＝2，AE ⊥PB ，所以PE ＝2，AE ＝2，AF ＝2sin θ，EF ＝2cos θ.V P －AEF ＝13S △AEF ·PE ＝13×12×2sin θ·2cos θ×2＝26sin 2θ. 因为0<θ<π2，所以0<2θ<π. 所以当2θ＝π2，即θ＝π4时，sin 2θ取得最大值1， 则V P －AEF 取得最大值26. 批注 θ的变化是由AC ，BC 的变化引起的．三棱锥P －AEF 的高PE 为定值，只要S △AEF 最大即可．在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的变量，揭示函数关系，使问题明晰化.。